PROCESOS DE NACIMIENTO Y MUERTE PARA POBLACIONES EN UN MEDIO AMBIENTE ESTÁTICO

M. Angélica Maulén-Yañez (1) y Eduardo González-Olivares (2)

 

(1) Instituto de Estadística, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.(2)Grupo de Ecología Matemática, Instituto de Matemática, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso. 

Xt: nº de individuos vivos en el instante t 

es decir Xt: tamaño de la población en el instante t , 

Si la población es de tamaño n en el instante t, se dirá que está en el estado n en el instante t.

IP(Xt=n) denotará a P(n,t).

En lo que sigue (Xt)t 0 será un proceso esto - cástico que toma valores en N0, considerandolas variables aleatoria

and

Función generadora de Probabilidad

Si t

X es una variable aleatoria tal que

A = Rec (t

X ) , la función generadora de probabilidad

(p.g.f. ) de t X es la función

tXG : IR IR con

tXG ( s) = E( tX

s )

i.e .

tXG (s) = )(n

tXp

nns = )(

1ntXIP

nns

= )(ntX

pAn

ns

tXG ( s) se denotará por G(s,t)

Propiedades

1. tX

G (1) = E(1) =1

2. )( j

tXG (0) = j! j

tXp ( )

3. G’ (1) =

1),(

ntnnP = E(X)

4. s

tsG

),( = ),(1

1 tnPn

nns

5. 2

),(2

s

tsG

= ),(

22)1( tnP

nnsnn

6. t

tsG

),( =

1nns P’(n,t)

Xt

Dos variables aleatorias discretas tienen la misma función de distribución si y sólo si poseen la misma función generadora de probabilidad

Procesos de Nacimiento y Muerte

En un sistema ecológico con dinámica estocástica ,en el cual se desea conocer el tamaño de la población, el conocimiento de un estado en particular en un tiempo dado no puede predecir sus estados en cualquier tiempo futuro.

(X t) t 0 es un proceso de nacimiento y muerte si verifica lo siguiente:

dtont

Xt

Xdtt

XIP

dtont

Xt

Xdtt

XIP

dtdtonnnt

Xndtt

XIP

dtodtnnt

Xndtt

XIP

dtodtnnt

Xndtt

XPI

/1

/1

)(1/

/1

/1

donde

0)(lim

0

dtdto

dt

Nacimiento y muerte occurren en forma independiente. son llamadas tasa de nacimiento y muerte respectivamente cuando la población está en el estado n,

Un proceso de nacimiento y muerte es un proceso de nacimiento puro si verifica lo siguiente :

nn y0

0

dtont

Xt

Xdtt

XIP

dtdtonnt

Xndtt

XIP

dtodtnnt

Xndtt

XPI

/1

)(1/

/1

 

Teorema 1Si es un proceso de nacimiento y muerte con tasas de

nacimiento y muerte y respectivamente entonces

 

0)(

ttX

n n

 

11,1

2,2,1

1),1(,0

,1

,11

,1,

tPtPdt

tdP

ytPdt

tdPnntnP

ntnP

ntnP

dttndP

Corolario 2Si es un proceso de nacimiento puro con tasa de

nacimiento entonces

0)(

ttX

n

0

),0(,0

,1

,1,

tPdt

tdPntnP

ntnP

dttndP

Modelo 1 Considera una población en un estado en el cual la tasa de sálida y de entrada al estado son iguales, es decir

= 0. Así

Llamada ecuación de balance o estado de equilibrio. En esta situación se demuestra usando un método de iteración que para cualquier estado n

= Cn donde Cn =

dt

tndP ,

nntnP

ntnP

ntnP ),(

1,1

1,1

),( tnP ),0( tP

n

i i

i1

1

Modelo 2La población que se considera está solamente sometida a un proceso

de nacimiento puro con tasa de crecimiento, , constante por unidad de tiempo, independiente del estado de la población. Este modelo no es muy factible de usar en poblaciones biológicas si lo es por ejemplo en teoría de colas .Al sustituir en la ecuación dada del Corolario 2 se obtiene

),0(,0

,1,,

tPdt

tdP

tnPtnPdt

tndP

Asumiedo X0 =0 , la condición inicial y para cualquier n.

Multiplicando la primera ecuación por , sumando de 1 to y agregandoel caso =0 se obtiene

1)0,0( P 0)0,( nPns

n

 P’(n,t) = - +

 

0nns

0),(

ntnPns

1),1(

ntnPns

= - +

0),(

ntnPns

0),(

ntnPnss

Por lo tanto = - = -

ttsG

),( ),(),( tssGtsG

),()1( tsGs

Que corresponde a la ecuación en derivadas parciales

= i.e.

ln(G(s,t)) =

),(),(

tsGtsG ts )1(

cts )1(

Para determinar el valor de c se usan las condiciones iniciales y que

G(s,t) =

cuando t=0 , se obtiene G(s,0) =1. Así ec = 1, i.e. c=0.

