Teoría de Errores y Guiones de Prácticas

FÍSICA MECÁNICA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA - UNIVERSIDAD DE JAÉN

Alumno : _________________________________________

Curso: _____________________ Grupo: ________________

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CONTENIDO

ANÁLISIS DE ERROR Y TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

1. Introducción.

2. Clasificación de los errores.

3. Conceptos de precisión, sensibilidad y exactitud.

4. Error absoluto. Error relativo

5. Determinación de los errores cometidos en las medidas directas

6. Determinación del error de una magnitud medida indirectamente

7. Construcción de gráficas

8. Ajuste de la recta de regresión por el método de mínimos cuadrados

9. Interpolación en tablas de simple entrada

10. Interpolación en tablas de doble entrada.

Normas generales del laboratorio.

Calificación de las prácticas y plazos de entrega.

PRÁCTICAS

1. Péndulo simple.

2. Aceleración de un cuerpo sometido a una fuerza constante.

3. Conservación de la energía mecánica.

4. Péndulo de torsión.

5. Choques elásticos unidimensionales.

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ANÁLISIS DE ERROR Y TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES

1. INTRODUCCIÓN

Todas las medidas experimentales vienen afectadas de una cierta imprecisión inevitable debida a las imperfecciones del aparato de medida, o a las limitaciones impuestas por nuestros sentidos que deben registrar la información. El principal objetivo de la denominada teoría de errores consiste en acotar el valor de dichas imprecisiones, denominadas errores experimentales. Dado que el valor de las magnitudes físicas se obtiene experimentalmente por medida (bien directa de la magnitud o bien indirecta, por medio de los valores medidos de otras magnitudes ligadas con la magnitud problema mediante una fórmula física) debe admitirse como postulado físico el hecho de que resulta imposible llegar a conocer el valor exacto de ninguna magnitud, ya que los medios experimentales de comparación con el patrón correspondiente en las medidas directas, viene siempre afectado de imprecisiones inevitables. De este modo, aunque es imposible encontrar en la práctica el valor "cierto" o "exacto" de una magnitud determinada, no hay duda de que existe, y nuestro problema es establecer los límites dentro de los cuales se encuentra dicho valor.

2. CLASIFICACIÓN DE LOS ERRORES

El error se define como la diferencia entre el valor verdadero y el obtenido experimentalmente. Los errores no siguen una ley determinada y su origen está  en múltiples causas. Atendiendo a las causas que los producen, los errores se pueden clasificar en dos grandes grupos, errores sistemáticos y errores accidentales.

Se denomina error sistemático a aquel que es constante a lo largo de todo el proceso de medida y, por tanto, afecta a todas las mediciones de un modo definido y es el mismo para todas ellas. Estos errores tienen un signo determinado y las causas probables pueden ser las siguientes:

- Errores instrumentales (de aparatos). Por ejemplo el error de calibrado es de este tipo.

- Error personal. Este es, en general, difícil de determinar y es debido a limitaciones de carácter personal. Un ejemplo de éste sería una persona con un problema de tipo visual.

- Error de la elección del método. Corresponde a una elección inadecuada del método de medida de la magnitud. Este tipo de error puede ponerse de manifiesto cambiando el aparato de medida, el observador, o el método de medida.

Se denominan errores accidentales a aquellos que se producen en las pequeñas variaciones que aparecen entre observaciones sucesivas realizadas por un mismo operador. Las variaciones no son reproducibles de una medición a otra, y no presentan más que por azar la misma magnitud en dos mediciones cualesquiera del grupo. Las causas de estos errores son incontrolables para un observador. Los errores accidentales son en su mayoría de magnitud muy pequeña y para un gran número de mediciones se obtienen tantas desviaciones positivas como negativas. Aunque con los errores accidentales no se pueden hacer correcciones para obtener valores más concordantes con el real, si se emplean

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métodos estadísticos se puede llegar a algunas conclusiones relativas al valor más probable en un conjunto de mediciones.

3. CONCEPTOS DE EXACTITUD, PRECISIÓN Y SENSIBILIDAD

En lo que respecta a los aparatos de medida, hay tres conceptos muy importantes que vamos a definir exactitud, precisión, y sensibilidad.

La exactitud se define como el grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental. De modo que, un aparato es exacto si las medidas realizadas con él son todas muy próximas al valor "verdadero" de la magnitud medida.

La precisión hace referencia a la concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales. De modo que, un aparato será  preciso cuando la diferencia entre diferentes medidas de una misma magnitud sean muy pequeñas.

La exactitud implica normalmente precisión, pero la afirmación inversa no es cierta, ya que pueden existir aparatos muy precisos que posean poca exactitud debido a los errores sistemáticos tales como error de cero, etc. En general, se puede decir que es más fácil conocer la precisión de un aparato que su exactitud. La sensibilidad de un aparato está  relacionada con el valor mínimo de la magnitud que es capaz de medir. Por ejemplo, decir que la sensibilidad de una balanza es de 5 mg significa que para masas inferiores a la citada, la balanza no presenta ninguna desviación.

Normalmente, se admite que la sensibilidad de un aparato viene indicada por el valor de la división más pequeña de la escala de medida. En muchas ocasiones, de un modo erróneo, se toman como idénticos los conceptos de precisión y sensibilidad, aunque hemos visto ya que se trata de conceptos diferentes.

