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COLEGIO : ROSA GATTORNO CUARTO DE SECUNDARIA PROFESOR: DAVID PACOSILLO

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PROGRESIONES SUCESIÓN. Una sucesión es un conjunto ordenado de números formados de acuerdo a una ley dada. SERIE. Se denomina serie a la suma de términos consecutivos de una sucesión. PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.). Se dice que una sucesión de números están en progresión aritmética cuando cada uno de sus términos es igual al anterior más una cantidad constante llamada diferencia aritmética. Una sucesión 𝑎1 ,𝑎2 ,𝑎3 ,… ,𝑎𝑛−1 ,𝑎𝑛 es una progresión aritmética si hay un número real "d" tal que para todo entero positivo "𝑖"

𝑎𝑖+1 = 𝑎𝑖 + 𝑑 El número 𝑑 = 𝑎𝑖+1 − 𝑎𝑖 se conoce como diferencia aritmética de la progresión. Tipos de progresiones aritméticas.

- P.A. Finita, son aquellas que tienen un número finito de términos. - P.A. Infinita, son aquellas que tienen un número infinito de términos. - P.A. Crecientes (𝒅 > 0), cuando cada termino es mayor que el anterior. - P.A. Constantes o triviales (𝒅 = 𝟎), cuando tienen todos sus términos iguales. - P.A. Decrecientes (𝒅 < 0), cuando cada termino es menor que el anterior.

Termino general de una progresión aritmética. El termino de lugar "𝑛" de una progresión aritmética (termino n’ésimo) está dada por la expresión

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Ejemplo 1. Una progresión aritmética se compone de 20 términos. La diferencia es 4 y el último término vale 63. ¿Cuánto vale el noveno término?

Datos: 𝑛 = 20 𝑑 = 4 𝑎20 = 63 𝑎9 = ?

Solución: Recordemos 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 para el vigésimo termino tendremos:

𝑎20 = 𝑎1 + (20 − 1)𝑑

63 = 𝑎1 + 19 4 → 𝑎1 = −13

y para el noveno termino: 𝑎9 = 𝑎1 + (9 − 1)𝑑

𝑎9 = −13 + 8 4 → 𝑎9 = 19

El noveno termino es 19

Ejemplo 2. En una progresión aritmética el tercer término es igual a cuatro veces el primero, y el sexto término es 17. Halle el decimo termino y escriba la progresión.

Datos: 𝑎3 = 4𝑎1 𝑎6 = 17 𝑎10 = ? 𝑃.𝐴. ?

Solución: Recordemos 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 para el tercer término tenemos

𝑎3 = 𝑎1 + (3 − 1)𝑑 4𝑎1 = 𝑎1 + 2 𝑑 → 3𝑎1 − 2𝑑 = 0


2

para el sexto término 𝑎6 = 𝑎1 + (6 − 1)𝑑

17 = 𝑎1 + 5 𝑑 → 𝑎1 + 5𝑑 = 17 con las dos ecuaciones formamos el sistema

1 (2)

3𝑎1 − 2𝑑 = 0

𝑎1 + 5𝑑 = 17

resolviendo el sistema

(+)

3𝑎1 − 2𝑑 = 0

𝑎1 + 5𝑑 = 17

−3

Reemplazando en (1) 3𝑎1 − 2𝑑 = 0

3𝑎1 − 2(3) = 0

𝑎1 = 2

−17𝑑 = −51 𝑑 = 3

hallemos el termino 10

𝑎10 = 𝑎1 + (10 − 1)𝑑

𝑎10 = 2 + 9 3 → 𝑎10 = 29

El decimo término es 29 La progresión es de la forma:

𝑎1 , 𝑎1 + 𝑑 , 𝑎1 + 2𝑑 , 𝑎1 + 3𝑑 ,… 2 , 2 + 3 , 2 + 2 3 , 2 + 3 3 ,…

2 , 5 , 8 , 11 ,… La progresión es 2 , 5 , 8 , 11 , …

Suma de los términos de una progresión aritmética ( 𝑺𝒏 ). Si 𝑎1 ,𝑎2 ,𝑎3 ,… ,𝑎𝑛−1 , 𝑎𝑛 es una progresión aritmética con diferencia "𝑑" , entonces la suma de los "𝑛" primeros términos, está dada por:

𝑆𝑛 =𝑛

2 𝑎1 + 𝑎𝑛 o 𝑆𝑛 =

𝑛

2 2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑

Ejemplo 3. En la progresión aritmética 3 , 7, 11 , 15 ,… calcular el termino de lugar quince y la suma de los primeros quince términos. Solución: Notemos de la progresión que 𝑎1 = 3 y 𝑎2 = 7 la diferencia se puede determinar con la expresión 𝑑 = 𝑎2 − 𝑎1

𝑑 = 7 − 3 = 4 Recordemos 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 para el quinceavo término:

𝑎15 = 𝑎1 + (15 − 1)𝑑

𝑎15 = 3 + 14 4 → 𝑎15 = 59

El termino de lugar quince es 59

Para calcular la suma empleemos la formula 𝑆𝑛 =𝑛

2(𝑎1 + 𝑎𝑛)

para los primeros quince términos

𝑆15 =15

2(𝑎1 + 𝑎15)


3

𝑆15 =15

2 3 + 59 → 𝑆15 = 465

La suma de los primeros quince términos es 465

Ejemplo 4. En la progresión aritmética: -5 , 1 , 7 , 13 ,… ¿Cuántos términos deben tomarse para que la suma sea 1403? Solución: Notemos de la progresión que 𝑎1 = −5 y 𝑎2 = 1 La diferencia se puede determinar con la expresión 𝑑 = 𝑎2 − 𝑎1

𝑑 = 1 − (−5) = 6

Recordemos 𝑆𝑛 =𝑛

2(2𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 )

Reemplazando los valores hallados y la suma

1403 =𝑛

2 2(−5) + (𝑛 − 1)6

1403 = 𝑛 3𝑛 − 8

3𝑛2 − 8𝑛 − 1403 = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado por el método de Aspa simple, tenemos

3𝑛2 − 8𝑛 − 1403 = 0 𝑛 − 23 3𝑛 + 61 = 0 𝑛 − 23 = 0 → 𝑛 = 23

3𝑛 + 61 = 0 → 𝑛 = −61

3

𝑛 − 23 → −69𝑛 3𝑛 61 → 61𝑛

− 8𝑛 No tomamos en cuenta la raíz negativa ya que “𝑛” debe ser un numero natural

Se deben tomar 23 términos

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.). Se dice que una sucesión de números están en progresión geométrica cuando cada uno de sus términos es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante llamada razón geométrica.. Una sucesión 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 ,… , 𝑡𝑛−1 , 𝑡𝑛 es una progresión geométrica si 𝑡1 ≠ 0 y si hay un número real "𝑟 ≠ 0" tal que para todo entero positivo "𝑖"

𝑡𝑖+1 = 𝑡𝑖 ∙ 𝑟

El número 𝑟 =𝑡𝑖+1

𝑡𝑖 se conoce como razón geométrica de la progresión.

Tipos de progresiones geométricas. - P.G. Finita, son aquellas que tienen un número finito de términos. - P.G. Infinita, son aquellas que tienen un número infinito de términos. - P.G. Crecientes (𝒓 > 1), cuando cada termino es mayor que el anterior. - P.G. Constantes o triviales (𝒓 = 𝟏), cuando tienen todos sus términos iguales. - P.G. Decrecientes (𝟎 < 𝒓 < 1), cuando cada termino es menor que el anterior. - P.G. Oscilante (𝒓 < 0), cuando los términos se van alternando entre positivos y negativos. Termino general de una progresión geométrica. El termino de lugar "𝑛" de una progresión geométrica (termino n’ésimo) está dada por la expresión

𝑡𝑛 = 𝑡1 ∙ 𝑟𝑛−1


4

Ejemplo 5.

