Procedimiento para la obtención de cargas últimas de arcos ...

RecibidoReceived 15072013 AceptadoAccepted 23092014

Publicado on-linePublished on-line 18092015

Informes de la ConstruccioacutenVol 67 539 e094

julio-septiembre 2015ISSN-L 0020-0883

doi httpdxdoiorg103989ic13117

Coacutemo citar este artiacuteculoCitation Cifuentes-Bulteacute H Medina-Encina F (2015) Procedimiento para la obtencioacuten de cargas uacuteltimas de arcos de perfiles conformados en friacuteo Informes de la Construccioacuten 67(539) e094 doi httpdxdoiorg103989ic13117

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RESUMEN

En este trabajo se presenta una metodologiacutea de caacutelculo para la determinacioacuten de la carga uacuteltima de arcos circulares con per-files trapezoidales conformados en friacuteo Estos elementos de cubierta sometidos fundamentalmente a esfuerzos de compre-sioacuten y de directriz curva deben ser dimensionados teniendo en cuenta la inestabilidad por pandeo Actualmente ninguna normativa describe un procedimiento de caacutelculo para la consideracioacuten del pandeo en elementos curvos La metodologiacutea aquiacute planteada se basa en la filosofiacutea de las curvas europeas de pandeo establecidas en los Eurocoacutedigos Asiacute se ha obtenido un coeficiente reductor empiacuterico que considera los efectos del pandeo conjuntamente con imperfecciones geomeacutetricas y mecaacutenicas en funcioacuten de la esbeltez del arco considerado Para ello es necesario determinar la carga uacuteltima experimental de al menos tres arcos cuyos radios y luces se encuentren lo suficientemente diferenciados

Palabras clave Perfiles conformados en friacuteo arcos circulares pandeo de arcos metodologiacutea de caacutelculo experimental

ABSTRACT

This paper deals with a new methodology for the estimation of the strength of circular arches with cold-formed trap-ezoidal section These cover elements mainly subjected to compression stress and with circular curvature should be dimensioned taking into account the possibility of buckling instability Currently no standard describes a method for calculating the buckling consideration of curved elements The methodology proposed herein shares the same philosophy of the European buckling curves method established in the Eurocodes Thus an experimental coefficient considering the effects of buckling and geometrical and mechanical imperfections depending on the slenderness of the considered arch have been obtained For this it was necessary to determine the experimental strength of at least three arcs which radius and spans are sufficiently differentiated

Keywords Cold-formed steel profiles circular arches buckling of arches calculation procedure experimental analysis

Procedimiento para la obtencioacuten de cargas uacuteltimas de arcos de perfiles conformados en friacuteo

A procedure for determining the load carrying capacity in cold-formed steel arches

H Cifuentes-Bulteacute () F Medina-Encina()

() Escuela Teacutecnica Superior de Ingenieriacutea - Universidad de Sevilla Espantildea Persona de contactoCorresponding author bulteuses (H Cifuentes-Bulteacute)

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H Cifuentes-Bulteacute F Medina-Encina

Informes de la Construccioacuten Vol 67 539 e094 julio-septiembre 2015 ISSN-L 0020-0883 doi httpdxdoiorg103989ic131172

1 INTRODUCCIOacuteN

La utilizacioacuten de chapas nervadas curvadas con perfiles tra-pezoidales de pequentildeo espesor es una teacutecnica comuacutenmente empleada en los cerramientos de cubierta de ciertas edifica-ciones La seccioacuten transversal de estos productos es obtenida mediante conformado en friacuteo de laacuteminas de acero de pequentildeo espesor (05-15 mm) (1) Como se trata de arcos circulares los esfuerzos a los que se encuentran sometidos seraacuten predo-minantemente de compresioacuten acompantildeado de esfuerzos de flexioacuten de valor maacutes reducido y que conlleva la necesidad de comprobacioacuten frente al fenoacutemeno de inestabilidad por pan-deo global del elemento Por otro lado el deacutebil espesor de estos elementos conjuntamente con las tensiones residuales procedentes del proceso de conformacioacuten en friacuteo genera la necesidad de un estudio detallado de estos elementos frente a fenoacutemenos de inestabilidad local de abolladura (1) Aten-diendo a la clasificacioacuten de secciones establecida en los Eu-rocoacutedigos (2) este tipo de perfiles es predominantemente de clase 4 lo que pone de manifiesto la existencia de problemas locales de abolladura

Por tanto el correcto dimensionamiento de este tipo de ele-mentos estructurales conlleva la consideracioacuten en el caacutelculo de los fenoacutemenos de inestabilidad por pandeo global del ele-mento y por pandeo local (abolladura) La inmensa mayoriacutea de coacutedigos de aplicacioacuten al caacutelculo de estructuras metaacutelicas consideran el meacutetodo de las curvas europeas de pandeo para el estudio de la inestabilidad global En este meacutetodo las im-perfecciones que producen una reduccioacuten considerable de la carga de pandeo real respecto a la teoacuterica se consideran a traveacutes de unos coeficientes de imperfeccioacuten correspondientes a cada curva de pandeo En la gran mayoriacutea de normativas se consideran uacutenicamente elementos de directriz recta exis-tiendo grandes lagunas en casos de elementos de directriz curva como los arcos circulares (3)

El estudio del pandeo de arcos ya ha sido abordado por di-versos investigadores Asiacute Fung y Kaplan en 1952 (4) Ti-moshenko y Gere en 1961 (5) y Gjelsvik y Bodner en 1962 (6) ya aportaron soluciones aproximadas para las cargas criacuteticas de pandeo de diferentes tipos de arcos Sin embar-go auacuten hoy en diacutea se encuentran publicaciones recientes sobre este tema (7) (8) (9) lo que pone de manifiesto el in-tereacutes que todaviacutea suscita No existen unas expresiones que permitan la obtencioacuten de la carga criacutetica de pandeo de un arco con cualquier distribucioacuten de carga y condiciones de contorno Los casos de carga disponibles en la bibliografiacutea y cuyas expresiones pueden resultar de faacutecil determinacioacuten se refieren uacutenicamente a casos de carga puntual (10) y car-ga en direccioacuten radial uniformemente distribuida sobre el arco (11)

