Programacion Lineal

UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJALa Universidad Católica de Loja

MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA

CARRERA : Ingeniería en InformáticaPROFESOR : Ing. Galo Patricio Castillo EstradaTELÉFONO : (07) 2 570 275 Ext. 2517 E-MAIL : [email protected]ÍA : Lunes, martes y jueves 17h00 a 18h30

Estimado Estudiante, dígnese confirmar la información aqui señalada llamando al Call Center 072588730, línea gratuita 1800 887588 o al mail [email protected]

DATOS DE IDENTIFICACIÓN:

MATERIAL DE USO DIDÁCTICO PARA ESTUDIANTES DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA,PROHIBIDA SU REPRODUCCIÓN TOTAL O PARCIAL POR CUALQUIER MEDIO

OCTUBRE 2007 - FEBRERO 2008

Reciba asesoría virtual en: www.utpl.edu.ec

ESCUELA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

CICLO

4

NVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

I

18404

Guía Didáctica

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONESGuía DidácticaGalo Patricio Castillo Estrada

© UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA

Diagramación, diseño e impresión:EDITORIAL DE LA UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJACall Center: 593-7-2588730, Fax: 593-7-2585977C.P.: 11-01-608www.utpl.edu.ecSan Cayetano Alto s/nLoja - Ecuador

Segunda edición Cuarta reimpresión

ISBN-978-9978-09-186-9Derecho de Autor No. 021327

Reservados todos los derechos conforme a la ley. No está permitida la reproducción total o parcial de esta guía, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

Julio, 2007

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA �

Guía Didáctica: Investigación de Operaciones

ÍNDICE

IntroduccIón..............................................................................................................5objetIvo.General......................................................................................................7bIblIoGrafía.................................................................................................................7orIentacIones.Generales...................................................................................9

Primer Bimestre

objetIvos.específIcos............................................................................................11contenIdos................................................................................................................12desarrollo.del.aprendIZaje..........................................................................13

1.....Introducción.a.la.Investigación.de.operaciones.................................................132.....Introducción.a.la.programación.lineal..(pl).......................................................233.....Método.simplex.(Ms)......................................................................................394.....Análisi.de.Dualidad.y.de.Sensibilidad............................................................58

..

Segundo Bimestre

objetIvos.específIcos............................................................................................73contenIdos................................................................................................................74desarrollo.del.aprendIZaje..........................................................................75

5.....Modelo.de.transporte.y.sus.variantes.................................................................756.....Modelo.de.redes......................................................................................................887....administración.de.proyectos.pert-.cpM......................................................97

solucIonarIo.........................................................................................................104anexos........................................................................................................................113.

F Evaluaciones a Distancia



en.la.actualidad.se.necesita.del.mejoramiento.y.de.la.calidad.en.las.organizaciones.de.todo.el.mundo,.pero.nosotros.no.podemos.quedarnos.fuera.de.esta.globalización,.es.así.que.el.éxito.o.el.fracaso.de.una.empresa.depende.de.las.decisiones.que.tome.el.ejecutivo...para.una.adecuada.toma.de.decisiones.es.necesario.tener.un.conocimiento.de.aspectos.económicos,.sociales,.técnicos,.financieros,.administrativos,.etc.,.de.la.empresa.y.de.los.efectos.positivos.y.negativos.que.lleven.a.cumplir.con.su.misión.y.visión,.de.acuerdo.al.acierto.o.desacierto.con.que.se.tomen.esas.decisiones.

la.Investigación.de.operaciones.ha.tenido.un.impacto.impresionante.en.el.mejoramiento.de.la.eficacia.y.eficiencia.de.numerosas.organizaciones...en.el.proceso,.la.investigación.de.operaciones.ha.hecho.contribuciones.significativas.al.incremento.de.la.productividad.dentro.de.la.economía.de.varios.países.

sin.duda,.el.impacto.de.la.investigación.de.operaciones.continuará.aumentando...por.ejemplo,.al.inicio.de.la.década.de.los.90.el.u.s..laboratorio.de.estadísticas.de.bureau.predijo.que. la. I.o..sería.el.área.profesional.clasificada.como. la. tercera.de.más.rápido.crecimiento.para.los.estudiantes.universitarios.en.estados.unidos,.graduados.entre.1990.y.2005...pronosticó.también.que,.para.el.año.2005,.habría.100.000.personas.trabajando.como.analistas.de.investigación.de.operaciones.

la.asignatura.Investigación.de.operaciones,.está.orientada.a.proporcionar.al.estudiante.algunos.de.los.diferentes.modelos.matemáticos.que.le.permitan.coadyuvar.en.la.toma.de.decisiones.con.el.objeto.de.optimizar. la. función.administrativa..es.una.asignatura.de. cuarto. ciclo. y. para. cursarla. exige. como. requisito. tener. aprobado. la. asignatura. de.estadística.descriptiva.e.Inferencial.

se.ha.seleccionado.como.texto.guía.“Investigación.de.operaciones,.una.Introducción”.de.Hamdy.a..taha.de.la.editorial.prentice.Hall,.sexta.edición,.México.1998..de.este.texto.se.verán.los.capítulos.1,.2,.3,.4,.5.y.6..como.estrategia.metodológica.se.sugiere.abordar.el.estudio.de.cada.uno.de.los.temas.en.orden.secuencial.asegurándose.el.dominio.de.los.conceptos.y.su.aplicación,.para. lo.cual.el.alumno.tiene.que.aplicar. las.técnicas.de.estudio.como.son:.la.lectura.comprensiva,.el.subrayado,.los.resúmenes,.etc..asimismo,.se.sugiere.que.el.alumno.desarrolle.los.ejercicios.planteados.por.el.autor,.los.mismos.que.se.encuentran.al.final.de.cada.sección..a.este.menester.se.recomienda.el.estudio.semanal.de.al.menos.4.horas,.en.períodos.mínimos.de.dos.horas.

el. texto. incluye. un. software. que. le. sirve. únicamente. para. agilitar. los. cálculos.matemáticos..recuerde.que.ud..se.prepara.para.desarrollar.modelos.que.le.permita.a.

INTRODUCCIÓN

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA�


través.del.software.resolver.los.problemas...utilice.el.software.para.entender.mejor.el.efecto.que.tiene.sobre.la.solución.del.problema,.pequeños.cambios.en.los.parámetros.del.modelo...el.computador.y.el.software.no.le.dirán.qué.decisiones.y.acciones.usted.como.administrador.debe.tomar,.sino.es.un.parámetro.más.de.ayuda.para.poder.respaldar.su.decisión.y.diseñar.una.mejor.estrategia.

el. sistema. de. evaluación. consiste. en. desarrollar. obligatoriamente. todos. los. ejercicios.que.se.plantean.en.la.guía,.a.tomar.las.decisiones.que.crea.conveniente.de.acuerdo.a.los.resultados.que.obtenga,.realizar.el.trabajo.a.distancia.por.bimestre.en.base.a.los.contenidos.estructurados,.que.tiene.un.valor.de.6.puntos.y.la.evaluación.presencial.equivale.a.14.puntos;.como.mínimo.el.alumno.debe.obtener.en.cada.bimestre.14.puntos.

el.proceso.enseñanza.aprendizaje.en.el.sistema.de.estudios.a.distancia.estará.garantizado.siempre.y.cuando.el.alumno.tome.en.cuenta.las.siguientes.directrices.importantes:

v. desea.aprender.y.no.obtener.simplemente.una.nota.

v. usted.es.el.único.que.controla.el.estudio.y.el.cumplimiento.de.las.tareas.

v. las.trampas.no.las.hace.al.profesor,.se.las.hace.a.usted.mismo.

v. estudie.con.dedicación..dedíquele.un.tiempo.diario.o.semanal a la.materia..no.postergue.el.estudio.de.esta.asignatura.

v. después. de. cada. sección,. el. texto. le. ofrece. una. “serie. de. problemas”.. es.preferible.que.usted.resuelva.la.mayoría.de.ellos.

v. no.se.limite.a.desarrollar.actividades.de.aprendizaje.propuestas.y.el.trabajo.a.distancia.como.medios.únicos.para.aprobar.esta.asignatura.



a.través.de.esta.guía,.se.proporcionarán.los.conocimientos.que.permitan.al.alumno.conocer.los.orígenes.de.la.Investigación.de.operaciones,.comprender.su.metodología,.algunas.de.sus.aplicaciones.más.comunes..el.alumno.podrá.formular.modelos.matemáticos.simples.y.conocerá.y.aplicará.los.algoritmos.adecuados...Quedando.en.capacidad.de.utilizar.las.soluciones.finales.como.respaldo.en.la.toma.de.decisiones.

1.. utilizar. la. metodología. de. la. Investigación. de. operaciones. como. herramienta.básica.en.la.toma.de.decisiones.

2.. formular.y.resolver.modelos.aplicados.a.problemas.empresariales.

3.. desarrollar. la.habilidad.del.proceso.de. investigación.y.diseño.de.estrategias.de.acuerdo.a.los.resultados.obtenidos.

4.. reconocer.el.camino.real.de.los.datos.desde.su.generación.inicial,.su.proceso.y.la.presentación.final.de.los.resultados.

1.. taHa.HaMdY.a..(1998) Investigación de Operaciones, una Introducción..sexta.edición..prentice.Hall,.México.

. se.ha.seleccionado.este.texto.debido.a.que.el.autor.desarrolla.los.contenidos.con.una.metodología.fácil.de.comprender.por.parte.de.los.estudiantes..como.dice.el.autor:.“la.sexta.edición.presenta.cada.tema.en.un.nivel.que.se.ajusta.a.los.conocimientos.del.estudiante.principiante,.e.incrementa.en.forma.gradual.el.nivel.de.complejidad,.con.el.fin.de.satisfacer.las.expectativas.del.estudiante.más.avanzado”.

. los.contenidos.se.explican.a.través.del.desarrollo.de.ejemplos.sencillos.y.para.cada.tema.plantea.una.“serie.de.problemas”,.cuyo.desarrollo.permitirá.al.estudiante.adquirir.destrezas.en.la.formulación.de.modelos.para.resolver.problemas.y.en.la..interpretación.económica.de.los.resultados.

OBJETIVOS GENERALES

BIBLIOGRAFÍA

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA�


. el. texto. incluye. un. software. que. puede. ser. utilizado. para. la. resolución. de.problemas..su.uso.se.explica.en.el.apéndice.b.y.c.del.texto..pero.como.se.insistirá.más.adelante,.el.software.sólo.ayuda.a.los.cálculos.matemáticos,.más.no.formula.el.modelo.matemático.

2.. MatHur,.K.;.soloW,.d..(1996) Investigación de Operaciones, el arte de la toma de decisiones..sexta.edición..prentice.Hall,.México,

. este.texto.hace.énfasis.en.la.construcción.de.modelos..como.dice.el.autor:.“....pues.auque.existen.numerosos.paquetes.de.computación.para.resolver.un.modelo,.no.existen.paquetes.generales.para.construir.un.modelo..al.enseñar.a.los.estudiantes.cómo.construir.modelos,. les.estamos.enseñando.cómo.pensar.en. los.problemas.de. administración”.. pone. énfasis. en. la. perspectiva. del. administrador. y. en. el.importante,.algunas.veces.esencial,.papel.que.la.administración.juega.en.la.toma.de.decisiones.comerciales.

. tiene.un.apoyo.pedagógico.adicional.al.presentar.los.términos.clave.en.negrita.y.al.margen.su.definición.completa..Incluye.un.disco.que.contiene.archivos.de.datos.para.resolver.todos.los.problemas.del.texto.con.storM,.lIndo.y/o.Qsb.

3..... HIllIer,. f.;. lIeberMan,. G.. (1997) Introducción a la Investigación de Operaciones..sexta.edición..McGraw.Hill,.México.

. este. texto. es. importante. por. el. software. que. le. acompaña.. Incluye. ejemplos.de. demostración,. rutinas. iterativas. y. rutinas. automáticas.. esto. permite. al.estudiante.concentrarse.en.los.conceptos.en.lugar.de.poner.atención.a.los.cálculos.numéricos.

. el. capítulo. 1. presenta. una. tabla. que. resume. 15. estudios. ganadores. de. premios.y. el. gran. impacto. que. tuvieron. en. sus. organizaciones.. se. indica. la. empresa,. la.aplicación,.los.temas.de.Investigación.de.operaciones.relacionados.con.el.estudio.y.el.impacto.económico.generado.

4.... .HIllIer,.f.;.HIllIer,.M.;.lIeberMan,.G....(2001) Introducción a la Investigación de Operaciones..sexta.edición..McGraw.Hill,.México.

. este.texto.tiene.tres.enfoques.clave:.„un.enfoque.de.modelos“;.„Hojas.de.cálculo“.y.„un.enfoque.de.casos“.

Hojasdecálculo.-.el.software.moderno,.incluyendo.el.Microsoft.excel.utilizado.en.el.libro,.se.puede.usar.para.practicar.la.ciencia.de.la.administrativa.real..sin.embargo.hay.que.tomar.en.cuenta.que.las.hojas.de.cálculo.o.cualquier.software.ayudan.a.resolver.modelos,.son.un.medio.y.no.un.fin.



. Un enfoque de modelos.-. „la. formulación. de. modelos. yace. en. el. corazón. de. la.metodología.de.la.ciencia.administrativa..por.tanto,.enfatizamos.considerablemente.el. arte. de. la. formulación. de. modelos,. la. función. de. un. modelo. y. el. análisis. de.los.resultados.que.éstos.generan..utilizamos.principalmente.(más.no.de.manera.exclusiva). un. formato. de. hoja. de. cálculo. en. lugar. de. álgebra. para. formular. y.presentar.un.modelo“.

Unenfoquedecasos.-.además.de.los.ejemplos,.en.casi.todos.los.capítulos.se.incluyen.casos.que.transmiten.todo.el.proceso.de.aplicación.de.la.ciencia.administrativa.

estimado.alumno.las.siguientes.consideraciones.debe.tenerlas.en.cuenta.para.que.en.cada.evaluación.bimestral,.inclusive.en.los.trabajos.a.distancia..tome.en.cuenta:

.-.. esta.materia.es.una.ciencia.administrativa,.por.lo.tanto.usted.debe.actuar.como.

un.Gerente.o.administrador.de.su.empresa.durante.todo.el.presente.ciclo,.en.los.casos.y.problemas.planteados,.en.las.soluciones.encontradas.y.en.las.decisiones.que.usted.tome.

-. los.criterios.para.las.decisiones.finales.en.cada.caso.incluyendo.los.casos.de.las.pruebas,.son.personales.y.por.lo.tanto.la.evaluación.de.las.respuestas.será.en.base.a.su.criterio.para.tomar.una.decisión.

-....... cada. paso. o. proceso. que. realice,. documentelo,. ya. que. al. final. le. ayudará. y. le.servirá.como.auxiliar.para.una.buena.toma.de.decisiones.

-....... la.resolución.de.los.problemas.los.puede.hacer.en.una.hoja.de.excel,.si.usted.cuenta.con.un.computador.y.con.la.capacitación.básica.para.manejar.hojas.electrónicas,.no.va.ha.tener.ningún.problema.

-....... los.problemas.de.matemáticas.que.se.presentan.son.muy.sencillos.que.usted.los.puede. realizar. mentalmente,. sin. el. uso. de. la. calculadora. ni. de. formularios,. es.aconsejable. colocar. todas. las.operaciones.que. realice.en.un.papel,. esto. también.cuando.realice.las.pruebas.presenciales.

-........ recuerde.que.este.documento.trata.de.reemplazar.al.profesor,.no.olvide.trabajar.con.el.texto.base.y.tampoco.de.visitar.el.eva,.entorno.virtual.de.aprendizaje,.con.estas.herramientas.puede.despejar.muchas.dudas.

ORIENTACIONES GENERALES

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA10


-.........para.el.presente.ciclo.esta.previsto.la.organización.de.cuatro.foros,.dos.por.cada.bimestre. y. el. envío. de. anuncios. semanales,. no. se. descuide. y. este. atento. a. los.mismos,. recuerde. que. su. participación. tendrá. porcentaje. en. la. calificación. del.trabajo.a.distancia,.si.usted.no.tiene.acceso.a.internet.lo.comprenderé.aunque.no.va.a.ser.una.excusa.justificada.para.la.no.participación.

-...... en.cada.bimestre.se.trata.de.presentarle.al.alumno.la.mayor.cantidad.de.ejercicios,.pero. usted. los. puede. encontrar. en. otros. libros. y. por. favor. desarrollo. todos. los.ejercicios.que.pueda.

.

felIcItacIones.por.Haber.escoGIdo.esta.ModalIdad.de.estudIos.Y.recuerde.Que.

estoY.presto.a.aYudarlo.en.todo.lo.Que.Me.sea.posIble...

atte....el.profesor

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA 11


1.. conocer.los.orígenes.de.la.Investigación.de.operaciones,.su.metodología,.procesos.y.aplicabilidad.real,.así.como.su.impacto.sobre.la.economía.de.una.organización.

2.. formular.modelos.matemáticos.que.representen.un.problema.

3.. resolver. un. modelo. a. través. de. las. cinco. etapas. y. pasos. sistemáticos.predefinidos.

4.. desarrollar.el.modelo.de.programación.lineal.para.un.problema.dado.

5.. resolver.modelos.de.programación.lineal.utilizando.el.método.gráfico.

6.. resolver.modelos.de.programación.lineal.utilizando.el.método.simplex.

7.. realizar. los. análisis. de. optimización. y. sensibilidad. para. la. solución. de. un.problema.

8.. realizar.una.interpretación.económica.de.las.variables,.coeficientes.de.la.función.objetivo.y.términos.independientes.de.las.restricciones.

PRIMERRIMERBIMESTREBIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS



1. INTRODUCCIÓNALAINVESTIGACIÓNDEOPERACIONES

1.1.. definición.1.2.. breve.historia.1.3.. características.de.la.Investigación.de.operaciones.1.4.. tipos.de.modelos.1.5.. función.del.modelo.

2. INTRODUCCIÓNALAPROGRAMACIÓNLINEAL(PL)

2.1.. Introducción.2.2.. construcción.del.modelo.2.3.. problemas.de.maximización.2.4.. problemas.de.minimización.2.5.. análisis.gráfico.de.sensibilidad.2.6.. problemas.de.aplicación.2.7.. actividades.propuestas.

3. ELMÉTODOSIMPLEX(MS)

3.1.. Introducción.3.2.. forma.estándar.y.sus.soluciones.básicas.3.3.. problemas.de.maximización.3.4.. problemas.de.minimización.3.5.. casos.especiales.en.la.aplicación.del.Ms.3.6.. problemas.de.aplicación.3.7.. actividades.de.aprendizaje.y.soluciones.

4. ANÁLISISDEDUALIDADYDESENSIBILIDAD

4.1.. Introducción.4.2.. análisis.de.dualidad.4.3.. análisis.de.sensibilidad.para.problemas.de.maximización.4.4.. análisis.de.sensibilidad.para.problemas.de.minimización.4.5.. solución.por.computadora.4.6.. problemas.de.aplicación.4.7.. actividades.propuestas.

CONTENIDOS

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA 1�


1.1. Definición

como. su. nombre. lo. indica,. la. investigación. de. operaciones. (Io). o. ciencia. de. la.administración. (ca). significa. „hacer. investigación. sobre. las. operaciones“.. es. una.manera.de.abordar.la.toma.de.decisiones.en.la.administración,.que.se.basa.en.el.método.científico.y.que.utiliza.ampliamente.el análisis cuantitativo..el.análisis.cuantitativo.se.basa.en.datos.cuantitativos.asociados.al.problema.y.desarrolla.expresiones.matemáticas.que.describen.el.objetivo,.las.restricciones.y.las.relaciones.existentes.en.el.problema,.que.se.conoce.como.Modelo.

la.investigación.de.operaciones.se.aplica.a.problemas.que.se.refieren.a.la.conducción.y.coordinación.de.operaciones...(o.actividades).dentro.de.una.organización..la.naturaleza.de.la.organización.es.esencialmente.inmaterial.y,.de.hecho,.la.investigación.de.operaciones,.se.ha.aplicado.de.manera.extensa.en.áreas.tan.diversas.como.la.manufactura,.el.transporte,.las. telecomunicaciones,. la. planeación. financiera,. el. cuidado. de. la. salud,. la. milicia. y.los.servicios.públicos,.por.nombrar.sólo.unas.cuantas..así,.la.gama.de.aplicaciones.es.extraordinariamente.amplia.

la.parte.de.investigación.en.el.nombre.significa.que.la.investigación.de.operaciones.usa.un.enfoque.similar.a. la.manera.en.que.se.lleva.a.cabo.la. investigación.en.los.campos.científicos.establecidos..en.gran.medida.se.usa.el.método.científico.para. investigar.el.problema.en.cuestión..en.particular,.el.proceso.comienza.por.la.observación.cuidadosa.y. la. formulación. del. problema. incluyendo. la. recolección. de. los. datos. pertinentes.. el.siguiente.paso.es.la.construcción.de.un.modelo.científico.(por.lo.general.matemático).que.intenta.abstraer.la.esencia.del.problema.real..en.este.punto.se.propone.la.hipótesis.de.que.el.modelo.es.una.representación.lo.suficientemente.precisa.de.las.características.esenciales.de. la.situación.como.para.que.las.conclusiones.(soluciones).obtenidas.sean.válidas. también. para. el. problema. real.. después,. se. lleva. a. cabo. los. experimentos.adecuados. para. probar. esta. hipótesis,. modificarla. si. es. necesario. y. eventualmente.verificarla. (validación. del. modelo).. entonces,. en. cierto. modo,. la. investigación. de.operaciones.incluye.la.investigación.científica.creativa.de.las.propiedades.fundamentales.de.las.operaciones.

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

1. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES



sin.embargo,.la.Io.se.ocupa.también.de.la.administración.práctica.de.la.organización..así,.para.tener.éxito,.deberá.también.proporcionar.conclusiones.claras.que.pueda.usar.el.tomador.de.decisiones.cuando.las.necesite..de.esta.manera,.intenta.resolver.los.conflictos.de.intereses.entre.los.componentes.de.la.organización.de.forma.que.el.resultado.sea.el.mejor.para.la.organización.completa..esto.no.significa.que.el.estudio.de.cada.problema.deba.considerar.en.forma.explícita.todos.los.problemas.de.la.organización.sino.que.los.objetivos.que.busca.deben.ser.consistentes.con.los.de.toda.ella.

en.el.capítulo.1.del.texto.complementario.(Hillier.y.lieberman),.usted.puede.determinar.cual.fue.el.origen.y.evolución.de.esta.ciencia..en.la.tabla.1.1,.página.5.de.este.texto,.el.autor.presenta.algunas.aplicaciones.de.la.investigación.de.operaciones.que.usted.debe.leer.con.atención..en. la.sección.1.4,.se.hace.referencia.a. los.paquetes.software.que.se.pueden.utilizar.para.resolver.problemas.de.investigación.de.operaciones..sin.embargo,.estos.paquetes.computacionales.sólo.agilitan.los.cálculos.matemáticos..usted.tienen.que.ser.capaz.de formular.el.modelo.

la.importancia.de.la.investigación.de.operaciones.radica.en.la.capacidad.de.formular.correctamente. un. modelo. para. que,. de. forma. manual. o. utilizando. los. paquetes.computacionales,. pueda. llegar. a. determinar. la. solución. óptima. deseada.. si. usted.dispone.de.un.computador,.utilice.el.software.que.viene.con.el.texto,.pero.recuerde.que.debe.desarrollar.las.destrezas.para.formular.y.resolver.modelos.matemáticos.donde.no.disponga.de.un.computador.

la.secciones.1.1.del.texto.guía.le.presenta.un.problema.de.toma.de.decisiones..la.solución.requiere.la.identificación.de.tres.componentes.principales,.que.caracterizan.a.un.modelo..usted.debe.ser.capaz.de.plantear.el.modelo.correcto,.resolverlo.y.en.base.a.ello,.tomar.una.decisión..las.diversas.técnicas.de.Io,.el.texto.las.explica.en.las.secciones.1.2.y.1.3.

las.etapas.más.importantes.de.un.estudio.característico.de.Investigación.de.operaciones.las.presenta.el.texto.guía.en.la.sección.1.4.„arte.del.modelado“.(pág..5)..una.ampliación.a.este.tema.también.la.puede.encontrar.en.el.capítulo.2.de.Hillier.y.lieberman..según.el.autor:.„una.manera.de.resumir.las.etapas.usuales.(no.secuenciales).de.un.estudio.de.Io.es.la.siguiente“.

1.. definición.del.problema.de.interés.y.recolección.de.datos.relevantes.

2.. formulación.de.un.modelo.matemático.que.represente.el.problema.

3.. desarrollo.de.un.procedimiento.basado.en.computadora.para.derivar.una.solución.al.problema.a.partir.el.modelo.

4.. prueba.del.modelo.y.mejoramiento.según.sea.necesario.preparación.para.la.aplicación.del.modelo.prescrito.por.la.administración.

5.. puesta.en.marcha



Mathur.y.solow.trata.este.tema.como.Metodología.de.la.Investigación.de.operaciones..„el.proceso.de.aplicar.métodos.cuantitativos.requiere.de.una.sucesión.sistemática.de.pasos.ilustrados.en.el.diagrama.de.flujo.siguiente“.

Figura1: Diagrama de flujo de solución de un problema

1.. definición. del. problema,. mediante. su. identificación. y. comprensión. de.manera.que.pueda.expresarlo.de.forma.precisa.

2.. desarrollar. un. modelo. matemático,. en. términos. matemáticos. a. menudo.identificando. variables. de. decisión,. un. objetivo. matemático. general. y. las.limitaciones.o.restricciones.

3.. resolución.del.modelo,.usando.una.técnica.de.administración.apropiada,.a.través.de.un.conjunto.de.pasos,.en.este.caso.de.acuerdo.a.los.métodos.que.se.van.a.estudiar,.simples.y.gráfico.

4.. una. vez. que. esta. resuelto. el. problema,. determinar. las. soluciones. para.proceder.a.su.evaluación.

5.. validación. de. la. solución,. usando. la. intuición. y. la. experiencia. para.determinar.si.la.solución.obtenida.a.partir.del.modelo.tiene.sentido.y.puede.llevarse.a.cabo.de.manera.realista..si.no,.puede.ser.necesario.modificar.el.modelo.adecuadamente.para.obtener.la.nueva.solución.e.iniciar.el.proceso.nuevamente.

6.. la.implementación.es.la.puesta.en.marcha.de.la.solución.con.las.respectivas.supervisiones.de.la.misma.

Resolución del modelo matemático 3

Solución del problema 4

Modelo modificado 5

Implementación 6

Definición del problema 1

Desarrollo de unmodelo matemático y recolección de datos

2

La solución es válida

5

Si

No

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA1�


1.2. BreveHistoria

desde. la. primera. guerra. mundial. se. dio. a. thomas. edison. la. tarea. de. averiguar. las.maniobras.de.los.barcos.mercantes.que.fueran.más.eficaces.para.disminuir.las.pérdidas.de.embarques.causadas.por.los.submarinos.enemigos...en.vez.de.arriesgar.los.barcos.en. condiciones.bélicas. reales,. empleó.un.“tablero. táctico”.para.encontrar. la. solución...Más.o.menos.en.la.época.(fines.de.la.década.de.1910),.erlang,.un.ingeniero.danés,.llevó.a.cabo.experimentos.relacionados.con.las.fluctuaciones.de.la.demanda.de.instalaciones.telefónicas.en.relación.con.el.equipo.automático.. .sus. trabajos.constituyen. la.base.de.muchos.modelos.matemáticos.que.se.usan.actualmente.en.la.teoría.de.líneas.de.espera.

en.la.década.de.1930.Horace.levison.aplicó.algunos.modelos.matemáticos.a.grandes.cantidades.de.datos,.cuyo.manejo.habría.sido.completamente.imposible.de.otro.modo...uno.de.sus.estudios.más.interesantes.y.mejor.conocidos.se.refería.a.los.clientes.que.se.negaban.a.aceptar.paquetes.que.una.empresa,.relativamente.pequeña.de.pedidos.por.correo,.les.enviaba.por.reembolso...la.proporción.de.rechazos.llegaba.aproximadamente.al.30.por.ciento.de.las.ventas.brutas...se.precisaron.dos.causas.de.rechazo:.primera.se.rechazaban. con. más. frecuencia. los. pedidos. más. costosos. y. segunda,. se. rechazaba. la.mercancía.que. se. enviaba.más.de. cinco.días.después.de. recibir. el.pedido.. .por. regla.general. los. pedidos. que. tenían. más. de. cinco. días. no. dejaban. utilidades.. . cuando. se.dispuso.de.esos.datos,.fue.muy.fácil.para.la.empresa.de.pedidos.por.correo,.comparar.el. costo. de. los. rechazos. con. el. costo. más. elevado. de. los. embarques. más. rápidos. y.determinar.así.el.esfuerzo.óptimo.de.embarque.

desde.principios.de.1937,.se.pidió.a.los.científicos.ingleses,.cada.vez.con.más.frecuencia,.que.ayudaran.a.los.militares.a.descubrir.la.mejor.manera.de.utilizar.el.radar.para.localizar.aviones.enemigos.. .en.septiembre.de.1939.los.científicos.que.trabajaban.en.diferentes.aspectos. del. problema,. se. reunieron. en. el. cuartel. general. del. mando. de. aviones. de.combate...ese.grupo,.considerado.como.el.núcleo.del.primer.grupo.de.investigación.de.operaciones,.ampliaba.continuamente,.su.área.de.actividades.hasta.abarcar.más.allá.del.problema.original.de.radar.y.de.su.integración.con.los.observadores.de.tierra.

poco. tiempo.después.de. la. formación.de.ese.grupo,.se.reunió.el.grupo.de.mando.de.investigación. contra.aviones.para.estudiar. los.problemas.de.puntería. contra.aviones...encabeza.el.grupo.el.distinguido.físico.inglés.blackett,.que.debería.estudiar.la.actuación.del.equipo.de.control.de.cañones.en.el.campo.especialmente.durante.su.empleo.por.las.tropas.contra.el. enemigo.. .los.dos.primeros.miembros.del.grupo.eran. fisiólogos,. los.dos.siguientes.físicos.matemáticos,.y.había.también.un.astrofísico,.un.oficial.del.ejército.y. un. antiguo. agrimensor.. . es. evidente. la. extensa. gama. de. disciplinas. de. ese. grupo.de.hombres.de.ciencia,.lo.que.dio.por.resultado.que.las.tres.fuerzas.militares.inglesas.tuvieran. un. grupo. de. investigación. de. operaciones. que. llevó. a. cabo. investigaciones.militares.desde.los.principios.de.la.guerra.(1941)...ese.tipo.de.actividades.científicas.se.conoció.en.Inglaterra.como.“Investigación Operacional”,.porque.los.primeros.estudios.se.dedicaron.a.la.utilización.del.radar.en.las.operaciones.y.los.efectuaron.hombres.de.ciencia.famosos.en.las.investigaciones.de.radar.



algunos.años.después.de.la.guerra,.la.mayor.parte.de.las.industrias.inglesas.que.llevaban.a.cabo.la.investigación.de.operaciones,.sólo.tenían.unos.cuantos.individuos.en.el.campo...sin. embargo,. durante. la. segunda. mitad. de. la. década. de. 1950,. la. semilla. germinó. y.dio. frutos.. .los.grupos.existentes.de. investigación.de.operaciones. se.ampliaron.para.competir.con.la.demanda.creciente.dentro.de.sus.propias.empresas...otros.emprendieron.muy.pronto.actividades.de.investigación.de.operaciones...las.investigaciones.inglesas.de. operaciones. se. caracterizaron. por. un. gran. número. de. grupos. de. investigación. de.operaciones...el.grupo.de.la.united.steel.company.incluye.más.de.80.individuos.y.la.junta.nacional.del.carbón.tiene.más.de.60...Muchas.firmas.de.tamaño.mediano.tienen.dos.o.más.empleados.dedicados.a.la.investigación.de.operaciones...es.muy.difícil.imaginar.un.solo.tipo.de.industria.donde.no.se.use.la.investigación.de.operaciones...en.Inglaterra.la.I.o..a.conquistado.una.posición.muy.sólida.en.el.gobierno.y.en.los.negocios.para.la.solución.de.problemas.difíciles.y.complejos.

los. estados. unidos. comenzaron. a. entrar. en. una. segunda. revolución. industrial. del.automatismo.a.medida.que.las.computadoras.electrónicas.comenzaron.a.aparecer.en.el.gobierno.y.en.la.industria...el.personal.de.I.o..que.había.pasado.una.década.dedicado.a.las.investigaciones.de.las.operaciones.militares,.aprovechó.rápidamente.las.oportunidades.que.se. le.presentaron.. .el.advenimiento.de. la.computadora.y.el. rápido.desarrollo.de.los. métodos. de. I.o.. reunieron. al. ejecutivo. industrial. y. a. los. especialistas. en. I.o.. . en.una.actividad.que.todavía.sigue.creciendo.rápidamente.durante.ese.período.(1950),.la.programación.lineal,.desarrollada.por.George.dantzig.a.través.del.método.simples,.de.un.gran.ímpetu.a.la.investigación.industrial.de.operaciones

1.3. CaracterísticasdelaInvestigacióndeOperaciones

resumiendo. lo. anterior. podemos. determinar. algunas. características. que. tiene. la.investigación.de.operaciones:

1. Relacionesfuncionalesenunsistema

la.primera.característica.de.la.I.o..significa.que.la.actividad.de.cualquier.función.o.parte.de.una.empresa.tienen.algún.efecto.en.la.actividad.de.cualquier.otra.función.o.parte...a.fin.de.evaluar.cualquier.decisión.o.acción.de.una.organización,.es.necesario.identificar.todas. las. interacciones. importantes. y. determinar. su. efecto. en. toda. la. organización.comparándolas.con.la.función.involucrada.originalmente...este.enfoque.permite.también.descubrir. y. resolver. el. verdadero. problema,. en. vez. de. ocuparse. de. los. síntomas. del.problema.actual.