4. ERROR ABSOLUTO. ERROR RELATIVO

Si medimos una cierta magnitud física cuyo valor "verdadero" es x0, obteniendo un valor de la medida x, llamaremos error absoluto en dicha medida, a la diferencia:

x = x – x0

donde en general se supone que |x | << |x0|. El error absoluto nos da una medida de la desviación, en términos absolutos respecto al valor "verdadero". No obstante, en ocasiones nos interesa resaltar la importancia relativa de esa desviación. Para tal fin, se usa el error relativo. El error relativo se define como el cociente entre el error absoluto y el valor "verdadero":

en forma porcentual se expresará  multiplicado por cien. Cuando indiquemos el valor de una medida de una magnitud, tendremos que indicar siempre el grado de incertidumbre de

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la misma, para lo que acompañaremos el resultado de la medida del error absoluto de la misma, expresando el resultado en la forma:

De ordinario, y dado el significado de cota de imprecisión que tiene el error absoluto, éste jamás debe tener más de dos cifras significativas, admitiéndose por convenio, que el error absoluto sólo puede darse con dos cifras significativas si la primera de ellas es un 1, o si siendo la primera un 2, la segunda no llega 5. En todos los demás casos debe darse un valor con una sola cifra, aumentando la primera en una unidad si la segunda fuera 5 o mayor que 5. El valor de la magnitud debe tener sólo las cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden decimal que la última del error absoluto, llamada cifra de acotamiento.

Como ejemplo damos la siguiente tabla de valores de distintas magnitudes (en la columna de la izquierda mal escritos y en la derecha corregidos) para poner de manifiesto lo dicho anteriormente.

Valores Incorrectos Valores Correctos

3.418 ± 0.123

6.3 ± 0.09

46288 ± 1551

428.351 ± 0.27

0.01683 ± 0.0058

3.42 ± 0.12

6.30 ± 0.09

46300 ± 1600

428.4 ± 0.3

0.017 ± 0.006

Si un valor de medida es leído de una tabla u otro lugar, sin indicación de su error, se tomar como error una unidad del orden de la última cifra con que se expresa.

5. DETERMINACIÓN DE LOS ERRORES COMETIDOS EN LAS MEDIDAS DIRECTAS

Cuando realicemos la medida de cualquier magnitud deberemos indicar siempre una estimación del error asociado a la misma. Dado que no conocemos el valor "verdadero" de la magnitud que deseamos medir, se siguen ciertos procedimientos para hacer una estimación tanto del valor "verdadero" de la magnitud, como de una cota de error, que nos indique la incertidumbre en la determinación realizada. Distinguiremos dos casos bien diferenciados:

a) Caso en el que se realiza una única medida de una magnitud.

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En este caso consideramos que el error absoluto coincide con el valor de la sensibilidad del aparato utilizado para realizar la medida. De este modo el resultado de una medida lo indicaremos en la forma:

(x = sensibilidad)

b) Caso en el que se realizan varias medidas de una misma magnitud.

Con el fin de alcanzar cierta validez estadística en los resultados de las medidas, es muy conveniente repetir varias veces la determinación del valor de la magnitud problema. Los resultados de las medidas individuales pueden presentarse poco o muy dispersas, en función de esta dispersión será conveniente aumentar o no, el número de determinaciones del valor de la magnitud.

Para decidir el número determinaciones del valor de una magnitud física que deseamos medir seguiremos el siguiente procedimiento.

Se realizan siempre tres medidas de la magnitud, se calcula el valor medio de estas tres medidas, dado por:

y se halla la dispersión total D de las mismas, es decir, la diferencia entre los valores extremos de las medidas (valor máximo de las medidas obtenidas menos el valor mínimo) y finalmente se obtiene el tanto por ciento de dispersión, T, que viene dado por:

Si el valor de la dispersión total D no es mayor que el valor de la sensibilidad del aparato de medida, D > S, en este caso se toma como estimación del valor "verdadero" de la magnitud el valor medio de las tres medidas x3 y como error absoluto la sensibilidad. Ahora bien, si el valor de la dispersión total D es mayor que el de la sensibilidad del aparato, D > S, procedemos a aumentar el número de medidas de la magnitud. El criterio a seguir en este aumento viene condicionado por el valor del porcentaje de dispersión T del modo indicado en la siguiente tabla:

T en las tres primeras medidas nº total de medidas necesarias

T 2%2% < T 8%8% < T 15%

15% < T

Bastan las 3 medidas realizadasHay que hacer 3 medidas más, hasta un total de 6

Hay que hacer un total de 15 medidasHay que hacer 50 medidas como mínimo

Una vez realizadas las medidas necesarias se toma como valor verdadero de la magnitud, el valor medio de la misma calculado sobre el número total de medidas realizadas. En cuanto al correspondiente error se determina según los casos como sigue:

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1) Si se han realizado tres medidas, se toma como error absoluto el valor de la sensibilidad del aparato, que como hemos indicado anteriormente, es el error absoluto de cada una de las medidas individuales.

2) Si se han realizado seis medidas, entonces se calcula el error de dispersión definido como D6/4 (cuarta parte de la dispersión total de las seis medidas, es decir, la diferencia entre la mayor y menor de todas las medidas realizadas), y se asigna como error absoluto de las medidas, el máximo entre este valor y la sensibilidad del aparato.

3) Si se han realizado quince medidas o más, el error absoluto puede calcularse por la expresión:

que proporciona el error cuadrático medio o desviación estándar de las medidas, donde xi

son cada uno de los valores medidos, xN es la media aritmética de las medidas individuales y N es el número de medidas realizadas.

6. DETERMINACIÓN DEL ERROR DE UNA MAGNITUD MEDIDA INDIRECTAMENTE

La medida indirecta de una magnitud se alcanza por aplicación de una fórmula a un conjunto de medidas directas, (variables independientes o datos), que las relacionan con la magnitud problema. Mediante dicha fórmula se obtiene también el error de la medida según pasamos a explicar. Antes de continuar, debemos indicar que si en dicha fórmula aparecen números irracionales tales como pi, e, etc., debemos elegir el número de cifras significativas con que deben tomarse a la hora de realizar los cálculos correspondientes, de modo que los errores cometidos al aproximar estos números irracionales no afecten a la magnitud del error absoluto de la magnitud que queremos determinar.