En este trabajo se presenta un procedimiento de caacutelculo de la carga uacuteltima de chapas nervadas con generatriz de arco circu-lar considerando fenoacutemenos de inestabilidad global por pan-deo e inestabilidad local por abolladura Este procedimiento estaacute basado en resultados experimentales y numeacutericos ob-teniendo la carga uacuteltima de la chapa curvada en funcioacuten de su esbeltez y considerando un coeficiente de reduccioacuten por pandeo sobre la carga uacuteltima de la seccioacuten eficaz del perfil Los ensayos experimentales han puesto de manifiesto el fallo por pandeo de este tipo de elementos permitiendo establecer una funcioacuten de ajuste experimental para la determinacioacuten de la carga uacuteltima en funcioacuten de la esbeltez del elemento Por

otro lado los resultados numeacutericos han permitido la obten-cioacuten y constatacioacuten de las cargas numeacutericas de fallo por pan-deo global Mediante el procedimiento aquiacute descrito se pue-den obtener las cargas de utilizacioacuten de este tipo de cubierta con una metodologiacutea similar a la propuesta en los Eurocoacutedi-gos (2) para elementos de directriz recta sometidos predomi-nantemente a compresioacuten

2 ANTECEDENTES TEOacuteRICOS

21 Pandeo de arcos de circunferencia

Anaacutelogamente a la teoriacutea de Euler para el estudio de pandeo en elementos rectos Bradford et al (12) y Pi et al (10) (11) (13) (14) establecieron que el paraacutemetro fundamental para el pandeo de arcos circulares es su esbeltez definida por

S

i Rkλ =

sdot sdot4

2

[1]

Donde Sk es la longitud del arco de circunferencia i es el

radio de giro de la seccioacuten transversal y R el radio de cur-vatura del arco Como se observa en la ecuacioacuten [1] el con-cepto de esbeltez es ligeramente distinto que en el caso de elementos rectos En arcos circulares se puede dar el caso de elementos con la misma seccioacuten transversal y diferen-tes longitudes y radios que presenten ideacutentico valor de la esbeltez

Se considera que un arco de circunferencia puede presentar dos modos de pandeo distintos correspondientes a pandeo simeacutetrico y pandeo asimeacutetrico (Figura 1) El que se produzca antes uno u otro modo de pandeo depende de la esbeltez del elemento (10) Arcos de esbeltez reducida presentaraacuten modo de pandeo simeacutetrico frente a arcos de esbeltez elevada donde la carga criacutetica menor es la correspondiente a pandeo asimeacute-trico (12) Asiacute en arcos circulares de pequentildea esbeltez con una gran rigidez a flexioacuten el modo de pandeo preferente seraacute simeacutetrico siendo el valor del axil criacutetico

=sdotNEI

S

πcr s

x2

2

[2]

Figura 1 Pandeo simeacutetrico de un arco circular (sup) y pandeo asimeacutetrico (inf)



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La parte 1-3 del Eurocoacutedigo 3 EN1993-1-3 (21) es de aplica-cioacuten a este tipo de perfiles conformados en friacuteo de pequentildeo espesor estableciendo los valores de las zonas de reduccioacuten para la obtencioacuten de la seccioacuten eficaz De forma general para una placa de pequentildeo espesor sometida a un nivel de tensioacuten constante y condiciones de apoyo en los extremos presentaraacute un ancho reducido dado por la siguiente ecuacioacuten (16)

σ σ= minus

b

b f f1 022eff cr

y

cr

y

[4]

Donde beff

es el ancho eficaz de la seccioacuten una vez descontada la zona con abolladura σ

cr la tensioacuten criacutetica de pandeo de la

placa y fy el liacutemite elaacutestico del material Esta expresioacuten ha sido

obtenida por ajuste experimental y caracteriacutestica de perfiles conformados en friacuteo (1)

Los anchos eficaces de cada zona comprimida se determina-raacuten en funcioacuten de la ecuacioacuten [4] considerando las diferentes condiciones de contorno y distribuciones de carga posibles El caacutelculo de la seccioacuten eficaz reducida seguacuten las indicaciones de EC-3 tiene en cuenta entre otros la influencia de las ten-siones residuales en este tipo de perfiles conformados en frio

3 CAMPANtildeA EXPERIMENTAL

31 Geometriacutea de los arcos analizados y materiales

Las chapas curvas analizadas tienen una seccioacuten transversal formada por un perfil trapezoidal denominado MT-42 de acero conformado en friacuteo y de 08 mm de espesor (Figura 2) El aacuterea de la seccioacuten transversal es A = 969 mm2 y el momen-to de inercia I

x = 256 times 10-5 mm4

Las chapas forman un arco circular de radio R luz L y longi-tud de arco S (Figura 3) Los apoyos seraacuten construidos de tal forma que se pueda considerar como un arco biapoyado Se consideraraacute una carga q uniformemente repartida por unidad de proyeccioacuten horizontal

Las chapas han sido fabricadas con acero galvanizado de 250 MPa de liacutemite elaacutestico y 210000 MPa de moacutedulo de elas-ticidad siendo la deformacioacuten correspondiente al liacutemite elaacutes-tico ε

y = 00012

32 Procedimiento de ensayo e instrumentacioacuten

Se han llevado a cabo ensayos a rotura sobre tres chapas cur-vas de distintas dimensiones geomeacutetricas (Tabla 1) Estos en-sayos han consistido en ensayos de carga uniforme mediante sacos de yeso (Figura 4) Para cada una de las distintas geo-metriacuteas se han ensayado tres muestras de forma que se ha podido obtener el valor medio de las cargas y su coeficiente de variacioacuten

En aquellos casos donde la esbeltez del arco sea elevada el primer modo de pandeo corresponderaacute a un pandeo asimeacute-trico siendo el valor del axil criacutetico en este caso

( )

=sdotNEI

S

π

2cr a

x2

2

[3]

Esto pone de manifiesto que el modo y la carga criacutetica de pandeo del elemento dependen de su esbeltez asiacute como de la forma de aplicacioacuten de la carga exterior que introduce el esfuerzo de compresioacuten en el arco Las expresiones [2] y [3] son vaacutelidas para arcos de directriz circular biarticulados so-metidos a una presioacuten radial uniforme

