Funciones de red

Propiedades de la función de red

Una función de red es la transformada de Laplace de la respuesta al impulso. Si formamos

la razón de dos polinomios de variable compleja s.

Polinomio de una variable compleja

Un polinomio p(s) se dice que es par si la suma de las potencias es par y se dice que es impar si la suma de las potencias es impar.Si M(s) es un polinomio par y N(s) es un polinomio impar, entonces

M(s) = M(-s)

N(s) = - N(-s)

Consideremos un polinomio p(s) dado por

p(s) = a0 + a1s + a2s2 + a3s3 + a4s4 + a5s5 +

En el cual podemos agrupar en los términos par e impar

p(s) = M(s) + N(s)

Tenemos también

p(-s) = M(-s) + N(-s) = M(s) – N(s)

1.

donde denota al complejo conjugado de s.

2. Si M(s) es un polinomio par, entonces tenemos, que

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3. Si N(s) es un polinomio impar, entonces tenemos, que

4. Si sk es una raíz de el polinomio p(s)

1. La función magnitud cuadrada de p(s) esta dado por

De lo anterior se puede deducir que M(j) es real y N(j) es imaginario puro, M2(j) y N2(j) son reales, M2(j) 0 y N2(j) 0 para toda .Por lo tanto

para toda

Además es un polinomio de 2, o es un polinomio par de .

2. Las raíces de ocurren con simetría en cuadrantes, significando que:

a) Las raíces sobre el eje real del plano s ocurren en pares en 1 y (-1).

b) Las raíces sobre el eje imaginario del plano s ocurren con multiplicidad par y en pares complejos conjugados [si j1 es una raíz de f(s), entonces ambas j1 y (-j1) son dobles, o cuádruples, o ..., ].

c) Las raíces complejas ocurren de manera cuádruple [si 1+ j1 es una raíz de p(s)p(-s), donde 1 0 y 1 0, entonces 1- j1, -(1+ j1), y –(1- j1) son todas raíces de p(s)p(-s)].

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A. Función de red

Sí F(s) es una función de red tal que puede ser una función admitancia o impedancia de un elemento de un puerto tal que puede ser una función de transferencia entre la entrada de un puerto y la salida de un puerto, de una red de dos puertos.Entonces F(s) es una función racional de con coeficientes reales y pueden escribirse como la razón de dos polinomios como sigue:

Donde M1(s) y N1(s) son las partes par e impar de A(s), numerador de F(s). Y M2(s) y N2(s) son las partes par e impar de B(s), denominador de F(s).Si s=j, entonces M(j) es real y N(j) es imaginario puro. En consecuencia

Transformada de Hilbert

Las relaciones entre las partes real e imaginaria de una función de red puede ser expresada a través de la transformada de Hilbert como sigue:Supóngase que F(s) es analítica en una región cerrada de la parte derecha (incluyendo el eje imaginario) del plano s. Así podemos escribir:

Sí

Entonces R() y X() están relacionadas por

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Note que aquí hay una falta de simetría entre X() y R(). Esta falta de simetría es debido al hecho que consideramos solo funciones de red cuya transformada inversa de Laplace son funcione reales del tiempo. Si consideramos funciones complejas del tiempo, entonces aquí hay un termino de X() sobre el lado derecho, y las dos ecuaciones serán simétricas. Sobre la otra mitad, la respuesta al impulso f(t), la cual es la transformada inversa de Laplace de F(s), conteniendo la función no impulsiva en t=0, entonces R()=0 y queda:

Centrando nuestra atención en X() y R() podemos ver que ambas integrales son de la forma de una integral de convolución:

donde y g() es R(). Alguna economía de esfuerzo se puede obtener si se resuelven las ecuaciones anteriores, si tomamos en cuenta las ventajas de las propiedades de la integral de convolución. Algunas de estas son:

1. La transformada de Laplace de f() esta dada por el producto de la transformada de g() y h().

2. La última ecuación puede se escrita también como

3. = [la kma derivada de g()]*[kma integral de h()] = [la kma integral de g()]*[kma derivada de h()]

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4.

