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3º ESO – PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Y SUCESIONES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

SAGRADO CORAZÓN

COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa ARNEDO (LA RIOJA)

1

PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA Y SUCESIONES

1.- MAGNITUDES DIRÉCTAMENTE PROPORCIONALES

Magnitud: todo aquello que se puede cuantificar o medir.

Definición: Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si ante aumentos de una de ellas se

producen aumentos de la otra o si ante disminuciones de una de ellas se producen disminuciones de la otra.

Se cumple que el cociente de dos cantidades correspondientes de ambas magnitudes es una constante “k”

que se llama “RAZÓN o constante de proporcionalidad”.

La relación entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes viene dada por la ecuación de

proporcionalidad: y = k · x ,

alidadproporcion de constante :k

magnitud segunda la de cantidades las son :y

magnitud primera la de cantidades las son :x

donde

EJEMPLO_ La siguiente tabla indica la relación entre las magnitudes longitud y perímetro de un cuadrado:

A : longitud del lado de un cuadrado.

B : perímetro de dicho cuadrado.

Podemos concluir: 1. A y B son magnitudes directamente proporcionales.

2. La razón de proporcionalidad será:

=

=

= 4 k=4

3.- Se cumple y = 4x {

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA: Se utiliza para resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes

directamente proporcionales. Una vez detectada la proporcionalidad directa, debemos indicarlo claramente colocando

un D en el espacio entre las magnitudes, se ponen los datos, se hace el producto cruzado y se despeja la “x”.

EJEMPLO_ ¿Cuánto cuestan 12 litros de leche si 5 litros cuestan 4,35 € ?

€ 44,105

1235,4x

x 12

35,4 5

euros litros

D

NOTA: Estos ejercicios se pueden resolver con la “x” en cualquiera de los cuatro lugares, siempre se debe evitar

mezclar cantidades de distinta magnitud, y se hará el producto de las cantidades cruzadas que no incluyan la “x”

dividido por la cantidad que esté cruzada con la “x”.

€ 44,105

1235,4x

4,35 5

x 12

euros litros

D

€ 44,105

1235,4x

12 x

5 4,35

litros euros

D

2.- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Definición: Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales si ante aumentos de una de ellas se

producen disminuciones de la otra o si ante disminuciones de una de ellas se producen aumentos de la otra.

Se cumple que el producto de dos cantidades correspondientes de ambas magnitudes es constante.

La relación entre cantidades correspondientes de ambas magnitudes viene dada por la ecuación: x ·y = k .

EJEMPLO_ Esta tabla muestra la velocidad (en km/h) y el tiempo (en horas) empleados por un tren en realizar un

trayecto de 600 km.

· Podemos concluir: 1. Velocidad y tiempo son magnitudes inversamente proporcionales.

2. El producto de la velocidad por el tiempo es siempre constante e igual a 600:

200 · 3 = 150 · 4 = … = 50 · 12 = 40 · 15

3. La relación entre ambas magnitudes se expresa por la ecuación: x·y = 600 .

A 1 2 3 4 5 6 7

B 4 8 12 16 20 24 28

x: Velocidad 200 150 120 100 75 50 40

y: Tiempo 3 4 5 6 8 12 15


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REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA: Se utiliza para resolver problemas en los que intervienen dos magnitudes

inversamente proporcionales. Una vez detectada la proporcionalidad inversa, debemos indicarlo claramente, se trata

de multiplicar los dos valores de arriba (siempre que la “x” esté abajo) y se divide del tercer valor que está a la

izquierda o derecha de la “x” según la hayamos dispuesto. Hay otra posibilidad de resolver la regla de tres simple

inversa, se le da la vuelta a los dos valores conocidos de una de las magnitudes y se procede como en una directa.

EJEMPLO_ Con el agua de un depósito se llenan 60 botellas de 5 litros. ¿Cuántas botellas de

se pueden llenar?

Antes de comenzar, transformamos a número decimal la fracción:

= 0,75 litros

botellas 40075,0

560x

0,75 x

5 60

litros botellas

I

También se pueden cambiar los dos valores que no afectan a la magnitud de “x”, (litros en este ejemplo) y terminarla

como si fuera una directa:

botellas 40075,0

560x

5 x

50,7 60

litros D botellas

0,75 x

5 60

litros botellas

I

NOTA: Igual que en la regla de tres directa, la “x” puede aparecer en cualquier de los cuatro lugares, sería interesante

que al leer el problema, lo hagamos de tal forma que la “x” quede a la derecha y abajo y así siempre deberíamos

hacer lo mismo para solucionar estos ejercicios.

botellas 40075,0

560x

5 60

50,7 x

litros botellas

I

botellas 40075,0

560x

x 0,75

60 5

botellas litros

I

3.- PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

La proporcionalidad compuesta trata de estudiar aquellos casos en los que intervienen más de dos

magnitudes, siendo una de ellas directamente o inversamente proporcional al resto. Tendremos tres posibles casos:

3.1 REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA

Todas las magnitudes son directamente proporcionales a una de ellas.