Como se desprende de las ecuaciones [2] y [3] el valor de la carga criacutetica menor es la correspondiente a pandeo simeacutetrico Por tanto el que en arcos esbeltos el primer modo de pandeo se deba a una forma asimeacutetrica tiene su explicacioacuten mediante un caacutelculo de segundo orden considerando no linealidades geomeacutetricas Los estudios de Pi et al (10) y de Bradford et al (12) demostraron una gran influencia de la forma de la seccioacuten Asiacute en secciones esbeltas como la analizada en este estudio el modo de pandeo seraacute predominantemente asimeacute-trico excepto en casos de valor reducido de la longitud entre apoyos del arco (15)

Por otro lado como es ya sabido el valor de las cargas criacuteticas reales es bastante inferior al valor criacutetico teoacuterico (lineal o no lineal) Esta diferencia que es debida a imper-fecciones geomeacutetricas y mecaacutenicas es tanto mayor cuanto mayor es la esbeltez del elemento (16) Este fenoacutemeno es recogido por la metodologiacutea del Eurocoacutedigo 3 para ele-mentos rectos no encontraacutendose referencia alguna para el caso de elementos con directriz curva En este sentido Ku-ranishi y Yakubi (17) y Verstappen et al (18) propusieron un criterio de disentildeo considerando elementos rectos en la comprobacioacuten a pandeo de arcos que no produce resulta-dos satisfactorios (19)

22 Abolladura en perfiles conformados en friacuteo

Los perfiles conformados en friacuteo se caracterizan principal-mente por su pequentildeo espesor (del orden de 1 mm) Ademaacutes el proceso de conformacioacuten al que se ven sometidos genera unas tensiones residuales de importancia considerable ya que se produce la plastificacioacuten del material para poder ser conformados Estas dos caracteriacutesticas los convierten en per-files con secciones muy esbeltas y susceptibles de presentar problemas de inestabilidad local de abolladura (1) Las nor-mas habituales de caacutelculo de este tipo de perfiles consideran un caacutelculo de la resistencia post-criacutetica mediante la determi-nacioacuten de su seccioacuten eficaz Esta seccioacuten eficaz estaacute basada en las teoriacuteas de von Karman (20) y permite un anaacutelisis postcriacute-tico de su resistencia

Figura 2 Seccioacuten transversal perfil MT-42



Aunque se dispone de un poacutertico de carga para realizar los ensayos se optoacute por la utilizacioacuten del sistema de carga me-diante sacos de manera que el arco no tuviera impedido nin-guacuten tipo de movimiento en su plano De esta forma se puede producir el fallo por pandeo en el plano del arco

Los sacos han sido pesados y colocados por filas de forma controlada conociendo en todo momento la carga sobre la chapa Los sacos se han ido colocando de forma simeacutetrica de manera que se modifique su modo de fallo lo miacutenimo po-sible Cada saco tiene un peso de 188 kg plusmn 5 El peso total se ha ido registrando mediante un sistema de adquisicioacuten de datos de forma que cada vez que se coloca un saco se activa un contador que suma su peso Ademaacutes se ha recogido la me-dida del desplazamiento vertical de la clave del arco a traveacutes de un transductor tipo LVDT asiacute como las deformaciones en puntos estrateacutegicos de la chapa a traveacutes del pegado de bandas extensomeacutetricas en todas las chapas ensayadas

Tabla 1 Dimensiones y propiedades geomeacutetricas de la chapas ensayadas

Chapa Luz (m)

Radio (m)

Espesor (mm)

Inercia(mm4)

Aacuterea(mm2) λ

1 32 38

08 256middot105 969

43

2 70 70 118

3 70 50 189

Figura 3 Geometriacutea de las chapas curvas con directriz de arco circular

Figura 4 Ensayos de carga uniforme

Las bandas extensomeacutetricas se han colocado con el objetivo de medir las deformaciones en la clave del arco y en las proxi-midades de los apoyos en la parte superior e inferior de la chapa Asiacute se han colocado un total de 10 bandas extenso-meacutetricas con la distribucioacuten indicada en la Figura 5 La chapa presenta unas muescas de doblado en la parte inferior tal y como se puede apreciar en la Figura 4-izq y Por este motivo no se ha podido medir la deformacioacuten de la parte inferior de la chapa justo en la clave del arco colocaacutendose dos bandas simeacutetricas a una distancia de aproximadamente 75 mm res-pecto a la clave

Los apoyos de las chapas se han materializado como apo-yos fijos a traveacutes de un perfil con seccioacuten en forma de omega atornillado a una base metaacutelica con la inclinacioacuten adecuada El desplazamiento transversal de las chapas ha sido impedi-do a traveacutes de la colocacioacuten de unas escuadras metaacutelicas de arriostramiento De esta forma se determina la resistencia en el plano del arco simulando el efecto de las chapas contiguas (Figura 4-dch)

33 Resultados

A continuacioacuten se representan las curvas carga-desplaza-miento y carga-deformacioacuten obtenidas durante los ensa-yos La representacioacuten de los resultados se ha organizado de forma que se muestran los correspondientes a cada una de las distintas chapas ensayadas Asiacute en las Figura 6 7 y 8 se muestran los resultados para las chapas con L-R = 32-38 70-70 y 70-50 m respectivamente Como parte de las bandas se han colocado de forma simeacutetrica para el con-trol del comportamiento durante el ensayo se representan solo los resultados de una de las bandas por cada pareja Se muestran los resultados de solo una de las muestras de cada chapa

Como se aprecia en las curvas carga-desplazamiento de las Figura 6 7 y 8 se observa el efecto de la colocacioacuten de los sacos Inicialmente se empiezan a colocar los sacos en los ex-tremos por lo que se produce un levantamiento de la clave del arco que se manifiesta en la curva carga-desplazamiento obtenida En todos los ensayos se ha completado al menos una capa de sacos de forma que cubra toda la superficie de la chapa




