Programación Lineal JAN

8/20/2019 Programación Lineal JAN

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PROGRAMACIÓNLÍNEAL(APLICACIÓN)

Unidad de Aprendizaje: Introduccin a !o" M#todo"Cuantitati$o"

Pro%e"or: In&' Mar&arito Caraja! uarez

A!u*na": +ioni"io Arteta Are!i Macie! Gonz,!ez -ern,ndez Nor*a E!izaet.

u"taita oto /enni%er


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Índice

Introducción 3

Fundamentos 4

Desarrollo 7

Ejemplo 8

Ejemplo del M. Simplex 13

Conclusiones !

"i#lio$ra%&a 1


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Introduccin'El si$uiente tra#ajo tiene como %in la presentación de uno de los temas mas

importantes para el al$e#ra lineal' programación lineal.

En el primer apartado se encuentra los Antecedentes, en donde se concentra

la in%ormación cla(e para el desarrollo de este tema) %ue de nuestra elección

incluir la de%inición *istórica) pr+ctica , el por-u es importante para las

ciencias económicas/administrati(as de#ido a -ue al momento de estudiar el

ejemplo presentado nos %ue m+s %+cil entender el Desarrollo de las

de%iniciones maximizar o minimizar, región factible, entre otras.Si #ien el ejemplo presentado es practico de entender no ol(idamos anexar

comentarios en esta presentación para el %+cil entendimiento de los alumnos.


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0a ro$ramación 0ineal estudia la

optimi2ación mejor utili2ación de

recursos de una %unción lineal -ue

satis%ace un conjunto restricciones

lineales de i$ualdad ,5o desi$ualdad. El

pro#lema de pro$ramación lineal %ue

conce#ido por primera (e2 por 6eor$e

". Dant2i$) alrededor de 147 cuando

utili2a#a pro#lemas de operaciones

militares. En 14 pu#licó el mtodo

simplex.

0unda*ento"


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0os modelos de pro$ramación lineal est+n construidos por los si$uientes

elementos #+sicos'

1. La $aria!e de deci"in: son las (aria#les -ue de#en de descri#ir por

completo las decisiones -ue se de#en de tomar) $eneralmente se expresan

por letras del a#ecedario con su#&ndices '

) ) ) ) ) ) ..etc

. Lo" par,*etro": son los (alores -ue descri#en la relación de

utili2ación de cada recurso , permanecen constantes para un pro#lema en

particular.

3. Re"triccione": representan las limitaciones en la utili2ación de

recursos) se expresan como %unciones matem+ticas.

4. 0uncin ojeti$a: Es una %unción matem+tica -ue se utili2a para

medir la e%ecti(idad del modelo en %unción de las (aria#les de decisión

9maximixar o minimi2ar utilidad o costos:


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De manera $eneral) un modelo de pro$ramación lineal tiene la si$uiente

estructura'

;estriccionesde utili2aciónde recursos


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>l$unas (eces se desea *a1i*izar o *ini*izar una %unción sujeta a

al$unas limitaciones o restricciones. or ejemplo) pro#a#lemente un

%a#ricantes desee maximi2ar una %unción de utilidad sujeta a restricciones

de producción -ue imponen las limitaciones so#re el uso de la ma-uinaria ,

la mano de o#ra.

?na %unción lineal en 1 , 2 tienen la %orma'

>un-ue por lo re$ular existe un numero in%inito de soluciones para el

sistema de restricciones llamadas "o!ucione" %acti!e" o punto"

%acti!e"3 la meta es encontrar una -ue sea una "o!ucin pti*a es

decir) uan -ue d el (alor m+ximo o m&nimo de la %unción o#jeti(o.

+e"arro!!o'


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Eje*p!o'?na compa@&a produce dos tipos de a#relatas' manuales , elctricos. ara su

%a#ricación) cada uno re-uiere del uso de tres ma-uinas) >) " , C. En la ta#la seproporciona la in%ormación relacionada con la %a#ricación de dic*os art&culos.Cada a#relatas manual re-uiere del uso de la ma-uina > durante *oras) de lama-uina " por 1 *ora , dela ma-uina C otra *ora. ?n a#relatas elctricore-uiere de 1 *ora de la ma-uina >) *oras de la " , 1 *ora de la C. >dem+ssupon$a -ue el numero m+ximo de *oras disponi#les por mes para el uso de las

ma-uinas >) " , C es de 18!) 1A! , 1!!) respecti(amente. 0a utilidad por una#relatas manual es de B4 , por uno elctrico es de BA. Si la compa@&a (endetodos los a#relatas -ue puede producir) cu+ntos de cada tipo de#e %a#ricar conel %in de maximi2ar la utilidad mensual

Ma4uina

"

Manua! E!#ctrico -r"

di"poni!e" > * 1 * 18!

" 1 * * 1A!

C 1 * 1 * 1!!

