Proyecto de Física UNT

Proyecto de Física-desplazamiento sobre una cicloide

1. Objetivos 1.1 Precisar la importancia de la ecuación de la

cicloide.1.2 Verificar las propiedades físicas de la cicloide.

2. Fundamento teórico

a cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo

mínimo en recorrerlo. El camino más corto es el segmento de la recta que pasa por los puntos A y B, pero el tiempo no depende solo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula.

L

Galileo pensó que el camino debería tener la forma de un arco de circunferencia. Pero los hermanos Bernoulli a principios del siglo XVIII demostraron que el camino debería tener la forma de un arco de cicloide. Desde ese momento, la cicloide recibió el nombre de braquistrocrona (palabra griega derivada de tiempo y mínimo).Las demostraciones de Bernoulli dieron origen algunos años más tarde a una nueva rama de las Matemáticas, el Cálculo Variacional (Euler y después Lagrange formularían las ecuaciones básicas del cálculo de variaciones), que se encarga de buscar las funciones que cumplen que una determinada magnitud sea máxima o mínima. En esta página, vamos a comparar el movimiento de una partícula a lo largo de un camino que une el origen O y un punto P, en dos casos Cuando el camino es una línea recta Cuando el camino es una cicloide

Movimiento a lo largo de un camino recto

Universidad Nacional de Trujillo - Escuela de Ingeniería Mecánica 1


Supongamos un camino recto que une el origen (0.0) y el punto P (xp, yp)Como vemos en la figura, las fuerzas sobre la partícula de masa m son:

El peso mg. La reacción de la superficie N .

La fuerza neta sobre la partícula es mg·sen|θ|, la aceleración es constante.

Las ecuaciones del movimiento son

v= g·sen|θ|·t

La posición (x, y) del móvil en función del tiempo es

x=s·cosθ, y=s·senθ

El tiempo que tarda en llegar al punto P, partiendo del origen, en reposo, es

Movimiento a lo largo de una cicloide

La ecuación de la cicloide de la figura es

x=R(φ-senφ)y=-R(1-cosφ)

Si la cicloide pasa por el punto P (xp, yp)


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/mov_general/cicloide1/cicloide1.htm#Trayectoria%20de%20un%20punto%20del%20borde%20de%20un%20c%C3%ADrculo%20que%20rueda%20sin%20deslizar


xp=R(φ-senφ)yp=-R(1-cosφ)

Dividiendo ambas ecuaciones, obtenemos una ecuación trascendente en φ, que resolvemos por procedimientos numéricos

(1)Una vez que tenemos el valor de φ, se calcula el parámetro R, en cualquiera de las dos ecuaciones

Propiedades de la cicloide

La cicloide es simétrica, por lo que situamos el eje Y’ como eje de simetría, y el origen en la parte más baja de la curva, tal como se muestra en la figura. La ecuación de la cicloide referida a estos ejes es:

x’=R(2φ+sen(2φ))y’=R(1-cos(2φ))

Donde R y φ son dos parámetros

La pendiente de la cicloide en la posición x' es

El parámetro φ tiene un significado geométrico, es la pendiente θ de la recta tangente a la cicloide.

Calculamos ahora la longitud del arco s, entre el origen y el punto de coordenadas (x’, y’)

La longitud de medio arco, es decir, del arco entre el origen (0, 0) y el extremo (πR, 2R) es

Ecuación del movimiento



Sobre la partícula actúan dos fuerzas: el peso mg y la reacción de la superficie N. La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es

La partícula describe un Movimiento Armónico Simple (MAS) de frecuencia angular ω, y periodo P

Si la partícula parte en el instante t=0, del extremo izquierdo (-πR, 2R) con velocidad inicial nula. La ecuación del movimiento es

s=-4R·cos(ωt)

Siendo s la posición de la partícula a lo largo del camino en forma de cicloide. La velocidad de la partícula es

Las posiciones x’ e y’ de la partícula en función del tiempo t se calculan del siguiente modo:

Dada la longitud del arco s se calcula la pendiente de la recta tangente θ. Conocido el parámetro θ, se calcula x’ e y’ mediante las ecuaciones de la cicloide

Trasladamos el sistema de ejes al extremo izquierdo de la cicloidex=πR+x'=πR+R(2θ+sen(2θ))=R(2θ+π+sen(2θ))y=-2R+y'=-R(1+cos(2θ))

Haciendo el cambio de parámetro 2θ+π=φ, tenemos de nuevo, las ecuaciones de la cicloide referidas a los ejes X e Y


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/mas/mas.htm#cinem%C3%A1tica


x=R(φ-senφ)y=-R(1-cosφ)

Balance energético

De la partícula que se mueve a lo largo del camino recto La partícula se encuentra inicialmente en reposo en el origen, su

energía total es cero E=0. Cuando se encuentra a una altura y por debajo del origen, la

partícula tiene una energía

La suma de la energía cinética y potencial es igual a la energía inicial Ep+Ek=0

De la partícula que se mueve a lo largo del camino en forma de cicloide

La partícula se encuentra en inicialmente reposo en el origen, su energía total es cero E=0.

Cuando se encuentra a una altura y por debajo del origen, la partícula tiene una energía:

La suma de la energía cinética y potencial es es igual a la energía inicial Ep+Ek=0 Ejemplo:Consideremos la recta y la cicloide que pasan por el punto (9.0, -4.5). Calcular la posición de los dos móviles en el instante t=1.5 s

El parámetro R de la cicloide se calcula resolviendo la ecuación trascendente (1) por procedimientos numéricos y vale R=2.323 m

El desplazamiento s de la partícula a lo largo de la recta inclinada un ángulo θ es



La partícula que se mueve a lo largo de la cicloide, describe un MAS de frecuencia angular tal que ω2=g/(4R), ω=1.03 s-1

El desplazamiento s de la partícula en el instante t=1.5 ess=-4·2.323·cos(1.03·1.5)=-0.28 m, referida al sistema de ejes X’, Y’ con origen en la parte más baja de la trayectoria.

El valor del parámetro θ, que corresponde a este desplazamiento es tal que senθ=s/(4R)θ=-0.03 radCalculamos las coordenadas x’ e y’, y a continuación, hacemos la traslación de ejes, para determinar la posición (x, y) de la partícula

x=π·2.323+2.323(2θ+sen(2θ))=7.02my=-2·2.323+2.323(1-cos(2θ))=-4.64 m

La braquistrocrona

Consideremos que un cuerpo desliza sin rozamiento bajando por un tobogán que tiene la forma de la curva de la figura. Aplicando el principio de conservación de la energía, obtenemos la velocidad v del cuerpo cuando ha descendido una altura y

El tiempo que tarda la partícula en recorrer un arco infinitesimal ds en dicha posición es

Tenemos que buscar la forma del tobogán de manera que el tiempo total que emplea la partícula en desplazarse desde A hasta B sea mínimo. Por tanto, es preciso hacer mínima la integral

Teniendo en cuenta que ds2=dx2+dy2, la integral se escribe en función de x e y y sus derivadas.



Empleando el procedimiento de Euler, y teniendo en cuenta que el integrando no es función de x, la solución es

Integrando respecto de y

Esta integral se resuelve haciendo la sustitución

con lo que se obtiene

que son de nuevo las ecuaciones paramétricas de una cicloide.

Propiedades geométricas de la cicloide

Situamos los ejes en el punto más bajo de la trayectoria de la partícula. Las ecuaciones paramétricas de la cicloide referida a estos ejes son

x=R(2θ+sen(2θ))y=R(1-cos(2θ))

dado el valor del parámetro θ en el intervalo -π/2≤ θ≤π/2, se determina la posición (x, y) de la partícula.

