Propiedades de la suma

La suma tiene cuatro propiedades. Las propiedades son conmutativa, asosiativa, distributiva

y elemento neutro.

Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo

independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4

Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo

independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 +

(3+4)

Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por

ejemplo 5 + 0 = 5.

Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es

igual a la suma de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3)

= 4*6 + 4*3

Propiedades de la multiplicación

La multiplicación tiene cuatro propiedades que harán más fácil la resolución de problemas.

Estas son las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva.

Propiedad conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin

importar el orden de los multiplicandos. Por ejemplo: 4 *2 = 2 *4

Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo

sin importar como se agrupan los factores. Por ejemplo (2*3) *4 = 2 * (3 * 4)

Propiedad de elemento neutro: El producto de cualquier número por uno es el mismo

número. Por ejemplo 5 * 1 = 5.

Propiedad distributiva. La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada

sumando por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6 + 3) = 4 * 6 + 4 * 3

PROPIEDADES DE LA RESTA

Cálculo de los elementos de la resta:

El minuendo es igual a la suma del sustraendo y la diferencia:

10 - 7 = 3

El minuendo (10) es igual:

10 = 7 + 3

El sustraendo es igual al minuendo menos la diferencia:

12 – 8 = 4 El sustraendo (8) es igual:

8 = 12 - 4

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN EXACTA

1.- Si el dividendo se multiplica (divide) por un número, el cociente queda multiplicado (dividido) por dicho número.

21 : 7 = 3

Si multiplicamos el dividendo por 2:

42 : 7 = 6

El cociente queda también multiplicado por 2

2.- Si el divisor se multiplica (divide) por un número, el cociente sufre el efecto contrario, queda dividido (multiplicado) por dicho número.

20 : 5 = 4

Si multiplicamos el divisor por 2:

20 : 10 = 2

El cociente queda dividido por 2.

3.- Si dividendo y divisor se multiplican o dividen por el mismo número, el

cociente no varía.

24 : 6 = 4

Si multiplicamos dividendo y divisor por 2:

48 : 12 = 4

El cociente no varia.

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN ENTERA

1.- Si dividendo y divisor se multiplican (dividen) por el mismo número, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado (dividido) por dicho número.

23 : 7 = 3 (Resto = 2)

Si multiplicamos dividendo y divisor por 2:

46 : 14 = 3 (Resto = 4)

El cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por 2.

Propiedades de la potenciación

Multiplicación de potencias de igual base

Observa el siguiente ejemplo:

23 . 23 . 23 . 23 = 23+3+3+3 = 2 3.4 = 212

Observa que el resultado de multiplicar dos o más potencias de igual base es otra potencia

con la misma base, y en donde el exponente es la suma de los exponentes iniciales.

Cociente de potencias de igual base

Veamos cómo se haría un cociente de potencias de igual base:

58 : 54 = 58 - 4 = 54 = 625

Observa que el resultado de dividir dos potencias de igual basees otra potencia con

la misma base, y en donde el exponentees la resta de los exponentesiniciales.

Potencia de una potencia

El resultado de calcular la potencia de una potenciaes una potencia con la misma base, y

cuyo exponente es la el producto de los dos exponentes. Por ejemplo:

(23)5 = 23.5 = 215

Distributiva respecto a la multiplicación y a la división

Para hacer el producto de dos números elevado a una misma potenciatienes dos caminos

posibles, cuyo resultado es el mismo:

Podes primero multiplicar los dos números, y después calcular el resultado de la potencia:

(4·5)4 = 204= 160000

O bien podes elevar cada número por separado al exponente y después multiplicar los

resultados.

(4·5)4 = 4 4 . 54 = 256·625 = 160000

De forma análoga podes proceder si se trata del cociente de dos números elevado a la

misma potencia.

(3 : 2)4 = 1, 5 4 = 5, 0625

(3 : 2)4 = 34 : 24 = 81 : 16 = 5,0625

Observa que de las dos formas obtienes el mismo resultado. Ahora bien, no siempre será

igual de sencillo de las dos formas. Así que piensa de antemano qué método va a ser más

conveniente para realizar el cálculo.

