Proyecto de Calculo I - Montaña Rusa

7/21/2019 Proyecto de Calculo I - Montaña Rusa

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CÁLCULO I



FACULTADA DE INGENIERÍA

CARRERA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CALCULO I

“DISEÑO DEL ASCENSO Y DESCENSO DE UNA MONTAÑA RUSA PARAPLAY LAND PARK”

EMPRESA : PLAY LAND PARK

RAZÓN SOCIAL : ESPECTÁCULOS INTERNACIONALES S.A.C

DEPARTAMENTO O SECCIÓN : RECREACIÓN Y ENTRETENIMIENTO

TEMA DE APLICACIÓN : APLICACIONES DE DERIVADAS

CODIGO APELLIDOS Y NOMBRES C1 C2 C3 C4 C T!"#$

62020 Castillo Estees! Cesa"

6#0$$ %alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e"

$$)#$ *+sti(ia(o C"+,a&o! *+a( &e Dios

6--/ Ma"( Ma"t(e,! A(&"1

6-$-/ Á(+lo to""es! Ste34a(ie

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&AL&ERDE MORALES' MIGUEL

DOCENTE

T()*+$$!' N!,+-./(- 2014

CÁLCULO I 2



Contenido

CAPITULO I: PLAN DE IN&ESTIGACIÓN11 SITUACIÓN PROBLEMTICA

111 MISIÓN DE LA EMPRESA 112 &ISIÓN DE LA EMPRESA 12 PROBLEMA 13 5IPÓTESIS 14 OB6ETI&OS 141 GENERAL 142 ESPECÍFICOS

CAPITULO II: MARCO TEORICO21 FUNCIÓNES 10211 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 11

2111 F)78+97 C!7"#7"- 112112 F)78+97 I;-7"+;#; 112113 F)78+97 L+7-#$ 122114 F)78+97 C)#;(<"+8# 1222 LA DERI&ADA 13TANGENTES 13DEFINICIÓN DE LA RECTA TANGENTE 14221 DERI&ADA DE UNA FUNCIÓN 1222 REGLAS DE DERI&ACIÓN 1

CAPITULO III: DESARROLLO DEL PROYECTO

31 PREMISA 2032 SOLUCION 2133 CONCLUSIONES 234 BILBLIOGRAFÍA 2

CÁLCULO I 3



INFORMACIÓN DEL GRUPO

ASISTENCIA A REUNIONES:

N!./(-=F-8># 0=0?=2014

0@=0?=201

4

14=0?=201

4 1?=0?=2014 1@=0?=2014 23=0?=2014

CastilloEstees! Cesa"

%alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e"

*+sti(ia(oC"+,a&o! *+a(&e Dios

Ma"( Ma"t(e,! A(&"1

Á(+lo to""es!Ste34a(ie

APORTE AL PROYECTO:

N!./(-

M#(8!

T-9(+8! A$+8#8+97 D!8).-7"#8+97 I7,-"+#8+97

Castillo Estees! Cesa"

%alla"&o Ma"tel! Ale'a(&e"

*+sti(ia(o C"+,a&o! *+a(&e Dios

Ma"i( Ma"ti(e,! A(&"e

Á(+lo to""es! Ste34a(ie

CÁLCULO I 4



INTRODUCCIÓN

El 3"ese(te t"a5ao tit+la&o 7&ete"8i(a9i:( &el as9e(so ; &es9e(so &e +(a

8o(ta<a "+sa=! >+e &esa""olla&o a 5ase &e i(estia9i:( &e la 8is8a!

"e9o3ila(&o i(>o"8a9i:( &e la e83"esa ; +tili,a(&o 9o(o9i8ie(tos

8ate8?ti9os.

E( este &o9+8e(to se a(ali,a &e @+1 8a(e"a se 3+e&e &ete"8i(a" el

as9e(so ; &es9e(so &e +(a 8o(ta<a "+sa.

E( el Ca3t+lo I se 4a5la so5"e la "eali&a& 3"o5le8?ti9a @+e se 3"ese(ta! la

4i3:tesis ; los o5etios &e est+&io &e>i(i&os.