La cicloide es una curva simétrica, las coordenadas de sus extremos son (-πR, 2R), cuando el parámetro θ=-π/2, y (πR, 2R), cuando el parámetro θ=π/2.

El parámetro θ, tiene un significado geométrico, es la pendiente de la recta tangente a la curva en la posición (x, y), tal como vemos en la figura.



Calculamos ahora la longitud del arco s, entre el origen y el punto de coordenadas (x, y)

La longitud de medio arco, es decir, del arco entre el origen (0, 0) y el extremo (πR, 2R) es

La trayectoria de un punto situado en el borde de una rueda de radio R que rueda sin deslizar es una cicloide. Sin embargo, el radio de curvatura de la cicloide en la posición (x, y) no es constante sino

El radio de curvatura es máximo en el origen ρ=4R, y es mínimo en los extremos de la trayectoria ρ=0. Ecuación del movimiento

Sobre la partícula actúan tres fuerzas:

El peso mg La reacción de la superficie N en el punto de contacto La fuerza de rozamiento, fr que se opone al movimiento, de

sentido contrario a la velocidad v. Descomponemos el peso, y escribimos las ecuaciones del

movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal

mat=-mgsenθ-frman=N-mgcosθ

Cuando el cuerpo está deslizando, la fuerza de rozamiento vale

fr=μN


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvatura

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/trabajo/cupula2/cupula2.htm#Radio%20de%20curvatura


Teniendo en cuenta las definiciones de aceleración tangencial at y aceleración normal an,

y eliminando la reacción N de la superficie en el punto de contacto, expresamos las dos ecuaciones del movimiento en una única ecuación diferencial

La velocidad y la aceleración se expresan en términos del parámetro θ, y sus derivadas respecto del tiempo.

Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden

que se resuelve por procedimientos numéricos con las condiciones iniciales t=0, θ=θ0, dθ/dt=0.

Cuando el cuerpo se mueve hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento cambia de sentido, en la ecuación diferencial cambiamos +μ por – μ.

Solución analíticaLa ecuación del movimiento se puede integrar para obtener una

expresión de la velocidad v en función del parámetro.


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm#Componentes%20tangencial%20y%20normal%20de%20la%20aceleraci%C3%B3n

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/curvilineo/curvilineo.htm#Componentes%20tangencial%20y%20normal%20de%20la%20aceleraci%C3%B3n


Llamando x=v2/(2Rg), nos queda la ecuación diferencial

La solución de la ecuación diferencial completa es la suma de la solución de la ecuación diferencial homogénea y de la solución particular:

x1=Asen(2θ)+Bcos(2θ)+C

Introduciendo la solución particular en la ecuación diferencial obtenemos los valores de los coeficientes A, B y C

Buscamos la solución de la ecuación diferencial homogénea

Integrando ambos miembros obtenemos lnx=-2μθ+lnD, donde lnD es la constante de integración

x2=D·exp(-2μθ)

La solución completa de la ecuación diferencial es x=x1+x2

La constante D se determina a partir de las condiciones iniciales, en el instante t=0, θ=θ0, v=0



(1)

En la figura, se representa v2/(2Rg) en función de la longitud del arco s, para varios valores del coeficiente de rozamiento μ=0.0, μ=0.25, μ=0.5 y μ=0.75. La posición de partida es θ0=-89º, s0≈-4.0.

Cuando no hay rozamiento, la posición final cuando la partícula vuelve a pararse es s=4.0. Cuando hay rozamiento la posición final es s<4.0.

Sucesivas posiciones de parada

Cuando no hay rozamiento, una partícula que parte de la posición θ0<0, alcanza su máxima velocidad cuando pasa por el punto más bajo de la trayectoria y se detiene momentáneamente en la posición -θ0, inicia el camino de vuelta y se detiene en la posición de partida θ0, y así, sucesivamente.