Muchos.problemas.que.superficialmente.parecen.de.fácil.solución.se.asemejan.realmente.a.un.témpano.de.hielo...por.ejemplo,.un.inventario.que.puede.no.parecer.complicado.a.primera.vista,.porque.básicamente. se.encuentra.en.el.departamento.de.producción.de.la.empresa,.resulta.extraordinariamente.complicado...el.departamentote.producción.quiere.marchas.prolongadas.e.ininterrumpidas.para.disminuir.los.costos.de.montaje.y.terminación.. .la.solución.del.problema.teniendo.en.cuenta.este.nuevo.punto.de.vista.



puede.no.ser.complicada.. .sin.embargo,.esas.marchas.prolongadas.pueden.dar.como.resultado.grandes.inventarios.de.materias.primas,.de.trabajo.en.proceso.y.de.artículos.acabados.en. líneas.de.productos.relativamente.poco.numerosas,. lo.que.puede.causar.serios. conflictos. con. el. departamento. de. ventas,. para. no. mencionar. el. departamento.financiero,.así.como.el.de.personal

2. Lautilizacióndeungrupointerdisciplinario.

los.grupos.de.I.o..militares.tuvieron.que.formar.su.personal.no.por.selección.sino.por.adquisición...como.resultado.de.ese.enfoque.forzado.de.investigación.de.operaciones.se. llegó. a. reconocer. que. el. grupo. interdisciplinario. era. muy. valioso.. . comprobaron.que. puede. hablarse. de. problemas. físicos,. químicos,. biológicos,. psicológicos,. sociales,.económicos,.como.así.todos.fueran.de.naturaleza.categórica...en.realidad.las.diversas.disciplinas.describen.formas.diferentes.de.estudiar.el.mismo.problema.

el.matemático.que.trate.un.problema.de.inventario,.formulará.ciertos.tipos.de.relaciones.matemáticas.entre.departamento.de.producción.y.el.embarque. final.. .esas. relaciones.podrían.estar.directa.o. indirectamente. ligadas.con. los. factores.de.cantidad.y. tiempo...un.ingeniero.químico.podría.considerar.el.mismo.problema.y.formularlo.en.términos.de.la.teoría.de.flujo,.porque.tiene.a.su.disposición.métodos.para.encontrar.soluciones.utilizando.ese.sistema...un.contador.de.costos.concibe.ese.problema.de.inventario.en.términos.de.sus.costos.componentes.(materiales.directos,.mano.de.obra.directa.y.gastos.generales.de.administración).y.cómo.pueden.controlarse.y.disminuirse.los.costos,.y.ha.otras.disciplinas.que.podrían.tomar.parte.en.la.escena...el.enfoque.interdisciplinario.tiene.otras.ventajas.adicionales:.reconoce.que.la.mayor.parte.de.los.problemas.de.negocios.tienen. aspectos. contables,. biológicos,. económicos,. matemáticos,. físicos,. psicológicos,.sociológicos,.estadísticos.y.de.ingeniería.

3. Métodobásicodeinvestigacióndeoperaciones

la.investigación.de.operaciones.utiliza.el.método.científico...casi.todas.las.investigaciones.científicas,.por.ejemplo.la.química.y.la.física,.se.prestan.muy.bien.al.estudio.de.laboratorio...sin.embargo,.esto.no.ocurre.con.los.problemas.de.negocios.o.los.sistemas.que.estudia.el.grupo.de.I.o.

por.ejemplo,.sería.muy.difícil.usar.diferentes.precios.en.las.diversas.áreas.de.mercado.de. la. empresa,. sin. causar. ciertas. malas. voluntades. si. los. clientes. se. dan. cuenta. del.tratamiento. preferente. de. precios. para. otros.. . otros. experimentos. podrían. resultar.demasiado. costosos. o. consumirían. demasiado. tiempo.. . por. lo. tanto. la. I.o.. tiene. que.vencer.obstáculos.aparentemente.infranqueables.

el.astrónomo.está.en.la.misma.posición.que.un.trabajador.de.I.o.,.o.sea.que.no.puede.manipular.el.sistema.que.estudia...ambos.construyen.modelos.matemáticos.que.son.una.representación.del.problema.o.sistema.real.que.estudian...un.modelo.que.representa.la.estructura.del.sistema.real.en.términos.cuantitativos.puede.manipularse,.analizarse,.lo.



que.permite.toda.clase.de.experimentación,.porque.la.limitación.básica.se.ha.establecido.previamente...el.investigador.de.operaciones.puede.cambiar.ciertas.variables.y.mantener.otras.constantes,.para.tratar.de.averiguar.cómo.se.afectaría.el.sistema...por.consiguiente.es.posible.simular.el.mundo.real.y.experimentar.con.él.en.términos.abstractos.

la.construcción.de. los.modelos.matemáticos.puede.ser.muy.difícil.y.pueden.resultar.en.expresiones.matemáticas.muy.complejas,.lo.que.hace.que.al.final.los.modelos.tomen.la. forma. de. un. sistema. de. ecuaciones.. . las. variables. controlables. podrían. incluir. las.siguientes:.precios.de.venta,.número.de.artículos.producidos,.aspectos.de.costos,.número.de. vendedores. y. restricciones. presupuestarias.. . la. administración. fija. los. valores. de.las. variables. controlables.. . sin. embargo,. las. variables. no. controlables. no. quedan.sujetas.al.control.de. la.administración,.y.podrían.incluir. las.siguientes:.precios.de.los.competidores,.costo.de.las.materias.primas,.costos.de.mano.de.obra,.demanda.de.los.clientes.y.localización.de.los.mismos.

4. Descubrimientodenuevosproblemas

una.cuarta.característica.de.la.I.o..que.a.menudo.se.pasa.por.alto,.es.que.en.la.solución.de. un. problema. de. esa. índole. se. descubren. nuevos. problemas.. . los. problemas.interrelacionados. que. descubra. el. enfoque. de. I.o.. no. tienen. que. resolverse. todos. al.mismo.tiempo...sin.embargo,.cada.uno.de.ellos.habrá.de.resolverse,.considerando.los.demás,.a.fin.de.obtener.los.máximos.beneficios...puede.decirse.que.la.I.o..no.se.utiliza.eficazmente.si.se.restringe.a.programas.de.un.solo.objetivo.

en.este.punto.el.proyecto.puede.parecer. interminable.. .sin.embargo,.puede. terminar.donde. acaban. los. límites. del. control. ejercido. por. el. administrador,. también. puede.terminar.cuando.las.áreas.de.investigación.más.fructíferas.compiten.con.el.tiempo.de.los.investigadores,.o.cuando.los.ingresos.adicionales.no.justifican.el.aumento.de.los.costos.

Ahora vamos a ingresar al E.V.A., entorno virtual de aprendizaje y participar del foro. Siga las instrucciones planteadas en el mismo.

1.4. TiposdeModelos

1.4.1.Concepto

el.modelo.es.una. representación.o.abstracción.de.una.situación.u.objetos. reales,.que.muestra.las.relaciones.(directas.e.indirectas).y.las.interrelaciones.de.la.acción.y.la.reacción.en.términos.de.causa.y.efecto...como.un.modelo.es.una.abstracción.de.la.realidad,.puede.parecer.menos.complicado.que.la.misma...para.que.sea.completo,.el.modelo.debe.ser.representativo.de.aquellos.aspectos.de.la.realidad.que.están.investigándose.



1.4.2.Tipos

las.diferentes.clasificaciones.de.los.modelos.dan.una.idea.adicional.de.sus.características.esenciales,.porque.pueden.describirse.de.muchos.modos...los.modelos.pueden.clasificarse.por.sus.dimensiones,.funciones,.propósitos,.temas.o.grado.de.abstracción...la.base.más.común.es.la.de.tipos.de.modelos,.que.incluye.los.tipos.básicos:.icónicos,.analógicos.y.simbólicos.(matemáticos).

Modelos Icónicos:.un.modelo.icónico.es.una.representación.física.de.algunos.objetos,.ya.sea.en.forma.idealizada.o.en.escala.distinta...un.modelo.a.escala.de.un.aeroplano.es.una.representación.de.un.avión.real,.el.camión.de.juguete.de.un.niño.es.un.modelo.de.un.camión.real...el.modelo.del.avión.y.el.camión.de.juguete.son.ejemplos.de.modelos.que. son. replicas. físicas. de. objetos. reales.. . en. terminología. de. modelado,. las. replicas.físicas.se.conocen.como.modelos.icónicos.

Modelos analógicos:.una.segunda.clasificación.incluye.aquellos.que.tienen.una.forma.real,.pero.no.la.misma.apariencia.física.del.objeto.que.se.está.modelando...el.velocímetro.de.un.automóvil.es.un.modelo.analógico,.la.posición.de.la.aguja.en.el.reloj.del.tablero.representa. la. velocidad. del. automóvil.. . el. termómetro. es. otro. modelo. analógico. que.representa. la. temperatura.. . los. modelos. analógicos. pueden. representar. situaciones.dinámicas.y.se.usan.más.que.los.icónicos,.porque.pueden.mostrar.las.características.del.acontecimiento.que.se.estudia.

Modelos simbólicos (matemáticos):.para.cumplir.con.el.objetivo.de.esta.materia.nos.interesan. principalmente. los. modelos. simbólicos. que. son. las. representaciones. de.la. realidad. y. toman. la. forma. de. cifras,. símbolos. y. matemáticas.. . un. tipo. de. modelo.simbólico.o.matemático.que.se.usa.comúnmente.en.la.investigación.de.operaciones.es.una.ecuación...una.ecuación.es.concisa,.precisa.y.fácil.de.comprender...además.de.estos.atributos,.los.modelos.simbólicos.se.prestan.a.las.manipulaciones.de.las.computadoras.

Modelos matemáticos cuantitativos y cualitativos:. la. mayor. parte. del. pensamiento.relacionado. con. los. problemas. de. negocios. comienza. con. los. modelos. cualitativos. y.llega. gradualmente. hasta. un. punto. donde. pueden. usarse. modelos. cuantitativos.. . la.investigación.de.operaciones.se.ocupa.de.la.sistematización.de.los.modelos.cualitativos.y.de.su.desarrollo.hasta.el.punto.en.que.puedan.cuantificarse...esto.no.significa.que.la.metodología.de.la.I.o..puede.cuantificar.situaciones.cualitativas...Hay.muchos.problemas.que.no.pueden.cuantificarse.exactamente...sin.embargo,.mediante.el.empleo.del.análisis.lógico,.sistemas.de.clasificación,.métodos.de.ordenamiento,.teoría.de.conjuntos,.análisis.dimensional.y. teoría.de.decisión,. la. investigación.de.operaciones.puede.hacer.que.se.apliquen.al.problema.ciertas.técnicas.muy.útiles...los.problemas.de.I.o..que.se.ocupan.de. las. cualidades. o. propiedades. de. los. componentes. se. llaman. modelos. cualitativos...cuando. construimos. un. modelo. matemático. e. insertamos. símbolos. para. representar.constantes.y.variables,.se.llama.a.este.modelo.cuantitativo.



Modelos estándar y hecho a la medida:.se.usan.modelos.estándar.para.describir. las.técnicas.que.han.llegado.a.asociarse.con.la.investigación.de.operaciones...para.usar.esas.técnicas.insértense.los.números.apropiados.de.un.problema.específico.de.negocios.en.el.modelo.estándar.para.obtener.una.respuesta...se.obtiene.un.modelo.hecho.a.la.medida.cuando.se.usan.los.conceptos.básicos.de.de.las.diversas.disciplinas,.y.especialmente.las.matemáticas,.para.construir.un.modelo.que.se.ajuste.al.problema.de.que.se.trata.

Probabilística (Estocástico) y determinístico:. los. modelos. que. se. basan. en. las.probabilidades. y. en. las. estadísticas. y. que. se. ocupan. de. incertidumbres. futuras. se.llaman.probabilistas.y.son.ejemplos. la. teoría.de. juegos.y. la.simulación.. .en.realidad,.nos.ocupamos.de.la.I.o..bajo.ciertas.incertidumbres...los.modelos.cuantitativos.que.no.contienen.consideraciones.probabilísticas.se.llaman.modelos.determinísticos.

Descriptivos y de optimización:. en. algunas. situaciones. un. modelo. se. construye.sencillamente. como. descripción. matemática. de. una. condición. del. mundo. real.. . esos.modelos. se. llaman. descriptivos. y. en. el. pasado. se. han. usado. para. poder. aprender.más.sobre.algún.problema...el.modelo.descriptivo.tiene.la.capacidad.de.solución...sin.embargo,.en.ese.modelo.no.se.hace. intento.alguno.para.escoger. la.mejor.alternativa...cuando. se. utiliza. un. modelo. de. optimización,. se. hace. un. esfuerzo. concertado. . para.llegar.a.una.solución.óptima.cuando.se.presentan.alternativas...cuando.un.modelo.de.optimización.se.usa.en.forma.apropiada.suministra.la.mejor.alternativa.de.acuerdo.con.los.criterios.de.entrada...por.consiguiente.un.modelo.de.optimización.se.ocupa.de.una.respuesta.óptima,.mientras.que.el.modelo.descriptivo.no. intenta.seleccionar. la.mejor.alternativa,.sino.tan.sólo.describir.las.selecciones.presentes.

Estáticos y dinámicos: los.modelos.estáticos.se.ocupan.de.determinar.una.respuesta.para.una.serie.especial.de.condiciones.fijas.que.probablemente.no.cambiarán.significativamente.a.corto.plazo..un.buen.ejemplo.de.este.tipo.de.modelo.es.la.programación.lineal,.en.las.que.las.restricciones.se.fijan.en.términos.de.tiempo.de.los.productos.individuales.y.de.las.horas.disponibles.por.turno.a.corto.plazo...un.modelo.estático.dará.como.resultado.la. mejor. solución. basada. en. esa. condición. estática.. . un. modelo. dinámico. está. sujeto.al. factor. tiempo,. que. desempeña. un. papel. esencial. en. la. secuencia. de. las. decisiones..Independientemente.de.cuáles.hayan.sido.las.decisiones.anteriores,.el.modelo.dinámico.no.permite.encontrar.las.decisiones.óptimas.para.los.períodos.que.quedan.todavía.en.el.futuro.

Simulación y no simulación:. la. simulación. es. un. método. que. comprende. cálculos.secuenciales.paso.a.paso,.donde.pueden.reproducirse.el.funcionamiento.de.problemas.o.sistemas.de.gran.escala...en.muchos.casos.donde.ocurren.relaciones.complejas,.tanto.de. naturaleza. predecible. como. aleatoria,. es. más. fácil. preparar. y. pasar. una. situación.simulada. en. una. computadora,. que. preparar. y. emplear. un. modelo. matemático. que.representa.todo.el.proceso.que.se.estudia.

Ahora vamos a ingresar al E.V.A., entorno virtual de aprendizaje, a leer el anuncio y a realizar preguntas sobre todo lo revisado hasta el momento.



1.5. Funcióndelmodelo.

un. modelo. es. una. representación. de. la. realidad. desarrollado. con. el. propósito. de.estudiarla...en.la.mayoría.de.los.modelos.no.se.puede.considerar.todos.los.parámetros.que.afectan.el.proceso.en.estudio;.entonces,.el.modelo.no.solo.es.un.substituto.de. la.realidad.sino.también.la.simplificación.de.ella...existen.diferentes.maneras.de.clasificar.los. modelos.. . presentamos. a. continuación. parte. de. la. nomenclatura. utilizada. en. las.mismas.

Figura2: Vínculo entre el sistema real y el modelo

el.desarrollo.del.primer.modelo.(modelo.1).en.realidad.es.tan.sólo.una.parte.de.un.proceso.más.grande...esto.se.hace.evidente.en.la.figura.1...la.evolución.de.un.modelo.acertado.sigue.generalmente.ese.prolongado.proceso...a.menudo.el.primer.modelo.no.llega.a.la.meta,.y.de.hecho.puede.sentir.deseos.de.abandonar.el.proyecto.con.gran.disgusto...sin.embargo,.un.nuevo.examen.por.otro.personal.distinto.de.I.o.,.los.estudios.adicionales,.el.análisis.y.una.seria.consideración,.así.como.la.introducción.de.datos.controlados.en.una.forma.más.estadística,.pueden.cambiar.la.evaluación.de.mala.a.incompleta...el.modelo.2.que.es.una.modificación.mayor.o.menor.del.modelo.1.con.datos.más.representativos.obtenidos.mediante.el.empleo.de.técnicas.estadísticas,.da.un.mayor.impulso.al.programa.de. investigación. de. operaciones.. . el. modelo. 3. que. es. una. modificación. del. 2. con. un.mayor.refinamiento.de.los.datos,.puede.dar.el.resultado.deseado...Indudablemente.ese.proceso.puede.extenderse.más.allá.del.modelo.3.si.es.necesario.

Figura3: Función del modelo y fases de solución



2.1. Introducción

la.programación.lineal.está.entre.los.avances.científicos.más.importantes.de.mediados.del.siglo.xx..en.la.actualidad.es.una.herramienta.de.uso.normal.que.a.ahorrado.miles.o.millones.de.dólares.a.muchas.compañías.

la.programación.lineal.(pl).utiliza.un.modelo.matemático.para.describir.el.problema..el.adjetivo. lineal.significa.que.todas. las. funciones.matemáticas.del.modelo.deben.ser.funciones.lineales..en.este.caso,.la.palabra.programación.no.se.refiere.a.programación.en.computadoras;.en.esencia.es.un.sinónimo.de.planeación..así,.la.programación.lineal.trata.la.planeacióndelasactividadespara.obtener.un.resultado.óptimo,.esto.es,.el.resultado.que.mejor.alcance.la.meta.entre.todas.las.alternativas.de.solución.

aunque. la.asignación.de. recursos.a. las.actividades.es. la.aplicación.más. frecuente,. la.programación. lineal. tiene. muchas. otras. posibilidades.. de. hecho,. cualquier. problema.cuyo. modelo. matemático. se. ajuste. al. formato. general. del. modelo. de. programación.lineal,.es.un.problema.de.programación.lineal.

en. este. capítulo. se. desarrolla. modelos. pequeños. que. pueden. resolverse. de. manera.directa.en.una.gráfica,.no.excluye.que.puedan.resolverse.a.través.del.método.símplex.que.se.estudia.en.el.capítulo.siguiente.o.que.se.utilice.un.software.para.su.resolución..lo.que.interesa,.no.es.el.proceso.de.resolución.como.tal,.sino.que.como.estudiante.adquiera.la.habilidad.para.desarrollar.modelos.matemáticos.para.problemas.que.se.le.planteen.

en.el.capítulo.2.del.texto.guía.se.resuelve.paso.a.paso.un.problema.de.maximización.y.otro.de.minimización..es.importante.que.usted.siga.el.proceso.ya.que.a.través.de.éste.puede.desarrollar.la.metodología.para.la.resolución.de.problemas.de.pl.

el.texto.presenta.para.cada.sección.una.„serie.de.problemas“..usted.tiene.que.desarrollar.los.modelos.de.pl.cuando.se.solicite.y.resolverlo,.utilizando.en.método.gráfico.

en.el.anexo.no.1,.usted.encuentra.algunas.definiciones.adicionales.de.programación.lineal.y.de.conceptos.del.primer.bimestre.

2.2 Construccióndelmodelo

un.modelo.es.una.representación.de.un.objeto.o.situación.reales..un.modelo.matemático.son.símbolos.y.expresiones.matemáticas.que.se.utilizan.para.representar.una.situación.real..recuerde.que.un.modelo.de.pl.debe.tener:.

2. INTRODUCCIÓN A PROGRAMACIÓN LINEAL (PL)



b). una.función.objetivo.(fo),.que.se.debe.optimizar;c). restricciones,.que.se.deben.satisfacer;.yd). variables.de.decisión,.cuyo.valor.se.debe.determinar.y.parámetros.que.son.

datos.del.problema.

2.2.1. Función objetivo.-. expresión. matemática. que. sirve. para. representar. el. criterio.destinado.a.evaluar.la.resolución.de.los.problemas..todos.los.programas.lineales.tienen.una.función.objetivo.lineal.que.debe.maximizarse.o.minimizarse..en.muchos.problemas.de. pl,. la. función. objetivo. se. utiliza. para. medir. utilidades. o. costos. de. una. solución.específica.

1.1.2. Restricciones.-.son.limitaciones.que.se.imponen.a.un.problema..es.una.ecuación.o. desigualdad. que. elimina. ciertas. combinaciones. de. las. variables. de. decisión. como.soluciones.factibles.

1.1.3. Variablesdedecisión.-.alternativas.de.decisión.que.el.administrador.especifica..valores.que.se.trata.de.determinar.para.optimizar.la.función.objetivo.

en.la.sección.2.2.del.texto.guía.se.plantea.el.ejemplo.2.2-1.y.se.explica.el.proceso.para.la.formulación.del.modelo..“en.la.sección.2.6.de.esta.guía.se.plantea.un.problema.cada.vez.más.complejo.que.da.origen.a.modelos.más.complejos,.sin.embargo.éstos.son.pequeños.modelos.comparados.con.los.que.se.plantea.en.el.texto.y.que.pueden.encontrar.en.la.vida.real..una.vez.más.insistimos.en.el.hecho.de.que.lo.importante.es.formular.el.modelo.a.partir.del.problema.propuesto.

Antes de continuar con los problemas de maximización, es hora de participar del segundo foro, lea lo que se solicita en el anuncio y en el foro planteado.

2.3. Problemasdemaximización

resolvamos.el.ejemplo.2.3-1.de.la.página.15.del.texto.guía..el.modelo.es.el.siguiente.y.el.procedimiento.consiste.básicamente.en.los.siguientes.pasos:

1..... formular.el.Modelo:

Maximizar.Z.=.5x1.+.4x2........(0)

.sujeto.a:. . 6x 1.+.4x 2.<=.24. . . (1). . .x 1.+.2x 2.<=. .6 . . . (2). -x 1. .+. .x 2.<=. . .1 . . . (3). . . . . . . . . . . . .x 2.<=. .2 . . . (4)

.... ..x1,........x2...>=...0



2.. trazar.un.plano.coordenado.en.el.que.el.eje.de.las.abscisas.será.para X1 (primera.variable.de.decisión).y.el.eje.de.las.ordenadas.será.para X2 (segunda.variable.de.decisión).

3.. se.grafican.todas.las.restricciones,.para.esto.las.desigualdades.se.las.transforma.en. igualdades.. .ejemplo,. tomando.el.modelo.anterior.. .Graficamos.estas. cuatro.ecuaciones.

6.x1.+.4x2. =..24...(1).x1.+.2x2. =....6...(2).-.x1.+...x2. =....1...(3)..x2. =....2...(4)

4.. se.gráfica.la.región.factible.(rf).tomando.en.cuenta.el.sentido.de.las.restricciones..en.restricciones.del. tipo <=. la.solución.se.ubicará.sobre. la. recta.o.hacia.el. lado.izquierdo,.incluye.el.origen.(como.es.el.caso.de.todas.restricciones.del.ejemplo);.si.la.restricción.es.una.igualdad,.la.solución.se.ubicará.exactamente.sobre.la.recta;.en.restricciones.del.tipo.>=.la.solución.se.ubicará.sobre.la.recta.o.hacia.el.lado.derecho.de.la.recta,.no.incluye.el.origen.(ver.problema.de.minimización)..Hecho.esto.se.obtiene.la.región.factible.o.espacio.de.solución.como.dice.el.texto..ver.figura.2-1.páginas.15.del.texto.guía.

5.. se.gráfica.la.función.objetivo,.para.ello.se.da.un.valor.cualquiera.a.la.utilidad..en.el.ejemplo.se.dan.tres.valores.diferentes.y.usted.se.dará.cuenta.que.estas.rectas.son.paralelas.una.respecto.de.la.otra.y.que.a.medida.que.aumenta.la.utilidad.la.recta.alcanza.un.extremo.derecho.de.la.rf..ahora,.normalmente.sólo.se.puede.graficar.



una.vez.la.recta.que.corresponde.a.la.función.objetivo.y.trazar.una.paralela.a.ésta.hasta.alcanzar.el.extremo.derecho.de.la.rf,.éste.punto.será.la.solución.óptima...en.el.ejemplo,.la.solución.óptima.es.el.punto.c.y.que.corresponde.a.los.valores.x1.=.3;.x2.=.1.5...reemplazando.estos.valores.en.la.función.objetivo,.tenemos.que.u.=.21..normalmente.en.la.gráfica.no.se.puede.precisar.los.valores.de.las.variables.de.decisión.(los.valores.de.x1.y.x2);.en.estos.casos.se.resuelven.las.ecuaciones.de.las.rectas.que.dan.origen.al.punto.solución.

. en. este. problema. se. tiene. cuatro variables de holgura,. de. las. cuales,. dos.corresponden. a. recursos.. las. variables. de. holgura. normalmente. representa. la.cantidad.de.un.recurso.que.no.se.utiliza.o.que.está.sobrando..transformemos.al.modelo.anterior.a.la.forma.estándar.sumando.una.variable.de.holgura.a.las.cuatro.restricciones.

Maximizar.Z.=.5x1.+.4x2.+.0H1.+.0H2.+.0H3.+.0H4

sujeto.a:.. 6x1.+.4x2.+..H1..=.24....(1)

.. ..x1.+.2x2.+.H2...=.6......(2)

.. -x1.+...x2.+..H3...=.1......(3)

.. ............x2.+.H4....=.2......(4)

.........x1,x2,H1,H2,H3,H4.>=.0

. reemplazando. los. valores. de. x1. y. x2. en. las. ecuaciones. encontramos. que. H1=0,.H2.=.0,.H3.=.2.5,.H4.=.0.5,.significa.que.se.ha.utilizado.toda.la.materia.prima.M1.y.toda.la.materia.prima.M2..H3.=.2.5.significa.que.la.producción.de.pintura.para.exteriores.puede.reducirse.en.2.5.toneladas.y.aún.así.la.restricción.(3).se.cumple..H4.=.0.5.significa.que.la.producción.de.pintura.para.interiores.es.de.0.5.toneladas.por.debajo.de.lo.especificado...los.recursos.sobrantes.no.incrementan.las.utilidades,.por.lo.que.el.coeficiente.de.éstas.variables.en.la.función.objetivo,.son.cero.

6..... usted.tiene.que.dar.la.solución.al.problema.a.través.de.un.“reporte.técnico”.que.para.el.caso.del.presente.problema.sería:

. reporte.técnico:.para.optimizar.las.utilidades.a.un.valor.de.21.mil.dólares,.la.fábrica.debe.producir.3.toneladas.diarias.de.pintura.para.exteriores.y.1.5.toneladas.diarias.de.pintura.para.interiores..se.utiliza.toda.la.materia.prima.M1.y.M2.disponibles.(recursos)..la.producción.de.pintura.para.exteriores.es.mayor..la.producción.de.pintura.para.interiores.es.de.0.5.toneladas.menos.que.lo.especificado,.es.decir.que.se.puede.producir.0.5.toneladas.más.y.se.cumplirá.con.lo.máximo.establecido.

. estudie.con.atención.el.ejercicio.2.1.y.el.ejercicio.2.2.de.la.sección.2.6.“problemas.de.aplicación”,.de.esta.guía.



Una vez que ha terminado de realizar los ejercicios, saque sus conclusiones y si tiene dudas, plantéelas en el foro ya que otros compañeros pueden colaborar a despejar estas dudas y a compartir sus conocimientos.

2.4Problemasdeminimización

el.siguiente.es.un.problema.de.minimización.de.costos.de.producción.

una.empresa.elabora.dos.productos.a.y.b..con.base.a.una.investigación.de.mercado.se.ha.determinado.que.la.producción.de.los.dos.productos.debe.ser.de.por.lo.menos.350.unidades.mensuales..por.otro.lado,.se.debe.satisfacer.también.un.pedido.de.un.cliente.importante.de.125.unidades.mensuales.del.producto.a..el.producto.a.requiere.de.2.horas.por.unidad.para.ser.elaborado,.en.tanto.que.el.producto.b.requiere.de.1.hora.por.unidad.para.ser.elaborado;.existen.disponibles.600.horas.de.tiempo.de.procesamiento.para.el.siguiente. mes.. el. objetivo. de. la. empresa. es. satisfacer. los. requerimientos. planteados.incurriendo.en.un.costo.de.producción.mínimo..los.costos.de.producción.son.de.$.2.por.unidad.para.el.producto.a.y.de.$.3.por.unidad.para.el.producto.b.

el.Modelo.matemático.para.este.problema.es.el.siguiente:

Minimizar.c.=.2x1.+.3x2

sujeto.a:..x1.+.x2 >= 350.....requerimiento.mínimo.de.producción..x1.........>=..125.....demanda.mínima.del.producto.a2x1.+.x2.<=..600.....tiempo.de.procesamiento.disponible.x1,...x2..>=...0........condición.de.no.negatividad

1).... trazar. un. plano. coordenado. en. el. que. el. eje. de. las. abscisas. será. para. x1.(primera.variable.de.decisión).y.el.eje.de.las.ordenadas.será.para.x2.(segunda.variable.de.decisión);

2).... se. grafican. todas. las. restricciones,. para. esto. las. desigualdades. se. las.transforma.en.igualdades;

x1.+.x2..=.350......requerimiento.de.producción. x1..........=.125......demanda.del.producto.a.2x1.+.x2..=.600......tiempo.de.procesamiento

3). se. gráfica. la. región. factible. (rf). tomando. en. cuenta. el. sentido. de. las.restricciones.. en. la. primera. y. segunda. restricción. la. solución. se. ubicará.sobre.la.recta.o.hacia.el.lado.derecho.de.las.mismas;.en.la.tercera.restricción,.la.solución.se.ubicará.sobre.la.recta.o.hacia.el.lado.izquierdo..se.forma.una.región.factible.que.excluye.al.origen.



4). se. gráfica. la. función. objetivo,. para. ello. se. da. un. valor. cualquiera. al. costo.. por.ejemplo,.demos.al.costo.un.valor.de.600.y.grafiquemos.la.ecuación.600.=.2x1.+.3x2..tracemos.una.paralela.a.esta.recta.hasta.alcanzar.el.extremo.izquierdo.de.la.rf,.éste.será.la.solución.óptima..en.el.ejemplo,.la.solución.óptima.corresponde.a.los.valores.x1.=.250,.x2.=.100.y.costo.=.800.

. en. este. problema. se. tiene. dos. variables. de. excedente. o. de. superávit. y. una. de.holgura.. transformemos. al. modelo. anterior. en. la. forma. estándar. restando. una.variable.de.excedente.a.la.primera.y.segunda.restricción.y.sumando.una.variable.de.holgura.a.la.tercera.restricción.