Supongamos que la magnitud F es función de otras magnitudes físicas, estando relacionada con ellas por F = f ( x, y, z, ...). Supongamos además, que se han realizado medidas de las citadas variables, x, y, z...; y se han determinado su valor y su error. Para realizar el cálculo del error absoluto de F, en función de los errores absolutos cometidos en las determinaciones directas de x, y, z... se procederá  de la siguiente forma:

En primer lugar se obtiene la diferencial total de F en función de las diferenciales de las variables x, y, z, ...; mediante :

A continuación asimilamos las diferentes diferenciales a los errores absolutos, y además consideramos que en el cálculo del error de F debemos ponernos en el caso más desfavorable, es decir, error mayor, para lo cual tomaremos los valores absolutos de las derivadas parciales, con el fin de tener una suma de términos positivos, obteniendo para el valor del error absoluto de F el resultado:

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En este problema se presenta una notable simplificación en el caso en el que la función considerada sea de la forma:

con a, b, c, ... constantes positivas o negativas, ya que en este caso, podemos proceder del siguiente modo, tomando logaritmos neperianos:

ln F = a.ln x + b.ln y + c.ln z

si a continuación obtenemos la diferencial:

d(ln F)= a.d(ln x) + b.d(ln y) + c.d(ln z)

teniendo en cuenta la diferencial logarítmica dada por:

d(ln u) = (du)/utenemos que:

donde asimilando de nuevo los diferenciales totales a los errores absolutos obtenemos:

Ejemplo numérico del cálculo de errores.

Vamos a calcular el error de una magnitud F que depende de otras a través de una expresión del tipo:

consideremos que se han medido las magnitudes de las variables y se han determinado sus valores absolutos de modo que:

x = 27.33 ± 0.13

y = 2.45 ± 0.05

z = 10.0 ± 0.1

u = 50.2 ± 0.1

v = 1.033 ± 0.012

w = 3.26 ± 0.02

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vamos a obtener el valor de la magnitud F y el error correspondiente a la misma, primeramente tenemos:

F = 1.8579

en segundo lugar se obtiene el error mediante:

realizando cálculos se obtiene:

tras aplicar valores absolutos y realizar las operaciones numéricas obtenemos:

F = 0.04458

y teniendo en cuenta el número máximo de cifras significativas del error absoluto:

F= 0.04

con lo cual vemos que la última cifra significativa en el valor de F es la segunda cifra decimal, de modo que finalmente expresamos:

F = 1.86 ± 0.04

7. CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS

La representación gráfica de los fenómenos físicos que estudiemos debe ajustarse a las siguientes normas:

1) Gráficas en papel milimetrado con los ejes bien trazados, y en cuyo centro indicaremos la magnitud representada, en las unidades en que ha sido medida (con letra grande y clara). El título de la gráfica ser  claro y vendrá indicado en la parte superior.

2) La variable independiente del fenómeno debe ir representada en abscisas y la dependiente en ordenadas.

3) Las escalas, sobre ambos ejes, han de permitir una lectura rápida y sencilla. Para ello se elegirán las escalas con intervalos de 1, 2, 5, 10, 20, ... etc. unidades (poniendo pocos números).

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4) Las escalas deben abarcar todo el intervalo de medidas realizadas y sólo el citado intervalo.

5) Sobre los ejes sólo se indican los valores correspondientes a las divisiones enteras de la escala (que han de quedar así uniformemente espaciadas). Nunca se señalan los valores correspondientes a las medidas realizadas.

6) Los valores medidos se representan sobre el papel milimetrado por el punto correspondiente a sus dos coordenadas (punto experimental) y rodeado por el denominado rectángulo de error, cuya base abarca desde x-x hasta x+x y cuya altura se extiende desde y-y hasta y+y, siendo (x,y) las coordenadas del punto experimental. En el caso de que x o y sean despreciables en comparación con la escala utilizada, el rectángulo de error queda reducido a un simple segmento vertical u horizontal, según sea el caso.

7) Las gráficas han de ser líneas finas "continuas " nunca quebradas, que han de pasar por todos los rectángulos de error, aunque para ello, dejen muchas veces de pasar por los puntos experimentales que pueden quedar a derecha o izquierda de la gráfica. Si al hacer esta operación, alguno de los rectángulos de error, queda excesivamente alejado de la forma continua de la gráfica, es prueba de que esa medida es falsa por alguna causa accidental, y debe repetirse.

8. AJUSTE DE LA RECTA DE REGRESIÓN POR EL MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

Con frecuencia, se plantea el problema de encontrar una expresión matemática del tipo y = f(x), de la ley física que rige el comportamiento de un determinado fenómeno, a partir de una serie de N medidas (xi,yi), de las magnitudes x e y que lo caracterizan. Cuando la representación gráfica del fenómeno estudiado proporciona una distribución de los puntos experimentales en forma prácticamente lineal, es conveniente determinar la ecuación de la recta que será  expresión de la ley física que rige el fenómeno estudiado, utilizando para ello el método de mínimos cuadrados. Dicha recta debe cumplir la condición de que los puntos experimentales, queden distribuidos simétricamente a ambas partes de la misma, y además, lo más próximos posible. Esta condición se cumple si se obliga a que la recta de ecuación:

y = a x + b

cumpla con que la expresión:

tenga un valor mínimo. Derivando c respecto a "a" y "b", y anulando ambas derivadas, tras una serie de operaciones se obtiene:

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Además de los valores de la pendiente y la ordenada en el origen, es interesante obtener el denominado coeficiente de correlación lineal “r”, que nos da una medida del grado de correlación entre los valores de las variables x e y, es decir, hasta qué‚ punto x e y están relacionadas mediante una función lineal. La expresión de “r” es:

y varía entre 0 (no existe correlación) y ±1 (correlación completa). Las expresiones correspondientes al cálculo del error de la pendiente y la ordenada en el origen son:

9. INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE SIMPLE ENTRADA

Las tablas de simple entrada nos proporcionan el valor de una variable dada x en función de otra z y viceversa. Cuando se quiere determinar el valor de z que corresponde a uno dado de x no tabulado, o viceversa, se determinan previamente los valores tabulados de x y z entre los que se encuentra los de nuestro problema. Sean

x1 z1

x2 z2

entonces, la relación que liga x con z puede escribirse aproximadamente según la fórmula lineal:

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que permite determinar z en función de x o viceversa. El error de z resulta ser:

10. INTERPOLACIÓN EN TABLAS DE DOBLE ENTRADA

En las tablas de doble entrada para cada pareja de valores (x,y) se proporciona el valor correspondiente a una tercera variable z relacionada con las dos anteriores. En este caso el trazo de tablas entre cuyos valores se encuentran el z buscado, presenta el aspecto:

y1 y2

x1 z11 z12

x2 z21 z22

la relación aproximada que permite el cálculo de z es:

y puede ser utilizada en la interpolación inversa, es decir, en la determinación de x o y, conocidos los valores de (y,z) o de (x,z). El error de z resulta obtenible análogamente de la expresión:

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OBJETIVO: Determinación del comportamiento del péndulo y obtención del valor de la gravedad local.

MATERIAL: Péndulo simple, Cinta métrica, Cronómetro. Calibrador

FUNDAMENTO: Un péndulo simple es un punto material suspendido a través de un hilo de un punto, sobre el que puede oscilar libremente. Consideremos la masa M, y la longitud del hilo L. Al separar esta masa de su posición de equilibrio un cierto ángulo a , la fuerza de su peso se descompone, tal como se indica en la figura. La fuerza F r es una fuerza recuperadora que tiende a volver al péndulo a su situación de equilibrio. Su valor es :

Práctica 1: ESTUDIO DEL PÉNDULO SIMPLE

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F mgr sena

El signo - indica que Fr y a siempre son de signos contrarios.

Si a es pequeño, a » sen a y se puede escribir:

F mg mg sLr a

Suponiendo que la fuerza recuperadora es proporcional al desplazamiento respecto al centro de equilibrio, y que el movimiento es un movimiento armónico simple

Por tanto

kmgL

Tmk

mmg L

Lg

2 2 2 /

A partir de esta expresión vamos a estudiar como varia T con d, y vamos a estimar el valor de g en nuestra latitud.

VARIACIÓN DEL PERIODO DEL PÉNDULO CON LA LONGITUD.

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En primer lugar, vamos a estudiar como varía el tiempo que el péndulo tarde en dar una oscilación completa en función de la longitud. Para ello procederemos del siguiente modo: Medimos en primer lugar la longitud del péndulo para lo cual sumamos la longitud del hilo (d) y la mitad del diámetro de la masa esférica (D=25 mm).

L d D 12

Separamos la masa de su posición de equilibrio unos 10º-15º y la dejamos mover libremente procurando que lo haga en un plano. Determinamos el periodo del péndulo midiendo 10 oscilaciones completas y dividiendo el tiempo total entre 10. Repetimos esta operación 5 veces.

A continuación modificamos la longitud del hilo y repetimos la medida de forma semejante a la anterior. Realizamos este tipo de medidas con 8 valores distintos de longitudes del hilo. Consignamos los resultados en el siguiente cuadro:

d 1/2 D L t T T2

1ª serie2ª serie3ª serie4ª serie5ª serie6ª serie7ª serie8ª serie

OBTENCIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD

A continuación vamos a determinar, experimentalmente, el valor de la gravedad. A partir de la expresión del péndulo simple, podemos obtener el valor de g de la siguiente forma:

TLg

2 y de aquí g LT

4 2

2

Esta expresión es aproximada, ya que hicimos la suposición de que a » sen a. Para ángulos iniciales pequeños el error introducido es menor del 3%. Sin embargo, este valor aumenta considerablemente si lo hace a .Una vez montado el péndulo se mide la longitud del mismo desde el punto de suspensión hasta el centro de la masa esférica. Se separa unos 10-15 grados de la posición de equilibrio y se cronometra el periodo contando 25 oscilaciones. Se repite esto tres veces:

L =…..n t T = t/n

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El valor de la gravedad valdrá

T T T T

1 2 3

3 y g L

Tm s

4 2

22 ............................. /

Determine el error cometido en nuestra apreciación de g, suponiendo que el valor correcto de la gravedad en nuestra latitud es 9.806 m/s²

MÉTODO EXPERIMENTAL PARA LA DETERMINACIÓN DE g.

a) Representar los valores de T² frente a L. ¿Que tipos de curva aparece?. b) Considerando la fórmula del péndulo simple, ¿Cuánto debe valer la pendiente? Comparando la expresión de la pendiente con la que proporciona la gráfica, obtenga el valor de g. c) Para el caso en el que el ángulo a no se pueda aproximar al sen a, ¿cual sería la expresión del periodo del péndulo?.d) Para este último caso medir el periodo de oscilación en función del ángulo. Para ello, fijar una longitud de la cuerda; separar una pequeña distancia de la vertical, calcular el ángulo, y determinar el periodo para 5 oscilaciones. Repetir para tres ángulos diferentes.

e) Representar T en función del . Ajustar la recta obtenida por mínimos cuadrados

y comparar el valor de g obtenido con el del apartado b.