El tercer término de una progresión geométrica es 16 y el octavo es 2

1 . Escriba la progresión.

Datos: 𝑡3 = 16

𝑡8 =1

2

𝑃.𝐺. ?

Solución: Recordemos 𝑡𝑛 = 𝑡1 ∙ 𝑟

𝑛−1 Para el octavo término

𝑡8 = 𝑡1 ∙ 𝑟8−1 →

1

2= 𝑡1 ∙ 𝑟

7

Para el tercer término tenemos 𝑡3 = 𝑡1 ∙ 𝑟

3−1 → 16 = 𝑡1 ∙ 𝑟2

Con las dos ecuaciones formamos el sistema

1 (2)

𝑡1 ∙ 𝑟

7 =1

2

𝑡1 ∙ 𝑟2 = 16

Resolviendo el sistema

()

𝑡1 ∙ 𝑟

7 =1

2𝑡1 ∙ 𝑟

2 = 16

Reemplazando en (2) 𝑡1 ∙ 𝑟

2 = 16

𝑡1 ∙ 1

2

2

= 16

𝑡1 = 64

𝑟5 =1

32

𝑟 =1

2

La progresión es de la forma: 𝑡1 , 𝑡1 ∙ 𝑟 , 𝑡1 ∙ 𝑟

2 , 𝑡1 ∙ 𝑟3 ,…

64 , 64 1

2 , 64

1

2

2

, 64 1

2

3

,…

64 , 32 , 16 , 8 ,… La progresión es 64 , 32 , 16 , 8 , …

Ejemplo 6. Encontrar el termino central de la siguiente progresión 6 , 18 , … , 13122 , 39366 Solución.

Calculemos el número de términos de la progresión ya que tenemos 𝑡1 = 6 , 𝑟 =18

6= 3 y 𝑡𝑛 = 39366

𝑡𝑛 = 𝑡1 𝑟𝑛−1 → 39366 = 6 ∙ (3)𝑛−1 → (3)𝑛−1 = 6561 Para despejar “n” apliquemos logaritmos

ln 3𝑛−1 = ln 6561 → 𝑛 − 1 ln 3 = ln 6561 → 𝑛 − 1 = 8 → 𝑛 = 9 Como hay 9 términos el del centro es el quinto.

𝑡5 = 𝑡1 𝑟5−1 = 6 (3)4 = 486 El termino central es 486

Suma de los términos de una progresión geométrica ( 𝑺𝒏 ). Si 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 ,… , 𝑡𝑛−1 , 𝑡𝑛 es una progresión geométrica de razón "𝑟 ≠ 1" , entonces la suma de los "𝑛" primeros términos, está dada por:

𝑆𝑛 = 𝑡1

1 − 𝑟𝑛

1 − 𝑟


5

Ejemplo 7. La suma de los 3 primeros términos de una progresión geométrica es 26 y la suma de los 6 primeros términos es 728. Hallar el quinto término.

Datos: 𝑆3 = 26 𝑆6 = 728 𝑡5 = ?

Solución:

Recordemos 𝑆𝑛 = 𝑡1 ∙1−𝑟𝑛

1−𝑟

Sumando los primeros seis términos

𝑆6 = 𝑡1 ∙1 − 𝑟6

1 − 𝑟 → 728 = 𝑡1 ∙

1 − 𝑟6

1 − 𝑟

Sumando los primeros tres términos

𝑆3 = 𝑡1 ∙1 − 𝑟3

1 − 𝑟 → 26 = 𝑡1 ∙

1 − 𝑟3

1 − 𝑟

Con las dos ecuaciones formamos el sistema

1 (2)

𝑡1 ∙

1−𝑟6

1−𝑟= 728

𝑡1 ∙1−𝑟3

1−𝑟= 26

Resolviendo el sistema

()

