Proporcionalidad

La proporcionalidad es una relacin o razn constanteentre magnitudes medibles.

1 SmboloEl smbolo matemtico '' se utiliza para indicar quedos valores son proporcionales. Por ejemplo, A B. EnUnicode el smbolo es U+221D.

2 Proporcionalidad directaDadas dos variables X e Y, Y es (directamente) propor-cional a X (X e Y varan directamente, o X e Y estnen variacin directa) si hay una constante k distinta decero tal que:

y = kx:

La relacin a menudo se denota

ad

bc

ca cb d

d bc a ad bc

a

d

bab

cd

dc

ba

Los dos rectngulos con franjas son semejantes, los cocientes desus dimensiones se indican horizontalmente en la imagen. La du-plicacin de la escala del tringulo con franjas se indica obli-cuamente en la imagen.

y / x

y la razn constante

k = y/x

es llamada constante de proporcionalidad.

2.1 Primer ejemploLa receta de un pastel de vainilla indica que para cua-tro personas se necesitan 200 g de harina, 150 g demantequilla, cuatro huevos y 120 g de azcar. Cmoadaptar la receta para cinco personas? Segn varios estu-dios, la mayora de la gente calculara las cantidades parauna persona (dividiendo entre cuatro) y luego las multi-plicara por el nmero real de personas, cinco, otras solole sumaran lo que a una persona le corresponde. Una mi-nora no siente la necesidad de pasar por las cantidadesunitarias (es decir por persona) y multiplicara los nme-ros de la receta por 5/4 = 1,25 (lo que equivale a aadircinco huevos, 250 g de harina; 187,5 g de mantequilla y150 g de azcar).Se dice que la cantidad de cada ingrediente es proporcio-nal al nmero de personas y se representa esta situacinmediante una tabla de proporcionalidad: coeciente k nonulo ( 54 en el ejemplo) tal quey1 = k x1; y2 = k x2 ::: yn = k xn

recta que pasa por el origen de coordenadas

Si se consideran x1; x2:::xn e y1; y2:::yn como valoresde variables x e y , entonces se dice que estas variablesson proporcionales; la igualdad y = kx signica que y esuna Funcin lineal de x.

1

2 2 PROPORCIONALIDAD DIRECTA

La representacin grca de esta funcin es una recta quepasa por el origen del sistema de coordenadas. Una varia-cin (incremento o decremento) de x da lugar a una va-riacin proporcional de y (y recprocamente, puesto quek0: y = 1/k x):

y = k x

Son las funciones ms sencillas que existen y las primerasque se estudian en clase de matemticas, con alumnos detrece aos aproximadamente.La relacin Ser proporcional a es

reexiva ( toda variable es proporcional a s misma,con el coeciente 1)

simtrica (cuando y es proporcional a x entonces xlo es a y, con el coeciente inverso) y

transitiva (si x es proporcional a y, e y a z, entoncesx lo es con z, multiplicando los coecientes)

por lo que se trata de una relacin de equivalencia. Enparticular dos variables proporcionales a una tercera sernproporcionales entre s).La tabla del primer ejemplo se puede descomponer entres de formato dos por dos:

tres tablas de proporcionalidad 2x2

por tanto las propiedades de la proporcionalidad se ilus-tran preferentemente con tablas de cuatro casillas.

tres maneras de ver la proporcionalidad

Una proporcin est formada por los nmeros a, b, c yd, si la razn entre a y b es la misma que entre c y d.Una proporcin est formada por dos razones iguales: a :b = c : dDnde a, b, c y d son distintos de cero y se lee a es a bcomo c es a d .Proporcin mltiple:Una serie de razones est formada por tres o ms razonesiguales: a : b = c : d = e : fY se puede expresar como una proporcin mltiple: a : c: e = b : d : f

En la proporcin hay cuatro trminos; a y d se llamanextremos; c y b se llaman medios.En toda proporcin el producto de los extremos es igual alproducto de los medios.Para establecer que una tabla es proporcional, se puede:

1. vericar que la segunda columna es mltiple de laprimera, (primera tabla: para pasar de la primera ca-silla a la segunda, hay que multiplicar por ba ; en lasegunda lnea se tiene que multiplicar por dc , lue-go estas fracciones deben ser iguales para obtenercolumnas proporcionales)

2. vericar que la segunda lnea es mltiple de la pri-mera (segunda tabla, con un raciocinio parecido) o

3. vericar la igualdad de los productos cruzados: ad= bc. (tercera tabla: las igualdades anteriores equi-valen a ad = bc, cuando no hay valores nulos, quepor cierto no tienen un gran inters en este contex-to). ya que no se puede comprobar el numero

2.2 Segundo y penltimo ejemploDos albailes construyen un muro de doce metros cua-drados de supercie en tres horas; Qu supercie cons-truirn cinco albailes en cuatro horas ?Hay dos parmetros que inuyen en la supercie cons-truida: El nmero de albailes y el tiempo de trabajo. Nohay que resistir a la tentacin de aplicar dos veces la pro-porcionalidad, pero eso s, explicitando las hiptesis sub-yacentes.Armar que el trabajo realizado es proporcional al n-mero de albailes equivale a decir que todos los obrerostienen la misma ecacia al trabajo (son intercambiables);y armar que la supercie es proporcional al tiempo detrabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiem-po: los albailes no se cansan.

proporcionalidad mltiple

Admitiendo estas dos hiptesis, se puede contestar ala pregunta pasando por una etapa intermedia: Qusupercie construiran dos albailes en cuatro horas ? Elparmetro nmero de albailes tiene un valor jo, lue-go se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtablaroja). La supercie construida ser multiplicada por 43. Luego, jando el parmetro tiempo a cuatro horas, yvariando l del nmero de obreros de 2 a 5, la supercieser multiplicada por 52 (la subtabla azul es proporcional).

3La proporcionalidad mltiple se resuelve as, multiplican-do por los coecientes correspondientes a cada factor:

2.3 Tercer y ltimo ejemploDos autos recorren exactamente el mismo camino. Alprimero le ha tomado dos horas y media llegar al destino,rodando a una velocidad promedia de 70 km/h. Elsegundo rueda a 100 km/h. Cunto tiempo ha tardadoen llegar?

Cuanta mayor velocidad tenga uno, menor tiempo durarel viaje. Si se multiplica por dos la velocidad, la duracindel viaje se dividir en dos. Aqu, claramente el tiempodel recorrido no es proporcional a la velocidad sino jus-tamente lo contrario: es inversamente proporcional, esdecir proporcional a la inversa de la velocidad. Esto per-mite responder a la pregunta:

ejemplo de proporcionalidad inversa

cambiando una multiplicacin por una divisin (primeratabla) o aplicando la proporcionalidad con la inversa dela velocidad (segunda tabla). El tiempo ser 2; 5 710 =1; 75

, es decir una hora y 45 minutos.Ms generalmente, si una variable y es inversamente pro-porcional a otra variable x, se puede aplicar la proporcio-nalidad con 1x , o ms bien utilizar la siguiente equivalen-cia:

mtodo para la proporcionalidad inversa

Es decir que el producto de los valores correspondientes(aqu en la misma lnea) es constante. En el ejemplo: 70 2,5 = 100 1, 75 = 175 km, que es la longitud delrecorrido.Una tabla de variacin proporcional es aquella que sigueuna secuencia utilizando de base el precio de algn ob-jeto u otra cosa que pueda aumentar o disminuir ciertonmero u objeto de forma proporcional. ejem:nmero de canicas precio