T a1 a2 a3

OBJETIVO: Cuando sobre un cuerpo actúan fuerzas cuya suma es distinta de 0 adquiere una aceleración en la misma dirección y sentido de la fuerza resultante según expresa la

g =

Er =

Práctica 2: OBTENCIÓN DE LA ACELERACIÓN DE UN CUERPO SOMETIDO A FUERZAS CONSTANTES

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segunda ley de Newton. Vamos a obtener el valor de esta aceleración en el caso sencillo de un cuerpo que descansa sobre un plano horizontal y a comparar el valor de la aceleración obtenida experimentalmente con el resultado que se obtendría teóricamente si no existiera rozamiento.

MATERIAL

1 Carril plano1 Carrito cargado con una masa que se mueve sobre el carril2 Células fotoeléctricas para obtener tiempos de pasada del móvil1 Regla 1 Medido digital conectado a las células fotoeléctricas3 Masas de distintos valores Soportes Cableado

FUNDAMENTO: Si sobre un cuerpo actúan diversas fuerzas, se cumple, conforme la segunda ley de Newton

(2.1)

por lo que la aceleración que adquiere el cuerpo viene dada por

(2.2)

Si las fuerzas que actúan sobre el cuerpo se mantienen constantes, y por tanto, la fuerza resultante también es constante, la aceleración que adquiere el cuerpo es constante, y el cuerpo se mueve en este caso con un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Las ecuaciones cinemáticas que describen este movimiento obtenidas a partir de las definiciones de velocidad y aceleración (suponiendo que t y s comienzan a medirse de forma que y valgan 0) son

(2.3)

(2.4)

Con estas ecuaciones se puede obtener el valor de la aceleración. A partir de la (2.3) si se conocen dos valores (inicial y final) de la velocidad y el tiempo transcurrido entre esos valores, en cuyo caso la aceleración vale

Si no se pueden obtener las velocidades directamente, la aceleración se puede obtener utilizando la ecuación (2.4). Para ello, se miden dos intervalos de tiempos distintos

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y los respectivos espacios recorridos entre cada uno de ellos. Se obtiene así dos ecuaciones con dos incógnitas de las que se puede despejar a y .

El carrito que descansa sobre un plano horizontal se mueve al ser arrastrado por la masa . Los pasos por distintos puntos de hace mediante medidores de tiempo controlados por células fotoeléctricas ( y )

Cuando la pieza llega a la primera célula fotoeléctrica se disparan los dos contadores de tiempo. El primer contador (t1) se cierra cuando la pieza culmina su paso por él, mientras que el segundo lo hace al llegar la pieza a la segunda célula fotoeléctrica (t2).

Primer contador: El cuerpo llega con una velocidad . Comienzan a correr los tiempos en y . Al pasar la pieza alta se para Obtenemos el tiempo de paso de la pieza . Debe

cumplirse

Segundo contador: Se para . Obtenemos el tiempo transcurrido .Debe cumplirse

A partir de estas ecuaciones podemos obtener las dos incógnitas a y . Despejando de las ecuaciones anteriores

(2.5)

(2.6)

MÉTODO EXPERIMENTAL

1. Colocar una masa de 10 g en el soporte (la masa total será la colocada + la del soporte que es de 5g) y conectar todo el sistema de medidas de células fotoeléctrica estando el carrito ( ) en la parte más extrema del carril. Comprobar que están en 0 todos los sensores y dispuestos para medir el tiempo.

2. Dejar que se mueva libremente el carrito. Tomar nota de las medidas de tiempo proporcionadas por los medidores y .

3. Repetir 5 veces las medidas

4. Tomando el valor medio de las cinco medidas obtener los valores de a y del movimiento.

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5. Evaluar el valor que debería tener la aceleración del cuerpo si no existiera rozamiento mediante aplicación de la 2ª ley de Newton:

Volver a realizar los puntos 1,2,3,4 y 5 para masas de 20 g y de 30 g.

Representar gráficamente en papel milimetrado las ecuación correspondiente a la masa de 20 g obtenida experimentalmente y superponerla para compararla a la aceleración teórica ( ) que se obtendría si no hubiera rozamiento, calculando para ello la aceleración teórica a partir de la segunda ley de Newton que valdrá según la ecuación (3.2)

Del análisis de los cálculos y de las gráficas conteste a estas dos cuestiones:

a) Si no hubiera rozamiento, ¿qué tiempos habrían registrado los contadores y .

b) Si no hubiera rozamiento, ¿qué distancias se habrían recorrido en los tiempos que hemos registrado experimentalmente?

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Toma de datos

masa = 10g

Medida t1(s) t2 (s) d1 (m) d2 (m)1ª2ª3ª4ª5ªPromedios

a= v0=

masa = 20 g

Medida t1(s) t2 (s) d1 (m) d2 (m)1ª2ª3ª4ª5ªPromedios

a= v0=

masa = 30g

Medida t1(s) t2 (s) d1 (m) d2 (m)1ª2ª3ª4ª5ªPromedios

a= v0=Práctica 3: DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE INERCIA DE UN OBJETO MEDIANTE EL PÉNDULO DE TORSIÓN

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OJETIVO: Con esta práctica pretendemos determinar la dependencia del momento de inercia de un sistema compuesto por una barra metálica que posee dos cilindros móviles situados simétricamente respecto a un eje de rotación, en función de la distancia de los cilindros al eje de rotación. También determinaremos la masa de la barra y de los cilindros. Para ello, utilizaremos como dispositivo experimental, un péndulo de torsión.

MATERIAL Trípode con resorte y eje de rotación. Esfera maciza: m=0.761 kg; r= 0.070 m Iz=0.00149 kg.m2

Disco plano: m= 0.284 kg, r= 0.108 m Iz=0.00166 kg m2

Cilindro macizo: m=0.367 kg; r =0.0495 m; Iz=0.00043 kg m2

Cilindro hueco: I=0.00082 kg.m2. Iz=0.00082 kg m2

Barra de metal, graduada en centímetros sobre la que se sitúan simétricamente respecto al eje de rotación, dos cilindros iguales que pueden desplazarse a lo largo de la barra.