Minimizar.c.=.2x1.+ 3x2.+.oe1.+.oe2.+oH3.sujeto.a:

..x1...+..x2..-.e1...=.350

..x1.............-.e2...=.125

2x1..+..x2.+.H3...=.600

..x1,.x2,.e1,.e2,.H3.>=.0

. reemplazando.los.valores.de.x1.y.x2.en.las.tres.ecuaciones.anteriores.encontramos.que.e1.=.0;.e2.=.125.y.H3.=.0..el.valor.de.e1.=.o.significa.que.se.está.cumpliendo.con.lo.mínimo.establecido.en.la.primera.restricción..el.valor.de.e2.=.125,.significa.que. se. están. produciendo. 125. unidades. más. que. lo. mínimo. establecido. en. la.segunda. restricción;. y,. el. valor. de. H3. =. 0,. significa. que. se. ha. utilizado. todo. el.tiempo.disponible.establecido.en.la.tercera.restricción..las.variables.de.holgura.y.las.de.superávit,.se.explican.en.la.sección.2.3.3,.página.20.del.texto.guía.



. estudie.con.atención.el.ejercicio.2.3.de.la.sección.2.6.“problemas.de.aplicación“,.de.esta.guía.

2.5 Análisisgráficodesensibilidad

el.análisis.de.sensibilidad.consiste.en.determinar:.a).los.cambios.en.los.coeficientes.de.la.función.objetivo.(determinar.la.gama.o.intervalo.de.optimidad.para.el.coeficiente.de.x1.o.de.x2.en.la.función.objetivo);.b).el.valor.unitario.de.un.recurso;.y,.c).los.cambios.en.el.lado.derecho.de.las.restricciones.o.el.rango.o.intervalo.de.factibilidad.para.ese.recurso..el.texto.guía.trata.bien.este.tema.en.la.página.22.

a) Intervalo de optimidad.-.para.el.ejemplo.que.estamos.tratando,.la.función.objetivo.es.Maximizar.Z.=.5x1.+.4x2..la.pregunta.es,.¿cuál.es.el.valor.mínimo.o.el.valor.máximo.del.coeficiente.de.x1.o.de.x2. (uno.a. la.vez),.dentro.del.cual. la.solución.encontrada.no.cambie?..se.encuentra.un.intervalo.dentro.de.los.cuales.el.punto.solución. se. mantiene,. es. decir. los. valores. de. x1. y. de. x2. se. mantienen,. aunque.la. utilidad. cambie.. siguiendo. el. procedimiento. que. explica. el. texto se llega. a.determinar.que.el.intervalo.de.optimidad.para.c1.(el.coeficiente.de.x1.en.la.función.objetivo).y.para.c2.(el.coeficiente.de.x2.en.la.función.objetivo),.son.los.siguientes:

. ........................... 2≤C1≤6 3.33≤C2≤10

. esto.significa.que.la.utilidad.del.producto.1.puede.bajar.hasta.2.o.subir.hasta.6,.que.la.solución.x1.=.3.y.x2.=.1.5,.no.cambia..la.utilidad.será.función.del.valor.que.tome.c1..de.forma.similar.para.c2.

b) Valor unitario del recurso.-. para. el. ejemplo,. las. dos. primeras. restricciones. se.refieren.a.la.disponibilidad.de.materia.prima.M1.y.M2..la.pregunta.es.¿en.cuánto.se.incrementa.la.utilidad.si.se.incrementa.en.una.unidad.el.lado.derecho.de.estas.restricciones?,.es.decir,.si.se.incrementa.la.cantidad.de.M1.o.de.M2.en.una.tonelada..este.tema.el.texto.guía.lo.trata.en.la.sección.2.4.2.de.la.página.27.y.a.través.del.proceso.que.se.explica.determina.que.el.valor.unitario.del.recurso.materia.prima.M1.es.de.$.750.y.el.de.la.materia.prima.M2.es.$.500..es.decir,.por.cada.tonelada.que.se.incremente.en.la.disponibilidad.de.M1.la.utilidad.se.incrementa.en.$.750.y.por.cada.tonelada.que.se.incremente.en.M2.la.utilidad.se.incrementa.en.$.500..es.más.rentable.incrementar.el.recurso.M1..lo.mismo.se.puede.decir.si.la.disponibilidad.de.recurso.se.reduce..una.disminución.de.una.tonelada.en.la.disponibilidad.de.M1,.ocasiona.una.disminución.de.la.utilidad.de.$.750.y.una.disminución.de.una.tonelada.en.M2.ocasiona.una.disminución.de.la.utilidad.de.$.500.

c) Intervalo de factibilidad.-. el. valor. unitario. calculado. anteriormente. tiene. su.intervalo.de.validez..es.decir,.no.podemos.incrementar.o.disminuir.la.disponibilidad.de.un.recurso.de.forma.indefinida..siguiendo.el.proceso.que.el.texto.explica.en.las.páginas.27,.28.y.29.se.determina.que.los.intervalos.de.factibilidad.para.M1.y.M2.son:

. . . 20≤24≤36 4≤6≤6.6

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA�0


esto.significa.que.por.cada.tonelada.que.se.incremente.o.se.reduzca.la.disponibilidad.de.la.materia.prima.M1,.la.utilidad.se.incrementará.o.reducirá.en.un.valor.de.$.750,.siempre.que.este.incremento.no.sea.mayor.a.12.toneladas.(que.no.pase.de.36.toneladas.sumando.a.las.24.existentes.inicialmente).o.que.la.disminución.no.sea.mayor.a.4.toneladas.(que.no.baje.de.20,.restando.de.las.inicialmente.existentes)..algo.similar.para.la.materia.prima.M2..el.precio.sombra.de.$.500.para.la.materia.prima.M2.es.válido.dentro.del.intervalo.4.<=.6.<=.6.6.

2.6 Problemasdeaplicación

Antes de continuar con la resolución de los ejercicios, es hora de ingresar a Internet y visitar el entorno virtual de aprendizaje, lea el anuncio de esta semana y participe del foro.

Ejercicio2.1

usted.gerencia.una.pequeña.empresa.de.calzado.que.confecciona.zapatos.para.hombre.y.zapatos.para.mujer..el.producir.un.par.de.zapatos.para.hombre.requiere.de.dos.horas.en.tanto.que.un.par.de.zapatos.para.mujer.requiere.de.1.hora..el.taller.dispone.a.través.de.sus.operarios.de..no.más.de.1.000.horas.mensuales..supongamos.que.cada.par.de.calzado,.tanto.el.de.hombre.como.el.de.mujer.utilizan.una.unidad.de.materia.prima..en.el.mercado.sólo.se.puede.conseguir.materia.prima.para.no.más.de.800.pares.de.calzado.juntos..para.la.confección.de.los.zapatos.de.hombre,.el.taller.dispone.de.400.pares.de.unos.tacos.especiales..los.zapatos.de.mujer.utiliza.una.fibra.de.la.que.hay.disponible.para.500.pares.o.menos..un.par.de.zapato.de.hombre.le.genera.una.utilidad.de.$.3.5.y.un.par.de.zapatos.de.mujer.le.genera.una.utilidad.de.$.3.0..usted.desea.determinar,.cuántos.pares.de.zapatos.de.hombre.y.cuántos.de.mujer.debe.fabricar.para.que.sus.utilidades.sean.máximas..Haga.que.x1.=.zapatos.para.hombre.y.x2=.zapatos.para.mujer.

con.este.ejemplo.le.podemos.explicar.algunos.aspectos.que.usted.va.a.encontrar.en.los.problemas.propuestos..el.modelo.para.el.problema.y.la.solución.gráfica.para.el.mismo.se.da.a.continuación:

Modelo.para.el.problema.en.su.forma.estándar

Max.Z.=.3.5x1.+.3x2.+.0H1.+.0H2.+.0H3

.sujeto.a:

2x1.+.1x2.+.1H1...=..10001x1.+.1x2.+.1H2...=...8001x1............+.1H3...=...400..........x2....+....H4..=...500

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA �1


solución:.se.tiene.que.fabricar.250.pares.de.zapatos.para.hombre.y.500.pares.de.zapatos.para. mujer. para. obtener. una. utilidad. máxima. de. $. 2.375.. se. utiliza. todo. el. tiempo.disponible.y.la.totalidad.de.la.fibra.que.se.utiliza.para.el.calzado.de.mujer..existe.un.sobrante.de.150.pares.de. tacos.para.zapatos.de.hombre.y.de.50.unidades.de.materia.prima.

Estudiemos los siguientes aspectos:

1..... un. problema. de. pl. puede. tener. dos. o. más. variables. de. decisión.. algunos.problemas. pueden. tener. cientos. de. variables. de. decisión.. si. sólo. se. tiene. dos.variables,.el.problema.se.puede.resolver.por.el.método.gráfico,.caso.contrario.se.usará.el.método.símplex.que.se.estudiará.en.la.sección.siguiente.ó.algún.programa.software.

2..... puede.tener.varias.restricciones..algunos.problemas.tienen.cientos.de.restricciones..pueden.ser.del. tipo.menor.o. igual. (<=),.mayor.o. igual. (>=).e. igual. (=)..en.este.ejercicio,.todas.las.restricciones.son.del.tipo.menor.o.igual.(<=).

3..... el.área.donde.se.satisfacen.todas.las.restricciones.se.llama.región.factible.(rf).o.espacio.de.solución..en.este.ejercicio,.ésta.corresponde.al.área.sombreada.y.está.



limitada.por.tres.de.las.cuatro.restricciones..los.extremos.de.la.rf.son.los.puntos.0(0,0);.a(5,500);.6(250,500);.c(400,200),.d(400,0).

4..... en. todos. los. problemas. se. pueden. tener. varias soluciones factibles.. Éstas. se.ubican.dentro.de.la.región.factible.o.en.el.límite.de.la.misma..una.solución.factible.será.aquella.que.satisface.todas.las.restricciones.que.se.plantea.en.el.modelo..en.el.ejercicio.2.1.los.valores.de.x1.=.300.y.x2.=.200,.es.una.solución.factible,.ya.que.satisface.las.cuatro.restricciones..reemplace.los.valores.de.x1.=300.y.x2=200.en.las.restricciones.del.modelo.y.verá.que.todas.se.cumplen..los.valores.de.x1=0.y.x2=0,.para.este.ejercicio,.también.corresponden.a.una.solución.factible.

5.. en. todos. los. problemas. se. tienen. también. varias. soluciones no factibles. Éstas.se.ubican. fuera.de. la.rf..una.solución.no. factible.será.aquella.que.no.satisface.al.menos.una.restricción.que.se.plantea.en.el.modelo..los.valores.de.x1.=.500.y.x2.=.200.corresponde.a.una.solución.no.factible..reemplace.estos.valores.en.las.restricciones.y.verá.cuáles.restricciones.no.se.cumplen.

6.. la.región.factible.puede.o.no.incluir.el.origen..en.el.presente.ejercicio,.el.origen.forma‘.parte.de. la.región. factible..pero.analice.cuál.sería. la.rf.si. se.dice.que.el.tiempo.disponible.es.de.por.lo.menos.1.000.horas.mensuales,.es.decir,.la.restricción.(1).cambia.de.sentido,.2x1.+.x2.>=.1000..se.dará.cuenta.que. la.rf.se.ubica.a. la.derecha.de.la.primera.restricción;.es.ahora.más.pequeña.y.limitada.exclusivamente.por.las.4.restricciones.del.modelo.y.no.incluye.el.origen.

7.. la.solución.óptima.siempre.se.ubica.en. los.extremos.de. la.rf,.para.el.ejercicio,.por.ejemplo,.los.extremos.son.o,.a,.b,.c.o.d..una.solución.óptima.será.por.tanto.una.solución.factible..para.el.ejemplo,.la.solución.óptima.se.encuentra.en.el.punto.b(x1=250,.x2=500,.Z.=.2.375).

8.. la.solución.óptima.se.ubica.siempre.en.el.cruce.de.por.lo.menos.dos.restricciones.o.en.el.cruce.de.una.restricción.con.uno.de.los.ejes,.x1.o.x2..el.extremo.a.y.el.extremo.d.de.la.rf,.pueden.ser.una.solución.óptima..si.se.resuelven.las.ecuaciones.que.dan.origen.al.punto.solución.se.encontrará. los.valores.exactos.para. las.variables.de.decisión.

9.. para.el.problema,.usted.puede.observar.en.la.gráfica.que.las.restricción.2,.de.materia.prima.y.la.3,.de.tacos,.pasa.a.una.distancia.del.punto.solución..esto.significa.que.estas. restricciones. tienen.holgura..transforme.el.modelo.a. su. forma.estándar.y.determine. el. valor. de. las. cuatro. variables. de. holgura.. . . verifique. que. H1. =. o,.es.decir.se.utiliza.todo.el. tiempo.disponible;.H2.=.50,.que.sobra.50.unidades.de.materia.prima,.es.decir.se.ha.utilizado.únicamente.750;.H3.=.150,.sobra.150.pares.de.tacos.para.el.calzado.de.hombre;.y.,.H4.=.0,.se.utilizan.toda.la.fibra.disponible.para.los.zapatos.de.mujer.

10.. la.recta.de.restricción.de.disponibilidad.de.materia.prima.pasa. fuera.de. la.rf..esta.se.llama.restricción.redundante.y.puede.o.no.estar.en.el.modelo..sin.embargo.

UTPLLa Universidad Católica de LojaMODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA ��


es. mejor. que. esté. porque. se. puede. preguntar. ¿qué. pasaría. si. la. disponibilidad.de.materia.prima.alcanza.para.no.más.de.700.pares.de.ambos.tipos.de.calzado?..si.usted.gráfica.esta.restricción.con.su.nuevo.valor,.verá.que.la.rf.cambia.y.por.tanto,.también.la.solución,.en.este.ejemplo.

11.. la.mayoría.de.problemas.tienen.únicamente.una.solución.óptima..sin.embargo.en.algunos.casos,.puede.haber.varias.soluciones.óptimas;.se.conocen.como.soluciones óptimas alternas..en.este.caso.el.valor.de.las.variables.de.decisión.cambian,.pero.el.valor.de.la.función.objetivo.se.mantiene.constante.(Z.será.la.misma.para.todas.las. soluciones).. esto. ocurre. cuando. la. función. objetivo. coincide. con. una. de. las.restricciones.. analice. lo. que. sucedería. si. en. el. ejercicio. 2.1. la. utilidad. por. los.zapatos.de.hombre.es.de.$.2.y.el.de.mujer.es.de.$1..determinará.que.existen.dos.extremos. de. la. región. factible. b(x1. =. 250,. x2. =. 500). y. c(x1. =. 400,. x2=. 200). que.dan.las.mismas.utilidades.(Z.=.1000)..entre.estos.dos.puntos.b.y.c,.existen.varias.soluciones.óptimas.con.un.mismo.valor.para.Z.(Z.=.1000).

12.. cambios.en.los.coeficientes.de.la.función.objetivo.hará.que.la.solución.se.mantenga.en.un.extremo.o.cambie.al.otro.extremo.contiguo.de.la.rf.

. Manteniendo.el.modelo.original,.analice.lo.que.sucedería.si.las.utilidades.para.los.zapatos.de.hombre.suben.a.$.5.5.(la.utilidad.para.los.zapatos.de.mujer.se.mantiene.en.$.3)..verificará.que.la.solución.se.mantiene.en.el.punto.b(x1=250,.x2=.500).pero.las.utilidades.suben.a.un.valor.de.Z.=.5.5.x.250.+.3.x.1500.=.2.875)..sin.embargo.si.la.utilidad.de.los.zapatos.para.hombre.sube.a.$.6.5,.la.solución.cambia.al.punto.c(x1.=.400,.x2=200.y.Z.=.3.200)..vea.usted.que,.si. la.utilidad.de. los.zapatos.de.hombre.sube,.es.lógico.que.se.produzcan.más.de.éstos.y.menos.de.los.de.mujer..para.estudiar.estos.cambios,.usted.no. tiene.que.resolver.de.nuevo.el.problema..simplemente,.grafique.la.nueva.función.objetivo,.trace.una.paralela.a.ésta.hasta.encontrar. el. extremo. de. la. región. factible. y. verifique. si. cambia. o. no,. el. punto.solución.óptimo.

13.. también. pueden. haber. cambios. en. los. lados. derechos. de. las. restricciones..Manteniendo.el.modelo.original.del.ejercicio.2.1,.determine.la.nueva.solución.si.sólo.hay.disponible.fibra.para.400.pares.de.calzado.de.mujer..la.solución.es.x1=300.y.x2=400..vea.que.también.es.una.respuesta.lógica.

14... usted.puede.comprobar.que.un.incremento.o.una.disminución.en.el.lado.derecho.de.las.restricciones.hará.que.la.región.factible.cambie..la.solución.puede.cambiar.o.mantenerse...cambia.cuando.las.restricciones.que.dan.origen.al.punto.solución.óptimo.se.mueven,.por.ejemplo,.la.restricción.(1).y.la.restricción.(4).del.presente.ejercicio;.se.mantienen.cuando.las.restricciones.que.no.forman.el.punto.solución.se.mueven,.por.ejemplo.las.restricciones.(2).y.(3),.claro.está,.dentro.de.unos.límites.



. respecto. a. este. punto,. observando. la. solución. gráfica. original. del. ejercicio,.verifique.y.razone.las.siguientes.afirmaciones:.escriba.v.de.verdadero.o.f.de.falso.en.el.paréntesis.correspondiente.

a... (.. ).. una. disminución. o. un. incremento. del. tiempo. disponible. hace.cambiar.la.solución.óptima.

b... (.. ).. para.que.la.restricción.de.tiempo.siga.siendo.parte.de.la.rf,.el.valor.del.incremento.en.el.lado.derecho.debe.ser.menor.o.igual.a.100.

c... (.. ).. .una.reducción.en.el.tiempo.disponible.a.un.valor.de.500.hace.que.la.solución.cambie.a.x1=0.y.x2=500.

d.. (.. ).. si.se.incrementa.la.cantidad.de.materia.prima,.en.cualquier.valor,.la.solución.no.cambia.

e... (.. ).. .si.se.disminuye.la.cantidad.de.materia.prima.a.un.valor.de.700,.la.solución.cambia.a.x1=200.y.x2=500.

f... (.. ).. si.la.disponibilidad.de.tacos.se.incrementa.en.cualquier.valor,.la.solución.óptima.no.cambia.

g... (.. ).. . si. la. disponibilidad. de. tacos. disminuye. a. 250,. la. rf. es. un.rectángulo.y.los.valores.de.las.variables.son:.x1.=.250.y.x2.=.500.

h... (.. ).. si.la.disponibilidad.de.fibra.se.incrementa.hasta.600,.son.tres.las.restricciones. que. forman. el. punto. solución. y. éste. es:. x1=200. y.x2=600.

i... (.. ).. si.la.disponibilidad.de.fibra.disminuye.a.un.valor.de.200,.son.tres.las.restricciones.que.forman.el.punto.solución.y.éste.es:.x1=400.y.x2=200.

j... (.. ).. si.la.disponibilidad.de.tiempo.fuera.de.por.lo.menos.1.000.horas,.la.rf.cambia.y.el.punto.solución.sería.x1=.400.y.x2=.400.

15.. para.graficar.las.ecuaciones.y.encontrar.la.rf,.utilice.siempre.la.misma.escala.en.ambos.ejes;.es.decir,.si.1.cm.equivale.a.100.unidades.en.el.eje.x1,.lo.mismo.debe.utilizarse.para.el.eje.x2..caso.contrario,.no.encontrará.la.solución.al.problema.

16.. tome.en.cuenta.que.el.proceso.matemático.para.resolver.estos.problemas.es.sencillo.y.exige.una.matemática.elemental:.graficar.la.ecuación.de.una.recta.y.resolver.un.sistema.de.dos.ecuaciones.con.dos.incógnitas.



Ejercicio2.2

para.el.ejemplo.2.3-1.de. la.página.15.del. texto.guía,. lea.con.atención.cada.una.de. las.siguientes.proposiciones.y.responda.a.las.preguntas:

1.. la.demanda.de.pintura.para.interiores.debe.ser.mayor.o.igual.a.1.tonelada.pero.menor.o.igual.a.2.toneladas..¿Modifique.el.modelo.original.y.determine.el.espacio.de.solución.para.el.problema?

2.. la.demanda.de.pintura.para. interiores.debe.ser.mayor.o. igual.a.dos.toneladas..¿Modifique. el. modelo. original. y. determine. el. espacio. de. solución. para. el.problema?

3.. la.disponibilidad.de.materia.prima.M2.es.de.por.lo.menos.2.toneladas..¿Modifique.el.modelo.original.y.determine.el.espacio.de.solución.para.el.problema?

4.. la.disponibilidad.de.materia.prima.M2.es.de.por.lo.menos.2.toneladas.y.la.producción.de.pintura.para. interiores.debe.ser.de.por. lo.menos.2. toneladas.. ¿Modifique.el.modelo.original.y.determine.el.espacio.de.solución.para.el.problema?

5.. la.demanda.de.pintura.para.exteriores.debe.ser.mayor.o.igual.a.dos.toneladas..¿Modifique. el. modelo. original. y. determine. el. espacio. de. solución. para. el.problema?

6.. utilizando.el.modelo.original,.cuál.es.la.solución.si.la.utilidad.de.la.pintura.para.exteriores.se.reduce.a.$.3.00.por.tonelada..la.solución.se.ubica.en.el.punto.c.con.una.utilidad.de.$.16.5.

7.. utilizando.el.modelo.original,.cuál.es.la.solución.si.la.utilidad.de.la.pintura.para.exteriores.se.reduce.a.$.2.00.por.tonelada..la.solución.se.ubica.en.los.puntos.c.y.d.con.una.utilidad.de.$.12..se.trata.de.soluciones.óptimas.alternas.

8.. utilizando.el.modelo.original,.cuál.es.la.solución.si.la.utilidad.de.la.pintura.para.exteriores.se.reduce.a.$.15.00.por.tonelada..la.solución.se.ubica.en.el.punto.d.con.una.utilidad.de.$.11.

9.. utilizando.el.modelo.original,.cuál.es.la.solución.si.la.demanda.de.pintura.para.interiores.se.reduce.a.1.5.toneladas.o.menos..determine.la.región.factible.y.la.nueva.solución.

10.. utilizando.el.modelo.original,.cuál.es.la.solución.si.la.demanda.de.pintura.para.interiores.se.reduce.a.1.toneladas.o.menos..determine.la.región.factible.y.la.nueva.solución..demuestre.que.x1.=.3.33,.x2.=.1.y.u.=.$.20.60.

UTPL La Universidad Católica de Loja MODALIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA��


11.. utilizando.el.modelo.original,.cuál.es.la.solución.si.la.demanda.de.pintura.para.interiores.se.incrementa.a.2.5.toneladas.como.máximo..determine.la.región.factible.y.la.nueva.solución..la.solución.se.mantiene.en.el.punto.c.

12.. utilizando.el.modelo.original,.cuál.es.la.solución.si.la.disponibilidad.de.materia.prima.M1.se.reduce.a.20.toneladas..determine.la.región.factible.y.la.nueva.solución..la.solución.se.ubica.en.el.punto.d.

13.. utilizando.el.modelo.original,.cuál.es.la.solución.si.la.disponibilidad.de.materia.prima. M2. se. incrementa. a. 8. toneladas.. determine. la. región. factible. y. la. nueva.solución..el.punto.solución.se.ubica.en.el.cruce.de.las.restricciones.1,.2.y.4.

14.. utilizando. el. modelo. original,. cuál. es. la. solución. si. se. incrementa. una. nueva.restricción.que.obliga.a.que.la.producción.combinada.de.ambas.pinturas.debe.ser.de.por.lo.menos.4.toneladas..el.espacio.de.solución.se.reduce.no.incluye.al.origen.y.la.solución.se.mantiene.e.el.punto.c.

15.. utilizando. el. modelo. original,. cuál. es. la. solución. si. se. incrementa. una. nueva.restricción.que.obliga.a.que.la.producción.combinada.de.ambas.pinturas.debe.ser.de.por.lo.menos.6.toneladas..no.hay.espacio.de.solución,.la.solución.al.problema.así.planteado.no.es.factible.

Ejercicio2.3

para.el.problema.de.minimización.de.la.sección.3.4,.confirme.o.niegue.cada.una.de.las.siguientes.afirmaciones..Mantenga.el.modelo.original.y.grafíquelo.con.la.modificación.propuesta.

1.. (... ). si. la. demanda. para. el. producto. a. se. reduce. a. por. lo. menos. 100.unidades,.la.solución.no.cambia.(x1.=.250,.x2.=.100,.c.=.800).

2.. (... ). un.incremento.en.la.demanda.para.el.producto.a.hasta.un.valor.de.250.unidades.como.mínimo,.la.solución.no.cambia.(x1.=.250,.x2.=.100,.c.=.800).

3.. (... ).. si. la.producción.combinada.de. los.dos.productos.debe.ser.de.por. lo.menos.300.unidades.(x1.+.x2...300),.la.solución.cambia.(x1.=.300,.x2.=.o,.c.=.600).

4.. (... ). si. la. producción. combinada. de. los. dos. productos. debe. ser. de. por. lo.menos.475.unidades.(x1.+.x2.475),.la.solución.cambia.(x1.=.125,.x2.=.350,.c=1300).



5.. (... ). si.el.tiempo.disponible.para.la.producción.se.incrementa.a.700.horas.(2x1.+.x2.700),.la.solución.cambia.(x1.=.350,.x2.=.o,.c.=.700).

6.. (... ). si.el.tiempo.disponible.para.la.producción.se.reduce.a.475.horas.(2x1.+.x2.475),.la.solución.cambia.(x1.=.125,.x2.=.225,.c.=.925).

7.. (... ). si.el.costo.de.producción.para.el.producto.a.se.incrementa.a.$.2.5,.la.solución.no.cambia.pero.sí.el.costo.(x1.=250,.x2.=.100,.c=.950).

8.. (... ). si.el.costo.de.producción.para.el.producto.a.se.incrementa.a.$.3,.se.obtienen.dos.soluciones.óptimas.a.un.costo.de.$.1050.

9.. (... ). si.el.costo.de.producción.para.el.producto.a.se.incrementa.a.$.3.5,.la.solución.cambia.(x1.=.125,.x2.=.225,.c.112.5).

10.. (... ). si.el.costo.de.producción.para.el.producto.b.se.reduce.a.$.2.5,.la.solución.no.cambia.pero.sí.el.costo.de.producción.(x1.=.250,.x2.=.100,.c.=.750).

11.. (... ). si.el.costo.de.producción.para.el.producto.b.se.reduce.a.$.2,.se.obtienen.dos.soluciones.óptimas.a.un.costo.de.$.700.

12.. (... ). si.el.costo.de.producción.para.el.producto.b.se.reduce.a.$.1.5,.la.solución.cambia..(x1.=125,2=225,0=587.5).



2.7 ActividadesPropuestas

1.. resuelva.el.problema.3.de. la.serie.de.problemas 2.4.a.de. la.página.24.del. texto.guía..Haga.x1.=.a1.y.x2.=.b&K..la.relación:.2A1/B&K >= ó 2X2/X1 >= 0..demuestre.que.se.deben.producir.100.de.cola.a1.y.400.latas.de.cola.b&K,.con.una.utilidad.de.$.33.

2.. resuelva.el.problema.4.de. la. serie 2.4a.de. la.página.24..haga.x1.=. sillas.y.x2.=.mesas..la.relación.que.debe.manejar.es.la.siguiente:.4 <= X1/X2 <= 6..demuestre:

a). por.cada.mesa.se.venden.seis.sillas.con.una.utilidad.de.$.27.840;.b).33.75.<=.c1.<=.infinito,.-300.<=.c2.<=.200;.c).la.solución.no.cambia;.y.d).se.venden.80.mesas.y.320.sillas.

3.. de. la. serie. de. problemas 2.4b. página. 29,. resuelva. el. número. 6.. ¿cuál. de. las.siguientes.respuestas.es.correcta?...para.la.pregunta.a).sólo.se.da.el.valor.de.z.

pregunta:. a). . b). . c). . . z=.25000. +$100. . $.-500. . . z=.40000. -.$100. . $.+500. . . z.=.35000. ..$.0. . $...0

4.. de. la. serie.de.problemas 2.4b.página.29,. resuelva.el.número.7..demuestre.que.a).se.deben.producir.12.camisas.y.21.blusas.por.hora.con.una.utilidad.de.97,20.$/hora;.b).si.se.incrementa.la.demanda.la.empresa.puede.incrementar.el.número.de. trabajadores.en.cada.operación.para.satisfacer. la.demanda.en.una.semana.o.requiere.de.más.semanas.de.trabajo.con.el.mismo.número.de.trabajadores..en.este.último.caso,.el.tiempo.requerido.será.de.92.semanas.en.la.operación.de.corte,.134.semanas.en.la.operación.de.costura.y.15.semanas.en.la.operación.de.empacado;.c).el.ps1.=.$1.48/hora,.ps2.=.$1.72/hora,.ps3.=.$0/hora.(existe.tiempo.sobrante.en.la.operación.de.empacado);.d).el.precio.a.pagar.por.cada.hora.en.las.operaciones.de.corte.y.costura.debe.ser.menor.al.de.sus.precios.sombra.

5.. de.la.serie.de.problemas 2.4b.página.29,.resuelva.el.número.8..demuestre.que.la.respuesta.correcta.es.x1.=.12.unidades;.x2.=.15.unidades.y.Z.=.$.171.



3.1Introducción

la.mayoría.de.los.problemas.de.programación.lineal.son.demasiado.grandes,.es.decir,.contienen.más.de.dos.variables.de.decisión.como.para.resolverlos.por.el.método.gráfico..el. método. algebraico. más. ampliamente. utilizado. es. el. denominado. Método Símplex(MS).

3.2Formaestándarysussolucionesbásicas

en.la.página.67,.68.y.69.del.texto.guía.se.explica.claramente.como.transformar.un.modelo.matemático.a.su.forma.estándar.

para.resolver.un.problema.de.pl.por.el.método.símplex,.primero.hay.que.ponerlo.en.su.forma.estándar.o.aumentada..para.toda.restricción.del.tipo.<=.se.adiciona.una.variable.de. holgura. (H);. para. cada. restricción. del. tipo >=. se. agrega. primero. una. variable. de.excedente.y.luego.una.variable.artificial;.y.para.cada.restricción.del.tipo.=,.se.agrega.una.variable.artificial.únicamente..en.la.función.objetivo.también.se.incluyen.estas.variables.con.coeficientes.de.0.para.las.variables.de.holgura.y.de.excedente..las.variables.artificiales.llevarán.un.coeficiente.cualquiera.pero.pequeño.para.problemas.de.maximización.ó.un.coeficiente.cualquiera.pero.grande.para.una.problema.de.minimización..esto.se.explica.para.cada.tipo.de.problema,.más.adelante.

en.la.página.70.del.texto.guía.se.explica.lo.que.es.una.solución.básica.factible.y.solución.básica.no.factible,.que.son.las.variables.a.las.que.normalmente.hay.que.referirse.en.la.mayoría.de. los.problemas.de.pl..este. concepto.es. importante..luego.hablaremos.de.variables.básicas.y.variables.no.básicas.

el.texto.guía.no.presenta.una.tabla.que.permita.entender.fácilmente.el.proceso.matemático.del.método.símplex..antes.de.entrar.a.estudiar.el.algoritmo.del.método.símplex,.hagamos.una.descripción.de. la. tabla.símplex.que.se.emplea.para.resolver.problemas.de.pl..si.desea.puede.adoptar.la.siguiente.forma.de.tabla.

tabla.símplex.para.un.problema.de.programación.lineal

Cj C 1 C 2 C 3. . . C n bi/aij

CVB Base b¡ X 1 X 2 S 1 . . . S n

0 s 1 b 1 . . . . . .a 11* . . . . . .a 12. . . . .a 13. . . . . . . . . . .a 1j b 1/a 11

0 s 2 b 2 . . . . . .a 21° . . . . . .a 22. . . . . ..a 23. . . . . . . . . . .a 2j

0 s 3 b 3 . . . . . .a 31° . . . . . .a 32. . . . . ..a 33. . . . . . . . . . .a 3j

0 si bi . . . . . .a i1° . . . . . . .a i2. . . . . ..a ¡4. . . . . . . . . . . .a ij

ZjCj-Zj

3. EL MÉTODO SIMPLEX (MS)



el.significado.de.la.simbología.se.indica.a.continuación:

i......=. ecuaciones.lineales.(restricciones).

j .....=. variables.

Aij.....=. coeficientes.correspondiente.a.la.variable.j.de.la.restricción.i.

Cj.....=. coeficientes. de. la. función. objetivo. para. la. variable. j.. especifican. la.contribución.por.unidad..los.coeficientes.se.transfieren.en.forma.directa.de.la.función.objetivo.