EJEMPLO_ En una fábrica de refrescos 5 máquinas embotelladoras llenan en 6 horas 7.200 envases. ¿Cuántos

envases llenarán en 8 horas 7 máquinas embotelladoras?

Aplicamos el método del “pez”, para ello debemos colocar el valor desconocido de la magnitud envases “x”,

abajo a la derecha. Para saber si las magnitudes “máquinas” y “horas”, son directa o inversamente proporcionales, se

debe comparar cada una de ellas con la magnitud de la que se desconoce el valor, “envases” en este ejemplo, dejando

fija la otra magnitud, así, la magnitud “máquinas” y la magnitud “envases” son directamente proporcionales pues al

aumentar el número de máquinas aumenta el número de envases, suponiendo las horas fijas. Una vez determinadas

las proporcionalidades, directas o inversas, se aplica el método del “pez”, consiste en dibujar un pez con la cola en la

“x” y se hace el producto siguiendo su forma:

horas 8 en máquinas 7 con envases 440.1330

200.403

65

78200.7x

x 8 7

200.7 6 5

envases horas máquinas

DD

Las reglas de tres compuestas se pueden resolver como dos reglas de tres simples, determinando

previamente de qué tipo son, y analizando la influencia que sobre los “envases”, en este caso, tienen las “máquinas” y

las “horas” por separado, independientemente del orden en que se haga.


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.- EFECTO MÁQUINAS – HORAS:

Veamos el efecto de la variación de las máquinas sobre los envases, mantenidas las horas constantes:

horas 6 en máquinas 7 con envases

D

080.105

400.50

5

7200.7x

x 7

200.7 5

envases máquinas

Ahora vemos el efecto de las horas sobre los envases ya modificados por el efecto de las máquinas:


D

440.136

640.80

6

8080.10x

x 8

080.10 6

envases horas

.- EFECTO MÁQUINAS – HORAS:

Veamos el efecto de la variación de las horas sobre los envases, mantenidas las máquinas constantes:


D

600.96

600.57

6

8200.7x

x 8

200.7 6

envases horas

Ahora vemos el efecto de las máquinas sobre los envases ya modificados por el efecto de las horas:


D

440.135

200.67

5

7600.9x

x 7

600.9 5

envases máquinas

3.2 REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA

Todas las magnitudes son inversamente proporcionales a una de ellas.

EJEMPLO_ Un pueblo de 2.500 habitantes tiene agua para 100 días a razón de 30 litros por hab./día. ¿Cuál será el

gasto por hab./día si quieren que el agua dure 125 días y además se abastezca a una villa cercana de 500 habitantes?

x 125 3.000

30 100 2.500

litros días habitantes I I

Damos la vuelta a las dos inversas y la resolvemos como doble directa.

hab. 3.000 y días 125 para hab./díapor l. 20000.375

000.500.7

125000.3

500.210030x

x 100 2.500

30 125 3.000

litros D días D habitantes

NOTA: Al igual que en la regla de tres compuesta directa-directa, se pueden resolver estos ejercicios analizando el

efecto por separado de cada magnitud, en este ejemplo, de los habitantes en los litros y de los días en los litros.

Veamos el efecto de la variación de los habitantes sobre los litros, mantenidos los días constantes:

hab. 3.000 y días 100 para hab./díapor l. 25000.3

000.75

000.3

500.230x

x 3.000

30 2.500

litros habitantes

I

Ahora vemos el efecto de los días sobre los litros ya modificados por el efecto de los habitantes:

hab. 3.000 y días 125 para hab./díapor l. 20125

500.2

125

25100x

x 125

25 100

litros días

I


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3.3 REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA–INVERSA

Una magnitud es directamente proporcional a unas e inversamente proporcional a otras.

EJEMPLO_ En una campaña publicitaria 5 personas reparten 20.000 octavillas en 8 días. ¿Cuántos días tardarían 8

personas en repartir 36.000 octavillas?

x 36.000 8

8 20.000 5

días octavillas personas D I

Damos la vuelta a la inversa y lo resolvemos como doble directa.

oct. 36.000repartir en per. 8 tardan días 9000.160

000.440.1

000.208

5000.368x

x 36.000 5

8 20.000 8

días octavillas D personas

D

NOTA: En todos los casos hemos realizado las operaciones sin simplificar los resultados, pero dado que a veces los

números son muy grandes para operar con ellos es ACONSEJABLE simplificar previamente todo lo que se pueda.