Figura 5 Distribucioacuten de las bandas colocadas

Figura 6 Curvas carga-desplazamiento y carga-deformaciones para la chapa de L = 32 m y R = 38 m



carga qexpmin

Asimismo se muestra la indicacioacuten de si se ha llegado a medir una deformacioacuten superior al liacutemite elaacutestico antes del colapso en alguna de las bandas extensomeacutetricas colocadas y la flecha maacutexima

Los modos de fallo observados han sido generalmente de inesta-bilidad global por pandeo claramente asimeacutetrico para el caso de las chapas 2 y 3 con mayor esbeltez y pandeo simeacutetrico para el caso 1 (arco de menor esbeltez) Este efecto se ha constatado adi-cionalmente mediante los valores de las deformaciones medi-das por las bandas extensomeacutetricas instantes previos al colapso Como se observa en la Tabla 2 en ninguacuten caso se ha alcanzado el liacutemite elaacutestico en el acero antes de producirse el fallo de la chapa

Las deformaciones medidas por las bandas extensomeacutetricas son de traccioacuten (positivas) o compresioacuten (negativas) depen-diendo de la posicioacuten de la banda (superior o inferior) y de los esfuerzos originados en la zona donde estaacuten colocadas En aquellas bandas que estando colocadas en la misma zona del arco pero una perteneciente a la fibra superior de la seccioacuten y otra a la inferior tengas ambas deformaciones de compre-sioacuten corresponde a una zona con un estado de cargas donde predomina la compresioacuten respecto a la flexioacuten

En la Tabla 2 se muestran las cargas uacuteltimas medias experi-mentales q

expm obtenidas para cada chapa con indicacioacuten

del coeficiente de variacioacuten y el menor valor obtenido de


Tabla 2 Cargas uacuteltimas experimentales

Chapa qexpm

(daNm)

qexpmin

(daNm)

Liacutemite elaacutestico

Flecha (mm)

Modo de fallo

1 970 plusmn 6 911 NO 244 Pandeo simeacutetrico

2 293 plusmn 9 267 NO 902 Pandeo asimeacutetrico






4 ESTUDIO NUMEacuteRICO

41 Descripcioacuten del modelo numeacuterico

Se ha llevado a cabo un estudio numeacuterico mediante un modelo de elementos finitos realizado con el programa RFEM de la empresa DLUBAL (22) La discretizacioacuten de las chapas curvas se ha realizado mediante elementos laacutemina tipo MITC4 con la geometriacutea correspondiente a cada una de las chapas ensa-yadas experimentalmente En la Figura 9-izq se muestra la discretizacioacuten de la malla realizada para el caso de la chapa 1

Se ha considerado un material correspondiente al acero con un liacutemite elaacutestico de 210000 MPa un coeficiente de Poisson de 03 y comportamiento elaacutestico y lineal exclusivamente Las condiciones de contorno y las cargas son las correspon-dientes a los ensayos experimentales apoyos fijos en los ex-tremos y carga uniformemente distribuida

42 Resultados

Se ha realizado un estudio de estabilidad de cada arco consi-derando efectos de segundo orden Este caacutelculo considerando

no linealidades geomeacutetricas responde a las indicaciones de Pi y Bradford (10) (12) respecto a la conveniencia de consi-deracioacuten de los efectos de segundo orden en el caso de arcos circulares Los primeros modos de pandeo obtenidos corres-ponden a casos de pandeo asimeacutetrico para las chapas maacutes es-beltas lo que es consistente con lo establecido por Bradford et al (12) para arcos de elevada esbeltez En la Figura 9-dcha se muestra el modo de pandeo obtenido mediante elementos finitos para la chapa 2

En la Tabla 3 se muestran los resultados correspondientes a las cargas criacuteticas obtenidas para cada una de los arcos anali-zados asiacute como la esbeltez del arco seguacuten la ecuacioacuten [1] Es-tas cargas representan el valor de la carga maacutexima obtenida en los modelos numeacutericos para un caacutelculo con no-linealidad geomeacutetrica y comportamiento elaacutestico-lineal del material y que corresponden con las cargas numeacutericas de pandeo global de los arcos analizados

Como se observa en los valores obtenidos en la Tabla 3 a medida que aumenta la esbeltez del elemento disminuye el valor de la carga que produce el fallo por pandeo global Para el caso de la chapa de menor esbeltez se observa que la



siendo

Fx F

y reacciones horizontal y vertical en los apoyos cu-

yas expresiones se encuentran en diversos manua-les (23)

52 Determinacioacuten de las cargas uacuteltimas frente a ELU de resistencia

La determinacioacuten de la carga maacutexima se ha realizado me-diante un anaacutelisis elaacutestico sobre la seccioacuten eficaz ya que la seccioacuten transversal es de clase 4 (2) En la Tabla 4 se mues-tran los resultados obtenidos de carga maacutexima uniforme q

uef asiacute como su relacioacuten con la carga de fallo por pandeo

global

Como era de esperar las cargas uacuteltimas analiacuteticas son supe-riores a las cargas uacuteltimas experimentales

carga criacutetica es muy elevada lo que estaacute en consonancia con el modo de fallo observado experimentalmente (es la uacutenica chapa que presentoacute fallo por pandeo simeacutetrico) Por tanto los modelos numeacutericos permiten constatar los resultados ex-perimentales obtenidos y el modo de fallo observado durante la realizacioacuten de los ensayos en laboratorio

5 PROCEDIMIENTO PARA LA OBTENCIOacuteN DE CARGAS UacuteLTIMAS

La metodologiacutea de caacutelculo propuesta comparte su filosofiacutea con los procedimientos recogidos en el EC3 para el caacutelculo de elementos rectos sometidos a compresioacuten De esta forma en primer lugar ha de obtenerse la carga uacuteltima teoacuterica por cri-terio de agotamiento resistente Posteriormente esta carga se reduciraacute en funcioacuten de un coeficiente reductor relaciona-do con los resultados experimentales y que contempla fenoacute-menos de inestabilidad global obtenieacutendose asiacute la carga real uacuteltima de la chapa