NO distributiva respecto a la suma y a la resta

No se puede distribuir cuando dentro del paréntesis es suma o resta:

Por ejemplo:

(6 + 3)2 ≠ 62 + 32 porque (6 + 3)2 = 92 = 81

62 + 32 = 36 + 9 = 45

81 ≠ 45

(10 - 6)2 ≠ 102 - 62 porque (10 - 6)2 = 42 = 16

102 - 62 = 100 - 36 = 64

16 ≠ 64

EL PROCESO DE REDACCION.

Mucha gente preferiría realizar cualquier otra actividad antes que sentarse a escribir. Para la

mayoría, la redacción es una labor muy difícil pesada. Esto es comprensible si se observa

que la mayoría realiza simultáneamente las tres etapas del proceso de redacción: planifican,

redactan y corrigen la vez. Esto es demasiado esfuerzo para el organismo humano.

Es muy frecuente ver a personas sentadas frente al computador o ante las cuartillas en

blanco sin tener todavía una idea clara de lo que se va a escribir. Pasa los tres minutos

mirando el cielo raso, con la mente en blanco, tratando de imaginar como empezar. Al fin

se decide y escribe unas cuantas líneas; luego las lee una y otra vez; borra y cambia alguna

palabra y, otra vez, se pone a pensar que sigue. Otra laguna mental y al fin encuentra como

continuar; lee todo lo que ha escrito, y así, sucesivamente. Esto es un derroche de tiempo y

energía.

Esta forma de redactar es lógicamente muy difícil y pesada. Es un esfuerzo demasiado

grande para el organismo y este se protege rechazando el trabajo de redacción y se desquita

con un dolor de cabeza. Es su manera de protegerse, de expresarse.

Pero la redacción no tiene por que ser una actividad onerosa para el organismo. Las tres

etapas de la redacción deben de realizarse por separado; así, dividiendo el trabajo en tres

actividades diferentes ninguna de ellas es tan pesada para causar un dolor de cabeza ni esta

mas allá de la capacidad de una persona medianamente culta.

Las tres etapas lógicas del proceso de redacción son: planificación, redacción y revisión.

Deben realizarse en ese orden:

PLANIFICACION:

Esta primera etapa consiste en analizar cuidadosamente el tema y en aclarar las ideas que se

desea comunicar. Solo se puede escribir acerca de lo que se sabe, pero hay que tener muy

claro el contenido del mensaje que se piensa transmitir. No vasta tener una idea vaga de lo

que se quiere decir; se debe aclarar al detalle el contenido de lo que pensamos escribir. Es

necesario contar con suficiente información; tener a la mano cifras, datos, fechas, citas y

poner en claro mediante una guía o un esquema el orden en que deberán aparecer en el

escrito. Igualmente nadie podría redactar un texto serio sin haber planificado su contenido y

haber preparado una guía o esquema, es decir una lista ordenada de los puntos que debe

tratar.

REDACCION:

La segunda etapa consiste en expresar por escrito las ideas o conceptos bosquejados en la

guía ya preparada. La redacción es la codificación de las ideas: el ponerlas en el código

idioma escrito. En esta etapa no debe ser necesario pensar en que decir sino en como

decirlo. Si ya hemos bosquejado los temas o conceptos en e orden mas convenientes, la

etapa de redacción consiste solamente en ampliar estas ideas y exponerlas en oraciones

completas.

Durante la etapa de redacción se debería escribir lo más rápidamente posible, sin

preocuparse de la corrección ni del estilo. Lo que se esta escribiendo es simplemente un

borrador. Mientras más rápido escriba mas natural y espontáneo resultara el escrito; será

más agradable y “fresco”. No debe preocuparse por la palabra exacta; si duda de la

conveniencia de algún termino y preferiría encontrar un sinónimo subraye la palabra

sospechosa y continué escribiendo. En la etapa de la revisión se ocupara de buscar un

sinónimo de la palabra marcada. El tiempo dedicado a la etapa de la redacción es muy

valioso; uno suele entrar en un trance y se alcanza un ritmo que no hay que interrumpir para

buscar un sinónimo.