E( el Ca3t+lo II se &etalla el Ma"9o Te:"i9o! e( el 9+?l se to8a e( 9+e(ta

9ie"tas &e>i(i9io(es 8ate8?ti9as @+e a;+&a"?( a 9o83"e(&e" 8eo" la

"esol+9i:( &el 3"o5le8a &e &ete"8i(a9i:( &el as9e(so ; &es9e(so &e +(a

8o(ta<a "+sa.

E( el Ca3t+lo III! se &etalla el Desa""ollo &el P"o;e9to. E( ella se 4a9e el

est+&io 9o83leto 9o( a;+&a &e &atos &a&os 3o" la e83"esa 8is8a ; a 3a"ti"

&e ellos llea" a 9o(9l+sio(es ; "es+lta&os.

CÁLCULO I 5



CÁLCULO I 6

CAPTULO IPLAN DE

INVESTI%ACIÓN



HC+?l es el 3"i8e" as9e(so ; &es9e(so &e +(a 8o(ta<a "+sa! sa5ie(&o @+e

la e83"esa 4a 3+esto 9o8o 3a"?8et"os @+e la 3e(&ie(te &e as9e(so &e la

8o(ta<a "+sa sea &e 0./ ; el &es9e(so &e ).6

13 5IPÓTESIS

Se 3+e&e &ete"8i(a" el as9e(so ; &es9e(so &e la 8o(ta<a "+sa 8e&ia(te el

+so &e &e"ia&as.

14 OB6ETI&OS141 GENERAL

Dete"8i(a" 3o" 8e&io &el +so &e &e"ia&as el 3"i8e" as9e(so ;

&es9e(so &e la 8o(ta<a "+sa.142 ESPECÍFICOS

• I&e(ti>i9a" la 3e(&ie(te.

A3li9a" los 9o(o9i8ie(tos a&@+i"i&os e( el 9+"so &e 9?l9+lo )

CÁLCULO I 8



CÁLCULO I 9

CAPTULO IIMARCO

TEÓRICO



Fuente: Cálculo de una variable. James Stewart

Gráfico 1

21 FUNCIÓNES1:

U(a >+(9i:( es +(a "ela9i:( e(t"e &os 8a(it+&es! &e tal 8a(e"a@+e a 9a&a alo" &e la 3"i8e"a le 9o""es3o(&e +( (i9o alo" &e lase+(&a! lla8a&a i8ae(.

E*-.$!: 3 0.5 y x= +

Sie(&o ' el t ie83o e( 8i(+tos @+e &+"a el iae.

Co8o 3o&e8os o5se"a" la >+(9i:( "ela9io(a &os a"ia5les x e y .x es la a"ia5le i(&e3e(&ie(te.y es la a"ia5le &e3e(&ie(te &e3e(&e &e los 8i(+tos @+e &+"e eliaeF.

Las >+(9io(es se "e3"ese(ta( so5"e +(os ees 9a"tesia(os 3a"a

est+&ia" 8eo" s+ 9o83o"ta8ie(to.

1 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.30

CÁLCULO I10

)0 20 -0

Y 3 0 / )- )/



Gráfico 2

Gráfico 3

211 CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES:

2111 F)78+97 C!7"#7"-2:( ) F x b=

:

: 3

Dom R

Ran

2112 F)78+97 I;-7"+;#;3 :( ) F x x=

:

:

Dom R

Ran R

2 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.313 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.31

CÁLCULO I11

Fuente: Cálculo de unavariable. James Stewart




Gráfico 4

Gráfico 5

2113 F)78+97 L+7-#$4:( ) F x ax b= +

:

:

Dom

Ran

R

R

2114 F)78+97 C)#;(<"+8#:( ) ² F x ax bx c= + +

:

: 3,

Dom

Ran +∞

R

22 LA DERI&ADA

4 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.325 Cálculo de una variable, james Stewart, pág.32

CÁLCULO I12





Gráfico 6

Gráfico 7

El 3"o5le8a &e e(9o(t"a" la "e9ta ta(e(te &e +(a 9+"a ; el 3"o5le8a &e4alla" la elo9i&a& &e +( o5eto 9o83"e(&e( &ete"8i(a" el 8is8o ti3o &el8ite. Este ti3o es3e9ial &e l8ite "e9i5e el (o85"e &e &e"ia&a ; e8os@+e se 3+e&e i(te"3"eta" 9o8o +(a "a3i&e, &e 9a85io e( 9+al@+ie"a &e las9ie(9ias o e( i(e(ie"a.

