Profesional Técnico-Bachiller Manual Teórico Práctico del...

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Matemáticas II: Geometría y Trigonometría

Todas las Carreras I

Profesional Técnico-Bachiller

Manual Teórico Práctico del

Módulo Autocontenido Integrador:

MATEMÁTICAS II: GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA

Capacitado por:

Educación-Capacitación Basadas en Competencias Contextualizadas

e-cbcc

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Todas las Carreras II

Carreras y Claves del Módulo de Matemáticas II: Geometría y Trigonometría (I-MATE2-00) 1

01 Electricidad y electrónica

Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en Clave

Electricidad Industrial I10112030446MATE200

Electrónica Industrial I10212030446MATE200

Mecatrónica I10312030446MATE200

Redes de Distribución Eléctrica I10412030446MATE200

Sistemas Electrónicos de Aviación I10512030446MATE200

02 Mantenimiento e Instalación


Automotriz I20112030446MATE200

Electromecánica I20212030446MATE200

Mantenimiento de Motores y Planeadores I20312030446MATE200

Motores a Diesel I20412030446MATE200

Mantenimiento de Sistemas Automáticos I20512030446MATE200

Refrigeración y Aire Acondicionado I20612030446MATE200

1 Un mismo siglema para un módulo, significa que tiene el mismo programa de estudios, la clave cambia en

otros dígitos de acuerdo a la carrera, semestre en que se imparte y posición del módulo en el plan de estudios.

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Todas las Carreras III

03 Procesos de Producción y Transformación Física

Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en

Clave

Construcción I30112030446MATE200

Control de Calidad I30212030446MATE200

Industria del Vestido I30312030446MATE200

Máquinas Herramienta I30412030446MATE200

Metalmecánica I30512030446MATE200

Producción de Calzado I30612030446MATE200

Productividad Industrial I30712030446MATE200

Textil I30812030446MATE200

04 Procesos de Producción y Transformación Químico Biológicos

Carrera de Profesional Técnico-Bachiller Clave

Artes Gráficas I40112030446MATE200

Control de la Contaminación Ambiental I40212030446MATE200

Curtiduría I40312030446MATE200

Metalurgia I40412030446MATE200

Minero Metalurgista I40512030446MATE200

Plásticos I40612030446MATE200

Procesamiento Industrial de Alimentos I40712030446MATE200

Producción y Transformación de Productos Acuícolas I40812030446MATE200

Químico Industrial I40912030446MATE200

05 Tecnologías de la Información

Carrera de Profesional Técnico-Bachiller en

Clave

Informática I50112030446MATE200

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Todas las Carreras IV

Mantenimiento de Equipo de Cómputo y Control Digital

I50212030446MATE200

Telecomunicaciones I50312030446MATE200

06 Contaduría y Administración


Administración I60112030446MATE200

Asistente Directivo I60212030446MATE200

Contaduría I60312030446MATE200

07 Turismo


01 Alimentos y Bebidas I70112030446MATE200

02 Hospitalidad Turística I70212030446MATE200

08 Salud


01 Dental I80112030446MATE200

02 Enfermería General I80212030446MATE200

03 Optometría I80312030446MATE200

04 Salud Comunitaria I80412030446MATE200

05 Terapia Respiratoria I80512030446MATE200

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Todas las Carreras V

PARTICIPANTES

Coordinadores

Suplente del Director General Joaquín Ruiz Nando Secretario Académico Marco Antonio Norzagaray

Director de Diseño Curricular de la Formación Ocupacional

Gustavo Flores Fernández

Coordinadores de Área Ma. Cristina Martínez Mercado Rubén Ramírez Arce Jaime Gustavo Ayala Arellano

Revisor Contenidos Ana Elizabeth García Hernández Revisor Pedagógico Patricia Toledo Márquez

Revisores de la Contextualización Agustín Valerio Armando Guillermo Prieto Becerril

Centro de Procuración y de Servicios, S.C.

Directora General Ma. del Carmen Padilla Longoria

Matemáticas II: Geometría y Trigonometría Manual Teórico-Práctico del Programa de Estudios de las Carreras de Técnico-Bachiller.

D.R. © 2003 CONALEP. Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, incluida la portada, por cualquier medio sin autorización por escrito del CONALEP. Lo contrario representa un acto de piratería intelectual perseguido por la ley penal. E-CBCC Av. Conalep n° 5, Col. Lázaro Cárdenas, C.P. 52140 Metepec, Estado de México.

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Todas las Carreras VI

ÍNDICE

PÁG. I Mensaje al Alumno 1 II Como utilizar este manual 2 III Imágenes de referencia 4 IV Propósito del Módulo Integrador 5 V Normas Técnicas de Competencia Laboral 6 VI Especificaciones de evaluación 7 VII Mapa curricular del Módulo 8 Capítulo 1 Solución de problemas reales utilizando la geometría 9 1.1.1 Elementos geométricos básicos 11 • Segmento rectilíneo • Rayo • Ángulos • Planos 1.1.2 Mediciones de ángulos 13 • Grados • Radianes • Transformación de grados a radianes 1.1.3 Tipos de ángulos 16 • Ángulo recto • Ángulo agudo • Ángulo llano • Rectas perpendiculares • Ángulos suplementarios • Ángulos complementarios • Ángulos verticales • Ángulos adyacentes • Recta transversal • Ángulos externos • Ángulos internos • Ángulos alternos • Ángulos externos alternos • Ángulos internos alternos • Ángulos correspondientes • Teorema de los ángulos 1.2.1 Triángulos 22 • Definición • Clasificación propiedades de los triángulos • Definición de igualdad de triángulos • Mediana de un triángulo • Centroide de un triángulo • Fórmula de Herón de la altura de un triángulo • Área de un triángulo

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Todas las Carreras VII

PÁG. • Teorema de Pitágoras 1.2.2 Polígonos 27 • Cuadrilátero • Definición y clasificación de cuadriláteros • Áreas y perímetros de cuadriláteros • Definición y clasificación de polígonos de más de 5 lados • Propiedades de los ángulos en un polígono • Ángulos exteriores • Propiedades de los ángulos de los polígonos • Área y perímetro de los polígonos 1.2.3 Círculos y circunferencias 33 • Definición de circunferencia • Elementos de la circunferencia • Ángulos • Arcos • Relación entre dos circunferencias • Circunferencia y área de un círculo 1.3.1 Prismas y pirámides 37 • Definición de prisma • Clasificación de prismas • Áreas y volúmenes de prismas • Definición de pirámides • Clasificación de pirámides • Áreas y volúmenes de pirámides 1.3.2 Esferas cilindros y conos 40 • Definición de cono • Área y volumen del cono • Definición de cilindro • Área y volumen del cilindro • Definición de la esfera • Área y volumen del esfera Resultados de ejercicios 43 Prácticas y Listas de Cotejo 45 Resumen 69 Capítulo 2 Solución de problemas de la vida cotidiana usando funciones

trigonométricas 70

2.1.1 Funciones definidas de un triangulo rectángulo 72 • Razón • Definición de las funciones trigonométricas • Funciones trigonométricas inversas • Funciones trigonométricas de ángulos complementarios • Signos de las funciones trigonométricas • Círculo trigonométrico

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Todas las Carreras VIII

PÁG. • Resolución de triángulos rectángulos • Gráficas de las funciones trigonométricas 2.1.2 Identidades trigonométricas 84 • Del teorema de Pitágoras • De la suma de ángulos • De la diferencia de ángulos • Del doble de un ángulo • De la mitad de un ángulo • Del triple de un ángulo • Suma y diferencia de seno y coseno • Cálculo de ángulos en función de ángulos conocidos • Procedimiento para mostrar que una ecuación es una identidad 2.2.1 Ecuaciones trigonométricas 91 • Solución de ecuaciones trigonométricas usando identidades • Solución de ecuaciones trigonométricas usando calculadora 2.2.2 Triángulos oblicuángulos 93 • Ley de los senos • Ley de los cosenos • Resolución de triángulos oblicuángulos Resultados de los ejercicios 99 Prácticas y Listas De Cotejo 101 Resumen 114 Autoevaluación de Conocimientos 115 Respuestas de Autoevaluación de Conocimientos 118 Referencias Documentales 120

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Todas las Carreras 1

I. MENSAJE AL ALUMNO

¡CONALEP TE DA LA BIENVENIDA AL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO INTEGRADOR MATEMÁTICAS II! EL CONALEP, a partir de la Reforma Académica 2003, diseña y actualiza sus carreras, innovando sus perfiles, planes y programas de estudio, manuales teórico-prácticos, con los avances educativos, científicos, tecnológicos y humanísticos predominantes en el mundo globalizado, acordes a las necesidades del país para conferir una mayor competitividad a sus egresados, por lo que se crea la modalidad de Educación y Capacitación Basada en Competencias Contextualizadas, que considera las tendencias internacionales y nacionales de la educación tecnológica, lo que implica un reto permanente en la conjugación de esfuerzos.

Este manual teórico práctico que apoya al módulo autocontenido integrador, ha sido diseñado bajo la Modalidad Educativa Basada en Competencias

Contextualizadas, con el fin de ofrecerte una alternativa efectiva para el desarrollo de conocimientos, habilidades y actitudes que contribuyan a elevar tu potencial productivo y, a la vez que satisfagan las demandas actuales del sector laboral, te formen de manera integral con la oportunidad de realizar estudios a nivel superior. Esta modalidad requiere tu participación e involucramiento activo en ejercicios y prácticas con simuladores, vivencias y casos reales para promover un aprendizaje integral y significativo, a través de experiencias. Durante este proceso deberás mostrar evidencias que permitirán evaluar tu aprendizaje y el desarrollo de competencias laborales y complementarias requeridas. El conocimiento y la experiencia adquirida se verán reflejados a corto plazo en el mejoramiento de tu desempeño laboral y social, lo cual te permitirá llegar tan lejos como quieras en el ámbito profesional y laboral.

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II. CÓMO UTILIZAR ESTE MANUAL

Las instrucciones generales que a continuación se te pide que cumplas, tienen la intención de conducirte a vincular las competencias requeridas por el mundo de trabajo con tu formación de profesional técnico.

• Redacta cuáles serían tus objetivos personales al estudiar este curso-módulo autocontenido integrador.

• Analiza el Propósito del curso-

módulo autocontenido integrador que se indica al principio del manual y contesta la pregunta ¿Me queda claro hacia dónde me dirijo y qué es lo que voy a aprender a hacer al estudiar el contenido del manual? Si no lo tienes claro, pídele al docente te lo explique.

• Revisa el apartado Especificaciones

de evaluación, son parte de los requisitos por cumplir para aprobar el curso-módulo. En él se indican las evidencias que debes mostrar durante el estudio del mismo para considerar que has alcanzado los resultados de aprendizaje de cada unidad.

• Es fundamental que antes de

empezar a abordar los contenidos del manual tengas muy claros los conceptos que a continuación se mencionan: competencia laboral, competencia central, competencia básica, competencia clave, unidad de competencia (básica, genéricas específicas), elementos de

competencia, criterio de desempeño, campo de aplicación, evidencias de desempeño, evidencias de conocimiento, evidencias por producto, norma técnica de institución educativa, formación ocupacional, módulo autocontenido integrador, módulo autocontenido integrador, unidad de aprendizaje, y resultado de aprendizaje. Si desconoces el significado de los componentes de la norma, te recomendamos que consultes el apartado Glosario, que encontrarás al final del manual.

• Analiza el apartado Normas

Técnicas de Competencia Laboral, Norma Técnica de Institución Educativa.

• Revisa el Mapa Curricular del

curso–módulo autocontenido integrador. Esta diseñado para mostrarte esquemáticamente las unidades y los resultados de aprendizaje que te permitirán llegar a desarrollar paulatinamente las competencias laborales requeridas por la ocupación para la cual te estás formando.

• Revisa la Matriz de Competencias

del curso-módulo autocontenido integrador. Describe las competencias laborales, básicas y claves que se contextualizan como parte de la metodología que refuerza el aprendiza lo integra y lo hace significativo

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• Analiza la Matriz de contextualización del curso-módulo autocontenido integrador. Puede ser entendida como la forma en que, al darse el proceso de aprendizaje, el sujeto establece una relación activa del conocimiento y sus habilidades sobre el objeto desde un contexto científico, tecnológico, social, cultural e histórico que le permite hacer significativo su aprendizaje, es decir, el sujeto aprende durante la interacción social, haciendo del conocimiento un acto individual y social.

• Realiza la lectura del contenido de

cada capítulo y las actividades de aprendizaje que se te recomiendan. Recuerda que en la educación basada en normas de competencia laborales la responsabilidad del aprendizaje es tuya, pues eres quien desarrolla y orienta sus conocimientos y habilidades hacia el logro de algunas competencias en particular.

• En el desarrollo del contenido de cada capítulo, encontrarás ayudas visuales como las siguientes, haz lo que ellas te sugieren. Si no lo haces no aprendes, no desarrollas habilidades, y te será difícil realizar los ejercicios de evidencias de conocimientos y los de desempeño.

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III. IMÁGENES DE REFERENCIA

Estudio individual

Investigación documental

Consulta con el docente

Redacción de trabajo

Comparación de resultados con otros compañeros

Repetición del ejercicio

Trabajo en equipo

Sugerencias o notas

Realización del ejercicio

Resumen

Observación

Consideraciones sobre seguridad e higiene

Investigación de campo

Portafolios de evidencias

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IV. PROPÓSITO DEL CURSO-MÓDULO AUTOCONTENIDO INTEGRADOR

Al finalizar el curso-módulo, el Alumno utilizará la geometría y la trigonometría, para la solución de problemas científicos, laborales y personales mediante procedimientos y estrategias matemáticas.

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V. NORMAS TÉCNICAS DE COMPETENCIA LABORAL

Para que analices la relación que guardan las partes o componentes de la NTCL o NIE con el contenido del programa del curso–módulo autocontenido de la carrera que cursas, te recomendamos consultarla a través de las siguientes opciones:

• Acércate con el docente para que

te permita revisar su programa de estudio del curso-módulo autocontenido de la carrera que cursas, para que consultes el apartado de la norma requerida.

• Visita la página WEB del CONOCER en www.conocer.org.mx en caso de que el programa de estudio del curso - módulo ocupacional esta diseñado con una NTCL.

• Consulta la página de Intranet del

CONALEP http://intranet/ en caso de que el programa de estudio del curso - módulo autocontenido está diseñado con una NIE

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VI. ESPECIFICACIONES DE EVALUACIÓN

Durante el desarrollo de las prácticas de ejercicio también se estará evaluando el desempeño. El docente, mediante la observación directa y con auxilio de una lista de cotejo, confrontará el cumplimiento de los requisitos en la ejecución de las actividades y el tiempo real en que se realizó. En éstas quedarán registradas las evidencias de desempeño. Las autoevaluaciones de conocimientos correspondientes a cada capítulo, además de ser un medio para reafirmar los conocimientos sobre los contenidos tratados, son también una forma de evaluar y recopilar evidencias de conocimiento.

Al término del curso-módulo deberás presentar un Portafolios de Evidencias2, el cual estará integrado por las listas de cotejo correspondientes a las prácticas de ejercicio, las autoevaluaciones de conocimientos que se encuentran al final de cada capítulo del manual y muestras de los trabajos realizados durante el desarrollo del curso-módulo, con esto se facilitará la evaluación del aprendizaje para determinar que se ha obtenido la competencia laboral. Deberás asentar datos básicos, tales como: nombre del Alumno, fecha de evaluación, nombre y firma del evaluador y plan de evaluación

2El portafolios de evidencias es una compilación de documentos que le permiten al evaluador, valorar los conocimientos, las habilidades y las destrezas con que cuenta el Alumno, y a éste le permite organizar la documentación que integra los registros y productos de sus competencias previas y otros materiales que demuestran su dominio en una función específica (CONALEP. Metodología para el diseño e instrumentación de la educación y capacitación basada en competencias, Pág. 180).

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VII. MAPA CURRICULAR

1.1. Manejar elementos geométricos básicos de acuerdo con sus propiedades

15 h

1.2. Manejar elementos geométricos bidimensionales de acuerdo con sus propiedades

15 h

1.3 Manejar prismas, pirámides cilindros, conos y esferas, así como elementos geométricos relacionados de acuerdo con sus características y propiedades

7 h

2.1 Manejar funciones trigonométricas y sus identidades de acuerdo

con sus características y propiedades

20 h

2.2 Solucionar ecuaciones trigonométricas y triángulos oblicuángulos usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de los triángulos

17 h

Módulo

Unidad de Aprendizaje


72h

Resultados de Aprendizaje

2. Solución de problemas

de la vida cotidiana usando funciones trigonométricas

37 h


usando la geometría

37 h

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SOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALES UTILIZANDO LA GEOMETRÍA

Este capítulo se ha elaborado con la

finalidad de manejar un lenguaje matemático- gráfico que permita al

Alumno identificar el tipo de operación necesaria para resolver un problema

abstracto

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15 h


15 h


7 h



20 h

2.2 Solucionar ecuaciones trigonométricas y triángulos oblicuángulos usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de los triángulos

17 h

Módulo



72h




37 h



37 h

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1.1.1 Elementos geométricos básicos.

