Propuesta para la Enseñanza de Función Afín

Ociel López Jara

Introducción

Es de mi interés entregar una propuesta didáctica para la conceptualización de función afín

y evitar la confusión con ecuación lineal.

Cribeiro, Madrid & Fraga (2014) señala que, los docentes y texto frecuentemente presentan

las funciones y las ecuaciones como la representación de la expresión matemática que

vincula las variables, quitándole importancia al rol de los conjuntos de partida y llegada. Lo

anterior significa que, frecuentemente los profesores presentan el concepto de función

lineal sin hacer énfasis en las restricciones que se deben considerar al definir este objeto

matemático. No es suficiente que se defina una función por medio de la expresión

algebraica, es necesario que el profesor genere diversas instancias para que el alumno

reconozca y opere las diferentes propiedades que posee una función (afín, en este caso) y

así pueda reconocer las diferencias con una ecuación.

Para alcanzar lo anterior, resulta fundamental ayudarse con actividades que incluyen el uso

del software GeoGebra, el que permite entregar un ambiente dinámico para que el alumno

pueda experimentar diversas situaciones que lo lleven a internalizar las principales

propiedades de una función. Por otro lado, este software permite trabajar el concepto de

función afín en diferentes registros semióticos y realizar diversas conversiones que

permitirán al alumno una adecuada conceptualización del objeto matemático función (afín)

y no confundirlo con su representación.

Antecedentes históricos-epistemológicos

El concepto de función se relaciona con un sinnúmero de situaciones que pueden ser

modeladas a través de él, ya sea en temas propios de la matemática como en otras

disciplinas; en sus orígenes estaba relacionado principalmente con fenómenos naturales.

No es simple establecer un periodo exacto en el cual situar el nacimiento del concepto de

función. El estudio de fenómenos naturales como el movimiento durante la Edad Media,

produjo un cambio de mentalidad y provocó los primeros intentos para representar

gráficamente la dependencia entre variables. Nicolás de Oresme (1323-1382) da la primera

aproximación al concepto de función, cuando describió las leyes de la naturaleza como

relaciones de dependencia entre dos magnitudes. Fue Oresme quien se preguntó ¿por qué

no hacer un dibujo o grafica de la manera en que las cosas varían? Esta es una sugerencia

primitiva de lo que ahora llamamos la representación gráfica de funciones (Boyer, 1987).

Galileo Galilei (1564-1642) posteriormente plantearía los fenómenos de la naturaleza

mediante relaciones matemáticas expresadas por fórmulas, lo que da paso al estudio de la

mecánica. En el siglo XVII, época de Descartes, Fermat, Newton y Leibnitz, aparece por

primera vez el término función. Se debe a Leibniz el nombre de función (Boyer, 1987). Sin

embargo, la idea de función era muy limitada pues se reducía al estudio de funciones

analíticas, es decir, aquellas que se pueden expresar mediante una ecuación algebraica.

René Descartes (1596-1650) da los primeros pasos en utiliza las primeras letras del alfabeto

como parámetros y las últimas como incógnitas o variables, acercándose a la simbología

actual. Su trabajo permitió la visualización de dependencia, ya que por primera vez la

expresión algebraica aparece, relacionando el lenguaje geométrico y algebraico. En el siglo

XVIII, Euler (1707-1783) dio la primera definición formal de función, a partir de entonces

comienza a generalizarse el concepto como consecuencia de la aparición de funciones cada

vez más complejas. La introducción de la teoría de conjuntos junto con la definición de

función atribuida a Dirichlet (1805-1859) permite una mayor abstracción del concepto de

función para convertirlo en un objeto de estudio matemático. El objetivo de crear un

lenguaje más efectivo condujo a la generalización de los términos: constante, variable,

coordenadas y parámetro dándoles el significado actual.

Teoría de Registros de Representación Semióticos

Raymond Duval (1995, 2004) es quien desarrolla la Teoría de Registros de Representación

Semióticas. Según señala Oviedo & Kanashiro (2012) la actividad cognitiva de enseñar y

aprender matemática requiere la utilización de distintos registros de representación y de

expresión, además de las imágenes y del lenguaje natural.