Ta(e(tesJ6

Si +(a 9+"a C tie(e e9+a9i:(( ) y f x=

; &esea8os 4alla" la "e9ta ta(e(te

a C e( el 3+(to ( )( ), P a f a

! e(to(9es 9o(si&e"a8os +( 3+(to 9e"9a(o

( )( ),Q x f x ! &o(&e x a= ; 9al9+la8os la 3e(&ie(te &e la "e9ta se9a(te PQ J

( ) ( ) f x f ampq

x a

−=

−

Fuente: Cálculo de una variable-James Stewart

A 9o(ti(+a9i:( 4a9e8os @+e Q se a3"o'i8e a P a lo la"o &e la 9+"a C

&ea(&o @+e x x se a3"o'i8e a a . Si PQmse a3"o'i8a a +( (8e"o m !

e(to(9es &e>i(i8os la tangente t 9o8o la "e9ta @+e 3asa 3o" P 9o(3e(&ie(te m. Esto si(i>i9a &e9i" @+e la "e9ta ta(e(te es la 3osi9i:( l8ite

&e la "e9ta se9a(te PQ 9+a(&o Q se a3"o'i8a a P . ea "a>i9o

6 Cálculo de una variable, a!e" #$e%ar$, &á'ina 135

CÁLCULO I 13




D-+7+8+97 ;- $# (-8"# "#7-7"-:

La (-8"# "#7-7"- a la 9+"a ( ) y f x= e( el 3+(to ( )), ( P a f a es la "e9ta @+e3asa 3o" P 9o( 3e(&ie(teJ

( ) ( )lim x a

f x f am

x a→

−=

−Sie83"e @+e e'ista este l8ite

Ee83lo )J E(9+e(t"e la e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te a la 3a"?5ola2 y x= e(

el 3+(to ( )1, 1 . P

SOLUCIÓNJ

A@+ te(e8os 1a = ; ( ) 2 f x x=

! &e 8o&o @+e la 3e(&ie(te esJ

1

2

1

1

( ) (1)lim

1

1lim

1

( 1)lim

x

x

x

f x f m

x

x

x

x

→

→

→

−=

−

−=

−

−

=

( 1)

1

x

x

+

−

1lim( 1) 1 1 2 x

x→

= + = + =

Usa(&o la >o"8a3+(to 3e(&ie(te 3a"a +(a "e9ta @+e 3asa 3o" el 3+(to x )!y )F 9o( 3e(&ie(te mJ 1 1( ) y y m x x− = −

E(9o(t"a8os @+e +(a e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te e( )! )F esJ

Cálculo de una variable, james Stewart, página 135!13"

CÁLCULO I14



Gráfico 8

1 2( 1) y x− = − O 2 1 y x= −

Si( e85a"o 4a; ot"a e'3"esi:( 3a"a la 3e(&ie(te &e +(a "e9ta ta(e(te @+e

a e9es es 8?s >?9il &e +sa". Si h x a= − ! e(to(9es x a h= + ; 3o" ta(to la

3e(&ie(te &e la "e9ta se9a(te PQ es

( ) ( ) PQ f a h f amh

+ −=

Ve" "?>i9o /F! &o(&e el 9aso h>0 est? il+st"a&o ; Q est? a la &e"e94a &e P .Si o9+""e @+e h<0! si( e85a"o! Q esta"a a la i,@+ie"&a &e P .F

O5se"e @+e 9+a(&o x se a3"o'i8a a ,a h se a3"o'i8a a 0 3o"@+e)h x a= − ; e(to(9es la e'3"esi:( 3a"a la 3e(&ie(te &e la "e9ta ta(e(te e( la

De>i(i9i:( ) se 9o(ie"te e(

0( ) ( )lim

h f a h f am

h→+ −=


221 D-(+,#;# ;- )7# )78+97:

La ;-(+,#;# ;- )7# )78+97 f -7 )7 7H.-(! a ' &e(ota&a 3o" ( )´ f a=

! es

´

0

( ) ( )( ) limh

f a h f a f ah→

+ −= G Si este l8ite e'iste

8 Cálculo de una variable, a!e" #$e%ar$, &á'ina 138(139

CÁLCULO I15



Gráfico 9

SOLUCIÓN Del Ee83lo # sa5e8os @+e la &e"ia&a &e2( 9) 8 f x x x= − + e(

el (8e"o a

Es (́ ) 2 8 f a a= − . Po" ta(to! la 3e(&ie(te &e la "e9ta ta(e(te e( ( )3, 6 .− es.