2 canicas 50 centavos4 canicas 1 peso6 canicas 1,50 pesos

Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionalescuando al multiplicar o dividir una de ellas por un nme-ro,la otra queda multiplicada o dividida respectivamentepor el mismo nmero.Ejemplo:Un automvil consume 3 galones de gasolina por 120 kmde recorrido Cuantos kilmetros recorre con 20 galones?Observamos que las magnitudes son directas Si la razno cociente entre ellas es un valor constante.Con los datosde la tabla, hallamos la razn.Elaboramos una tabla de proporcionalidad:Gasolina 3 1 10 20 40 (galones)Recorrido 120 40 400 800 1600 (kilmetros)Con 20 galones de gasolina, el auto recorre 800 kilme-tros:Mientrasms kilmetros se recorran, ms galones degasolina de consumirn. El nmero de kilmetros reco-rridos es directamente proporcional (D.P) al nmero degalones de gasolina. Siempre que las dems condicionesse mantuvieran constantes. Esto es, que no se modicaranlas condiciones climticas o geogrcas que modicaranel consumo.

3 Aplicacin en geometra

El concepto de proporcionalidad es equivalente al de se-mejanza cuando se comparan dos tringulos semejantes.De hecho las propiedades de la proporcionalidad (ree-xividad, simetra y transitividad) son las mismas que lasde la semejanza.

3.1 Propiedades

Ya que

y = kx

es equivalente a

x =

1

k

y;

se sigue que si y es proporcional a x, con constante deproporcionalidad k distinta de cero, entonces x es tambinproporcional a y con constante de proporcionalidad 1/k.Si y es proporcional a x, entonces el grco de y comofuncin de x ser una lnea recta que pasa por el origencon la pendiente de la lnea igual a la constante de pro-porcionalidad: corresponde a un crecimiento lineal.

4 9 RELACIN DE EQUIVALENCIA

4 Proporcionalidad inversaEl concepto de proporcionalidad inversa puede ser con-trastado contra la proporcionalidad directa. Consideredos variables que se dice son inversamente proporcio-nales entre s. Si todas las otras variables se mantienenconstantes, la magnitud o el valor absoluto de una varia-ble de proporcionalidad inversa disminuir proporcional-mente si la otra variable aumenta, mientras que su pro-ducto se mantendr (la constante de proporcionalidad k)siempre igual.Formalmente, dos variables son inversamente propor-cionales (o estn en variacin inversa, o en proporcininversa o en proporcin recproca) si una de las varia-bles es directamente proporcional con la multiplicativainversa (recproca) de la otra, o equivalentemente, si susproductos son constantes. Se sigue que la variable y esinversamente proporcional a la variable x si existe unaconstante k distinta de cero tal que

y =k

x

5 Factor constante de proporciona-lidad

La constante, o factor de proporcionalidad, puede ser en-contrada multiplicando la variable x original y la varia-ble y original.Mejor denido en palabras sencillas es que cuando unacantidad o variable sube proporcionalmente la otra varia-ble baja o viceversa.Como ejemplo, el tiempo consumido en una travesa esinversamente proporcional a la velocidad del viaje; eltiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximada-mente) inversamente proporcional al nmero de personascavando.El grco de dos variables variando inversamente en unplano de coordenadas cartesianas es una hiprbola. Elproducto de los valores X e Y de cada punto de esa curvaigualarn la constante de proporcionalidad (k). Ya que nix ni y pueden ser igual a cero (si k es distinta de), la curvanunca cruzar ningn eje.

6 Coordenadas hiperblicasLos conceptos de proporcin directa e inversa conlle-van a la ubicacin y puntos en el plano cartesiano porcoordenadas hiperblicas; las dos coordenadas corres-ponden a la constante de proporcionalidad directa queubica un punto en un rayo y la constante de proporcio-nalidad inversa que posiciona un punto en una hiprbola.

7 Proporcionalidad exponencial ylogartmica

Una variable y es proporcionalmente exponencial a unavariable x, si y es directamente proporcional a la funcinexponencial de x, esto es si existen constantes k y a dife-rentes de cero.

y = kax:

Del mismo modo, una variable y es logaritmicamenteproporcional a una variable x, si y es directamente pro-porcional al logaritmo de x, esto es si existen las constan-tes k y a distintas de cero.

y = k loga(x):

8 Determinacin experimentalPara determinar experimentalmente si dos cantidadesfsicas son directamente proporcionales, uno realiza di-versas mediciones y plotea los puntos resultantes de la da-ta en un sistema de coordenadas cartesianas. Si los puntoscaen en o cerca de una lnea recta que pasa por el origen(0, 0), entonces las dos variables son probablemente pro-porcionales, con la constante de proporcionalidad dadapor la pendiente de la lnea.

