TECNOLGICO NACIONAL DE MXICO CAMPUS ZACATEPEC

Ing. Electromecnica

Asignatura:

Ingeniera DE CONTROL CLASICO

Unidad 6: PROYECTOPEREA PERDOMO AXEL FERNANDO 11090350OCAMPO JIMENEZ GERARDO 11090336

LUNES 8 de JUNIO del 2014

Introduccin

En este proyecto se realiz un modelo matemtico, que en el cual se le realizaron e implementaron distintos estudios sobre su comportamiento como por ejemplo; hasta qu, o en qu punto nuestro sistema planteado puede llegar a ser estable y/o comportarse de manera estable, y por lo tanto que arreglos se le pueden mejorar para un mejor funcionamiento tal como los controladores PID, para esto se deben tener conocimientos mecnicos, elctricos y principalmente electrnicos ya que en este proyecto propuesto se centra en el estudio de un modelo electrnico, el cual cuenta con un amplificador operacional. Otras habilidades necesarias para facilitar el estudio de este modelo matemtico es el manejo de software Matlab ya que, nos es de gran ayuda al momento de comprobar nuestros resultados, que hemos hecho anteriormente de forma analtica gracias a todas y cada una de las funciones que nos aporta dicho software.

ndice

Marco terico. 4

Modelo Matemtico. 6

Sistema de ecuaciones de la Funcin de Transferencia.. 6

Reduccin de Bloques con MATLAB.. 7

Respuesta Dinmica 9

Ecuaciones de Estado. 10

Acciones Bsicas de control 11

Criterio de sintonizacin Zieglers-Nichols 12

Controladores: P, PI y PID.. 13 Lugar Geomtrico de las Races 17

Criterio Routh-Hurwitz.. 20

Comprobacin Matlab. 22

MARCO TEORICO:Para poder entender el Modelo matemtico es necesario saber ciertos conceptos sobre el funcionamiento o pasos de algunos temas como se muestran a continuacin:Amplificador Diferencial.Est compuesto por dos transistores idnticos, que en su salida se obtendr la diferencia de las seales aplicadas en sus entradas respecto a tierra.

Elamplificadordiferencial bsico tiene 2 entradas V1 y V2. Si la tensin de V1 aumenta, la corriente del emisor del transistor Q1 aumenta causando una cada de tensin en Re. Si la tensin de V2 se mantiene constante, latensinentre base y emisor del transistor Q2 disminuye, reducindose tambin la corriente de emisor del mismotransistor. Esto causa que la tensin de colector de Q2 (Vout+) aumente. La entrada V1 es la entrada no inversora de unamplificador operacional. Del mismo modo cuando la tensin en V2 aumenta, tambin aumenta la corriente de colector del transistor Q2, causando que la tensin de colector del mismo transistor disminuya, (Vout+) disminuye. La entrada V2 es la entrada inversora del amplificador operacional. Si el valor de laresistenciaRE fuera muy grande, obligara a la suma de las corrientes de emisor de los transistores Q1 y Q2, a mantenerse constante, comportndose como una fuente de corriente. Entonces, al aumentar la corriente de colector de un transistor, disminuir la corriente de colector del otro transistor. Por eso cuando la tensin V1 crece, la tensin en V2 decrece.

Amplificador de potencia.El propsito del amplificador de potencia es proporcionar una tensin de salida con mxima excursin simtrica sin distorsin a una baja resistencia de carga. En la prctica, un sistema puede consistir en varias etapas de amplificacin, la ltima de las cuales suele ser un amplificador de potencia. La carga alimentada por este amplificador de potencia puede ser un altavoz, un excitador, un solenoide o algn otro dispositivo analgico. La entrada al sistema es una seal que se amplifica a travs de etapas de ganancia de tensin. La salida de las etapas de ganancia de tensin tiene la suficiente amplitud para alimentar el amplificador de potencia de la salida.

Tambin otras definiciones que hay que tener en cuenta para poder comprender algunos pasos son los siguientes:Lugar geomtrico de las races LGREs el lugar geomtricode lospolosycerosde unafuncin de transferenciaa medida que se vara la ganancia del sistemaKen un determinado intervalo. El mtodo del lugar de races permite determinar la posicin de los polos de la funcin de transferencia a lazo cerrado para un determinado valor de gananciaKa partir de la funcin de transferencia a lazo abierto.Controlador PIDUnPIDes un mecanismo de control porrealimentacinque calcula la desviacin o error entre un valor medido y el valorque se quiere obtener, para aplicar una accin correctora que ajuste el proceso.Elalgoritmo de clculo del control PID se da en tres parmetros distintos: el proporcional, el integral, y el derivativo. El valor Proporcional determina la reaccin del error actual. El Integral genera una correccin proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El Derivativo determina la reaccin del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso va un elemento de control como la posicin de una vlvula de control o la energa suministrada a un calentador, por ejemplo. Ajustando estas tres variables en el algoritmo de control del PID, el controlador puede proveer un control diseado para lo que requiera el proceso a realizar.