CVB..=. son. los. coeficientes. de. la. función. objetivo. para. las. variables. básicas. del.momento..coeficiente.de.la.variable.básica.(cvb)

Base..=. contiene.las.variables.básicas.del.momento..se.utiliza.el.término.base.para.referirse.al.conjunto.de.variables.básicas.que.conforman.la.solución.factible.del.momento.

b¡ ....=. columna.de.los.valores.de.las.variables.básicas..valor.del.lado.derecho.para.la.restricción.i.en.la.tabla.símplex.inicial.cuando.las.variables.de.decisión.son.iguales.a.cero.(soluciónbásicafactibleinicial).

FilaZj.=. valores. de. la. función. objetivo.. valores. que. va. tomando. la. fo. en. cada.etapa.

Cj-Zj. =. . . . fila. de. evaluación. neta.. representa. el. cambio. neto. en. el. valor. de. la. fo..contribución.neta.por.cada.unidad.que.se.fabrica.

bi/aij. . =. . cociente. para. determinar. la. variable. que. sale. de. la. base. (condición. de.factibilidad).

Matriz A.=.. m.filas.y.n.columnas.de.los.coeficientes.de.las.variables.en.las.ecuaciones.de.restricción

*....=....... elemento.pivote.°....=.... elemento.semipivote..

3.3 Problemasdemaximización

resolvamos.el.ejemplo.3.3-1.de. la.página.74.del. texto.guía..usted.comprobará.que.el.algoritmo.del.método.símplex.se.resume.en.los.siguientes.pasos:



1..... formular.el.modelo.

. Maximizar.Z.=.5x1.+.4x2...(0)

.. sujeto.a:6x1.+.4x2.<=.24...(1).x1.+.2x2.<=...6....(2).-.x1.+.x2.<=..1....(3)..........x2.<=...2.....(4)...x1,...x2..>=.0

2.. estructurar. la. presentación. en. forma. estándar.. en. este. caso. se. añade. variables.de.holgura.a.todas.las.restricciones.porque.todas.ellas.son.del.tipo.<=..nosotros.utilizaremos.H.para.indicar.que.se.trata.de.una.variable.de.holgura,.el.subíndice.que. lleva.hará. referencia.al.número.de. la. restricción,.así,.H3. indicará.que.es. la.variable.de.holgura.para.la.restricción.3.

. Maximizar.Z.=.5x1.+.4x2.*.0H1.+.0H2.+.0H3.+.0H4......(0)

.. sujeto.a:

6x1.+.4x2.+.H1.................<=.24.......(1)...x1.+.2x2......+.H2............<=..6.......(2).-x1.+..x2............+.H3.......<=..1.......(3)..........x2.................+H4.....<=..2.......(4).xI,.x2,.H1,.H2,.H3,.H4......>=..0

3.. estructurar.la.presentación.en.forma.de.tabla..compare.con.la.forma.estándar.sin.considerar.la.columna.bi/aij..la.tabla.inicial.para.el.ejemplo.sería:

tabla.símplex.inicial.para.el.ejemplo.3.3-1.(página.75).

C 5 4 0 0 0 0 bi/aij

CVB Base bi X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 H 4

0

0

0

0

H 1

H 2

H 3

H 4

24

6

1

2

. . . .6* . . . . .4 . . . . .1 . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0

. . . .1 . . . . . .2 . . . . . .0 . . . . .1 . . . . . .0 . . . . . . .0

. . . -1 . . . . . .1 . . . . . .0 . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . . .0

. . . .0 . . . . . .1 . . . . . .0 . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .1

Zj

Cj-Zj



4.. calcular.el.valor.de.la.fila.Zj.-.suma.de.los.productos.que.se.obtiene.multiplicando.los.elementos.de.la.columna.cvb.por.los.correspondientes.elementos.de.la.j-ésima.columna.de.la.matriz.a.

0x24.+.0x6.+.0x1.+0x2.....=0;0x6.+0x1+0x(-1)+0x0......=0;0x4.+.0x2.+.0x1.+.0x1......=.0;.etc.

5.. calcular.el.valor.de.la.fila.cj-Zj.-..5-0=5;.4-0=4;.0-0=0;.0-0=0;.etc.

. tabla.símplex.inicial.para.el.ejemplo.3.3-1.(página.75).

CJ 5 4 0 0 0 0 bi/aij

CVB Base b¡ X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 H 4

. . .0000

H 1.

H 2.

H 3.

H 4

24

6

1

2

.6* . . . . .4 . . . . . . .1 . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0

.1° . . . . .2 . . . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . .0 . . . . . . .0

-1° . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . . .0

.0° . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .1

24/6=4.

6/1=6.

1/-1=.

2/0=Zj 0 . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0

CJ-Zj . . . .5 . . . . . . .4 . . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0

............................................................................este.coeficiente.indica.que.la.variable.que.

............................................................................entra.es.x1

esta.tabla.da.la.primera.solución.factible.para.el.problema,.corresponde.al.origen.en.la.solución.gráfica.y.que.puede.expresarse.de.dos.formas:

1.. las.variables.que.están.en.la.base.y.que.en.este.caso.son.H1,.H2,.H3.y.H4.tienen.valores. de. 24,. 6,. 1. y. 2. respectivamente,. esto. se. observa. en. la. columna. b¡.. las.variables.no.básicas.(que.no.están.en.la.base).y.que.en.nuestro.caso.son.x1.y.x2.tienen.valores.de.cero..la.utilidad.se.la.ve.en.la.fila.Zj.columna.bi..en.nuestro.caso.es.cero..esta.solución.corresponde.al.punto.a.del.método.gráfico.

variables.básicas:. H1.=24,.H2=6,.H3=1,.H4.=.2variables.no.básicas:. x1.=.0.y.x2.=.0utilidad:.. . u.=.0

2.. variables. de. decisión. y. variables. de. holgura.. en. nuestro. caso. las. variables. de.decisión. son. x1. y. x2. y. como. no. están. en. la. base. tienen. valores. de. cero;. y,. las.variables.de.holgura.que.en.nuestro.caso.son.H1,.H2,.H3.y.H4.que.por.estar.en.la.base.toman.los.valores.de.la.columna.bi,.en.este.caso.24,.6,.1.y.2,.respectivamente..la.utilidad.es.cero.

variable.que.sale



variables.básicas:. x1.=.0.y.x2.=.0variables.no.básicas:. H1=24,.H2=6,.H3=1,.H4=2utilidad:.. . u.=.0

6.. elegir.la.variable.que.entra.a.la.base.(variable.de.entrada)..se.elige.la.variable.que.ocasione.un.índice.de.incremento.más.alto.por.unidad.en.el.valor.de.la.función.objetivo.para.el.caso.de.maximización..para.esto.se.observa.la.fila.de.evaluación;.entre.5.y.4.el.coeficiente.más.alto.es.5,.esto.indica.que.la.variable.que.entra.a.la.base.será.x1..en.caso.de.empate,.se.elige. la.variable.de. la.columna.del.extremo.izquierdo.(el.texto.dice.arbitrariamente)..para.el.caso.de.minimización.se.elegirá.la.variable.que.ocasione.un.índice.de.reducción.más.alto.por.unidad.en.el.valor.de.la.función.objetivo.

7.. determinar.la.variable.que.sale.de.la.base.(variable.de.salida)..será.la.que.tenga.el. menor. de. los. cocientes. bi/aij. (condición de factibilidad,. tanto. para. problemas.de. maximización. como. para. los. de. minimización,. H1. para. el. ejemplo).. . no. se.consideran.los.valores.de.cero.o.negativos..en.caso.de.empate,.elegir.la.variable.que.esté.en.la.fila.de.más.arriba.

8.. determinar.el.pivote,.(cruce.de.la.fila.pivote.y.columna.pivote,.6.para.el.ejemplo)..se.identifica.con.un.asterisco.

9.. calculamos. los. coeficientes. de. la. nueva. fila. pivote. (fila. de. x1).. dividimos. los.coeficientes.que.tiene.la.variable.que.sale.(fila.pivote.actual).para.el.pivote.(cálculo.de.tipo.1).

10.. obtenemos.los.coeficientes.de.las.demás.filas.(cálculo.de.tipo.2)..coeficiente.aij.=.coeficiente.anterior.-.coeficiente.de.la.nueva.fila.(calculada.en.9).multiplicada.por.el.semipivote.correspondiente.a.esa.fila.

-. primero.se.realiza.la.multiplicación.y.luego.se.resta.

-. cuando.el.semipivote.es.cero,.se.copian.los.mismos.coeficientes.de.la.tabla.anterior.

-. si.el.semipivote.es.1,.se.realiza.la.resta.directamente:

11.. se.obtienen.los.coeficientes.de.la.fila.Zj..(ver.paso.4).

12.. se. obtienen. los. coeficientes. de. la. fila. de. evaluación. neta. cj-Zj.. (ver. paso. 5).. se.obtiene.de.esta.la.tabla.2.mejorada.



tabla.símplex.mejorada.para.el.ejemplo.3.3-1.(página.75).

Cj 5 4 0 0 0 0 bi/aij

CVB Base b¡ X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 H 4

5

0

0

0

x 1

H 2

H3

H4

4.2

5.2

. . . . .1 . . . . .0.67° . . . .0 .17. . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0

. . . . .0 1 .33* -0 .17 1 0 0

. . . . .0 . . . . .1.67° . . . .0 .17. . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0

. . . . .0 . . . . .1.0° . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .1

5.97.

1.5.

2.99

.2ZJ 20 . . . . .5 . . . . . .4 . . . . . . . .0 .83. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0CJ-Zj . . . . .0 . . . . .0 .67. . . . -0 .83. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0

..............................................................................................variable.que.entra

esta.tabla.da.la.segunda.solución.factible.para.el.problema,.corresponde.al.punto.b.en.la.solución.gráfica.y.que.puede.expresarse.de.dos.formas:

1....variables.básicas.y.no.básicas:

variables.básicas:.x1.=4,.H2.=.2,.H3.=.5,...H4.=.2variables.no.básicas:. H1.=.0.y.x2.=.0utilidad:. . . u.=.20

2....variables.de.decisión.y.variables.de.holgura.

variables.básicas:.x1.=.4.y.x2.=.0variables.no.básicas:. H1.=0,.H2.=.2,.H3.=.5,...H4.=.2utilidad:. . . u.=20

13... si.la.fila.cj-Zj.tiene.valores.de.cero.o.menores.de.cero.(para.el.caso.de.maximización),.se.termina.el.proceso.iterativo..en.nuestro.caso.tenemos.un.valor.positivo.

Criterioparadetenerlasiteraciones

.. se. ha. llegado. a. la. solución. óptima. de. programación. lineal. cuando. todos. los.elementos.de.la.fila.de.evaluación.neta.(cj-Zj).son.cero.o.negativos,.para.el.caso.de.problemas.de.maximización;.o,.ceros.o.positivos.para.el.caso.de.minimización.

14.. si. no. se. cumple. el. criterio. para. detener. las. iteraciones. se. vuelve. al. paso. 6.. en.nuestro.caso.no.se.cumple.

15.. elegir.la.variable.que.entra.a.la.base.(variable.de.entrada)..se.elige.la.variable.que.ocasione.un.índice.de.incremento.más.alto.por.unidad.en.el.valor.de.la.función.objetivo.para.el.caso.de.maximización..para.esto.se.observa.la.fila.de.evaluación.

variable.que.sale



cj.-.Zj..se.tiene.que.la.variable.x2.tiene.un.valor.positivo.de.0.67,.esto.indica.que.x2.será.la.variable.que.entra.a.la.base.y.el.cuociente.bi/aij.=.1.5.indica.que.la.variable.que.sale.es.H2..luego.de.hacer.los.cálculos.correspondientes,.se.liega.a.la.última.tabla.que.es.la.siguiente:

. tabla.símplex.última.para.el.ejemplo.3.3-1.(página.75).

Cj 5 4 0 0 0 0 bi/aij

CVB Base bi X 1 X 2 H 1 H 2 H 3 H 4

5

.4

.0

.0

x 1.

x 2.

H 3.

H 4

3

.1.5

.2.5

.0.5

. . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . .0 .25. . -0 .5 . . . . . .0 . . . . . . .0

. . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . -0 .13. . .0 .75. . . . .0 . . . . . . .0

. . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0 .38. . -1 .25. . . . .1 . . . . . . .0

. . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0 .125.-0.75. . . .0 . . . . . . .1Zj 21 . . . . . .5 . . . . . . .4 . . . . . .0 .75. . . .0 .5 . . . . . .0 . . . . . . .0

Cj-Zj . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . -0 .75. . . -0 .5 . . . . . .0 . . . . . . .0

16.. en.esta.última.tabla.el.criterio.para.detener.las.iteraciones.se.cumple,.la.“última.tabla.símplex.representa.la.solución.óptima..en.ella.se.analizan.los.valores.de.las.variables.de.decisión,.la.situación.las.de.los.recursos,.los.precios.duales.y.todos.los.datos.requeridos.para.hacer.el.análisis.de.sensibilidad.

. en.esta.última. tabla. se.puede.observar. la. solución.al.problema,. corresponde.al.punto.c.en. la. solución.gráfica.y.que.puede.expresarse.de. las.dos. formas.antes.mencionadas.

. expresemos.esta.solución.en.forma.de.reporte:.se.deben.producir.3.toneladas.de.pintura.para.exteriores.y.1.5.toneladas.de.pintura.para.interiores..la.utilidad.que.se.obtiene.es.de.21.mil.dólares..se.utiliza.la.totalidad.de.la.materia.prima.

3.4 Problemasdeminimización

explicamos.la.metodología.del.método.simplex.para.un.problema.de.minimización.a.través.del.ejercicio.que.se.presenta.en.la.sección.2.4.página.20.de.esta.guía.y.que.ha.sido.resuelto.por.el.método.gráfico..vamos.a.seguir.los.pasos.dados.para.los.problemas.de.maximización;.pero.ponga.atención.a.los.pequeños.cambios.

1..... desarrollar.el.modelo..el.modelo.para.el.problema.planteado.es.el.siguiente:

Minimizar.Z.=.2x1.+.3x2.



sujeto.a:..x1.+.x2..>=.350..x1..........>=.1252x1.+.x2..<=.600..x1,...x2..>=.0

2.. presentar. el. modelo. en. forma. estándar;. restamos. una. variable. de. excedente. y.sumamos.una.variable.artificial.a.las.restricciones.primera.y.segunda.y.sumamos.una.variable.de.holgura.a.la.tercera.restricción.

forma.estándar:

Minimizar.c.=.2x1.+.3x2.+.0e1.+.0e2.+.100a1.+.100a2.+.0H3

sujeto.a:.x1.+.x2.-.e1......+.a1...............=.350.x1 -e2........+.a2...........=.1252x1.+.x2......................+.H3.....=.600.x1,...x2,.e1,.e2,.a1,...a2,...H3....>=.0

. cuando. tenemos. restricciones. del. tipo. >. tenemos. que. restarle. una. variable. de.excedente.para.convertir.la.desigualdad.en.igualdad..luego.para.tener.una.matriz.unidad.le.sumamos.variables.artificiales..las.variables.artificiales.o.auxiliares.sólo.se.utilizan.para.poder. iniciar.con.el.método.símplex,.éstas.no.significan.nada.y.no.deben.aparecer.en.la.solución.final,.salvo.casos.especiales..para.eliminar.de.la.base.estas.variables,.asignamos.a.éstas.un.costo.elevado,.es.decir.le.asignamos.un.coeficiente.elevado.en.la.función.objetivo..en.nuestro.caso.le.damos.un.costo.o.un.valor.de.100..si.se.trata.de.problemas.de.maximización.donde.haya.restricciones.del.tipo.^,.a.las.variables.artificiales.le.damos.un.valor.muy.bajo,.incluso.negativo.

3.. presentación.en.forma.de.tabla..en.este.caso.las.variables.que.van.a.la.base.son.las.artificiales.de. la.primera.y.segunda.restricción.y. la.de.holgura.de. la. tercera.restricción..esto.para.tener.una.solución.básica.factible..analice.la.tabla.siguiente.y.compárela.con.la.forma.estándar.del.modelo.

. tabla.no.1...tabla.inicial.símplex.

Cj 2 3 0 0 100 100 0

CVB Base b X 1 X 2 E 1 E 2 A 1 A 2 H 3

100

100

0

a 1.

a 2.

H 3

350

125

.600

. . . .1 . . . . . .1 . . . . . . -1 . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . .0

. . . .1 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . -1 . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . .0

. . . .2 . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .1

ZjCj-Zj



4.. calcular.el.valor.de.la.fila.Zj.-.suma.de.los.productos.que.se.obtiene.multiplicando.los. elementos. de. la. columna. cvb. por. los. correspondientes. elementos. aij. de. la.j-ésima. columna. de. la. matriz. a.. los. valores. de. fila. Zj. correspondientes. a. las. ‘.columnas.b.y.x1.se.calculan.de.la.forma.siguiente:

100x350 =.35000 100x1 =100100x125 =.12500 100x1 =1000x600 =.0 0x2 =.0costo . . .47500 . .200

. calcule.usted.los.valores.para.las.demás.columnas.de.esta.fila

5.. calcular.el.valor.de.la.fila.cj-Zj.

. la.tabla.siguiente.muestra.el.resultado.de.los.pasos.4.y.5

. tabla.no.1. tabla.inicial.símplex.

Cj 2 3 0 0 100 100 0 b/aij

CB Base b X 1 X 2 E 1 E 2 A 1 A 2 H 3

100

-

100

a.

1

a

350125

600

1° 1. . . . -1 . . . . .0 . . . . .1 . . . . . .0 . . . . .0

1* . . . .0 . . . . .0 -1 0 1 0

2° 1. . . . .0 . . . . .0 . . . . .0 . . . . . .0 . . . . .1

350/1=350

125/1=125

600/2=300

ZJ 47500 .200. . .100.-100.-100.100. . .100. . .0CJ-Zj -198. . . -97. .100. .100. . .0 . . . . . .0 . . . . .0

. de.la.tabla.anterior.se.desprende.la.primera.solución.básica.factible..esta.solución.corresponde.al.origen.del.método.gráfico..significa.que.se.producen.0.unidades.del.producto.a.y.0.unidades.del.producto.b;.los.recursos.no.han.sido.utilizados.y,.el.costo.por.esta.producción.hipotética.es.$.47.500.

6.. elegir.la.variable.que.entra.a.la.base.(variable.de.entrada)..se.elige.la.variabie.que.ocasione. un. índice. de. reducción. más. alto. por. unidad. en. el. valor. de. la. fundón.objetivo..en.el.ejemplo.que.estamos.tratando.la.variable.con.un.coeficiente.más.bajo.en.la.fila.de.evaluación.es.x1..es.como.si.preguntáramos,.qué.conviene.producir.más,.el.producto.a.(x1).ó.el.producto.b.(x2)..la.respuesta.será,.el.producto.que.nos.proporcione.el.menor.costo,.en.este.caso.a..la.columna.que.pertenece.a.esta.variable.se.llama.columna.pivote.y.que.está.en.negrita.en.la.tabla.anterior.

7.. determinar.la.variable.que.sale.de.la.base.(variable.de.salida)..será.la.que.tenga.el.menor.de.los.cocientes.bi/aij..para.el.caso.presente.es.a2.la.variable.que.sale..la.fila.de.esta.variable.se.llama.fila.pivote.y.que.en.la.tabla.anterior.aparece.en.negrita.



8.. determinar. el. pivote,. (cruce. de. la. fila. pivote. y. columna. pivote), 1*. para. el.ejemplo.

9.. construimos.una.nueva. tabla. (segunda. tabla.mejorada)..los.valores.de. las.dos.primeras.filas.nunca.cambian..en.la.base.en.lugar.de.a2.que.es.la.variable.que.sale.irá.x1.que.es.la.variable.que.entra.a.la.base;.y.en.la.columna.cvb.en.lugar.de.100.(coeficiente.de.la.variable.que.sale).irá.el.coeficiente.de.la.variable.que.entra,.en.este.caso.2.

10.. calculamos.los.coeficientes.del.renglón.pivote.para.la.nueva.tabla..cálculo.de.tipo.1

11.. obtenemos.los.coeficientes.de.la.fila.a1.(cálculo.de.tipo.2)..utilizamos.la.misma.fórmula.dada.para.el.problema.de.maximización.

12.. se.obtienen.los.coeficientes.de.la.fila.Zj..(ver.paso.4)

13.. se.obtienen.los.coeficientes.de.la.fila.de.evaluación.neta.cj-Zj..(ver.paso.5)..la.tabla.símplex.mejorada.es.la.siguiente:

... tabla.no2. tabla.símplex.mejorada

Cj 2 3 0 0 100 100 0 b/aij

CB Base B X 1 X 2 E 1 E 2 A 1 A 2 H 3

100

2

0

a 1.

x 1.

H 3

225

125

350

. . .0 . . . . .1 . . . . . -1 . . . .1° . . . .1 . . . . . -1 . . . . .0.

. . .1 . . . . .0 . . . . . .0 . . . -1° . . . .0 . . . . . .1 . . . . .0

. . .0 . . . . .1 . . . . . .0 . . . .2* . . . .0 . . . . . -2 . . . . .1

225/1=225

350/2=175

ZJ 22750 . . .2 . . .100.-100. . .98. . .100. . . -98. . . .0Cj-Zj . . .0 . . . -97. . .100. . -98. . . .0 . . . .198. . . .0

.

. esta.segunda.tabla.da.la.siguiente.solución.y.que.corresponde.a.un.punto.extremo.de.la.región.factible.del.método.gráfico:

. variables.de.decisión:.. x2.=.0..y..x1.=.125

. costo:. . . . c.=.22750

14.. si. la. fila. cj-Zj. tiene. valores. de. cero. o. mayores. de. 0,. se. termina. el. proceso.iterativo.



Criterioparadetenerlaiteraciones

. se. ha. llegado. a. la. solución. óptima. de. programación. lineal. cuando. todos. los.elementos.de.la.fila.de.evaluación.neta.(cj-Zj),.son.cero.o.positivos.

15.. si.no.se.cumple.el.criterio.para.detener.las.iteraciones.se.vuelve.al.paso.6.

. en.nuestro.caso.este.criterio.no.se.cumple..volvemos.al.paso.6..determinamos.que.la.variable.que.entra.es.e2.y.la.que.sale.es.H3..siguiendo.con.los.cálculos.llegamos.a.una.tercera.tabla.

. tabla.no.3. tabla.símplex.mejorada

CJ 2 3 0 0 100 100 0 b/aij

CB Base B X 1 X 2 E 1 E 2 A 1 A 2 H 3

100

.2

.0

a 1.

x 1.

e 2

50

300

175

. . .0 . . . .1/2*.-1. . . . .0 . . . . .1 . . . . .0 . . . . -1/2

. . .1 . . . .1/2°. . .0 . . . .0 . . . . .0 . . . . . .0 . . . . .½

. . .0 . . . .1/2°. . .0 . . . .1 . . . . .0 . . . . . -1 . . . . .1/2

50/0.5=100

300/0.5=.600

175/0.5=350

Zj 5600 . . .2 . . . . .51. . -100. . .0 . . .100. . . .0 . . . . -49

Cj-Zj . . .0 . . . . -48. . .100. . .0 . . . . .0 . . .100. . . .49

. como.el.criterio.no.se.cumple.tenemos.necesidad.de.otra.iteración..usted.podrá.determinar.que.la.variable.que.entra.es.ahora.x2.y.la.que.sale.es.a1..realizando.los.cálculos.correspondientes.llegamos.a.la.siguiente.tabla:

. tabla.no.4....tabla.símplex.final

c j 2 3 0 0 100 100 0

CB Base B X 1 X 2 E 1 E 2 A 1 A 2 H 3

3

2

0

x 2

x 1

e 2

100

250

125

0. . . . .1 . . . . . -2 . . . . .0 . . . . .2 . . . . .0 . . . . -1

1. . . . .0 . . . . . .1 . . . . .0 . . . . -1 . . . . .0 . . . . .1

0. . . . .0 . . . . . .1 . . . . .1 . . . . -1 . . . . -1 . . . . .1Zj 800 2. . . . .3 . . . . . -4 . . . . .0 . . . . .4 . . . . .0 . . . . -1

Cj-Zj 0. . . . .0 . . . . . .4 . . . . .0 . . . . .96. .100. . . .1

16.. el. criterio. se. cumple.. la. solución. al. problema. es. la. siguiente,. comparar. con. la.solución.obtenida.por.el.método.gráfico.



. variables.de.decisión:....... x1...=..250.y.x2.=.100

. variable.de.holgura:. . H3.=..o

. variable.de.excedente:. . e2...=..125.

. costo:. . . . c....=..800

. el. repote. técnico. será. el. siguiente:. para. minimizar. los. costos. de. producción. se.deben.fabricar.250.galones.del.producto.a.y.100.galones.del.producto.b..s?.está.produciendo.125.galones.más.de.lo.especificado.para.el.producto.a;.la.producción.combinada.cumple.con.lo.mínimo.establecido..se.utiliza.todo.el.tiempo.disponible.para.la.producción.y.el.costo.mínimo.es.de.$.800..

Estimado alumno si todavía no ha participado del foro, recuerde que esta participación le ayudara a mejorar su puntuación en el trabajo a distancia y a despejar sus dudas con temas complejos, no olvide de ingresar al EVA para leer los anuncios.

3.5 Casosespecialesenlaaplicacióndelmétodosímplex

en.las.páginas.97.a.la.107.del.texto.guía.se.exponen.4.casos.especiales.en.la.aplicación.del.método.símplex.

1. Degeneración.-.se.presenta.cuando.una.variable.que.está.en.la.base.es.igual.a.cero;.es.decir.en.la.columna.b¡.aparece.un.valor.de.cero.

2. Óptimos alternativos.-. para. el. método. gráfico. se. explico,. cuándo. un. problema.puede. tener. dos. o. más. soluciones. óptimas. alternas. y. la. forma. de. reconocerlas..cuando.se.utiliza.el.método.símplex,.no.es.posible.saber.que.un.programa.lineal.tienen.óptimos.alternativos.sino.hasta.que.se.llega.a.la.tabla.símplex.final..en.este.caso,.si.el.problema.tiene.óptimos.alternativos,.cj.-.Zj.será.igual.o.cero.para.una.o.más.de.las.variables.no.básicas.

3. Solución no acotada.-. Igualmente. este. caso. se. explicó. para. problemas. que. se.resuelven. por. el. método. gráfico.. significaba. que. se. podían. obtener. utilidades.infinitamente.grandes.o.costos.infinitamente.pequeños..se.explico.que.este.es.un.falla. de. formulación. del. modelo.. . en. el. método. símplex,. este. caso. se. identifica.cuando.los.aij.de.la.variable.que.entra.es.menor.o.igual.a.cero.y.por.tanto.no.se.puede.determinar.la.variable.que.sale.de.la.base.

4. No factible.-.se.dijo.que.esta.condición.ocurre.cuando.no.existe.solución.para.el.problema.que.satisfaga.todas.las.restricciones,.incluyendo.las.de.no.negatividad..en. el. método. símplex. se. identifica. este. caso. cuando. se. cumple. el. criterio. para.detener.las.iteraciones.y.los.valores.de.las.variables.no.satisfacen.las.restricciones.




Ejercicio3.1

1. Planteamiento

. la.empresa.Hight.tech.Industries.(HtI).ensambla.dos.modelos.de.computadoras..a.uno.de.los.modelos.se.le.denomina.Ht.deskpro.computer,.y.al.otro,.Ht.potable.computer..los.administradores.de.Ht.están.interesados.en.elaborar.un.programa.semanal.de.producción.para.ambos.productos.

. el.deskpro.genera.una.contribución.a.las.utilidades.de.50.dólares.por.unidad.y.el.portable,.40.dólares.por.unidad..Habrá.disponibles.un.máximo.de.150.horas.de.ensamble.por. semana..cada.unidad.de.deskpro. requiere.de.3.horas.de. tiempo.de.ensamblado,.y.cada.unidad.portable.requiere.de.5.horas..además,.HtI.tiene.en.estos.momentos.un.inventario.de.sólo.20.monitores.de.los.que.se.emplea.en.el. portable;. por. ello,. no. es. posible. ensamblar. más. de. 20. unidades. de. este. tipo..finalmente,.sólo.se.puede.disponer.de.300.pies.cúbicos.de.espacio.de.almacén.para.la.producción.nueva.de.estos.productos..cada.unidad.de.deskpro.requiere.de.8.pies.cúbicos.de.espacio.de.almacén.y.cada.unidad.de.portable.requiere.de.5.pies.cúbicos.

2. Modelo

Max.u.=.50x1.+.40x2

. sujeto.a:3x1.+.5x2.<=.150

..........1x2.<=.20

8x1.+.5x2.<=.300

..x1.,...x2...>=.0

3. Resoluciónporelmétodosímplex

a) Formaestándar

Max.u.=.50x1.+.40x2.+.0H1.+.0H2.+.0H3

.. .. 3x1.+.5x2.+.1H1. . =.150

...................1x2..........+.1H2.. . =..20

...................8x1.+.5x2.................+.1H3.. =.300

....................x1.,......x2,.H1.,...H2,....H3. >=.0



b) Tablasímplexinicial

tabla.no.1....tabla.inicial.símplex

cj . . . .50. . . .40. . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . .0 bi/ai j

cvb base b . . . .x 1. . . . .x 2. . . . .H 1. . . . .H 2. . . . .H 3

0

0

0

H 1.

H 2.

H 3

150

.20

300

. . . .3 . . . . . .5 . . . . . . .1 . . . . . .0 . . . . . . .0

. . . .0 . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . . .0

. . . .8* . . . . .5 . . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .1

150/3=50

300/8=37.5

Zj 0 . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0cj-Zj . . .50. . . . .40. . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0

la.tabla.símplex.inicial.da.como.solución.los.siguientes.valores:

para.¡as.variables.de.decisión:

. .. . x1.=0

. .. . x2=0

para.las.variables.de.holgura:

. .. . H1.=.15c

. .. . H2.=.20

. .. . H3.=.300

para.el.valor.de.la.f..objetivo:

. .. . u.=.0.00

c) Iteraciones

. tabla.no.2...tabla.símplex.mejorada

cj . . .50. . . . . .40. . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . . .0 bi/ai j

cvb base b . . . .x 1. . . . . .x 2. . . . . .H 1. . . . . .H 2. . . . . .H 3

0

0

50

H 1.

H 2.

x 1

75/2.20.

75/2

. . . .0 . . . . .25/8. . . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . -3/8

. . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . . .0.

. . . .1 . . . . . .5/8. . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . .1/8

Zj 1875 . . .50. . . . .250/8. . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .50/8

cj-Zj . . . .0 . . . . .35/4. . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . -50/8



. el. análisis. de. la. tabla. no. 2. nos. permite. determinar. los. siguientes.resultados:

. x1. =.75/2.. . . x2..=.0

. H1.=.75/2.. . . H3..=.0

. H2.=.20. . . . u....=.1875

. tabla.no.3. tabla.símplex.mejorada

cj . . . . . .50. . . . . .40. . . . . . .0 . . . . . . . . .0 . . . . . . . . .0 bi/ai j

cb base b . . . . . .x 1. . . . . . .x 2. . . . . . .H 1. . . . . . .H 2. . . . . . .H 3

40

0

50

x 2.

H 2.

x 1

12.

8.

30

. . . . . .0 . . . . . . . .1 . . . . . . .8/25. . . . . .0 . . . . . . -3/25

. . . . . .0 . . . . . . . .1 . . . . . . -8/25. . . . . .1 . . . . . . .3/25

. . . . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . . -1/5. . . . . . . .0 . . . . . . .1/5

Zj 1980 . . . . .50. . . . . . .40. . . . .14/5. . . . . . .0 . . . . . .26/5

cj-Zj . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . -14/5. . . . . .0 . . . . . -26/5

.

. en.la.fila.de.evaluación.neta.de.la.tabla.no.3.se.observa.que.existen.valores.menores.o.¡guales.a.cero,.por.lo.tanto.el.proceso.iterativo.ha.terminado.

. en.la.tabla.se.observa.que.las.variables.básicas.son.ahora.x2,.H2.y.x1.y.las.variables.no.básicas.son.H1.y.H3.....obsérvese.que.el.valor.de.las.variables.básicas. son.. x2. =. 12,. H2. =. 8,. x1. =. 30. y. que. la. utilidad. correspondiente. es.1980.