5.

Ha sido demostrado que la transformada de Hilbert puede ser usada para encontrar la parte real de una función de red si es dada la parte imaginaria o viceversa. Nótese que la transformada de Hilbert es solo usado entre relaciones entre la parte imaginaria y la parte real de una función compleja que es analítica en el semiplano derecho del plano s.Si cuando escribimos

Entonces ()=-lnF(j) es llamada función de pérdida o atenuación de un filtro, y ()=-Arg(F(j) es llamada función de fase de un filtro. Tomando logaritmos en la última ecuación obtenemos:

Obsérvese que si (s) es analítica en el semiplano derecho del plano s, entonces () y (), siendo las partes real e imaginaria de (s), puede ser relacionada por la transformada de Hilbert en una ecuación como:

Para aplicar la transformada de Hilbert a una función de fase y magnitud de una función de red, se requiere (s) sea analítica en el semiplano derecho del plano s. Así, requerimos que no solo F(s) sea analítica en semiplano derecho de s sino que también la inversa 1/F(s). Esto es porque (s)=-lnF(s)=ln1/F(s), y si (s) es analítica, para que sea -(s)=lnF(s). A partir de aquí, tenemos que asegurarnos que ambos F(s) y 1/F(s) son analíticas en semiplano derecho de s, cuyo medio, que no es ni un cero o polo, esta localizado en el semiplano derecho de s. Este tipo de función es llamada función de fase mínima. La razón para el nombre de función de fase mínima es que allí estas dos funciones de red

F(s) y con la misma función magnitud,

i. para todo tal que

ii. F(s) tiene uno o mas ceros en el semiplano derecho, yiii. no tiene ningún cero en el semiplano derecho de s

entonces

para todo 0

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donde y son las funciones de y

respectivamente. En otras palabras, la función de red que no tiene ningún cero en el

semiplano derecho de s tenga un ángulo más pequeño que el de la función de red esta tiene uno o más ceros en el semiplano derecho de s.Aunque la estabilidad del sistema no restringe la ubicación de los ceros de una función de red, la mayoría de los filtros mas comunes están caracterizados por la función de fase mínima. Por otra parte si se requiriesen acoplamiento mutuo, múltiples caminos entre la entrada y la salida del filtro o sus combinaciones. Todos esto es evitado en la práctica, porque tienden a aumentar la complejidad y sensibilidad de la red del filtro resultante.

Parte par e impar.

Con tal que F(s) sea analítica en el semiplano derecho del plano s, la transformada de Hilbert da un medio para construir la función entera F(s) si su parte real o imaginaria a lo largo del eje imaginario del plano s es especificada. Si, además, F(s) es una función de fase mínima, entonces la transformada de Hilbert.La función de red F(s) puede ser escrita como

donde

Suponemos que la parte par M(s) de la función de red F(s) esta dado por

Sin perder generalidad, asumimos que D(s) es un polinomio con raíces con simetría cuadrantal.

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Desde aquí, podemos usar el eje imaginario del plano s como dividiendo el límite con el semiplano izquierdo o el semiplano derecho de los polos asignados a B(s) y la mitad restante asignado a B(-s). Matemáticamente hablando, no existe ninguna preferencia de cual mitad se puede asignar a B(s). De cualquier forma, se prefiere para trabajar con funciones de redes estables(una que no contiene polos en el semiplano derecho del plano s.Consecuentemente cuando asignamos los polos D(s) del semiplano izquierdo a los de B(s), los polos del semiplano derecho irán automáticamente a B(-s).Es decir, nosotros hemos usado D(s), el denominador de M(s) dado, para determinar el denominador de la función de la red deseada F(s).

Conociendo , numerador del polinomio con un

conjunto de coeficientes indeterminado asume la forma

Comparando el numerador de la parte par de la última ecuación y C(s), el numerador de la función M(s) dada, obtenemos un sistema de ecuaciones simultáneas de (m+1) desconocidas(involucrando a ). La solución de este sistema dará el valor deseado. De aquí F(s) esta completamente determinado.