En matemática se entiende por representaciones, las notaciones simbólicas y graficas al

igual que las expresiones verbales, que permiten expresar los conceptos, procedimientos y

propiedades más relevantes de la matemática (Gruszycki, Oteiza, Maras, Gruszycki, &

Ballés, 2014). Las representaciones se agrupan en registros según sus carateristicas, por

ejemplo para la nocion de función hay un registro gráfico, uno algebraico y uno tabular.

Duval indica que los objetos matemáticos al no ser materiales necesitan más de una forma

de representación para su aprendizaje. Dentro de los registros se pueden realizar

transformaciones de las representaciones, lo que es llamado tratamientos. Además, se

pueden realizar transformaciones entre diferentes registros, acción llamada conversión.

Para nuestro tema principal, las funciones, una conversión sería la transformación de la

información del registro tabular al registro gráfico (Gruszycki et al, 2014).

Oviedo & Kanashiro (2012) nos ilustra con otro ejemplo: para el concepto de número

fraccionario, un registro semiótico es el “lenguaje aritmético” y dentro de él una

representacion semiótica sería la escritura fraccionaria 1

4 y otra representación sería la

escritura decimal 0,25; tratamiento es transformar entre la escritura fraccionaria y la

escritura decimal.

Duval (como se cita en Gruszycki et al, 2014) señala “Para la actividad matemática es

esencial poder movilizar varios registros de representación semiótica (figuras, gráficas,

simbólica, lengua natural, etc.) en el transcurso de una misma tarea (…)”.

La apropiación de un concepto depende en gran parte de la capacidad para

reconocer e interpretar diversas representaciones del mismo elemento. El lenguaje

representacional tiene un papel muy importante en el aprendizaje de las

matemáticas, la posibilidad de usar varios registros de representación (lenguaje

natural o formal, gráficos, figuras, esquemas…) es una característica muy

significativa de la actividad matemática. (Villarraga Perlaza, 2012, p 27)

El apoyo del software GeoGebra

Para que los alumnos puedan movilizar varios registros de representación y realizar

conversiones entre ellos, se requiere crear condiciones para que las transformaciones se

produzcan. Normalmente los textos y los profesores se limitan a presentar los objetos

matemáticos en un solo registro, por ejemplo el algebraico. Los objetos matemáticos, por

ser abstractos, requieren ser presentados por medio de representaciones para lograr su

conceptualización, por lo anterior se hace necesario replantearse la forma se enseñar los

objetos matemáticos.

El uso de herramientas informáticas en apoyo al proceso enseñanza-aprendizaje resulta un

aporte en este sentido, permitiendo acercar los conceptos por medio de diferentes

representaciones (Gruszycki et al, 2014).

Las herramientas informáticas ofrecen diversos escenarios que puden resultar de vital

apoyo en la clase de matematica. Por un lado, permiten crear las condiciones necesarias

para que los alumnos experimeten los cambios de registros semióticos para un obejeto

matematico y logren su conceptualización por sobre las diferentes representaciones. Por

otro lado, el uso de herramientas informáticas le permite al profesor proponer situaciones

didacticas que involucren al alumnos más allá del puro conocimiento, permientiendo que

los alumnos participen activamente en la construcción de su aprendizaje en matemática y

desarrollen habilidades, como plantear conjeturas y probarlas, argumentar, comprobar

propiedades, desarrollar el pensamiento matemático, analisis critico, etc. Es decir, un

complemento ideal para el enfoque del aprender haciendo.

Una herramienta informática que reune las caracteristicas para ser empleda con los

propositos ya mencionados, es el software libre GeoGebra. Este software tiene la opción de

presentar en varias vistas los obejetos matemáticos: vista algebraica, vista gráfica, vista

CAS, vista hoja de cálculo y vista 3D. Esto perimite visualizar los objetos matemáticos en

más de un registro semiótico posibilitando que el alumnos conceptualice mejor los diverso

contenidos.

GeoGebra se encuentra dentro de los software de geometría dinámica (SGD), sobre los

cuales Arcavi & Hadas (como se citan en Santos-Trigo, 2011) afirman:

Los ambientes dinámicos no sólo permiten a los estudiantes construir figuras con

ciertas propiedades y visualizarlas, sino que también les permite transformar esas

construcciones en tiempo real. Este dinamismo puede contribuir en la formación de

hábitos para transformar (mentalmente o por medio de una herramienta) una

instancia particular, para estudiar variaciones, invariantes visuales, y posiblemente

proveer bases intuitivas para justificaciones formales de conjeturas y proposiciones.