4. Resultado

. la.solución.óptima.para.el.problema.de.la.High.tech.consta.de.3.variables.básica-5.y.de.2.variables.no.básicas..estas.se.expresan.a.continuación:

. v..básicas. x1...=. 30. v..no.básicas:..............H1.=.0

. . . . x2....=. 12. . . . H3.=.0

. . . . H2...=. 8

.

. utilidad..=. 1980

. el.valor.de.estas.variables.constituyen.la.solución.para.la.Ht..la.compañía.debe.fabricar. 30. unidades. de. la. deskpro. y. 12. unidades. de. la. portable.. la. compañía.debe.saber.que.los.recursos.tiempo.de.ensamblado.y.espacio.de.almacenamiento.se.agotan.y.que.sobra.8.monitores.destinados.al.modelo.portable..las.utilidades.generadas.por.este.programa.de.producción.es.de.1980.dólares.



Ejercicio3.2

supóngase.que.en.el.problema.de.HtI,. los.administradores.desean.asegurarse.que. la.producción. combinada. total. de. ambos. modelos. sea. de. cuando. menos. 25. unidades..añadiendo.esta.nueva.restricción,.el.modelo.sería:

a) Modelo

Max.Z.=.50x1.+.40x2.

s.a.:3x1..+.5x2.<=.150...........1x2.<=.208x1.+.5x2..<=.300.x1..+...x2..>=.25.x1.,.....x2..>=..0

b) Formaestándar

Max.u.=.50x1.+.40x2.+.oH1.+.oH2.+.oH3.+.oe4.+.(-M)a4

. 3x1.+.5x2..+.1H1.........................=.150

........... ..x2.............+..H2.........................=...20

.. .8x1.+.5x2..+.1H1........................=.300

.. .1x1.+.1x2.................-.1e4.+.a4...=..25

.. .x1,...x2,...H1,.H2,...H3,...e4,..a4..>=0

c) Resolución

. utilizamos.el.método.de.la.M.que.el.texto.guía.lo.explica.en.la.página.86

. tabla.no.1. tabla.inicial.símplex

cj . . . .50. . . . .40. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . -M

cb base b . . . .x 1. . . . .x 2. . . . .H 1. . . . .H 2. . . . .H 3. . . . .e 4. . . . .a 4

0

0

0

-M

H 1.

H 2.

H 3.

a 4

150

20

.300

25

. . . .3° . . . . . .5 . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0

. . . .0° . . . . . .1 . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0

. . . .8° . . . . . .5 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . .0

. . . .1* . . . . . .1 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . -1 . . . . . .1

Zj -25M .. . -M.. . . -M.. . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .M.. . . -Mcj-Zj 50+M.40+M.. .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . -M.. . . .0

.



tabla.no.2. tabla.símplex.mejorada..fase

cj . . .50. . . . . .40. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . -M

cb base b . . . .x 1. . . . .x 2. . . . .H 1. . . . .H 2. . . . .H 3. . . . .e 4. . . . .a 4

0.

0

.0

.50

H 1.

H 2.

H 3.

x 1

75.

20.

100.

25

. . . .0 . . . . . .2 . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .3 . . . . . . -3

. . . .0 . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0

. . . .0 . . . . . -3 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .8 . . . . . . -8.

. . . .1 . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . -1 . . . . . . .1

Zj 1250 . . -50. . . . -50. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . -50. . . . .50

cj-Zj . . . .0 . . . . -10. . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . -50. . . -M-50

.

tabla.no.3. tabla.símplex.mejorada..fase.II

c . . .50. . . . .40. . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . . .0

cb base b . . . .x 1. . . . . .x 2. . . .H 1. . . . . .H 2. . . . . .H 3. . . . . .e 4

0.

0.

0.

50

H 1.

H 2.

H 3.

x 1

75.

20.

100.

25

0. . . . . . .2 . . . . . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . .3°.

0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . . .0°.

0 . . . . . . -3 . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . . .8*

1. . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . -1°

Zj 1250 .-50. . . . -50. . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . -50

cj-Zj . . . .0 . . . . -10. . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . -50

.

. tabla.no.4. tabla.símplex.mejorada..fase.II

cj . . .50. . . . . . .40. . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . . .0

cb base b . . .x 1. . . . . . .x 2. . . . . . . .H 1. . . . . .H 2. . . . . .H 3. . . . . . .e 4

0.

0.

0.

50

H 1.

H 2.

e 4.

x 1

75/2.

20.

25/2.

75/2

. . .0 . . . . . .25/8*. . . . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . . -3/8. . . . .0.

. . .0 . . . . . . .1° . . . . . . . . . .0 . . . . . . . .1 . . . . . . . . .0 . . . . . . .0

. . .0 . . . . . -3/8. . . . . . . .0 . . . . . . . . .0 . . . . . .1/8. . . . . .1

. . .1 . . . . . .5/8. . . . . . . .0 . . . . . . . . .0 . . . . . .1/8. . . . . .0

Zj 1875 . .50. . . .250/8. . . .14/5. . . . .0 . . . . .50/8. . . . . .0

cj-Zj . . . .0 . . . .70/8. . . . -14/5. . . . .0 . . . . -50/8. . . . . .0

.



tabla.no.5. tabla.símplex.mejorada..fase.II

cj . . . . .50. . . . .40. . . . . .0 . . . . . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . . . .0

cb base b . . . . .x 1. . . . . .x 2. . . . . .H 1. . . . . . . .H 2. . . . . .H 3. . . . . . .e 4

0

0

0

50

H 1

H 2.

e 4.

x 1

12.

8.

17.

30

. . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .8/25. . . . . .0 . . . . . -3/25. . . . .0.

. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . -8/25. . . . . .1 . . . . . .3/25. . . . .0

. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .3/25. . . . . .0 . . . . . .2/25. . . . .1.

. . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . -3/25. . . . . .0 . . . . . .5/25. . . . .0

Zj 1980 . . . .50. . . . .40. . . .14/5. . . . . . . . .0 . . . . .26/5. . . . . .0

cj-Zj . . . . .0 . . . . . . .0 . . . -14/5. . . . . . . . .0 . . . . -26/5. . . . . .0

d) Solución

. la. solución.para.el.problema.de. la.HtI.modificado.será:.producir.30.unidades.del.modelo.deskpro;.12.unidades.del.modelo.portable;.se.agota. todo.el. tiempo.disponible. para. el. ensamblado. y. el. espacio. para. almacenamiento;. sobran. 8.monitores.de.los.utilizados.para.el.modelo.portable.y.la.utilidad.alcanzada.es.de.$.1980..para.este.caso,.la.modificación.al.modelo.no.ha.modificado.la.solución.

3.7 Actividadesdeaprendizajeysoluciones

1.. utilizando.el.algoritmo.símplex,.resuelva.el.siguiente.modelo..verifique.que.x1.=..0;.x2.=6;.x3.=.14;.x4.=.0;.y,.Z.=.48

Max.Z.=.2x1.+.x2.+.3x3.+.5x4x1.+.2x2.+.2x3.+.4x4.<=.402x1.-.x2.+.x3.+.2x4...<=.84x1.-.2x2.+.x3.-.x4....<=.10

2..... utilizando.el.algoritmo.símplex.resuelva.los.literales a, c y e.del.problema.2.de.la.serie.de.problemas 3.3a.(página.82)..verifique.que:

a)

c)

e)

x 1

x 1

x 1

=

=

=

0,

0,

1,

x 2.

x 2.

x 2

=

=

=

6,

6,

0,

x3

x3

x3

=

=

=

.0,

14,

.6 ,

x4.

x4.

x4

=7,.

=0,.

=0,

z.

z.

z

=

=

=

.41.

.36.

-16

3.. en.el. ejemplo.3.4-1. (página.87).de.a.M.un.valor.de.1000,. realice. las. iteraciones.correspondientes.para.verificar.que.la.última.tabla.es.la.siguiente:



tabla.símplex.inicial.para.el.ejemplo.3.4-1

cj . . . . . .4 . . . . . . . .1 . . . . . . . . .0 . . . . .1000. . . .1000. . . . .0 bi/a. j

cb base bi . . . . . .x 1. . . . . . .x 2. . . . . . .e 2. . . . . . .a 1. . . . . . .a 2. . . . . .s 3

4

1

0

x 1

x 2

e 2

0.4

1.8

1

. . . . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . . . . .0 . . . . . .2/5. . . . . . .0 . . . . . . -1/5

. . . . . .0 . . . . . . . .1 . . . . . . . . .0 . . . . . -1/5. . . . . . .0 . . . . . . .3/5

. . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . . . .1 . . . . . . . .1 . . . . . . . -1 . . . . . . . .1

Zj 3.4 . . . . . .4 . . . . . . . .1 . . . . . . . . .0 . . . . . .7/5. . . . . . . .0 . . . . . -1/5

cj-Zj . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . . . .0 . . . . .998.6. . .1000. . . . .1/5

4..... Mediante.el.proceso.iterativo.del.símplex.resuelva.el.ejemplo.2.3-2.(problema.de.la.dieta).del.texto.guía.(página.18).

5.. Mediante.el.proceso.iterativo.del.símplex.resuelva.el.problema.7.de.la.serie 2.4a (página..26)..verifique.su.respuesta.con.la.presentada.en.la.figura.2.9.(página..38.del.texto).

6.. Mediante. el. proceso. iterativo. símplex. resuelva. el. ejemplo. 2.6-1. (página. 39)..verifique. su. respuesta. con. la.presentada.en. la. figura.2.10. (página.41).del. texto.guía..

7.. se.producen.tres.productos.a.través.de.tres.operaciones.diferentes..los.tiempos.requeridos.(en.minutos).por.unidad.de.cada.producto.son:.operación.I:.uno.por.producto.a,.dos.por.producto.b.y.uno.por.producto.c;.operación.II:.tres.por.a.y.dos.por.c;.operación.III:.uno.por.a.y.4.por.b..la.capacidad.diarias.de.las.operaciones.es.de.7.horas..el.producto.a.da.una.utilidad.de.$..300,.el.producto.b.$..200.y.el.c.$.500..determinar.la.producción.diaria.óptima.para.los.tres.productos.que.maximice.el.beneficio..¿Qué.tiempo.está.sobrando.en.cada.una.de.las.operaciones.?..(el.dual.para.este.problema.se.indica.en.la.sección.4.6.de.esta.guía).

8.. un.comerciante.de.frutas,.transporta.sus.productos.en.un.camión.que.tiene.una.capacidad. máxima. para. 800. cajas. de. frutas.. el. debe. cumplir. con. un. pedido. en.otra.ciudad.y.debe.transportar.al.menos.200.cajas.de.manzanas,.que.le.darán.una.utilidad.de.$.2.por.caja;.100.cajas.de.peras,.que.le.darán.una.utilidad.de.$.1.por.caja;.y.un.máximo.de.200.cajas.de.mandarinas.que.le.darán.un.beneficio.de.$.3.por.caja..¿cómo.debe.distribuir.el.cargamento.en.el.camión.para.obtener.la.máxima.ganancia?.



4.1 Introducción

el.texto.guía.en.la.página.111.hace.una.breve.introducción.y.fija.la.importancia.del.análisis.de.sensibilidad.para.los.problemas.de.programación.lineal..el.análisis.de.sensibilidad.se.basa.en.la.teoría.de.la.dualidad;.sin.embargo,.los.actuales.programas.de.computadora.permiten.resolver.modelos.grandes.y.obtener.los.parámetros.de.sensibilidad.de.forma.inmediata.

en.este.capítulo.revisaremos.brevemente.el.análisis.de.dualidad.y.haremos.más.énfasis.en.el.análisis.de.sensibilidad,.tema.que.ya.fue.tratado.en.el.capítulo.2.para.problemas.con.dos.variables.de.decisión.

el.análisis.de.sensibilidad.consiste.en.determinar:.a).los.cambios.en.los.coeficientes.de.la.fo.(determinar.la.gama.o.intervalo.de.optimidad.para.el.coeficiente.de.x1,.de.x2,.etc..en.la.fo);.b).el.valor.unitario.de.un.recurso.(precio.sombra);.y,.c).los.cambios.en.el.lado.derecho.de. las.restricciones.o.el.rango.o. intervalo.de.factibilidad.para.ese.recurso..el.texto.guía.trata.bien.este.tema.en.la.sección.4.7,.página.143;.sin.embargo.en.la.sección.4.3.y.4.4.de.esta.guía.le.resumimos.lo.básico.del.análisis.de.sensibilidad.

4.2 Análisisdedualidad

en. programación. lineal,. un. problema. de. maximización. puede. ser. asociado. con. otro.problema.lineal.pero.de.minimización.y.viceversa..esta.asociación.de.los.problemas.se.conoce.como.“dualidad.o.problema.dual”..a.cada.problema.de.programación.lineal.le.corresponde.otro.problema.de.programación.lineal.que.se.denomina dual.

estudie. el. capítulo. 4. del. texto. guía,. revise. los. problemas. resueltos. y. resuelva. los.propuestos.tomando.muy.en.cuenta.los.pasos.que.se.sigue.para.convertir.un.primal.en.dual..resuelva.el.dual.utilizando.el.método.símplex.y.compare.las.soluciones.

para.encontrar.la.solución.del.problema.verifique.que.todas.las.restricciones.tengan el mismo.sentido,.de.no.ser.así,.multiplique.por.(-1).la.restricción.para.cambiar.de.signo..si.la.restricción.es.una.igualdad,.deberá.reemplazarla.por.dos,.la.una.con.signo.mayor.y.la.otra.con.signo.menor.y.luego.cambiar.de.sentido.una.de.ellas.

las.siguientes.instrucciones.le.pueden.ayudar.a.convertir.un.primal.en.dual:

1.. si.el.primal.implica.maximización,.el.dual.es.minimización,.y.viceversa.

4. ANÁLISIS DE DUALIDAD Y DE SENSIBILIDAD



2.. si. las. restricciones. del. primal. son. del. tipo. <=. las. del. dual. serán. del. tipo. >=,. y.viceversa.

3.. cuando.el.primal.tiene.n.variables.de.decisión,.el.dual.tendrá.n.restricciones..a.la.primera.restricción.del.dual.se.le.asocia.la.variable.x1.del.primal,.a.la.segunda.restricción.del.dual.se.le.asocia.x2.del.primal,.y.así.sucesivamente.

4.. cuando.el.primal.tiene.m.restricciones,.el.dual.tendrá.m.variables.de.decisión..la.variable.dual.Y1.está.asociada.a.la.primera.restricción.del.primario,.la.variable.dual.Y2.esta.asociada.a.la.segunda.restricción.del.primario,.y.así.sucesivamente.

5.. los.valores.de.los.lados.derechos.de.las.restricciones.del.primal.se.convierten.en.los.coeficientes.de.la.función.objetivo.del.dual.

6.. los.coeficientes.de.la.función.objetivo.del.primal se.convierten.en.los.lados.derechos.de.las.restricciones.del.dual.

7.. los.coeficientes.de.las.restricciones.para.la.i-ésima.variable.del.primal se convierten.en.los.coeficientes.de.la.i-ésima.restricción.del.dual.

8.. tanto. el. primal. como. el. dual. tienen. restricciones. de. no. negatividad. para. las.variables.

9.. a.las.variables.x1,.x2,.x3,.etc..se.las.llama.variables.primales.

10.. a.las.variables.Y1, Y2,.Y3,.etc..se.las.denomina.variables.duales.

Si tiene dudas o problemas, comuníquelas a través del EVA con un correo electrónico para poner su explicación en el anuncio de esta semana

4.3 Análisisdesensibilidadparaproblemasdemaximización

1. Intervalodeoptimidad

resuelva.por.el.método.símplex.el.primal.del.ejemplo.4.4-2.de.la.página.126.del.texto.guía..usted.obtendrá.la.siguiente.tabla:



tabla.final.para.el.primal.del.ejemplo.4.4-2

Cj 3 2 5 0 0 0

CB Base Bi X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 H 3

2.

5.

0

x 2.

x 3.

H 3

100.

230.

20

. . -0 .25. . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0 .5 . . . . -0 .25. . . . .0

. . .1 .50. . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 .0 . . . . .0 .5 . . . . . . .0

. . .2 .00. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . -2 .0 . . . . .1 .0 . . . . . . .1

Zj 1350 . . . .7 . . . . . . . .2 . . . . . . .5 . . . . . . . .1 . . . . . . .2 .0 . . . . . . .0

C¡-Zj . . . -4 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . -1 . . . . . . -2 .0 . . . . . .0

el.intervalo.de.optimidad.responde.a.la.siguiente.pregunta:.¿cómo.cambia.la.solución.si.existe.un.cambio.en.uno.de.los.coeficientes.de.la.función.objetivo?;.es.decir,.que.pasa.si.la.utilidad.de.los.camiones.cambia.de.$.2.a.$.5.(c2)..el.análisis.de.sensibilidad.se.realiza.para.cada.uno.de.los.coeficientes.de.las.variables.de.decisión.(uno.a.la.vez)..el.proceso.es.el.siguiente:

1.. en. la.última. tabla.del.método.símplex.cambiamos.el. coeficiente.de.x2.por.c2.y.calculamos.las.dos.últimas.filas.de.la.tabla,.tenemos:

CJ 3 C 2 5 0 0 0


c 2

5

0

x 2.

x 3.

H 3

100.

230.

20

. . -0 .25. . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0 .5 . . . . . . -0 .25. . . . . . .0

. . .1 .50. . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 .0 . . . . . . . .0 .5 . . . . . . . .0

. . .2 .00. . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . -2 .0 . . . . . . .1 .0 . . . . . . . . .1

Zj 1150+100c 2

c¡-Zj 0.25c 2-4.5. .0 . . . . . .0 . . . . . -0 .5c 2. .0 .25c 2-2.5. .0

2.. para. que. las. variables. básicas. actuales. sigan. siendo. básicas. debe. cumplirse. el.criterio.de.detener.las.iteraciones,.es.decir:

0.25c2-4.5.<=.0.......-0.5c2.<=..0........0.25c2.-.2.5.<=.0..0.25.c2.....<=.4.5............-c2<=.0.................0.25c2.<=.2.5..............c2<=18..............-0.<=.c2.....................................c2.<=.10

3.. tomamos.los.valores.más.estrictos.para.c2,.esto.es:

. 0.<=.c2.<=.10



4.. esto.significa.que.mientras.la.utilidad.de.los.camiones.se.mantenga.entre.$.o.y.$.10.la.solución.no.cambia..la.utilidad.será.función.del.valor.que.tome.c2, es decir.u.=.1150.+.100c2.

cuando.se.trata.de.una.variable.no.básica,.por.ejemplo.c1,.el.proceso.es.aút..más.sencillo..Igual.partimos.de.la.última.tabla:


Cj . . . .c 1 2 5 0 0 0


2.

5

0

x 2.

x3

H3

100

.230.

20

. . . -0 .25. . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 .5 . . . . . . -0 .25. . . . . . . . .0.

. . . .1 .50. . . .0 . . . . . . . .1 . . . . . . .0 .0 . . . . . . . . .0 .5 . . . . . . . . .0.

. . . .2 .00. . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . -2 .0 . . . . . . . . .1 .0 . . . . . . . . .1

Zj 1350 . . . . .7 . . . . . . . .2 . . . . . . .5 . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . .2 .0 . . . . . . . . .0

Cj-Zj . .c1-7. . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . . . . -1 . . . . . . . -2 .0 . . . . . . . . .0

. c1.–.7.<.0

. c1.<.7.....

de. igual. forma,. para. que. la. solución. se. mantenga,. la. utilidad. que. genere. los. trenes.deberá.mantenerse.menor.a.$.7..por.otro.lado,.si.se.quiere.que.los.trenes.sean.parte.de.la.solución,.la.utilidad.de.los.mismos.deberá.ser.mayor.a.$.7..esto.es.lo.que.también.se.denomina.“costo.reducido”.y.se.observa.en.la.última.tabla.del.método.símplex.en.la.columna.de.x1.y.fila.Zj.

siguiendo.el.mismo.procedimiento,.determine.que.el.intervalo.de.optimidad.para.c3.es:.2.3.<=.5.<=.α

este.estudio,.el.texto.guía.lo.presenta.en.la.sección.4.7.2.de.la.página.155.con.el.título.de.cambios que afectan a la optimalidad.

2. Preciossombra

los.precios. sombra,. también.denominados.valor.unitario.de.un. recurso,. se.observan.en.la.última.tabla.del.método.símplex,.en.la.columna.que.corresponde.a.la.variable.de.holgura.del.recurso.y.la.fila.Zj.




Cj 3 2 5 0 0 0


2

. . .5

. .0

x 2.

x 3.

H 3

100.

230.

20

. . . -0 .25. . . .1 . . . . . . .0 . . . . . .0 .5 . . . . . -0 .25. . . . .0.

. . . .1 .50. . . .0 . . . . . . .1 . . . . . .0 .0 . . . . . .0 .5 . . . . . . .0

. . . .2 .00. . . .0 . . . . . . .0 . . . . . -2 .0 . . . . . .1 .0 . . . . . . .1

Zj 1350 . . . . .7 . . . . . . .2 . . . . . . . .5 . . . . . .1 . . . . . . . . . .2 . . . . . . . .0

Cj-Zj . . . . -4 . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . -1 . . . . . . -2 .0 . . . . . . .0. .

la.interpretación.económica.es.la.siguiente:

1.. la.disponibilidad.de.tiempo.en.la.operación.1.es.de.430.minutos..el.precio.sombra.de.1.significa.que.si.se.incrementa.o.se.reduce.en.1.minuto.el.tiempo.disponible.para.esta.operación,. la.utilidad.se. incrementa.o.se.reduce.er.$.1..lógico.que.no.puede.incrementarse.de.forma.indefinida.el.tiempo.de.esta.operación;.es.decir,.que.el.precio.sombra.de.$.1.es.válido.dentro.de.un.intervalo.que.luego.lo.veremos.

2.. el. precio. sombra. de. $. 2. tiene. una. interpretación. similar.. el. incremento. o. la.disminución.de.la.utilidad.será.de.$.2.por.cada.minuto.que.incremente.o.se.reduzca.el.tiempo.disponible.en.la.operación.2.

3.. para.el.precio.sombra.de.$.o.en.la.operación.3.se.da.la.siguiente.interpretación:.la.disponibilidad.de.tiempo.en.la.operación.3.es.de.420.minutos;.en.la.última.tabla.se.observa.que.H3.=.20,.es.decir.que.sobran.20.minutos.en.esta.operación..Incrementar.más.tiempo.en.esta.operación.no.tendría.sentido,.de.ahí.que.el.valor.de.un.minuto.en.esta.operación.sea.igual.a.cero,.claro.está,.dentro.de.un.intervalo.

3. Intervalodefactibilidad

. se.refiere.a.determinar.dentro.de.qué.intervalo.del.valor.del.lado.derecho.do.una.restricción.es.válido.el.precio.sombra..Igualmente.partimos.de.la.última.tabla.del.método.símplex.


Cj 3 2 5 0 0 0


2

5

0

x 2

x 3

H 3

100.

230.

20

. . . -0 .25. . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0 .5 . . . . . -0 .25. . . . .0

. . . .1 .50. . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 .0 . . . . . .0 .5 . . . . . . .0

. . . .2 .00. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . -2 .0 . . . . . .1 .0 . . . . . . .1

Zj 1350 . . . . .7 . . . . . . . .2 . . . . . . .5 . . . . . . . .1 . . . . . . . .2 .0 . . . . . . .0

Cj-Zj . . . . -4 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . -1 . . . . . . . -2 .0 . . . . . . .0



determinemos.el.intervalo.de.factibilidad.para.el.tiempo.en.la.operación.1..observe.el.procedimiento.

. ..............base. bi. . .H1

. . x2 = 100 0.5 100 + 0.5∆b1. . .

. . x3.=.230.+ ∆b1 0.0 = 230 + 0∆b1

. . H3 = 20 -2.0 20 + (-2∆b1)

la.solución.básica.actual.sigue.siendo.básica.si.las.expresiones.anteriores.son > 0, por.tanto:

100+0.5∆b1 >= 0 230+0 >= 0 20 -2∆b1.>=..0 0.5∆b1 >= - 100 -2∆b1.>=.-20 -200 <= ∆b1 ∆b1.>=.10

el.intervalo.de.factibilidad.será.el.siguiente:

.......(430-200).<=.430<=.(430+10)

.................230.<=.430.<=.440

de. haber. dos. o. más. valores. negativos. y. dos. o. más. incrementos. positivos. se. tomará.siempre.los.mas.estrictos,.que.estén.más.cerca.del.valor.inicial.del.lado.derecho.

el.intervalo.de.factibilidad.anterior.significa.que.el.precio.sombra.para.el.tiempo.en.la.operación.1.que.es.de.$.1,.es.válido.únicamente.si.el.cambio.en.el.lado.derecho.de.esa.restricción.se.da.entre.los.230.y.440.minutos.

siguiendo.el.mismo.proceso.compruebe.que.el.intervalo.de.factibilidad.para.el.tiempo.en.la.operación.2.es.440.<=.460.<=.860..de.igual.forma,.demuestre.que.el.precio.sombra.de.$.o.para.el.tiempo.en.la.operación.3.es.válido.entre.400.<=.420.<=.α.

para.el.intervalo.de.factibilidad.de.la.operación.2.

. .............base. bi. . H1

. . ..x2.=.100. . 0.25

. . ..x3.=.230.+ ∆b1 0.5

. . ..H3.=.20. . 1.0

. . . . . . . . ......

para.el.intervalo.de.factibilidad.de.la.operación.3.

. .............base. bi. . . H1

. . ..x2.=.100. . . 0. . . ....

. . ..x3.=.230.+ ∆b1 0

H3.=.20. . . 1. . . .....



4.4 Análisisdesensibilidadparaproblemasdeminimización

para.explicar.el.análisis.de.sensibilidad.para.problemas.de.minimización,.retomemos la última.tabla.del.problema.3.5.

tabla.símplex.final

Cj 2 3 0 0 100 100 0

CB Base B X 1 X 2 E 1 E 2 A 1 A 2 H3

3.

2

0

x 2.

x 1

e 2

100.

2 5 0.125

0. . . . . .1 . . . . . -2 . . . . . .0 . . . . . .2 . . . . . . .0 . . . . . . -1

1. . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . .0 . . . . . -1 . . . . . . .0 . . . . . . .1

0. . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . .1 . . . . . -1 . . . . . . -1 . . . . . . .1

Zj 800 . . . . .2 . . . . . .3 . . . . . -4 . . . . . .0 . . . . .4 . . . . . . . .0 . . . . . . -1

Cj-Zj . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . .4 . . . . . .0 . . . . .96. . . . .100. . . . .1

1. Preciosombra

en.la.columna.H3.de.la.fila.Zj.aparece.un.valor.de.-1,.este.es.el.precio.sombra.para.el.recurso. tiempo. de. procesamiento.. cuando. se. trata. de. una. restricción. del. tipo. <=. en.problemas. de. minimización,. el. precio. sombra. de. -1. para. este. caso,. significa. que. por.cada.hora.adicional.que.se.incremente.en.esta.restricción.el.costo.baja.en.$1;.y.,.si.el.lado.derecho.de.esa.restricción.fuera.de.599.(baja).el.costo.sería.de.801.(sube)..un.incremento.del.lado.derecho.de.esta.restricción.produce.un.mejoramiento.de.la.solución..el.valor.unitario.de.este.recurso.es.de.$.-1..como.se.verá.más.adelante,.este.precio.sombra.tiene.un.intervalo.de.validez.

en.la.columna.e1.de.la.fila.Zj.aparece.un.valor.de.-4,.este.es.el.precio.sombra.para.esta.restricción,.no.se.trata.de.un.recurso.sino.de.una.exigencia.en.la.producción..el.valor.-4.significa.que.por.cada.unidad.adicional.que.se.especifique.en.la.demanda,.el.costo.de.producción.se.incrementará.en.4;.se.produce.un.empeoramiento.de.la.solución.si.la.exigencia.de.producción.fuera.de.349.el.costo.sería.de.796..este.precio.sombra.también.tiene.un.intervalo.de.validez.

en.la.columna.e2.de.la.fila.Zj.aparece.un.valor.de.cero..este.es.el.precio.sombra.para.este.recurso..significa.que.si.se.incrementa.o.se.reduce.la.exigencia,.el.costo.de.producción.no.varía,.lógicamente,.esto.también.dentro.de.un.intervalo.

2. Ladoderechodelasrestricciones

siguiendo.la.misma.metodología.expuesta.para.el.problema.de.maximización,.determine.que.el.intervalo.de.factibilidad.para.el.recurso.tiempo.de.la.tercera.restricción.es.475.<=.600.<=.700..esto.significa.que.el.precio.sombra.de.-1.es.válido.dentro.de;.este.intervalo.determine.el.intervalo.de.factibilidad.para.la.primera.restricción;.en.lugar.de.sumar.el.



intervalo,.ahora.reste.por.tratarse.de.una.restricción.del.tipo.>=,.utilice.la.columna.de.e1..el.intervalo.de.factibilidad.para.la.restricción.de.producción.es:.300.<=.350.<=.475el.intervalo.de.factibilidad.para.la.restricción.2,.le.indicamos.a.continuación:

Variables Solución ∆ del LD(Columna E2).. básicas............final

x2.=.100.... . . ..........0................0x1.=.250.+ ∆b2 0.............= 0e2 = 125 1 125-∆b2)

. . . . . . .... .125 -∆b2.>=.0-∆b2.>=.-125-∆b2.<=.125

el.intervalo.será:...... no.hay.inferior.<=.125.<=.(125.+25).. . . no.hay.<=125.<=.250

3. Intervalo de optimidad

usted.puede.determinar.los.intervalos.de.optimidad.para.este.problema.y.comprobar.su.respuesta.con.la.siguiente:

. . no.hay.límite.inferior.<=.2<=.3...(para.c1)

. . . . . ......2.<=.3.<=.no.hay.límite.superior.(para.c2)4.5 Soluciónporcomputadora

los. programas. de. computadora. se. basan. en. el. método. símplex. y. pueden. resolver.fácilmente.problemas.de.pl.que.tengan.cientos.de.variables.y.cientos.de.restricciones..en.el.apéndice.c.página.871.del.texto.guía.se.habla.del.software.que.acompaña.al.texto,.su.instalación.y.ejecución..sin.embargo,.lo.importante.es.que.usted.formule.el.modelo.e.interprete.los.resultados.que.proporciona.el.computador;

estos.dos.aspectos.no.lo.hace.el.computador..si.usted.dispone.de.un.computador,.utilice.este.software.para.agilitar.los.cálculos.matemáticos.

Sr. Alumno, estamos llegando a la finalización del primer bimestre, visite el campus para que se informe del anuncio y participe del foro.



4.6. Problemasdeaplicación

EjercicioNo4.1.

siguiendo. el. proceso. anteriormente. explicado,. resolvamos. siguiente. problema. de.minimización.. resuelva. este. problema,. primero. por. el. método. gráfico.. la. rf. es. un.punto.

. Modelo:

. Min..Z.=......0.4 x1.+.0.5x2.....................(0)

. sujeto.a:

0.3x1.+0.1x2 <=.2.7......... (1)0.5x1.+.0.5x2........=.6........... (2)0.6x1.+.0.4x2 >=.6........... (3)

para.escribir.el.modelo.en.forma.estándar,.a.la.primera.restricciones.le.sumamos.una.variable.de. holgura;. a. la. segunda. una.artificial. solamente;.y,. a. la. tercera. le. restamos.una.de.excedente.y. luego. le. sumamos.una.variable.artificial.. .en. la. función.objetivo,.las.variables.de.holgura.y.de.excedente.tienen.coeficiente.cero;.en.cambio,.las.variables.artificiales. tendrán. un. coeficiente. grande.. esto. porque. se. trata. de. un. problema. de.minimización.y.se.desea.que.las.variables.artificiales.salgan.de.la.base.lo.antes.posible..para.el.ejemplo,.un.valor.de.10.es.suficiente.

. forma.estándar:

. Minimizar.Z.=.0.4x1.+.0.5x2.+.oH1.+ 10a2.+.oe3.+.10a3

. sujeto.a:

. . . ....0.3X1.+.0.1X2.+.H1...............=.2.70.5x1.+.0.5x2...................+.a2.....=.6.0.6x1.+.0.4x2...........-.e3.+.a3.....=.6x1,.x2,H1,.a2,.e3,.a3,.................>=.0

de.esta.forma,.las.variables.que.irán.a.la.base.serán:.de.la.primera.restricción.H1;.de.la.segunda.a2.y.de.la.tercera.a3..resuelva.este.problema.siguiendo.las.instrucciones.dadas.para.el.problema.3.5.

este.problema.se.resuelve.en.4.tablas,. incluyendo.la.tabla.inicial..la.primera.variable.que.entra.x1.y.sale.H1;.en.la.tercera.tabla,.entra.x2.y.sale.a2;.y,.en.la.cuarta.tabla,.entra.e3.y.sale.a2.



la.última.tabla.para.este.problema.es.la.siguiente:

cj . . .0 .4 . . . .0 .5 . . . . .0 . . . . .10. . . . . . .0 . . . . . . .10

cb base b . . . .x 1. . . . .x 2. . . . .H 1. . . . .a 2. . . . . .e 3. . . . . .a 3

0.4.

