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ProporcionalidadProporcionalidad directa e inversa

ContenidosArtículosProporcionalidad 1

Proporcionalidad 1Regla de tres 5

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 10Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 11

Licencias de artículosLicencia 12

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Proporcionalidad

ProporcionalidadLa proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticosampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. Laproporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidadpuede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

SímboloEl símbolo matemático '∝' se utiliza para indicar que dos valores son proporcionales. Por ejemplo, A ∝ B.En Unicode este es el símbolo: U+221D.

Ejemplos

Primer ejemploLa receta de un pastel de vainilla indica que para cuatro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g de mantequilla,cuatro huevos y 120 g de azúcar. ¿Cómo adaptar la receta para cinco personas? Según varios estudios, la mayoría dela gente calcularía las cantidades para una persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multiplicaría por el númeroreal de personas, cinco, otras solo le sumarían lo que a una persona le corresponde. Una minoría no siente lanecesidad de pasar por las cantidades unitarias (es decir por persona) y multiplicaría los números de la receta por 5/4= 1,25 (lo que equivale a añadir cinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y 150 g de azúcar) tendrá elmismo sabor que el otro, si el cocinero aficionado se muestra tan bueno como el chef que escribió la receta.Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcional al número de personas y se representa esta situaciónmediante una tabla de proporcionalidad: coeficiente k no nulo ( en el ejemplo) tal que

Si se consideran e como valores de variables e , entonces se dice que estas variablesson proporcionales; la igualdad y = k·x significa que y es una Función lineal de x.La representación gráfica de esta función es una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Unavariación (incremento o decremento) de x da lugar a una variación proporcional de y (y recíprocamente, puesto quek≠0: y = 1/k · x):

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Son las funciones más sencillas que existen y las primeras que se estudian en clase de matemáticas, con alumnos detrece años aproximadamente.La relación «Ser proporcional a» es• reflexiva ( toda variable es proporcional a sí misma, con el coeficiente 1)• simétrica (cuando y es proporcional a x entonces x lo es a y, con el coeficiente inverso) y• transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entonces x lo es con z, multiplicando los coeficientes)por lo que se trata de una relación de equivalencia. En particular dos variables proporcionales a una tercera seránproporcionales entre sí).La tabla del primer ejemplo se puede descomponer en tres de formato dos por dos:

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilustran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

Una proporción está formada por los números a, b, c y d, si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.Una proporción está formada por dos razones iguales: a : b = c : dDónde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a b como c es a d .Proporción múltiple:Una serie de razones está formada por tres o más razones iguales: a : b = c : d = e : fY se puede expresar como una proporción múltiple: a : c : e = b : d : fEn la proporción hay cuatro términos; a y d se llaman extremos; c y b se llaman medios.En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:1. verificar que la segunda columna es múltiple de la primera, (primera tabla: para pasar de la primera casilla a la

segunda, hay que multiplicar por ; en la segunda línea se tiene que multiplicar por , luego estas fracciones

deben ser iguales para obtener columnas proporcionales)2. verificar que la segunda línea es múltiple de la primera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o3. verificar la igualdad de los productos cruzados: a·d = b·c. (tercera tabla: las igualdades anteriores equivalen a a·d

= b·c, cuando no hay valores nulos, que por cierto no tienen un gran interés en este contexto). ya que no se puede

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comprobar.

Segundo ejemploDos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cincoalbañiles en cuatro horas ?Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hayque resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesissubyacentes.Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienenla misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajosupone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la preguntapasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dosalbañiles en cuatro horas ? El parámetro "número de albañiles" tiene unvalor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtablaroja). La superficie construida será multiplicada por . Luego, fijando

el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por(la subtabla azul es proporcional).

El resultado final es metros cuadrados.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

Tercer ejemploDos autos recorren exactamente el mismo camino. Al primero le ha tomado dos horas y media llegar al destino,rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. El segundo rueda a 100 km/h. ¿Cuánto tiempo ha tardado en llegar?Entre mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durará el viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duración delviaje se dividirá en dos. Aquí, claramente el tiempo del recorrido no es proporcional a la velocidad sino justamentelo contrario: es inversamente proporcional, es decir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto permiteresponder a la pregunta:

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cambiando una multiplicación por una división (primera tabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa de lavelocidad (segunda tabla). El tiempo será , es decir una hora y 45 minutos.