9 Relacin de equivalenciaLa proporcionalidad es una relacin de equivalencia enun conjunto R n f0g (o incluso C n f0g ). Esto es por-que es: reexiva, simtrica y transitiva. Esto se prueba acontinuacin usando la denicin: si ab entonces

a = kb , .

9.1 ReexividadPara todo a 2 R n f0g ,

a = 1 a

Por lo tanto, como uno es una constante diferente de cero,

a / a

10.2 Casos de repartos proporcionales 5

9.2 SimetraSupongase que a; b 2 R n f0g y ab, entonces,

a = kb

en donde k es una constante diferente de cero. Dividiendopor k, tenemos:

b =a

k=

1

k a

Como k es diferente de cero, 1/k es tambin diferente decero. De modo que:

b / a

9.3 TransitividadSupongase que a; b; c 2 R n f0g , ab y bc. Entonces,

a = kb

y,

b = nc

en donde k y n son constantes distintas de cero. Substitu-yendo la segunda ecuacin en la primera, tenemos:

a = k (nc) = (kn) c

Como k y n son diferentes a cero, kn debe ser tambindiferente de cero. Por lo tanto:

a / c

10 Repartos proporcionales

10.1 Antecedente histricoLas primeras compaas europeas fueron fundadas porarmadores navieros de Italia. Empiezan en el siglo IX.La aritmtica negocial, tomada de los rabes por Leonar-do de Pisa, tuvo una gran aceptacin y uso en Europaen esa poca. Se aplicaba en la resolucin de problemasvinculados en la reparticin de benecios y prdidas queacarreaban las actividades de dichas empresa navales.

10.2 Casos de repartos proporcionalesEstos consisten en distribuir un nmero en partes propor-cionales a otros varios y diversos. Pueden presentarse losrepartos directos o inversos o compuestos.Para repartir un nmero dato en partes directamenteproporcionales a diversos nmeros enteros positivos, semultiplica el nmero a repartir por cada uno de los enterosy se divide por la suma de todos ellos. EjemploRepartir 120 en partes directamente proporcionales a 2,3 y 5.Solucin de la ecuacin: El primero recibir 2k, el se-gundo 3k y el tercero 5k. Los tres reciben 2k + 3k + 5k= 120, de donde 10k = 120. De modo que la incgnita k= 120/10 = 12.As al primero le toca 12 x 2 = 24; al segundo, 12 x 3 =36; al tercero, 12 x 5 = 60.

10.3 En partes inversamente proporciona-les

Un padre dispone que , en caso de falecimiento, sus 6.200acciones bancarias se repartan en partes inversamenteproporcionales a las edades de su hijos que tienen 4, 6y 10 aos respectivamnente.Esto signiCa que debe recibir ms el que tiene menosedad y menos el de ms edad.En este caso se divide en partes 'directamente proporcio-nales a 1/4, a 1/6 y 1/10. Que llevados a mnimo comndenominador, resultan: 15/60, 10/60 y 6/60.Luego se reparte en partes directamente proporcionales a15, 10 y 6. Resultando:El menor con 3.000 acciones; el intermedio, 2.000; y elmayor, con 1.200 acciones.

Consltese Arimtica [1]" de Lic. L. Galds. Cul-tural, S.A. Madrid. (2002). ISBN 9972-891-14-3

11 Vase tambin Correlacin Eudoxo de Cnidos Nmero ureo Proporcionalidad creciente Tringulos semejantes Tipografa proporcional Regla de tres Relacin de equivalencia

6 12 ENLACES EXTERNOS

11.1 Crecimiento Crecimiento lineal Crecimiento hiperblico

12 Enlaces externos Actividades con proporcionalidad Weisstein, Eric W. Proportional. En Weisstein,

Eric W.MathWorld (en ingls). Wolfram Research.