0.

0.5

x 1.

e 3.

x 2

7.5.

0.3.

4.5

. . . .1 . . . . . .0 . . . . . . .5 . . . . . . -1 . . . . . . .0 . . . . . . . .0.

. . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 .6 . . . . .1 . . . . . . . -1.

. . . .0 . . . . . .1 . . . . . . -5 . . . . . . .3 . . . . . . . .0 . . . . . . . .0

Zj 5.25 . . .0 .4 . . . .0 .5 . . . . -0 .5 . . . .1 .1 . . . . .0 . . . . . . . .0

cj-Zj . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0 .5 . . . . .8 .9 . . . . .0 . . . . . . .10

la.solución.es:

x1.=.7.5,x2.=.4.5,e3.=.0.3Z..=.5.25.

el.análisis.de.sensibilidad.para.este.problema.nos.da.los.siguientes.resultados:

•....Intervalo.de.optimidad.para.c1:.-infinito <=.0.4.<=.0.5

•....Intervalo.de.optimidad.para.c2:.0.4.<=.0.5.<=.infinito

•....precio.sombra.1:.-0.5

•....precio.sombra.2:.1.1

•....precio.sombra.3:.o

•....Intervalo.de.factibilidad.para.la.primera.restricción:...2.4.<=.2.7.<=.3.6

•....Intervalo.de.factibilidad.para.la.segunda.restricción:.5.5.<=.6.0<=13.6

•....Intervalo.de.factibilidad.para.la.tercera.restricción:...-.infinito.<=.6.0.<=.6.3

Ejercicio3.7

el.siguiente.modelo.hace.referencia.a.un.caso.especial.que.puede.presentarse.en.el.método.símplex..se.trata.de.un.empate.para.la.variable.básica.entrante..el.ejercicio.corresponde.a.una.modificación.del.ejercicio.3.4.

Maximizar.Z.=.5x1.+.5x2...........(0)sujeto.a:



x1............<=...4.(1)......2x2....<=.12.(2)3x1.+2x2.<=.18.(3)x1,....x2..>=.o

tabla.símplex.inicial

CJ 5 5 0 0 0 bi/aij

CVB Base B X 1 X 2 H 1 H 2 H 3

0

0

0

H 1

H 2

H 3

4

12

18

. . .1 . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0

. . .0 . . . . .2 . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0

. . .3 . . . . .2 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .1

Zj 0 . . .0 . . . . .0 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0

Cj-Zj . . .5 . . . . .5 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0

¿cuál.sería.la.variable.entrante?..puede.elegir.a.x1.o.x2.como.variable.entrante..resuelva.el.problema.y.compare.con.la.solución.dada.para.el.ejercicio.3.4..¿cambia.la.solución?..explique.

Ejercicio3.8

ahora.puede.tener.el.siguiente.modelo..el.ejercicio.corresponde.a.una.modificación.del.ejercicio.3.4.

Maximizar.Z.=.3x1.+.5x2.......(0)sujeto a:. . x1............<=..4..........(1). .....2x2............<=12.........(2). . 2x1.+3x2...<=18........(3). . x1,.x2.......>=..0

tabla.simplex.inicial

CJ 3 5 0 0 0 bi/aij

CVB Base b X 1 X 2 H 1 H 2 H 3

0

0

0

H 1

H 2

H 3

4

12

18

. . . .1 . . . . . .0 . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . .0

. . . .0 . . . . . .2 . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . .0

. . . .2 . . . . . .3 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .1

12/2=6

18/3=6

Zj 0 . . . .0 . . . . . . .0 . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . .0

Cj-Zj 3 5 0 0 0



¿cuál.sería. la.variable.que.sale?..puede.elegir.a.H2.o.a.H3..resuelva.este.problema.y.compruebe.con.el.siguiente.reporte.técnico:

se.deben.fabricar.o.lotes.del.producto.1.(puertas.de.vidrio.con.marco.de.aluminio).y.6.lotes.del.producto.2.(ventanas.con.marco.de.madera).para.que.la.utilidad.máxima.sea.de.$.30..se.utiliza.todo.el.tiempo.disponible.en.las.plantas.2.y.3,.mientras.que.en.la.planta.1.sobran.4.horas..el.intervalo.de.optimidad.para.el.producto.1.es.0 <=3 <=.3.3;.el.intervalo.de.optimidad.para.el.producto.2.es.4.5.<=.5.<=.infinito..el.precio.sombra.para.el.tiempo.en.las.plantas.1,.2.y.3.es.de.0;.0.25;.1.5,.respectivamente;.este.precio.sombra.es.válido.dentro.del.intervalo:.0^4^.infinito;.6.67.<=.12.<=.12;.18.<=.18.<=.26.

Ejercicio3.9

supongamos.que.el.modelo.toma.ahora.la.forma.siguiente..el.ejercicio.corresponde a.una.modificación.del.ejercicio.3.4.

Maximizar.Z.=.3x1.+.5x2 (0) sujeto.a:

. x1...........<=..4......(1)

...... 2x2 <=.12.....(2)

. 2x1.+3x2..=.18.....(3)

... x1,....x2...>=.0

para.resolver.este.caso.nosotros.vamos.a.recurrir.al.artificio.siguiente:

1.. para.construir.la.forma.estándar,.se.adiciona.una.variable.artificial.en.la.restricción.no.3..asignamos.la.variable.a3..la.letra.a.porque.es.artificial.y.el.número.3.porque.corresponden.a.la.tercera.restricción.

2.. esa.variable.artificial.sólo.sirve.para.iniciar.la.resolución.del.problema..porto.tanto.debe.salir.de.la.tabla.lo.antes.posible.

3.. la.forma.de.eliminar.esa.variable.artificial.es.asignándole.una.utilidad.muy.baja.en.la.función.objetivo..el.valor.asignado.que.se.aconseja.es.unas.100.veces.menos.que.los.demás.coeficientes.de.las.variables.de.la.función.objetivo.

. Hecho.esto.la.forma.estándar.del.modelo.es.la.siguiente:

. Maximizar.Z.=.3x1.+.5x2.+.oH1.+.oH2.+.(-100)a3 (0)

. sujeto.a:.. x1..............+.H1.........................=.4..............(1)....... 2x2...................+.H2..................=12.............(2). 3x1.+.2x2....................+.a3.......=18.............(3). ..x1,....x2,.H2,.H3,.H4...............>=.0



4..... la.primera.tabla.símplex.sería.la.siguiente:

. tabla.símplex.inicial.

Cj 3 5 0 0 -100 bi/aij

CVB Base b X 1 X 2 H 1 H 2 A 3

0

0

-100

H 1

H 2

a 3

4

12

18

. . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . .0

. . . .0 . . . . . . .2 . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . .0

. . . .3 . . . . . . .2 . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .1

Zj 0 . . -300. . -200. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . -100Cj-Zj . . .303. . .205. . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . .0

de.esta.forma.se.tiene.la.primera.solución.básica.factible:

. variables.básicas:. . H1.=.24,.H2.=.12,.a3.=.18

.. variables.no.básicas:. . x1.=.0.y.x2.=.0

.. utilidad:.. . . u.=..0

continúe.con.el.proceso.iterativo;.la.primera.variable.que.entra.es.x1.y.la.que.sale.H1;.luego. introduce.x2.y.sale.a3;. finalmente,.vuelve.a. introducir.H1.y.sale.H2..el.proceso.termina.en.4.tablas,.incluyendo.la.tabla.símplex.inicial..la.solución.es.la.misma.para.el.modelo.original..no.siempre.puede.ocurrir.este.caso.

4.7 Actividadespropuestas

1.. resuelva.el.ejercicio.2.1.de.la.página.24.de.esta.guía.por.el.método.símplex,.realice.el.análisis.de.sensibilidad.(intervalos.de.optimidad,.precios.sombra.e.intervalos.de.factibilidad).y.confirme.o.niegue.las.siguientes.afirmaciones:

a.. el.valor.de.las.variables.de.decisión.es.x1.=.250.y.x2.=.500.(.).

b.. las.restricciones.1.y.4.tienen.holgura.cero.y.que.sus.precios.sombra.son.de.1,75.y.1,25,.respectivamente.(.)..todo.recurso.que.tiene.holgura.cero.tiene.un.precio.sombra.mayor.a.cero.

c.. las. restricciones. 2. y. 3. tienen. una. holgura. de. 50. y. 150. (H2=50. y. H3=. 150).respectivamente.y.por.tanto.sus.precios.sombra.son.de.cero.(..)..si.un.recurso.sobra,.incrementar.más.de.él.no.tiene.sentido,.únicamente.se.incrementaría.la.cantidad.de.recurso.sobrante.por.lo.tanto.su.valor.unitario.es.cero.

d.. si.se.incrementan.las.utilidades.para.el.zapato.de.hombre.hasta.un.valor.de.5.5,. la.solución.no.cambia. (. )..no.cambia,.este. incremento.está.dentro.del.intervalo.



e.. si. se. incrementan. las. utilidades. para. el. zapato. de. hombre. hasta. un. valor.de. 6.5,. la. solución. cambia. (. . . ).. cambia,. este. incremento. está. fuera. del.intervalo.

f.. la.utilidad.de.los.zapatos.para.hombre.puede.bajar.hasta.un.valor.de.o.sin.que.afecte.a.la.solución.(.)..cierto,.el.valor.de.cero.es.el. límite.inferior.del.intervalo.

g.. un. incremento. en. el. tiempo. de. producción. de. 100. horas. produce. un.incremento.en.las.utilidades.de.$.175..(.)..es.cierto,.el.precio.sombra.para.este.recurso.es.1.75.$/hora.x.100.horas.=.$.175.

h.. si. el. tiempo. disponible. se. incrementa. hasta. un. valor. de. 1110. horas,. las.utilidades.se.incrementan.en.1,75.$/hora.x.110=$.192.5.(.)..no.es.verdad,.el.intervalo.de.factibilidad.para.este.recurso.es.500.<=.1000.<=.1100

i.. si.la.materia.prima.disponible.se.reduce.hasta.un.valor.de.750,.las.utilidades.no. se. reducen. (. )..es.verdad,. su.precio. sombra.es. cero.y.válido.hasta.ese.valor.

j.. el.precio.sombra.para.el.recurso.fibra.para.zapatos.de.mujer,.es.válido.dentro.de.intervalo.de.factibilidad.200.<=.500.<=.600.(.).

2.. en.un.examen.presencial.a.usted.se.le.plantea.lo.siguiente:.una.fabrica.de.muebles.fabrica.los.siguientes.productos:.puertas.sencillas,.puertas.semitalladas.y.puertas.talladas..el.producto.1. requiere.de.6.unidades.de.madera,.8.horas.de.mano.de.obra.y.3.horas.de.maquinaria;.el.producto.2.requiere.de.9.unidades.de.madera,.11.horas.de.mano.de.obra.y.de.4.horas.de.maquinaria;.el.producto.3.requiere.de.8.unidades.de.madera,.16.horas.de.mano.de.obra.y.10.horas.de.maquinaria..la.empresa.dispone.para.la.producción.de.estos.3.productos.de.1.650.unidades.de.madera,.1.920.horas.de.mano.de.obra.y.1.180.horas.de.maquinaria..la.utilidad.de.las.puertas.es.de.$.900,.$.1500.y.$.2.200.

1.. formule. el. modelo. matemático. que. permita. determinar. la. combinación.óptima.de.producción.con.el.objeto.de.maximizar.las.utilidades.

2.. escriba.la.primera.tabla.símplex.para.este.problema

3.. se.ha.resuelto.el.problema.por.el.método.símplex.y.la.última.tabla.que.se.obtiene.es.la.siguiente:



CVB

Cj 900 1500 2200 0 0 0

Base bi X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 H 3

0.

1500.

2200

H 1.

x 2.

x3

665.65.

6.95.

115.22

-0.4348. . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .1 . . . . . . -1 .2609. . . .1 .2174.

.0 .6957. . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . .0 .2174. . -0 .3478.

.0 .0217. . . .0 . . . . . . . .1 . . . . . . .0 . . . . . . . -0 .0870. . .0 .2391

Zj

Cj-Zj

a). ¿cuál.es.el.valor.de.las.variables.de.decisión.y.el.de.la.utilidad?

b). ¿Qué.recursos.se.utilizan.en.su.totalidad.y.qué.recursos.sobran?

c). ¿cuál.es.el.precio.sombra.para.cada.uno.de.los.recursos?

d). ¿dentro. de. qué. intervalo. de. factibilidad. es. válido. el. mayor. precio.sombra?

e). ¿cuál.es.el.intervalo.de.optimidad.para.c2?

f). ¿se. incrementaría. la. producción. si. se. incrementa. la. cantidad. de.madera.disponible?

g). ¿Qué.recursos.se.deben.incrementar.para.aumentar.la.producción?.h)...si.usted.tendría.que.decidir.entre.incrementar.la.mano.de.obra.o.las.horas.máquina,.¿cuál.sería.su.decisión?

.h)..... la.variable.x1.no.es.parte.de.la.solución,.¿qué.debe.ocurrir.para.que.ésta.sea.parte.de.la.solución?



1.. desarrollar.un.modelo.de.transporte.y.asignación.para.un.problema.dado.

2.. resolver.problemas.de.transporte.y.asignación.

3.. desarrollar.modelo.de.redes.para.problemas.de.expansión.mínima,.ruta.más.corta.y.flujo.máximo.

4.. desarrollar.modelo.de.redes.para.determinar.el.tiempo.de.duración.de.un.proyecto.y.las.actividades.críticas.

SEGUNDOEGUNDOBIMESTREBIMESTRE

OBJETIVOS ESPECÍFICOS



5. MODELODETRANSPORTEYSUSVARIANTES

5.1. definición.del.modelo.de.transporte.5.2. Modelos.de.transporte.no.tradicionales.5.3. el.algoritmo.de.transporte.5.4. el.modelo.de.asignación.5.5. el.método.de.asignación.de.voGel5.6. actividades.de.aprendizaje.

6. MODELOSDEREDES

6.1. alcance.de.las.aplicaciones.de.redes.6.2. definición.de.red.6.3. arbol.de.expansión.mínima.6.4. problemas.de.la.ruta.más.corta.6.5. Modelo.de.flujo.máximo.6.6. actividades.de.aprendizaje

7. ADMINISTRACIÓNDEPROYECTOSPERT-CPM

7.1. Importancia7.2. representación.de.la.red7.3. cálculo.de.la.ruta.crítica7.4. problemas.de.aplicación7.5. actividades.propuestas

CONTENIDOS



5.1 Definicióndemodelodetransporte

el.modelo.de.transporte.es.una.clase.especial.de.problemas.de.pl..el.modelo.de.transporte.se.define.como.una.técnica.que.determina.un.programa.de.transporte.de.productos.o.mercancías.desde.unas.fuentes.hasta.los.diferentes.destinos.al.menor.costo.posible..en.la.página.166.y.167.del.texto.guía.se.propone.el.modelo.para.el.ejercicio.5.1-1..usted.puede.aplicar.el.método.símplex.o.el.programa.tora.para.resolver.este.modelo.y.comparar.la.solución.con.la.que.se.obtiene.utilizando.la.tabla.símplex.de.transporte.que.se.estudia.en.este.capítulo..la.sección.5.1.del.texto.guía.explica.claramente.el.objetivo.del.modelo.de. transporte..siga.con.atención.el.planteamiento.de. los.ejemplos.5.1-1.y.5.1-2.de. las.páginas.166.y.168,.donde.se.habla.de.modelos de. transporte.equilibrados.y.modelos.de.transporte.desequilibrados..el.primero.se.refiere.a.cuando.la.oferta.y.demanda.son.¡guales.y.el.segundo.a.cuando.entre.oferta.y.demanda.hay.una.diferencia.

DESARROLLO DEL APRENDIZAJE

5. MODELO DE TRANSPORTE Y SUS VARIABLES



..disponibilidad.=.oferta...................requerimientos.=.demanda. . ....Mercado.perfecto

distribución.de.la.oferta.y.demanda

. x11..+...+.x1j...+...+.x1n=.a1. x11+...+..xij.+...+.xmn=.b1. ..........xij.≥ 0

. :. ..:. ..:.......:. . :. ..:. ..:.........:

. xi1..+...+.xij...+....+.xin=.a1. x1j+...+..xij..+...+.xmj..=.bj.................................∀i..,.∀j..

. :. ..:. ....:.......:.. :. ..:. ..:.........:

. xm1+...+.xmj.+...+.xmn=.a1. xm1+...+.xmj.+...+.xmn=.bn

......Todo lo disponible es enviado Todo lo enviado fue requerido No se pierde nada

Ejemplo:

tres. fábricas. envían. su. producto. a. cinco. distribuidores.. . las. disponibilidades,. los.requerimientos.y.costos.unitarios.de.transporte,.se.dan.en.la.siguiente.tabla.

FábricasDistribuidores

Disponibilidades1 2 3 4 5

1 20 19 14 21 16 40

2 15 20 13 19 16 60

3 18 15 18 20 x 70

Requerimientos 30 40 50 40 60

¿Qué.cantidad.del.producto.se.debe.enviar.desde.cada.fábrica.a.cada.distribuidos.para.minimizar.los.costos.del.transporte?...la.x.significa.que.desde.la.fábrica.3.es.imposible.enviar.unidades.al.distribuidor.5.

Solución:

observe.que.el.modelo.no.es.perfecto:..la.oferta.es.diferente.a.la.demanda...se.adiciona.una.fábrica.de.relleno.con.costos.de.transporte.igual.a.cero.(0).y.que.ofrezca.justo.lo.que.le.hace.falta.a.la.oferta.para.ser.igual.a.la.demanda.



ai Fábricas Distribuidores bj nota:.se.adiciona.la.fábrica.4.con.una.oferta.de.50.unidades,.para. igualar. la.oferta.a. la.demanda,.dicha.fábrica.es.de.olgura

40 1 1 30

60 2 2 40

70 3 3 50

170 4 40

50 4 5 60

220 220

formulación

xij=unidades. a. enviar. desde. la. fábrica. i-ésima. (i=1,2,3,4). al. distribuidor. j-ésimo.(j=1,2,3,4,5)

Minimizar.Z.=.20x11+19x12+14x13+21x14+16x15+15x21+20x22+13x29+19x24+16x25+18x31+. . 15x32+18x33+20x34+MX35

. . . . . L..valor.muy.grande.en.comparación.con.los.demás.cij

nota:..a.x35.se.le.castiga.co.un.coeficiente.muy.grande.“.Gran.M”.ya.que.Z.nunca.se.minimizará.mientras.x35.>=.0;.luego.x35.terminará.siendo.variable.no-básica,. igual.a.cero.(0).para.que.Z.se.minimice.con.las.siguientes.restricciones:

x11+x12+x13+x14+x15.=.40x21+x22+x23+x24+x25.=.60x31+x32+x33+x34+x35.=.70.................. . todo.lo.disponible.es.enviadox41+x42+x43+x44+x45.=.40

x11+x21+x31+x41.=.40x12+x22+x32+x42.=.60x13+x23+x33+x43.=.70. . . . todo.lo.lo.requerido.fue.enviadox14+x24+x34+x44.=.40

xij.≥ 0; 1,2,3,4 ; j= 1,2,3,4,5

SoluciónBásicafactible

como. cada. variable. figura. dos. (2). veces. en. el. sistema. de. ecuaciones,. entonces. tiene.m+n-1.grados.de.libertad.y.el.número.de.variables.básica.debe.ser.igual.al.número.d.egrados.de.libertad.del.sistema...lo.anterior.nos.asegura.una.solución.básica.factible.no.degenerada.



Nuevamente es hora de visitar el EVA y participar del primer foro del segundo bimestre, además lea el anuncio para que sepa que tiene que hacer.

5.2 Modelosdetransportenotradicionales

la.sección.5.2.explica.cómo.abordar.los.modelos.de.transporte.no.tradicionales..siga.con.atención.el.desarrollo.de.los.ejemplos.5.2-1.y.5.2-2..el.primer.caso.se.refiere.a.un.modelo.de.control.de.producción-inventario..este.lo.explicamos.de.la.forma.siguiente:

•. se. supone. que. una. empresa. normalmente. tiene. una. producción. constante.determinada.en.función.de.la.demanda..sin.embargo,.en.el.ejemplo,.esto.no.ocurre..la.producción.mensual.y.la.demanda.mensual.son.diferentes.para.los.meses.de.marzo,.abril,.mayo.y.junio,.como.lo.muestra.la.tabla.5-13..la.satisfacción.de.las.demandas.puede.hacerse.a.través.de.las.tres.alternativas.planteadas.

•..... si.se.utiliza.la.primera.alternativa,.el.costo.de.la.mochila.es.de.$.40.

•..... la.segunda.alternativa.implica.que.la.producción.que.excede.a.la.demanda.debe.almacenarse.en.bodega.y.por.este.concepto.debe.pagarse.$.0.50.por.mochila.y.por.mes.

•. la.tercera.posibilidad.es.hacer.esperar.al.cliente.para.satisfacer.su.necesidad;.esto.implica.un.costo.para.la.empresa.de.$.2.por.mes.

•. en.la.tabla.5-13.se.indican.estos.costos..en.la.casilla.1-2.aparece.un.$.0.50.en.lugar.de.$.40.50.

5.3 Elalgoritmodetransporte

Características

•. es.más.elaborado.que.el.método.de.la.esquina.noroeste.

•. tiene.en.cuenta.los.costos.para.hacer.las.asignaciones.

•. Generalmente.nos.deja.alejados.del.óptimo.

Algoritmo

a.. construya.una.tabla.de.disponibilidades.(oferta),.requerimientos..(demanda).y.costos..



b.. empiece.en.la.casilla.que.tenga.el.menor.costo.de.toda.la.tabla,.si.hay.empate,.escoja.arbitrariamente.(cualquiera.de.los.empatados)..

c.. asigne. lo. máximo. posible. entre. la. disponibilidad. y. el. requerimiento. (el.menor.de.los.dos)..

d.. rellene.con.ceros.(0).la.fila.o.columna.satisfecha.y.actualice.la.disponibilidad.y.el.requerimiento,.restándoles.lo.asignado..

. nota:.recuerde.que.no.debe.eliminar.ó.satisfacer. fila.y.columna.al.mismo.tiempo,.caso.en.que.la.oferta.sea.igual.a.la.demanda,.en.tal.caso.recuerde.usar.la.ε (epsilon)..

e.. Muévase.a.la.casilla.con.el.costo.mínimo.de.la.tabla.resultante.(sin.tener.en.cuenta.la.fila.o.columna.satisfecha)..

f.. regrese.a.los.puntos.c,d,e.sucesivamente,.hasta.que.todas.las.casillas.queden.asignadas..

los. modelos. que. se. desarrollan. para. estos. casos. pueden. ser. resueltos. aplicando.el. método. símplex;. sin. embargo,. la. sección. 5.3. explica. el. algoritmo. de. transporte.. el.algoritmo.de. transporte. consiste.primero.en. la.determinación.de.una. solución. inicial.para.la.cual.existen.tres.alternativas..se.sugiere.adoptar.el.método.del.costo.menor.para.la.determinación.de.la.solución.básica.inicial.

tabla.1..tabla.de.costos.para.el.ejemplo.5.3-1

Molino.1 Molino.2 Molino.3 Molino.4 oferta

silo1 10 2 20 11 15

silo.2 12 7 9 20 25

silo.3 4 14 16 18 10

demanda 5 15 15 15

a. continuación. resumimos. los. pasos. del. método. de. costo. mínimo. para. obtener. la.solución.factible.inicial:

1.. Identificar.la.celda.del.cuadro.de.transporte.que.tenga.el.menor.costo,.y.asignarle.la.mayor.cantidad.de.flujo.posible.a.esta.celda..en.caso.de.empate,.elegir.la.celda.que.corresponda.al.arco.sobre.el.que.se.puedan.enviar.la.mayor.cantidad.de.unidades..si.siguen.apareciendo.empates,.elegir.cualquiera.de.las.celdas.empatadas.



2.. reducir.la.oferta.del.renglón.y.la.demanda.de.la.columna.en.la.cantidad.del.flujo.asignado.a.la.celda.que.se.indica.en.el.paso.1.

3.. si.se.han.agotado.todas.las.ofertas.de.renglón.y.las.demandas.de.columnas.entonces.detenerse;.las.asignaciones.realizadas.ofrecen.una.solución.factible.inicial.

la. tabla. no. 2. muestra. las. asignaciones. siguiendo. el. proceso. explicado. en. la. r. agina.182.del.texto.guía...la.última.columna.y.fila.indica.los.ajustes.tanto.en.oferta.como.en.demanda..siempre.éstas.tienen.que.llegar.a.ser.cero..el.costo.del.envío.desde.los.silos.a.los.molinos.es.de.$.475.

tabla.2..asignación.inicial.a.través.del.método.de.costo.mínimo

Molino 1 Molino 2 Molino 3 Molino 4 OfertaSilo 1 15 0 15 0.0Silo 2 15 10 25 10.0Silo 3 5 5 10 5.0

Demanda 5 15 15 15

0 0 015

10

.0

en.la.sección.5.3.2.se.explica.con.claridad.los.cálculos.iterativos.del.algoritmo.hasta.llegar.a.una.solución.óptima..siga.este.proceso.partiendo.de.las.soluciones.factibles.iniciales.obtenidas. a. través. de. uno. de. los. tres. métodos.. en. lo. posterior. utilice. únicamente. el.método.del.costo.menor.para.obtener.la.solución.factible.inicial.y.luego.las.iteraciones.correspondientes.hasta.llegar.a.la.solución.óptima.

el.método.de.multiplicadores.lo.que.hace.es.lo.siguiente:.explicamos.esto.partiendo.de.la.asignación.realizada.a.través.del.método.de.la.esquina.del.noroeste.y.que.el.texto.lo.muestra.en.la.tabla.5-21.de.la.página.186.

1.. según.este.método.las.celdas.ocupadas.son:.x11.=.5;.x12.=.10;.x22.=.5;.x23.=.15;.x24.=.5;.x34.=.10..los.costos.de.estas.rutas.ocupadas.son:.10,.2,.7,.9,.20.y.18,.respectivamente..equivale.a.decir,.el.valor.de.las.variables.básicas.y.el.costo.de.las.rutas.básicas..el.costo.total.de.utilizar.estas.rutas.es.de.$.520..no.sabemos.si.ésta.es.la.ruta.de.costo.más.bajo.o.si.existe.otra.que.nos.de.un.costo.total.más.bajo..para.ello.seguimos.los.siguientes.pasos,.es.decir,.determinamos.qué.variable.no.básica.se.convierte.en.básica.

2.. calculamos.los.valores.de.ui.y.vj..los.multiplicadores.ui.y.vj.deben.satisfacer.la.siguiente.ecuación:.cij.=.ui.+.vj.

3.. los.costos.de.las.celdas.ocupadas.y.que.fueron.anotados.en.el.punto.1,.lo.resumimos.en.la.siguiente.tabla,.donde.se.anotan.también.las.variables.u.y.v.



V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 10 2 0

U 2 7 9 20 5

U 3 18 3

10 2 4 15

4.. utilizando.la.ecuación.cij.=.ui.+.vj,.calculamos.los.valores.de.ui.y.vj.tal.como.lo.hace.el.texto.en.la.página.186..como.se.tiene.7.variables.y.6.ecuaciones,.se.parte.dándole.a.u1.un.valor.de.0..de.esta.forma.se.obtienen.los.valores.tanto.de.filas.que.corresponde.a.u,.como. los.valores.de.columnas.que.corresponden.a.v..estos.se.anotan.en.los.márgenes.de.la.tabla.anterior:.u1.=.0;.u2.=.5;.u3.=.3;.vi.=.10;.v2.=.2;.v3.=.4.y.v4.=.15.

5.. con.los.valores.de.u.y.v.determinados.en.el.numeral.4,.se.calcula.el.costo.de.la.celda.no.ocupada.o.costo.de.la.variable.no.básica.(celda.sombreada),.que.según.el.texto.ésta.es.igual.a:.costo.de.la.celda.no.ocupada.=.ui.+.vj.-.c.j..se.puede.calcular.sobre.la.misma.tabla.anterior..por.ahora.volvemos.a.transcribir.la.tabla:

V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 10 2 -16 4 0

U 2 3 7 9 20 5

U 3 9 -9 9 18 3

10 2 4 í5

. el. costo. de. la. variable. x13. =. o. +. 4. -. 20. =. -16.. estos. cálculos. se. muestran. en. la.primera.tabla.de.la.página.187.del.texto.guía.

6.. de.esta.forma.se.determina.que.la.variable.que.entra.es.la.que.corresponde.al.valor.positivo.más.alto.de.las.celdas.no.ocupadas,.en.este.caso.9.para.la.celda.x31..esto.indica.que.por.cada.unidad.que.se.envíe.por.esta.ruta,.el.costo.se.reducirá.en.$.9.

7.. determinamos.la.variable.que.sale..el.texto.lo.explica.en.la.página.18p..se.utiliza.la.tabla.de.asignación.inicial.(tabla.5-21.de.la.página.186)..se.ocupa.la.ruta.x31.en.función.de.la.ruta.xn,.con.todos.los.ajustes.correspondientes.



V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 5

-5

10

+5

15

U 2 5-5

155

+525

U 3 +5 10

-5

10

5 15 15 15

8.. la.nueva.asignación.se.muestra.en.la.tabla.siguiente.y.el.costo.de.la.misma.es.$.475.

V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 15 15

U 2 15 10 25

U 3 5 5 10

5 15 15 15

9.. volvemos.al.paso.2.para.calcular.los.nuevos.valores.de.u.y.de.v..utilizamos.los.costos.de.las.nuevas.rutas.ocupadas..en.esta.tabla.debemos.tener.6.rutas.ocupadas.y.sólo.tenemos.5.que.nos.dificulta.el.cálculo.de.u.y.de.v..para.resolver.este.problema.y.luego.de.hacer.que.u1.=.o.y.calcular.el.valor.de.v2.=.2,.vemos.que.el.valor.de.u2.se.puede.calcular.si.la.casilla.x22.estuviera.ocupada.con.una.asignación.de.o.y.su.costo.de.7..esta.ruta.se.llama.ruta.artificial.y.sólo.se.utiliza.para.el.cálculo.de.los.valores.de.u.y.v.

V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 2 0

U 2 7 9 20

U 3 4 5

2 15 15

. . . . . . ruta.artificial.que.permite.el.calculo.de.

. . . . . . u2.=7-2=5



10.. realizado.este.artificio.se.prosigue.con.el.calculo.de.los.demás.valores.de.u.y.v..se.obtiene.la.siguiente.tabla.

V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 2 0

U 2 7 9 20 5

U 3 4 18 3

1 2 4 15

11.. seguimos.con.el.paso.5..calculamos.los.costos.de.las.celdas.no.ocupadas..costo.de.la.celda.no.ocupada.=.ui.+.vj.-.cij..obtenemos.la.siguiente.tabla.

V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 -9 2 -4 4 0

U 2 -6 7 9 20 5

U 3 4 -9 -9 18 3

1 2 4 15

12.. de.esta.forma.se.determina.que.la.variable.que.entra.es.la.que.corresponde.al.valor.positivo.más.alto,.en.este.caso.4.para.la.celda.x14.

13.. determinamos.la.variable.que.sale..el.texto.lo.explica.en.la.página.188..se.ocupa.la.ruta.x14.en.función.de.la.ruta.x24,.con.todos.los.ajustes.correspondientes.

V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 15.-10 +10

U 2 +10 15 10. . . -10

U 3 5 5

14.. la.nueva.asignación.se.muestra.en.la.tabla.siguiente.y.el.costo.de.la.misma.se.ha.reducido.en.$.40.al.ocupar.la.ruta.x14..el.costo.de.la.nueva.asignación.es.$435.

V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 5 10 15

U 2 10 15 25

U 3 5 5 105 15 15 15



15.. volvemos.al.paso.2.para.calcular.los.valores.de.u.y.v..utilizamos.los.coslos de.las.rutas.ocupadas.