• Punto Un punto indica el cruce de varias líneas, el punto no tiene dimensiones sólo indica posición.

En la siguiente figura, cada uno de las dos rectas es un conjunto de puntos y su intersección contiene exactamente un punto.

A las rectas y a los planos se les considera un conjunto de puntos. De hecho, todas las figuras geométricas se consideran como un conjunto de puntos.

• Recta La línea recta no tiene límites, es decir no se conoce su punto inicial ni su punto final.

• Segmento rectilíneo A la parte de una línea recta comprendida entre dos puntos se le llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos puntos se llaman extremos del segmento. La longitud del segmento

AB se representa por AB . El segmento AB esta dirigido de A hacia B ; el punto A se llama origen o punto inicial y al punto B se llama

extremo o punto final.

Al estar indicada la dirección por la ubicación de cada punto en el segmento, podemos deducir que

la suma de un segmento AB a un segmento BC es igual al segmento.

AB BC AC+ =

• Rayo o semirrecta

Si en una recta, se determina un punto O, que se llama origen, al conjunto formado por este punto y todos los que le siguen se le llama rayo o semirrecta.

Si los puntos están sobre una misma recta se dice que estos puntos son colineales, en la siguiente figura A, B y C son colineales.

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• Planos Tres puntos no colineales determinan un y sólo un plano. Su extensión es ilimitada

La intersección entre dos planos es una recta.

En la siguiente figura los puntos E, F y G determinan un plano

• Rectas paralelas A dos rectas que están en un mismo plano y no se intersecan, se les llama rectas paralelas. En la siguiente figura se muestran a las rectas paralelas AB y MN, este hecho se expresa como:

• Ángulos Un ángulo está formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Este origen común se llama vértice del ángulo y las dos semirrectas se llaman lados.

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Este ángulo tiene varios nombres posibles:

θ∠ , AOD∠ , DOA∠ , donde el símbolo ∠ significa ángulo.

Estudio individual

Competencia lógica.

Identificar las figuras de los

elementos geométricos básicos con su representación. El Alumno:

1. Realizará un plano donde esquematice el trayecto de su casa a la escuela.

2. Identificará los elementos geométricos que intervienen.

3. Los representará en el esquema.

Estudio individual


Identificar las figuras de los

elementos geométricos básicos con su representación. El Alumno:

1. Analizará la figura tridimensional de un

refresco tetrapack. 2. Marcará puntos sobre sus caras, 3. Realizará un dibujo de la figura

tridimensional donde indique las líneas y planos que se forman.

1.1.2 Mediciones de ángulos

Los ángulos se miden usando diferentes sistemas. Las dos unidades más comunes son el grado y el radián. • Grados Una forma de pensar en un ángulo es concebirlo como generado mediante el movimiento de una semirrecta de una posición inicial a una posición final. Si este ángulo generado estaba situado dentro de un círculo, con su origen en el centro del círculo.

lado f

inal

lado inicial

270º

180º

90º

0º (360º)

Un grado es el ángulo que corresponde a dividir la circunferencia en 360 partes y cada grado se divide en 60 partes llamadas minutos y el minuto en otras 60 partes que son los segundos. La herramienta para medir ángulos en forma manual es el transportador, el centro o referencia de inicio debe partir del punto de intersección y alinearse a algún segmento rectilíneo. Los grados se miden desde el punto de intersección de las dos rectas que forman el ángulo Para medir un ángulo mediante el uso del transportador se debe poner la marca central sobre el vértice.

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Comparación de resultados con otros

compañeros

Competencia para la vida Identificar ángulos en su vida cotidiana y laboral

El Alumno: 1. Realizará un plano de su plantel. 2. Medirá con ayuda de un transportador los

ángulos que intervienen. 3. Los representará en el plano.


Competencia emprendedora

Graficará las devaluaciones de los

últimos 10 años.

El Alumno:

1. Investigará las devaluaciones del peso en

los últimos 10 años

(www.banxico.gob.mx).

2. Trazará una gráfica, usando un par de ejes

a 90°, colocando en el eje horizontal x el

año y en el eje vertical y, el valor del peso.

3. Indicará los puntos y los unirá con una

línea.

4. Indicará si hay ángulos de elevación o de

depresión y los medirá.

5. Comentará sus conclusiones.

• Radianes Radian: Es el ángulo central subtendido por un arco igual a la longitud del radio de una circunferencia.

El ángulo de una vuelta completa es igual a 2 radπ ; de manera que la medida en radianes del ángulo que subtiende una circunferencia es el número 2π . π es el valor resultante de dividir el valor de la circunferencia entre el valor de su diámetro.

3.1416 perímetrodiámetro

π =

.

lado f

inal

lado inicial

270º= 3π/2

180º= π

90º= π/2

0º (360º=2π)

• Transformación de grados a radianes y

viceversa.

Para cambiar de radianes a grados, multiplique el

número de radianes por 180º

π

o sea, 180º 180º1 rad 57.296º

3.1416π= ≈ =

Para cambiar de grados a radianes, multiplique

por 180º

π

Es decir,

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3.14161º 0.01745 rad180º 180º

π= =

Ejemplo:

Cambie 40º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º a

radianes: 240º 40º rad

180º 9π π

= =

60º 60º rad180º 3

π π= =

90º 90º rad180º 2

π π= =

2120º 120º rad

180º 3π π

= =

5150º 150º rad180º 6

π π= =

180º 180º rad180º

π π= =

Cambie 56π

, 34π

, 12π

, 1.8 radianes a grados:

5 5 180ºrad 150º6 6π π

π= =

3 3 180ºrad 135º4 4π π

π= =

180ºrad 15º12 12π π

π= =

180º1.8 rad 1.8 103.13º3.1416

= =


Competencia Analítica

Expresar ángulos en grados y en

radianes El Alumno:

1. Escribirá la ecuación de conversión radianes a grados.

2. Convertirá a grados los ángulos siguientes:

a) rad4π

b) rad6π

c) 2 radπ 3. Realizará un dibujo, donde grafique cada

uno de los ángulos anteriores expresándolos en grados y en radianes.

4. Escribirá la ecuación de conversión grados a radianes.

5. Convertirá a radianes los ángulos siguientes:

a) 135° b) 270° c) 45°

6. Realizará un dibujo, donde grafique cada uno de los ángulos anteriores expresándolos en grados y en radianes.


Competencia Tecnológica

Convertir ángulos de radianes a grados y viceversa, usando la

calculadora.

El Alumno:

1. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en su calculadora, indicando las teclas que debe presionar para realizar las operaciones.

2. Usará su calculadora para cambiar: a) 120º y b) 83º a radianes.

3. Realizará un dibujo con los ángulos anteriores y su representación en grados y en radianes.

4. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en su calculadora, indicando las teclas que debe presionar para realizar las operaciones.

5. Usará su calculadora para cambiar: a) 9 rad8π

y b) 3.98 rad a grados.

6. Realizará un dibujo con los ángulos

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anteriores y su representación en grados y en radianes.

7. Redactará la estrategía a seguir para convertir de grados a radianes en la computadora usando el Softaware Excel.

8. Elaborará una tabla en una hoja de cálculo (Excel) de 0º a 360º con paso de 10º y sus conversiones a radianes,

9. Redactará la estrategía a seguir para convertir de radianes a grados en la computadora usando el Softaware Excel.

10. Elaborará una tabla en una hoja de cálculo (Excel) de 0 a 2 radπ con paso de

rad16π

y sus conversiones a grados.


Competencia tecnológica Identificar instrumentos que sirven para la medición ángulos con gran precisión.

El Alumno: 1. Investigará en libros y en el Internet cómo

esta constituido un teodolito. 2. Realizará un reporte ilustrado acerca del

manejo del teodolito. 3. Indicará en que actividades se usa

comúnmente el teodolito. 4. Realizará una exposición al grupo resultado

de su investigación.


Competencia Científico teórica

Resolver problemas de física usando

elementos geométricos..

El Alumno: 1. Identificará a que parte de la física se

refiere cada uno de los problemas siguientes.

2. Realizará un esquema para cada uno de los problemas.

3. Usando sus conocimientos geométricos resolverá cada uno de los problemas.

4. Escribirá sus conclusiones para cada uno de los problemas, en base a su solución

numérica. 5. Realizará un escrito breve donde señale la

ayuda de la geometría en la solución de problemas.

Problemas: a) Determinará la velocidad angular

del cuerpo y la velocidad tangencial del cuerpo. Si se sabe que un cuerpo realiza un movimiento circular de 8 cm de radio, ejecuta 2 rev/s, Nota: En un movimiento circular la velocidad la relación entre la velocidad angular y la velocidad tangencial es v rω= .

b) Determinará la frecuencia angular si se sabe que la frecuencia es de 60 Hz. Nota: La frecuencia angular ω de una corriente alterna es

2 fω π= . c) Determinará la velocidad angular

de una rueda de engrane que gira 285º en 10 s. Nota: La velocidad angular está relacionada con el desplazamiento angular a través de

la relación tθω =

, para un movimiento circular uniforme.

d) Determinará la velocidad angular de una rueda de engrane que gira 34

π en 5 s.

1.1.3 TIPOS DE ÁNGULOS

Los ángulos se clasifican y denominan en función de la medida de sus grados.

Ángulo agudo es un ángulo cuya

medida está entre 0º y 90º.

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Ángulo recto es un ángulo que mide 90º.

Ángulo obtuso es un ángulo que mide

más de 90º, pero menos de 180º

Ángulo colineal o llano es un ángulo

que mide 180º

Ángulo cóncavo o entrante es un

ángulo mayor de 180° y menor de 360°

Ángulo perigonal es un ángulo que

mide 360°

• Ángulos consecutivos, complementarios,

suplementarios y conjugados

• Consecutivos:

Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un

lado en común y están en un mismo plano.

• Complementarios:

Son dos ángulos que suman 90º

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• Suplementarios:


• Conjugados:


• Ángulos adyacentes y opuestos por el

vértice Si dos rectas de un plano se cruzan en un punto, se forman cuatro ángulos que de acuerdo con su posición reciben el nombre de adyacentes y opuestos por el vértice.

• Adyacentes Son pares de ángulos consecutivos, cuya suma es igual a 180º, además estos ángulos son suplementarios.

En la figura son consecutivos: y y y y

α γγ ββ θθ α

Por tanto: 180º180º180º180º

α γγ ββ θθ α

+ =+ =+ =+ =

• Opuestos por el vértice Son los ángulos que comparten el vértice y quedan el uno frente al otro. Además estos ángulos son iguales. De la figura son opuestos por el vértice:

y y

α βθ γ

Entonces: α βθ γ

==

Demostración:

Sabemos que:

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180º180º

α γγ β

+ =+ =

Entonces:

α γ γ β α β+ = + ⇒ =

y 180º180º

γ ββ θ

+ =+ =

Entonces:

γ β β θ γ θ+ = + ⇒ =

• Líneas perpendiculares Las líneas perpendiculares son dos líneas que se cortan en ángulo recto. El símbolo ⊥ significa perpendicularidad. La perpendicular es la mediatriz de un segmento, es la perpendicular al segmento que pasa por el punto medio del segmento.

Trabajo en equipo

Competencia lógica

Identificar las definiciones verbales con cada tipo de ángulo. El Alumno:

1. Realizará un recorrido por su escuela y medirá los ángulos de las tuberías y ventanas.

2. Realizará un esquema donde indique los ángulos.

3. Identificará el tipo de ángulo.

• Ángulos formados por dos rectas y una

transversal que se cortan: Las paralelas y la transversal forman ocho ángulos. Cuatro son internos por estar situados en el espacio comprendido entre las paralelas:

Y cuatro son externos por estar situados en el espacio externo a las paralelas:

Ángulos correspondientes: Son dos ángulos , uno interno y otro externo, que están situados de un mismo lado de la transversal y en distinta paralela:

P T-Bachiller



Son correspondientes:

y β φ , se puede ver que son iguales al efectuar una traslación rectilínea, tomando a la transversal como la directriz:

β φ=

entonces:

α ε=

entonces:

χ γ=

entonces:

δ η= Los ángulos correspondientes son iguales. Ángulos alternos internos: Son dos ángulos internos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela.

Los ángulos alternos internos son iguales.

χ φε δ

==

Demostración de la igualdad: χ φ=

P T-Bachiller



Por ser opuestos por el vértice:

χ β= y por ser correspondientes

β φ= entonces:

χ φ=

Ángulos alternos externos: Son dos ángulos externos situados a uno y otro lado de la transversal y en distinta paralela.

Los ángulos alternos externos son iguales.

α ηβ γ

==

Demostración de la igualdad:

α η=

Por ser opuestos por el vértice:

α δ= y por ser correspondientes

δ η= entonces:

α η= Ángulos colaterales internos: Son dos ángulos internos situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela.

Ángulos colaterales externos son dos ángulos externos situados en un mismo lado de la transversal y en distinta paralela.

P T-Bachiller



Los ángulos paralelos son suplementarios Demostración de la igualdad:

180ºδ φ+ =

De la figura:

180ºβ δ+ = Pero:

β φ= por ser correspondientes

entonces:

180ºδ φ+ = Realización del ejercicio

Competencia de calidad

Diseñar métodos y algoritmos para

calcular variables.

El Alumno:

1. Identificará ángulos difíciles de medir.

2. Usará rectas paralelas y transversales.

3. Determinará ángulos desconocidos usando las propiedades de los ángulos.

Ejemplo:

Un soldador debe unir las piezas, como se muestra en la figura. ¿Cuánto mide el ángulo x?

1.2.1 TRIÁNGULOS Polígonos El polígono es una figura geométrica limitada por una línea cerrada compuesta de varios segmentos. Clasificación: Los polígonos se pueden clasificar de acuerdo con su número de lados y de ángulos Triángulo: 3 ángulos y 3 lados

Cuadrilátero: 4 ángulos y 4 lados

Pentágono: 5 ángulos y 5 lados Hexágono: 6 ángulos y 6 lados

Heptágono: 7 ángulos y 7 lados

Octágono: 8 ángulos y 8 lados

Eneágono: 9 ángulos y 9 lados

Decágono:: 10 ángulos y 10 lados

Examinemos como primer punto a los triángulos.

• Definición El triángulo es una figura geométrica limitada por una línea cerrada compuesta por tres segmentos.

P T-Bachiller



AB , BC y AC son los lados de un triángulo

ABC ABCΔ , a , b y c son los ángulos

interiores del ABCΔ y d , e y f son los ángulos

exteriores del ABCΔ .

• Clasificación de los triángulos por la

magnitud de sus lados:

Equilátero: los tres lados del triángulo tienen la

misma magnitud.

Isósceles: Dos de sus lados son iguales y el otro desigual.

Escaleno: los tres lados del triángulo tienen diferente longitud.

• Clasificación de los triángulos por la

magnitud de sus ángulos:

Rectángulo: Uno de los ángulos del triangulo es recto. (Se denota por un pequeño rectángulo donde está el ángulo recto).

Oblicuángulo: El triángulo no tiene ningún ángulo recto.

Los triángulos oblicuángulos pueden ser:

Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos.

Obtusángulo: Si tiene un ángulo agudo.

P T-Bachiller



• Rectas y puntos notables de un triángulo

Alturas: La distancia que existe desde el vértice de un triángulo hasta la recta del lado opuesto se llama altura del triangulo correspondiente a ese lado.

Ortocentro: es el punto donde se intersecan las alturas.

En un triángulo obtusángulo es necesario prolongar los lados para obtener las alturas.

Medianas: El segmento de recta que une a un vértice con el punto medio del lado opuesto se llama mediana correspondiente a ese lado.

Baricentro o centroide: es el nombre del punto donde se intersecan las medianas.

Mediatrices: La mediatriz correspondiente a un lado es la perpendicular de los lados que pasa por el punto medio del mismo.

Circuncentro: es el punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia cincunscrita.

Bisectriz: La bisectriz correspondiente a un ángulo es la recta que une al vértice con un punto que indica la mitad del ángulo.

Incentro: es el punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

En un triángulo equilátero el centroide, el circuncentro y el ortocentro son el mismo punto.

P T-Bachiller



En un triángulo isósceles la mediana, la mediatriz y la altura de A serán la misma línea.


Competencia Analítica.

Verificar propiedades de los triángulos.

El Alumno: 1. Dibujará tres triángulos de la forma que

desee y con medidas aleatorias. 2. Medirá sus tres ángulos con ayuda de un

transportador y los sumará. 3. Comparará con sus compañeros y

observará que no importa cuantos triángulos diferentes realicen siempre sus ángulos suman 180º.


Competencia Laboral

Usar la geometría para resolver problemas laborales.