Cuando hay rozamiento, la partícula que parte de la posición θ0, llega hasta la posición θ1, se cumple que |θ0|>|θ1|. Pueden ocurrir dos casos:

· Que la componente del peso sea mayor que la fuerza de rozamiento (supondremos que μs= μk= μ)

mgsen|θ1|≥μ·mgcosθ1, o bien que, tan|θ1|≥μLa partícula inicia su camino de vuelta, llegando a una posición |θ2|<|θ1|Que tan|θ1|<μ

La partícula se para definitivamente



Supongamos que que la partícula prosigue el camino de vuelta hasta la posición θ2. Si se cumple que tan|θ2|≥μ, se inicia por segunda vez su camino de ida. En caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula parte de la posición θ0. Para calcular la posición de parada θ1 se pone v=0 en la ecuación (1) y se calcula la raíz de la ecuación trascendente.

Si se cumple que tan|θ1|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la

izquierda, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula realiza el camino de vuelta, la fuerza de rozamiento cambia de signo (véase la figura más arriba), por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de de parada θ2, es la raíz de la ecuación trascendente

Si se cumple que tan|θ2|≥μ la partícula continúa moviéndose hacia la derecha, en caso contrario, se detiene permanentemente.

Supongamos que la partícula vuelve a realizar el camino de ida, la fuerza de rozamiento cambia de signo, por lo que en la ecuación anterior cambiamos +μ por – μ. La posición de parada θ3, es la

raíz de la ecuación trascendente y así, sucesivamente…



Balance energético

El trabajo de la fuerza de rozamiento es la diferencia entre la energía final y la energía inicial

Sustituyendo la larga expresión de v2 en esta ecuación se calcula el trabajo de la fuerza de rozamiento cuando la partícula se desplaza desde la posición θ0 a θ.

El

trabajo de la fuerza de rozamiento se

puede calcular también de forma directa

Sustituyendo la larga expresión de v2 en esta ecuación, e

integrando respecto del parámetro θ, obtenemos la expresión del trabajo de la fuerza de rozamiento entre las posiciones θ0 y θ La curva cicloide

La cicloide es una de curvas más importantes en la Física y las Matemáticas, junto a la catenaria y otras curvas. La curva cicloide se encuentra al estudiar varios fenómenos físicos:



Trayectoria de un punto del borde de un círculo que rueda sin deslizar

Forma que adopta un tobogán para que una partícula que desliza sin rozamiento emplee un tiempo mínimo en recorrerlo

Forma que debe adoptar un camino para que un cuerpo que rueda describa un MAS.

Finalmente, encontraremos la cicloide en el movimiento de una partícula en un campo eléctrico y magnético cruzados.

Trayectoria de un punto del borde de un círculo que rueda sin deslizar

La cicloide se produce cuando se hace rodar un círculo sobre una superficie horizontal. Un punto del borde del círculo describe una curva que se denomina cicloide (palabra griega que significa circular). A un giro del círculo le corresponde un arco de la cicloide

Si el punto P en el instante inicial está en la parte superior del círculo, al cabo de un cierto tiempo t las coordenadas del punto P serán, tal como se muestra en la figura

Si el círculo rueda sin deslizar, la relación entre la velocidad de traslación del centro de masas vc y de rotación alrededor de un eje que pasa por el c.m. es vc= ·R.

La ecuación de la cicloide expresada en términos del parámetro , es

x=R( +sen )

y=R(1-cos )

La braquistrocrona

La cicloide tiene una larga historia ligada al problema de hallar la forma que debe tener un camino que una dos puntos fijos A y B para que una partícula emplee un tiempo mínimo en recorrerlo. El camino más corto es la recta que une los puntos A y B, pero el tiempo no depende solo de la longitud del camino sino también de la velocidad de la partícula.