V 1 V 2 V 3 V 4

U 1 -13 2 -16 11 0

U2 -10 7 9 -4 5

U3 4 -5 -5 18 7

-3 2 4 11

16.. los.costos.de.las.rutas.no.ocupadas.(celdas.sombreadas).son.todos.negativos.lo.que.indica.que.la.asignación.obtenida.en.el.numeral.14.es.la.óptima..el.texto.muestra.la.asignación.óptima.y.el.costo.de.la.misma.en.la.página.190.

. parecería.un.procedimiento.bastante.largo,.sin.embargo.no.lo.es..

El foro de esta semana trata casos reales donde se puede aplicar esta teoria, su aporte también lo es y más aún su participación. Ingrese al EVA y participe del foro

5.4 Elmodelodeasignación

el.problema.de.la.asignación.se.presenta.en.diversos.casos.de.toma.de.decisiones..por.ejemplo,. asignar. tareas. a. máquinas,. trabajadores. a. tareas. o. proyectos,. personal. de.ventas.a.territorio.de.ventas,.contratos.a.licitantes,.etc..una.característica.distintiva.de.los.problemas.de.asignación.es.que.se.asigna un.trabajador,.una.tarea,.etc., a una.sola.máquina,.proyecto,.etc..en.particular,.se.busca.el.conjunto.de.asignaciones.que.optimice.el. objetivo. planteado,. tal. como. minimizar. costos,. minimizar. tiempo. o. maximizar.utilidades.

5.5 ElmétododeasignacióndeVogel

el.método.comienza.calculando.por.cada.columna.y.por.cada.fila.el.castigo.o.penalidad..el.castigo.se.calcula.como.la.diferencia.entre.los.dos.costos.menores.en.la.columna.o.en.la.fila.según.corresponda..a.continuación,.se.determina.la.fila.o.columna.con.un.mayor.valor.de.castigo..luego,.se.selecciona.como.variable.basal.la.celda.con.menor.costo.de.la.fila.o.columna,.según.corresponda,.y.se.le.asigna.la.máxima.cantidad.posible..una.vez.realizada.la.asignación,.se.descarta.la.fila.o.columna.cuya.oferta.o.demanda.haya.sido.completa..se.recalcula.la.demanda.u.oferta.disponible.en.la.fila.o.columna..la.primera.asignación.se.ha.completado..

se.vuelven.a.calcular. los.castigos.por.fila.y.por.columna.y.se.repite.el.procedimiento.descrito.hasta.completar.las.asignaciones.posibles.en.la.tabla...



la.ventaja.del.método.de.vogel.por.sobre.el.de.la.esquina.noroeste.es.que.va.adelante.algunas.iteraciones.y.por.lo.tanto.se.obtiene.una.solución.inicial.mejor..eventualmente.puede.ocurrir.que.aplicando.el.método.se.llegue.directamente.a.la.solución.óptima..la.desventaja.del.método.de.vogel.radica.en.que.sin.duda.es.mas.complejo.que.el.de.la.esquina.noroeste,.por.lo.tanto.es.mas.difícil.de.implementar.y.mas.proclive.a.errores.en.la.aplicación...

para. ilustrar. la.aplicación.del.método.veamos.un.ejemplo..consideremos.la.siguiente.tabla.de.transporte:

. . . . ........

.

de.acuerdo.al.método,.en.primer.lugar.se.calculan.los.castigos.por.fila.y.por.columna:

el.mayor.castigo.entre.filas.y.columnas.se.encuentra.en.la.segunda.columna..de.ambas.celdas,.la.de.mínimo.costo.es.la.de.costo.unitario.de.7,.buscando.la.máxima.asignación.por.fila.y.por.columna.controla.la.columna.con.una.asignación.máxima.de.5.unidades.

.demanda...........15..............5. ...........5

oferta10.............

15

.7 86

80 7815

.demanda...........15..............5. ...........5

...castigo...............9.............73............70

oferta.....castigo10..........7.-.6.=.1..........

..15........78.-.15.=.63

.7 86

80 7815

5

.demanda...........15..............5. ...........5

...castigo................9.............-..............70

oferta.....castigo10..........8.-.6.=.2..........

..15........78.-.15.=.63

.7 86

80 7815



de.los.castigos.recalculados,.el.mayor.corresponde.a.la.tercera.columna..en.este.caso.la.celda.de.menor.costo.es.la.de.la.primera.fila..verificando.la.asignación.máxima.por.fila.y.por.columna,.controla.la.fila.con.una.asignación.máxima.de.5.unidades.

luego,.el.único.castigo.disponible.(y.por.lo.tanto.el.mayor).corresponde.a.la.primera.columna..en.este.caso,.el.mínimo.costo.corresponde.a.la.primera.fila..la.máxima.cantidad.posible.a.asignar.por.columna.es.15,.pero.por.fila.es.0..por.lo.tanto,.debemos.asignar.0.unidades.a.la.celda.de.menor.costo.

finalmente,.no.es.posible.calcular.castigos.y.debemos.asignar.las.unidades.disponibles.a.la.única.celda.libre..luego:

.

nótese.que.el.número.de.asignaciones.es.exactamente.igual.a.m+.n.¡.1.=.2.+.3.¡.1.=.5..eventualmente,.el.método.puede.generar.un.número.inferior.de.asignaciones..en.dicho.caso.se.completa.las.m.+.n.¡.1.asignaciones.con.ceros..en.el.caso.de.que.falte.sólo.una.asignación,.se.puede.ubicar.un.cero.en.cualquier.casilla.no.asignada..en.el.caso.que.se.requiera.de.dos.o.más.ceros,.la.asignación.no.es.tan.arbitraria..Más.adelante.se.definirá.qué.criterio.emplear.en.dichos.casos.

5 5

x x

.demanda...........15..............0. ...........0...castigo...................9.............-...............-

oferta.....castigo0..............-........

..15.............-

.7 86

80 7815

0 5 5

x x

.demanda...........15..............0. ...........0...castigo..................-.............-...............-

oferta.....castigo0..............-........

..15.............-

.7 86

80 7815

0 5 5

15 x x

.demanda..........0...............0. ...........0...castigo..................-.............-...............-

oferta.....castigo0..............-........

.0..............-

.7 86

80 7815



existen.problemas.de.maximización.que.pueden.ser.considerados.como.problemas.de.transporte.

en.este.caso,.los.coeficientes.cij.están.asociado.a.los.beneficios.unitarios.de.la.variable.asociada.a.la.combinación.i. ¡. j.y.el.objetivo.es.maximizar.la.suma.total.de.los.aportes.individuales.de.las.variables..se.mantienen.las.restricciones.de.oferta.y.demanda.

en.los.casos.de.maximización,.es.preciso.alterar.los.métodos.para.obtener.una.solución.inicial.factible..en.el.caso.del.método.de.la.esquina.noroeste,.se.debe.intentar.asignar.la.mayor.cantidad.posible.a.las.casillas.con.mayor.cij...en.el.caso.del.método.de.vogel,.las.castigos.se.calculan.entre.los.dos.mayores.beneficios.por.fila.y.por.columna..al.igual.que.el.método.de.la.esquina.noroeste,.se.busca.asignar.la.mayor.cantidad.posible.a.las.casillas.con.mayor.beneficio.

5.6Actividadesdeaprendizaje

ActividadNo1

tres. plantas. de. energía. eléctrica. con. capacidades. de. 25,. 40. y. 30. mil. kilovatios/hora,.proporcionan.electricidad.a.tres.ciudades..la.demanda.máxima.de.las.tres.ciudades.se.calcula.en.36,.42.y.30.mil.kilovatios/hora..en.la.tabla.siguiente.se.proporciona.el.precio.por. cada. mil. kilovatios/hora. en. las. tres. ciudades.. determine. el. plan. de. distribución.óptimo.para.la.empresa.de.servicios.públicos.

tabla.de.costos.de.energía

ciudad.1 ciudad.2 ciudad.3 capacidad

planta.1 6 7 4 25

planta.2 3.2 3 3.5 40

planta.3 5 4.8 4.5 30

demanda 36 42 30

95

108

actividad.nro.2. resuelva.el.problema.6.de.la.serie 5.1a.(página.169).actividad.nro.3. resuelva.el.problema.1.de.la.serie 5.3a.(página.185).actividad.nro.4. resuelva.e”.problema.1.de.la.serie 5.3b.(página.190).actividad.nro.5. resuelva.el.problema.2.de.la.serie 5.4a.(página.199).

Ahora que se ha terminado este tema, usted va ha proponer un Título para abrir un foro, de igual forma si hay dudas sobre algo de este capítulo, escriba un correo con las interrogantes.



6.1Alcancedelasaplicacionesderedes

los. modelos. de. redes. nos. permiten. resolver. exitosamente. muchos. problemas.administrativos.en.áreas.como.el.diseño.de. transporte,.de. sistemas.de. información.y.programación.de.proyectos..en.el.capítulo.5.se.utilizó.el.modelo.de.redes.para.representar.gráficamente. los. problemas. de. transporte,. asignación. y. trasbordo.. en. este. capítulo.se. estudian. tres. problemas. adicionales. de. redes:. el. problema. de. h. ruta. más. corta,. el.problema.de.expansión.mínima.y.el.problema.de.flujo.máximo..la.clave.para.el.éxito.al.aplicar.modelos.de.redes.en.la.solución.de.problemas.radica.en.ver.la.forma.en.la.que.se.puede.representar.un.problema.con.un.modelo.de.red..aunque.algunos.planteamientos.de. redes. son. evidentes,. en. otros. se. puede. requerir. de. una. considerable. imaginación.para.desarrollar.la.representación.de.red.adecuada..en.cualquier.caso,.una.vez.que.se.ha.desarrollado.la.representación.de.red,.se.tienen.disponibles.algoritmos.especializados.de.solución.para.resolver.el.problema.

6.2Definicióndered

lea.con.atención.la.sección.6.2.del.texto.guía.y.aplique.esos.conceptos.para.resolver.el.problema.1.de.la.serie.6.2a.

para.la.figura.6.3a.de.la.página.217.del.texto.guía,.tenemos:

a).... una.ruta:..................... . 1-3-4-2b).... un.lazo:...................... . 1-5-4-3-1c).... un.lazo.o.circuito.dirigido:.......1-3-4-5-1d).... un.árbol:

6. MODELO DE REDES



e). un.árbol.de.expansión

3.3 Árboldeexpansiónmínima

en.terminología.de.redes,.el.problema.del.árbol.de.expansión.(.o.de.extensión).mínima.se.refiere.a.utilizar.las.ramas.(arcos).de.la.red.para.llegar.a todos.los.nodos.de.la.red,.de.manera.que.minimice.la.longitud.total.de.todas.las.ramas..para.comprender.mejor.este.problema,.se.considerará.un.problema.de.diseño.de.un.sistema.de.comunicaciones.que.afronta.un.centro.de.regional.de.cómputo.(crc).

el.crc.debe.instalar.líneas.especiales.para.comunicación.computacional,.a.1n.de.conectar.a.cinco.usuarios.satélite.con.una.nueva.computadora.central..la.compañía. telefónica.local.es.la.que.instalará.la.nueva.red.de.comunicaciones..sin.embargo,.la.instalación.es.una.operación.costosa..con.el.propósito.de.reducir.los.costos,.el.grupo.de.administración.del.centro.desea.que.la.longitud.total.de.estas.nuevas.líneas.de.comunicación.sea.lo.más.pequeña.posible....aunque.se.podría.conectar.la.computadora.en.forma.directa.a.cada.usuario,.parece.que.sería.más.económico.instalar.una.línea.directa.hacia.algunos.usuarios,.y.permitir.que.otros.se.enlacen.con.el.sistema.a.través.de.los.usuarios.ya.conectados.en.la.figura.6.1.se.muestra.la.red.para.este.problema,.con.las.alternativas.de.conexión.posibles.y.las.correspondientes.distancias.

Fig.6.1 Red de comunicaciones para el sistema regional de computación



el.algoritmo.de.red.que.puede.utilizarse.para.resolver.el.problema.del.árbol.de.extensión.mínima.es.muy.sencillo..los.pasos.son.los.siguientes:

Iteraciones:

1..... Iniciamos.en.el.nodo.1

2..... el.nodo.más.cercano.desde.1.es.el.2..conectamos.el.nodo.1.con.el.nodo.2.

3.. el.nodo.más.cercano.desde.1.o.desde.2.tenemos.que.es.1-4..conectamos.el.nodo.1.con.el.nodo.4.

4.. el.nodo.más.cercano.desde.2.o.desde.4.tenemos.que.es.4-3..conectamos.el.nodo.4.con.el.nodo.3.

5.. el.nodo.más.cercano.desde.2,.3.y.4.tenemos.que.es.4-6..conectamos.el.nodo.4.con.el.nodo.6.

6..... el.nodo.más.cercano.desde.2,.3.y.6.tenemos.que.es.3-5..conectamos.el.nodo.3.con.el.nodo.5.

en.resumen:

1.. comenzar. en. forma. arbitraria. en. cualquier. nodo. y. conectar. con. el. nodo. más.próximo..a.estos.nodos.se.los.denomina.nodos.conectados.o.conexos.y.a.los.nodos.restantes.se.les.denomina.nodos.no.conectados.o.inconexos.

2.. Identificar. el. nodo. no. conectado. que. esté. más. cerca. de. uno. de. los. conectados..deshacer.los.empates.en.forma.arbitraria.si.son.dos.o.más.los.nodos.que.califican.como. nodo. más. cercano.. agregar. este. nodo. al. conjunto. de. nodos. conectados..repetir.esta.paso.hasta.que.se.hayan.conectado.todos.los.nodos.

1 220

1 430

4 3100

4 620

3 520



. usted.debe.seguir.los.pasos.que.se.indican.y.verificar.que.la.solución.que.se.obtiene.es.la.que.se.muestra.en.la.figura.6.2..la.longitud.total.es.110.

figura. 6.2. red. de. comunicaciones. del. árbol. de. extensión. mínima. para. el. centro. de.computación.regional.

la.solución.puede.graficarla.de.la.manera.siguiente:

6.4Problemadelarutamáscorta

en.esta.sección.se.revisa.una.aplicación.de.redes.en.la.que.el.objetivo.primordial.consiste.en.determinar. la.ruta.más.corta.o.el.camino.más.reducido.desde.un.punto.de.origen.hasta.uno.de.destino.a.través.de.la.red..en.la.sección.6.4.1.del.texto.guía.se.indica.otras.aplicaciones.de.este.modelo.de.redes.

la.red.de.la.figura.6.3.proporciona.las.rutas.permisibles.y.sus.longitudes.en.millas.entre.las.ciudad.1.(nodo.1).y.otras.ciudades.(.nodos.2.al.7).

......Fig. 6.3.rutas.y.distancias.entre.diferentes.ciudades

siguiendo.el.algoritmo.de.la.ruta.más.corta.que.se.explica.en.la.página.227.del.texto.guía.determinemos.la.ruta.más.corta.para.los.siguientes.casos:utilicemos.la.siguiente.simbología:

6

2

1 4

53

20

30

1030

20



(..)...rotulación.tentativa[...]..rotulación.permanente.......nodo.de.inicio.para.la.siguiente.iteración

[20 ,4 ]

. . nodo.precedente,.el.nodo.4.

. . distancia.desde.el.nodo.1

ejercicio:. cuál.es.la.ruta.más.corta.entre.el.nodo.1.y.el.nodo.7.

.. . . . . . . nodo.tentativo. . . . . . . distancia.desde.1.hasta.2=15.. . . . . . . nodo.precedente.=.1

nodo.de.inicio. . . . . . . nodo.tentativo. . . . . . . distancia.desde.1.hasta.2=10. . . . . . . nodo.precedente.=.1

no.hay.una.ruta.más.corta.de.10.que.permita.llegar.al.nodo.3..por.lo.tanto.éste se hace.permanente.. . . . . . . nodo.tentativo. . . . . . . distancia.desde.1.hasta.2=15. . . . . . . nodo.precedente.=.1

. . . . . . . nodo.permanente

. . . . . . . distancia.desde.1.hasta.2=10

. . . . . . . nodo.precedente.=.1. . . . .la. flecha. indica.que.se.utilizará.el.nodo.3.para.la.siguiente.iteración

¿Qué. nodos. pueden. alcanzarse. de. forma. directa. desde. el. nodo. 3?.. los. nodos. 2. y. 5..Hasta.el.nodo.2.hay.13.de.distancia.y.hasta.el.nodo.5,.hay.14..se.elige.el.nodo.2.como.permanente.



desde.el.nodo.2.hay.dos.nodos.que.pueden.alcanzarse,.el.4.y.el.7;.y.desde.el.3.hay.uno..de.entre.el.4,.5.y.7.se.elige.el.que.tiene.menor.distancia.para.declararlo.permanente,.en.este.caso.el.5.

¿Qué.nodos.se.pueden.alcanzar.a.partir.del.nodo.5?..se.puede.alcanzar.el.4.y.6

al.nodo.7.puede.llegarse.desde.el.nodo.4.y.desde.el.nodo.6..se.elige.el.6.por.su.menor.distancia.

[16,5]



cuadro.resumen:

nodo.de.origen. ruta.más.corta.des.el.nodo.1.. distancia. 2. . . . 1-3-2. . . . . .13. 3. . . . 1-3. . . . . 10. 4. . . . 1-3-5-4.. . . . 18. 5. . . . 1-3-5. . . . . 14. 6. . . . 1-3-5-6.. . . . 16. 7. . . . 1-3-5-6-7 22

Estamos llegando a la recta final del presente período, ingrese al EVA y lea el anuncio puesto para esta semana.

6.5Modelodelflujomáximo

considere. una. red. con. un. nodo. de. entrada. ,. o. nodo fuente,. y. uno. de. salida,. o. nodoantifuente..el.problema.del.flujo.máximo.pregunta,.¿cuál.es.la.cantidad.máxina.de.flujo.(es.decir,.vehículos,.mensajes,. líquidos,. etc).que.pueden.entrar.y. salir.del. sistema.de.red.en.un.período.determinado.de.tiempo?..en.este.problema.se.intenta.transmitir.flujo.sobre.todas.las.ramas.(arcos).de.la.red.en.la.forma.más.eficiente.posible..la.cantidad.de.flujo.está.limitada.por.la.capacidad.en.las.diversas.ramas.de.la.red..por.ejemplo,.los.tipos.de.carreteras.limitan.el.flujo.de.vehículos.en.un.sistema.de.transporte,.en.tanto.que.los.diámetros.de.las.tuberías.limitan.el.flujo.de.petróleo.en.un.sistema.de.distribución...al.límite.máximo.o.superior.sobre.el.flujo.de.una.rama.se.le.denomina.la.capacidad.de.flujo.de.la.rama..aunque.no.se.especifican.cantidades.para.lo.nodos,.se.supone.que.el.flujo.que.sale.de.un.nodo.es.igual.al.flujo.que.ingresa.

como.ejemplo.del.problema.de.flujo.máximo,.considere.el.sistema.de.carreteras.norte-sur.(n-s).que.pasa.por.la.ciudad.de.Quito..el.flujo.de.vehículos.n-s.llega.a.un.nivel.de.15000.vehículos.por.hora.en.las.horas.pico..un.programa.de.mantenimiento.de.calles,.exige. el. cierre. temporal. de. algunas. rutas. y. la. reducción. en. los. límites. de. velocidad..la. jefatura.de. tránsito.ha.propuesto.una.red.de.rutas.alternativas.cuya.capacidad.de.flujo.depende.de.las.calles.específicas.que.se.utilizan..en.la.figura.6.4.se.muestra.la.red.que.se.propone,.incluyendo.las.capacidades.de.flujo.sobre.las.ramas.que.se.basan.en.la.dirección.el.flujo,.por.ejemplo,.la.rama.1-2.muestra.una.capacidad.de.5000.vehículos.por.hora.en.el.sentido.1-2.y.de.o.vehículos.por.hora.en.el.sentido.2-1..esto.implica.que.no.debe.haber.flujo.de.vehículos.del.nodo.2.al.nodo.1.o.que.son.calles.de.una.sola.dirección..¿considera.que.la.red.del.sistema.de.carreteras.que.se.muestra.en.la.figura.6.4.puede.dar.cabida.a.un.flujo.máximo.n-s.de.15000.vehículos.por.hora?.¿cuál.es.el.flujo.máximo.de.vehículos.que.permite.la.red.cada.hora?.¿Qué.tanto.flujo.se.debe.canalizar.sobre.cada.rama?.



explicaré. la. resolución. de. este. problema. a. través. de. las. siguientes. 6. iteracciones..usted.debe.trabajar.sobre.la.red.anterior.para.que.tenga.la.visualización.completa.del.problema.

1.. elegimos.una.ruta:.la.1-2-5-7..el.flujo.máximo.de.esta.ruta.es.de.3.(entiéndase.3000.vehículos/hora)..esta.ruta.está.limitada.por.la.ruta.2-5..está.ruta.se.utiliza.en.toda.su.capacidad.y.se.envían.3.quedando.una.capacidad.de.cero..en.la.red.la.ruta.2-3.quedaría.así:

la.ruta.1-2.queda.con.una.capacidad.disponible.de.2.y.la.ruta.5-7.con.una.capacidad.disponible.de.5,.luego.de.enviar.3000.vehículos.por.estas.rutas..Gráficamente.se.escribirá.así

2.. se.elige.una.nueva.ruta:.la.1-3-6-7..el.flujo.máximo.por.esta.ruta.es.de.6,.limitada.por.el.tramo.1-3...este.tramo.se.utiliza.en.toda.su.capacidad.y.queda.disponible.1.para.los.tramos.3-6.y.6-7..en.la.red.se.escribiría.así:

3.. se.elige.la.siguiente.ruta:.1-2-3-5-7..la.capacidad.de.esta.ruta.es.2,.limitada.por.el.tramo.1-2.y.2-3..tome.en.cuenta.las.capacidades.disponibles.de.las.rutas.1-2.y.5-7..en.la.red.se.escribiría.así:

capacidad.utilizadacapacidad.disponible



4.. se.elige.la.ruta.1-4-6-7..la.capacidad.de.esta.ruta.es.1,.limitada.por.el.tramo.6-7..este.tramo.6-7.se.utiliza.totalmente,.por.ahí.se.envían.un.total.de.7 los tramos.1-4.y.4-6.tienen.capacidad.disponible.de.4.

5.. se.elige.la.ruta.1-4-6-5-7..la.capacidad.de.esta.ruta.es.1,.limitada.por.el.tramo.6-5..este.es.un.tramo.de.doble.sentido..en.la.red.quedaría.así:

. Hasta. aquí,. el. flujo. máximo. de. vehículos. es. de. 13000. vehículos. por. hora.. sin.embargo.las.rutas.1-4.y.4-6.tienen.una.capacidad.disponible.de.3..la.ruta.3-5,.tiene.una.capacidad.disponible.de.1;.y,.la.ruta.5-7.tiene.una.capacidad.disponible.de.2.

6.. se.elige. la. ruta.1-4-6-3-5-7. En. el. tramo.6-3.se.va.en.sentido.contrario..significa.que.se.puede.restar.flujo.a.este.tramo.y.sumar.al.tramo.3-5..la.cantidad.a.restar.y.sumar.es.1,.limitada.por.la.capacidad.disponible.del.tramo.3-5.

de.esta.forma.se.ha.determinado.que.al.sistema.entran.14.000.vehículos.por.hora:.5000.por. la.ruta.1-2,.utilizando.toda.su.capacidad;.6000.por. la.ruta.1-3,.utilizando.toda.su.capacidad;.y,.3000.por. la. ruta.1-4,.utilizando.parcialmente.su.capacidad..del. sistema.salen.14.000.vehículos.por.hora:.7000.por.la.ruta.5-7.y.7000.por.la.ruta.6-7.

la.red.de.flujo.máximo.se.indica.en.la.figura.siguiente:



estudie.el.algoritmo.del.flujo.máximo.de.la.página.239.del.texto.guía.y.desarrolle.los.ejemplos.6.5-1,.6.5-2.

6.6 Actividadespropuestas

1.. resuelva.el.problema.2.de.la.serie.de.problemas.6.2a.página.217.del.texto.guía.

2.. resuelva.el.problema.2.de.la.serie.de.problemas.6.3a.página.220.del.texto.guía.

3.. resuelva.el.problema.2.de.la.serie.de.problemas.6.4b.página.231.del.texto.guía.

4.. resuelva.el.problema.3.de.la.serie.de.problemas.6.5b.página.244.del.texto.guía.

Igual que en los temas anteriores, si tiene dudas, compártalas con sus compañeros a través del correo o el foro.

7.1 Importancia

en.muchos.casos,.los.administradores.tienen.la.responsabilidad.de.planear,.programar.y.controlar.proyectos.que.constan.de.numerosas.actividades.que.son.llevadas.a.cabo.por.diversos.departamentos,.personas,.etc..con.frecuencia.estos.proyectos.son.tan.grandes.y/o.tan.complejos.que.no.es.posible.que.el.administrador.tenga.en.mente.toda.la.información.relativa.al.plan,.al.programa.y.al.avance.de.su.proyecto..en.estas.situaciones,.las.técnicas.denominadas.pert.y.cpM.han.demostrado.ser.extremadamente.valiosas.para.ayudar.a.los.administradores.en.la.responsabilidad.de.los.proyectos.

nentrada14000

7. ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOSPERT - CPM



7.2 Representacióndelared

las.reglas.para.representar.una.red.pert.se.indican.en.la.página.263.del.texto.del.texto.guía..a.continuación. le.explicamos.algunos.aspectos.adicionales.a. considerar.para. la.construcción.de.una.red.pert:

1.. una.actividad.puede.identificarse.por.un.círculo,.un.rectángulo.o.una.flecha..el.texto.utiliza.una.flecha.

2.. toda.actividad.deberá.empezar.y.terminar.en.dos.eventos.diferentes..un.evento.es.la.terminación.de.una.actividad.

3.. cuando.una.actividad.se.representa.por.flechas,.ésta.no.tiene.sentido.vectorial.

4.. existen.actividades.que.son.ficticias,.no.representan.nada,.sólo.se.las.ubica.para.completar.una.red.

7.3 Cálculodelarutacrítica

a.continuación.le.indicamos.la.simbología.en.una.red.pert.que.utilizaremos..si.usted.considera.que.la.que.presenta.el.texto.le.es.más.comprensible,.puede.utilizarla:

. a.=...el.nombre.de.la.actividad

. t..=....el.tiempo.de.duración.de.la.actividad

. es.=.tiempo.de.inicio.más.cercano.de.una.actividad

. ef.=.tiempo.de.terminación.más.cercano.de.una.actividad

. ls.=.tiempo.más.tardío.para.iniciar.una.actividad

. lf.=.tiempo.más.tardío.para.terminar.una.actividad

. 1. =.inicio.de.actividad.(evento.1)

. 2. =.fin.de.la.actividad.1.(evento.2).

con.la.forma.que.utiliza.el.Ms.project.sería:

.



normalmente.el.que.diseña.un.proyecto.conoce.de. las.actividades.necesarias.para. la.ejecución.del.mismo,.la.secuencia.y.el.tiempo.requerido.para.cada.actividad..cuando.se.conoce.con.exactitud.el.tiempo.(que.es.normal.que.esto.ocurra),.estamos.ante.el.caso.de.un.proyecto.con.tiempos.de.actividad.conocidos.

desarrollemos.de.otra.forma.el.ejemplo.6.7-2.de.la.página.272.del.texto.guía.

Actividad A.-.no.tiene.antecedente.inmediato,.tiene.un.tiempo.de.duración.de.5.días.y.esta.actividad.debe.terminar.antes.de.que.pueda.iniciarse.con.las.actividades.c.y.d..¿cuándo.puede.iniciar.esta.actividad?,.el.día.cero;.por.lo.tanto.el.es.de.la.actividad.a.es.0..¿cuándo.puede.terminar.esta.actividad.si.su.tiempo.de.duración.es.de.5.días?;.cinco.días.después,.por.lo.tanto.su.ef.es.5.

Actividad B.-.se.calcula.de.forma.similar.a.la.actividad.a

Actividad C.-. esta. exige. que. la. actividad a. se. haya. terminado,. tiene. un. tiempo. de.duración.de.3.días.y.debe.terminar.antes.de.iniciarse.con.la.actividad.e.y.f..como.inicia.después.de.que.la.actividad.a.se.haya.concluido,.el.tiempo.de.inicio.más.cercano.para.c.será.5.y.el.tiempo.de.terminación.será.3.días.más.tarde;.por.lo.tanto.esd.=.5.y.efd.=.8.

Actividad D.-. esta. exige. que. la. actividad. a. se. haya. terminado,. tiene. un. tiempo. de.duración.de.8.días.y.debe.terminar.antes.de.iniciarse.con.la.actividad.H.y.G..como.inicia.después.de.qué.la.actividad.a.se.haya.concluido,.el.tiempo.de.inicio.más.cercano.para.d.será.5.y.el.tiempo.de.terminación.será.8.días.más.tarde;.por.lo.tanto.esd=5.y.efd=.13.Actividad E.-.esta.actividad.exige.que.hayan.terminado.las.actividades.b.y.c,.su.tiempo.de.duración.es.de.2.días..la.actividad.b.termina.en.el.día.6.y.la.actividad.c.termina.en.el.día.8;.por.lo.tanto,.la.actividad.e.puede.iniciar.luego.de.que.c.termina,.es.decir.en.el.día.8..el.ese.=.8.y.el.efe.=10.

Actividad F.-.esta.exige.que.la.actividad.b.y.c.se.haya.terminado,.tiene.un.tiempo.de.duración.de.11.días..como.inicia.después.de.que.la.actividad.b.y.c.se.haya.concluido,.el.tiempo.de.inicio.más.cercano.para.f.será.8.y.el.tiempo.de.terminación.será.11.días.más.tarde;.por.lo.tanto.esf =.8.y.eff =19

Actividad G.-.esta.actividad.exige.que.hayan.terminado.la.actividad.d.y.e,.su.tiempo.de.duración.es.de.12.días..la.actividad.d.termina.en.el.día.13.y.la.actividad.e.termina.en.el.día.10;.por.lo.tanto,.la.actividad.G.puede.iniciar.luego.de.que.d.termina,.es.decir.en.el.día.13..el.ese.=.13.y.el.efe =.25.



Actividad H.-. esta. exige. que. la. actividad. d. se. haya. terminado,. tiene. un. tiempo. de.duración. de. 1. día.. como. inicia. después. de. que. la. actividad. d. se. haya. concluido,. el.tiempo.de.inicio.más.cercano.para.H.será.13.y.el.tiempo.de.terminación.será.1.día.más.tarde;.por.lo.tanto.esf.=.13.y.eff.=14.

ahora.explicamos.cómo.calcular.los.tiempos.ls.y.lf.para.el.proyecto...se.inicia.con.la.última.actividad.del.mismo.

Actividad G.-.esta.actividad.termina.el.día.25,.el.tiempo.más.tardío.para.terminar.esta.actividad.será.25..el.tiempo.de.duración.de.12.días,.por.lo.tanto.el.tiempo.más.tardío.para.iniciar.esta.actividad.será.25.menos.12,.es.decir.el.día.13.

Actividad F.-.de. forma.similar.a. la.actividad.G..Actividad H.-.de. forma.similar.a. la.actividad.f.

Actividad E.-. el. tiempo. más. tardío. para. iniciar. la. actividad. G. es. 13,. por. lo. tanto. el.tiempo.más.tardío.para.terminar.la.actividad.e.es.13..esta.actividad.tiene.una.duración.de.2.días.por.tanto.el.tiempo.más.tardío.de.inicio.será.13.menos.2,.11.días.

Actividad D..el.tiempo.más.tardío.para.iniciar.la.actividad.H.y.G.es.13.por.lo.tanto.el.tiempo.más.tardío.para.terminar.la.actividad.d.es.13..esta.actividad.tiene.una.duración.de.8.días.por.tanto.el.tiempo.más.tardío.de.inicio.será.13.menos.8,.cinco.días.

Actividad C.-.a.esta.actividad. le. siguen.dos.actividades..el. tiempo.más. tardío.para.iniciar.la.actividad.f.es.8.y.tiempo.más.tardío.para.iniciar.la.actividad.e.es.11.por.lo.tanto.el.tiempo.más.tardío.para.terminar.la.actividad.c.es.8..esta.actividad.tiene.una.duración.de.3.días.por.tanto.el.tiempo.más.tardío.de.inicio.será.8.menos.3,.cinco.días.