Se puede utilizar gráficos cartesianos para representar una función y en un siguiente paso,

se expresa con una expresión algebraica la misma función, en estos cambios está presente

el mismo objeto matemático en dos tipos de representaciones diferentes. En otras palabras,

estos cambios de registros son importantes ya que si se enseña en una sola forma quedarían

propiedades relevantes fuera, por ello es necesaria la conversión de los sistemas de

representación. GeoGebra permite que las representaciones, que antes eran estáticas, se

muestren ahora de manera dinámica e interactiva, lo que favorece el proceso de enseñanza

y de aprendizaje. Además, se pueden crear, ya sea en una misma actividad o actividades

separadas, construcciones que permitan realizar tratamientos y/o conversiones con el

propósito de generar diversos registros y/o representaciones que favorezcan la

conceptualización de la noción de función (afín).

El programa de estudio

El programa de estudio de la asignatura de matemática para el nivel 8vo básico

(MINEDUC, 2016), considera en el eje de Algebra y Funciones la noción de función, de

función lineal y de función afín. Uno de los objetivos de aprendizaje relacionado con la

función afín dice:

Mostrar que comprenden la función afín:

Generalizándola como la suma de una constante con una función lineal.

Trasladando funciones lineales en el plano cartesiano.

Determinando el cambio constante de un intervalo a otro, de manera gráfica y

simbólica, de manera manual y/o con software educativo.

Relacionándola con el interés simple.

Utilizándola para resolver problemas de la vida diaria y de otras asignaturas.

Lo que llama la atención en esta parte del programa, es que usa el término “ecuación

funcional” (MINEDUC, 2016, p.102), que es un concepto de matemática más avanzada y

no de un nivel 8vo básico. Además, se usa una combinación de los términos ecuación y

función lo que puede provocar confusión en los alumnos y en definitiva a no diferenciar

ambos conceptos.

Otro aspecto que llama la atención, es que en esta parte del programa, al tratar el concepto

de función, no se especifican el dominio ni el recorrido, lo que lleva a que el alumno no

reconozca las restricciones que debe poseer la definición de una función. Igual cosa sucede

con la identificación de las variables involucradas.

Considerando esta situación que presenta el programa de la asignatura de matemática, es

que resulta de interés entregar una propuesta didáctica para que los alumnos de 8vo de

enseñanza básica logren un adecuado aprendizaje del concepto de función afín, propuesta

que igual puede ser extendida para otras funciones.

Trabajos citados

Boyer, C. B. (1987). Historia de la Matemática. Alianza Editorial.

Cribeiro, J., Madrid, H., & Fraga, J.-L. (2014). ¿ Relación, función ó ecuación? El Cálculo

y su Enseñanza, Vol 5(Año 5), p. 41-56.

Duval, R. (2004). Semiosis y Pensamiento Humano. Registros Semióticos y Aprendizajes

Intelectuales. (M. Vega Restrepo, Trad.) Santiago de Cali, Colombia: Universidad

del Valle.

Gruszycki, A., Oteiza, L., Maras, P., Gruszycki, L., & Ballés, H. (2014). Geogebra y los

sistemas de representación semióticos. (P. Lestón, Ed.) Acta Latinoamericana de

Matemática Educativa, 2169-2176.

MINEDUC. (2016). Programa de Estudio de Matemática Octavo Básico. Chile.

Ochoviet, C. (2007). De la Resolución de Ecuaciones Polinómicas al Algebra abstracta: un

paseo a través de la historia. Revista digital Matemática, Educación e Internet,

Vol.8(1). Montevideo, Uruguay.

Oviedo, L. M., & Kanashiro, A. M. (2012). Los registros semióticos de representación en

matemática. Aula Universitaria(Nro 13), 29-36.

Santos-Trigo, L. (2011). La Educación Matemática, resolución de problemas y el empleo

de herramientas computacionales. Cuadernos de Investigación y Formación en

Educación Matemática., 6(8), 35-54.

Villarraga Perlaza, S. (2012). La función cuadrática y la modelación de fenómenos físicos o

situaciones de la vida real utilizando herramientas tecnológicas como instrumentos

de mediación. Maestría thesis, Universidad Nacional de Colombia.