Procesamiento Digital de Señales: Unidad 1
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Introducción
El procesamiento de señales trata de la representación, transformación
y manipulación de señales y de la información que contienen.
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Procesamiento de señal +
+
Introducción
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Mundo real Mundo realProcesamiento
de la señal
Introducción
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Mundo real Mundo realProcesamiento
de la señal
Introducción
Procesamiento
Análogo Digital
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Introducción
El Tratamiento Digital de Señales se basa en el procesamiento de
secuencias de muestras discretas en tiempo y amplitud.
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Introducción
• Aplicaciones:
Radar
Sonar
Comunicaciones satelitales
Telefonía
Electrocardiogramas
Ultrasonidos
Terremotos
Fotografía
Video
Simulación
...
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Clasificación de señales
Señal: se define como una cantidad física que varía con el tiempo, el espacio, o cualquier otra variable o variables independientes
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Unidimensional Bididimensional
tts 5)(1 21023),( yxyxyxs
Clasificación de Señales
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Señal determinista y aleatoria
Determinista: cualquier señal que
pueda ser definida por una formamatemática explícita, un conjunto dedatos o una regla determinada.
Aleatoria: cualquier señal que no se
puede describir con un grado deprecisión razonable mediante fórmulasmatemáticas explícitas, o cuyadescripción es demasiado complicadapara ser de utilidad práctica.
sen(wt)y
1
θ(t))F(t)tA(t)sen(2π
Clasificación de señales
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Tiempo continuo, tiempo discreto
Tiempo continuo, amplitud continua.
Tiempo discreto, amplitud continua
Tiempo continuo, amplitud discreta
Tiempo discreto, amplitud discreta
Clasificación de señales
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Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo continuo
• Para todo valor fijo de la frecuencia 𝑓𝑜, 𝑥(𝑡) es periódica.
ttfAtx ),2cos()( 0
)()( txTtx P 0
1f
TP donde es el periodo fundamental
• Las señales en tiempo continuo con frecuencias diferentes, son diferentes.
• El aumento en la frecuencia 𝑓0 resulta en un aumento en la tasa de oscilación de la señal en un intervalo de tiempo dado.
Clasificación de señales
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 12
Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo continuo
)(
2
)(
2)cos()( tjAtjA eetAtx
Fasores de una señal sinusoidal con frecuencias positivas y negativas.
Clasificación de señalesPropiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto
nnFAnx ),2cos()( 0
0FW 2
w : frecuencia en tiempo continuo expresada en
radianes
f0 : frecuencia de señal en tiempo continuo
fs : frecuencia de muestreo
N : periodo fundamental en tiempo discreto
Fo : frecuencia de señal en tiempo discreto,
normalizada o relativa
W : frecuencia en tiempo discreto expresada en
radianes
sff00F
Clasificación de señales
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Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto
121
0 F
3
Periodo fundamental, N
Clasificación de señales
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Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto
1. Una sinusoide en tiempo discreto es periódica solo si su frecuencia
Fo es un número racional.
)()( nxNnx para todo n
kNF 22 0 N
kF 0 k: número entero
Clasificación de señalesPropiedades de la señal sinusoidal en tiempo disreto
2. Las sinusoides en tiempo discreto cuyas frecuencias están separadas por
un múltiplo de 2𝜋 son idénticas.
)cos()2(cos WnnW
Rango de frecuencias únicas: W ó21
21 oF
Rango de frecuencias alias: WF0 ó21
Clasificación de señales
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Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto
Ejercicios:
1. Demostrar la segunda propiedad.
2. Demostrar que el denominador de F0 es igual al número de muestras por ciclo.
3. Para un tamaño de muestra dado, la mayor tasa de oscilación en
una sinusoide en tiempo discreto se alcanza cuando W = 𝜋 ó W =
− 𝜋 ó, equivalente, F0 =1
2ó F0 = −
1
2
Clasificación de señales
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Propiedades de la señal sinusoidal en tiempo discreto
N
F
W
0 0
0
16
161
8
N
F
W
0
4
41
2
N
F
W
0
2
21
N
F
W
0
Clasificación de señales
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Señales de energía y señales de potencia
n
nxE2
)(
La energía de una señal x(n) se define como:
La energía de una señal puede ser finita o infinita. Si E es finita (es decir,
0 < E < ∞), entonces se dice que x(n) es una señal de energía.
