PROPUESTA A

1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto)

b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales distintas

de la ecuación,

x5 – 5x + 3 = 0 (1 punto)

c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más de tres

raíces reales distintas. (0´5 puntos)

2A. Calcula las siguientes integrales:

3A. Sabiendo que

Calcula el valor de los determinantes

Indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.

(1´25 puntos por determinante)

4A. Dado el plano y el punto P( 1, 0, 0 ):

a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos)

b) Calcula el punto simétrico P´ de P respecto del plano . (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)

2

PROPUESTA B

1B. Dada la función

calcula los parámetros a, b R sabiendo que:

f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2

f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0. (2,5 puntos)

2B. Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones

f(x) = x3 – 3x

2 + 2x + 1 y g(x) = 1 (2,5 puntos)

3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R.

(1,5 puntos)

b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto)

4B. Dado el punto P(1, 0, 0) y la recta

a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta perpendicularmente a r.

(1,25 puntos)

b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos)

3

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA A

1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto)

b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales

distintas de la ecuación,

x5 – 5x + 3 = 0 (1 punto)

c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más

de tres raíces reales distintas. (0´5 puntos)

Solución.

a) Enuncia el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle. (1 punto)

Teorema de Bolzano. Dados dos valores reales a, b R con a < b y sea una función real de

variable real Rbaf ],[: continua sobre un intervalo cerrado y acotado con f(a)·f(b) < 0

entonces existe al menos un valor c ( a, b ) con f(c) = 0.

Teorema de Rolle. Dados dos valores reales a, b R con a < b y sea una función real de

variable real Rbaf ],[: continua sobre un intervalo cerrado y acotado, derivable en (a,b)

y tal que f(a) = f(b). Entonces existe al menos un valor real c ( a, b ) con f´(c) = 0.

b) Demuestra, usando el Teorema de Bolzano, que existen al menos tres raíces reales

distintas de la ecuación,

x5 – 5x + 3 = 0 (1 punto)

Solución. Sea la función f(x) = x5 – 5x + 3 que es una función continua, al ser un polinomio,

y consideramos los siguientes valores de abcisa, los cuales sustituimos en la función:

f(– 2) = (– 2)5 – 5·(– 2) + 3 = – 32 + 10 + 3 = – 19 < 0

f(– 1) = (– 1)5 – 5·(– 1) + 3 = – 1 + 5 + 3 = 7 > 0

f(1) = 15 – 5·1 + 3 = 1 – 5 + 3 = – 1 < 0

f(2) = 25 – 5·2 + 3 = 32 – 10 + 3 = 25 > 0

Por tanto, aplicando el Teorema de Bolzano a los intervalos [– 2, – 1], [– 1, 1] y [1, 2]

obtenemos que al menos existe una raíz en cada intervalo abierto (– 2, – 1), (– 1, 1) y (1, 2)

para la ecuación x5 – 5x + 3 = 0 y como son intervalos abiertos disjuntos serán raíces

distintas.

Concluimos por el Teorema de Bolzano que hay al menos tres raíces reales distintas de la

ecuación x3 – 5x + 3 = 0. Además, al menos una está en el intervalo (– 2, – 1), hay al menos

otra en el intervalo (– 1, 1) y hay al menos otra más en el intervalo (1, 2).

4

c) Demuestra, usando el Teorema de Rolle, que la ecuación anterior no puede tener más

de tres raíces reales distintas. (0´5 puntos)

Solución. Sea la función f(x) = x5 – 5x + 3 que es una función continua y sea su función

derivada f´(x) = 3x4 – 5 que es continua en R. La función f(x) está en las condiciones

descritas por el Teorema de Rolle en cualquier intervalo cerrado y acotado que deseemos.

Supongamos que f(x) tiene n raíces reales distintas con n > 3. Sean las raíces reales distintas,

que llamamos ordenadas de menor a mayor, x1, x2, x3, …, xn R En tal caso,

f(x1) = f(x2) = f(x3) = f(xn).

Por el Teorema de Rolle existe al menos un valor en el intervalo (x1, x2) donde f´(x) = 0;

al menos un valor en el intervalo (x2, x3) donde f´(x) = 0; … al menos un valor en el

intervalo (xn – 1, xn) donde f´(x) = 0.

Acabamos de demostrar de un modo correcto la existencia de al menos n – 1 raíces de f´(x)

con n > 3. Es decir, existen al menos 3 raíces de la ecuación 3x4 – 5 = 0.

Por otra parte, sabemos resolver algebraicamente dicha ecuación que, resulta tener

únicamente dos soluciones reales distintas:

cosa absurda según lo que hemos encontrado anteriormente.

Por tanto, el absurdo proviene de considerar que f(x) tiene más de tres raíces reales distintas.

Concluimos que el número de raíces de f(x) no puede superar el número de tres.

2A. Calcula las siguientes integrales:

Solución.

.

