PRODUCTOS NOTABLES 3° Profr. Ricardo A. Castro Rico.
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PRODUCTOS NOTABLES
3°
Profr. Ricardo A. Castro Rico
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EFECTUAR O SIMPLIFICAR CALCULOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
PRODUCTOS NOTABLES
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PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
( x + a ) ( x – a )
PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
( x + a ) ( x + b )
BINOMIO AL CUADRADO
( x + a ) 2
PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA
( a x + c ) ( bx + d )
APLICACION EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS
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PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
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MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
( x + 3 ) ( x - 3 ) = x2 - 3x + 3x - 9 = x2 - 9
¿ Qué nombre reciben las cantidades que se multiplican?
( x + 3 ) ( x - 3 ) FACTORES
¿ Qué nombre recibe el resultado de una multiplicación?
PRODUCTO x2 - 9
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( x + 3 ) ( x - 3 ) x2 - 9
OBSERVA
=
FACTORES PRODUCTO
ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE
¿ QUE OBSERVAS ?
UN SIGNO ES DIFERENTESON LOS MISMOS TERMINOS
PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
( x + 3 ) ( x - 3 )
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( x + 3 ) ( x - 3 )
x2 - 9
OBSERVA
=
PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS x • x 3 • 3
DIFERENCIA
CUADRADOS
PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
DIFERENCIA DE CUADRADOS
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( x + 3 ) ( x - 3 )
x2 9
OBSERVA
=
PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS x • x 3 • 3
DIFERENCIA
CUADRADOS
¿ COMO SE FORMA LA DIFERENCIA DE CUADRADOS ?
x2 9
x • x 3 • 3
DIFERENCIA
CUADRADO DEL PRIMER TERMINO
CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO
-
-
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PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
x • x 9 • 9
DIFERENCIA
CUADRADO DEL PRIMER TERMINO
CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO
( x + 9 ) ( x - 9 ) = x2 81-
CUADRADO DEL PRIMER TERMINO
CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO-
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x • x 8 • 8CUADRADO DEL PRIMER TERMINO
CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO
( x + 8 ) ( x - 8 ) = x2 64-
5x • 5x 2 • 2CUADRADO DEL PRIMER TERMINO
CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO
( 5x + 2 ) ( 5x - 2 ) = 25x2 4-
Profr. Ricardo A. Castro Rico
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3x • 3x 8y • 8yCUADRADO DEL PRIMER TERMINO
CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO
( 3x – 8y ) ( 3x + 8y ) = 9x2 64y2-
7x • 7x 2z • 2zCUADRADO DEL PRIMER TERMINO
CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO
( 7x - 2z ) ( 7x + 2z ) = 49x2 4z2-
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4x • 4x 3y • 3yCUADRADO DEL PRIMER TERMINO
CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO
( 4x – 3y ) ( 4x + 3y ) = 16x2 9y2-
EN LOS EJERCICIOS QUE RESOLVISTE ANTERIORMENTE¿CUAL DE LOS CUADRADOS TIENE SIGNO NEGATIVO?
TERMINO QUE TIENE LOS SIGNOS DIFERENTES
3y • 3y 4x • 4x
CUADRADO DEL TERMINO CON
SIGNOS IGUALES
CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS
DIFERENTES
( -4x + 3y ) ( 4x + 3y ) = 9y2 16x2-
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( 7x2 – 3y3 ) ( - 7x2 - 3y3 ) = 9y6 49x4-
3y3 • 3y3 7x2 • 7x2
CUADRADO DEL TERMINO CON
SIGNOS IGUALES
CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS
DIFERENTES
( - 8x – 5y ) ( - 8x + 5y ) = 64x2 25y2
8x • 8x 5y • 5y
CUADRADO DEL TERMINO CON
SIGNOS IGUALES
CUADRADO DEL TERMINO CON SIGNOS
DIFERENTES
-
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PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
( x2 - y3 ) ( x2 + y3 )
( 9x + 4y4 ) ( 9x – 4y4 ) 81x2 - 16y8
( b5 - 4h2 ) ( b5 + 4h2 ) b10 - 16h4
( xa + yb ) ( xa - yb )
x2a - y2b
( 5 – 4x ) ( - 5 – 4x ) 16x2 - 25
( - m – n ) ( - m + n ) m2 - n2
( 9x-2 + 7 ) ( 9x-2 - 7 ) 81x-4 - 49
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x4 - y6
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PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
( x6 - y ) ( x6 + y )
( 9xa + 4yb ) ( 9xa – 4yb )
81x2a - 16y2b
( - b7 + 6h-2 ) ( b7 + 6h-2 )
36h-4 - b14
( x2m + y5n ) ( x2m - y5n )
x4m - y10n
( 1 – 8x ) ( - 1 – 8x ) 64x2 - 1
( - m-2 – n ) ( - m-2 + n ) m-4 - n2
( x-2 + 3 ) ( x-2 - 3 ) x-4 - 9
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
x12 - y2
MENU
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PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
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MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 18
ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE
¿ QUE OBSERVAS ?