( ) ( )´ 3 2 3 8 2. f = − = − E(to(9es la e9+a9i:( &e la "e9ta ta(e(te! 8ost"a&a e( el

"a>i9o ! es( 6) ( 2)( 3) y x− − = − − o 2 y x= −


222 REGLAS DE DERI&ACIÓN

R-$# 7 1 D-(+,#;# ;- )7# )78+97 8!7"#7"- @

La 3"i8e"a "ela &e &e"ia9i:( es @+e la &e"ia&a &e 9+al@+ie" >+(9i:(9o(sta(te es la >+(9i:( 9e"o.

Si f es la >+(9i:( 9o( el alo" 9o(sta(te 9! e(to(9es

df

dx=

d

dx=(c)=0

R-$# 7 2 Regla de la potencia para potencias enteras positivas de x. 10

Si n es +( e(te"o 3ositio! e(to(9es

d

dx( xn)=n x

n−1

# Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +1010 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +10-

CÁLCULO I17



R-$# 7 3 Regla de suma y diferencia 11

La &e"ia&a &e la s+8a o &e la &i>e"e(9iaF &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ;g es &e"ia5le e( s. A&e8?s! la &e"ia&a &e f +g (o f −g) es i+al a la

s+8a o &i>e"e(9iaF &e las &e"ia&as &e f y g.

R-$# ;- $# ).#

d

dx [ f ( x )+g ( x ) ]=f

' ( x )+g ' ( x )

R-$# ;- $# (-"#

d

dx [ f ( x )−g ( x ) ]=f

' ( x)−g' ( x)

R-$# 7 4 Regla del producto 12

El 3"o&+9to &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ; g ta85i1( es &e"ia5le. A&e8?s! s+ &e"ia&a es i+al a la 3"i8e"a >+(9i:( 3o" la &e"ia&a &e lase+(&a 8?s la &e"ia&a &e la 3"i8e"a 3o" la se+(&a.

d

dx [f ( x ) g ( x ) ]=f ( x ) g

' ( x )+g ( x ) f ' ( x )

R-$# 7 Regla del cociente. 13

El 9o9ie(te f /g &e &os >+(9io(es &e"ia5les f ; g ta85i1( es&e"ia5le 3a"a to&os los alo"es &e x 3a"a los @+e g( x)≠0 . A&e8?s!la &e"ia&a &e f /g se o5tie(e 8e&ia(te el &e(o8i(a&o" 3o" la &e"ia&a &el(+8e"a&o" 8e(os el (+8e"a&o" 3o" la &e"ia&a &el &e(o8i(a&o"! to&o&ii&i&o e(t"e el 9+a&"a&o &el &e(o8i(a&o".

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )2

. 0 −

= ≠

′ f x f x g x g x f' x d g x

dx g x g x

11 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +11112 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +11#13 Calculo 1 de una variable $on %arson & 'ruce (. )dwards *ag. +121

CÁLCULO I18



CÁLCULO I19

CAPTULO IIIDESARROLLO

DELPROYECTO



Gráfico 10

Fuene 1 !i"i#e$i%

31 PREMISAS+3o(a @+e se le 3i&e &ise<a" el 3"i8e" as9e(so ; &es9e(so &e +(a (+ea

8o(ta<a "+sa. La e83"esa &e9i&e @+e la 3e(&ie(te &e as9e(so sea 0.8; la

&e &es9e(so ).6.Des3+es! 9o(e9ta estos &os t"a8os "e9tos

( ) ( )1 2 y L Y x y x L= = 9o( 3a"te &e +(a 3a"?5ola

2( )Y f x ax bx c= = + +

Do(&e( )& y f x

se 8i&e( e( 3ies. Pa"a @+e la 3ista sea +(i>o"8e (o 3+e&e

4a5e" 9a85ios a5"+3tos &e &i"e99i:(! 3o" lo @+e &esea @+e los se8e(tos

li(eales 1 L ; 2 L sea( ta(e(tes a la 3a"?5ola e( los 3+(tos &e t"a(si9i:(

P y Q ! 9o8o se 8+est"a e( la >i+"a.