Se trata de una integral inmediata de tipo potencial

5

Se trata de una integral inmediata de tipo exponencial

Observar que la derivada de g(x) = es:

Por lo tanto,

3A. Sabiendo que

Calcula el valor de los determinantes

Indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.

(1´25 puntos por determinante)

Solución.

Comenzamos por el primero de los determinantes y vamos aplicando sucesivas propiedades

que explicamos a continuación según la reseña:

Las propiedades que hemos aplicado son las siguientes:

(1) Todo determinante con una fila o columna formada por sumas/restas se puede descomponer

en dos determinantes en que cada uno de ellos llevará uno de los dos sumandos/restandos de

cada una de las sumas/restas.

6

(2) Cualquier determinante con dos filas o dos columnas iguales es nulo.

(3) Al multiplicar un escalar cualquiera por un determinante se obtiene el mismo resultado que

si multiplicamos cualquier fila o columna del determinante por dicho escalar y efectuamos el

determinante resultante.

(4) Al intercambiar dos filas o dos columnas de un determinante, el valor del determinante

cambia de signo.

Calculamos ahora el segundo de los determinantes aplicando de nuevo las sucesivas

propiedades que volvemos a explicar a continuación según la reseña:

Las propiedades que hemos aplicado son las siguientes:

(1) y (3) Todo determinante con una fila o columna formada por sumas/restas se puede

descomponer en dos determinantes en que cada uno de ellos llevará uno de los dos

sumandos/restandos de cada una de las sumas/restas.

(2) y (4) Cualquier determinante con dos filas o dos columnas iguales es nulo.

4A. Dado el plano y el punto P( 1, 0, 0 ):

a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos)

b) Calcula el punto simétrico P´ de P respecto del plano . (1,25 puntos)

Solución.

a) Calcula el punto Q de que hace mínima la distancia a P. (1,25 puntos)

Calculamos la recta r perpendicular a que pasa por el punto P. El vector normal al plano

es . Este vector es un vector director de la recta r. unas ecuaciones vectoriales

de r serán:

Para calcular las coordenadas del punto Q, calculamos la intersección de la recta r con el

plano , sustituyendo las paramétricas de la recta r en el plano :

( 1 + t ) + ( 0 + t ) + 2·( 0 + 2t ) = 7 1 + t + t + 4t = 7 6t = 6 t = 1

7

Por tanto, las coordenadas del punto Q del plano con menor distancia al punto P son:

b) Calcula el punto simétrico P´ de P respecto del plano . (1,25 puntos)

El punto simétrico P´= (x, y, z) respecto del plano debe cumplir que

En tal caso,

8

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA PROPUESTA B

1B. Dada la función

calcula los parámetros a, b R sabiendo que:

f(x) tiene una asíntota oblicua de pendiente 2

f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0. (2,5 puntos)

Solución.

La pendiente de la asíntota oblicua a la función f(x) se calcula mediante:

Lo aplicamos al caso de la función f(x),

Por lo tanto, si la pendiente de la asíntota oblicua es m = 2 entonces,

Por otra parte, si f(x) tiene un mínimo relativo en el punto de abscisa x = 0, entonces f´(0) = 0.

Calculamos f´(x),

Sustituyendo en x = 0 tendremos que,

De donde, si f´(0) = 0 entonces b = 0.

Concluimos que para que se den las condiciones impuestas, a = 4 y b = 0.

9

2B. Calcula el área encerrada entre las gráficas de las funciones

f(x) = x3 – 3x

2 + 2x + 1 y g(x) = 1 (2,5 puntos)

Solución. Calculamos las abcisas de los puntos de corte de las dos gráficas funcionales a través

de la ecuación:

f(x) = g(x) x3 – 3x

2 + 2x + 1 = 1 x

3 – 3x

2 + 2x = 0

Resolvemos la ecuación,

Resolvemos la ecuación

Observamos que las funciones se cortan en tres puntos de abcisas x = 0, x = 1 y x = 2 de donde

habrá dos regiones delimitadas. Una primera región cerrada y acotada estará entre 0 y 1 y la

segunda entre 1 y 2.

En la región entre 0 y 1, observamos que la función

f(0´5) = 0´53 – 3·0´5

2 + 2·0´5 + 1 = 0´125 – 0´75 + 1 + 1 = 1´375 > 1 = g(0´5)

y por cuestiones de continuidad entonces concluimos que f(x) > g(x) en (0,1)

En la región entre 1 y 2 observamos que la función

f(1´5) = 1´53 – 3·1´5

2 + 2·1´5 + 1 = 0´625 < 1 = g(1´5)

y por cuestiones de continuidad entonces concluimos que f(x) < g(x) en (1,2)

Por tanto, la suma de las áreas de las regiones que delimitan las funciones f(x) y g(x) vendrán

definidas por la siguiente expresión integral:

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Calculamos dicho área:

Por tanto, el área de los dos recintos limitados por las funciones f(x) y g(x) suman un área

de 0´5 u2.