El Alumno: 1. Dibujará un plano de un terreno triangular

de lados 140 m, 140 m y 140 m 2. Determinará geométricamente, el punto

equistante a los tres vértices de con el fin colocar una antena.

3. Identificará a este punto por su nombre.

• Igualdad de triángulos

Un triangulo es congruente o igual a otro, si tienen todos sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados y ángulos de otro.

• Triángulos semejantes

Los triángulos semejantes son los que tienen sus ángulos respectivamente iguales y sus lados correspondientes proporcionales. En la siguiente figura los triángulos ACB y EDF son semejantes ya que sus lados correspondientes de

los triángulos son proporcionales: 12 9 6 34 3 2

= = =


Competencia Laboral


El Alumno: 1. Identificará un problema laboral a resolver. 2. Usando propiedades de los triángulos lo

resolverá. 3. Realizará un escrito con sus conclusiones. Ejemplo: Calculará la altura de una torre de televisión que proyecta una sombra que tiene 150 m de longitud, sabiendo que a la misma hora, un poste vertical que tiene 1.5 m de altura proyecta una sombra de 1.2 m de longitud.

P T-Bachiller



Perímetro de un triángulo El perímetro de un triángulo de lados a , b y c es igual: P a b c= + +

Área de un triángulo El área de un triángulo se determina mediante la siguiente fórmula:

2bhA =

donde h es la altura del triangulo y b el lado opuesto, llamado la base del triángulo.

• Fórmula de Herón

Cuando no se conoce la altura. Se puede determinar el área de un triángulo usando la fórmula de Herón de Alejandría:

( )( )( )A s s a s b s c= − − −

donde :

2a b cs + +

=

y a , b y c , son los lados del triangulo.


Competencia Laboral

Usar la geometría para resolver

problemas laborales.

El Alumno:

1. Identificará terreno triangular en su comunidad.

2. Medirá sus lados con ayuda de un flexo metro.

3. Calculará su área, usando la fórmula de Herón.

Ejemplo: Calculará el área de un terreno triangular cuyos lados son a = 51.75 pies, b = 42.75 pies y c = 82.5 pies.

Triángulos rectángulos Los lados del triangulo que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

• Teorema de Pitágoras

Pitágoras fue un político, filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI A. de C. El teorema de Pitágoras establece que: En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

2 2 2c a b= +

Demostración:

Por construcción CD AB⊥

P T-Bachiller



Puesto que son ACD y ACB son triángulos semejantes: c bb x

=

entonces: 2cx b= (1)

Y como ACB y CDB son triángulos semejantes: c aa y

=

entonces: 2cy a= (2)

Sumando las ecuaciones (2) y (1) 2 2cy cx a b+ = +

Factorizando a c :

( ) 2 2c y x a b+ = +

Pero por construcción: c x y= + Entonces

2 2 2c a b= + El teorema de Pitágoras también se puede expresar como:

2 2c a b= + A partir de esta ecuación se pueden determinar los catetos

2 22 2 2

2 2

b c ac a b

a c b

⎧⇒ = −⎪= + ⎨⇒ = −⎪⎩

Ejemplo: Usando el teorema de Pitágoras determinar el cateto b:

2 2b c a= − Sustituyendo valores:

2 25 4 25 16 9 3b = − = − = =


Competencia Laboral


El Alumno: 1. Identificará un problema laboral que

involucre triángulos rectángulos. 2. Resolverá el problema usando el teorema

de Pitágoras. 3. Realizará un reporte escrito del problema y

sus resultados. Ejemplo: Una casa tiene 10 m de ancho y el caballete del tejado es 4 m más alto que las paredes laterales. Si las vigas, r, se extienden 0.5 m más allá de los costados de la casa, ¿cuál es la longitud de las vigas?

1.2.2 POLÍGONOS • Cuadriláteros Es todo polígono de cuatro lados.

• Clasificación de cuadriláteros Los cuadriláteros se dividen en: PARALELOGRAMOS TRAPECIOS

Los paralelogramos son cuadriláteros cuyos lados

opuestos son paralelos. Cuadrado: es un paralelogramo de lados iguales y

ángulos rectos.

Rectángulo: es un paralelogramo de lados contiguos desiguales y ángulos rectos.

P T-Bachiller



Rombo: es un paralelogramo de lados iguales y ángulos oblicuos.

Romboide: es un paralelogramo de lados contiguos desiguales y dos ángulos oblicuos.

Los trapecios son cuadriláteros que sólo tienen dos lados paralelos. Trapecio: es un cuadrilátero de dos lados

paralelos.

Trapecio rectángulo, es un trapecio con dos ángulos rectos.

Trapecio isósceles, es un trapecio en el cual los lados paralelos son iguales.

Trapezoide, es un trapecio que no tiene ningún lados paralelo a su opuesto.

Propiedades de los paralelogramos: 1. La suma de los ángulos de un

cuadrilátero es igual a 360º.

Demostración:

Por construcción, se forman dos triángulos

ABCΔ y ACDΔ . El segmento AC es común

P T-Bachiller



para los triángulos ABCΔ y ACDΔ . La suma de cada uno de los ángulos interiores de un es de 180º entonces la suma de los

ángulos de los triángulos ABCΔ y ACDΔ , es de 360º

2. Los lados opuestos de un

paralelogramo son iguales

Demostración:

Por ser ángulos alternos internos: α βγ δ

==

Por tener ángulos iguales, los triángulos ABCΔ y CDAΔ son iguales, entonces:

AB DC

AD BC

=

=

Puesto que: α βγ δ

==

En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.

θ α γ β δ θ= + = + =

Los ángulos contiguos son suplementarios.

180ºθ φ+ =

3. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en un punto medio

Demostración:

Demostración: Por ser lados opuestos de un paralelogramo.

AD BC= Por ser ángulos alternos internos: β δα γ

==

entonces

AOD BOCΔ = Δ

entonces

OA OC

OD OB

=

=

4. Las diagonales de un rectángulo son iguales

Demostración: Por ser lados opuestos de un paralelogramo.

AD BC=

P T-Bachiller



entonces

AB DC= Por la definición de un rectángulo

90ºDAB ABC∠ = ∠ = entonces los triángulos ABC DABΔ = Δ por tanto:

AC BD=

Propiedades de los trapecios 1. Los lados contiguos a cada uno de los

lados no paralelos de un trapecio son suplementarios.

Demostración:

Por ser colaterales internos:

180º180º

α δχ β

+ =+ =

2. Los lados contiguos a una misma base de un trapecio isósceles son iguales.

Demostración:

Por definición de trapecio isósceles: AD BC= y puesto que los puntos MDCN forman un rectángulo

DM CN= Entonces por tener hipotenusa y un cateto respectivamente iguales AMD BNCΔ = Δ entonces

α β=

Y por ser los suplementos de α y β

ADC BCD∠ = ∠

Perímetros y áreas de cuadriláteros

Paralelogramo El perímetro de un paralelogramo es igual a la suma de sus lados: 1 2 3 4P l l l l= + + +

El área de un paralelogramo cualquiera es igual al producto de su base por su altura_ A bh=

Cuadrado:

Perímetro: 4P l=

Área: 2A l= En términos de la diagonal, el área del cuadrado también se puede expresar como:

2

2dA =

Rombo: Perímetro: 4P l=

P T-Bachiller



Área: '

2ddA =

Trapecio:

Perímetro: 2 'P l b b= + +

Área: '

2b bA h +⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Polígonos de cinco o más lados

Polígonos regulares Un polígono es regular cuando todos sus lados son iguales.

Centro El centro de un polígono regular es el punto interior del mismo en el que se intersecan las diagonales. El centro equidista de todos los vértices y de todos los lados.

Apotema

La apotema de un polígono regular es la perpendicular bajada desde el centro a uno cualquiera de los lados, es decir es la altura de uno de los triángulos iguales en que se puede descomponer el polígono considerando el lado como base.

Área del polígono regular El área de un polígono regular es la igual a la mitad del producto de la apotema por el perímetro.

2anlA =

Polígonos irregulares Un polígono es irregular, tiene lados desiguales. Área de un polígono irregular Para determinar el área de un polígono irregular, se divide el polígono en triángulos, se determina el área de cada triángulo y la suma de las áreas es igual al área del polígono.

Propiedades de los ángulos en un polígono 1. A todo polígono regular corresponde

una circunferencia circunscrita y otra inscrita que tienen el mismo centro.

P T-Bachiller



2. La suma de los ángulos centrales de

un polígono regular es igual a 360º

α

α

α α

α

360º360ºn

nα α= ⇒ =

3. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es

( )180º 2n −

Demostración:

Por construcción

AD y AC son diagonales En cualquier polígono se forman 2n − triángulos. La suma de los ángulos del polígono es igual a la suma de los ángulos de los triángulos

ABCΔ , ACDΔ y ADEΔ Y puesto que la suma de los ángulos de un triangulo es igual a 180º, en este caso se forman tres triángulos , entonces la suma de los ángulos de los triángulos será de 3(180º) = 540º, en general, se forman n-2 polígonos y la suma de los ángulos interiores de un polígono irregular es 180º(n-2). También podemos afirmar que para un polígono regular de n lados, cada ángulo

interior es igual a ( )180º 2nn

−.

4. La suma de los ángulos exteriores es

360º

Demostración: Cada ángulo exterior es suplemento de su correspondiente ángulo interior. Entonces la suma total de los ángulos interiores y exteriores es igual a 180ºn . Pero ya hemos demostrado que la suma de los

ángulos interiores es igual a ( )180º 2n − .

Entonces la suma de los ángulos exteriores es igual a:

( ) ( )180º 2 180º 2 180º 360ºn n− − = =

5. El número de diagonales de un polígono de n lados es igual a la

mitad del producto de n por 3n −

P T-Bachiller



Demostración: De cada vértice del polígono se pueden trazar

3n − diagonales. Hay n vértices y las diagonales están repetidas 2 veces, el total de diagonales es:

( )( )

2 3

32

n n n

n nn

= −

−=

Un polígono regular es equilátero y equiángulo a la vez.


Competencia analítica.

Determinar áreas y perímetros de un polígono.

El Alumno:

1. Aplicará las fórmulas del área y del perímetro

de polígonos para resolver los siguientes

problemas:

a) Calculará el perímetro y área de un

octágono, donde cada lado mide 12.5 cm

y la apotema 15.1 cm.

b) Obtendrá el perímetro y área de un

rectángulo de 7 cm de largo por 5 cm de

ancho.

2. Realizará un reporte escrito de los problemas

con los datos, las fórmulas empleadas, un

esquema para cada problema y sus resultados.

1.2.3 CÍRCULO Y CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es una curva plana y cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto interior llamado centro. Círculo es la superficie plana limitada por la circunferencia.

• Elementos de la circunferencia Radio: es la recta que une el centro de un punto cualquiera de la circunferencia.

Diámetro: Recta que pasa por el centro y une dos

puntos de la circunferencia.

P T-Bachiller



Cuerda: Recta que une dos puntos de la circunferencia .

Arco: es una parte de la circunferencia en la figura.

Tangente: es una recta que interseca a la circunferencia en un punto.

Secante: es una recta que interseca a la tangente en dos puntos.

• Ángulos en la circunferencia Los ángulos que se trazan en una circunferencia reciben diferentes nombres de cuerdo con la posición que presenta el vértice. Ángulo central: tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios.

P T-Bachiller



Ángulo inscrito: su vértice coincide con cualquier punto de la circunferencia y sus lados pasan por dos puntos de la circunferencia.

Ángulo excéntrico: esta dentro de la circunferencia pero su vértice no coincide con el centro.

Ángulo exterior: su vértice se encuentra en la parte exterior a la circunferencia sus lados pueden ser secantes o tangentes .

Ángulo semi-inscrito: su vértice está sobre una tangente y una cuerda de la circunferencia.

Arcos El arco es una sección de un círculo que con frecuencia se le describe en términos del tamaño de su ángulo central. Como ya hemos mencionado un arco de longitud igual al radio es 1 rad. Un ángulo central divide al arco en un arco menor y en un arco mayor.

Longitud del arco Un arco formado por un círculo de radio r y un ángulo central de θ rad tiene una longitud de

P T-Bachiller



arco:

s rθ= Propiedades de los círculos

1. Si una recta es perpendicular a un radio en

el extremo de éste, la recta es tangente al círculo.

Demostración:

En C el segmento AD es perpendicular al

segmento OD y OC es el radio del círculo. Por construcción B es un punto cualquiera de la

recta AD distinto de C . Puesto que la perpendicular es la distancia más corta entre un punto y una recta

OC OB< Y como la distancia desde el punto B al centro es mayor que la longitud del radio, el punto B es un punto externo al círculo.

C es el único punto común de AD y el círculo,

por tanto AD es tangente al círculo. Como consecuencia de esta propiedad podemos afirmar también que: Toda tangente a un círculo es perpendicular al radio en el punto de contacto. La perpendicular a una tangente en el punto de contacto pasa por el centro del círculo.

2. La perpendicular trazada por el centro de

un círculo a una cuerda, biseca la cuerda y los arcos subtendidos.

Demostración:

OA y OC son radios. Puesto que OA y OC son radios del mismo círculo.

OA OC=

Por construcción el segmento OE es lado común a los triángulos rectángulos OEAΔ y OECΔ . Los triángulos OEAΔ y OECΔ .son triángulos iguales, por tener lados hipotenusa y catetos iguales.

OEA OECΔ = Δ entonces

AE EC= y

AOB BOC∠ = ∠ entonces concluimos que: En un mismo círculo, ángulos centrales iguales intersecan arcos iguales, entonces El arco AB es igual al arco BC .

3. En todo círculo, dos paralelas intersecan

arcos iguales

Demostración:

CD , AB y EG son paralelas. Por construcción

P T-Bachiller



F es tangente al círculo y FP es el diámetro. Y sabemos que la perpendicular trazada por el centro de una cuerda, biseca la cuerda y los arcos subtendidos entonces:

FC FDFA FB

==

Entonces:

FC FA FD FB− = −

Pero por construcción:

FC FA AC− =

y

FD FB BD− =

entonces:

AC BD=

Circunferencia y área de los círculos

Las fórmulas para la circunferencia (perímetro de un círculo) y el área de un círculo implican el uso del número irracional π . La circunferencia C de un círculo es:

2C d rπ π= = donde d es la longitud de un diámetro y r es la longitud del radio. El área de un círculo es:

2

2

4dA r ππ= =



Determinar áreas y perímetros del círculo.

1. Aplicará las fórmulas del área y del

perímetro de polígonos para

resolver los siguientes problemas:

a) Calculará la cantidad de tela que se lleva

un mantel circular de 1.5 m de diámetro.

b) Calculará el perímetro de un anillo de 0.5

cm. de radio.

2. Realizará un reporte escrito de los

problemas con los datos, las

fórmulas empleadas, un esquema

para cada problema y sus

resultados.

1.3.1 PRISMAS Y PIRÁMIDES

El espacio que ocupa un sólido se llama volumen y con frecuencia se obtiene usando fórmulas en las que intervienen sus dimensiones.

• Prismas Un prisma es un cuerpo geométrico cuyas bases

son dos polígonos iguales y paralelos y sus caras

laterales son paralelogramos.

P T-Bachiller



• Clasificación de los prismas Por la forma de su base los prismas pueden ser: Triangulares Cuadrangulares Pentagonales Hexagonales.

• Magnitudes de un prisma Altura: La altura de un prisma es la perpendicular bajada de una base a la otra o su prolongación en caso de que el prisma no sea recto. Área: es la suma de las áreas de todas las caras del prisma: De las dos bases. Y de las caras laterales. El área total es la suma de todas las áreas de las caras del prisma. Ejemplo: Determinar el volumen de un prisma recto triangular cuya altura es 20 cm; el lado del triangulo de la base es igual a 15 cm y la altura del triangulo es de 13 cm.

1. Determinamos el área de la base

( )( ) 215 cm 13 cm97.5 cm

2 2bbhA = = =

2. El área de cada una de las tres caras laterales es:

( )( ) 215 cm 20 cm 300 cmlA bh= = =

3. El área total es entonces: 2 2 22 3 195 cm 900 cm 1095 cmt b lA A A= + = + =

Volumen: es el producto de su altura multiplicada por su base. Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura :

V Bh= Ejemplo: Calcular el volumen del prisma triangular anterior.

( )( )2 397.5 cm 20 cm 1950 cmV Bh= = =



Determinar áreas y volúmenes de

prismas.

El Alumno:

1. Aplicará las fórmulas del área y del

perímetro de polígonos para

resolver los siguientes problemas:

a) Determinará el área lateral, el área superficial

total y el volumen de los sólidos de las

siguientes figuras.

P T-Bachiller



2. Realizará un reporte escrito con los

datos de cada figura, las fórmulas

empleadas, un esquema para cada

figura y sus resultados.

• Pirámides

Son cuerpos geométricos cuya base es un polígono cualquiera y sus caras laterales son triángulos que concurren a un mismo punto llamado vértice de la pirámide.

