PROPAGACION DE HACES GAUSSIANOS UTILIZANDO LA TRANSFORMADA DE FOURIER DE ORDEN FRACCIONAL

ResumenLa forma de la ecuación de propagación de haces Gaussianos que viajan a través de sistemasópticos paraxiales tipo ABCD ( Análisis de la transferencia de matrices del rayo) es obtenidautilizando el formulismo de la transformación de Fourier de orden fraccional, y sus ventajas deaplicación son estudiadas con ejemplos numéricos.

IntroduccionLa transformada fraccional de Fourier (FRFT) se interpreta como una generalización de latransformación convencional de Fourier y fue utilizada originalmente en relación a la teoría deGrupos y la mecánica cuántica. En 1993, Mendlovic, Ozaktas, Lohmann y Pellat Finnet la introducenen la óptica y dan la interpretación de las definiciones de la FRFT desde el punto de vista de la ópticafísica. Una definición esta basada en los modos de Hermite–Gauss y puede ser implementada en unmedio de gradiente de índice (GRIN). El otro esta basado en la rotación de la función de distribuciónde Wigner de la señal de entrada por cierto ángulo y puede ser implementado por medio de losmontajes conocidos como canónicos de Lohmann tipo I y tipo II.

La FRFT ha llegado a ser un tópico de gran interés debido a sus potenciales aplicaciones en la óptica,procesamiento de señales y procesamiento de materiales con láser. La situación particular depropiedades de propagación de los haces de luz a través de sistemas ópticos tipo ABCD se hacomenzado a estudiar recientemente, sin embargo se conoce poco sobe las propiedades depropagación de la luz que pasan a través de los sistemas que implementan una FRFT. Tambiénrecientemente, algunos parámetros muy útiles son introducidos para caracterizar la calidad del hazláser y la forma o aplanamiento del mismo. El propósito de este articulo es estudiar las propiedadesde propagacion de los haces Gaussianos que viajan a traves de sistemas opticos.

Formula de Collins y transformada de Fourier de orden fraccionalLa formula de la difracción de Collins en el dominio espacial que describe la relación entreamplitud compleja de entrada U A (ξ,η) y de salida U p (u, v) puede ser escrita como:

Cuando se ilumina el plano U A (ξ,η) con una onda esférica de radio R1/A > 0 , la ecuación (1) esprecisamente una Transformación de Fourier de Orden Fraccional dada por:

Donde:

Una relacion de la transformacion Fraccional de Fourier ℑ𝛼de orden 𝑛𝛼 entre la amplitudcompleja del campo de salida U p (u, v) y la amplitud compleja del campo de entrada UA(ξ,η)puede ser obtenida con ∞ =

𝜋

2𝑛𝛼. ( α = Parámetro real). Si en la ecuación (2), R → ∞ la

superficie esferica se puede considerar como un plano infinito obteniendo la expresion:

La cual es una expresion para ondas planas y en donde la Transformada de Fourier usualcorresponde a ∞ =

𝜋

2. Se observa que:

Transformada fraccional de Fourier para haces GaussianosAsumiendo una fuente monocromática casi estacionaria representada por E(ξ,η). La FRFT de E(ξ ,η) es obtenida por los sistemas ópticos mostrados en la figura.

Montajes canónicos tipo LohmannEn la situacion particular del montaje canonico tipo I, los valores correspondientes a los

elementos de la matriz transferencia de rayos (MTR) 𝐴 = 𝐷 = 1 −𝑑

𝑓, 𝐵 = 2𝑑 −

𝑑2

𝑓y 𝐶 = −

1

𝑓,

la condicion para propagacion de la distribucion de Amplitud compleja sobre superficies planasconduce a 𝑑 = (1 − cos𝛼)𝑓 Por consiguiente:

Propagación de haces GaussianosSi se considera una función Gaussiana de la forma:

Si se introduce esta expresión en el resultado obtenido para la propagación de haces Gaussianosen el numeral anterior, teniendo en cuenta la invariancia de este tipo de haces ante latransformada fraccional de Fourier, después de una adecuada manipulación de la ecuación (6) seobtiene finalmente que:

ResultadosLos resultados obtenidos mediante la expresión (8) ponen de manifiesto la relación existenteentre la Gaussiana colocada en el plano de entrada y la consecuente distribución de amplitudcompleja de salida, que también corresponde a una Gaussiana; algunas de las simulacionesnuméricas obtenidas son mostradas en la figura.

Gaussianas de entrada y de salida del sistema óptico y sus

respectivos perfiles para el orden fraccional de Fourier de 0.4.