Modelo MatemticoLa funcin de transferencia del amplificador de potencia, fuente de energa, soporte mvil y herramienta es:

Para pasar nuestra F.T. al dominio de tiempo t con transformada inversa de Laplace primero tenemos que hacer unos arreglos matemticos como los son las fracciones parciales como se muestra a continuacin:

A(s+1) = As+A(s+4)= As+5As+4A(s+5)= As+5As+5As+25As+4As+20A= As+10As+29As+20A(Bs+4Bs)(s+5)= Bs+5Bs+4Bs+20Bs= Bs+9Bs+20Bs

Ds(s+1) (s+5)= (Ds+Ds) (s+4)= Ds+4Ds+Ds+4Ds= Ds+5Ds+4DsCs(s+1) (s+5)= Cs+Cs(s+5)= Cs+5Cs+Cs+5Cs= Cs+6Cs+5Cs

S A+B+C+D = 0S 10A+9B+6C+5D = 0S 29A+20B+5C+4D = 0S 20A = 50 A=

B= im -1

im -4 C =

im -5

Ya teniendo los valores de A, B, C y D nos queda de la siguiente manera ya lista para aplicar frmulas de transformadas inversas de Laplace.

Reduccin de bloques en MatlabUn mtodo para la reduccin de bloques y poder comprobar los resultados de forma analtica con la funcin de transferencia dada es la siguiente:

Este mtodo no lo utilizaremos mucho ya que son reducciones de bloques muy sencillas el cual no fue muy necesario para este modelo matemtico.

Respuesta Dinmica: Para ver los valores de Te, MP, Ta, Tp de la Funcin de transferencia, se puso una excitacin en la seal de entrada de escaln unitario en Matlab con los siguientes comandos: Te= Tiempo de elevacin.MP= Mximo pico sobre impulso.Tp= Tiempo Pico.Ta= Tiempo de asentamiento.Los valores se sacaron por simple inspeccin los cuales se pueden observar en la Siguiente grfica:

Te= 1.4s MP=Ta=Tp= 6.5s

Para pasar los diagramas de bloques de la funcin de transferencia a forma matricial podemos hacerlo de la siguiente manera:

BLOQUE 3

X(s) [s+5] = 50X(s)Sx(s) + 5X(s) = 50X(s)(t) = -5X(t)+50X(t)

BLOQUE 2

X(s) [s+4] = X(s)sX(s) + 4X(s) = X(s)(t) = -4X(t)+X(t)

BLOQUE 1

X(s) [s+1] = X(s)sX(s) + X(s) = X(s)(t) = -X(t)+X(t)

BLOQUE 5

X(t) = X(t)X(s) (s+1) = X(s)sX(s)+X(s) = X(s)(t) = -X(t)+X(t)

BLOQUE 4

sX(s) = u(s)-X(s)(t) = u(t)-X(t)

ACCIONES BSICAS DE CONTROL Y CONTROLES AUTOMATICOSError de estado estable.

Seal de entrada

0.251.53861.538%2.6661.51

10.714228.57%2.6661.7320.866

50.18517.407%2.6672.6450.567

100.09613.846%2.6693.4610.433

250.03931.574%2.6725.1960.288

500.01980.7937%2.6667.2110.208

Criterio de sintonizacin Zieglers-Nichols:

+ Parte imaginaria Parte real De la parte imaginaria.

De la parte real.

CONTROLADOR

CONTROLADOR

2.7

2.430.972252.49935

3.240.583355.554120.145830.47724

GRAFICA P

GRAFICA PI

GRAFICA PID

A continuacin se calculara de forma analtica los LGR, centroide, ngulos de las asntotas, puntos de partida del eje real y punto de cruce con el eje imaginario el cual comprobaremos al final con MATLAB:

PASO No. 1: Obtener la Ecuacin Caracterstica y escribirla de la Forma: 1+k*P(s)= 0 Desarrollamos el polinomio:

Procedemos a escribir la EC caracterstica de la forma 1+k*P(s)= 0.

Obtenemos sus POLOS Y CEROS, mediante MATLAB. n = (POLOS X) POLOS = 4 m = (CEROS 0) CEROS = 0

PASO No. 2: Localizacin de Polos y Ceros en el Plano S.

PASO No. 3: Determinar ngulos de las Asntotas y Centroide:a) Encontrar el punto de partida de las Asntotas.

b) Encontrar los ngulos de las Asntotas.

PASO No. 4: Criterio Routh-Hurwitz: Punto de cruce con el eje imaginario.

50k291S

2010S

S2750k

S

S

50k

K=1.08s= 1.4142j

PASO No. 5: Partida del Eje Real:a) Primero Despejamos k de la EC Caracterstica:

b) Encontramos el punto MAXIMO:

Para esto obtenemos la Derivada de la siguiente funcin

=

Con ayuda de MATLAB encontraremos de manera rpida el valor de partida del eje real:Puntos de PARTIDAs= -4.5616s= -.4384K= -4

A= [-0.08 -0.6 -1.16 -0.4]; roots (A)B= [1 10 29 20 0]; polyval (B,-0.4384)polyval (B,-4.5616)

COMPROBACION EN MATLAB:

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