• Clasificación de las pirámides

Por su forma de su base las pirámides pueden ser:

Se clasifican en función de la forma de la base y en consiguiente el número de caras. Triangulares Cuadrangulares Pentagonales Hexagonales.

Magnitudes de una pirámide Altura: La altura de una pirámide es la perpendicular bajada desde el vértice de la pirámide a la base o su prolongación. Área: es la suma de las áreas de todas las caras de la pirámide: De la base y de las caras laterales. El área total es la suma de todas las áreas de las caras de la pirámide. Volumen: es un tercio del producto de su altura multiplicada por su base. Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura :

3BhV =

Trabajo en equipo


. Identificar construcciones con formas de prismas y pirámides. Competencia Analítica Calcular áreas laterales y volúmenes de prismas y pirámides.

El Alumno: • Realizará un recorrido por su comunidad

e identificará construcciones con formas de prismas y pirámides.

• Tomará medidas. • Calculará el área lateral y volumen de

dichas construcciones.


Competencia Tecnológica. Usar la calculadora o la computadora para la

P T-Bachiller



solución de problemas geométricos.

El Alumno:

1. Aplicará las fórmulas del volumen

y del área de pirámides para

resolver los siguientes problemas: a) Determinar el volumen de un prisma

pentagonal que tiene 3 cm de apotema, 5 cm de lado y 8 cm de altura.

b) Con el mismo polígono por base y la

misma altura ¿qué tendrá mayor volumen un prisma o una pirámide?

2. Usará la calculadora para realizar

sus cálculos.


datos de cada problema, las


para cada problema y sus

resultados.


Competencia de calidad

Usar elementos geométricos para

maximizar recursos. El Alumno:

1. Aplicará las fórmulas del volumen y del área de pirámides para calcular el volumen y el área total de dos muestras de envases con la misma base y altura, la primera es un prisma cuadrangular y la segunda una pirámide cuadrangular, para regalar muestras de un nuevo producto de limpieza:

2. Redactará sus conclusiones en las que responderá las siguientes preguntas: ¿qué cuerpo ocupa menos material para su fabricación?, ¿Qué envase tiene menor volumen?

1.3.2 ESFERAS, CILINDROS Y CONOS • Cilindro

El cilindro de revolución o cilindro circular recto es el cuerpo engendrado por la revolución de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

El cilindro de la figura ha sido engendrado por el rectángulo ABOO’ girando alrededor del segmento OO’. • Magnitudes de un cilindro: Eje: El segmento OO’ es el eje del cilindro. Altura: El segmento OO’ también representa la altura del cilindro, la que también puede definirse como la distancia entre las dos bases. Radio: El segmento O’A es el eje del cilindro. Generatriz: el segmento AB es la generatriz del cilindro, los lados AO’ y BO son los radios iguales de las bases del cilindro, cuando el cilindro es recto la magnitud de la generatriz es igual a la altura. Área: es la suma de las áreas de las dos bases más el área lateral del cilindro.

P T-Bachiller



Área lateral: 2 rhπ

Área de una de las bases: 2rπ

Área total: 22 2r rhπ π+

Volumen: es el producto de su base que es un círculo por la altura del cilindro Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura :

2V Bh r hπ= = • Cono El cono de revolución o cono circular recto es el

cuerpo geométrico engendrado por la revolución

de un triangulo rectángulo alrededor de uno de

sus catetos.

El cono de la figura ha sido engendrado por la revolución de un triángulo rectángulo SOA alrededor del cateto SO.

• Magnitudes de un cono: Vértice: El punto S es el vértice del cono. Radio: El cateto OA es el radio del círculo de la base. Generatriz: la hipotenusa SA es la generatriz del cono. Altura: La altura del cono es el segmento SO, que se puede definir como la perpendicular bajada desde su eje. Área: es la suma del área de la base más el área lateral del cono. El área lateral del cono esta dada por: lA rsπ=

donde: r es el radio de la base del cono s es la altura oblicua del cono.

Y el área de la base es: 2bA rπ= .

El área total es: 2tA rs rπ π= + .

Volumen: es un tercio del producto de su base que es un círculo por la altura del cono. Entonces si V representa el volumen, B el área de la base y h la altura:

2

3 3Bh r hV π

= =

• Esfera Es el cuerpo geométrico engendrado por la revolución completa de un semicírculo alrededor de su diámetro.

• Magnitudes de una esfera:

P T-Bachiller



Radio: Los segmentos OB, OA , ó OC es el radio de

la esfera. Centro: Su centro es el punto O..

Área: su área es igual a: 24A rπ=

Volumen: 343

V rπ=


Competencia Analítica Determinar áreas y volúmenes de cilindros, conos y esferas. El Alumno: 1. Calculará las fórmulas del volumen y del área

, del área lateral, del área superficial total y del volumen de las figuras que se muestran:

2. Determinará el área y el volumen de una

esfera de 10 cm de radio.

3. Realizará un reporte escrito con los datos de cada figura, las fórmulas empleadas, un esquema para cada figura y sus resultados.


Competencia laboral

Aplicar modelos geométricos para resolver

problemas del área de su especialidad.

El Alumno:

1. Investigará problemas del área de

su especialidad en las que se

calculen áreas y volúmenes de

prismas pirámides, cilindros,

esferas.

2. Realizará un reporte escrito con

los datos de cada problema, las


para cada problema e identificará

el área de su especialidad donde

aparece dicho problema.

Ejemplos: 1. ¿Cuál es la capacidad de

almacenamiento de un tanque cilíndrico de gas que tiene un radio de 48 pies y una altura de 140 pies?

2. ¿Cuánta sopa puede contener el bote (en mm3)? y ¿Cuántos milímetros cuadrados de papel son necesarios para elaborar la etiqueta si los extremos se traslapan 5 mm? Para un bote cilíndrico de sopa tiene un diámetro de 66 mm y una altura de 100 mm.

3. ¿Qué cantidad de aire contiene una pelota cuyo diámetro es de 20 cm?

4. ¿Cuál es la densidad del azúcar? Si se sabe que un terrón de azúcar de 3 cm por 2 cm y por 1 cm pesa 9.6 g . Nota la densidad es igual a masa sobre volumen.

P T-Bachiller



5. ¿Cuál es la masa de un pedestal? Si se sabe que es una columna de mármol cuya densidad es de 2.7 kg/m3 , que tiene la forma de un prisma regular de base octagonal y que la altura del pedestal es de 5 m, el perímetro de la base es de 198.82 cm y la apotema de la base es de 30 cm.

Respuestas Unidad I

1.1.2

Transformación de grados a radianes y viceversa.

3. a) 45° b) 30° c) 360°

4.

a)

34π

b)

32π

c) 4π

Competencia tecnológica 1. 2.0944 rad, 1.4486 rad 2. 3.5343°, 228.04° 3.

0 0

10 0.17453333

20 0.34906667

30 0.5236

40 0.69813333

50 0.87266667

60 1.0472

70 1.22173333

80 1.39626667

90 1.5708

100 1.74533333

110 1.91986667

120 2.0944

130 2.26893333

140 2.44346667

150 2.618

160 2.79253333

170 2.96706667

180 3.1416

190 3.31613333

200 3.49066667

210 3.6652

220 3.83973333

230 4.01426667

240 4.1888

250 4.36333333

260 4.53786667

270 4.7124

280 4.88693333

290 5.06146667

300 5.236

310 5.41053333

320 5.58506667

330 5.7596

340 5.93413333

350 6.10866667

360 6.2832 1.

0π 0

0.125π 22.5

0.25π 45

0.375π 67.5

0.5π 90

0.625π 112.5

0.75π 135

0.875π 157.5

P T-Bachiller



1π 180

1.125π 202.5

1.25π 225

1.375π 247.5

1.5π 270

1.625π 292.5

1.75π 315

1.875π 337.5

2π 360

Competencia científico teórica

1. rad2s

π , cm16s

π

2. rad120s

π

3. 19 rad120 s

π

4. 3 rad20 sπ

1.1.3

150°

1.2.1


Está a 80.827m de cada vértice.


120 m


16748ft2


6.9031 m

1.2.2

Realización del ejercicio 1. P=100 cm; A=750cm2 2. P=24 cm; A=35cm2

1.2.3

Realización del ejercicio 1. 1.77 m2

3.1415 cm


a) Al =735 cm2; At =2049.9 cm2; V =13807

cm3;

b) Al =144 cm2; At =288 cm2; V =288 cm3;

Pirámides


1. 60 cm3 2. Un prisma 3. Investigación de campo 4. Prisma>pirámide

1.3. 2 1.

a) Al =678.58 cm2; At = 904.78 cm2; V =2035.8 cm3;

b) Al =427.6 cm2; At =628.32 cm2; V =1005.3 cm3; 2. A = 1256.6 cm2; V =4188.8 cm3;

Realización del ejercicio 1. 1013400 ft3 2. 342120 mm3, 21235 mm2; 3. V =4188.8 cm3; 4. 16g/ cm3; 5. 4.0262 kg;

P T-Bachiller



PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 1 Nombre de la práctica Medición de ángulos Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el Alumno medirá ángulos y los expresará en diferentes sistemas de unidades usando las fórmulas de conversión

Escenario Aula Duración 2 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría

• Calculadora

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Procedimiento

Aplicar las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica. • Limpiar el área de trabajo. • Evitar la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo.

En ésta práctica se van medir ángulos y a representarlos en los diferentes sistemas de medición. 1. Usar el juego de geometría para construir un ángulo recto, un ángulo agudo, un ángulo obtuso y un

ángulo llano. 2. Medir el ángulo recto con el transportador. 3. Medir el ángulo agudo con el transportador. 4. Medir el ángulo obtuso con el transportador. 5. Medir un ángulo llano con el transportador. 6. Transformar las medidas del ángulo recto, agudo, obtuso y llano de grados a grados centesimales. 7. Transformar las medidas del ángulo recto, agudo, obtuso y llano de grados a radianes. NOTA: 90º sexagesimales equivalen a 100 grados centesimales.

NOTA: Sabemos que la longitud de una circunferencia es igual a 2 rπ por lo que aceptamos que subtiende un

ángulo central de 2π radianes así como también sabemos que la circunferencia subtiende un ángulo de 360º, convierte los ángulos que mediste a radianes. 8. Registrar resultados en una tabla. 9. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.

Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.

P T-Bachiller



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 1: Medición de Ángulos


Fecha: ______________

Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño.

Desarrollo Si No No

Aplica Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica

• Limpió el área de trabajo

• Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de trabajo

1. Uso el juego de geometría para construir un ángulo recto, un ángulo agudo, un ángulo obtuso y un ángulo llano

2. Midió el ángulo recto con el transportador

3. Midió el ángulo agudo con el transportador

4. Midió el ángulo obtuso con el transportador

5. Midió el ángulo llano con el transportador

6. Transformó las medidas de los ángulos de grados a grados centesimales 7. Transformó las medidas de los ángulos de grados a radianes 8. Registro sus resultados en una tabla 9. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá

incluir las conclusiones de la misma

Colocó las hojas desechables en el recipiente destinado para las mismas

Observaciones:

PSA: Hora de inicio: Hora de término: Evaluación:

P T-Bachiller



DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 2 Nombre de la práctica Determinación de ángulos Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el Alumno determinará ángulos de acuerdo con sus propiedades en diferentes configuraciones.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta

• Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría

P T-Bachiller



Procedimiento


1. Medir con el transportador el ángulo 1 de la siguiente figura. 2. Determinar el valor de los demás ángulos, justificar su respuesta.

3. Registrar los valores en la bitácora. 4. Medir con el transportador el ángulo EOA de la siguiente figura. 5. Determinar el valor de los demás ángulos, justifica tu respuesta

6. Calcular el ángulo T de la siguiente figura en la que AB || CD, EI es una transversal, GH es la

bisectriz del ángulo AGI; el ángulo AGH = 35º.

P T-Bachiller



Procedimiento 7. Responder las siguientes preguntas usando la figura siguiente, en donde AB || GH, IJ es una

transversal. ¿Cuáles son los ángulos alternos internos y como son entre si? ¿Cuáles son los correspondientes?

8. Presentar conclusiones por equipo. 9. Exponer al grupo los resultados. 10. Resolver dudas en grupo. 11. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones

de la misma.


P T-Bachiller



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 2:

Determinación de Ángulos


Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________ Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño.

Desarrollo Si No No




1. Midió con el transportador el ángulo1

2. Determinó el valor de los demás ángulos y justificó su respuesta 3. Registró los valores en la bitácora 4. Midió con el transportador el ángulo EOA 5. Determinó el valor de los demás ángulos y justificó su respuesta 6. Calculó el ángulo T 7. Respondió las preguntas 8. Presentó conclusiones por equipo 9. Expuso al grupo los resultados 10. Resolvió dudas en grupo 11. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá



Observaciones:


P T-Bachiller



DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 3 Nombre de la práctica Determinación de ángulos en triángulos Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el Alumno determinará los ángulos de diferentes triángulos, de acuerdo con sus propiedades



P T-Bachiller



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 3: Determinación de Ángulos en Triángulos



Desarrollo Si No No

Aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica

• Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de

trabajo

1. Calculó el valor de los ángulos A y B de la figura 1

2. Calculó el valor de los ángulos A y B de la figura 2 3. Calculó la distancia A B de la figura 3 4. Expuso sus conclusiones, utilizando sus cartulinas para una explicación con el

material de tipo mural

5. Estableció conclusiones en grupo 6. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá



Observaciones:


P T-Bachiller



DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 4 Nombre de la práctica Determinación de rectas y puntos notables de un

triángulo

Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el Alumno determinará gráficamente al incentro, circuncentro, ortocentro y gravicentro en un triángulo de acuerdo con sus definiciones



P T-Bachiller



Procedimiento


1. Realizar el triangulo PQR que se muestra en la figura 1.

Figura 1

2. Determinar el incentro. El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, cuyos lados

son tangentes a la circunferencia para esto traza las bisectrices de los tres ángulos, el punto de concurrencia de la bisectrices es el incentro.

3. Realizar el dibujo que se muestra en la figura 2:

Figura 2

P T-Bachiller



Procedimiento

4. Determinar el circuncentro, el circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices de los lados del triángulo. El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de tal manera que los tres vértices del triangulo tocan la circunferencia. ¿Dónde se encuentra el circuncentro dentro o fuera del triángulo?

5. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 3?

Figura 3

6. Determinar el circuncentro. ¿Dónde se encuentra el circuncentro dentro o fuera del triángulo? 7. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 4.

Figura 4

8. Determinar las alturas del triangulo. La altura del triangulo es el segmento que se traza desde un vértice perpendicularmente a su lado opuesto.

9. Determinar el ortocentro. El ortocentro es el punto de concurrencia de las tres alturas del triangulo.

P T-Bachiller



Procedimiento 10. Realizar un dibujo como el que se muestra en la figura 5:

Figura 5

11. Determinar las medianas del triangulo. La mediana del triangulo es el segmento que se traza desde un vértice al punto medio del lado opuesto.

12. Determinar el gravicentro. El gravicentro es el punto de concurrencia de las tres medianas del triangulo. 13. Exponer sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una

explicación con el material de tipo mural. 14. Presentar conclusiones por equipo. 15. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.

Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior

envió a reciclaje.

P T-Bachiller



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 4: Determinación de rectas y puntos notables de un triángulo


Fecha: ______________ Nombre del Alumno: ______________________________________________________________

Instrucciones: A continuación se presentan los criterios a verificar en el desempeño del Alumno. De la siguiente lista marque con una aquellas actividades que hayan sido cumplidas por el Alumno durante su desempeño.

Desarrollo Si No No

Aplica

Aplicó las medidas de seguridad e higiene en el desarrollo de la práctica

• Limpió el área de trabajo • Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de

trabajo

1. Realizó el triangulo PQR que se muestra en la figura 1

2. Determinó el incentro del triángulo de la figura 1 3. Realizó el dibujo que se muestra en la figura 2 4. Determinó el circuncentro, del triángulo que se muestra en la figura 3 5. Realizó el dibujo que se muestra en la figura 6. Determinó las alturas del triangulo del triángulo de la figura 4 7. Determinó el ortocentro del triángulo de la figura 4 8. Realizó el dibujo que se muestra en la figura 5 9. Determinó las alturas del triángulo de la figura 5 10. Determinó el ortocentro de la figura 5 11. Determinó el gravicentro de la figura 5 12. Determinó las medianas del triángulo 13. Determinó el gravicentro

14. Cada equipo nombró un relator

15. Participó en el establecimiento de conclusiones grupales 16. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá



Observaciones:


P T-Bachiller



DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 5 Nombre de la práctica Identificación de propiedades, postulados y

teoremas de los círculos


Al finalizar la práctica el Alumno identificará las propiedades, postulados y teoremas de los círculos mediante su construcción



P T-Bachiller



Procedimiento


1. Trazar 10 círculos de diferentes radios con ayuda del compás. 2. Colocar un hilo a lo largo de cada uno de los círculos. 3. Medir la longitud de cada hilo 4. Realizar una cuadrícula sobre cada uno de los círculos, lo más fina que sea posible. 5. Contar el número de cuadros N . 6. Calcular el área de cada uno de los cuadros cA

7. Calcular las cantidades 2P rπ= y 2A rπ= para cada uno de los valores del radio. 8. Registrar datos en la siguiente tabla

r l 2 rπ cNA 2rπ

9. Escribir las definiciones de los elementos de la circunferencia: radio, diámetro, cuerda, arco, tangente y

secante. 10. Ilustrar los elementos de la circunferencia. 11. Escribir las definiciones de: ángulo central, ángulo inscrito, ángulo excéntrico, ángulo exterior, ángulo

semi-inscrito Ilustrar en un círculo estos ángulos. 12. Comprobar mediante construcción los siguientes postulados del círculo: Postulado 1: Dos círculos son iguales si tienen radios iguales. Postulado 2: Los radios de un mismo círculo son iguales. Postulado 3:Dos arcos son iguales cuando tienen los mismos los mismos radios y coinciden sus extremos.