51 Determinacioacuten de esfuerzos en arcos de circunferencia

Para la obtencioacuten de la carga uacuteltima teoacuterica por resistencia de la chapa es necesaria la determinacioacuten analiacutetica de los esfuer-zos sobre el arco En el caso de un arco simeacutetrico biapoyado de aacutengulo de apertura α sometido a una carga uniforme por proyeccioacuten de superficie horizontal (Figura 10) se tiene que el esfuerzo axil N cortante Q y flector M para una seccioacuten con un aacutengulo θ con respecto a la vertical vienen dados por

= sdot θ minus sdot θ + sdot sdot α minus θ sdot θN F F sen q R sencos( ) ( ) ( ) ( )

x y [5]

= sdot θ minus sdot θ minus sdot sdot α minus θ sdot θQ F sen F cos q R cos( ) ( ) ( ) ( )

y x [6]

int

= sdot sdot α minus θ + sdot sdot θ minus α minus

minus sdot sdot α minus θ sdot βθ

α

M F R sen sen F R cos cos

q R sen sen d

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y x

2

[7]

Figura 9 Discretizacioacuten empleada en la modelizacioacuten de la chapa 1 (izq) y pandeo asimeacutetrico obtenido para la chapa 2 (dcha)

Tabla 3 Valores de la carga criacutetica obtenidas con MEF

Chapa qcr

(kNm)

1 4690

2 289

3 259

Figura 10 Esfuerzos en un arco circular sometido a carga uniformemente distribuida por unidad de superficie proyectada

Tabla 4 Cargas uacuteltimas obtenidas por criterio de resistencia

ChapaAacuterea

efectiva (mm2)

Inercia efectiva (mm4)

quef

(kgm) q

uef q

expq

uef q

cr

1 522 174middot105 3195 351 068

2 591 175middot105 1166 437 361

3 569 174middot105 1435 957 465




en funcioacuten de la esbeltez del mismo mediante la ecuacioacuten [8] para luces de 3 4 5 6 y 7 m y radios comprendidos entre 38 y 7 m Se aprecia que existen valores distintos del radio y la luz del arco para los que coincide la esbeltez y que proporcio-nan diferentes valores del factor de reduccioacuten Con el objetivo de unificar el valor del factor de reduccioacuten en funcioacuten de la esbeltez del arco se traza una envolvente inferior a las distin-tas familias de curvas obtenidas para cada luz La forma de esta envolvente es muy parecida a la que presentan las curvas europeas de pandeo siendo la expresioacuten que mejor se ajusta la siguiente

χ λλ( )+

( )1994

10569

=

[9]

Esta envolvente proporciona valores del factor de reduccioacuten que son uacutenicos para cada valor de la esbeltez del arco y que se encuentran del lado de la seguridad para cualquier caso

Una vez determinada la funcioacuten empiacuterica definida por la ecuacioacuten [9] el procedimiento de obtencioacuten de las cargas uacutel-timas para cualquier valor del radio y la luz del arco circular es de faacutecil aplicacioacuten El procedimiento de caacutelculo consistiraacute en obtener el valor de la carga externa q

uef que produce el

agotamiento elaacutestico de la seccioacuten eficaz y posteriormente aplicar el factor de reduccioacuten que tiene en cuenta el fenoacuteme-no de inestabilidad por pandeo global del arco en funcioacuten de la esbeltez del mismo de forma que

qub

= quef

χ (λ) [10]

Los liacutemites de aplicacioacuten de la metodologiacutea propuesta se esta-blecen en funcioacuten de los valores liacutemite de las luces y radios de las chapas ensayadas De acuerdo a los ensayos efectuados las luces liacutemite seriacutean 3 m y 7 m y los radios deberiacutean estar comprendidos entre 38 m y 7 m No obstante tal y como se observa en la Figura 11 la funcioacuten del factor de reduccioacuten ob-tenida como envolvente inferior es monoacutetona decreciente por lo que podriacutea establecerse una limitacioacuten respecto a la esbeltez de los arcos Los valores liacutemite de la esbeltez para el caso analizado seriacutean una esbeltez miacutenima de λ

min = 20 y una

esbeltez maacutexima de λmax

= 320 Debe remarcarse que los re-sultados obtenidos son vaacutelidos uacutenicamente para chapas con una seccioacuten transversal como la indicada en la Figura 2 y con un espesor de 08 mm siendo posible realizar una extrapo-lacioacuten conservadora a chapas de mayor espesor La conside-racioacuten de chapas con distinta seccioacuten transversal modificariacutea los valores de las esbelteces bt lo que podriacutea afectar nega-tivamente al pandeo local de la misma interactuando con el pandeo global Por otro lado el ensayo de un mayor nuacutemero de chapas distintas aumentariacutea la fiabilidad del procedimien-to aquiacute propuesto siendo el nuacutemero de casos analizados en este trabajo de 3 y considerado como el miacutenimo nuacutemero de casos a analizar para el desarrollo del procedimiento

6 DETERMINACIOacuteN DEL RADIO DE CURVATURA MAacuteS ADECUADO

En la Figura 12 se muestran los valores de las cargas uacuteltimas obtenidas seguacuten el procedimiento propuesto en funcioacuten de la luz para distintos valores del radio de curvatura Asiacute se han analizado configuraciones de arcos circulares con luces comprendidas entre 30 y 70 m y radios de curvatura del arco entre 35 y 90 m

53 Obtencioacuten de un coeficiente reductor

En la Tabla 4 se muestra la relacioacuten existente entre la carga uacuteltima por resistencia y la carga uacuteltima obtenida de forma experimental La inversa de esta relacioacuten seriacutea el coeficiente reductor por el que debe multiplicarse la carga teoacuterica para obtener la carga uacuteltima real considerando fenoacutemenos de inestabilidad Teniendo en cuenta la geometriacutea de los arcos ensayados puede llegar a obtenerse una expresioacuten que rela-ciona los valores de este coeficiente reductor en funcioacuten de la luz y el radio de las chapas ensayadas La ecuacioacuten [8] mues-tra el coeficiente de reduccioacuten aplicando un coeficiente de minoracioacuten γ

Me = 116 a los resultados experimentales

χ = 0108 + (R ndash 5) 00295 + (7 ndash L) 00454 [8]