( x + 6 ) ( x + 3 )
x SE REPITE EN CADA UNO DE LOS BINOMIOS
RECIBEN EL NOMBRE DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
+ 9x
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OBSERVA
( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 18+ 9x
Producto binomios con término común
Tres términoTrinomio cuadrado
Término al cuadrado
Producto de dos binomios con término común es un trinomio cuadrado
( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 9x + 18
Trinomio cuadrado es un producto de binomios con término común
( x + 6 ) ( x + 3 )=x2 + 9x + 18
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( x + 6 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 6x + 18 = x2 + 9x + 18
OBSERVA
TERMINO COMUN AL CUADRADOx • x
¿ QUE HICE PARA ENCONTRAR x2 ?
TERMINO COMUN
TERMINOS NO COMUNES
x ( 3 + 6 )
¿ COMO ENCONTRE + 9x ?
MULTIPLIQUE LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS TERMINOS NO COMUNES POR EL TERMINO COMUN
x ( 3 + 6 )
MULTIPLIQUE LOS TERMINOS NO COMUNES6 • 3
¿ QUE HICE PARA ENCONTRAR + 18 ?
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( x + 9 ) ( x + 5 ) = x2 + 14x + 45
PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
TERMINO COMUN
TERMINOS NO COMUNES
TRINOMIO CUADRADO
CUADRADO DEL TERMINO COMUN( x ) ( x )
SUMA ALGEBRAICA NO COMUNES MULTIPLICADA POR EL TERMINO COMUNx ( 9 + 5 )
PRODUCTO DE TERMINOS NO COMUNES( 9 ) ( 5 )
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( 5x - 9 ) ( 5x + 2 ) = 25x2 - 35x - 18
TERMINO COMUN
TERMINOS NO COMUNES
TRINOMIO CUADRADO
CUADRADO DEL TERMINO COMUN( 5x ) ( 5x )
SUMA ALGEBRAICA NO COMUNES MULTIPLICADA POR EL TERMINO COMUN5x ( - 9 + 2 )
PRODUCTO DE TERMINOS NO COMUNES( - 9 ) ( + 2 )
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( 3x - 8 ) ( 3x - 1 ) = 9x2 - 27x + 8
TERMINO COMUN
TERMINOS NO COMUNES
3x ( - 8 - 1 ) ( - 8 ) ( - 1 )
( 4x + 8 ) ( 4x - 5 ) = 16x2 + 12x - 40
TERMINO COMUN
TERMINOS NO COMUNES
4x ( + 8 - 5 ) ( + 8 ) ( - 5 )
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( 6x - 3 ) ( 6x + 1 ) = 36x2 - 12x - 3
TERMINO COMUN
TERMINOS NO COMUNES
6x ( - 3 + 1 ) ( - 3 ) ( + 1 )
( 9x + 2 ) ( 9x - 7 ) = 81x2 - 45x - 14
TERMINO COMUN
TERMINOS NO COMUNES
9x ( + 2 - 7 ) ( + 2 ) ( - 7 )
Profr. Ricardo A. Castro Rico
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PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
( x – 11 ) ( x + 3 ) x2 - 8x - 33
( 4x + 11 ) ( 4x – 2 ) 16x2 + 36x - 22
( x – 10 ) ( x – 3 ) x2 - 13x + 30
( 2x + 5 ) ( 2x – 9 ) 4x2 - 8x - 45
( 11x – 1 ) ( 11x + 7 ) 121x2 + 66x - 7
( x – 12 ) ( x + 14 ) x2 + 2x - 168
( 7x – 5 ) ( 7x + 8 ) 49x2 + 21x - 40
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
( x – 10 ) ( x + 2 ) x2 - 8x - 20
( 4x + 10 ) ( 4x – 8 ) 16x2 + 8x - 80
( x + 15 ) ( x – 3 ) x2 + 12x - 45
( 3x + 6 ) ( 3x – 7 ) 9x2 - 3x - 42
( 10x – 4 ) ( 10x + 6 ) 100x2 + 20x - 24
( x – 2 ) ( x + 13 ) x2 + 11x - 26
( 6x – 9 ) ( 6x + 1 ) 36x2 - 48x - 9
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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PRODUCTO DE BINOMIOS CON TERMINO COMUN
( x – 1 ) ( x + 6 ) x2 + 5x - 6
( 5x + 10 ) ( 5x – 4 ) 25x2 + 30x - 40
( 11x + 1 ) ( 11x – 3 ) 121x2 - 22x - 3
( 6x + 2 ) ( 6x – 11 ) 36x2 - 54x - 22
( 10x – 1 ) ( 10x + 6 ) 100x2 + 50x - 6
( x – 3 ) ( x + 12 ) x2 + 9x - 36
( 3x – 8 ) ( 3x + 1 ) 9x2 - 21x - 8
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
MENU
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BINOMIO AL CUADRADO
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MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
( x + 8 ) ( x + 8 ) = x2 + 8x + 8x + 64 = x2 + 64
ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE
¿ QUE OBSERVAS ?