Clasificación de señales
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Señales de energía y señales de potencia
N
NnNnx
NP
2)(
12
1lim
La potencia media de una señal discreta en el tiempo x(n) se define como:
Si P es finita (y distinta de cero), la señal se denomina señal de potencia.
Por otra parte, si E es infinita, la potencia media P puede ser tanto finita
como infinita.
1
0
21 )(N
nN
nxP
Señal periódica Señal NO periódica
Clasificación de señales
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Señales de energía y señales de potencia
Ejemplo: Determine la potencia y energía de la secuencia escalón unidad.
21
/12/11
121
0
2
121 limlim)(lim
NN
NN
N
N
N
nN
NnuP
La secuencia escalón unidad es una señal de potencia. Su energía es
infinita. Todas las señales periódicas son señales de potencia.
Clasificación de señales
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Señales de energía y señales de potencia
E = finita -> P media = 0 : Señal de Energía
E = Infinita -> P media = [Finita, Infinita],
P media = Finita : Señal de Potencia
Clasificación de señales
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Señales simétricas y antisimétricas
x(n)n)x(
Se denomina simétrica o par:
Se denomina antisimétrica, o impar:
x(n)n)x(
Clasificación de señales
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Señales periódicas y señales No periódicas
Una señal periódica se define como:
)()( nxNnx Para todo n
Si la relación anterior no se verifica para ninguna N, entonces se dice
que es aperiódica.
Clasificación de señales
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Señales periódicas y señales No periódicas
La energía de una señal periódica en un periodo finito es finita. Cuando
toma valores desde −∞ < n < ∞ su energía es infinita.
Clasificación de señales
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 26
Señales periódicas y señales No periódicas
La potencia media de una señal periódica es finita y es igual a la potencia
media sobre un único periodo.
Potencia media de una señal periódica con periodo fundamental N y de
valores finitos:
1N
0n
2
N1 x(n)P
Las señales periódicas son señales de potencia.
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Conversión analógico-digital
Muestreo Cuantificación Codificación
Señal analógica
Señal en tiempodiscreto
Señal cuantificada
Señal digital
)(txa x(n) (n)x q 0101100…
Conversión analógico-digital
Muestreo
Conversión de una señal en tiempo continuo en una señal en tiempo
discreto obtenida tomando “muestras” de la señal en tiempo continuo en
instantes de tiempo discreto.
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Muestreo
Conversión analógico-digital
Cuantificación
Conversión de una señal en tiempo discreto con valores continuos a una
señal en tiempo discreto con valores discretos.
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Cuantificación
Conversión analógico-digital
Codificación
En el proceso de codificación, cada valor discreto se representa mediante
una secuencia binaria de bits.
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Codificación
0101100…
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 31
sfnTt n sff 0F0
sTWfs = 1/T, Hz
Donde:
θ)tπf((t)xa 02cosA
sf
f
s ATfATn
a n)(nx 02
0 cos)2cos(
Señal en tiempo continuo
Señal muestreada
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 32
Morfología de la señal muestreada
sff 0F0
xa(t)
x(n)=xa(nt)
n
Ts
Periodo de muestreo o
intervalo de muestreo
Teorema del Muestreo
La frecuencia de muestreo de una señal cualquiera debe ser al menos dos
veces la frecuencia mas alta conocida.
El concepto central en el procesamiento digital de señales analógicas es
que la señal muestreada debe ser una representación única de la señal
analógica.
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 33
Teorema del Muestreo
Bf max0Frecuencia de Nyquist:
max022 fBfs
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 34
A la frecuencia de Nyquist se toman dos muestras por periodo de la señalanalógica.
Teorema del Muestreo
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 35
Teorema del Muestreo
)20cos()(1 ttx
)100cos()(2 ttx
Dos señales son muestreadas a una velocidad de 40 Hz.