Más generalmente, si una variable y es inversamente proporcional a otra variable x, se puede aplicar laproporcionalidad con , o más bien utilizar la siguiente equivalencia:

Es decir que el producto de los valores correspondientes (aquí en la misma línea) es constante. En el ejemplo: 70 ×2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que es la longitud del recorrido.Una tabla de variación proporcional es aquella que sigue una secuencia utilizando de base el precio de algún objeto uotra cosa que pueda aumentar o disminuir cierto número u objeto de forma proporcional. ejem:número de canicas precio

2 canicas 50 centavos4 canicas 1 peso6 canicas 1,50 pesos

Magnitudes Directamente Proporcionales:Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número,la otraqueda multiplicada o dividida respectivamente por el mismo número.Ejemplo:Un automóvil consume 3 galones de gasolina por 120 km de recorrido ¿Cuantos kilómetros recorre con 20 galones?Observamos que las magnitudes son directas Si la razón o cociente entre ellas es un valor constante.Con los datos dela tabla, hallamos la razón.Elaboramos una tabla de proporcionalidad:Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilómetros)Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilómetros: Mientras más kilómetros se recorran, mas galones degasolina de consumirán. El número de kilómetros recorridos es directamente proporcional (D.P) al número degalones de gasolina. Siempre que las demás condiciones se mantuvieran constantes. Esto es, que no se modificaranlas condiciones climáticas o geográficas que modificaran el consumo.

Proporcionalidad 5

Aplicación en geometríaEl concepto de proporcionalidad es equivalente al de semejanza cuando se comparan dos triángulos semejantes. Dehecho las propiedades de la proporcionalidad (reflexividad, simetría y transitividad) son las mismas que las de lasemejanza.

Véase también• Correlación• Eudoxo de Cnidos• Número áureo• Tamaño de la muestra• Triángulos semejantes

Enlaces externos• Weisstein, Eric W., «Proportional [1]» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, http:/ / mathworld. wolfram.

com/ Proportional. html.

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Proportional. html

Regla de tresLa regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y unaincógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tressimple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución deproblemas cotidianos de manera efectiva.

Regla de tres simpleEn la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, yconociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor Y,

La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habrá unmayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamoscada uno de esos casos.

Regla de tres 6

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa se fundamenta en unarelación de proporcionalidad, la regla de tresestablece una relación de proporcionalidad, por loque rápidamente se observa que:

Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumentode A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:

y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:

Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relación es directa, dado que, a mayor número de habitacioneshará falta más pintura, y lo representamos así:

Regla de tres 7

Regla de tres simple inversa

En la regla de tres simple inversa en la relación entrelos valores se cumple que:

donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitarauna disminución de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa,tendremos:

y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X.Si por ejemplo tenemos el problema:

Si 8 trabajadores construyen un muro en 10 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro?

Si se observa con atención el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos más obreros trabajen, menos horasnecesitarán para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 80 horas, que pueden ser aportadas por un solotrabajador que emplee 80 horas, 2 trabajadores en 40 horas, etc. En todos los casos el numero total de horaspermanece constante.Tenemos por tanto una relación de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa,tenemos:

Regla de tres 8

Regla de tres compuestaEn ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida.Observemos el siguiente ejemplo:

Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, ¿cuántos trabajadores se necesitarán para levantar un muro de 75 metrosen 26 horas?

En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Además, para completar elejemplo, se ha incluido una relación inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarán menos trabajadores. Cuanto máspequeño es el muro, menos número de obreros precisamos: se trata de una relación de proporcionalidad directa. Porotro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horasnecesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relación deproporcionalidad inversa.El problema se enunciaría así:

100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas e Y trabajadores.

La solución al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26.Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores noserían suficientes).Formalmente el problema se plantea así:

• La resolución implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos,es directa, y se resuelve así:

• A continuación planteamos la segunda, que, recordemos, es inversa, y se resuelve así:

• A continuación unimos ambas operaciones en una sola, teniendo cuidado de no repetir ningún término (es decir,añadiendo el término C una sola vez):

lo que nos da la solución buscada.El problema se puede plantear con todos los términos que se quiera, sean todas las relaciones directas, todas inversaso mezcladas, como en el caso anterior. Cada regla ha de plantearse con sumo cuidado, teniendo en cuenta si esinversa o directa, y teniendo en cuenta (esto es muy importante) no repetir ningún término al unir cada una de lasrelaciones simples.