P T-Bachiller



Procedimiento 13. Comprobar mediante construcción los teoremas del círculo: Teorema 1. Si una recta es perpendicular a un radio en el extremo de éste, la recta es tangente al círculo. Teorema 2. La perpendicular trazada por el centro de un círculo a una cuerda, bisecta la cuerda y los arcos subtendidos. Teorema 3. En todo círculo, dos paralelas intersecan arcos iguales, se presentan 3 casos: a) dos secantes, dos tangentes, tangente y secante. 14. Exponer resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación

con material de tipo mural. 15. Presentar conclusiones. 16. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.


P T-Bachiller



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 5: Identificación de propiedades, postulados y teoremas de los círculos



Desarrollo Si No No




1. Trazó 10 círculos de diferentes radios con ayuda del compás

2. Coloco un hilo a lo largo de cada uno de los círculos 3. Midió la longitud de cada hilo 4. Realizó una cuadrícula sobre cada uno de los círculos 5. Contó el número de cuadros N

6. Calculó el área de cada uno de los cuadros cA

7. Calculó las cantidades 2P rπ= y 2A rπ= para cada uno de los valores del radio

8. Registró datos en la siguiente tabla 9. Escribió las definiciones de los elementos de la circunferencia: radio,

diámetro, cuerda, arco, tangente y secante

10. Ilustró los elementos de la circunferencia 11. Escribió las definiciones de: ángulo central, ángulo inscrito, ángulo

excéntrico, ángulo exterior, ángulo semi-inscrito

12. Ilustró en un círculo estos ángulos 13. Comprobó mediante construcción los postulados del círculo 14. Comprobó mediante construcción los teoremas del círculo 15. Expuso resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las

cartulinas para una explicación con material de tipo mural

16. Presentó conclusiones 17. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá


P T-Bachiller



Desarrollo Si No No

Aplica


Observaciones:


P T-Bachiller



DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 1 Práctica número 6 Nombre de la práctica Determinación de áreas y volúmenes de sólidos Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el Alumno determinará áreas superficiales y volúmenes de sólidos usando fórmulas


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Bitácora • Lápiz • Papel • Cartulina • Resistol • Juego de geometría

P T-Bachiller



Procedimiento


En ésta práctica se van a identificar determinar superficies y volúmenes de sólidos. 1. Redactar las definiciones de las siguientes figuras: prisma, pirámide cilindro, cono y esfera. 2. Construir con la cartulina prismas: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal. 3. Construir con la cartulina pirámides: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal. 4. Construir con la cartulina un cilindro, cono. 5. Registrar para los prismas: su altura y los lados de su base 6. Registrar para las pirámides: su altura y los lados de su base. 7. Registrar para el cilindro: su altura (generatriz), y el radio del círculo 8. Registrar para el cono; su altura y su radio. 9. Responder las siguientes preguntas: para los prismas ¿A qué es igual el área lateral?, ¿a qué es igual el

área total? Y ¿a qué es igual su volumen? 10. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para prismas. 11. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para las pirámides. 12. Calcular el área lateral, el área total y el volumen para los prismas y piramidales construidas. 13. Registrar resultados.

P T-Bachiller



Procedimiento 14. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para el cilindro. 15. Calcular el área lateral, el área total y el volumen para el cilindro construido. 16. Registrar resultados. 17. Responder las preguntas ¿Qué es la generatriz? , ¿por qué recibe ese nombre? 18. Indicar la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen, para el cono,. 19. Calcular el área lateral, el área total y el volumen del cono. 20. Registrar resultados. 21. Elaborar el reporte individual de la práctica.


P T-Bachiller



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 6: Determinación de áreas y volúmenes de sólidos



Desarrollo Si No No




1. Redactó las definiciones de las siguientes figuras: prisma, pirámide cilindro, cono y esfera

2. Construyó con la cartulina prismas: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal

3. Construyó con la cartulina pirámides: triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal

4. Construyó con la cartulina un cilindro, cono

5. Registró para los prismas: su altura y los lados de su base 6. Registró para las pirámides: su altura y los lados de su base 7. Registró para el cilindro: su altura (generatriz), y el radio del círculo 8. Registró para el cono; su altura y su radio 9. Respondió las siguientes preguntas: para los prismas

10. Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para prismas

11. Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen para las pirámides

12. Calculó el área lateral, el área total y el volumen para los prismas y piramidales construidas

13. Registró resultados 14. Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del volumen

para el cilindro

15. Calculó el área lateral, el área total y el volumen para el cilindro construido 16. Registró resultados 17. Respondió las preguntas para el cilindro

P T-Bachiller



Desarrollo Si No No

Aplica 1. Indicó la fórmula para el cálculo del área lateral, del área total y del

volumen, para el cono

2. Calculó el área lateral, el área total y el volumen del cono 3. Registró resultados 4. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá



Observaciones:


P T-Bachiller



RESUMEN

A lo largo de esta unidad el Alumno ha aprendido a reconocer los elementos de la geometría Como punto, segmento, ángulo y plano cartesiano para analizar y trabajar las figuras geométricas y los cuerpos geométricos. La compresión de estos elementos por su forma y el uso de sus perímetros áreas y volúmenes es una

herramienta muy valiosa para diseñar, cotizar y fabricar toda clase de productos en diversos materiales, para pasar del patrón en dos dimensiones a la prenda en tres dimensiones, saber seguir una indicación o un plano, elaborar un nuevo empaque o evaluar las dimensiones de un contenedor y sacar su volumen para identificar su capacidad de carga.

P T-Bachiller



SOLUCIÓN DE PROBLEMAS REALES UTILIZANDO FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS .

Este capítulo se ha elaborado con la finalidad de utilizar las identidades

trigonométricas y sus funciones como una valiosa herramienta en diversas

áreas de la vida profesional y cotidiana

P T-Bachiller





15 h


15 h


7 h



20 h

2.2 Solucionar ecuaciones trígonométricas y triángulos oblicuángulos usando funciones trigonométricas, identidades trigonométricas y propiedades de los triángulos

17 h

Módulo



72h




37 h



37 h

P T-Bachiller



2.1.1 FUNCIONES DEFINIDAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

• Razón

Al cociente de un número entre otro distinto de cero se le llama razón. En un triangulo rectángulo hay seis razones posibles para un ángulo dado. A estas razones se les conoce como funciones trigonométricas. • Funciones trigonométricas

Como ya se mencionó en el tema 1.2.1 los lados del triangulo que forman el ángulo recto reciben el nombre de catetos y el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa.

Denotando por co al cateto opuesto, por ca al cateto adyacente y por h a la hipotenusa Las seis funciones trigonométricas se definen como:

sen co ah c

θ = =

cos ca bh c

θ = =

tan co aca b

θ = =

cot ca bco a

θ = =

sec h cca b

θ = =

csc h cco a

θ = =

• Funciones trigonométricas reciprocas La cotangente es la función recíproca de la tangente:

1 cottan

ba

θθ

= =

La secante es la función recíproca del coseno: 1 sec

coscb

θθ

= =

La cosecante es la función recíproca del seno: 1 csc

sen ca

θθ

= =

• Identidades trigonométricas básicas Una identidad es una igualdad, a partir de las definiciones de las funciones trigonométricas se tienen las siguientes identidades trigonométricas.

sen tan cos

θθθ

=

tan cot 1θ θ = cos sec 1θ θ = sen csc 1θ θ =

• Funciones trigonométricas de ángulos

complementarios

Los ángulos α y β son complementarios, es

decir 90ºα β+ = .

De la figura:

sen cos ac

α β= =

cos sen bc

α β= =

Puesto que 90ºα β+ = :

( )sen cos 90º α α= −

( )cos sen 90º α α= −

De la figura:

P T-Bachiller



tan cotab

α β= =

cot tanba

α β= =


( )tan cot 90º α α= −

( )cot tan 90º α α= −

De la figura:

sec csccb

α β= =

csc secca

α β= =


( )sec csc 90º α α= −

( )csc sec 90º α α= −

En conclusión:

( )sen cos 90º α α= −

( )cos sen 90º α α= −

( )tan cot 90º α α= −

( )cot tan 90º α α= −

( )sec csc 90º α α= −

( )csc sec 90º α α= −

• Funciones trigonométricas inversas

La función inversa del seno es la función arco cuyo

seno es y se denota por arcsen o por 1sen− .

La función inversa del coseno es la función arco cuyo coseno es y se denota por arccos o por

1cos−.

La función inversa de la tangente es la función arco cuyo tangente es y se denota por arctan o

por 1tan−.

La función inversa de la cotangente es la función arco cuyo cotangente es y se denota por arccot o

por 1cot−.

La función inversa de la secante es la función arco cuyo secante es y se denota por arcsec o por

1sec−.

La función inversa de la cosecante es la función arco cuyo cosecante es y se denota por arccsc. o

por 1csc−.

Generalmente en las calculadoras las funciones arco de las funciones trigonométricas se denotan como:

-1

-1

-1

sen arcsen cos arccos tan arctan

θ θ

θ θ

θ θ

=

=

=

Realización del ejercicio Competencia tecnológica. Usar la calculadora o la computadora para la solución de

problemas trigonométricos.

El Alumno:

1. Resolverá los siguientes ejercicios: a) Obtener los valores de las funciones

trigonométricas del ángulo α , considerando que a = 20 y b = 30. Obtenga el valor del ángulo α en grados y en radianes.

b) Calcular el valor de β si α mide 48.35º. c) Determinar el valor de la hipotenusa si, α

es de 40° y el cateto adyacente es de 20. d) Determinar el valor de la cosecante si el

valor del seno es de 0.9702. 2. Realizará un reporte escrito con los datos

de cada ejercicio, las fórmulas o conceptos

P T-Bachiller



empleados, un esquema para cada ejercicio y sus resultados.

Sugerencias o Notas

Competencia Científico-teórica Identificar el uso de las funciones trigonométricas para calcular variables en física. El Alumno:

1. Analizará la siguiente nota: En ausencia de fricción el ángulo de peralte apropiado de una carretera depende de la velocidad del automóvil y de la curvatura del camino.

2

tan vRg

θ =

donde v es la velocidad del automóvil R el radio

de la curva y 2

m9.81s

g =, la aceleración de la

gravedad. 2. Identificará la dependencia de las variables

físicas con la función trigonométrica. Realización del ejercicio

Competencia Científico-teórica Determinar variables físicas usando funciones trigonométricas.

El Alumno: 1. Determinará el ángulo de peralte para una carretera con una radio de la curva de 100 m y una velocidad del automóvil de 60 km/h.

2. Redactará sus conclusiones.

Realización del ejercicio Competencia laboral Resolver problemas laborales usando funciones trigonométricas

El Alumno:

1. Investigará problemas del área de

su especialidad en los que se usen

para su solución funciones

trigonométricas.


datos de cada problema, las

funciones empleadas, un esquema

para cada problema e identificará

el área de su especialidad donde

aparece dicho problema. Ejemplos: El Alumno: 1. Determinará la altura de una torre. Si una

persona esta parada a 60 m de la base de una torre, la persona mide 1.6 m y el ángulo de elevación es de 70º (El ángulo de elevación es el ángulo, medido desde la horizontal, al que una persona tendría que elevar su línea de visión para ver un objeto}

2. Determinará la longitud de un cable que se

debe tender desde la azotea de un edificio a un punto en el suelo que está a 30 m en línea recta. Si una persona acostada sobre la azotea observa el punto con un ángulo de depresión de 70° (el ángulo de depresión, es el ángulo, medido desde la horizontal, al que una persona tendría que bajar su línea de visión para ver un objeto).

• Sistema coordenado cartesiano Para obtener una gráfica en un plano, se necesitan dos rectas dirigidas. Las dos rectas son perpendiculares entre sí y se intersecan en el número cero, al punto de intersección se le llama origen. A la línea horizontal se le llama eje de las x,

P T-Bachiller



o de las abscisas y a la línea vertical se le llama eje de las y ó de las ordenadas. Al conjunto se le conoce como sistema de coordenadas cartesiano o sistema de coordenadas rectangulares. En el eje de las abscisas, los números positivos se encuentran a la derecha del origen y los números negativos a la izquierda. En el eje de las ordenadas los números positivos se encuentran arriba del origen y los valores negativos debajo de él. Los dos ejes dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes. Un punto P en este plano se determina con las dos coordenadas (x, y).

• Círculo trigonométrico Con la finalidad de recordar con facilidad los signos que tienen las funciones trigonométricas en los cuatro cuadrantes y de observar las variaciones de las funciones en estos cuatro cuadrantes, se construye el círculo trigonométrico. Este es un círculo de radio uno que se traza de manera de que su centro coincida con el origen de las coordenadas.

En el primer cuadrante: Aplicando las definiciones de las funciones sen,

cos, tan, cot, y puesto que:

OC = OB = OA = 1, se tiene que:

En el triángulo BOD:

BD BDsen BDOB 1OD ODcos ODOB 1

α

α

= = =

= = =

En el triángulo COT: CT CTtan CTOC 1

α = = =

En el triángulo AOR: AR ARcot AROA 1

α = = =

De lo anterior, la representación de estas funciones por líneas queda como se muestra a continuación:

En el segundo cuadrante:

P T-Bachiller



En el triángulo BOD:

BD BDsen BDOB 1OD ODcos ODOB 1

α

α

= = =

= = =


α = = =

En el triángulo AOR:

AR ARcot AROA 1

α = = =


En el tercer cuadrante:

En el triángulo BOD: BD BDsen BDOB 1OD ODcos ODOB 1

α

α

= = =

= = =


α = = =

En el triángulo AOR:

AR ARcot AROA 1

α = = =


En el cuarto cuadrante:

P T-Bachiller



En el triángulo BOD: BD BDsen BDOB 1OD ODcos ODOB 1

α

α

= = =

= = =


α = = =

En el triángulo AOR: AR ARcot AROA 1

α = = =


• Signos de funciones trigonométricas en

los cuadrantes

A partir del círculo trigonométrico se pueden

identificar el valor de cada función en los cuadrantes. Del análisis del círculo trigonométrico en los cuatro cuadrantes podemos concluir que: El seno es positivo en el primer y segundo cuadrante y negativo en el tercer y cuarto cuadrante. El coseno es positivo en el primer y cuarto cuadrantes, y negativo en el segundo y tercer cuadrantes. La tangente es positiva en el primer y tercer cuadrantes, y negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. La cotangente es positiva en el primero y tercer cuadrante, y negativa en el segundo y cuarto cuadrantes. Recordando que la secante es la función reciproca del coseno y que la cosecante es la función reciproca del seno, toda esta información la podemos expresar en la siguiente tabla: 1o 2o 3o 4o sen θ + + - - cos θ + - - + tan θ + - + - cot θ + - + - sec θ + - - + csc θ + + - - • Identidades trigonométricas de reducción Con frecuencia se presentan problemas en los que intervienen funciones de ángulos mayores de 90º y sus valores se pueden relacionar con los valores de las funciones de ángulos menores de 90º. Es en estos casos es conveniente el uso de las identidades trigonométricas de reducción:

( )sen sen θ θ− = −

( )cos cos θ θ− =

( )tan tan θ θ− = −

( )cot cot θ θ− = −

( )sec sec θ θ− =

P T-Bachiller



( )csc csc θ θ− = −

• Resolución de los triángulos rectángulos Se entiende por resolución de un triangulo, la determinación de todos los ángulos y de todos los lados del triangulo. Debemos recordar que las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras son aplicables en los triángulos rectángulos. A continuación mostraremos los cuatros casos que se nos pueden presentar en la resolución de triángulos rectángulos. Caso 1: Se conocen dos catetos. La estrategia a seguir es:

1. Calcular la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras.

2. Calcular uno de los ángulos agudos usando el la función tangente.

3. Calcular el otro ángulo usando el hecho de que éste ángulo es complementario del ángulo ya obtenido.

Caso 2: Se conoce un cateto y la hipotenusa.