( x + 8 ) ( x + 8 )
LOS BINOMIOS SON IGUALES
¿ DE QUE OTRA MANERA SE PUEDE REPRESENTAR
+ 16x
( x + 8 )2
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( x + 8 ) ( x + 8 ) = x2 + 8x + 8x + 64 = x2 + 64+ 16x
2 ( 8 ) ( x )
( x + 8 )2 = x2 + 64+ 16x
BINOMIO AL CUADRO ES IGUAL A UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO FORMADO POR DOS CUADRADO Y UN DOBLE PRODUCTO
2 ( 8 ) ( x )x • x 8 • 8 Cuadrado
del primer términoCuadrado
del segundo término
Doble productoPrimero por segundo
Profr. Ricardo A. Castro Rico
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=
x2 + 64 + 16x
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ES IGUAL A UN BINOMIO AL CUADRADO
( x + 8 )2
CARACTERISTICAS DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
x2 + 64+ 16x
2 ( x ) ( 8 )x • x 8 • 8 Cuadrado
del primer términoCuadrado
del segundo término
Doble productoPrimero por segundo
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x2 + 64+ 16x ( x + 8 ) 2 =
1°Cuadrado
2°Cuadrado
BINOMIO AL CUADRADO
Doble producto
x2 + 81- 18x ( x - 9 ) 2 =
1°Cuadrado
2°Cuadrado
Doble producto
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4x2 + 9y2+ 12xy ( 2x + 3y ) 2 =
1°Cuadrado
2°Cuadrado
Doble producto
16x2 + 25y2- 40xy ( 4x - 5y ) 2 =
1°Cuadrado
2°Cuadrado
Doble producto
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49x6 + 4y4+ 28x3y2 ( 7x3 + 2y2 ) 2 =
1°Cuadrado
2°Cuadrado
Doble producto
64x10 + 25x4- 80x7 ( 8x5 - 5x2 ) 2 =
1°Cuadrado
2°Cuadrado
Doble producto
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BINOMIO AL CUADRADO
( x 2 + 7 )2 x4 + 14x2 + 49
( 2x – 5y )2 4x2 - 20xy + 25y2
( 4x3 – 7y2 )2 16x6 - 56x3y2 + 49y4
( a – b )2 a2 - 2ab + b2
( y – 12 )2 y2 - 24y + 144
( 12 – 3b )2 144 - 72b + 9b2
( x + y )2 x2 + 2xy + y2
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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BINOMIO AL CUADRADO
( x 2 + 7y )2 x4 + 14x2y + 49y2
( 7x – 2y )2 49x2 - 28xy + 4y2
( 9x3 – 7y5 )2 81x6 - 126x3y5 + 49y10
( 11a – b )2 121a2 - 22ab + b2
( 8y – 12z )2 64y2 - 192yz + 144z2
( 2ab – 3ba )2 4a2b - 12abba + 9b2a
( 5x - 6y )2 25x2 - 60xy + 36y2
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
MENU
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PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA
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MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) = 10x2 + 5x + 16x + 8 = 10x2 + 8
ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE
¿ QUE OBSERVAS ?