FUNDAMENTO: Un péndulo de torsión está compuesto por un cuerpo rígido sujeto mediante un resorte a un soporte fijo. Cuando el cuerpo se gira un cierto ángulo, θ, el resorte ejerce un momento de torsión restaurador sobre el cuerpo que será proporcional al desplazamiento angular. Es decir:

donde es la constante de torsión del resorte.Al aplicar la segunda ley de Newton al movimiento de rotación se obtiene:

por tanto

ecuación correspondiente al movimiento armónico simple el la cual y por tanto el

periodo de rotación del sistema será

MÉTODO EXPERIMENTALPrimera parte: determinación de la constate

El calibrado del péndulo permite obtener la constante de torsión del resorte, . Para ello se mide el periodo de oscilación de objetos de momento de inercia conocido en torno a un eje que pase por el centro de masas. Dichos objetos son: disco plano; cilindro hueco y cilindro macizo. Se coloca el objeto en el soporte ajustándolo de forma que la marca de referencia esté visible. Se gira un ángulo de 90º y se deja oscilar. Contar el tiempo en CINCO oscilaciones completas. Repetir la operación cuatro veces y calcular el periodo medio de oscilación.

T(s) cilindro hueco T(s) cilindro macizo T(s) disco plano

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Calcular en los tres casos el valor de utilizando el valor del periodo medio y el valor del momento de inercia conocido del objeto. Comprobamos el valor de la constante repitiendo la operación con la esfera, medir su periodo de oscilación y determinar el momento de inercia utilizando el valor de anterior.

T(s) esfera

Segunda parte: dependencia del momento de inercia de un objeto con la distancia al eje de rotación

En esta parte calcularemos el momento de inercia del sistema barra-cilindros para diferentes distancias de los cilindros al eje de rotación.

Colocar la barra en el soporte del eje y ajustar el tornillo. Situar las dos masas a la misma distancia del eje de rotación y ajustarlas. Girar un ángulo de 90º y contar el tiempo en cinco oscilaciones. Repetir cuatro veces y calcular el periodo medio; con el valor de anterior calcular el momento de inercia. Repetir la experiencia para cuatro distancias diferentes.

T(s)d= cm

T(s)d= cm

T(s)d= cm

T(s)d= cm

OBJETIVO

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Mediante el uso de una rueda de Maxwell, se estudiará la conservación de la energía mecánica y cómo la energía potencial gravitatoria se transforma en energía cinética de traslación y de rotación.

FUNDAMENTO

La rueda de Maxwell es, básicamente, un disco en el que se arrollan dos cuerdas en su eje sólido, a cada uno de los lados. Las cuerdas se sujetan en una barra fija, de manera que, al dejar libre el disco desde su posición inicial de máxima altura, las cuerdas se van desenrollando y el disco va girando mientras cae.

Consideremos, en primer lugar, el movimiento de un disco homogéneo que gira en sentido antihorario con respecto a su eje, que tomaremos como eje z. El centro de masas del disco será el origen del sistema de referencia en este ejemplo. Por tanto, el disco se puede representar geométricamente como un círculo en el plano xy que gira respecto al eje z. Supongamos, por ahora, que el centro de masas está fijo. Debido a que tratamos con un sólido rígido (indeformable), el movimiento de cada punto del disco está relacionado con el del resto de los puntos del disco en el sentido de que todos recorren los mismos ángulos en el mismo tiempo, es decir, si la velocidad angular de rotación de un punto del disco en un instante dado es ω(t), entonces todos los puntos del disco giran con la misma velocidad angular.

La energía cinética de rotación del disco es la suma de las energías cinéticas de todos sus puntos, y será:

La cantidad es una característica del cuerpo rígido llamada momento de inercia del cuerpo con respecto al eje z, que es nuestro eje de rotación. Llegamos, por tanto, a que le energía cinética de rotación de un cuerpo sólido con respecto a un eje que pasa por su centro de masas sólo depende de la velocidad angular de rotación ω y del momento de inercia respecto a ese eje Iz ,

Volvamos al caso de la rueda de Maxwell. Además de girar respecto a su eje, la rueda cae, es decir, su centro de masas no está fijo, sino que se mueve con velocidad v. Por tanto, además de la energía cinética de rotación, la rueda de Maxwell tiene una energía cinética de traslación Et dada por

donde m es la masa total del disco. También se ha de tener en cuenta la energía potencial de la gravedad a la que está sometida la rueda. Si tomamos el origen de alturas en la posición inicial, ésta energía potencial es

siendo si el desplazamiento vertical de cada partícula desde la posición inicial. Como por la

Práctica 4: CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

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simetría de la rueda, para cada punto existe uno diametralmente opuesto, en promedio podemos considerar la altura como s la correspondiente al centro de la rueda que coincide con su centro de masas. Así:

Aún podemos simplificar más estas expresiones si ocurre que, durante el movimiento de la rueda de Maxwell, la cuerda no se desliza. En este caso, la velocidad del centro de masas v es igual a la velocidad lineal de cualquier punto situado en la periferia del eje sólido de la rueda, donde está arrollada la cuerda. Si el eje tiene radio r, esto significa que

En consecuencia, la energía total de una rueda de Maxwell, que es la suma de la energía potencial gravitatoria, de la energía cinética de traslación y de la energía cinética de rotación, se puede escribir como

(4.1)

donde es la masa de la rueda, es el desplazamiento vertical del centro de masas desde la posición inicial, es el momento de inercia de la rueda respecto al eje de rotación, y

es la velocidad de traslación vertical del centro de masas.