CÁLCULO I20



Gráfico 11

32 SOLUCION). Pa"a si83li>i9a" las e9+a9io(es! se &e9i&i: 9olo9a" el o"ie( e( P G es

&e9i"( )0,0 p

. Co8o 9o(se9+e(9ia la 3a"?5ola e(to(9es esJ

2

2

( )

0 0 0

y f C ax bx c

a b c

= = + +

= + +

La e9+a9i:( @+e&a asJ2 y ax bx= +

2. Pa"a ase+"a" @+e la 3ista sea +(i>o"8e e( los 3+(tos &e t"a(si9i:(!

s+3o(e8os @+e la &ista(9ia 4o"i,o(tal e(t"e P ; Q es )00 3ies.! 3o" lo

ta(to los alo"es &e( ) ( )0 100 f y f ′ ′

&e5e( se"J

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

' 2 ' 100 2 100

' 0 2 0 ' 100 200

' 0

f ax b f a b

f a b f a b

x

f b

= + = +

= + = +

=

-. De"ia(&o2( ) f x ax bx c= + + ! te(e8osJ

'( ) 2 f x ax b= +

#. Usa(&o los "es+lta&os &e las e9+a9io(es e( ) ; 2 &ete"8i(a"e8os los

alo"es &e a ;b . Es &e9i"! e(9o(t"a"e8os +(a >:"8+la 3a"a( ) . f x

• Pe(&ie(te &e as9e(so &e 0./

( )' 0 0,8 f ∴ =

CÁLCULO I21



• Pe(&ie(te &e

&es9e(so &e ).6

( )' 100 1,6 f ∴ = −

( )

( )

' 100 200

1,6 200

1, 6 200 0, 8

1,6 0,8 200

2,4 200

0,012

f a b

a b

a

a

a

a

= +

− = +

− = +

− − =

− =

= −

Po" lo ta(toJ( ) 2

0,012 0,8 f x X X = − +

$. %"a>i9a8os 1 L ; 2 L 3a"a 9o83"o5a" e( >o"8a "?>i9a! @+e las

t"a(si9io(es so( +(i>o"8es.

( ) 10 0 0.8 P Li y m∈ = %"?>i9o )2

: 0.8i

L y x⇒ =

SeaJ( ) ( )( ) 100 200 100 200 0.012 0.8Q a b+ = − +

"?>i9o )-

( )

( )

( )

2 2

2

2

100 2.4 0.8

100 1.6 1.6

: 1.6 1.6 100

1.6 1.6 160

: 1.6 158.4

L y m

L y x

Y x

L y

= − +

= − ∈ = −

⇒ + = − −

+ = − +

= − +

CÁLCULO I22

( )

( )

( )

' 2

' 0 2%(0)*+

' 0

0.8

f x ax b

f

f b

b

= +

=

=

=



L1

Gráfico 12

Tabla 1

CÁLCULO I23

J

0 0

1 0./

2 ).63 2.#

4 -.2

#



L2

Gráfico 13

Tabla 2

6. La &i>e"e(9ia &e alt+"a e(t"e P ; Q se"?J

( )0 0 P ;

( )100 1.6Q −

0 16 0 0,6

1

,6

y

y

∆ = − − = +

∆ =

CÁLCULO I24

J

0 )$/.#1 )$6./

2 )$$.2

3 )$-.6

4 )$2

)$0.#



33 CONCLUSIONES

• Se lo": &ete"8i(a" el as9e(so ; &es9e(so &e la 8o(ta<a "+sa "a9ias a la

a;+&a &e 9o(9e3tos &e 8ate8?ti9a &e"ia&as ; l8itesF

• Se o5t+o la 3e(&ie(te &el &ise<o &e la 8o(ta<a "+sa &e la e83"esa Pla; La(&

Pa"B.

34 BILBLIOGRAFÍA

Ro( La"so( ; "+9e . Cal9+lo &e +(a a"ia5le! 20)0

*a8es Stea"t. C?l9+lo &e +(a a"ia5le! 20)0

CÁLCULO I25

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