Procedimiento de construcción.

1. Dada la una función sea la parte impar{par} N(s){M(s)} de F(s) como

donde se asume que D(s) tiene raíces con simetría cuadrantal.

2. Encontrar las raíces de por factorización del polinomio D(s).3. Los factores asociados con el semiplano izquierdo del plano s de D(s) son asignados a

. Multiplicando todos estos factores juntos obtenemos

De allí, determinamos y , la parte par e impar de B(s), respectivamente.

4. Asumimos , donde son indeterminados en este punto. Formando

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y basados en esto asumimos A(s). Nótese que el grado m es determinado por comparando C(s), el numerador de N(s){M(s)}, con el de la ecuaciación de N(s).

5. Formamos el polinomio.

Igualamos este polinomio resultante con C(s). Esto dará un levantamiento al conjunto de k ecuaciones simultaneas en (m+1) desconocidas, donde . Los indeterminados son coeficientes de A(s).

6. Resolver el sistema de ecuaciones obtenidas en el paso 4 para y

entonces formamos .

Función de fase y magnitud

La transformada de Hilbert transforma también si el ángulo de fase o si la función es dada, entonces F(s) es caracterizada completamente, una pregunta natural que surge es: ¿dada la función de fase o magnitud, puede una red de fase mínima F(s) ser construida únicamente sin recurrir a las integrales de Hilbert. La respuesta es afirmativa para ambas partes. De cualquier manera, el procedimiento de construcción para estos dos problemas son diferentes. Consideraremos estas soluciones una por una.Teniendo en cuenta las siguientes relaciones

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donde

Obsérvese que es un polinomio impar y es un polinomio par. Si sumamos y obtenemos

La última ecuación es la clave para la construcción de F(s). Si asumimos que F(s) es una función de fase mínima, entonces los ceros y polos de F(s) estarán en el semiplano izquierdo del plano s. Eso es

1. Todas las raíces del polinomio A(s) estarán en el semiplano izquierdo d2. Todas las raíces del polinomio B(s) estarán en semiplano izquierdo de s. Por definición anterior las raíces del polinomio B(-s) estarán en el semiplano derecho de s.

Procedimiento de construcción 1.

1. . Notese que una vez que es dado , y puede ser obtenida.2. Factorizar p(s), o encontrar las raíces de p(s).3. Los factores asociados con el semiplano izquierdo de s, raíces de p(s), son asignadas a A(s). Los factores asociados con el semiplano derecho del plano s sonb asignados a B(-s).4 Encontrar B(s) simplemente por el reemplazo de s con (-s) en la expresión de B(-s) encontrado en el paso 3.5. Formar .

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Este procedimiento dará lugar a una función de red de fase mínima únicamente. So no asignamos los factores como en el paso 3, algunos de los raíces de p(s) del semiplano derecho de s, serán asignadas a A(s), y a partir de allí F(s) no será una función de fase mínima, y el procedimiento de construcción no dará una única F(s).

Antes de proceder a describir el procedimiento para construir una función de red F(s) de fase mínima cuando la función magnitud es dada, consideraremos una importante propiedad de . Por que los coeficientes de una función racional F(s) son reales, tenemos

Así podemos escribir

Esto significa que los polos y los ceros ocurren con simetría cuadruple. A partir de aquí tenemos una forma de construir una función de red F(s) de fase mínima. Dado

, el procedimiento de construcción para obtener F(s) es:

1. Formamos

donde C(s) y D(s) son respectivamente, el nuimerador y el denominador de

2. Factorizamos C(s). Asignando los factores del semiplano izquierdo de s a los ceros de A(s).

3. Factorizamos D(s). Asignado estos factores asociados con el semiplano izquierdo de s a los polos de B(s).

4. Formamos la función de red de fase mínima

donde A(s) y B(s) son obtenidos en los pasos 2 y 3.

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