En esta expresioacuten R es el radio de curvatura de la chapa y L la distancia entre apoyos de la misma Ambas magnitudes deben introducirse en metros

Respecto al coeficiente de minoracioacuten adoptado el nuacutemero de muestras ensayadas no es suficiente para la realizacioacuten de un estudio estadiacutestico para su determinacioacuten por lo que se ha determinado un valor obtenido de forma simplificada simi-lar a lo indicado en (24) Asiacute se ha considerado que la resis-tencia caracteriacutestica de las chapas se obtiene multiplicando por 09 el menor valor de la carga uacuteltima experimental que aplicando posteriormente un coeficiente de minoracioacuten del material correspondiente a Estado Liacutemite de Inestabilidad de γ

M2 = 105 se obtiene que γ

Me = 10509 = 116

Este coeficiente reductor empiacuterico tiene en cuenta los fenoacute-menos de inestabilidad en funcioacuten de las cargas experimenta-les Esta filosofiacutea es similar a la propuesta en los Eurocoacutedigos a traveacutes de las curvas europeas de pandeo Con la intencioacuten de obtener un coeficiente reductor en funcioacuten uacutenicamente de la esbeltez del elemento se representa la ecuacioacuten [8] en funcioacuten de dicha esbeltez Como la esbeltez dada por la ecua-cioacuten [1] depende de la luz y del radio simultaacuteneamente se ha representado el coeficiente de reduccioacuten en funcioacuten de la esbeltez de forma parameacutetrica para distintos valores de la luz del arco circular (Figura 11)

Como se observa en la Figura 11 se ha representado el fac-tor de reduccioacuten de la carga uacuteltima por resistencia del arco

Figura 11 Envolvente del factor de reduccioacuten en funcioacuten de la esbeltez del arco



de pandeo que disminuye cuando aumenta la esbeltez del arco La explicacioacuten a este fenoacutemeno se debe a que al aumen-tar la distancia entre apoyos tambieacuten lo hacen los esfuerzos de flexioacuten sobre el arco y por tanto disminuye notablemente la carga uacuteltima por resistencia Por otro lado un aumento del radio disminuye estos importantes esfuerzos de flexioacuten y aunque tambieacuten aumenta la esbeltez su efecto es maacutes no-table

7 CONCLUSIONES

A la vista de los resultados obtenidos se pueden establecer las siguientes conclusiones

Se han obtenido las cargas uacuteltimas experimentales de tres ar-cos circulares con distinta geometriacutea El arco de menor esbel-tez ha experimentado fallo por pandeo simeacutetrico del mismo En el resto de arcos ensayados con una esbeltez muy supe-rior el modo de pandeo ha sido asimeacutetrico Estas conclusio-nes son consistentes con lo establecido por Pi y Bradford

Se ha determinado una funcioacuten del factor de reduccioacuten de la carga uacuteltima por resistencia sobre la seccioacuten eficaz conside-rando inestabilidad por pandeo en funcioacuten de la esbeltez del arco La forma de dicha funcioacuten es similar a la que presentan las curvas europeas de pandeo recogidas en los Eurocoacutedigos Los fenoacutemenos de inestabilidad local se consideran mediante la seccioacuten reducida

En funcioacuten de los resultados experimentales se ha establecido una metodologiacutea de caacutelculo para la estimacioacuten de la carga uacutel-tima en arcos con diferentes valores de la luz y el radio

El radio de curvatura de los arcos que proporciona las mayo-res resistencias aumenta maacutes que proporcionalmente con la distancia entre apoyos debido a que un aumento del radio disminuye notablemente los esfuerzos de flexioacuten producidos por el aumento de la luz entre apoyos

AGRADECIMIENTOS

Los autores desean agradecer a la empresa HIANSA SA la financiacioacuten para la realizacioacuten del presente trabajo a traveacutes del proyecto Estudio Numeacuterico y Experimental de Chapas Curvas (ES-04632006) Asimismo los autores agradecen a D Emilio Javier Goacutemez Aacutelvarez su inestimable colaboracioacuten en la realizacioacuten de los trabajos experimentales

Como se desprende de las curvas mostradas en la Figura 12 existen valores de los radios de curvatura de las chapas que presentan los mayores valores de las cargas uacuteltimas en fun-cioacuten de la luz que se esteacute considerando En la Tabla 5 se mues-tran los valores maacutes adecuados de los radios de curvatura en funcioacuten de la distancia entre apoyos del arco circular

Como se observa en la Tabla 5 a medida que aumenta la luz del arco es necesario aumentar en mayor proporcioacuten el ra-dio oacuteptimo de curvatura Ademaacutes tambieacuten se observa que la esbeltez maacutes adecuada del arco aumenta con la luz entre apoyos de forma que para una luz de 70 m la esbeltez oacutepti-ma del arco llega a duplicar la correspondiente a 30 m Este efecto es contrario a lo obtenido para el coeficiente reductor

Figura 12 Cargas uacuteltimas de las chapas curvas para distintas geometriacutea de arcos circulares

Tabla 5 Valores maacutes adecuados del radio de curvatura para distintas luces entre apoyos

Luz entre apoyos de la chapa (m)

Radio oacuteptimo de curvatura (m)

Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS

(1) Yu WW LaBoube RA (2010) Cold-formed steel design 4ordf Edicioacuten EEUU John Wiley amp Sons Doi httpdxdoiorg1010029780470949825

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(21) AENOR (2012) UNE-EN 1993-1-3 Eurocoacutedigo 3 Proyecto de Estructuras de Acero Parte 1-3 Reglas generales y reglas adicionales para perfiles y chapas de paredes delgadas conformadas en friacuteo Asociacioacuten Espantildeola de Normali-zacioacuten (AENOR)

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glas generales y reglas para edificacioacuten Asociacioacuten Espantildeola de Normalizacioacuten (AENOR)