5. entre mosSimplifica

rdenominado el en 5 queda 4 entre 20 ynumerador el en 9 queda 4 entre 36 abajo, y arriba 4por Dividimos

rdenominado ynumerador el en ceros tres y 8 un Quitamos

oct. 36.000repartir en per. 8 tardan días 95

59

20

536

000.208

5000.368x

(3)

(2)

(1)

)3()2()1(

4. REPARTOS PROPORCIONALES

4.1 REPARTOS DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Se trata de repartir una cantidad en partes directamente proporcionales a ciertos números dados, de tal

forma que al número mayor le corresponda la cantidad mayor y entre todas sumen el total repartido.

EJEMPOLO_ Tres amigos compran un décimo de lotería, el primero juega 10 €, el segundo 6 € y el tercero 4 €. El

décimo sale premiado con 106.000 €. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

Debemos sumar la cantidad que apuestan en total: 10 + 6 + 4 = 20 y hacer el reparto en base a esta cantidad.

€4 puso que amigo el para €200.21300.5420

000.1064x


000.1066x


000.10610x

z 4

y 6

x 10

106.000 20

premiados €jugados €

(*)

(*)

(*)

(*) Aprovechando que en las tres operaciones aparece 20

106.000 , hacemos esta división que da 5.300 y se

multiplica por 10, por 6 y por 4, respectivamente, así hacemos una división y tres productos, de otra manera se hacen

tres productos y tres divisiones.

Además se puede comprobar que: 53.000 + 31.800 + 21.200 = 106.000 € y que el amigo que más dinero

pone es el que más se lleva en el reparto y de forma directamente proporcional.

4.2 REPARTOS INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Se trata de repartir una cantidad en partes inversamente proporcionales a ciertos números dados, de tal forma que al

número mayor le corresponda la cantidad menor y entre todas sumen el total repartido.

EJEMPLO_ Repartir el número 41.987 de forma inversamente proporcional a los números 3, 6 y 9.

En un reparto inversamente proporcional debemos proceder de la siguiente forma, se calculan los inversos de

los números y se hace su suma, el reparto se hará de forma directamente proporcional a los números obtenidos en los

numeradores de cada inverso (fracción) después de hacer común denominador y sumarlos.


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Tomamos los inversos 3

1,

6

1,

9

1y los sumamos

18

11

18

2

18

3

18

6

9

1

6

1

3

1 , de esta manera el reparto

se hará sobre 6, 3 y 2, no sobre los números originales 3, 6 y 9.

9. originalvalor al ecorrespond 634.7817.3211

987.412x


987.413x


987.416x

z 2

y 3

x 6

41.987 11

(*)

(*)

(*)

(*) Aprovechando que en las tres operaciones aparece 11

41.987 , hacemos esta división que da 3.817 y se

multiplica por 6, por 3 y por 2, respectivamente, así hacemos una división y tres productos, de otra manera se hacen

tres productos y tres divisiones.

Además se puede comprobar que: 22.902 + 11.451 + 7.634 = 41.987 € y que el mayor número recibe la

menor cantidad de forma inversamente proporcional, así el número 6 que es el doble del 3 recibe 11.451 que es la

mitad de 22.902 y el número 9 que es el triple del 3, recibe 7.634 que es la tercera parte de 22.902.

5. APLICACIONES DE LA PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA

5.1 PORCENTAJES

Los porcentajes o tantos por cien expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales e

indican la cantidad de una de ellas que corresponde a 100 de la otra.

También se utilizan el tanto por uno y el tanto por mil.

EJEMPLO_ Observa las siguientes formas de expresar proporciones:

PROPORCIONALIDAD RAZÓN TANTO POR 1 TANTO POR 100 TANTO POR 1.000

25 de cada 100

0,25 25 % 250 ‰

4 de cada 10

0,40 40 % 400 ‰

3 de cada 5

0,60 60 % 800 ‰

35 de cada 1.000

0,35 3,5 % 35 ‰

EJEMPLO_ Para una biblioteca se compró una enciclopedia por 1.197 €, cuando su precio de venta era de 1.425 €.

¿Qué descuento se aplicó sobre el precio de venta?

.- PRIMERA FORMA_

Restamos para obtener el descuento aplicado: 1.425 – 1.197 = 228 €. Ahora hacemos una regla de tres para calcular

el porcentaje que supone este descuento:

% 16425.1

800.22

425.1

228100x

228 x

1.425 100

€ %

.- SEGUNDA FORMA_

Calculamos qué porcentaje supone la cantidad pagada sobre el precio de la enciclopedia, y luego restamos del 100 %:

% 16 % 84 - % 100% 84425.1

700.119

425.1

197.1100x

1.197 x

1.425 100

€ %


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EJEMPLO_ Carla pagó por una bicicleta 307,40 € incluido IVA del 16% sobre el precio de la bicicleta. ¿Cuál es el

precio de la bicicleta sin IVA?

Dado que el precio pagado lleva el IVA incorporado la regla de tres se debe hacer considerando que los 307,40 €

suponen el 116 %, mientras que la cantidad sin IVA supone el 100 %.