( 5x + 8 ) ( 2x + 1 )
NO TIENEN TERMINOS COMUNES
ES UN PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA
+ 21x
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( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) = 10x2 + 8 + 21x
10x2 + 5x + 16x + 8 = 10x2 + 8 + 21x( 5x + 8 ) ( 2x + 1 ) =
Producto de binomios cualesquiera
Trinomio cuadrado
+ 5x + 16x
OBSERVA
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PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA
12x2 - 7 + 17x
+ 21x - 4x
12x2 - 18 + 50x
- 4x + 54x
( 3x - 1 ) ( 4x + 7 ) =
( 2x + 9 ) ( 6x - 2 ) =
Profr. Ricardo A. Castro Rico
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49x2 - 1
+ 7x - 7x
4x2 - 18 + 6x
- 6x + 12x
( 7x - 1 ) ( 7x + 1 ) =
( 2x + 6 ) ( 2x - 3 ) =
PRODUCTO BINOMIOS CONJUGADOS
PRODUCTO BINOMIOS CON TERMINO COMUN
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PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA
( 4x – 7 ) ( 2x + 3 ) 8x2 - 2x - 21
( 5x + 2 ) ( 5x – 2 ) 25x2 - 4
( 6x – 5 ) ( 6x – 3 ) 36x2 - 48x + 15
( 3x + 1 ) ( x + 8 ) 3x2 + 25x + 8
( 2y – 5 ) ( 7y + 3 ) 14y2 - 29y - 15
( 8x + 2 ) ( 3x – 5 ) 24x2 - 34x - 10
( 2x – 1 ) ( 9x + 5 ) 18x2 + x - 5
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
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PRODUCTO DE BINOMIOS CUALESQUIERA
( 5x – 1 ) ( 2x + 4 ) 10x2 + 18x - 4
( x + 9 ) ( 5x + 3 ) 5x2 + 48x + 27
( 6x + 1 ) ( 7x – 5 ) 42x2 - 23x - 5
( 3x + 5 ) ( x - 8 ) 3x2 - 19x - 40
( 2y + 7 ) ( 7y + 1 ) 14y2 + 51y + 7
( 8x + 4 ) ( 3x – 5 ) 24x2 - 28x - 20
( 2x – 1 ) ( 2x + 1 ) 4x2 - 1
Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse
MENU
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Aplicación de los productos notables
Se representa como un producto de binomios
55 x 45
( 50 + 5 ) ( 50 - 5 )
=
=
Resolvemos por inspección
( 50 + 5 ) ( 50 - 5 ) = 2500
= 2475
2475
- 25
EJEMPLO 1
Descomponemos en dos números, de uno de ellos conocemos su cuadrado
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Se representa como un producto de binomios
23 x 25
( 20 + 3 ) ( 20 + 5 )
=
=
Resolvemos por inspección
( 20 + 3 ) ( 20 + 5 ) = 400 + 160 + 15 = 575
575
EJEMPLO 2
Profr. Ricardo A. Castro Rico
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Se representa como un producto de binomios
232
( 20 + 3 )2
=
=
Resolvemos por inspección
( 20 + 3 )2 = 400 + 120 + 9 = 529
529
EJEMPLO 3
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El área de un rectángulo equivale a 30 m2, sabemos que su base es un metro mayor que la altura, ¿ qué ecuación cuadrática nos permite encontrar sus dimensiones?
EJEMPLO 4
AREA = 30 m2
base
altura
x
x + 1
Base por altura = área
x2 + x – 30 = 0
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Observa la siguiente expresión algebraica escrita en una hoja de papel:
EJEMPLO 5
¿ Qué expresión ha sido cubierta por la camisa ?
x + 3
( x + 5 ) = x2 + 8x + 15
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Observa la siguiente figura:Si queremos encontrar el valor de x en la figura, ¿cuál de las siguientes ecuaciones debemos resolver ?
A. 4x2 + 12x – 10 = 0
B. 4x2 + 12x + 5 = 0
C. 4x2 + 12x + 10 = 0
D. 4x2 + 12x = 0
PROBLEMA 6
Area = 5
2x + 5
2x + 1
4x2 + 12x = 0
Profr. Ricardo A. Castro Rico
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x
x
y
y
En la ilustración se muestra la maqueta del departamento de Armando.
Escribe la expresión que representa un lado del departamento:
x + y
¿ Qué expresión representa el área?
SALA x2
COCINA xy
BAÑO y2
RECAMARAxy
DEPARTAMENTO
x2 + 2xy + y2Tiene la forma de un cuadrado.
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Aplicación de los productos notables
Se representa como un producto de binomios
32 x 28
( 30 + 2 ) ( 30 - 2 )
=
=
Resolvemos por inspección
( 30 + 2 ) ( 30 - 2 ) = 900 = 896
896
- 4
EJEMPLO 8
Descomponemos en dos números, de uno de ellos conocemos su cuadrado
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