𝑡1 ∙1 − 𝑟6

1 − 𝑟= 728

𝑡1 ∙1 − 𝑟3

1 − 𝑟= 26

Factorizando por aspa. 𝑟6 − 28𝑟3 + 27 = 0 𝑟3 − 27 𝑟3 − 1 = 0

𝑟3 − 27 = 0 → 𝑟 = 3 𝑟3 − 1 = 0 → 𝑟 = 1

𝑟 no puede ser uno ya que tendríamos que dividir por cero, entonces 𝑟 = 3 Reemplazando en (2)

𝑡1 ∙1 − 𝑟3

1 − 𝑟= 26

𝑡1 ∙1 − 33

1 − 3= 26 → 𝑡1 = 2

1 − 𝑟6

1 − 𝑟3= 28

1 − 𝑟6 = 28 − 28𝑟3

𝑟6 − 28𝑟3 + 27 = 0

Hallemos el quinto término 𝑡𝑛 = 𝑡1 ∙ 𝑟

𝑛−1 𝑡5 = 𝑡1 ∙ 𝑟

5−1 → 𝑡5 = 2 ∙ 34 → 𝑡5 = 162 El quinto término es 162

Suma de los términos de una progresión geométrica infinita. Si 𝑡1 , 𝑡2 , 𝑡3 ,… es una progresión geométrica infinita de razón " − 1 < 𝑟 < 1" , entonces la suma de sus términos, está dada por:

𝑆 =𝑡1

1 − 𝑟

Ejemplo 8. Encuentre un número racional que corresponde a 1,255555555…


6

Solución. El número

1,25555… = 1 + 0,2 + 0,05 + 0,005 + 0,0005 + 0,00005 + ⋯

= 1 +2

10+

5

100+

5

1000+

5

10000+

5

100000+ ⋯ (𝛼)

Notemos que desde el tercer término en adelante tenemos una serie que corresponde a una progresión

geométrica infinita cuyo primer término es 𝑡1 =5

100 , calculemos su razón.

𝑟 =

51000

5100

=1

10

Con estos resultados calculemos la suma infinita

𝑆 =𝑡1

1 − 𝑟 → 𝑆 =

5100

1 −1

10

=

5100

910

=50

900=

5

90=

1

18

Reemplazando en (𝛼)

1,25555 … = 1 +2

10+ 𝑆 = 1 +

1

5+

1

18=

90 + 18 + 5

90=

113

90

∴ 𝟏,𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓… =𝟏𝟏𝟑

𝟗𝟎

Ejemplo 9. El segundo término de una progresión aritmética es 14 y el tercero es 16. Se pide construir una progresión geométrica tal que su razón sea igual a la diferencia de la progresión aritmética y la suma de los tres primeros términos sea igual en ambas progresiones. Solución: La progresión aritmética tendría la siguiente forma:

𝑃.𝐴. ∶ 𝑎 , 14 , 16 ,… La progresión geométrica cuya razón es la diferencia debe tener la forma:

𝑃.𝐺. ∶ 𝑡 , 𝑡𝑑 , 𝑡𝑑2 ,… Podemos calcular la diferencia y el primer termino de la progresión aritmética

𝑑 = 14 − 𝑎 = 16 − 14 → 𝑑 = 2 y 𝑎 = 12 Sabemos que sumando los tres primeros términos en ambas progresiones se tiene el mismo resultado

𝑎 + 14 + 16 = 𝑡 + 𝑡𝑑 + 𝑡𝑑2 Reemplazando datos se tiene

12 + 14 + 16 = 𝑡 + 𝑡 ∙ 2 + 𝑡 ∙ 4 → 7 ∙ 𝑡 = 42 → 𝑡 = 6 Entonces la progresión geométrica será

𝑡 , 𝑡𝑑 , 𝑡𝑑2 ,… 6 , 6 ∙ 2 , 6 ∙ 4 ,…

6 , 12 , 24 ,… La progresión geométrica es 6 , 12 , 24 , …

Ejemplo 10. Tres números naturales forman una progresión geométrica. Si se disminuye el tercero en 64, entonces los tres números que quedan están en progresión aritmética. Si a continuación se disminuye en 8 el segundo número de esta progresión aritmética se vuelve a obtener una progresión geométrica. Determinar los tres números iníciales.