€265116

740.30

116

40,307100x

x 100

307,40 116

€ %

5.2 INTERÉS SIMPLE

Sean: C0: Capital_ Cantidad inicial de dinero invertida.

I: Interés_ Cantidad de dinero adicional que nos devuelven.

r: Rédito_ Interés que producen 100 € durante un año, tipo de interés o tanto por ciento de interés.

t: Tiempo_ Puede ir expresado en años, meses o días.

Tenemos la siguiente proporcionalidad compuesta directa - directa:

años. en tiempo el con 100

trCI

I años t C

r año 1 100

€ tiempo €

0

0

DD

meses. en tiempo el con 1.200

trCI

I meses t C

r meses 12 100

€ tiempo €

0

0

DD

días. en tiempo el con 36.000

trCI

I días t C

r días 36.000 100

€ tiempo €

0

0

DD

EJEMPLO_ Ana deposita 4.800 €. en un banco a un rédito del 3,5%. ¿Qué interés le producirá a Ana su dinero en un

año? ¿ y en 9 meses? ¿ y en 75 días?

Aplicando las expresiones anteriores: €168100

16.800

100

13,54.800I

€1261.200

151.200

1.200

93,54.800I

€35

36.000

1.260.000

36.000

753,54.800I

5.3 ESCALA

La escala es la proporción entre una longitud en un mapa, plano, maqueta,… y su correspondiente en la

realidad, es por tanto una proporcionalidad directa y se resuelve con una regla de tres simple directa.

Aplicaremos la expresión REALIDAD

MAPA

ESCALA

1 , donde se conocerán dos datos y nos solicitarán el tercero.

La escala numérica se expresa 1:5.000 que significa que una unidad (mm, cm, dm...) en el mapa son 5.000 (mm, cm,

dm…) en la realidad.

EJEMPLO_ La distancia entre dos pueblos en un mapa a escala 1:30.000 es de 12 cm. Indica la distancia en la

realidad expresada en kilómetros.

km 3,6 cm 000.3601

12000.30x

x

12

30.000

1

REALIDAD

MAPA

ESCALA

1

La escala es adimensional, significa que no tiene unidades, por tanto si tomamos cm. el resultado sale en cm. y

seremos nosotros los que debemos convertir el resultado a la unidad solicitada, km. en este caso.


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6. SUCESIONES

Una sucesión es un conjunto de números (se llaman términos de la sucesión) donde cada uno de ellos se

genera mediante una fórmula o expresión (se denomina término general).

EJEMPLO_ La sucesión que origina el termino general an = n2 + 4, está formada por los números: 5, 8, 13, 20,…

Estos números se obtienen dando valores a “n”, desde n = 1, n = 2, …, hasta el número que se desee.

Así, cuando n = 1, donde pone “n” se debe sustituir por “1” y obtenemos: a1 = 12 + 4 = 1 + 4 = 5, donde a1 se llama

“primer término de la sucesión” y su valor es 5.


“segundo término de la sucesión” y su valor es 8.


“tercer término de la sucesión” y su valor es 13.

Así, cuando n = n, donde pone “n” se debe sustituir por “n” y obtenemos: an = n2 + 4, donde an (la fórmula que

genera la sucesión o término general) se llama “término n-ésimo de la sucesión” y su valor es n2 + 4.

Las sucesiones son similares a las funciones pero hay dos diferencias importantes, en primer lugar las

sucesiones no se representan gráficamente y en segundo lugar, los valores de “n” deben ser números naturales

(hacen referencia al primer término “n = 1”, segundo término “n = 2”, … término n-ésimo “n = n”) mientras que en

las funciones los valores de “x” pueden ser cualquier tipo de número (xR), así la función f(x) = x2 + 4 se puede

calcular para x =1,1 siendo f(1,1) = 1,12 + 4 = 1,21 + 4 = 5,21 algo que en sucesiones es imposible de realizar.

Existen multitud de tipos de sucesiones de las cuales nosotros vamos a analizar dos modelos, son las

progresiones aritméticas y las progresiones geométricas. Para calcular el término general de aquellas sucesiones que

no sigan estos modelos deberemos acudir al sentido común, es decir, las calcularemos “a ojo”, aunque para otros

modelos existen sus propios mecanismos, nosotros no los vamos a estudiar.

EJEMPLO_ Calcula el término general de las siguientes sucesiones:

a) 0, 3, 8, 15, 24,… El término general de esta sucesión es an = n2 – 1.

b) ,...125

32 ,

4

1 ,

27

8 ,

2

1 , 2 esta sucesión es difícil de intuir, quizás escrita así, ,...

125

32 ,

64

16 ,

27

8 ,

8

4 ,

1

2 sin

simplificar, podemos ser capaces de ver cuál es su término general, se observa que el numerador se va duplicando y

responde a la expresión “2n”, mientras que el denominador son los cubos “n3” así el término general será: . n

2a

3

n

n

7. PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Una progresión aritmética es aquella sucesión en la que cada término se obtiene sumando una cantidad fija

(llamada diferencia “d”) al anterior. Siempre que restemos dos términos consecutivos se obtendrá la diferencia “d”.