3B. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro m R.

(1,5 puntos)

b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto)

Solución.

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a R.

(1,5 puntos)

La matriz de coeficientes del sistema es:

11

Estudiamos su rango. Para ello calculamos su determinante:

|A| =0 + 2a2 – 6 – 0 + 3a + a = 2a

2 +4a – 6

Igualamos a cero el determinante y resolvemos la ecuación para ver qué valores anulan al

determinante. Para ello, aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:

Por lo tanto, hacemos las siguientes consideraciones:

Si a ≠ 1 y a≠ – 3 entonces |A| ≠ 0 y entonces Rg(A) = 3. Como Rg(A) ≤ Rg(A*) = 3

entonces también ocurre que Rg(A*) = 3 y por lo tanto, Rg(A) = Rg(A

*) = 3 = nº de

incógnitas. Por el teorema de Rouché-Fröbenius el Sistema es Compatible Determinado y

tiene una sola solución.

Si a = 1, el sistema queda de la forma,

donde se observa

que, por lo dicho anteriormente Rg(A) < 3, y estudiando su matriz de coeficientes

Tenemos al menos un menor de orden 2 con determinante no nulo,

. Por tanto, Rg(A) = 2.

Mientras, en la matriz ampliada

Observamos que la matriz ampliada añade una columna pero se conserva la combinación

lineal según la cual F3 = F1 + F2 que ya se daba en la matriz de coeficientes. Por lo tanto,

Rg(A*) < 3.

Como 2 = Rg(A) ≤ Rg(A*) < 3 entonces también ocurre que Rg(A

*) = 2 y por lo tanto,

Rg(A) = Rg(A*) = 2 < nº de incógnitas. Por el teorema de Rouché-Fröbenius el Sistema es

Compatible Indeterminado y tiene una sola solución.

12

Si a = – 3, el sistema queda de la forma,

donde se

observa que, por lo dicho anteriormente Rg(A) < 3, y estudiando su matriz de coeficientes

Tenemos al menos un menor de orden 2 con determinante no nulo,

. Por tanto, Rg(A) = 2.

Mientras, en la matriz ampliada

Observamos que existe un menor de orden tres en la matriz ampliada cuyo determinante es

no nulo:

Por lo tanto, Rg(A*) = 3.

Como 2 = Rg(A) ≠ Rg(A*) = 3 entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el Sistema

es Incompatible y NO tiene soluciones.

En resumen:

Si a ≠ 1 y a≠ – 3 entonces el Sistema es Compatible Determinado y tiene una única solución.

Si a = 1 el sistema es Compatible Indeterminado y tiene infinitas soluciones.

Si a = – 3 el sistema es Incompatible y no tiene soluciones.

b) Resuélvelo para el valor a = 1. (1 punto)

En el apartado anterior hemos concluido que para a = 1 el sistema es Compatible

Indeterminado y, por tanto, tiene infinitas soluciones. El sistema para este caso es de la

forma:

13

Donde un menor de orden dos que tiene determinante no nulo es

.

Como el determinante

podemos eliminar la tercera ecuación y convertir en

parámetro a la incógnita z de tal modo que el nuevo sistema lineal a resolver es de la forma:

Por lo tanto, sustituyendo el valor de x de la segunda ecuación en la primera y despejando “y”

en la primera ecuación en función del parámetro “z” tendremos unas paramétricas de las

infinitas soluciones del sistema:

Por tanto, las soluciones quedan determinadas por las paramétricas:

x = 1 + 3z y = – 1 – 5z z = z con z R

4B. Dado el punto P( 1, 0, 0 ) y la recta

a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta

perpendicularmente a r. (1,25 puntos)

b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos)

Solución.

a) Da unas ecuaciones paramétricas de la recta s que pasa por P y corta

perpendicularmente a r. (1,25 puntos)

Calculamos el plano perpendicular a la recta r que contiene al punto P. Como el vector

director de la recta r es tendremos que un vector normal al plano será

igualmente

Por lo que una ecuación general del plano vendrá dada por la expresión:

14

Como queremos que P entonces sus coordenadas deben verificar la ecuación del plano:

2·1 + 0 = d d = 2

Luego la ecuación general del plano que contiene al punto P y es perpendicular a la recta r

es:

El punto de corte de este plano con la recta r viene dado por la intersección de los lugares y

se calcula sustituyendo las paramétricas de la recta en la ecuación del plano:

Luego las coordenadas del punto Q en que se cortan la recta r y el plano es:

La recta “s” que es perpendicular a la recta “r” y que pasa por el punto P viene descrita por

ecuaciones paramétricas que definen dos de sus puntos, y en concreto, P y el punto Q y son:

b) Calcula la distancia de P a r. (1,25 puntos)

La distancia entre P y r viene definida por la distancia entre el punto P y el punto Q. Esta

distancia se calcula mediante el módulo del vector

Por lo tanto, la distancia entre P y r es de