Galileo pensó que el camino debería tener la forma de un arco de circunferencia . Pero los hermanos Bernoulli a principios del siglo XVIII demostraron que el camino debería tener la forma de un arco de


mhtml:file://D:%5Cysrael%5Cproyecto%20fisica%5C2.mht!../../rodar/mov_rodar.htm


mhtml:file://D:%5Cysrael%5Cproyecto%20fisica%5C2.mht!../../../elecmagnet/movimiento/cicloide/cicloide.htm

mhtml:file://D:%5Cysrael%5Cproyecto%20fisica%5C2.mht!../../../elecmagnet/movimiento/cicloide/cicloide.htm




cicloide. Desde ese momento la cicloide recibió el nombre de braquistrocrona (palabra griega derivada de tiempo y mínimo).

Las demostraciones de Bernoulli dieron origen algunos años más tarde a una nueva rama de las Matemáticas, el Cálculo Variacional (Euler y después Lagrange formularían las ecuaciones básicas del cálculo de variaciones), que se encarga de buscar las funciones que cumplen que una determinada magnitud sea máxima o mínima.

Consideremos que un cuerpo desliza sin rozamiento bajando por un tobogán que tiene la forma de la curva de la figura.

Aplicando el principio de conservación de la energía obtenemos la velocidad v del cuerpo cuando ha descendido una altura y

El tiempo que tarda la partícula en recorrer un arco infinitesimal ds en dicha posición es

Tenemos que buscar la forma del tobogán de manera que el tiempo total que emplea la partícula en desplazarse desde A hasta B sea mínimo. Por tanto, es preciso hacer mínima la integral

Teniendo en cuenta que ds2=dx2+dy2, la integral se escribe en función de x e y y sus derivadas.

Empleando el procedimiento de Euler, y teniendo en cuenta que el integrando no es función de x, la solución es

,

Integrando respecto de y



Esta integral se resuelve haciendo la sustitución

con lo que se obtiene

que son de nuevo las ecuaciones paramétricas de una cicloide.

Movimiento Armónico Simple de un cuerpo que rueda sobre una cicloide.

En la página titulada rodando por un plano inclinado hemos estudiado el movimiento de un aro, un cilindro y una esfera que bajan rodando a lo largo de un plano inclinado.

Consideremos de nuevo una rueda (aro, cilindro o esfera) de masa m y de radio r y cuyo momento de inercia Ic=k·mr2 siendo k=1 para una rueda en forma de un aro, k=1/2 para un cilindro o disco, y k=2/5 para una esfera.

Las ecuaciones del movimiento de la rueda

Dibujamos las fuerzas sobre el cuerpo que rueda y formulamos las ecuaciones del movimiento

Movimiento de traslación del centro de masa

mg·sen -Fr=macMovimiento de rotación alrededor de un eje que pasa por el centro de masas

Fr·r=Ic· Condición de movimiento de rodar sin deslizar

ac= ·rDespejando en las tres ecuaciones la aceleración ac del c.m.


mhtml:file://D:%5Cysrael%5Cproyecto%20fisica%5C2.mht!../../plano_inclinado/plano_inclinado.htm



La ecuación del camino

Pongamos la rueda sobre un camino cualesquiera. Para que la rueda describa un MAS es necesario que la

aceleración ac de su c.m. sea proporcional al desplazamiento s (arco) y de sentido contrario a éste. La constante de proporcionalidad es el cuadrado de la frecuencia angular del MAS.

Sea ds un arco infinitesimal en la posición (x, y),

La proyección de ds sobre los ejes horizontal X y vertical Y son, tal como se ve en la figura de la derecha.

Integrando x e y con las condiciones iniciales =0, x=0, y=0.

que son de nuevo las ecuaciones de una cicloide generada por el círculo de radio R igual a


mhtml:file://D:%5Cysrael%5Cproyecto%20fisica%5C2.mht!../../../oscilaciones/mas/mas.htm


Hemos demostrado, por tanto, que un aro, un cilindro o una esfera que ruedan a lo largo de un camino en forma de cicloide describen un MAS, y hemos calculado su periodo P.