Uti!idad5

unidad

B4 BA


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Considere -ue , denota el numero de a#relatas manuales , elctricos)respecti(amente) %a#ricados en un mes. Como el nmero de art&culosproducidos no es ne$ati(o)

,ara la ma-uina >) el tiempo necesario para tra#ajar so#re a#relatasmanuales es *oras) , el tiempo para tra#ajar so#re elctricos es de *oras.0a suma de estos tiempos no puede ser ma,or -ue 18!) de modo -ue

De manera similar) las restricciones para las m+-uinas " , C dan

,0a utilidad es una %unción de , , est+ dada por la función de utilidad

En resumen) se desea *a1i*izar la función objetivo

Sujeta a condiciones de -ue , de#en ser soluciones del sistema derestricciones'


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0a re$ión -ue satis%ace de manera simultanea a todas las restricciones se

llama Re&in 0acti!e'

Si x= ! y= 18!Si y= ! x=90

Si x= ! y=8!Si y= ! x= 1A!

Si x= ! y= 1!!

Si y= ! x= 1!!

!0,"0#

D!0,0#

$!90,0#

A.

"

A ! % 0 ,& 0 #

' ! " 0 ,(

0 #


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Si una re$ión %acti#le puede estar contenida dentro de un circulo) se

denomina entonces re&in %acti!e acotada' De otra manera es no

acotada' Cuando una re$ión %acti#le contiene al menos un punto) se

dice -ue no e" $ac6a7 en caso contrario es $ac6a'

?na %unción lineal de%inida so#re una re$ión %acti#le acotada no (ac&a)

tiene un (alor m+ximo m&nimo -ue puede encontrarse en un (rtice.


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Con A(40,60)

)= *&0+ &0=-(0

Con B(80,20)

)= (0+*(0=%%0

Con C(90,0)

)= &0

Con D(0,0) )= 0

Con E(0,80)

)=%"0

0a solución óptima para un pro#lema de

pro$ramación lineal est+ dada por el (alor

óptimo de la %unción o#jeti(o , el punto

donde ocurre dic*o (alor.


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Eje*p!o de! M#todo

i*p!e1:;esol(er el si$uiente pro#lema'

Maximi2ar = f!x

*,x

( # = x

*+ (x

(

Sujeto a' (x * + x ( / *"

(x * + x ( / %(

x * + x ( / (%

x * 0 , x ( 0


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Se consideran los si$uientes pasos'

8' Con$ertir !a" de"i&ua!dade" en i&ua!dade":

Se introduce una $aria!e de .o!&ura por cada una de las

restricciones) este caso s*, s(, s para con(ertirlas en i$ualdades ,

%ormar el sistema de ecuaciones estandar.

?sando en simplex el si$uiente criterio'

Si$no' Introducir

/ sn


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F;M> ESG>;'

(x * + x ( + s* = *"

(x * + x ( + s( = %(

x *

+ x (

+ s

= (%

. I$ualar la %unción o#jeti(o a cero ,

despues a$re$ar la (aria#les de

*ol$ura del sistema anterior'

1 x *

1 ( x (

= 0

ara este caso en particular la %uncion o#jeti(o ocupa la ultima %ila del

ta#lero) pero de pre%erencia siempre se de(era de colocar como la primer

%ila

Cuando minimi2amos se toma el (alor H positi(o de Fo para

con(ertirlo en ne$ati(o , cuando maximi2amos tomamos el (alor H

ne$ati(o de Fo para con(ertirlo en positi(o.


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9' E"criir e! ta!ero inicia! "i*p!e1:

En las columnas aparecer+n todas las (aria#les del pro#lema ,) en

las %ilas) los coe%icientes de las i$ualdades o#tenidas) una %ila para cada

restricción , la ltima %ila con los coe%icientes de la %unción o#jeti(o'

Iteración


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;esultado de Iteración


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Ga#lero Final

"ase aria#le de

decisión

aria#le de *ol$ura Solución

J1

J

S1

S

S3

J

! 1 /15 ! ! 1

S3

! ! /754 ! 1 3

J1

1 ! /354 ! ! 3

L ! ! N54 ! ! 33


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Como todos los coe%icientes de la %ila de la %unción o#jeti(o son

positi(os) *emos lle$ado a la solución óptima.

0os solución óptima (iene dada por el (alor de L en la columna de

los (alores solución) en nuestro caso' 33.


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Conc!u"ione"Este tema tiene su importancia para esta carrera resumida en dos

pala#ras' *a1i*izar o *ini*izar3 la aplicación m+s comn de

los mtodos de pro$ramación lineal es la a"i&nacin de

recur"o") cuando los recursos son limitados , *a, un manejo de

candidatos compitiendo por el uso de dic*os recursos con el

o#jeti(o de maximi2ar el retorno o minimi2ar los costos entre

otros.

Sin em#ar$o) en cual-uier pro#lema con un modelo matem+tico -ue

cumpla con las si$uientes caracter&sticas , las suposiciones de

pro$ramación lineal.


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i!io&ra%6aOaeussler) E. aul) ;. P. Qood) ;.

!!8. Matem+ticas para

>dministración , Econom&a.

*(a. dición) Edt. rentice/Oall.

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