Regla de tres 9

Campo de aplicaciónComo se ha comentado, la regla de tres es un mecanismo sencillo y extremadamente útil que sólo se puedeestablecer cuando existe una relación de linealidad entre los valores que pueden tomar las variables que intervienen.Sin embargo no es siempre fácil averiguar si existe tal relación, de modo que es necesario utilizar para ello el sentidocomún y la experiencia.

Ejemplos• Para pasar 60 grados a radianes podríamos establecer la siguiente regla de tres:Ubicamos la incógnita en la primera posición:

Esto formaliza la pregunta "¿Cuántos radianes hay en 60 grados, dado que π radianes son 180 grados?". Así tenemosque:

Donde π es el Número π.Una técnica útil para recordar cómo encontrar la solución de una regla de tres es la siguiente: X es igual al productode los términos cruzados (π y 60, en este caso) dividido por el término que está frente a X.• Calcular cuántos minutos hay en 7 horas. Sabemos que hay 60 minutos en 1 hora, por lo que escribimos:

El resultado es:

Enlaces externos• Regla de Tres [1]

• REGLA DE TRES DIRECTA [2]

Referencias[1] http:/ / www. hiru. com/ es/ matematika/ matematika_00250. html[2] http:/ / www. thatquiz. com/ es/ mc?GBOM1530

Fuentes y contribuyentes del artículo 10

Fuentes y contribuyentes del artículoProporcionalidad  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48558919  Contribuyentes: Airunp, Alfonso Márquez, Angel GN, Antur, Açipni-Lovrij, Banfield, BlackBeast, Bucho,Cleiver Moreno, Cobalttempest, Dark Bane, David0811, Davius, Diegusjaimes, Drini2, Ecemaml, Edslov, Eduardosalg, Eligna, Filósofa500, Gsrdzl, Götz, HUB, Helenaluisa, HiTe, Humberto,Ignacio Icke, Ingenioso Hidalgo, Isha, Javierito92, Javijaen, Jcaraballo, Jkbw, Jorge c2010, Joseaperez, Kved, Lmarcoad, Luis1970, Maleiva, Manwë, Matdrodes, Mel 23, Mister, Mushii,Netito777, Nixón, Ortisa, Pintoandres90, Radical88, Raulshc, Romero Schmidtke, Rosarinagazo, RubiksMaster110, Satanás va de retro, Sigmanexus6, Smoken Flames, Swet626, Technopat,Tostadora, Truor, Unai Fdz. de Betoño, Vic Fede, Vitamine, Wanderly, XalD, Xatufan, 272 ediciones anónimas

Regla de tres  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=48578840  Contribuyentes: 4lex, Alejo9501, Amadís, Antón Francho, Açipni-Lovrij, Banfield, Camilo, Carlos yo, DTMGO,Dagilpe, David0811, Davius, Dferg, Diego.callejo, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Eabadal, Er Komandante, Esenabre, Galandil, Hari Seldon, Humberto, Jgtr, Jkbw, JorgeGG, Kved,Luisguilllermo, Magister Mathematicae, Mansoncc, MarhaultElsdragon, Markoszarrate, Matdrodes, Merrick, Mierda pinchada, Millars, Miotroyo, NaSz, Netito777, Nicop, Oscar ., Pedro Felipe,Pino, PoLuX124, Racso, Ricardogpn, Sabbut, Saposabio, Savh, Serolillo, Tirithel, Ugly, Varibara, 263 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 11

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Variables proporcionals.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Variables_proporcionals.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:M. Romero SchmidkteArchivo:Proporcionalidad tabla 2.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_2.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:Proporcionalidad tabla 3.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_3.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:Proporcionalidad tabla 4.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_4.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:Proporcionalidad tabla 5.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_5.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:proporcionalidad tabla 6.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_6.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:proporcionalidad tabla 7.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Proporcionalidad_tabla_7.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipediaArchivo:Relación directa.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Relación_directa.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike  Contribuyentes: Dnu72Archivo:Relación inversa.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Relación_inversa.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike  Contribuyentes: Dnu72

Licencia 12

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