Puesto que la energía es constante, es decir, es una magnitud conservada en este problema, la expresión anterior se puede simplificar si se deriva con respecto al tiempo, obteniéndose

Dado que las condiciones iniciales, para t =0, son podemos integrar esta ecuación para obtener la velocidad primero, y el desplazamiento después. Se llega así a las expresiones finales

(4.2)

(4.3)

MÉTODO EXPERIMENTAL

El montaje de la práctica se puede observar en la figura. En él se puede ver la rueda de Maxwell en su posición inicial con las cuerdas arrolladas en el eje del disco. En esta posición se encuentra sujeto por el disparador, que se ha de mantener apretado, de manera que, cuando se suelte el pulsador, el disco quedará libre para caer y girar. Una vez que se

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ha dejado libre el disco, y antes de que el eje del disco llegue a la puerta de medición, hay que volver a pulsar el disparador, y mantenerlo pulsado, para que la puerta pueda medir el tiempo de caída. Alternativamente, en el disparador hay un tornillo que permite mantenerlo en una posición fija, y soltarlo con una simple vuelta de tuerca.

A una cierta distancia s se coloca la puerta fotodetectora, que mide el tiempo t que transcurre desde que se pulsa el disparador hasta que el eje del disco llega a la línea de medida. La regla permite medir esta distancia con un error asociado a la precisión de la regla. Por otra parte, la puerta fotodetectora permite medir los tiempos con gran precisión, pero aunque cada medida pueda parecer precisa, es necesario medir dos veces los tiempos para disminuir el error cometido.

Figura 2.1: Montaje experimental.

Resultados

1.-Medir el tiempo que tarda la rueda en recorrer la distancia que le separa desde el punto inicial hasta el detector para 5 valores diferentes de la altura s. Medir dos veces el tiempo en cada caso y tomar el valor medio de las medidas e indicar el error cometido, tanto en la medida de los tiempos como en la medida de la distancia recorrida.

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2.-Representar gráficamente s frente a t2, que corresponde a la ecuación (4.3). Ajustar la recta por mínimos cuadrados y de la pendiente obtener el valor del momento de inercia de la rueda. Tomar como valores para la rueda de Maxwell los datos m =0, 520 kg para su masa y r =2, 5mm para el radio de su eje.

3.-Para cada valor de la distancia, representar el valor de la velocidad v frente al tiempo a partir de la ecuación (4.2).

4.-Para cada valor del tiempo, determinar el valor de la energía potencial gravitatoria Ep, el de la energía cinética de rotación Er y el de la energía cinética de traslación Et ecuación (4.1).

5.-Representar el valor de cada energía frente al tiempo t. Indicar el tipo de curvas obtenidas.

6.-Se puede deducir, partiendo de los datos del punto 3 de los Resultados, que se conserva la energía mecánica en el disco de Maxwell? .

OBJETIVO

Estudiar las leyes que gobiernan los choques elásticos. Comprobar el principio de conservación de cantidad de movimiento y la relación entre la energía cinética antes y después del choque. Ver como varía la cantidad de movimiento final y la energía cinética final del sistema con la relación entre las masas que colisionan.

Práctica 5: CHOQUES ELÁSTICOS UNIDIMENSIONALES

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FUNDAMENTODecimos que se produce un choque o colisión entre dos partículas o cuerpos cuando se aproximan entre sí lo suficiente para que sus interacciones mutuas alteren sus movimientos y se produzca un intercambio de cantidad de movimiento y energía.Teniendo en cuenta que sólo interviene fuerzas interiores durante la colisión la cantidad de movimiento total del sistema permanecerá constante, es decir:

(5.1) (5.2)

Atendiendo a la energía cinética puesta en juego en el choque tenemos dos situaciones extremas:a).- Choques elásticos la energía cinética de traslación del sistema se conserva; esto es, la energía cinética del sistema antes del choque es igual a la que tiene después de éste:

(5.3)

Para calcular los valores y tendremos:(5.4)

Ecuación que indica que la velocidad relativa de aproximación es igual y de signo opuesto a la velocidad relativa de retroceso entre ambos objetos.Cuando el choque tiene lugar entre dos cuerpos uno de los cuales está en reposo la energía cinética que esté adquiere después del choque ha sido cedida por el cuerpo en movimiento.

b).- Choque inelástico: cuando los dos cuerpos que chocan quedan unidos o incrustados, el choque es totalmente inelástico, y la deformación producida en ellos se mantiene después del choque. Éste es otro caso fácil de estudiar, puesto que después del choque los dos cuerpos unidos adquieren la misma velocidad .

En este tipo de choque se cumple el principio de conservación de la cantidad de movimiento, pero no el de conservación de la energía cinética ya que ésta antes del choque es mayor que la de después del mismo debido a que parte de la energía cinética se transforma en calor y deformación (variación de la energía interna del sistema).Para un choque inelástico frontal se aplicará

(5.5)

c).- Choque parcialmente elástico. Coeficiente de restitución: en general, los choques de los cuerpos no son ni perfectamente elásticos, ni totalmente inelásticos.Hemos visto que el choque frontal perfectamente elástico está caracterizado por la ecuación:

En los choques frontales reales eso no se cumple, sino que en valor absoluto resulta > . Se llama coeficiente de restitución al cociente de tales velocidades

relativas en valor absoluto y se obtiene de:

(5.6)

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El valor máximo de este coeficiente lo tenemos en el choque perfectamente elástico, donde , y el valor mínimo en el choque totalmente inelástico, donde , al ser la velocidad de los cuerpos la misma después de realizado el choque. Entre estos dos valores límite están los que corresponden, en general, a los choques reales o parcialmente elásticos.