4. Calcular el cateto desconocido usando el Teorema de Pitágoras.

5. Calcular uno de los ángulos agudos usando la función seno.

6. Calcular el otro ángulo agudo usando el hecho de que éste ángulo es complementario del ángulo ya obtenido.

Caso 3: Se conoce un cateto y un ángulo agudo.

1. Calcular el otro ángulo agudo usando el hecho de que éste ángulo es complementario del ángulo dado.

2. Calcular el otro cateto usando el ángulo obtenido en el punto anterior y el cateto dado, usando la función tangente, o bien calcular la hipotenusa usando la función coseno.

3. Calcular la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras.

Caso 4: Se conoce la hipotenusa y un ángulo agudo.

1. Calcular el otro ángulo agudo usando el hecho de que éste ángulo es complementario del ángulo dado.

2. Calcular uno de los catetos usando el ángulo obtenido en el punto anterior y la hipotenusa dada, usando la función seno.

3. Calcular el otro cateto usando el teorema de Pitágoras.

Por ejemplo: Encontrar todos los valores de un triángulo donde el cateto adyacente mide 24 m y el ángulo entre el cateto adyacente y la hipotenusa 65°.

Planteamiento Análisis Usando la función tangente, obtenemos el valor del otro cateto:

( )( )tan 65º 24 tan 65º 51.4624a a= ⇒ = =

La hipotenusa se obtiene usando el teorema de Pitágoras:

2 224 51.46 56.78c = + = β es el complemento del ángulo de 65º, entonces:

90º 65º 25ºβ = − =


Competencia tecnológica. Usar la calculadora o la computadora para la solución de

problemas trigonométricos.

P T-Bachiller



Competencia lógica Identificar las operaciones necesarias para determinar los lados o ángulos en los triángulos rectángulos. El Alumno:

1. Resolverá los siguientes ejercicios:

2. Identificará el tipo de caso.

3. Redactará su solución, mostrando un esquema,

y las fórmulas empleadas.

a) Calcular todos los lados y ángulos

del triángulo rectángulo con un

ángulo agudo de 35° e hipotenusa

de 42 mm.

b) Encontrar la altura de un edificio si

a las 9 am, su sombra es de 11.34

m y el ángulo de la sombra es de

57.8°.

c) Determinar la altura de un árbol si

su sombra tiene una longitud de 5

m a las 14:00 horas y forma un

ángulo de 45° con respecto al

tronco.

d) Sabiendo que la hipotenusa mide

28.5 cm y un ángulo agudo de 38°

¿Cuánto miden los otros dos

lados?

e) Determinar, el valor de la superficie

de un cuadrado si su diagonal

mide 42 m.

• Funciones trigonométricas de ángulos de

cuadrante.

A continuación obtendremos las funciones trigonométricas de ángulos de cuadrante.

Consideraremos el triángulo rectángulo:

Ángulo de 0º Con este triángulo haciendo ángulo 0ºα =

, se

obtiene b =c y a = 0, entonces:

0 bsen 0º 0 csc 0ºb 0c bcos 0º 1 sec 0º 1b c0 ctan 0º 0 cot 0ºc 0

= = = → ±∞

= = = =

= = = → ±∞

Ángulo de 90º

Con este triángulo haciendo ángulo 90ºα =

, se

obtiene b = a y c = 0, entonces:

P T-Bachiller



a bsen 90º 1 csc 90º 1b a0 bcos 90º 0 sec 90ºb 0a 0tan 90º cot 90º 00 a

= = = =

= = = → ±∞

= =→ ±∞ = =

Ángulo de 180º


, se

obtiene b = c y a = 0, entonces:

0 bsen 180º 0 csc 180ºb 0

c bcos 180º 1 sec 180º 1b0 btan 180º 0 cot 180ºc 0

c

= = = → ±∞

−= = − = = −

−

= = = → ±∞−

Ángulo de 270º


, se

obtiene a = b y c = 0, entonces:

a bsen 270º 1 csc 270º 1b

0 bcos 270º 0 sec 270ºb 0

btan 270º cot 270º 10

a

aa

= − = − = = −−

= = = → ±∞

−= → ±∞ = = −

− Del ángulo de 360º, son las mismas que las del ángulo de 0º.

• Funciones trigonométricas de los ángulos

de 30º, 45º y 60º.

Para los ángulos de 30º y de 60º, trazamos un triángulo equilátero ABC de 2 unidades de lado, bisecamos el ángulo C y formamos dos triángulos rectángulos iguales:

P T-Bachiller



Calculamos el segmento CD usando el teorema de Pitágoras:

2 2 2

2 2 2

2 24 1 3

AC AD CD

AC AD CD

CD AC AD

= +

− =

= − = − =

Entonces las funciones trigonométricas del ángulo de 30º son:

1sen 30º csc 30º 22

3 2 2 3cos 30º sec 30º2 331 3tan 30º cot 30º 3

33

= =

= = =

= = =

Del ángulo de 60º

3 2 2 3sen 60º csc 60º2 33

1cos 60º sec 60º 22

1 3tan 60º 3 cot 60º33

= = =

= =

= = =

Para el ángulo de 45º trazamos un triángulo

isósceles, con MO y OP iguales entre sí, e iguales a uno, usando el teorema de Pitágoras calculamos

la hipotenusa, que es igual a 2 :

1 2sen 45º csc 45º 222

1 2cos 45º sec 45º 222

tan 45º 1 cot 45º 1

= = =

= = =

= =

Funciones trigonométricas del ángulo de

120º. 180º-120º = 60º, entonces el ángulo DAC = 60º y está en el segundo cuadrante

3 2 2 3sen 120º csc 120º

2 331cos 120º sec 120º 22

1 3tan 120º 3 cot 120º33

= = =

= − = −

= − = − = −


135º

P T-Bachiller



180º-135º=40º, entonces el ángulo AOP = 45º y está en el segundo cuadrante

1 2sen 135º csc 135º 2

221 2cos 135º sec 135º 2

22tan 135º 1 cot 135º 1

= = =

= − = − = −

= − = −


150º 180º-150º=30º, entonces el ángulo AOD = 30º y está en el segundo cuadrante

1sen 150º csc 150º 22

3 2 2 3cos 150º sec 150º2 33

1 3tan 150º cot 150º 333

= =

= − = − = −

= = − = −−

Gráficas de funciones trigonométricas Para la construcción de las gráficas, se empleara un

sistema de coordenadas rectangulares Tabulamos los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 15º en 15º. A cada uno de los pares de valores de la tabla anterior, los consideramos como las coordenadas de un punto.

Seno:

0º 0

15º .2588

30º .5

45º .7071

60º .8660

75º .9559

90º 1

105º .9659

120º .8660

135º .7071

150º .5

165º .2588

180º 0

195º -.2588

210º -.5

225º -.7071

240º -.8660

255º -.9659

270º -1

285º -.9659

300º -.8660

315º -.7071

330º -.5

345º -.2588

360º 0

P T-Bachiller



Gráfica del seno :

-1 .5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0º 15º 30º 45º 60º 75º 90º 105º 120º 135º 150º 165º 180º 195º 210º 225º 240º 255º 270º 285º 300º 315º 330º 345º 360º

Repitiendo el mismo proceso, obtenemos:

Gráfica del coseno

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5


Gráfica de la tangente

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Gráfica de la cotangente:

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Gráfica de la secante

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5


Gráfica de la cosecante

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0º 15º 30º 4 5º 60º 75º 90º 105º 120º 1 35º 150º 165º 180º 195º 210º 225º 240º 255º 270º 285 º 300º 315º 33 0º 345º 360º


Competencia tecnológica

Usar programas de software como

Excel para obtener las gráficas de las funciones trigonométricas. El Alumno:

1. Realizará una tabla en Excel con

los valores de las funciones

trigonométricas

P T-Bachiller



2. Trazará en éste programa sus

gráficas.

3. Elaborará un reporte donde

indique las características de cada

gráfica.

2.1.2 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Una identidad trigonometrica es una igualdad algebraica entre razones de un mismo ángulo que se verifican para cualquier valor que se atribuya a dicho ángulo. Del teorema de Pitágoras

1. 2 2sen cos 1θ θ+ =

Demostración:

De la figura: 2

22sen A sena aA

b b= ⇒ =

2

22cos A cosa aA

b b= ⇒ =

Entonces: 2 2 2

2 22 2 2sen cos 1a c bA A

b b b+ = + = =

2 2sen cos 1A A+ =

De aquí: 2 2

2 2

sen 1 coscos 1 sen

A AA A

= −

= −

2.

sen tancos

AAA

=

Demostración:

De la figura:

sen aAb

=

y

cos cAb

=

y

tan aAc

=

entonces:

sen cos

aA ab

cA cb

= =

sen tan cos

AAA

=

De aquí:

sen tan cosA A A= sen cos tan

AAA

=

3. cos cotsen

AAA

=

Demostración:

P T-Bachiller



De la figura:

cos cAb

=

y

sen aAb

=

entonces:

cos sen

cA cb

aA ab

= =

cot cAa

=

cos cot sen

AAA

=

De aquí:

cos cot sen A A A= cos sen cot

AAA

=

4. 2 2sec 1 tanA A= +

Demostración:

De la figura:

2

22sec sec b bA A

c c= ⇒ =

Por el teorema de Pitágoras 2 2 2b a c= +

2 2 22

2 2sec 1a c aAc c+

= = +

tan aAc

=

Entonces: 2 2sec tan 1A A= +

De aquí: 2 2sec tan 1A A− = 2 2tan sec 1A A= −

5. 2 2csc 1 cotA A= +

Demostración:

De la figura:

2

22csc csc b bA A

a a= ⇒ =

Por el teorema de Pitágoras 2 2 2b a c= +

2 2 22

2 2csc 1a c cAa a+

= = +

cot cAa

=

2 2csc 1 cotA A= +

P T-Bachiller



De aquí: 2 2cot csc 1A A= − 2 2csc cot 1A A− =

• De la suma de ángulos

1. ( )sen sen cos cos sen a b a b a b+ = +

De la figura:

( )sen NDa bOD

+ =

ND NH HD= +

NH MC=

ND MC HD= +

entonces:

( )sen MC HD MC HDa bOD OD OD+

+ = = +

multiplicando por 1 los términos del lado derecha

de ésta ecuación:

( )sen

MC OC HD CDa bOD OC OD CD

CM OC DH CDOC OD CD OD

+ = +

= +

y

sen y cos CM DHa aOC CD

= =

sen y cos CD OCb bOC OD

= =

entonces:

( )sen sen cos cos sen a b a b a b+ = +

2. ( )cos cos cos sen sen a b a b a b+ = −

De la figura:

( )cos ONa bOD

+ =

OM ON NM= +

ON OM NM= −

NM HC=

ON OM HC= −

( )cos OM HC OM HCa bOD OD OD

−+ = = −

Multiplicando por 1 los términos del lado derecha

de ésta ecuación:

( )cos

OM OC HC CDa bOD OC OD CD

OM OC HC CDOC OD CD OD

+ = −

= −

y

sen y cos HC OMa aCD OC

= =

sen y cos CD OCb bOD OD

= =

entonces:

P T-Bachiller



( )cos cos cos sen sen a b a b a b+ = −

3. ( ) tan tantan1 tan tan

a ba ba b+

+ =−

Demostración:

( ) ( )sentan

cos( )a b

a ba b

++ =

+

Sustituyendo las identidades 1 y 2 de suma de

ángulos:

( ) sen cos cos sentancos cos sen sen sen cos cos sencos cos cos cos cos cos sen sen cos cos cos cos

a b a ba ba b a ba b a ba b a ba b a ba b a b

++ =

−

+=

−

Pero: sen sen tan y tancos cos

a ba ba b

= =

( ) tan tantan1 tan tan

a ba ba b

++ =

−

4. ( ) cot cot 1cotcot cot

a ba ba b+ −

+ =+

Demostración:

( ) ( )coscot

sen ( )a b

a ba b

++ =

+

Sustituyendo las identidades 1 y 2 de suma de

ángulos

( ) cos cos sen sen cotsen cos cos sen

a b a ba ba b a b

−+ =

+

Dividimos el numerador y el denominador entre sen sen a b :

( )cos cos sen sen sen sen sen sen cot sen cos cos sen sen sen sen sen

a b a ba b a ba b a b a ba b a b

−+ =

+

entonces:

( ) cot cot 1cotcot cot

a ba bb a

−+ =

+

• De la diferencia de ángulos

1. ( )sen sen cos sen cosa b a b b a− = −

Demostración:

Sustituimos –b en la identidad 1 de la suma de

ángulos:

( ) ( ) ( )sen sen cos cos sena b a b a b− = − + −

Usando las propiedades:

( )( )

sen sen

cos cos

b b

b b

− = −

− =

entonces:

( )sen sen cos sen cos a b a b b a− = −

2. ( )cos cos cos sen sen a b a b a b− = +

Demostración:


ángulos:

( ) ( ) ( )cos cos cos sen sen a b a b a b− = − − −

Usando las propiedades:

( )( )

sen sen

cos cos

b b

b b

− = −

− =

entonces:

( )cos cos cos sen sen a b a b a b− = +

3. ( ) tan tantan1 tan tan

a ba ba b

−− =

+


ángulos

( ) ( )( )

tan tantan

1 tan tana b

a ba b

+ −− =

− −

Usando la propiedad:

( )tan tan b b− = −

entonces:

P T-Bachiller



( ) tan tantan1 tan tan

a ba ba b

−− =

+

4. ( ) cot cot 1cotcot cot

a ba bb a

+− =

−


ángulos

( ) ( )( )

cot cot 1cot

cot cota b

a bb a

− −− =

− +

Usando la propiedad:

( )cot cot b b− = −

entonces:

( )

( ) ( )( )

( )

cot cot 1cotcot cotcot cot 1

cotcot cot

cot cot 1cotcot cot

a ba bb aa b

a bb a

a ba bb a

− −− =

− ++−

− =− −

+− =

−

• Suma y diferencia de senos y cosenos

1. sen sen 2 sen cos2 2

A B A BA B + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Usamos las identidades (1) de la suma de ángulos

y (1) de la diferencia de ángulos:

( )sen sen cos cos sen a b a b a b+ = +

( )sen sen cos sen cosa b a b b a− = −

Sumamos miembro a miembro:

( ) ( )sen sen 2sen cosa b a b a b+ + − =

y sumando miembro a miembro las identidades (1) de la suma de ángulos y (1) de la diferencia de ángulos:

( ) ( )sen sen 2 cos sen a b a b b a+ + − = (*)

si hacemos

A a b= + y B a b= −

Sumando estas ecuaciones , obtenemos:

22

A BA B a a ++ = ⇒ =

y restándolas, obtenemos

22

A BA B b b −− = ⇒ =

Sustituyendo en (*)

sen sen 2 sen cos2 2

A B A BA B + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


A B A BA B − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Usamos las identidades (1) de la suma de ángulos

y (1) de la diferencia de ángulos:

Sumamos miembro a miembro:

( ) ( )sen sen 2sen cosa b a b a b+ + − =

y restando miembro a miembro las identidades (1)

de la suma de ángulos y (1) de la diferencia de

ángulos:

( ) ( )sen sen 2sen cosa b a b b a+ − − = (*)

Sustituyendo las mismas A y B de la identidad

anterior, encontramos:

sen sen 2 sen cos2 2

A B A BA B − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


A B A BA B + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

• Del doble de un ángulo (Ángulos dobles)

1. ( )sen 2 2 sen cosa a a=

Usamos la identidad (1) de la suma de ángulos con

a b= :

( )sen 2 sen cos cos sen 2 sen cosa a a a a a a= + =

2.

( ) 2 2 2 2cos 2 cos sen 1 2 sen 2 cos 1a a a a a= − = − = −


P T-Bachiller



a b= :

( ) 2 2cos 2 cos sen a a a= −

y usando la identidad: 2 2sen cos 1a a+ =

tenemos que:

( ) 2cos 2 1 2 sena a= −

o bien

( ) 2cos 2 2 cos 1a a= −

3. ( ) 2

2 tantan 21 tan

aaa

=−


a b= :

( ) 2

2 tantan 21 tan

aaa

=−

• Funciones cuadráticas

1. ( )2 1 cos 2

sen2

aa

−=

De la identidad (2) del doble de un ángulo

despejamos 2sen a :

( )

( )

2

2

cos 2 1 2 sen

1 cos 2sen

2

a a

aa

= −

⇒

−=

2.( )2 1 cos 2

cos2

aa

+=

( ) 2cos 2 2 cos 1a a= −

De la identidad (2) del doble de un ángulo

despejamos 2cos a :

( )

( )

2

2

cos 2 2 cos 1

1 cos 2cos

2

a a

aa

= −

⇒

+=

• De la mitad del ángulo (Medios ángulos)

1. 1 coscos

2 2a a+

=

En las identidades hacemos 2ab = :

2 2

2 2

sen cos 1cos sen cos 2

b bb b b

+ =

− =:

entonces:

2 2

2 2

sen cos 12 2

cos sen cos2 2

a a

a a a

+ =

− = (**)

Sumando miembro a miembro estas ecuaciones:

22cos 1 cos2a a= +

entonces:

1 coscos2 2a a+

=

2. 1 cossen

2 2a a−

=

Ahora restando las ecuaciones (**) que usamos en

la identidad anterior:

22 sen 1 cos2a a= −

entonces:

1 cossen2 2a a−

=

3. 1 costan

2 1 cosa a

a−

=+

Usando la identidad

sen2tan

2 cos2

aa

a=

y las dos identidades anteriores:

P T-Bachiller



1 cos1 cos2tan

2 1 cos1 cos2

aa a

aa

−−

= =++

Estudio individual

Competencia tecnológica.