REVISION:

Si hemos preparado un buen esquema basado en el análisis y contábamos con suficiente

información sobre el tema, y si hemos redactado muy rápidamente siguiendo el esquema, lo

que tendremos ahora será un borrador que hay que revisar y corregir.

En caso de que dispongamos de tiempo, debemos esperar que transcurran varias horas o

días antes de emprender la revisión del escrito. Si se trata de una carta o de un memorando

breve, esto seguramente no será posible, pero en el caso de un informe, de una monografía

o de un artículo para una revista, es conveniente dejar “dormir” el borrador para olvidarnos

de lo que hemos escrito. Luego lo revisaremos y criticaremos como si se tratara de obra

ajena. El acabado de una obra es tan importante como su planificación y construcción.

LÓGICA MODERNA

También denominada lógica simbólica o matemática. A mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos George Boole y Augustus De Morgan abrieron el campo de la nueva lógica, que luego fue desarrollada por el matemático alemán Gottlob Frege, esta lógica se basa en la aplicación de símbolos por medio de tablas de verdad, que nos permiten ver lo verdadero o falso que son las versiones de una acción. Introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las unen, como “o”, “y”, “si... entonces...”. Cuenta con símbolos diferentes para el sujeto lógico y el predicado lógico de una frase; y adjudica símbolos para distinguir las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a una clase y la inclusión en una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. La afirmación “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es A, entonces es B”; lo que, a diferencia de la lógica tradicional, no significa que todo A existe. Muy relacionadas con la lógica se encuentran la semántica o filosofía del lenguaje, que trata acerca del significado de las palabras y de las frases; la epistemología, o teoría del conocimiento, yo lo llamaría el estudio del proceso del conocimiento, que se ocupa de las condiciones bajo las cuales las afirmaciones son verdaderas; y la psicología del razonamiento, que se refiere a los procesos mentales que se siguen en el curso de un razonamiento. De esta lógica moderna, se desprende la semiótica, lógica deóntica, modal, cuantificacional y proposicional. La Semiótica es la lógica de los símbolos y se divide en tres partes: sintaxis, semántica y pragmática. La primera trata de las relaciones de los símbolos entre si, prescindiendo de su contenido. La segunda trata de las relaciones entre el símbolo y lo que significa. La tercera trata de las relaciones entre el símbolo y el sujeto que lo utiliza. La lógica deóntica se formaliza a través de conceptos relacionados con el deber. Este tipo de lógica se utiliza en el Derecho, infiriéndose del mismo, la denominada lógica de las normas. La lógica modal lo hace en los conceptos de necesidad y posibilidad.