7

Solución: Sean los tres números iníciales:

𝑃.𝐺. ∶ 𝑡 , 𝑡 𝑟 , 𝑡 𝑟2 Disminuyendo 64 al tercer numero tenemos:

𝑃.𝐴. ∶ 𝑡 , 𝑡 𝑟 , 𝑡 𝑟2 − 64 → 𝑡 𝑟 − 𝑡 = 𝑡 𝑟2 − 64 − 𝑡 𝑟 → 𝑡 =64

𝑟2 − 2𝑟 + 1 (1)

Si ahora disminuimos en 8 al segundo número se tiene:

𝑃.𝐺. ∶ 𝑡 , 𝑡 𝑟 − 8 , 𝑡 𝑟2 − 64 → 𝑡 𝑟 − 8

𝑡=

𝑡 𝑟2 − 64

𝑡 𝑟 − 8 → 𝑡 =

4

𝑟 − 4 (2)

Igualando los últimos resultados 64

𝑟2 − 2𝑟 + 1=

4

𝑟 − 4 → 𝑟2 − 18𝑟 + 65 = 0 → 𝑟 − 13 𝑟 − 5 = 0 → 𝑟 = 13 y 𝑟 = 5

Reemplazando estos resultados en (2) Para 𝑟 = 13

𝑡 =4

13 − 4 → 𝑡 =

4

9

Para 𝑟 = 5

𝑡 =4

5 − 4 → 𝑡 = 4

Como los números deben ser naturales debemos tomar 𝑡 = 4 y 𝑟 = 5 Finalmente, reemplazando en la primera progresión

𝑡 , 𝑡 𝑟 , 𝑡 𝑟2 4 , 4 ∙ 5 , 4 ∙ 52

4 , 20 , 200 Los números iníciales son 4 , 20 , 200

PRÁCTICA

1. En la progresión aritmética 3, 5, 7,… calcular el termino de lugar doce y la suma de los primeros 15 términos. Rpta: 25, 255

2. El tercer término de una progresión aritmética es 2 y el noveno término es 17. Hallar la diferencia y el término de lugar quince.

Rpta: 5/2, 32 3. En la siguiente progresión aritmética , , , ...x y x x y . Hallar la suma de los 6 primeros términos.

Rpta: yx 96

4. ¿Cuántos números entre 10 y 200 son múltiplos de 7? Determinar su suma.

Rpta: 27, 2835

5. El noveno término de una progresión aritmética es igual a cuatro veces el cuarto término, y el séptimo término es 7. ¿Calcular el primer termino y la suma de los primeros 13 términos? Rpta: -2, 91

6. En una progresión aritmética se conoce: 3 6 57a a y

5 10 99a a . Hallar la diferencia y el primer

término. Rpta: 1 4; 7a d

7. La suma de n términos de la progresión 2, 5, 8, … es 950. Hallar .n Rpta: 25.


8

8. ¿Cuántos términos de la progresión aritmética: -11 , -4 , 3 , 10 , … hay que sumar para que el resultado sea

570 ? Rpta: 15 9. Encontrar la suma de todos los múltiplos de 5 que están entre 1014 y 2014.

10.Hallar la diferencia y la suma de los primeros diez términos de la siguiente progresión aritmética

ln 3 , ln 9 , ln 27 , ln 81 ,… Rpta: 𝑑 = ln 3 , 𝑆10 = ln 355

11.Hallar la suma de todos los números naturales pares de tres cifras, múltiplos de tres y que sean menores a 200 Rpta: 2550

12. Hallar el termino central de la siguiente progresión 38, 44, 50, … sabiendo que tiene 47 términos. Rpta: 176

13.La suma de tres números en progresión aritmética es 24 y su producto es 440. Hallar estos números. Rpta: 5, 8 , 11

14. Los lados de un triángulo rectángulo están en progresión aritmética de diferencia 3. Hallar el perímetro y el área de dicho triangulo. Rpta: 𝑃 = 36 ,𝐴 = 54

15. Hallar los tres ángulos de un triangulo rectángulo, sabiendo que dichos ángulos forman una progresión aritmética. Rpta: 30°, 60° y 90°.