Determinar las señales resultantes.
Ejercicio:
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 36
Frecuencias alias o solapamiento
Solapamiento (aliasing)
Distorsión provocada debido a que la frecuencia de muestreo es
menor al doble de la frecuencia de la señal a muestrear y su efecto
reside en la perdida de información a estas frecuencias.
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 37
Frecuencia fundamental f0 = 50 Hz, 1er Alias a f0 = 150 Hz, 2do Alias a f0 = 350
Hz, Frecuencia de muestreo fs = 200 Hz
Frecuencias alias o solapamiento
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 38
Frecuencias alias o solapamiento
Tarea: Investigar la aplicaciones del solapamiento.
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 39
Ejemplos
Considere la siguiente señal:
ttxa 100cos3)(
• Determine la velocidad de muestreo mínima para evitar el solapamiento.
• Suponga que la señal se muestrea a una velocidad fs = 200 Hz,
¿Cuál es la señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?
• Suponga que la señal se muestrea a una velocidad fs = 75 Hz. ¿Cuál
es la señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo?
• ¿Cuál es la frecuencia 0<f0<fs /2 de una sinusoide que produce
muestras idénticas a las obtenidas en el apartado c)?
Conversión analógico-digital
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 40
Ejemplos
)2sin()( 0 tfAtx
b) Utilizando los siguientes parámetros, representar 25 puntos de la función:
Hzf 17500 Hzf s 4000 o45
a) ¿cuál es la frecuencia de muestreo mínima si fo=1500 Hz?
c) Utilizar los mismos parámetros y graficar una ventana de 25 ms de la señal.
Dada la siguiente función:
1. Determine si cada una de las señales siguientes es periódica. En caso afirmativo, especifique su periodo fundamental.
a)
b)
c)
d)
e)
Ejercicios: Unidad 1
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 42
)6/5cos(3)( ttxa
)6/5cos(3 nx(n)
)6/(exp2 nx(n) j
)8/cos()8/cos( nnx(n)
)3/4/cos(3)8/()2/cos( nnnx(n) sen
2. Considere la siguiente señal sinusoidal analógica:
a) Dibuje la señal xa(t) para 0 ≤ t ≤ 30 ms.
b) La señal xa(t) se muestrea con una tasa de fs=300 muestras/seg. Determine la
frecuencia de la señal en tiempo discreto x (n)=xa (nT), T=1/fs, y demuestre
que es periódica.
c) Calcule los valores de las muestras de un periodo de x (n). Dibuje x (n) en el
mismo diagrama de xa(t ). ¿Cuál es el periodo en milisegundos de la señal en
tiempo discreto?
d) ¿Podría encontrar una tasa de muestreo fs tal que la señal alcance su valor de
pico x (n ) de 3?. ¿Cuál es el valor mínimo de fs adecuado, para esta tarea?
Ejercicios: Unidad 1
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 43
)100(3)( tsentxa
Ejercicios: Unidad 1
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 44
3. Una señal analógica contiene frecuencias hasta los 10 Khz.
a) ¿Qué intervalo de frecuencias de muestreo permite su
reconstrucción exacta a partir de sus muestras?
b) Suponga que muestreamos esta señal con una frecuencia de
muestreo fs = 8 Khz. Examine lo que ocurre con la frecuencia fo =
5 Khz.
c) Repita el apartado b) para una frecuencia fo = 9 Khz.
Ejercicios: Unidad 1
Rev. Enero/2017 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca, UAN 45
4. Una señal analógica xa(t) = sen (480𝜋t) + 3 sen (720𝜋t) se muestrea
600 veces por segundo.
a) Determine la tasa de Nyquist para xa (t).
b) Determine la máxima frecuencia a la que se puede muestrear para
que no exista ambigüedad al reconstruir la señal original.
c) ¿Cuáles son las frecuencias, en radianes, de la señal resultante x
(n)?
d) Si x (n ) se pasa a través de un conversor D/A ideal, ¿Cuál es la
señal reconstruida ya (t) que se obtiene?