7.1 TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

El término general de una progresión aritmética se obtiene mediante la expresión: an = a1 + (n – 1) · d

Partiendo de la definición de progresión aritmética se tiene:

a2 = a1 + d (1) a2 = a1 + d

a3 = a2 + d =(1) a1 + d + d = a1 + 2d (2) a3 = a1 + 2d

a4 = a3 + d =(2) a1 + 2d + d = a1 + 3d (3) a4 = a1 + 3d

a5 = a4 + d =(3) a1 + 3d + d = a1 + 4d (4) a5 = a1 + 4d ……

an = an-1 + d = a1 + (n – 2)d + d = a1 + nd – 2d + d = a1 + nd – d = a1 + (n – 1) ·d an = a1 + (n – 1) · d

Esta expresión del término general depende del conocimiento del primer término, pero habitualmente el que

se conoce es otro término cualquiera “ak”, por lo que la expresión se puede dar: an = ak + (n – k) · d

EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión: 4, 7, 10, 13, 16,…

Se trata de una progresión aritmética de diferencia d=3, se observa a partir de:

a2 – a1 = 7 – 4 = 3 a3 – a2 = 10 – 7 = 3 a4 – a3 = 13 – 10 = 3 a5 – a4 = 16 – 13 = 3

El término general será: an = a1 + (n – 1) · d = 4 + (n – 1) · 3 = 4 + 3n – 3 = 3n + 1 an = 3n + 1

Se puede comprobar que: a1 = 3 · 1 + 1 = 3 + 1 = 4 o a5 = 3 · 5 + 1 = 15 + 1 = 16


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EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión cuyo octavo término vale 28 (a8 =28) y la diferencia es d=5.

Se trata de una sucesión de la que conocemos:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

28

Sumando 5 a derechas del a8 y restando 5 a izquierdas del a8 se pueden conocer los términos de la sucesión:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

(–5) –7 (–5) –2 (–5) 3 (–5) 8 (–5) 13 (–5) 18 (–5) 23 28 (+5) 33 (+5) 38

Esta forma de proceder se puede utilizar cuando las sucesiones son sencillas de calcular y los términos solicitados son

relativamente cercanos al inicio de la progresión, pero en general deberemos hacer uso de las fórmulas. Una vez

conseguida la sucesión con su primer término y la diferencia se procede como en el ejemplo anterior:

Se trata de una progresión aritmética de diferencia d=5 y a1 = –7 y se tiene como término general:

an = a1 + (n – 1) · d = –7 + (n – 1) · 5 = –7 + 5n – 5 = 5n – 12 an = 5n – 12

Se puede comprobar que: a8 = 5 · 8 – 12 = 40 – 12 = 28

Aplicando las fórmulas desde el principio se debe proceder:

1.ª FORMA: Utilizando la expresión an = a1 + (n – 1) · d

Como no conocemos a1 la primera misión será calcular este primer término conocido el octavo a8 = 28 (n = 8):

a8 = a1 + (8 – 1) · d 28 = a1 + (8 – 1) · 5 28 = a1 + 7 · 5 28 = a1 + 35 a1 = 28 – 35 = –7

Una vez obtenido el primer término a1 = –7, se calcula el término general:

an = a1 + (n – 1) · d = –7 + (n – 1) · 5 = –7 + 5n – 5 = 5n – 12 an = 5n – 12


2.ª FORMA: Utilizando la expresión an = ak + (n – k) · d

Como no conocemos a1 utilizamos esta expresión donde ak = a8 = 28 (k = 8):

an = a8 + (n – 8) · d an = 28 + (n – 8) · 5 an = 28 + 5n – 40 an = 5n – 12


Este último procedimiento (2.ª FORMA) suele ser más corto que el anterior (1.ª FORMA).

EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión de la que conocemos a5 = 21 y a9 = 49.


a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

21 57

Aplicando las fórmulas se debe proceder:

1.ª FORMA: Utilizando la expresión an = a1 + (n – 1) · d

Como no conocemos ni “d” ni “a1” la primera misión será calcular estos parámetros conocidos a5 = 21 y a9 = 57:

a9 = a1 + (9 – 1) · d 57 = a1 + 8d

a5 = a1 + (5 – 1) · d 21 = a1 + 4d

Hemos obtenido un sistema que se puede resolver por sustitución o por reducción, lo resolvemos por ambos métodos:

.- Por sustitución: Despejamos a1 en la primera: a1 = 57 – 8d

Sustituimos en la segunda: 21 = 57 – 8d + 4d

Despejamos d: 4d = 57 – 21 = 36 d = 9

Calculamos a1 en una de las ecuaciones: a1 = 57 – 8d = 57 – 8 · 9 = 57 – 72 = –15