16.Si 2𝑛 , 22𝑛−1 , 16 están en P.G. Hallar la suma de estos números. Rpta: 28

17.Intercalar tres medios geométricos entre los números 1 y 256. Rpta: 4, 16, 64

18.Sumar los términos comprendidos entre el tercero y el vigésimo lugar de la progresión geométrica: 8, 4, 2, … Rpta: 4

19.En la progresión geométrica 256, 384, 576, … la suma de sus “n” primeros términos es 19171 calcular el número de términos. Rpta: 9

20.Hallar cuatro números en progresión geométrica tales que la suma de los extremos valga 27 y el producto de los medios es igual a 72. Rpta: 24, 12, 6, 3

21.Tres números forman una progresión geométrica. Su suma vale 126 y su producto 13824. Hallarlos. Rpta: 6, 24, 96.

22.Determinar el valor de “k” de modo que 2k+2, 5k-11, 7k-13 formen una progresión geométrica. Rpta: 7, 21/11

23.La suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica es igual a 9 veces la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón. Rpta: 2

24.Calcular la suma de todos los términos de la progresión infinita: 0,3 ; 0,15 ; 0,075 ; … Rpta: 0,6

25.Encuentre un número racional que corresponde a 1,233333333… Rpta: 37/30


9

26.La suma de tres números en progresión geométrica es 70; si se multiplican los dos extremos por 4 y el intermedio por 5, los resultados están en progresión aritmética. Hallar los números.

Rpta: 40, 20, 10 27.Hallar el valor de sumar los 100 primeros términos en la siguiente serie.

S = 3 – 2 + 5 – 4 + 7 – 6 + 9 – 8 + …. Rpta: 50

28.Cuantos términos debo sumar en la siguiente serie para que el resultado obtenido sea 1395.

S= 4 – 1 + 9 – 3 + 14 – 5 + 19 – 7 + 24 – 9+… Rpta: 60

29.Una persona deja caer una pelota de hule desde una altura de 1,7[m]. Si en cada rebote la

altura máxima se reduce a la tercera parte, determinar la trayectoria total recorrida por la pelota hasta detenerse.

Rpta: 3,4[m]

30.Hallar el tiempo que se empleara en saldar una deuda de 880 Bs. pagando 25 Bs. el primer mes, 27 Bs. el segundo mes, 29 Bs. el tercer mes y así sucesivamente. Rpta: 20 meses.

31.Una expedición avanza 20km el primer día, de ahí en adelante, cada día avanza 4km más que el día anterior. ¿Cuántos días demorara en avanzar 504km? Rpta: 504km.

32.La dosis de un medicamento es 100mg el primer día y 5mg menos cada uno de los siguientes. El enfermo tomo 870mg durante todo el tratamiento. ¿Cuánto tiempo duro todo el tratamiento? Rpta: 12 días

33.Una persona que estaba de vacaciones gastó 100 $ el primer día y en cada uno de los siguientes 5 $ menos que el anterior. El dinero le duro 20 días. ¿Cuánto dinero llevo para sus vacaciones? Rpta: 1050 $

34.El año 1986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra, a la que se acerca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que nos visitaba desde que el astrónomo Edmund Halley lo descubrió.

a) ¿En qué año fue descubierto? Rpta: 1758 b) ¿Cuándo será visto en el siglo XXI? Rpta: 2062

35.Una persona comunica un secreto a otras tres. Diez minutos después cada una de ellas lo han comunicado a otras tres y cada una de estas a otras tres nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas? Rpta: 797160 personas

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