La lógica de clases relaciona conceptos con propiedades (sujeto y predicado), estudia además las implicaciones de unas clases con otras, las cuales suelen ser representados gráficamente mediante círculos (mejor conocidos como diagramas de Venn) empleando la denominada “álgebra booleana”. La lógica cuantificacional que estudia de manera más detallada los predicados a través del uso de cuantificadores que expresan cantidad (todos ∀ o algunos ∃). La lógica proposicional analiza los razonamientos formalmente válidos partiendo de proposiciones y conectivas proposicionales (operadores lógicos). LOGICA ANTIGUA Históricamente la palabra «lógica» ha ido cambiando de sentido. Comenzó siendo una modelización de los razonamientos, propuesta por los filósofos griegos, y posteriormente ha evolucionado hacia diversos sistemas formales. Etimológicamente la palabra lógica deriva del término griego Λογικός logikós, que a su vez deriva de λόγος logos 'razón, palabra, discurso'.. La historia de la lógica documenta el desarrollo de la lógica en varias culturas y tradiciones a lo largo de la historia. Aunque muchas culturas han empleado intrincados sistemas de razonamiento, e, incluso, el pensamiento lógico estaba ya implícito en Babilonia en algún sentido. la lógica como análisis explícito de los métodos de razonamiento ha recibido un tratamiento sustancial solo originalmente en tres tradiciones: la Antigua China, la Antigua India y la Antigua Grecia. Aunque las dataciones exactas son inciertas, particularmente en el caso de la India, es probable que la lógica emergiese en las tres sociedades hacia el siglo IV a. C. El tratamiento formalmente sofisticado de la lógica proviene de la tradición griega, especialmente del Organon aristotélico, cuyos logros serían desarrollados por los lógicos islámicos y, luego, por los lógicos de la Edad Media europea. El descubrimiento de la lógica india entre los especialistas británicos en el siglo XVIII influyó también en la lógica moderna. LALÓGICA ANTIGUA Aristóteles fue quien fundó la lógica y desarrolló ampliamente la silogística que es igual a la actual lógica de clases. Parménides y Platón también realizaron estudios lógicos. Posteriormente, los ESTOICOS hicieron algunas aportaciones a la lógica: desarrollaron el silogismo hipotético (condicional y disyuntivo) e iniciaron lo que actualmente se llama lógica proposicional. Los lógicos medievales continuaron estudiando la lógica aristotélica, no añadieron nada sustancial, pero si hicieron notables avances en un campo desconocido en esa época, la semántica. Los filósofos modernos se interesaron más por la metodología de la ciencia y por los estudios lógicos. La Edad Antigua En Mesopotamia, el Manual de diagnóstico médico de Esagil-kin-apli, escrito en el siglo XI a. C., se basó en un conjunto lógico de axiomas y asunciones, entre las que se incluyen la visión moderna de que, a través del examen e inspección de los síntomas de un paciente, es posible determinar el problema del mismo, su etiología y su desarrollo futuro, y las posibilidades de recuperación. Durante los siglos VII y VIII, los astrónomos babilonios empezaron a utilizar una lógica interna en sus sistemas de predicción planetaria que fue una importante contribución a la lógica y la filosofía de la ciencia. El pensamiento babilónico tuvo una considerable influencia en el pensamiento de la Greciaarcaica

El eclipse [Cuento. Texto completo.]

Augusto Monterroso

Cuando fray Bartolomé Arrazola se sintió perdido aceptó que ya nada podría salvarlo.

La selva poderosa de Guatemala lo había apresado, implacable y definitiva. Ante su

ignorancia topográfica se sentó con tranquilidad a esperar la muerte. Quiso morir allí,

sin ninguna esperanza, aislado, con el pensamiento fijo en la España distante,

particularmente en el convento de los Abrojos, donde Carlos Quinto condescendiera una

vez a bajar de su eminencia para decirle que confiaba en el celo religioso de su labor

redentora.

Al despertar se encontró rodeado por un grupo de indígenas de rostro impasible que se

disponían a sacrificarlo ante un altar, un altar que a Bartolomé le pareció como el lecho

en que descansaría, al fin, de sus temores, de su destino, de sí mismo.

Tres años en el país le habían conferido un mediano dominio de las lenguas nativas.

Intentó algo. Dijo algunas palabras que fueron comprendidas.

Entonces floreció en él una idea que tuvo por digna de su talento y de su cultura

universal y de su arduo conocimiento de Aristóteles. Recordó que para ese día se

esperaba un eclipse total de sol. Y dispuso, en lo más íntimo, valerse de aquel

conocimiento para engañar a sus opresores y salvar la vida.

-Si me matáis -les dijo- puedo hacer que el sol se oscurezca en su altura.

Los indígenas lo miraron fijamente y Bartolomé sorprendió la incredulidad en sus ojos.

Vio que se produjo un pequeño consejo, y esperó confiado, no sin cierto desdén.

Dos horas después el corazón de fray Bartolomé Arrazola chorreaba su sangre

vehemente sobre la piedra de los sacrificios (brillante bajo la opaca luz de un sol

eclipsado), mientras uno de los indígenas recitaba sin ninguna inflexión de voz, sin

prisa, una por una, las infinitas fechas en que se producirían eclipses solares y lunares,

que los astrónomos de la comunidad maya habían previsto y anotado en sus códices sin

la valiosa ayuda de Aristóteles.

FIN