.- Por reducción: Restamos ambas ecuaciones y queda: 36 = 4d

Despejamos d: 4d = 36 d = 9

Calculamos a1 en una de las ecuaciones: a1 = 21 – 4d = 21 – 4 · 9 = 21 – 36 = –15

Una vez obtenido el primer término a1 = –15, se calcula el término general:

an = a1 + (n – 1) · d = –15 + (n – 1) · 9 = –15 + 9n – 9 an = 9n – 24


y que: a9 = 9 · 9 – 24 = 81 – 24 = 57


SAGRADO CORAZÓN


9

2.ª FORMA: Utilizando la expresión an = ak + (n – k) · d

Por esta vía no necesitamos conocer a1, basta con calcular “d” y lo hacemos sustituyendo a5 y a9 en la expresión:

an = ak + (n – k) · d a9 = a5 + (9 – 5) · d 57 = 21 + 4d 4d = 36 d = 9

Ahora se sustituye en una de las dos expresiones:

an = ak + (n – k) · d an = a9 + (n – 9) · 9 an = 57 + 9n – 81 an = 9n – 24

an = ak + (n – k) · d an = a5 + (n – 5) · 9 an = 21 + 9n – 45 an = 9n – 24


y que: a9 = 9 · 9 – 24 = 81 – 24 = 57

La sucesión que nos están pidiendo tiene los siguientes términos:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10

–15 –6 3 12 21 30 39 48 57 66

7.2 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Cuando tenemos una serie de números, sean una sucesión o no, muchas veces nos vemos en la necesidad de

tener que calcular su suma. En el caso de las progresiones aritméticas, dada su patrón de formación, es muy sencillo

el cálculo de esta suma de una manera intuitiva.

EJEMPLO_ Calcula la suma de los 100 primeros números naturales: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 … + 99 + 100.

Si tenemos en cuenta que 1 + 100 = 2 + 99 =

3 + 98 = … = 49 + 52 = 50 + 51 = 101, se

puede hacer el siguiente cálculo: 101 (es la

suma de cada pareja) · 50 (es el número de

parejas que se pueden formar con los 100

primeros números naturales) = 5.050 que es el

valor de la suma.

Como decimos en el caso de las progresiones aritméticas la fórmula que permite calcular la suma de los n

primeros números de la sucesión es:

2

naaS

n1

n

EJEMPLO_ Calcula la suma de los 100 primeros números naturales.

Consideramos la sucesión: 1, 2, 3, … , 99, 100, donde a1 = 1 y d = 1.

Para aplicar la fórmula necesitamos conocer a1, an y n. Sabemos que a1 = 1 y que n = 100, calculamos an:

an = a1 + (n – 1) · d = 1 + (n – 1) · 1 = 1 + n – 1 = n an = n y por tanto a100 = 100.

Aplicando la fórmula:

050.5501012

1001001

2

100aaS

1001

100

EJEMPLO_ Juan quiere comprarse una bicicleta de montaña de 825 €. Decide ahorrar 20 € el primer mes y cada 5 €

más que el anterior. ¿Cuántos meses tardará en ahorrar la cantidad necesaria para comprar la bici?

Consideramos las cantidades de ahorro como una sucesión aritmética con a1 = 20, d = 5 y Sn = 825.

Desconocemos an an = a1 + (n – 1) · d = 20 + (n – 1) · 5 = 20 + 5n – 5 = 5n + 15 an = 5n + 15.

Aplicando la fórmula:

0650.135nn5n535n1.650

2

n155n20825

2

naaS

22n1

n

por tanto debemos

resolver la ecuación de segundo grado (una vez simplificada): n2 + 7n – 330 = 0

No 222

44

2

377 n

Sí 152

30

2

377n

2

377

2

1.3497

2

1.320497

2

330)(1477n

2

12

La solución por tanto es n = 15, esto es, 15 meses tardará en ahorrar los 825 € que necesita.

1 2 3 … 49 50 51 52 … 98 99 100

101 101 101 101 101


SAGRADO CORAZÓN


10

Siendo a15: a15 = a1 + (15 – 1) · 5 = 20 + 14 · 5 = 20 + 70 = 90 a15 = 90.

Se puede comprobar que:

€8252

650.1

2

15110

2

519020

2

15aaS

151

15

También de una manera mecánica:

Mes1 Mes2 Mes3 Mes4 Mes5 Mes6 Mes7 Mes8 Mes9 Mes10 Mes11 Mes12 Mes13 Mes14 Mes15 Total

20 € 25 € 30 € 35 € 40 € 45 € 50 € 55 € 60 € 65 € 70 € 75 € 80 € 85 € 90 € 825 €

8. PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Una progresión geométrica es aquella sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando por una

cantidad fija (llamada razón “r”) al anterior. Si dividimos dos términos consecutivos se obtendrá la razón “r”.