Si tomamos como radio R del círculo que genera la cicloide la unidad (1 m), y g=9.8 m/s2. Los periodos de las oscilaciones son respectivamente

Cuerpo

k Periodo P (s)

aro 1 5.68

cilindro 1/2 4.92

esfera 2/5 4.75

Posición de la rueda en función del tiempo.

Cuando un cuerpo describe un MAS su desplazamiento (en este caso el arco s) se expresa en función del tiempo de acuerdo con la ecuación.

s=A·sen(w t+ )

vc=w s0·cos(w t+ )

Donde la amplitud A y la fase inicial se determina a partir de las condiciones iniciales, en nuestro caso t=0, s=s0, vc=0. La rueda parte de la posición s0 con velocidad inicial cero.

s=s0·sen( t+ /2)=s0·cos( ·t)

La velocidad vc del c.m. de la rueda se obtendrá derivando s respecto del tiempo

vc=- s0·sen( t)

La longitud del arco s a lo largo del camino que va del origen al punto donde se encuentra la rueda la podemos relacionar con la posición x e y de la rueda o del ángulo .

x=R(2 +sen2 ) dx=2R(1+cos2 )·d

y=R(1-cos2 ) dy=2Rsen2 ·d La longitud del arco s será


mhtml:file://D:%5Cysrael%5Cproyecto%20fisica%5C2.mht!../../../oscilaciones/mas/mas.htm


Balance energético

El balance energético es similar al que efectuamos al estudiar el movimiento de un cuerpo que baja rodando por un plano inclinado.

Cuando la rueda se encuentra en la posición dada por el arco s a lo largo de la cicloide, o a una altura y sobre el origen

La energía potencial será

La energía cinética es la suma de la energía cinética de traslación del c.m. y de rotación alrededor de un eje que pasa por c.m.

donde se ha tenido en cuenta la relación entre

ambas velocidades vc= ·r para que ruede sin deslizar.

La suma de la energía cinética Ek y potencial Ep es constante e igual a

Datos experimentales

Tabla de tiempos medidos

N X (m) Y (m) t1 t2 t3 t1 0 0.389 0.512 0.524 0.512 0.516

2 0.009 0.354 0.51 0.506 0.506 0.507

3 0.025 0.319 0.517 0.516 0.519 0.517

4 0.044 0.284 0.519 0.506 0.544 0.523

5 0.069 0.249 0.502 0.489 0.48 0.49




6 0.099 0.214 0.547 0.519 0.509 0.525

7 0.134 0.179 0.504 0.487 0.505 0.499

8 0.177 0.144 0.532 0.489 0.512 0.511

9 0.227 0.109 0.519 0.526 0.51 0.518

10 0.292 0.074 0.526 0.539 0.547 0.537

11 0.38 0.039 0.512 0.516 0.519 0.516

Diámetro de la circunferencia con la que se hizo la cicloide:

D = 0.389m

Análisis y discusión de resultados

Tabla respecto X e Y


y

x


…

(i) …(ii)

De (i) y (ii), tenemos:

2,354= A (1,456) + 11B0,1727= A (0.3477) + 1,456B

Universidad Nacional de Trujillo - Escuela de Ingeniería Mecánica

N X (m) Y(m) XY X^2

1 0 0.389 0 0

2 0.009 0.354 0.003186 0.000081

3 0.025 0.319 0.007975 0.000625

4 0.044 0.284 0.012496 0.001936

5 0.069 0.249 0.017181 0.004761

6 0.099 0.214 0.021186 0.009801

7 0.134 0.179 0.023986 0.017956

8 0.177 0.144 0.025488 0.031329

9 0.227 0.109 0.024743 0.051529

10 0.292 0.074 0.021608 0.085264

11 0.38 0.039 0.01482 0.1444

1.456 2.354 0.172669 0.347682

21

Donde:

REGRESION DE LA ECUACION CICLOIDE

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 0.1 0.2 0.3 0.4x

y


Tenemos:A=-0,896 B = 0,3326

La ecuación empírica de la cicloide es:

Y= -0,896X+ 0,3366

Con un error aproximado de: 0.034



Ahora vamos a analizar desplazamientos, velocidades y tiempos:

Sabemos que

s=A·sen(w t+ )

vc=w s0·cos(w t+ )

Por tanto :

P=2.095 donde P es el periodo de la esfera

Pues la esfera realiza Movimiento armónico simple

Ahora por fórmulas calculamos su frecuencia angular

w= 2,99

La longitud de la cicloide es:

S= 4R =0,778m ahora vamos a calcular la velocidad a partir del tiempo.