1 INTRODUCCIOacuteN

La utilizacioacuten de chapas nervadas curvadas con perfiles tra-pezoidales de pequentildeo espesor es una teacutecnica comuacutenmente empleada en los cerramientos de cubierta de ciertas edifica-ciones La seccioacuten transversal de estos productos es obtenida mediante conformado en friacuteo de laacuteminas de acero de pequentildeo espesor (05-15 mm) (1) Como se trata de arcos circulares los esfuerzos a los que se encuentran sometidos seraacuten predo-minantemente de compresioacuten acompantildeado de esfuerzos de flexioacuten de valor maacutes reducido y que conlleva la necesidad de comprobacioacuten frente al fenoacutemeno de inestabilidad por pan-deo global del elemento Por otro lado el deacutebil espesor de estos elementos conjuntamente con las tensiones residuales procedentes del proceso de conformacioacuten en friacuteo genera la necesidad de un estudio detallado de estos elementos frente a fenoacutemenos de inestabilidad local de abolladura (1) Aten-diendo a la clasificacioacuten de secciones establecida en los Eu-rocoacutedigos (2) este tipo de perfiles es predominantemente de clase 4 lo que pone de manifiesto la existencia de problemas locales de abolladura

Por tanto el correcto dimensionamiento de este tipo de ele-mentos estructurales conlleva la consideracioacuten en el caacutelculo de los fenoacutemenos de inestabilidad por pandeo global del ele-mento y por pandeo local (abolladura) La inmensa mayoriacutea de coacutedigos de aplicacioacuten al caacutelculo de estructuras metaacutelicas consideran el meacutetodo de las curvas europeas de pandeo para el estudio de la inestabilidad global En este meacutetodo las im-perfecciones que producen una reduccioacuten considerable de la carga de pandeo real respecto a la teoacuterica se consideran a traveacutes de unos coeficientes de imperfeccioacuten correspondientes a cada curva de pandeo En la gran mayoriacutea de normativas se consideran uacutenicamente elementos de directriz recta exis-tiendo grandes lagunas en casos de elementos de directriz curva como los arcos circulares (3)

El estudio del pandeo de arcos ya ha sido abordado por di-versos investigadores Asiacute Fung y Kaplan en 1952 (4) Ti-moshenko y Gere en 1961 (5) y Gjelsvik y Bodner en 1962 (6) ya aportaron soluciones aproximadas para las cargas criacuteticas de pandeo de diferentes tipos de arcos Sin embar-go auacuten hoy en diacutea se encuentran publicaciones recientes sobre este tema (7) (8) (9) lo que pone de manifiesto el in-tereacutes que todaviacutea suscita No existen unas expresiones que permitan la obtencioacuten de la carga criacutetica de pandeo de un arco con cualquier distribucioacuten de carga y condiciones de contorno Los casos de carga disponibles en la bibliografiacutea y cuyas expresiones pueden resultar de faacutecil determinacioacuten se refieren uacutenicamente a casos de carga puntual (10) y car-ga en direccioacuten radial uniformemente distribuida sobre el arco (11)

En este trabajo se presenta un procedimiento de caacutelculo de la carga uacuteltima de chapas nervadas con generatriz de arco circu-lar considerando fenoacutemenos de inestabilidad global por pan-deo e inestabilidad local por abolladura Este procedimiento estaacute basado en resultados experimentales y numeacutericos ob-teniendo la carga uacuteltima de la chapa curvada en funcioacuten de su esbeltez y considerando un coeficiente de reduccioacuten por pandeo sobre la carga uacuteltima de la seccioacuten eficaz del perfil Los ensayos experimentales han puesto de manifiesto el fallo por pandeo de este tipo de elementos permitiendo establecer una funcioacuten de ajuste experimental para la determinacioacuten de la carga uacuteltima en funcioacuten de la esbeltez del elemento Por

otro lado los resultados numeacutericos han permitido la obten-cioacuten y constatacioacuten de las cargas numeacutericas de fallo por pan-deo global Mediante el procedimiento aquiacute descrito se pue-den obtener las cargas de utilizacioacuten de este tipo de cubierta con una metodologiacutea similar a la propuesta en los Eurocoacutedi-gos (2) para elementos de directriz recta sometidos predomi-nantemente a compresioacuten

2 ANTECEDENTES TEOacuteRICOS

21 Pandeo de arcos de circunferencia

Anaacutelogamente a la teoriacutea de Euler para el estudio de pandeo en elementos rectos Bradford et al (12) y Pi et al (10) (11) (13) (14) establecieron que el paraacutemetro fundamental para el pandeo de arcos circulares es su esbeltez definida por

S

i Rkλ =

sdot sdot4

2

[1]

Donde Sk es la longitud del arco de circunferencia i es el

radio de giro de la seccioacuten transversal y R el radio de cur-vatura del arco Como se observa en la ecuacioacuten [1] el con-cepto de esbeltez es ligeramente distinto que en el caso de elementos rectos En arcos circulares se puede dar el caso de elementos con la misma seccioacuten transversal y diferen-tes longitudes y radios que presenten ideacutentico valor de la esbeltez

Se considera que un arco de circunferencia puede presentar dos modos de pandeo distintos correspondientes a pandeo simeacutetrico y pandeo asimeacutetrico (Figura 1) El que se produzca antes uno u otro modo de pandeo depende de la esbeltez del elemento (10) Arcos de esbeltez reducida presentaraacuten modo de pandeo simeacutetrico frente a arcos de esbeltez elevada donde la carga criacutetica menor es la correspondiente a pandeo asimeacute-trico (12) Asiacute en arcos circulares de pequentildea esbeltez con una gran rigidez a flexioacuten el modo de pandeo preferente seraacute simeacutetrico siendo el valor del axil criacutetico

=sdotNEI

S

πcr s

x2

2

[2]

Figura 1 Pandeo simeacutetrico de un arco circular (sup) y pandeo asimeacutetrico (inf)





σ σ= minus

b

b f f1 022eff cr

y

cr

y

[4]

Donde beff









x = 256 times 10-5 mm4



y = 00012




( )

=sdotNEI

S

π

2cr a

x2

2

[3]












Chapa Luz (m)

Radio (m)

Espesor (mm)

Inercia(mm4)

Aacuterea(mm2) λ

1 32 38

08 256middot105 969

43

2 70 70 118

3 70 50 189





33 Resultados










carga qexpmin









Chapa qexpm

(daNm)

qexpmin

(daNm)


