Proyecto Individual Entrega Final

Universidad Distrital Francisco José de Caldas. Ramirez Ardila Camilo, Modelado de sistemas Mecánicos

Resumen—Un sistema mecánico está formado por cuerpos que varían su posición ante la acción de una serie de fuerzas que pueden describir movimientos de traslación y de rotación, estos movimientos se denominan grados de libertad, por lo tanto un cuerpo puede tener 6 grados de libertad como máximo. El movimiento rotacional se define como el movimiento de un cuerpo alrededor de un eje fijo y según la extensión de la ley de Newton, la suma algebraica de los pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por su aceleración angular.

Palabras claves—Rotacional, inercia, torsión, mecánico.

I. INTRODUCCIÓN

El diseño de sistemas se refiere al proceso de encontrar un sistema que satisfaga una tarea específica. Cualquier tentativa de diseño de un sistema debe empezar a partir de una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente. Tal predicción se basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. A esta descripción matemática se le llama modelo matemático.Para los sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que resultan útiles se describen en términos de ecuaciones diferenciales. Los modelos empleados serán aquellos que resulte más simples, útiles y operativos a fin de facilitar su estudio, sin olvidar por supuesto que deben ser un reflejo, lo más fiel posible del comportamiento real del sistema.

Al aplicar las leyes físicas a un sistema específico, es posible desarrollar un modelo matemático que describa al sistema. Tal sistema puede incluir parámetros desconocidos, los cuales deben evaluarse mediante pruebas reales. Cuando se

intenta construir un modelo, debe establecerse un equilibrio entre la simplicidad del modelo y la exactitud de los resultados del análisis.El movimiento de elementos mecánicos se puede describir en varias dimensiones como traslación y rotación, o su combinación. Las ecuaciones que gobiernan el movimiento de sistemas mecánicos están formuladas mediante las leyes del movimiento de Newton.

II. MOVIMIENTO DE ROTACION

El movimiento de rotación de un cuerpo se define como el movimiento alrededor de un eje fijo. La extensión de la ley de Newton para el movimiento de rotación, establece que la suma algebraica de los pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor del eje donde;

∑ fuerzas=JαDonde:

J=Inerciaα=aceleracionangular

Los 3 elementos básicos que representan los sistemas rotacionales son:

A. Momento de inercia:

Almacena energía cinética del movimiento de rotación. El momento de inercia de una masa puntual con respecto a un eje se define como el producto de la masa por la distancia perpendicular al eje elevada al cuadrado. La inercia se define con la siguiente integral:

J=∫0

M

r2dm

MODELADO DE SISTEMAS MECANICOS ROTACIONALES

Ramirez Ardila Camilo código [email protected]

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

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Usualmente, el elemento de masa dm será expresado en términos de la geometría del objeto, de modo que la integración puede llevarse a cabo sobre el objeto como una totalidad.

J=12

M r2

Figura 1. Momento de inercia de un disco delgado.

Un cuerpo de masa M sometido sometidos a un par de fuerzas experimentan un movimiento de rotación tal que el par de fuerzas de inercia cancela el par que lo impulsa. La ecuación que rige el comportamiento de la figura 2 es;

T ( t )=Jα (t )=J dω(t )dt

=J d2θ (t)d t 2

Donde θ( t) es el desplazamiento angular y Jα ( t ) es la aceleración angular.

Figura 2. Giro de un cuerpo con un momento de inercia J.

B. Muelle de torsión:

Es un elemento elástico que se deforma ante la acción de un par. El elemento se opone a ser girado desarrollando un par de reacción proporcional al ángulo girado por este al deformarse. La ecuación que rige el comportamiento de este elemento es la siguiente:

k (θ−θ0 )=T (t)

Siendo K la constante de torsión del muelle y qo el ángulo del muelle en estado de reposo.

Figura 3. Esquema de un muelle de torsión.

C. Fricción para el movimiento rotacional:

El par de fricción que se opone al movimiento rotacional está dado por la siguiente ecuación:

T B=Bω=B dθ( t)dt

Donde B es el coeficiente de fricción rotacional.

Ejemplo:

En la figura 4 se muestra un sistema mecánico rotacional tal que sobre un eje con un momento de inercia J1 y una constante de fricción B1 se aplica un par motor T(t). Este eje está conectado mediante un engranaje de relación N1=N2 = R1=R2 a otro eje que acciona una carga cuyo momento de inercia es J2, con una constante de fricción B2.

Figura 4. Ejemplo de sistema mecánico rotacional.

Sea θ1 el ángulo girado por el eje 1 respecto a la posición de reposo del mismo, y sea θ2 el análogo en el eje 2.

Ecuaciones de balance sobre el eje 1:

2


1. T−J1[ d2θ1

d t 2 ]−B1d θ1

dt−T e1=0

Ecuaciones de balance sobre el eje 2:

2. T e2−J 2[d2θ2

d t2 ]−B2d θ2

dt=0

Ecuación de balance en el engranaje:

3.θ1

θ2=

N1

N2

4.Te 1

Te 2=

N1

N2

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2) de balance del eje 2 se tiene:

5. T e2−J 2N 1

N 2 [ d2θ1

d t 2 ]−B2N 1

N 2

d θ1

dt=0

[1] [2] [3]Teniendo en cuenta la ecuación (4) y sustituyendo

[4]la ecuación anterior en la ecuación (1) de balance del eje 1, se obtiene:

T−J1[ d2θ1

d t 2 ]−B1d θ1

dt−

N 1

N 2 [J 2N1

N2

d2θ1

d t 2 +B2N1

N2

dθ1

dt ]=0

Operando se obtiene:

T−[J1+( N 1

N 2 )2

J2] d2θ1

d t 2 −[B1+( N1

N2 )2

B2]1

d θ1

dt=0

De esta ecuación se desprende que una carga de momento de inercia J2 unida a un eje 2 que esta conectado al eje 1 mediante el engranaje de relación N2/N1, es equivalente a una carga en el eje 1con un

momento de inercia ( N 1

N 2)

2

J 2. Esto es extensible al

fenómeno de fricción y torsión del eje.

III. CONCLUSIONES

El movimiento de elementos mecánicos se puede describir en varias dimensiones como el de traslación y de rotación. Las ecuaciones que gobiernan estos sistemas mecánicos están ligados a las leyes del movimiento de Newton. [5]

Se destacan 3 elementos involucrados en el sistema de rotación los cuales son momento de inercia, resorte de torsión y fricción. Estos elementos que intervienen en la rotación nos brindan la posibilidad de modelar una gran cantidad de sistemas lineales para dar solución a los problemas en automatización e ingeniería en control

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IV. BIBLIOGRAFÍA

[1] R. Hernandez Gaviño, Introduccion a los sistemas de Control, conceptos y aplicacion, Mexico: Pearson Educacion, 2010.

[2] N. S. Nise, Sistemas de Control para ingenieria, Tercera Edicion en ingles, Mexico: Compañia Editorial Continental, 2004.

[3] F. Gordillo A., «Apuntes de Regulacion Automatica, segundo curso de Ingenieria Industrial,» Departamento de Ingenieria de sistemas y Automatica, Sevilla España, 2004.

[4] W. Bolton, Ingenieria de Control 2da edicion, Mexico: Alfaomega, 2001. [5] S. Gomariz Castro, «Teoria de Control, Diseño Electronico, Universidad politecnica de Cataluña,» Alfaomega, Edicion

UPC, Cataluña, 2002.[6] K. C. Benjamin, Sistemas de Control Automatico, Mexico: Prentice Hall Hispanoamericana, 1996.

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