0),(

ntnPns

Por lo tanto G(s,t) = exp( ).

La cual corresponde al p.g.f. de una distribución Poisson con media , i.e. Xt ~ P( ).

ts )1(

tt

Modelo 3Se considera una población con el número de nacimientos proporcional a su tamaño y cada organismo con una tasa fija de reproducción, . La tasa de nacimiento es . Esta situación es más realista que la anterior, pero es bioiológicamente simple.

Las ecuaciones obtenidas a partir del corolario 2 son

  

   

Asumiendo las condiciones iniciales , y para n >1 .

y

n n

00),0(,0

)1(,1,,

tPdt

tdP

ntnPntnPdt

tndP

1)0,1( P

0),0( tP

0)0,( nP

De forma similar al modelo previo se obtiene

=

Que es una ecuación lineal en derivadas parciales de primer orden , susolución es 

G(s,t) =  

la que corresponde a la p.g.f. de la distribución Geométrica, i.e. Xt ~ G( ).

ttsG

),(

stsGss

),()1(

1))1(1( tsestse

te

Modelo 4En este modelo se analizará una población sometida a un proceso

con una tasa de nacimiento que decrece cuando el tamaño de la población crece. Se asume un tamaño de la población máximo, llamado capacidad de soporte, se denotará por K. Limites de espacio o restricciones de comida pueden causar este escenario.

si n K y para n > K 

Al sustituir en la ecuación del Corolario 2 queda  

para 1 n K

y  

Asumiendo la condición inicial y para n 1 y .

)( nKn

0n

))1((,1)(,, nKtnPnKtnPdt

tndP

)1(),1(,1 KtPdt

tdP

1)0,1( P 0)0,( nP 0),0( tP

En forma similar al modelo previo se obtiene 

 

= - K(1– s)G(s,t) + ( 1– s)  

que corresponde a una ecuación diferencial en derivadas parciales lineal de primer orden. La solución es 

G(s,t) = . 

Por lo tanto donde es una variable aleatoria con distribución

binomial con parámetros K-1 y , i.e. ~ b(K-1, ) .

Si se asume que el tamaño inicial de la población es is m entonces

G(s,t) = con donde es una variable

aleatoria con distribución b(K-1, ).

ttsG

),( s s

tsG

),(

1))1(( Ktestes

1t

Yt

X tY

)1( te

tY

)1( te

1))1(( Ktestems mt

Yt

X

tY )1( te

Modelo 5

Este último modelo , considera que cualquier organismo podría normalmente reproducirse con la misma tasa, , pero sujeto a la capacidad de soporte, K. Bajo estas condiciones la tasa de crecimiento de la población es presentada como un producto donde un factor es la tasa de nacimiento de la población, considerada como proporcional a su tamaño y el otro factor es una proporción de organismo que autoregula o amortigua esta conducta de acuerdo al tamaño de la Población sujeta a la limitación de la capacidad de soporte. Sólo sa presentan dos casos de procesos biológicos bajo estas condiciones, para los cuales

)(K

nKnn

Para el primero se interpreta que cuando el tamaño de la población, n, crece, la tasa de nacimiento por individuo decrece. Cuando n es pequeño con respecto a K , la tasa de nacimiento, , es cercana a n . Cuando n es

grande con respecto a K, la tasa de nacimiento se aproxima a 0.

En el segundo caso se interpreta como un modelo simple de epidemia, en el cual la enfermedad es contagiosa, y existen K individuos en total. de los cuales

, es la proporción de susceptible.

También se asume assume que un individuo infectado permanece infectado. Así existen sólo dos estados posibles, infectado y suceptible, el individuo puede ir del estado susceptible al infeccioso, pero no volver.Se asumen mezclas homogéneas entre susceptible al infeccioso. Resumiendo

n

KnK

: tasa de of infeción cuando hay n individuos infectados

n : numero de infectados

K : total de la población,

: proporción de susceptibles

Se puede interpretar que cuando n es pequeño, la tasa de infeción es grande, ya que existen muchos susceptibles en contacto con los infecciosos . Cuando el número de infectados crece el número de susceptibles baja, el numero de posibles nuevos casos y así es más pequeña.

Al substituir en la ecuación del Corolario 2 se tiene

n

KnK

n

n

para 1 n K

y .

 

Asumiendo las condiciones iniciales , y para cualquier n 1, en forma similar al modelo anterior se obtiene  = +

 

La cual es una ecuación diferencial lineal en derivadas parciales de segundo ordenr.

No ha sido posible encontrar la solución. En este trabajo se deja propuesta.

 

))1()(1(,1)(,,

KnKntnP

KnKtnP

dttndP

00),(, tKP

dt

tKdP )

1(),1(,1K

KtPdt

tdP

1)0,1( P 0)0,( nP

ttsG

),(

stsGKss

K ),()1)(1(

2),(2)1(2

s

tsGK

ss