Flecha (mm)

Modo de fallo












42 Resultados







siendo

Fx F






global








x y [5]


y x [6]

int



α


q R sen sen d

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y x

2

[7]



Chapa qcr

(kNm)

1 4690

2 289

3 259



ChapaAacuterea

efectiva (mm2)


quef

(kgm) q

uef q

expq

uef q

cr

1 522 174middot105 3195 351 068

2 591 175middot105 1166 437 361

3 569 174middot105 1435 957 465





χ λλ( )+

( )1994

10569

=

[9]



uef que produce el


qub

= quef

χ (λ) [10]


min = 20 y una








χ = 0108 + (R ndash 5) 00295 + (7 ndash L) 00454 [8]




Me = 10509 = 116







7 CONCLUSIONES






AGRADECIMIENTOS








Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS
































σ σ= minus

b

b f f1 022eff cr

y

cr

y

[4]

Donde beff









x = 256 times 10-5 mm4



y = 00012




( )

=sdotNEI

S

π

2cr a

x2

2

[3]












Chapa Luz (m)

Radio (m)

Espesor (mm)

Inercia(mm4)

Aacuterea(mm2) λ

1 32 38

08 256middot105 969

43

2 70 70 118

3 70 50 189





33 Resultados










carga qexpmin









Chapa qexpm

(daNm)

qexpmin

(daNm)


Flecha (mm)

Modo de fallo












42 Resultados







siendo

Fx F






global








x y [5]


y x [6]

int



α


q R sen sen d

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y x

2

[7]



Chapa qcr

(kNm)

1 4690

2 289

3 259



ChapaAacuterea

efectiva (mm2)


quef

(kgm) q

uef q

expq

uef q

cr

1 522 174middot105 3195 351 068

2 591 175middot105 1166 437 361

3 569 174middot105 1435 957 465





χ λλ( )+

( )1994

10569

=

[9]



uef que produce el


qub

= quef

χ (λ) [10]


min = 20 y una








χ = 0108 + (R ndash 5) 00295 + (7 ndash L) 00454 [8]




Me = 10509 = 116







7 CONCLUSIONES






AGRADECIMIENTOS








Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS

































Chapa Luz (m)

Radio (m)

Espesor (mm)

Inercia(mm4)

Aacuterea(mm2) λ

1 32 38

08 256middot105 969

43

2 70 70 118

3 70 50 189





33 Resultados










carga qexpmin









Chapa qexpm

(daNm)

qexpmin

(daNm)


Flecha (mm)

Modo de fallo












42 Resultados







siendo

Fx F






global








x y [5]


y x [6]

int



α


q R sen sen d

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y x

2

[7]



Chapa qcr

(kNm)

1 4690

2 289

3 259



ChapaAacuterea

efectiva (mm2)


quef

(kgm) q

uef q

expq

uef q

cr

1 522 174middot105 3195 351 068

2 591 175middot105 1166 437 361

3 569 174middot105 1435 957 465





χ λλ( )+

( )1994

10569

=

[9]



uef que produce el


qub

= quef

χ (λ) [10]


min = 20 y una








χ = 0108 + (R ndash 5) 00295 + (7 ndash L) 00454 [8]




Me = 10509 = 116







7 CONCLUSIONES






AGRADECIMIENTOS








Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS



































carga qexpmin









Chapa qexpm

(daNm)

qexpmin

(daNm)


Flecha (mm)

Modo de fallo












42 Resultados







siendo

Fx F






global








x y [5]


y x [6]

int



α


q R sen sen d

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y x

2

[7]



Chapa qcr

(kNm)

1 4690

2 289

3 259



ChapaAacuterea

efectiva (mm2)


quef

(kgm) q

uef q

expq

uef q

cr

1 522 174middot105 3195 351 068

2 591 175middot105 1166 437 361

3 569 174middot105 1435 957 465





χ λλ( )+

( )1994

10569

=

[9]



uef que produce el


qub

= quef

χ (λ) [10]


min = 20 y una








χ = 0108 + (R ndash 5) 00295 + (7 ndash L) 00454 [8]




Me = 10509 = 116







7 CONCLUSIONES






AGRADECIMIENTOS








Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS




































42 Resultados







siendo

Fx F






global








x y [5]


y x [6]

int



α


q R sen sen d

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y x

2

[7]



Chapa qcr

(kNm)

1 4690

2 289

3 259



ChapaAacuterea

efectiva (mm2)


quef

(kgm) q

uef q

expq

uef q

cr

1 522 174middot105 3195 351 068

2 591 175middot105 1166 437 361

3 569 174middot105 1435 957 465





χ λλ( )+

( )1994

10569

=

[9]



uef que produce el


qub

= quef

χ (λ) [10]


min = 20 y una








χ = 0108 + (R ndash 5) 00295 + (7 ndash L) 00454 [8]




Me = 10509 = 116







7 CONCLUSIONES






AGRADECIMIENTOS








Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS






























siendo

Fx F






global








x y [5]


y x [6]

int



α


q R sen sen d

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

y x

2

[7]



Chapa qcr

(kNm)

1 4690

2 289

3 259



ChapaAacuterea

efectiva (mm2)


quef

(kgm) q

uef q

expq

uef q

cr

1 522 174middot105 3195 351 068

2 591 175middot105 1166 437 361

3 569 174middot105 1435 957 465





χ λλ( )+

( )1994

10569

=

[9]



uef que produce el


qub

= quef

χ (λ) [10]


min = 20 y una








χ = 0108 + (R ndash 5) 00295 + (7 ndash L) 00454 [8]




Me = 10509 = 116







7 CONCLUSIONES






AGRADECIMIENTOS








Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS
































χ λλ( )+

( )1994

10569

=

[9]



uef que produce el


qub

= quef

χ (λ) [10]


min = 20 y una








χ = 0108 + (R ndash 5) 00295 + (7 ndash L) 00454 [8]




Me = 10509 = 116







7 CONCLUSIONES






AGRADECIMIENTOS








Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS































7 CONCLUSIONES






AGRADECIMIENTOS








Esbeltez del arco

30 35 417

40 50 515

50 70 567

60 90 631

70 90 879

REFERENCIAS




























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