MÉTODO EXPERIMENTALEl montaje de la práctica consta de dos carritos que se deslizan sobre un banco de aire, con el objeto de reducir al máximo el rozamiento. La determinación de las velocidades de los carritos se realiza mediante un interface COBRA, conectado a las dos células fotoeléctricas por las que pasan los móviles. Cada cochecillo debe situarse en un extremo y unirse al disparador que estará presionado en la posición primera. Disparar al mismo tiempo los dos móviles y realizar las lecturas de sus velocidades iniciales y finales teniendo en cuenta el sentido del desplazamiento. Repetir cada experiencia tres veces y calcular el valor medio de las velocidades.Variar la masa del móvil m2 añadiendo las pesas indicadas en cada caso colocándolas simétricamente a cada lado y dejar la masa del móvil 1 constante.

RESULTADOSa) Completar las tablas correspondientes al choque elástico.b) Calcular la cantidad de movimiento y la energía cinética antes y después del

choque para cada masa de m2.c) Utilizando la ecuación ( 5.6) obtener el coeficiente de restitución c en cada caso.

Primera Prueba: las masa m1 y m2 sin pesas.

m1= m2= m1/m2=Medida V1 inicial V 1 final V2 inicial V 2 final

1º2º3ºValor Medio

Segunda Prueba: la masa del carrito 1 no varía en toda la experiencia. Añadir una pesa de 10 g a cada lado del carrito 2.

m1= m2= +20g m1/m2=Medida V1 inicial V 1 final V2 inicial V 2 final

1º2º3ºValor Medio

Tercera Prueba: la masa del carrito 1 no varía en toda la experiencia. Añadir otra pesa de 10 g a cada lado del carrito 2.

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m1= m2= +40g m1/m2=Medida V1 inicial V 1 final V2 inicial V 2 final

1º2º3ºValor MedioCuarta Prueba: la masa del carrito 1 no varía en toda la experiencia. Añadir otra pesa de 10 g a cada lado del carrito 2.m1= m2= +60g m1/m2=Medida V1 inicial V 1 final V2 inicial V 2 final

1º2º3ºValor Medio

Quinta Prueba: la masa del carrito 1 no varía en toda la experiencia. Añadir otra pesa de 10 g a cada lado del carrito 2.m1= m2= +80g m1/m2=Medida V1 inicial V 1 final V2 inicial V 2 final

1º2º3ºValor Medio

Sexta Prueba: la masa del carrito 1 no varía en toda la experiencia. Añadir una pesa de 50 g a cada lado del carrito 2.m1= m2= +100g m1/m2=Medida V1 inicial V 1 final V2 inicial V 2 final

1º2º3ºValor Medio

Datos finales: con los valores obtenidos en las cuatro tablas anteriores completar los datos siguientes calculando en cada caso la cantidad de movimiento inicial y final así como la energía cinética inicial y final del sistema.

m1/m2 P inicial P final Ec inicial Ec final Coeficiente restitución

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OBJETIVO: Determinación del coeficiente de rozamiento estático entre dos superficies utilizando un plano inclinado.

MATERIAL: Plano, inclinado, pieza problema, hilo, caja de pesas.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Un procedimiento para determinar el coeficiente de rozamiento es mediante la utilización de un plano inclinado. Cuando un cuerpo está sobre un plano inclinado, la fuerza de su peso (mg) se descompone

Práctica 6: PLANO INCLINADO

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en una fuerza normal (Fn) que es contrarrestada por la reacción del plano y en otra fuerza tangencial (Ft) que tiende a mover el cuerpo en la dirección del plano, tal como se señala en la figura. Esta fuerza es mayor cuanto mayor es el ángulo de inclinación del plano. La fuerza de rozamiento (Fr) se opone a este movimiento, y es proporcional, como es conocido, al valor de la fuerza normal.

PROCEDIMIENTO Y RESULTADOS

A) Movimiento de descenso.Consideremos inicialmente una masa situada sobre un plano horizontal. Si vamos levantando el plano poco a poco, el cuerpo comenzará a moverse justo cuando la fuerza tangencial supere a la de rozamiento. En esa situación se cumple:

y por tanto: (1)

Para obtener los datos proceda de la siguiente forma:

1) Coloque la pieza sobre el plano, situado al principio horizontalmente, y varíe lentamente su inclinación hasta que comience a moverse.

2) En ese momento mida el ángulo de inclinación del plano inclinado, o bien determine directamente e

a través de la tangente de ese ángulo, midiendo la altura h a una distancia horizontal d del vértice y realizando el cociente entre ambos valores.

3) Repita este proceso, al menos, 6 veces más colocando el cuerpo en otras posiciones a lo largo del plano inclinado. Exprese el valor obtenido del tanto por ciento de la dispersión.

Con las medidas realizadas, complete la siguiente tabla:

a a = h

( ) L=

d ( ) d=

e

1

31

2

3

4

5

6

Medias

D = TD =

e =

B) Movimiento de ascenso.Otra forma de determinar el coeficiente de rozamiento, es obligando al cuerpo a que suba por el

plano inclinado mediante la aplicación de una fuerza en la dirección del plano, pero en sentido inverso a la fuerza tangencial. El rozamiento cambia de sentido y se verifica (ver figura de la página siguiente):

de donde

(2)

Para determinar e de esta otra forma hay que proceder de la siguiente manera:

1) Sitúe es sistema con un ángulo fijo y de-termine su valor.

2) Pese la masa situada en la plano inclinado.

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3) Coloque sobre el platillo sucesivas masas hasta que se observe que comienza a moverse el conjunto de forma ascendente sobre el plano. Tome nota del valor de la masa total necesaria.

4) Repita los pasos anteriores dos veces más para cada ángulo.

5) Realice 5 veces la misma operación para distintos ángulos del plano inclinado.

Anote los resultados en la siguiente tabla: m1 =

a m2 e20

25

30

35

e =

(Para el error de e realice propagación lineal de errores en la expresión 2 considerando el error de m2 nulo)

CUESTIONES

1.- ¿Qué opciones se le ocurren para disminuir los errores de e?.

2.- Desarrolle las expresiones de la incertidumbre de e con la ecuación (2).

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