Buscar en Internet más identidades

trigonométricas. Competencia de información

Buscar en libros de trigonometría más identidades

trigonométricas.

El Alumno:

1. Buscará en los libros que se

encuentran en la biblioteca en el

Internet identidades

trigonométricas del triple de un

ángulo.

2. Demostrará la validez de dichas

identidades.

Competencia lógica

Demostrar identidades

trigonométricas.

El Alumno: 1. Demostrará las siguientes identidades:

a) 2

2 tan 3tan 61 tan 3

xxx

=−

b) 2 2cos sen cos 2x x x= +

c) 2 2sec tan 1x x− =

d) 2 2csc cot 1x x− =

Estudio individual

Competencia Tecnológica

Usar la calculadora o la computadora para

demostrar la validez o no de identidades

trigonométricas.

El Alumno:

1. Demostrará que las siguientes

expresiones no son identidades

con el ángulo dado como

contraejemplo.

a) 1sen sen ; con =30º

2 2x x θ≠

b) 1cos cos ; con =45º

2 2x x θ≠

c) 1tan tan ; con =60º

2 2x x θ≠


Competencia analítica Usar identidades trigonométricas para simplificar expresiones en problemas del área de su especialidad.

El Alumno:

1. Identificará las identidades que se

deben usar para resolver los

siguientes ejercicios.

2. Resolverá los siguientes ejercicios.

3. Comentará con el PSA el área de

especialidad de cada uno de los

ejercicios.

P T-Bachiller



Ejercicios:

1. En un circuito de ca con reactancia, la potencia

instantánea está dada por: cos sen máx máxP V I t tω ω=

Demuestre que: 2 sen 2 máx máxP V I tω=

2. Un cable vibra con amplitud decreciente dada

por:

( )4 1 sen 2xA e x−= +

Demuestre que:

( )4 sen cosxA e x x−= +

3. El alcance de un proyectil disparado un ángulo

de elevación a una velocidad está dado por: 22 cos senvR

gθ θ

=

Demuestre que:

( )2 sen 2vR

gθ

=

2.2.1 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre funciones trigonométricas de un mismo ángulo que sólo se satisface para un valor o valores dados del ángulo.

En la solución de las ecuaciones trigonométricas se aplican los mismos métodos que en las ecuaciones algebraicas, pero hay que despejar alguna de las funciones trigonométricas: Como un primer ejemplo, consideraremos ecuaciones de primer grado en donde intervengan las funciones trigonométricas: 3 sen 1 0α − =

Despejamos a sen α : 1sen 3

α =

y calculamos la función inversa del seno entonces:

1 1sen 19.47º 19º 28.2'3

α − ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

• Solución de ecuaciones trigonométricas

usando la calculadora

En la calculadora personal con que se trabaje hay que identificar los pasos para determinar las funciones inversas de las funciones trigonométricas. Generalmente en las calculadoras se presentan las funciones inversas del seno, coseno y tangente. Entonces un paso conveniente es plantear la solución del problema como funciones inversas del seno, coseno y tangente.

Por ejemplo en la ecuación:

csc 2 0y − = Recordamos que la cosecante es la función inversa del seno, entonces:

1 2 0sen

1 2sen

1sen 2

y

y

y

− =

⇒

=

⇒

=

:

Tomamos la función inversa den seno:

1 1sen 30º2

y − ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

En algunos casos para despejar a la función trigonométrica se deben usar identidades. Ahora consideraremos ecuaciones de segundo grado de funciones trigonométricas, por ejemplo la ecuación:

22cos cos 1 0θ θ− − =

Esta ecuación es del tipo: 2 0ax bx c+ + =

P T-Bachiller



su solución está dada por la fórmula general: 2 4

2b b acx

a− ± −

=

Entonces, para la ecuación que nos interesa

resolver:

( )( )( )

1 1 4 2 1 1 9 1 3cos2 2 4 4

θ± − − ± ±

= = =

Se tienen como era de esperar dos soluciones: 1 3cos 1

41 3 1cos

4 2

θ

θ

+= =

−= = −

entonces:

( )11

12

cos 1 0

1cos 120º2

θ

θ

−

−

= =

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

Para determinar las soluciones gráficamente, usando calculadora o graficadora, se debe graficar la función igualada que esta igualada a cero, Para el ejemplo que acabamos de realizar la función que se grafica es:

( ) 22cos cos 1f θ θ θ= − −

Para graficar esta función hemos usado Excel.

1. Tabulamos la función

0 0

10 -0.04511534

20 -0.17364895

30 -0.36602691

40 -0.59239843

50 -0.81643824

60 -1.00000212

70 -1.10806557

80 -1.11333982

90 -0.99999633

100 -0.76603763

110 -0.42401431

120 0

130 0.46915395

140 0.93970755

150 1.36603907

160 1.70574769

170 1.92450632

180 2

190 1.92449372

200 1.70572378

210 1.36600627

220 0.93966916

230 0.46911375

240 0

250 -0.424047

260 -0.76606215

270 -1.00001102

280 -1.11334424

290 -1.10806049

300 -0.9999894

310 -0.81642056

320 -0.59237894

330 -0.36600881

340 -0.17363508

350 -0.04510784

360 0

Y con estos valores graficamos,

P T-Bachiller



-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 120 240 360


Competencia analítica.

Resolver ecuaciones

trigonométricas.

Competencia tecnológica.

Usar la calculadora o la computadora para determinar gráficamente las soluciones de una ecuación trigonométrica.

El Alumno: 1. Determinará analíticamente las

soluciones de las siguientes ecuaciones trigonométricas:

2. Graficará las siguientes ecuaciones trigonométricas.

3. Redactará un reporte escrito, con su solución analítica, con su solución gráfica y sus conclusiones.

1. 24 sen 3 0x − = ;

2. 4 sen csc 0x x− =

3. 23 cos cos 0x x+ =

4. tan 2 sen 0x x− =

5. 23 tan 4 3 tan 3a a− = −

Consulta con el docente

Competencia científico teórica. Resolver problemas de física en donde intervengan ecuaciones trigonométricas.

El Alumno: 1. Consultará con el PSA los

fundamentos teóricos para la solución del siguiente ejercicio.

2. Resolverá el siguiente ejercicio. 3. Redactará un reporte escrito con la

solución, un esquema, sus resultados y sus conclusiones.

Ejercicios: 1. Determinará el ángulo de refracción fθ de un

rayo de luz que choca contra un medio con índice de refracción 1.61n = , y ángulo de incidencia

30ºiθ = . Nota: La ley de Snell o ley de la

refracción establece que a medida que un rayo de luz pasa de un medio a otro, la razón del seno del ángulo de incidencia con el seno del ángulo de refracción está dada por:

sen sen

i

f

n θθ

=

donde n es el índice de refracción. 2.2.2 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Hemos ya resuelto triángulos rectángulos usando las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras. Ahora mostraremos como resolver triángulos oblicuángulos, que como ya sabemos son aquellos que no tienen un ángulo recto. Para resolverlos, es decir, para determinar todos sus lados y todos sus ángulos se necesitan conocer las leyes que a continuación se presentan:.

• Ley de los senos

En todo triángulo sus lados son proporcionales a los senos de ángulos opuestos.

sen sen sen a b c

α β χ= =

P T-Bachiller



Demostración:

Sea el triángulo ABC :

sen sen

sen sen

CD CD bb

CD CD aa

α α

β β

= ⇒ =

= ⇒ =

entonces:

sen sen b aα β=

sen sen

a bα β

=

sen sen

sen sen

AF AF bb

AF AF cc

χ χ

β β

= ⇒ =

= ⇒ =

entonces:

sen sen b cχ β=

sen sen

c bχ β

=

Por tanto:

sen sen sen a b c

α β χ= =

• Ley de los cosenos En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados, menos el doble del producto de tales lados por el coseno del ángulo que forman.

2 2 2 2 cosa b c bc α= + − 2 2 2 2 cosb a c ac β= + − 2 2 2 2 cosc a b ab χ= + −

Demostración

cos cos

cos cos

AD AD bb

DB DB aa

α α

β β

= ⇒ =

= ⇒ =

Aplicando el teorema de Pitágoras a cada uno de los dos triángulos rectángulos de la figura:

2 2 2DB DC a+ = 2 2 2AD DC b+ =

Restando miembro a miembro estas ecuaciones : 2 2 2 2DB AD a b− = −

Factorizando

( )( ) 2 2DB AD DB AD a b− + = −

Pero por construcción: AD DB c+ = entonces:

P T-Bachiller



( ) 2 2DB AD c a b− = −

Resolvemos el sistema: 2 2a bDB AD

c−

− =

DB AD c+ = Sumando las dos ecuaciones anteriores:

2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

a b c a bDB cc c

c a bDBc

− + −= + =

⇒

+ −=

2 2 2

2 2 2

2

2

AD c DBc a bAD c

cc a bAD

c

= −

+ −= −

− +=

Pero: cosAD b α=

entonces: 2 2 2

2 2 2

cos2

2 cos

c a bbc

a b c bc

α

α

− +=

⇒

= + −

Por otra parte: cosDB a β=

entonces: 2 2 2

2 2 2

cos2

2 cos

c a bac

b a c ac

β

β

+ −=

⇒

= + −

cos cosCF CF bb

χ χ= ⇒ =

Por el teorema de Pitágoras 2 2 2AF FC b+ = 2 2 2AF FB c+ =

Restando miembro a miembro estas ecuaciones:

( )( )

2 2 2 2

2 2

FC FB b cFC FB FC FB b c

− = −

+ − = −

Por construcción: FC FB a+ = Resolvemos el sistema: FC FB a+ =

2 2b cFC FBa−

− =

Sumando estas ecuaciones: 2 2 2 2 2

2 2 2

2

2

b c a b cFC aa a

a b cFCa

− + −= + =

⇒

+ −=

Pero: cosFC CF b χ= =

entonces: 2 2 2

2 2 2

cos2

2 cos

a b cba

c a b ab

χ

χ

+ −=

⇒

= + −

• Ley de las tangentes

( )

( )

1tan21tan2

a ba b

α β

α β

+ +=

−−

( )

( )

1tan21tan2

b cb c

β χ

β χ

+ +=

−−

P T-Bachiller



( )

( )

1tan21tan2

c ac a

χ α

χ α

+ +=

−−

Demostración: Por ley de los senos:

sen sen

sen sen

a b

ab

α β

αβ

=

⇒

=

De aquí:

sen sen

a bαβ

=

entonces: sen sen sen sen

b ba ba b b b

a b ba b

αβαβ

−−

=+ +

−=

+ b

sen sen sen 1sen sen sen sen sen 1sen sen

α α ββ βα α ββ β

−−

=+

+

sen sen sen sen

a ba b

α βα β

− −=

+ +

Usando las identidades de la suma y diferencia de senos:

( ) ( )

( ) ( )

1 12sen cos2 21 12sen cos2 2

a ba b

α β α β

α β α β

− +−=

+ + −

( ) ( )1 1tan cot2 2

a ba b

α β α β−= − +

+

Pero

( )( )

1 1cot 12 tan2

α βα β

+ =+

entonces:

( )

( )

1tan21tan2

a ba b

α β

α β

−−=

+ +

Por tanto:

( )

( )

1tan21tan2

a ba b

α β

α β

+ +=

−−

Siguiendo procedimientos similares se obtienen:

¡Error!( )

( )

1tan21tan2

b cb c

β χ

β χ

+ +=

−−

( )

( )

1tan21tan2

c ac a

χ α

χ α

+ +=

−−

• Resolución de triángulos oblicuángulos

A continuación mostraremos las estrategias para resolver triángulos oblicuángulos. Un triangulo oblicuángulo tenemos seis posibles valores a determinar, los tres lados y los tres ángulos. Si se tienen como datos conocidos tres elementos de los triángulos en los que se incluya por lo menos uno de los lados, se pueden presentar los casos siguientes:

Caso: Estrategia de

solución: Datos

1 Ley de senos Dos lados y un ángulo

2 Ley de senos Dos ángulos y un lado

3 Ley de cosenos Los tres lados

4 Ley de tangentes

ó ley de cosenos

Dos lados y el ángulo

comprendido.

P T-Bachiller



Ejemplo caso 1: Se conocen dos lados y un ángulo.

Datos:

57.36ºα = 31.5

24.47

a

b

=

=

1

sen sen

sen sen sen sen

a b

b ba a

α β

α αβ β −

=

⇒

⎛ ⎞= ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Sustituyendo valores:

1 24.47 sen 57.36sen 40.85º31.5

β − ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Puesto que la suma de los ángulos en un triangulo es igual a 180º:

180º 57.36º 40.85º 81.79ºχ = − − = Usando nuevamente ley de senos:

sen sen

sen sen

a c

ac

α χ

χα

=

⇒

=


( )31.5 sen 81.79º37.02

sen 57.36ºc = =

Ejemplo caso 2: Se conocen dos ángulos y un lado.

Datos:

25.43º

47º

13.24a

α

β

=

=

=

Puesto que la suma de los ángulos en un triangulo es igual a 180º:

180º 25.43º 47º 107.57ºχ = − − =

Usando ley de senos:

sen sen

sen sen

a c

ac

α χ

χα

=

⇒

=


( ) ( )( )

13.24 sen 107.57º29.39

sen 25.43ºc = =

Usando nuevamente ley de senos

sen sen

sen sen

a b

ab

α β

βα

=

⇒

=


( ) ( )( )

13.24 sen 47º22.55

sen 25.43ºb = =

P T-Bachiller



Ejemplo caso 3: Se conocen los tres lados.

Datos: 131418

abc

===

Se usa ley de cosenos:

2 2 2 2 cosa b c bc α= + −

Despejamos cosα : 2 2 2

cos2

a b cbc

α − + +=

entonces:

2 2 2

1cos2

a b cbc

α − ⎛ ⎞− + += ⎜ ⎟

⎝ ⎠


( ) ( ) ( )( )( )

2 2 21 13 14 18

cos 45.85º2 14 18

α −⎛ ⎞− + +

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Usando nuevamente ley de cosenos: 2 2 2 2 cosb a c ac β= + −

Despejamos cos β : 2 2 2

cos2

b a cac

β − + +=

entonces: 2 2 2

1cos2

b a cac

β − ⎛ ⎞− + += ⎜ ⎟

⎝ ⎠


( ) ( ) ( )( )( )

2 2 21 14 13 18

cos 50.61º2 13 18

β −⎛ ⎞− + +

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Puesto que la suma de los ángulos en un triangulo

es igual a 180º:

180º 45.85º 50.61º 83.54ºχ = − − =

Ejemplo caso 4: Se conocen los dos lados y el

ángulo comprendido Datos:

205025.43º

abχ

===

Puesto que la suma de los ángulos en un triangulo

es igual a 180º. Se tiene que:

180ºα β χ+ + =

entonces:

180º 180º 25.43º 154.57ºα β χ+ = − = − =

Usando ley de tangentes:

( )

( )

1tan21tan2

a ba b

α β

α β

+ +=

−−


P T-Bachiller



( )

( )

( ) ( )

( )

1tan 154.57º 20 50 721 20 50 3tan2

1 3 1tan tan 154.57º2 7 21tan 1.8992

α β

α β

α β

+= = −

−−

⇒

⎛ ⎞− = − ⎜ ⎟⎝ ⎠

− = −

entonces:

( ) ( )11 tan 1.899 62.23º2

α β −− = − = −

124.46ºα β− = −

Resolvemos el sistema:

154.57ºα β+ =

124.46ºα β− = −

Sumando estas dos ecuaciones:

2 30.10º 15.05ºα α= ⇒ =

y

154.57º 154.57º 15.05º 139.519ºβ α= − = − =

Usando ley de senos

sen sen

sen sen

a c

ac

α χ

χα

=

⇒

=

Sustituyendo valores 20 sen 25.43º 33.07

sen 15.05c = =


Competencia científico teórica

Resolver problemas de física que

involucren triángulos oblicuángulos.