8.1 TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

El término general de una progresión geométrica se obtiene mediante la expresión: an = a1 · rn–1

Partiendo de la definición de progresión geométrica se tiene:

a2 = a1 · r (1) a2 = a1 · r

a3 = a2 · r =(1) a1 · r · r = a1 · r

2 (2) a3 = a1 · r2

a4 = a3 · r =(2) a1 · r

2 · r = a1 · r3 (3) a4 = a1 · r

3

a5 = a4 · r =(3) a1 · r

3 · r = a1 · r4 (3) a5 = a1 · r

4 ……

an = an-1 · r = a1 · rn–2 · r = a1 · r

n–1 an = a1 · rn–1

Esta expresión del término general depende del conocimiento del primer término, pero habitualmente el que

se conoce es otro término cualquiera “ak”, por lo que la expresión se puede dar: an = ak · rn–k

EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión: 4, 12, 36, 108, 324,…

Se trata de una progresión geométrica de razón r=3, se observa a partir de:

34

12

a

a

1

2 3

12

36

a

a

2

3 3

36

108

a

a

3

4 3

108

324

a

a

4

5

El término general será: an = a1 · rn–1 = 4 · 3n–1 an = 4 · 3n–1

Se puede comprobar que: a1 = 4 · 31–1 = 4 · 30 = 4 · 1 = 4 o a5 = 4 · 35–1 = 4 · 34 = 4 · 81 = 324

EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión cuyo cuarto término vale 112 (a4 =112) y la razón es r=2.


Multiplicando por 2 a derechas del a4 y dividiendo por 2

a izquierdas del a4 se pueden conocer los términos de

la sucesión:

Esta forma de proceder se puede utilizar cuando las sucesiones son sencillas de calcular y los términos solicitados son

relativamente cercanos al inicio de la progresión, pero

en general deberemos hacer uso de las fórmulas.

Una vez conseguida la sucesión con su primer término

y la razón se procede como en el ejemplo anterior:

Se trata de una progresión geométrica de razón r=2 y a1 = 14 y se tiene como término general:

an = a1 · rn–1 = 14 · 2n–1 an = 14 · 2n–1

En ocasiones se puede operar sobre la expresión y escribir el término general de otra manera que no haga referencia

directamente al primer término, en este caso se podría operar: an = 14 · 2n–1 = 2 · 7 · 2n · 2-1 = 7 · 2n an = 7 · 2n

Se puede comprobar que: a4 = 14 · 24–1 = 14 · 23 = 14 · 8 = 112 o a4 = 7 · 24 = 7 · 16 = 112

Aplicando las fórmulas desde el principio se debe proceder:

1.ª FORMA: Utilizando la expresión an = a1 · rn–1

Como no conocemos a1 la primera misión será calcular este primer término conocido el cuarto a4 = 112 (n = 4):

a4 = a1 · r4–1 112 = a1 · 2

3 112 = a1 · 8 148

112a

1

a1 a2 a3 a4 a5 a6

112

a1 a2 a3 a4 a5 a6

(:2) 14 (:2) 28 (:2) 56 112 (·2) 224 (·2) 448


SAGRADO CORAZÓN


11

Una vez obtenido el primer término a1 = 14, se calcula el término general:

an = a1 · rn–1 = 14 · 2n–1 an = 14 · 2n–1

que también se puede expresar: an = 14 · 2n–1 = 2 · 7 · 2n · 2-1 = 7 · 2n an = 7 · 2n


2.ª FORMA: Utilizando la expresión an = ak · rn–k

Como no conocemos a1 utilizamos esta expresión donde ak = a4 = 112 (k = 4):

an = a4 · rn–4 an = 112 · 2n–4

que también se puede expresar: an = 7 · 16 · 2n · 2–4 = 7 · 24 · 2n · 2–4 = 7 · 2n an = 7 · 2n


Este último procedimiento (2.ª FORMA) suele ser más corto que el anterior (1.ª FORMA). Además podemos ver que la

forma de expresar el término general no es única, pues en este caso se han dado hasta tres diferentes.

EJEMPLO_ Calcula el término general de la sucesión de la que conocemos a3 = 75 y a6 = 9.375.


a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

75 9.375

Aplicando las fórmulas se debe proceder:

1.ª FORMA: Utilizando la expresión an = a1 · rn–1

Como no conocemos ni “r” ni “a1” la primera misión será calcular estos parámetros conocidos a3 = 75 y a6 = 9.375:

a6 = a1 · r6–1 9.375 = a1 · r

5

a3 = a1 · r3–1 75 = a1 · r

2

Hemos obtenido un sistema que se resolvemos por sustitución:

Despejamos a1 en la primera: 51

r

9.375a

Sustituimos en la segunda: 3

2

5 r

9.37575r

r

9.37575

Despejamos r: 512575

9.375r

75

9.375r

33

3

Calculamos a1 en una de las ecuaciones: 9.375 = a1 · 55 3

3.125

9.375

5

9.375a

51

Una vez obtenido el primer término a1 = 3, se calcula el término general:

an = a1 · rn–1 = 3 · 5n–1 an = 3 · 5n–1

Se puede comprobar que: a3 = 3 · 53–1 = 3 · 52 = 3 · 25 = 75

y que: a6 = 3 · 56–1 = 3 · 55 = 3 · 3.125 = 9.375

2.ª FORMA: Utilizando la expresión an = ak · rn–k

Por esta vía no necesitamos conocer a1, basta con calcular “r” y lo hacemos sustituyendo a3 y a6 en la expresión:

an = ak · rn–k a6 = a3 · r

6–3 9.375 = 75 · r3 512575

9.375r

75

9.375r

33

3

Ahora se sustituye en una de las dos expresiones:

an = ak · rn–k an = a6 · r

n–6 an = 9.375 · 5n–6 an = 3 · 3.125 · 5n · 5–6 an = 3 · 55 · 5n · 5–6 an = 3 · 5n–1

an = ak · rn–k an = a3 · r

n–3 an = 75 · 5n–3 an = 3 · 25 · 5n · 5–3 an = 3 · 52 · 5n · 5–3 an = 3 · 5n–1

Se puede comprobar que: a3 = 3 · 53–1 = 3 · 52 = 3 · 25 = 75

y que: a6 = 3 · 56–1 = 3 · 55 = 3 · 3.125 = 9.375

La sucesión que nos están pidiendo tiene los siguientes términos:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

3 15 75 375 1.875 9.375 46.875


SAGRADO CORAZÓN


12

8.2 SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

En el caso de las progresiones geométricas la deducción de la fórmula que permite calcular la suma de los

términos de dicha sucesión no es tan sencilla como en la aritmética, así que directamente vemos la fórmula que tiene

dos versiones:

1.ª VERSIÓN: Cuando conocemos el primer término “a1” y el último “an” a sumar y también se conoce la razón “r”.

1r

aarS

1n

n

2.ª VERSIÓN: Cuando conocemos el primer término “a1” y la razón “r”.

1r

1raS

n1

n

EJEMPLO_ Dada la progresión geométrica 1, 3, 9, 27, 81,… Calcula la suma de los diez primeros términos:

La razón es r = 3: 31

3

a

a

1

2 3

3

9

a

a

2

3 3

9

27

a

a

3

4 3

27

81

a

a

4

5

Aplicando las fórmulas:

1.ª VERSIÓN: No conocemos a10, debemos calcularlo, an = a1 · rn–1 a10 = 1 · 310–1 = 1 · 39 = 19.683 y ahora:

524.292

59.048

2

1-59.049

13

119.6833

1r

aarS

1n

n

2.ª VERSIÓN: Tenemos la información suficiente y por tanto:

524.29

2

048.29

2

048.591

2

159.0491

13

1r1

1r

1raS

10n1

n

También de una manera mecánica:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 TOTAL

1 3 9 27 81 243 729 2.187 6.561 19.683 29.524

7.3 SUMA DE LOS INFINITOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA DECRECIENTE

En el caso de las progresiones geométricas decrecientes r<1 (con r>0, cuando r<0 las sucesiones son

alternamente positivas negativas y casi no las estudiamos), se puede considerar la suma de todos los términos, pues a

partir de un momento de la sucesión, los términos son tan pequeños que no aportan nada a la misma.

La fórmula que permite calcular esta suma es: r1

aS

1

n

EJEMPLO_ Dada la progresión geométrica 1000, 500, 250, 125,… Calcula la suma de todos sus términos.

Se trata de una progresión geométrica decreciente de razón:

2

1r

2

1

000.1

500

a

a

1

2

2

1

500

250

a

a

2

3

2

1

250

125

a

a

3

4

Por tanto aplicando la fórmula: 000.2

2

1

000.1

2

12

000.1

2

1

2

2

000.1

2

11

000.1

r1

aS

1

n

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …….. TOTAL

1.000 500 250 125 62,5 31,25 15,625 7,8125 3,90625 1,953125 2.000


SAGRADO CORAZÓN


13

NOTAS_ PROPORCIONALIDAD y SUCESIONES

* SÍMBOLOS:

_ “Implica” o “quiere decir” o “supone que”, la relación es cierta de izquierda a derecha.

_ “Implica” o “quiere decir” o “supone que”, la relación es cierta de derecha a izquierda.

_ “Doble implica”, la relación es cierta en ambos sentidos.

≠ _ “Distinto” ∞ _ “Infinito” ≈ _ “Aproximado”

_ “Pertenece” _ “No pertenece” / _ “Tal que”

Π _ “Tal que” ∃ _ “Existe” ∄ _ “No existe”

α _ “Alfa” β _ “Beta” _ “Gamma”

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