De

s=A·sen(w t+ )



vc=w s0·cos(w t+ )




N X Y1 0 0.3892 0.009 0.3543 0.025 0.3194 0.044 0.2845 0.069 0.2496 0.099 0.2147 0.134 0.1798 0.177 0.1449 0.227 0.109

10 0.292 0.07411 0.38 0.039

1.456 2.354

t0.5160.5070.5170.523

0.490.5250.4990.5110.5180.5370.516

25



radianes angulo Sotiempo de S0 Tf Sf Vf

-1.319106355 -75.6175618 0.0245125 0.01053922 0.50346078 0.7534875 2.24810412-1.142018299 -65.4660172 0.07042886 0.0303176 0.4836824 0.70757114 2.09923984

-1.07345361 -61.5355573 0.09425203 0.04061702 0.47338298 0.68374797 2.01977667-0.950546841 -54.4899463 0.14491536 0.06266247 0.45133753 0.63308464 1.84676142-0.862170055 -49.4237611 0.18729836 0.08131495 0.43268505 0.59070164 1.69883788-0.785398163 -45.0228247 0.22787092 0.09941517 0.41458483 0.55012908 1.55549759-0.683191445 -39.1638408 0.28687085 0.1263013 0.3876987 0.49112915 1.34584517-0.610725964 -35.0097687 0.3318463 0.14737835 0.36662165 0.4461537 1.18656152-0.493941369 -28.3151103 0.40915034 0.1852084 0.3287916 0.36884966 0.9178147-0.378545595 -21.700066 0.49047499 0.22812969 0.28587031 0.28752501 0.64856465-0.074859848 -4.29132885 0.71981342 0.39518019 0.11881981 0.05818658 0.06051727

0.514

Radianes=arcotangente((y1-y2)/(x1-x2)) Ángulo=conversión de radianes So=(longitud total de curva)*4*R*Seno(ángulos de radianes) Tiempo de So=(arcoseno de So)/ longitud total de curva (ASENO(/Longitud de curva))/frecuencia Tf=tiempo total-tiempo de So Sf=longitud de curva-So Vf= w*(Sf)*SENO(w*Tf)

26


velocidad vs tiempo

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

Tiempo

Ve

loci

dad

Universidad Nacional de Trujillo - Escuela de Ingeniería Mecánica27


Materiales

1 Tobogán de madera 1 tubo PVC ¾ 1 esfera de metal Sensores de luz Una wincha

Trabajo experimental



Conclusiones Analizando nuestros resultados damos a conocer que

existe un pequeño margen de error debido a la incertidumbre de la precisión de los instrumentos, en particular del cronómetro

También se ha podido valorar que la física tiene aplicaciones prácticas y cotidianas para cada uno de nosotros. Nos hemos dado cuenta de cómo a través de experimentos sencillos y al alcance de todos podemos llegar a conocer datos importantes como lo es la velocidad de los cuerpos que poseen en tiempos determinados.

Logramos determinar con gran grado de certeza la aceleración del desplazamientote la esfera desarrollado en laboratorio, haciendo uso de las fórmulas de la cicloide.

Comprendimos el porqué y el para qué de la ecuación de la cicloide y la relacionamos con la vida diaria.

Se he aprendido a determinar velocidades aplicando las formulas de la cicloide.

Referencias Bibliográficas http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/

trabajo/cicloide1/cicloide1.htm http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/

trabajo/cicloide/cicloide.htm


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