Actividad B.-.a.esta.actividad. le. siguen.dos.actividades..el. tiempo.más. tardío.para.iniciar.la.actividad.f.es.8.y.tiempo.más.tardío.para.iniciar.la.actividad.e.es.11.por.lo.tanto.el.tiempo.más.tardío.para.terminar.la.actividad.b.es.8..esta.actividad.tiene.una.duración.de.6.días.por.tanto.el.tiempo.más.tardío.de.inicio.será.8.menos.6,.dos.días.

Actividad A.-.a.esta.actividad. le. siguen.dos.actividades..el. tiempo.más. tardío.para.iniciar.la.actividad.c.es.5.y.tiempo.más.tardío.para.iniciar.la.actividad.d.es.5.por.lo.tanto.el.tiempo.más.tardío.para.terminar.la.actividad.a.es.5..esta.actividad.tiene.una.duración.de.5.días.por.tanto.el.tiempo.más.tardío.de.inicio.será.5.menos.5,.cero.días.

para.determinar.la ruta crítica.se.calcula.la.holgura.de.cada.actividad.de.acuerdo.a.la.siguiente.relación:

Holgura.=.ls.-.es...ó....Holgura.=.lf.-.ef



la.tabla.siguiente,.resume.las.actividades,.la.secuencia,.el.tiempo.de.duración,.el.tiempo.más.cercano.de.inicio.y.terminación.y.el.tiempo.más.tardío.de.inicio.y.terminación.y.la.holgura.de.cada.actividad..las.actividades.que.tienen.holgura.cero.forman.parte.de.la.ruta.crítica..en.el.diagrama.de.red,.estas.actividades.se.las.puede.identificar.por.un.trazo.más.grueso.

observe.que.la.ruta.crítica.calculada.a.través.del.procedimiento.que.se.describe.en.la.página.272.del.texto.guía.es.el.mismo.

Actividad AntecedenteTiempo de duración

ES EF LS LF Holgura

a --- 5 0 5 0 5 0

b --- 6 0 6 2 8 2c a 3 5 8 5 8 0d a 8 5 13 5 13 0e b-c 2 8 10 11 13 3f b-c 11 8 19 8 18 0G d-e 12 13 25 13 25 0H d 1 13 14 13 14 0


Ejercicio7.1

1.. un.proyecto.tiene.las.siguientes.actividades...el.tiempo.de.duración.y.la.secuencia.de.las.mismas.se.indica.en.el.cuadro.siguiente.

Actividad Antecedente inmediato

Tiempo de duración

ES EF LS LF Holgura

a --- 6 3

b — 5 0

c b 2 0

d c 2 0

e a,.d 2 0f d 1 17G a,d 6 1

H e 5 0

I G,H 6 0

j I 2 0K G 4 14

l j,K 3 0

M l 1 0



Lea el anuncio de esta semana y prepárese para el examen final, recuerde que el examen esta desarrollado de acuerdo a los trabajos a distancia y de los ejercicios realizados en la presente guía

a.. trazar. un. diagrama. de. red. que. ¡lustre. los. requerimientos. de. secuencia. para el conjunto.de.actividades.de.la.tabla..el.diagrama.es.el.siguiente:

b.. complete.la.tabla.anterior.

c.. ¿cuál.es.el.tiempo.de.duración.del.proyecto?..el.proyecto.tiene.una.duración.de.28.días

d.. ¿cuáles.son.las.actividades.de.la.ruta.crítica?..las.que.se.indican.en.el.diagrama.de.red.con.un.trazo.más.grueso..usted.determinará.que.son.aquellas.que.tienen.holgura.cero.

e.. ¿Qué.actividad.tiene.la.holgura.más.alta?..la.actividad.f,.tienen.17.días.de.holgura.¿Qué.actividad.tiene.la.menor.holgura?..la.actividad.G.

f.. ¿Qué. actividades. deben. demorarse. exactamente. según. lo. programado?.. las.actividades.de.la.ruta.critica.

g.. ¿cómo.afecta.a.la.duración.del.proyecto.un.retrazo.de.1.día.en.la.actividad.G?..en.nada,.ésta.puede.retrazarse.1.día..si.el.retrazo.fuera.mayor,.afectaría.a.la.duración.del.proyecto.y.a.la.ruta.crítica.

h.. ¿cuántos. días. puede. retrazarse. la. actividad. K,. sin. que. afecte. la. duración. del.proyecto?..Hasta.14.días.

i.. ¿cuántos.días.dura.el.proyecto.si.la.actividad.M.tiene.una.duración.de.5.días, se.afecta.la.ruta.crítica?..la.ruta.crítica.no.cambia,.la.duración.del.proyecto.sería.de.32.días.

.la.red.para.el.problema.planteado.es.la.siguiente:



7.5.Actividadespropuestas

1... un. proyecto. tiene. las. siguientes. actividades,. cuyos. antecedentes. inmediatos. y.tiempos.de.duración.se.dan.en.la.tabla.siguiente..para.este.proyecto,.conteste.a.las.siguientes.preguntas:

Actividad Antecedente Tiempo de duración

ES EF LS LF Holgura

a . 4

b a 8c a 4d c 3e a 7f b-d 8G b-d 3H G 61 f 2j f-H 7K G 4l e-G 6M 1-j-K 5n 1-j-K-l 20 M-n 3

a.. trazar. un. diagrama. de. red. que. ilustre. los. requerimientos. de. secuencia. para. el.conjunto.de.actividades.de.la.tabla.

b.. complete.la.tabla.anterior.

c.. ¿cuál.es.el.tiempo.de.duración.del.proyecto?.

d.. ¿cuáles.son.las.actividades.de.la.ruta.crítica?.

e.. ¿Qué.actividad.tiene.la.holgura.más.alta?.

f.. ¿Qué.actividad.tiene.la.menor.holgura?.

g.. ¿Indique. las. actividades. que. deben. demorarse. exactamente. según. lo.programado?.

resuelva.el.problema.6.de.la.serie 6.7a.(página.266)..resuelva.el.problema.8.de.la.serie 6.7a.(página.268).resuelva.el.problema.2.de.la.serie 6.7b.(página.273)..resuelva.el.problema.4.de.la.serie 6.7b.(página.273).



PREIMERBIMESTRE

4. AnálisdeDualidadydeSensibilidad

1. ActividadNo1.

a.. confirmado.

b.. todo.recurso.que.tiene.holgura.cero.tiene.un.precio.sombra.>=.0.

c.. si.un.recurso.sobra,.incrementar.más.de.él.no.tiene.sentido,.únicamente.se.incrementaría.la.cantidad.de.recurso.sobrante.por.lo.tanto.su.valor.unitario.es.cero.

d.. no.cambia,.este.incremento.está.dentro.del.intervalo.e.. cambia,.este.incremento.está.fuera.del.intervalo.

f.. cierto,.el.valor.de.cero.es.el.límite.inferior.del.intervalo.

g.. es.cierto,.el.precio.sombra.para.este. recurso.es.1.75.$/hora.x.100.horas.=.$175.

h.. no.es.verdad,.el.intervalo.de.factibilidad.para.este.recurso.es.500 <=.1000.<=.1100

i.. es.verdad,.su.precio.sombra.es.cero.y.válido.hasta.ese.valor..es.correcto.

2. ActividadNo2

. planteado.así.el.problema.usted.tiene.que.hacer.mínimos.cálculos..aparentemente.es.largo,.pero.usted.verá.que.no.

. 1....el.modelo.es.el.siguiente:

Max.u.=.900.x1.+.1.500x2.+.2200x3. .. 6x1.+..9x2.+..8x3.....<=.1.650.. .. 8x1.+11x2..+.16x3.....<=.1.920. .. 3x1.+.4x2..+.10x3.....<=.1.180

SOLUCIONARIO



2.. si.tiene.dificultad,.primero.tendría.que.escribir.la.forma.estándar..la.primea.tabla.es.la.siguiente:

CVBCj 900 1500 2200 0 0 0

Base b¡ X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 H 3

0

0

0

H 1

H 2

H3

1.650

1.920

1.180

. . . . . .6 . . . . . . .9 . . . . . . . .8 . . . . . . . . .1 . . . . . . . .0 . . . . . . .0

. . . . . .8 . . . . . .11. . . . . .16. . . . . . . .0 . . . . . . . .1 . . . . . . . .0

. . . . . .3 . . . . . . .4 . . . . . . .10. . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .1Zj 0 . . . . . .0 . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .0

‘ CJ-Zj . . . .900. . .1500. . .2200. . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . . . . .0

3.. las.siguientes.respuestas.usted.las.da.observando.únicamente.la.última.tabla..para.las.preguntas.d).y.e).tienen.que.hacer.unos.pequeños.cálculos.

a). x1.=.0;.x2.=.6;.x3.=.115;.u.=.262.000..(este.es.el.resultado.cue.se.observa.en.la.tabla,.sin.embargo.usted.haría.bien.en.decir.que.x1.=.0;

. x2=.6;.x3=115;.u.=.262000)b). los.recursos.que.se.utilizan.en.su.totalidad.son.la.mano.de.obra.y.las.horas.

de.máquina.y.el.recurso.que.sobra.es.la.materia.prima.(madera).

c). el.ps1.=.0;.ps2.=.139;.ps3.= 9.2

d). el.mayor.precio.sombra.es.139.y.que.corresponde.a.mano.de.obra.y.éste.es.válido.dentro.del.siguiente.intervalo:

H1.=665.65.+.ab2.(-1.26).....>=.0x2=....6.95.+.ab2.(0.21)......>=.0x3=.115.22+ab2.(-0.087).....>=.0

. . 665.65-1.26ab2>=.0. . 6.95+0.2lab2>=0. 115.22-0.087ab2>=.0

. . -1.26ab2>=-665.65. . 0.21ab2>=-6.95. -0.087ab2>=-115.22

. . -ab2.>=.-528.29. . ab2.>=.-33.09. . ab2.<=1324

. . ab2.<=.528.29. . . -33.09<=.a

. . (1.920.-.33.09).<=.1920.<=.(1.920.+.528.29)

. . . 1886.91 <= 1920 <= 2 447.93

. e). el.cálculo.que.tiene.que.hacerse.es.el.siguiente:



CVB

Cj 900 C 2 2200 0 0 0

Base bi X 1 X 2 X 3 H 1 H 2 H 3

0

c 2

2200

H 1

x 2

x3

665.65

6.95

115.22

. . . . -0 .43. . . . . . .0 . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . .1 . . . . -1 .26. . . . . .1 .21

. . . . .0 .6957. . . .1 . . . . . . . . .0 . . . . . . . . . .0 . . . . .0 .21. . . . . -0 .3478

. . . . .0 .0217. . . .0 . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . .0 . . . . -0 .08. . . . . .0 .2391

2j 6.95c 2.+.

253484

. . . . .0 .69c 2. . . .c 2. . . . . .2200. . . . . .0 . . . .0 .21.c 2. . . -0 .34c 2.

. . . . . . . . .+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . .+

. . . . . . .47.74. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176. . . . . . . .526cj-Zj -0.69c 2+856. .0 . . . . . . . . .0 . . . . . . . .0 . . . .176-0.21. . . .c 2

-0.6957c2.+.852.26 <=.0. ..176-0.21202<=0. . *.0.3478c2.-.526.<=.0.............-c2.<=.-.1240. ...................c2.>=.838. . . ....c2.<=1512. .c2.>=.1225. . ....838.<=.c2

.........12255.<=.c2

1225 <= 1500 <= 1512

f). no,.este.es.un.recurso.que.está.sobrando

g). la.disponibilidad.de.mano.de.obra.y.de.horas.de.máquina.

h). Incrementaría.la.mano.de.obra.porque.su.precio.sombra.en.mayor.

i). Incrementar.su.utilidad..será.parte.de.la.solución.si.su.utilidad.es.>=.1079..(este.valor.se.lo.ve.en.la.tabla,.fila.Zj.y.columna.x1).

SEGUNDOBIMESTRE

7. ModelodeTransporteysusVariantes

1. SoluciónalaactividadNo1

1). asignación.inicial.utilizando.el.método.de.costo.mínimo


planta.1 25 25

planta.2 40 40

planta.3 25 5 30

planta.extra 11 2 13

demanda 36 42 30

108

108



. costo.de.esta.primera.asignación.=.25x4.+.40x3.+.25x5.+.5x4.5.=.$.367.5

2). calculamos.los.valores.de.u,.de.v.y.el.costo.de.las.celdas.no.ocupadas.

v 1 v 2 v 3

u 1 -1.5 -2.5 4 0

u 2 -0.2 3 -1 -1 .5

u 3 5 0.2 4.5 0.5

u 4 0 0 -0.5 -4 .5

4.5 4.5 4

. . . . . . . ruta.a.se.asignada

. . . . . . . .3). nueva.asignación


planta.1 25 25

planta.2 40 40

planta.3 23 2 5 30

planta.extra 13 13

demanda 36 42 30

108

108

. costo.de.esta.primera.asignación.=.25x4.+.40x3.+.23x5.+.2x4.8.+.5x4.5.=.$367.1

4). calculamos.los.valores.de.u,.de.v.y.el.costo.de.las.celdas.no.ocupadas.

v 1 v 2 v 3

u 1 1.5 -2.5 4 0

u 2 3.2 3 -0.8 -1.3

u 3 0 4.8 4.5 0.5

u 4 0 0 -0.3 -4.3

4.5 4.3 4

. en. las. celdas. no. asignadas. no. se. encuentra. un. valor. positivo,. por. lo. tanto. la.asignación.anterior.es.la.óptima.con.un.costo.de.$.$.367.100



2. Soluciónparalaspreguntasb)yc)delaactividadNo2

b). plan.de.distribución:.p1-c3.=.25;.p2-c1.=.23;.p2-c2.=.17;.p3-c2.=.25;.p3-c3.=.5;.c).la.ciudad.1.tiene.que.comprar.13.Kw.e.incurre.en.un.costos.de.$13.000

3.. para. el. caso. a). ver. la. solución. del. texto. (página.. 885).. b). noroeste. $. 94,. costo.mínimo.$.61,.vogel.$.40;.y,.c).$.104,.$.38,.$.38,.respectivamente.

4.. $33;.b)$19.y.c).142

5.. óptimo:.1-4,.2-3,.3-2,.4-1;.costo.=.$.140

6.ModelosdeRedes

1. a). .n =.{1,2,3,4,5};.a.=.{1-2,1-3,2-5,3-4,3-5,4-2,4-5,5-1}.b).. n.=.{1,2,3,4.};.a.=.{1-2,1-3,2-3,2-4,3-4}

2.. le. damos. únicamente. la. longitud. para. cada. caso:. a). 14;. b). 21,. c). 16;. d). 20;. e).13;f)21.

3.. a. continuación. le. damos. la. longitud. de. la. ruta. para. llegar. al. nodo. de. destino.partiendo. del. nodo. 1.. puede. haber. rutas. alternativas,. pero. la. longitud. será. la.misma:.1-2.longitud.3;.1-3.longitud.1;.1-4.longitud.7;.1-5.longitud.4;.1-6.longitud.9;.1-7.longitud.11.

4.. la.respuesta.a.este.problema.la.encuentra.en.el.texto.

7. AdministracióndeProyectosPERT-CPM

1.. a.continuación.se.indica.el.diagrama.de.red.para.el.proyecto..en.él.usted.puede.ver.que.existen.3.actividades.que.se.denominan.ficticias.y.que.sólo.sirven.para.enlazar.los.nodos.dé.inicio.y.fin.de.las.actividades.

a).... red.para.el.proyecto:



b). complete. la. tabla. anterior.. las. actividades. que. tienen. holgura. cero.corresponderán.a.las.que.aparecen.en.la.red.con.un.trazo.más.grueso.

c). el.proyecto.tiene.una.duración.de.36.días.

d). las.que.se.indican.en.el.diagrama.de.red.con.un.trazo.más.grueso.

e). verifíquelo.en.el.cuadro.

f). verifíquelo.en.el.cuadro.

g). las.actividades.de.la.ruta.crítica.

2..... solución.para.el.problema.6.de.la.serie 6.7a.(página.266)..ruta.crítica:.a-c-d-f-G-H-j-l-n-s-t........

. duración:.38.días

3..... solución.para.el.problema.8.de.la.serie 6.7a.(página.268).. ruta.crítica:.Hay.cuatro.rutas.críticas.. duración:.19.días

4.. solución.para.el.problema.2.de.la.serie 6.7b.(página.273).. ruta.crítica:...a).....1-2-3-4-6-7....b).....1-4-7.(hay.dos.rutas.más). duración:.......a).....15.días..........b).....37.días

5.. solución.para.el.problema.4.de.la.serie 6.7b.(página.273).. ruta.crítica.:.1-2-3-4-6-7-8-10-11-12-13-14.. duración:.20.días

ANEXOS

El presente material ha sido reproducido con fines netamente didácticos, cuyo objetivo es brindar al estudiante mayores elementos de juicio para la comprensión de la materia, por lo tanto no tiene fin comercial.



ANEXONo1

INVESTIGACIÓNDEOPERACIONES

1.. la. investigación. de. operaciones. ó. los. métodos. cuantitativos. son. una. disciplina.que.ayuda.a.la.toma.de.decisiones.mediante.la.aplicación.de.un.enfoque.científico.a.problemas.administrativos.que.involucra.factores.cuantitativos..como.disciplina.los.métodos.cuantitativos.son.un.conjunto.completo.de.conocimientos.y.técnicas.con.fundamento.científico..ayudan.a.la.toma.de.decisiones.administrativas.

2.. Muchos.problemas.administrativos.giran.alrededor.de.factores.cuantitativos.como.cantidades. de. producción,. ingresos,. costos,. cantidades. disponibles. de. recursos.necesarios. y. otros.. al. incorporar. estos. factores. cuantitativos. en. un. modelo.matemático.y.aplicar.procedimientos.matemáticos.para.resolver.el.problema,.los.métodos.cuantitativos.brindan.una.forma.singularmente.poderosa.para.analizar.problemas.administrativos.

3.. para.las.decisiones.administrativas.se.siguen.los.siguientes.pasos

a.. situación.administrativa

b.. decisiones

c.. Implementación

d.. resultado

4.. Históricamente,. los. gerentes. han. dependido. casi. por. completo. de. su. propia.intuición. como. instrumento. primario. para. la. toma. de. decisiones.. sin. embargo,.un. administrador. que. basa. la. toma. de. decisiones. solamente. en. la. intuición. no.aprende.

5.. los. administradores. desempeñan. un. papel. importante. durante. la. abstracción,.la. formulación. del. modelo,. ‘a. interpretación. y. más. tarde,. la. ejecución. de. las.decisiones..por.eso.es.esencial.que.usted.comprenda:

a.. Qué.tipos.de.situaciones.administrativas.se.prestan.para.ser.representadas.con.modelos.

b.. cuáles.son.las.posibilidades.de.reunir.datos.y.analizar.el.modelo.con.miras.a.obtener.recomendaciones.o.resultados.(con.inversión.razonable.de.tiempo.y.dinero),.y.

c.. Qué.puede.hacer.usted.para.extraer.el.mayor.valor.posible.del.modelo.en.cuanto.a.la.interpretación.del.mismo,.y.la.puesta.en.práctica.de.la.decisión.resultante.



6.. un.pequeño.estudio.informal.de.métodos.cuantitativos.puede.realizarlo.una.sola.persona..pero.es.común.que.se.empleen.equipos.con.experiencias.diversas.para.realizar.estudios.más.avanzados.

7.. el.equipo.de.métodos.cuantitativos.seguirá.los.siguientes.paso,.(no.consecutivos).siguientes.cuanto.realice.una.investigación.sistemática.

a.. definir.el.problema.y.recolectar.datos.-.en.este.paso,.el.equipo.consultará.con.la.administración.para.identificar.con.claridad.el.problema.y.asegurar.los.objetivos.apropiados.del.estudio.

b.. formular. el. modelo. matemático.-. nosotros. conocemos. ejemplos. de.modelos;.por.ejemplo.el.plano.de.nuestra.casa,.es.un.modelo....una.ecuación.matemática. como. I. =. c. x. i.. del. mismo. modo,. el. modelo. matemático. de.un. problema. de. negocios. es. el. sistema. de. ecuaciones. y. las. expresiones.matemáticas.relacionadas.que.describen.la.esencia.el.problema....el.proceso.de.formulación.de.modelos.es.creativo..se.adquiere.experiencia.formulando.modelos.cada.vez.más.complejos..los.modelos.que.podemos.formular.para.los.problemas.planteados.en.cualquier.texto,.pueden.ser.bastantes.diferentes.a.los.que.pueden.presentarse.en.la.vida.real.

c.. resolver.el.modelo.-.existen.paquetes.de.software.para.resolver.el.modelo..un.ejemplo.es.el.solver.de.excel.cuyo.uso.se.explica.en.el.texto.guía.

d.. probar.el.modelo.-.cuando.se.tratan.modelos.que.responden.a.problemas.reales,. se. plantearán. las. siguientes. preguntas:. se. han. incorporado. con.precisión. en. el. modelo. todos. los. factores. e. interrelaciones. relevantes. del.problema?.. ¿parece. que. el. problema. brinda. soluciones. razonables?.. el.objetivo.es.ir.ajustando.el.modelo.

e.. aplicar. el. modelo.-. utilizarlo. como. sistema de. apoyo. a. la. toma. de.decisiones.

8.. los. modelos. suelen. desempeñar. diferentes. papeles. en. distintos. niveles. de. la.empresa..en.los.niveles.más.altos,.los.modelos.por.lo.común.aportan.información.en. forma. de. resultado. y. conocimientos,. pero. no. necesariamente. decisiones.recomendables..son..útiles.como.instrumentos.de.planificación.estratégica..en.los.niveles.inferiores,.los.modelos.se.usan.con.más.frecuencia.para.obtener.decisiones.recomendables.



PROGRAMACIÓNLINEAL

1.. la. administración. de. cualquier. organización. debe. tomar. decisiones. acerca. de.cómo. asignar. sus. recursos. a. diversas. actividades. para. cumplir. mejor. con. los.objetivos. organizacionales.. la. pl. es. una. poderosa. herramienta. para. resolver.problemas,. que. auxilia. a. la. administración. en. la. toma. de. decisiones.. se. aplica.tanto.a.organizaciones.lucrativas.como.en.las.no.lucrativas.y.gubernamentales..el.recurso.asignado.a.las.actividades.puede.ser,.por.ejemplo,.dinero,.distintos.tipos.de.personal,.distintos.tipos.de.maquinaria.y.equipo..las.actividades.que.requieren.esos. recursos. pueden. ser. actividades. de. producción. diversas. (la. fabricación. de.varios.productos),.actividades.de.comercialización.(anuncio.en.diferentes.medios),.actividades.financieras.(inversiones.de.capital),.etc.

2.. al.igual.que.las.otras.técnicas.de.los.métodos.cuantitativos,.la.programación.lineal.usa. un. modelo matemático. para. resolver. el. problema. que. se. estudia.. la. palabra.lineal.en.el.nombre.se.refiere.a.la.forma.de.las.expresiones.matemáticas.de.este.modelo..Programación.no.se.refiere.a.programación.en.computadora;.más.bien.es,.en.esencia,.un.sinónimo.de.planear..así,.la.programación.lineal.significa.planeacióndeactividades.representada.por.un.modelo.matemático.lineal.

3.. .los.problemas.de.pl.que.tienen.sólo.dos.variables.de.decisión,.se.pueden.resolver.por. el. método gráfico.. normalmente. los. problemas. tienen. más. de. dos. variables.de. decisión. y. que. para. resolverlos. hay. que. utilizar. el. método. símplex. o. algún.programa.software.

4.. problema.de.mezcla.de.productos.-.un.tipo.de.problemas.de.programación.lineal.donde.el.objetivo.es.encontrar.la.mezcla.más.rentable.de.los.niveles.de.producción.para.los.productos.bajo.consideración

5.. Modelo.de.programación.lineal.-.Modelo.matemático.que.representa.un.problema.de.programación.lineal.

6.. Método.gráfico.-.un.método.para.resolver.problemas.de.programación.con.dos.variables.de.decisión.en.una.gráfica.bidimensional.

7.. función.objetivo.-.la.parte.de.un.modelo.de.programación.lineal.que.expresa.lo.que.debe.maximizarse.o.minimizarse,.dependiendo.del.objetivo.del.problema.

8.. .recta.de.la.función.objetivo.-.para.un.problema.de.pl.con.dos.variables.de.decisión,.es.una.recta.cuyos.puntos.tienen.todos.el.mismo.valor.de.la.función.objetivo.

9.. . variable. de. decisión.-. se. representan. por. x1,. x2,. x3,. etc. cuyo. valor. se. quiere.determinar.al.resolver.el.modelo.



10.. restricción.-. una. limitación. sobre. los. valores. factibles. de. las. variables. de.decisión.

11.. restricción.funcional.-.una.restricción.con.una.función.de.las.variables.de.decisión.en.el.lado.izquierdo..todas.las.restricciones.en.un.modelo.de.pl.que.no.son.las.de.no.negatividad.se.llaman.restricciones.funcionales.

12.. restricción.de.no.negatividad.-.una.restricción.que.expresa.que.las.variables.de.decisión.del.modelo.tienes.que.ser.mayor.o.igual.que.cero;.ejemplo.x1.0.

13.. recta. de. restricción.-. recta. de. frontera. de. restricción.. para. un. problema. de. pl.con.dos.variables.de.decisión.es.la.línea.que.forma.la.frontera.de.las.soluciones.permitidas.por.la.restricción.

14.. parámetro.-.los.parámetros.de.un.modelo.de.programación.lineal.son.las.constantes.(coeficientes.o.lados.derechos).en.las.restricciones.y.en.la.función.objetivo..cada.parámetro.representa.una.cantidad.disponible.de.un.recurso.que.es.de.importancia.para.el.análisis.del.problema.

15.. región.factible.-..la.región.geométrica.que.contiene.todas.las.soluciones.factibles.

16.. solución.-.una.asignación.de.valores.a.las.variables.de.decisión,.sin.importar.si.la.asignación.es.buena.o.siquiera.factible.

17.. solución. factible.-. soluciones. que. en. forma. simultánea. satisfacen. todas. las.restricciones.del.modelo.de.pl.

18.. solución. no. factible.-. solución. que. viola. (no. satisface). al. menos. una. de. las.restricciones.del.modelo.de.pl.

19.. solución.óptima.-.la.mejor.solución.factible.de.acuerdo.con.la.función.objetivo.del.modelo.

20.. análisis.de.sensibilidad.-.se.refiere.a.verificar.cuan.sensible.es.la.solución.óptima.a.cambios.en.el.valor.de.algún.parámetro..se.refiere.a.determinar.el.intervalo.de.optimidad,.los.precio.sombra.de.los.recursos.y.el.intervalo.de.factibilidad..se.habla.también.de.análisis.de.post-optimidad.

21.. análisis.de.qué.pasa.si.-.análisis.que.estudia.preguntas.de.lo.que.le.ocurriría.a.la.solución.óptima.si.se.hicieran.diferentes.suposiciones.sobre.las.condiciones.futuras.del.problema.



22.. Intervalo. de. optimidad.-. también. se. conoce. como. intervalo. de. optimalidad.. el.intervalo.de.valores.de.un.coeficiente.específico.de.la.función.objetivo,.para.el.cual.la.solución.óptima.del.modelo.original.permanece.óptima.

23.. Intervalo. de. factibilidad.-. Intervalo. de. valores. para. el. lado. derecho. de. una.restricción. funcional. en. el. cual. el. precio. sombra. de. esta. restricción. permanece.válido.

24.. precio. sombra. (ps).-. el. precio. sombra. de. una. restricción. funcional. es. la. tasa. a.la. cual.el.valor.óptimo.de. la. función.objetivo.se. incrementa.por.un. incremento.unitario.en.el.lado.derecho.de.la.restricción.

25.. precio.sombra.mayor.a.cero.-.si.un.recurso.se.ha.agotado.(variable.de.holgura.igual.a.cero),.es.lógico.pensar.que.si.adquirimos.más.unidades.de.este.recurso.podemos.incrementar. la.producción.y.por. lo. tanto,.se. incrementa. la.utilidad..cuando.un.recurso.se.ha.agotado,.su.precio.sombra.es.mayor.a.cero.

26. precio. sombra. igual. a. cero.-. si. un. recurso. sobra. (variable. de. holgura. mayor. a.cero),. es. lógico. pensar. que. si. adquirimos. más. unidades. de. este. recurso. lo. que.se. incrementa. es. la. cantidad. de. recurso. sobrante,. no. podemos. incrementar. la.producción.y.por.lo.tanto,.no.se.puede.incrementa.la.utilidad..cuando.un.recurso.sobra,.su.precio.sombra.es.cero.

27.. usted.está.a.cargo.de.organizar.una.fiesta.familiar.y.se.le.da.la.siguiente.información..a.la.fiesta.asistirán.al.menos.100.personas;.el.número.de.sillas.disponibles.en.el.salón. es. como. máximo. de. 70;. del. total. de. personas. que. asistirán. por. lo. menos.50.serán.caballeros;.en.el.primer.brindis.se.servirá.una.copa.de.whisky.para.los.caballeros.y.una.copa.de.vino.para.las.damas;.en.el.bar.deben.haber.no.más.de.10.botellas.de.whisky,.por.lo.menos.20.botellas.de.agua.mineral.y.12.botellas.de.gaseosas.de.2.litros:.el.número.de.músicos.y.personal.de.servicio.será.de.20;.existe.espacio.para.parqueo.para.no.más.de.30.vehículos;.la.fiesta.debe.durar.no.más.de.5.horas.(la.fiesta.no.debe.durar.más.de.5.horas);.finalmente,.no.hay.más.de.$.1000.para.la.fiesta..preguntas:

a.. ¿para.cuántas.personas.prepara.la.comida?.

b.. ¿cuántas. personas. pueden. tener. asiento. si. se. cuenta. únicamente. con. las.sillas.existentes.en.el.salón?

c.. para.el.primer.brindis,. cuántas.copas.de.whisky.y.cuántas.de.vino.deben.prepararse?



d.. ¿cuántas.botellas.de.whisky,.cuantas.de.agua.mineral.y.cuántas.de.gaseosas.ordena.comprar.para.el.bar?

e.. ¿cuántos.invitados.pueden.parquear.fácilmente.su.vehículo?

f.. ¿cuánto.dinero.tiene.disponible.para.la.fiesta?

un.problema.de.esta.naturaleza.tiene.sus.restricciones,.entenderlas.no.es.difícil..cuál.debe.ser.su.respuesta.a.las.preguntas.anteriores?

a.. para. por. lo. menos. 120. personas.. los. músicos. y. personal. de. servicio. también.comen..si.prepara.para.130,.está.cumpliendo.la.restricción..si.lo.hace.para.100,.20.personas.se.quedarán.sin.comer.

b.. tendrán.asiento.únicamente.70.personas,.por.lo.tanto.se.tendrá.que.alquilar.por.lo.menos.30.sillas.más.

c.. deben.servirse.por.lo.menos.50.copas.de.whisky.y.50.copas.de.vino.

d.. si.compra.10.botellas.de.whisky.o.menos.está.cumpliendo.con.la.restricción..debe.comprar.20.o.más.botellas.de.agua.para.cumplir.con.la.restricción;.y,.debe.comprar.12.botellas.gaseosas.

e.. Únicamente.30.invitados.pueden.parquear.su.vehículo.

f.. puede.gastar.menos.de.$.1000.,.los.$.1000,.pero.no.más.

sentido.de.las.restricciones:

a....personas.presentes.en.la.fiesta..........120

b....sillas.existentes.en.el.salón..................70

c....sillas.que.se.tienen.que.alquilar..........30

d....copas.de.whisky.a.servirse.................50

e....copas.de.vino.a.servirse......................50

f.....botellas.de.whisky.a.comprase...........10

g....botellas.de.agua.a.comprarse.............20

h....botellas.de.gaseosas.a.comprarse.......12



Los Sacrificios siempre tienen su recompensa, así que todo lo que siembres a hora lo cosecharas en el futuro, por lo tanto no dejes pasar esta oportunidad

Éxitos y adelante

AGRADECEMOS COMUNIQUE POR ESCRITO CUALQUIER ASPECTO QUE HAYA OBSERVADO COMO NEGATIVO EN LA ATENCIÓN QUE EL PROFESOR Y LA UNIVERSIDAD EN

GENERAL LE BRINDAN

i.....vehículos.con.parqueo.seguro............30

j.....dinero.disponible.para.la.fiesta......1000

GC/mj/24-07-07/120

Programacion Lineal

Documents

Transcript of Programacion Lineal