El Alumno: 1. Consultará con el PSA los fundamentos

teóricos para la solución de los siguientes ejercicios.

2. Resolverá los siguientes ejercicios. 3. Redactará un reporte escrito con la

solución, un esquema, sus resultados y sus conclusiones.

Ejercicios: a) Determinará la magnitud de la fuerza

resultante, para dos fuerzas que actúan sobre un objeto. La magnitud de una fuerza es de 35 lb y la de la otra 50 lb. Si el ángulo entre las dos fuerzas mide 32.15º.

b) En la siguiente figura se muestran dos

fuerzas representadas por los vectores ABuuur

y BCuuur

. Si 12AB N= y 23BC N= y 121.27ºABC∠ = , encuentre la magnitud

de Rur

y la medida de θ .

Respuestas de la Unidad 2

2.1.1


1. 33.69 0.588 radα = ° =

2. 41.65β = °

P T-Bachiller



3. h = 26.108

4. 1.0307


15.8°

Realización del ejercicio 1. 166.45 m 2. 82.424 m

Realización del ejercicio 1. 35°, 55°, 90°, 24.09 mm, 34.405 mm. 2. 7.14 m 3. 1 m 4. 22.458 cm, 17.546 cm 5. 881.97m2

2.2.1


18.093°

2.2.2


81.782lb


30.977

P T-Bachiller


101

PRÁCTICAS Y LISTAS DE COTEJO

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 2 Práctica número 7 Nombre de la práctica Uso del círculo trigonométrico Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el Alumno determinará las funciones trigonométricas con ayuda del círculo trigonométrico


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta

• Bitácora • Lápiz • Papel • Juego de geometría


Procedimiento


1. Construir un círculo trigonométrico. NOTA: Círculo trigonométrico: En un sistema de ejes coordenados, se traza un círculo de manera que su centro coincida con el origen de las coordenadas y con un radio que vale una unidad de longitud y se trazan los triángulos siguientes: Un ángulo α positivo cualquiera con vértice en el origen, tal que su lado inicial coincida con la parte positiva del eje x. Los puntos C y B son intersecciones de la circunferencia con los lados inicial y final, respectivamente, del ángulo α. Desde B se traza el segmento BD que es perpendicular al eje x. En C se traza una tangente a la circunferencia que interseca el lado final del ángulo α en T. En A, que es el punto de intersección de la circunferencia con la parte positiva de las Y, se traza una tangente a la circunferencia que interseca el lado final del ángulo α en el punto R.

Los triángulos rectángulos BOD, COT y AOR son semejantes por tener dos ángulos y el lado correspondiente iguales. 2. Representar las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente mediante líneas, en

cada uno de los cuatro cuadrantes. 3. Responder las siguientes preguntas: a) En el primer cuadrante ¿cuáles funciones trigonométricas son

positivas y cuales negativas?, b) En el segundo cuadrante ¿cuáles funciones trigonométricas son positivas y cuales negativas?, c) En el tercer cuadrante ¿cuáles funciones trigonométricas son positivas y cuales negativas?, d) En el cuarto cuadrante ¿cuáles funciones trigonométricas son positivas y cuales negativas?

P T-Bachiller


103

Procedimiento 4. Usar el círculo trigonométrico, para determinar los valores de las funciones trigonométricas de los

ángulos siguientes: 30º, 45º , 60º, 120º, 135 y 150º. 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma. Utilizar las hojas por ambas caras y las de desecho colocarlas en el recipiente destinado para su posterior envió a reciclaje.



Uso del círculo trigonométrico



Desarrollo Si No No




1. Construyó el círculo trigonométrico 2. Representó las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y

cotangente en cada uno de los cuatro cuadrantes

3. Respondió las preguntas acerca de las funciones trigonométricas 4. Determinó los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos

siguientes: 30º, 45º , 60º, 120º, 135 y 150º

5. Elaboró de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la misma


Observaciones:


P T-Bachiller


105

DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 2 Práctica número 8 Nombre de la práctica Construcción de gráficas de funciones

trigonométricas


Al finalizar la práctica el Alumno construirá gráficas de funciones trigonométricas en un sistema coordenado y siguiendo el procedimiento que se establece



• Calculadora


Procedimiento


NOTA: Para la construcción de las gráficas se empleara un sistema de coordenadas rectangulares y se seguirá el siguiente procedimiento:

A) Elaborar una tabla donde se tabule el ángulo θ y usar la calculadora para evaluar la función trigonométrica para los siguientes valores de θ : 0º, 30º, 60º, 90º, 120º, 150º, 180º, 210º, 240º, 270º, 300º, 330º, 360º.

B) Considerar como coordenadas de cada punto a cada uno de los pares de valores que corresponden a los valores anteriores, (los ángulos sobre el eje de las x en este caso igualmente espaciados cada división corresponde a un ángulo de 30º y la función correspondiente sobre el eje de las y).

C) Trazar en sistema coordenado, todos los puntos representados por cada par de valores. D) Unir los puntos trazados mediante una curva y así se obtiene así la grafica correspondiente de la

función trigonométrica. La curva se puede extender indefinidamente hacia la derecha y hacia la izquierda.

1. Construir las gráficas para las funciones seno, coseno y tangente, siguiendo el procedimiento anterior. 2. Responder las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el valor máximo y cuál el valor mínimo del seno y del

coseno? b) ¿Cómo varían los valores de las funciones a través de los cuatro cuadrantes? c) ¿Para qué valores de θ la función tangente no esta definida?

3. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.



Construcción de gráficas de funciones trigonométricas

P T-Bachiller


107



Desarrollo Si No No




1. Construyó las gráficas siguiendo el procedimiento para cada una de las funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente

2. Respondió las preguntas 3. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá



Observaciones:



DESARROLLO DE LA PRÁCTICA

Unidad de aprendizaje 2 Práctica número 9 Nombre de la práctica Resolución de triángulos Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el Alumno determinará los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos y oblicuángulos usando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas para triángulos rectángulos y la ley de senos y cosenos para los triángulos oblicuángulos



P T-Bachiller


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Procedimiento


1. Usar las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras resolver los siguientes ejercicios de

triángulos rectángulos:

a. A 57 m del pie de una antena de radiodifusión, el ángulo de elevación en su extremo superior es de 29º37'. ¿Cuál es la altura de la antena si la del aparato con que se mide el ángulo es de 1.45 m?

b. A 27 m de la base de una columna, se miden los ángulos de elevación del borde superior de la columna y del extremo más alto de una estatua. Los ángulos medidos son 57º32’ y 56º 101. Determina cuál es la longitud de la estatua.

c. El tirante de un puente forma un ángulo de 38º50' con la horizontal. ¿Cuál es la altura del puente donde está colocado el tirante si tiene una longitud de 64 m?

d. Calcula la longitud de uno de los lados de un hexágono regular que está circunscrito en un círculo de 238 m de diámetro.

e. El radio de una circunferencia mide 352 m. Determina la longitud de la cuerda que subtiende un ángulo de 21 radianes.

2. Usar las funciones trigonométricas, la ley de los senos y la ley de los cosenos para resolver los siguientes

triángulos oblicuángulos:

a) Dados a = 46.65, b = 33.65 C = 52º25’, obtener A, B y c. b) Dados a = 35.20, b = 62.4 C = 65º20’, obtener A y c. c) Dados b = 32.65, c = 42.25 A = 35º22’, obtener a. d) Dados a = 872.5, b = 632.7 C = 80º, obtener c. e) Dados A = 35º26’, B = 47º34’ a =13.24, obtener c.

3. Exponer sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una

explicación con material de tipo mural. 4. Presentar conclusiones 5. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.



LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 9: Resolución de triángulos



Desarrollo Si No No


• Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de

trabajo

1. Usó las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para resolver los ejercicios de triángulos rectángulos

2. Usó las funciones trigonométricas, la ley de los senos y la ley de los cosenos para resolver los triángulos oblicuángulos

3. Expuso sus resultados al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una explicación con material de tipo mural




Observaciones:


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DESARROLLO DE LA PRÁCTICA Unidad de aprendizaje 2 Práctica número 10 Nombre de la práctica La circunferencia de la Tierra Propósito de la práctica

Al finalizar la práctica el Alumno encontrará un valor aproximado de la circunferencia de la tierra a partir de las funciones trigonométricas.

Escenario Su región Duración 3 h

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta • Cuaderno • Lápiz • Papel • Juego de geometría • 2 palos de un metro • 2 Cintas métricas • Calculadora


Procedimiento


Trabajo en equipo 1. Ubicar dos lugares lo más lejanos posibles dentro de la ciudad. 2. Establecer la distancia entre ellos a través de un mapa a escala y su conversión. 3. Usar dos palos rectos de la misma medida, idealmente de un metro pero puede ser mayor. 4. Fijar una hora exacta para realizar el experimento en las dos locaciones(entre más distante del medio día

sea la hora fijada la sombra será mas amplia). 5. Parar cada palo perpendicularmente al piso formando un ángulo de 90º con el suelo y medir la sombra

que proyecta. 6. Obtendrán todos los valores del triángulo formado por el palo y su sombra. 7. Registrar en su carpeta la hora, el lugar, la medida del palo y la medida de la sombra. 8. Al reunirse los equipos resolverán, mediante las ecuaciones trigonométricas previamente vistas la diferencia

de ángulo en ambos triángulos. 9. El resultado lo usarán sobre la distancia entre los puntos bajo la premisa de a X distancia, θ apertura de

ángulo. ¿Cuál será la distancia para 360º? 10. Exponer sus resultados, al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las cartulinas para una

explicación con material de tipo mural. 11. Presentar conclusiones. 12. Elaborar de manera individual el reporte escrito de la práctica que deberá incluir las conclusiones de la

misma.


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LISTA DE COTEJO DE LA PRÁCTICA NÚMERO 10: La circunferencia de la Tierra



Desarrollo Si No No


• Limpió el área de trabajo Evitó la manipulación de líquidos y alimentos cerca de los documentos de

trabajo

1. Tomo los datos y las medidas necesarias durante la investigación de campo

2. Usó las funciones trigonométricas para resolver el triángulo rectángulo 3. Uso las funciones de diferencia de ángulos para sacar la razón de distancia

por grado

4. Uso el planteamiento correcto para sacar la circunferencia 5. Expuso sus resultados al término del tiempo fijado por el PSA., utilizando las

cartulinas para una explicación con material de tipo mural




Observaciones:



RESUMEN En este segundo capítulo se ha analizado la relación entre los lados y los ángulos del triángulo, Desde las identidades trigonométricas que aportan una sencilla y clara relación entre uno de un ángulo del triangulo rectángulo con los lados de la misma figura considerados desde el vértice del ángulo en mención hasta niveles de resolución y análisis más complejos como el uso y despeje de las funciones trigonométricas para resolver situaciones concretas y aprovechar de forma óptima las herramientas de trabajo y medición de la vida moderna.

El poder completar la información de un triángulo oblicuángulo por medio de la trigonometría es en sí mismo una herramienta intelectual de gran valia para el estudio de figuras irregulares y resolver ecuaciones de física con todo lo que estas pueden aportar a la ciencia, la tecnología y la forma de vida cotidiana de nuestra civilización.

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AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

1. Convertir 25º15’16” sexagesimales en grados centesimales.

2. Convertir 28’6’3” centesimales en grados sexagesimales.

3. Convertir en grados sexagesimales a 5π

radianes.

4. ¿Cuál es el ángulo complementario de 35º?

5. ¿Cuál es el ángulo suplementario de 30º?

6. ¿Cuál es el ángulo conjugado de 120º?

7. Enuncia el teorema de Pitágoras.

8. Calcula el cateto x en:

9. Calcula el cateto x en la figura:



10. Calcula el valor de la altura h en la figura

11. Cuatro ángulos interiores de un pentágono irregular miden respectivamente 120º, 90º, 75º y 135º

¿cuánto mide el quinto ángulo?

12. En un heptágono regular, calcula a) la suma de los ángulos interiores, b) el número de diagonales, c)

el valor de un ángulo interior.

13. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyo lado interior es de 60º?

14. Calcular el área y el volumen de un ortoedro con: largo 5 cm, ancho 4 cm, altura 3 cm.

15. Calcular el área total de una pirámide cuadrangular cuya arista base mide 3 cm y su apotema 6 cm.

16. Calcular el área total de un cilindro cuyo radio de la base mide la altura 6 cm.

17. Calcular el área total de un cono con un radio de la base de 5 cm, y una generatriz de 6 cm.

18. Calcular el volumen de una esfera de 3 m de radio.

19. Una escalera de 8.50 m de longitud está apoyada en una pared. ¿Qué altura alcanzará si forma con el

suelo un ángulo de 65º?

20. Un rectángulo mide 21 cm de largo por 13 cm de ancho. Calcula la longitud de la diagonal y el ángulo

formado por ésta y el mayor de los lados.

21. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un triángulo isósceles, si su base mide 3.25 cm y

su altura 1. 15 cm?

22. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores de un triángulo isósceles cuya base mide 2.34 m y

cada uno de los lados iguales 2.5 m?

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23. Un triángulo equilátero está inscrito en un círculo de 12 cm de radio. Obtener la longitud del lado.

23. Determina el ángulo de elevación del Sol, si un poste de 7 m de altura proyecta una sombra de 2.5 m.

24. Resuelve la ecuación trigonométrica “ sen cos 0a a+ = ”, para los valores positivos del ángulo a ,

menores que 360º.

25. Resuelve la ecuación trigonométrica “ 2 sen 1 0a − = ”, para los valores positivos del ángulo a ,

menores que 360º.

26. Resuelve la ecuación trigonométrica “ 2 4sec3

a = ”, para los valores positivos del ángulo a , menores

que 360º.

27. Obtén b, c y C dados A = 25º 26’ B = 47º y a = 13.24 en un triángulo oblicuángulo.

28. Obtén a, C y c dados A = 70º 26’ B = 58º30’ y b = 0.725 en un triángulo oblicuángulo

29. Obtén B, C y c dados a = 31.50, b = 24.47 y A = 57º22’ en un triángulo oblicuángulo


RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

1. 28º6'3" centesimales

2. 25º15’14’’

3. 36º

4. 55º

5. 150º

6. 240º

7. En todo triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

8. 24x =

9. 448x =

10. 160h =

11. 120º

12. a) 900º, b) 128º34’17’’,c) 14

13. 3

14. Área = 94 cm2, Volumen = 60 cm3

15. Área total = 45 cm2

16. Área total = 169.64 cm2

17. Área total = 172.78 cm2

18. Área total = 113.09 m3

19. 7.7 m

20. 610,31º 45'

P T-Bachiller


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RESPUESTAS DE LA AUTOEVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS

21. 35º22'; 35º22'; 109º16'

22. 62º6' ; 62º6'; 55º48'

23. 20.784 m

24. 70º21'

25. 1 245º ,315º 135º ,225ºa a= =

26. 30º, 150º

27. 150º, 210º

28. C = 107º34’, b = 22.55, c = 29.39

29. a = 0.8011, C = 51º4’, c = 0.6613

30. B= 40º50’, C = 81º 48’ c = 37.02


REFERENCIAS DOCUMENTALES

1. Peterson, John C. Matemáticas Básicas, México, CECSA, 2004.

2. Baldor, Aurelio. Geometría plana y del espacio, México, Publicaciones Culturales, 2002.

3. Smith, Stanley A. y otros. Algebra, trigonometría y geometría analítica, México, Pearson Education,

1998.

4. Swokowski, Earl W. y Cole, Jeffrery A. Algebra y trigonometría con geometría analítica, México,

Grupo Editorial Iberoamérica, 1996.

5. Fuenlabrada, Geometría y Trigonometría México, McGraw-Hill, 1994

Proyecto Teleeducación, inictel, España 2003, Disponible en:

6. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/lineas.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

7. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/triang.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

8. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometria.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

9. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/poligon.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

10. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/cuadri.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

11. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/circunf.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

12. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/cubo.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

13. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/prisma.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

14. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/piramid.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

15. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/esfera.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

16. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/cilind.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

17. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/cono.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

18. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/trigonometria.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

19. Dr. David P. Stern, página de la Nasa Estados Unidos, 2001. Disponible en:

20. http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mtrig6.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

21. http://www-istp.gsfc.nasa.gov/stargaze/Mtrig1.htm, [Consulta: 3 de septiembre 2004].

22. Revista Matemáticas, Educación e Internet® , Disponible en:

http://www.itcr.ac.cr/revistamate/SoftDidactico/acuna/node1.html

23. Ángel Cabezudo Bueno, Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año Disponible en :

2000http://www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/

Resolucion_triangulos_oblicuangulos/Resolucion_triangulos_oblicuangulos

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MATEMÁTICAS II. GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA


e-cbccEducación-Capacitación

Basadas en Competencias

Contextualizadas

SECRETARÍA DEEDUCACIÓN

PÚBLICA

conalep

e-cbcc Educación-

Capacitación B d

Matemáticas II Geometría y

Trigonometría

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