PROYECTO FINAL (CIRCUITO LC)CENTRO DE CIENCIAS BÁSICASDEPARTAMENTO

DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

Victor Eduardo Rodríguez Hernández Ingeniería en Sistemas

Computacionales

ECUANCIONES DIFERENCIALES

PROBLEMA:Considera el circuito LC en el que se tienen conectados en serie un capacitor de C=3 faradios, un inductor de L=3 henrios y una fuente de voltaje alterno v (t)= 18*Cos (b*t). Suponiendo que el voltaje inicial en el capacitor v (0)=0 y la derivada del voltaje v’ (0)=0 son cero, encuentre el voltaje presente en el capacitor en t>0.

VL + VC – V (t) = 0

Luego como VL=Li’ (t) y V (t) =18Cos (bt):

Li’ (t) + VC = 18Cos (bt)

Ahora como i = q’ (t) entonces i’ (t) =q’’ (t), y q = CVC entonces (XD) resulta ser:

LCVC‘’ (t) + VC = 18Cos (bt)

Sustituyendo L=3 y C=3 se tiene que:

9VC‘’ (t) + VC = 18Cos (bt) VC‘’ (t) + VC/9 = 2Cos (bt).

Aplicando la Ley de Kirchhoff a Voltajes se tiene que:

SACAMOS LA ED HOMOGENEA Y RESOLVEMOS:

...

Se propone la siguiente solución ya que la segunda derivada es un cos también:

Siempre y cuando b

AHORA ENCONTRAMOS LA SOLUCION PARTICULAR DE LA ED NO HOMOGENEA:

PARA DARNOS CUENTA SI ES SOLUCIÓN SUSTITUIMOS:

LA SOLUCIÓN GENRAL DE LA ED ES:

A Y :

POR LO TANTO LA SOLUCIÓN PARA EL PVI ES:

Siempre y cuando b

SU GRAFICA ES:

AHORA RESOLVEMOS CUANDO b= :

SUSTITUIMOS EN LA ED NO HOMOGENEA:

SE RESUELVE EL PVI:

LA SOLUCION DEL PVI ES:Siempre y cuando b

SU GRAFICA ES:

Podemos concluir que b es la frecuencia de la fuente de alimentación alterna. Y se puede decir que es el valor sobre el que la ecuación gira ya que en caso de ser cero tendríamos una indeterminación en la ecuación y siendo esto, es el valor que controla la resonancia, por lo tanto hay que estar muy conciéntes de este valor.

CONCLUSION