713 Text and image sources, contributors, and licenses13.1 Text

Proporcionalidad Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Proporcionalidad?oldid=81318549 Colaboradores: Romero Schmidtke, Joseape-rez, Oblongo, Truor, Tostadora, Xatufan, Ecemaml, Airunp, Taichi, Drini2, RobotQuistnix, Yrbot, BOT-Superzerocool, Maleiva, Vita-mine, YurikBot, KnightRider, Baneld, Gtz, Jos., Smoken Flames, Sigmanexus6, BOTpolicia, CEM-bot, Laura Fiorucci, Ignacio Icke,Marianov, Retama, Mister, Davius, Rosarinagazo, Antur, Mcetina, Sergio Edgardo Malf, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Isha, Bernard,Mpeinadopa, JAnDbot, Kved, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, HiTe, Humberto, Netito777, Fixertool, Nioger, Idioma-bot, Plux,VolkovBot, Technopat, Matdrodes, BlackBeast, Lucien leGrey, Luis1970, Muro Bot, Radical88, Bucho, Gerakibot, Jmvgpartner, SieBot,Mushii, Cleiver Moreno, Cobalttempest, Mel 23, Manw, Tirithel, XalD, Jarisleif, Javierito92, HUB, Estirabot, Eduardosalg, Filsofa500,Leonpolanco, Botito777, Alexbot, AlfonsoMrquez, Lmarcoad, Raulshc, Aipni-Lovrij, Unai Fdz. de Betoo, UA31, AVBOT, David0811,MastiBot, Angel GN, Diegusjaimes, Davidgutierrezalvarez, Arjuno3, Luckas-bot, Borboteo, Ptbotgourou, Vic Fede, Jorge 2701, Nixn,ArthurBot, Swet626, SuperBraulio13, Ortisa, Jkbw, Helenaluisa, Ricardogpn, Igna, Botarel, Javijaen, RubiksMaster110, BOTirithel, Tobe-Bot, Jerowiki, PatruBOT, Alph Bot, Dark Bane, Jorge c2010, GrouchoBot, Miss Manzana, Edslov, EmausBot, Savh, AVIADOR, HRoest-Bot, Sergio Andres Segovia, Wanderly, JackieBot, Rubpe19, Emiduronte, Jcaraballo, Waka Waka, WikitanvirBot, Mpinomej, Antonorsi,MerlIwBot, Satans va de retro, KLBot2, KDels, Travelour, MetroBot, John plaut, Andrescarmona, Acratta, Cjosec07, Sean123, Lla-maAl, Creosota, Helmy oved, Dylan.xd, Cyrax, Armonizador, 2rombos, Syum90, Nennisse, Elpollitopio, ConnieGB, Kaenede, Danie22,ErickP98, GysselHernandez, MarceloJaimeDaz, Jarould, David.luna.3 y Annimos: 492

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Archivo:Variables_proporcionals.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/Variables_proporcionals.png Li-cencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Modicaci d'una imatge de la Wikipedia en castell. Figura realizada por M.Romero Schmidkte,especialmente para la Enciclopedia Libre y la Wikipedia. es:Categora:Matemticas (imagen) Source:Originally from es.wikipedia; des-cription page is/was here. Date: 2006-01-08 (original upload date). Author: Original uploader was Romero Schmidtke at es.wikipedia.Permission: Released under the GNU Free Documentation License. Artista original: M. Romero Schmidkte

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Smbolo Proporcionalidad directa Primer ejemplo Segundo y penltimo ejemplo Tercer y ltimo ejemplo

Aplicacin en geometra Propiedades

Proporcionalidad inversa Factor constante de proporcionalidad Coordenadas hiperblicas Proporcionalidad exponencial y logartmica Determinacin experimental Relacin de equivalencia Reflexividad Simetra Transitividad

Repartos proporcionalesAntecedente histricoCasos de repartos proporcionalesEn partes inversamente proporcionales

Vase tambin Crecimiento

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