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PROYECTO INTEGRADOR DE LA CARRERA DE

INGENIERÍA NUCLEAR

ANÁLISIS DE INCERTEZAS CON LA LÍNEA DECÁLCULO CONDOR-CITVAP

Pablo Javier OctavianoIngeniería Nuclear

Villaríno, EduardoDirector

Ferraro, DiegoCo-director

Miembros del JuradoEduardo VillarinoDiego FerraroHéctor Lestani

Carlos Gho

Lunes 12 de Junio de 2017

Lugar de trabajo - INVAP Sede Bariloche

Instituto Balseiro

Universidad Nacional de Cuyo

Comisión Nacional de Energía Atómica

Argentina

Índice de símbolos

R: Observable, parámetro de interés que se puede medir de un reactor nuclear.

X : Parámetro variable.

E(X ): Valor esperado de un parámetro X .

Var(X ): Varianza de un parámetro X .

VarXi (Xj ) : varianza calculada de Xj al variar únicamente Xi.

X : Valor promedio de un parámetro X .

σX : desviación estandar de un parámetro X .

~r: vector posición.

E: energía del neutrón.

ø: �ujo escalar [neutronescm2seg

].

Σ: sección e�caz macroscópica.

A: operador perdidas y absorciones.

P: operador producciones.

v

vi Índice de símbolos

Factor de multiplicación efectiva keff : Número adimensional que depende del es-

tado del reactor y de la cantidad y ubicación de los distintos materiales que lo

integran. Se lo de�ne como el número por el que hay que dividir al término de la

fuente de �sión para obtener una solución estacionaria no nula del �ujo neutró-

nico, en ausencia de una fuente externa de neutrones.

kinf : factor de multiplicación para una con�guración in�nita

ρinf :kinf−1

kinf∗ 105 [pcm].

αT : coe�ciente de realimentación por temperatura isotérmico.

αV : coe�ciente de realimentación por vacío.

<A1,A2>: producto interno entre 2 operadores A1 y A2. Se integra sobre todas

las energías, sobre todo el volumen del reactor y sobre todo el ángulo sólido de 4π.

Tm : espesor de meat de una placa combustible.

Tc : espesor de cladding de una placa combustible.

Tp : espesor de una placa combustible.

M5 : % en peso de Uranio 235 en Uranio.

Wm : ancho de meat [cm]

A mi hermana Mariana

A mi madre Patricia

A mi abuela Evelia

A mi padre Mario...

Índice de contenidos

Índice de símbolos v

Índice de contenidos ix

Índice de �guras xi

Índice de tablas xiii

Resumen xv

abstract xvii

1. Introducción 1

1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Cálculo de reactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Datos de ingeniería y datos nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1. Incertezas en Datos nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2. Incertezas en ingeniería . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4. Tolerancias de fabricación de elementos combustibles tipo placa . . . . 6

1.4.1. Fabricación de combustibles tipo placa . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2. Tolerancias y distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . 8

1.5. Caso de aplicación: Benchmark de OPAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Análisis de incertezas y las distintas metodologías posibles 13

2.1. Teoría de perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2. Total MonteCarlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP 19

3.1. Descripción de los códigos, la línea de cálculo y las modi�caciones per-

tinentes para utilizar la metodología TMC . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1. Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.2. Modi�caciones pertinentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2. Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

ix

x Índice de contenidos

3.3. Análisis y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.1. Observables a nivel de celda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.2. Observables a nivel de núcleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4. Mejoras potenciales para el análisis de incerteza con aplicación a la

línea de Cálculo CONDOR-CITVAP 51

4.1. Latin Hypercube Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2. Análisis de sensibilidad por descomposición de varianza . . . . . . . . . 57

4.3. Método híbrido para el cálculo de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . 57

5. Conclusiones 61

A. Cálculos asociados a Teoría de perturbaciones 63

A.1. Cálculo de reactividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A.2. Cálculo de observables expresados como ritmos de reacción lineales . . 64

Agradecimientos 71

Índice de �guras

1.1. Sección e�caz de scattering del 208Pb [9] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Conformación del Sandwich a partir de U3Si2 . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Ilustración del �Sandwich� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Conformación del combustible �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Radiografía de una placa combustible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6. distribución super�cial de meat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7. Histograma de espesor de cladding de una placa de elemento combustible 9

1.8. Esquema tridimensional de la maquinaria utilizada para laminar placas

combustibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.9. Imagen de OPAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.10. Esquema del primer núcleo de Opal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1. Distribuciones de probabilidad de distintos parámetros en una sola placa 18

3.1. Esquema representativo de la línea de cálculo CONDOR CITVAP . . . 20

3.2. Modelo de elemento combustible utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3. Modelo de una única placa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Análisis de convergencia sampleando el enriquecimiento . . . . . . . . . 25

3.5. Sensibilidad del ρinf frente a 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.6. Sección e�caz de absorción en función de la energía para distintos sam-

pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 23592 U . . . . . . . . . . . . 29




pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 2713Al . . . . . . . . . . . . . 31


pleos obtenidos con TENDL para el isótopo 11H . . . . . . . . . . . . . 31





xi

xii Índice de �guras

3.12. Desviación estándar en función de la energía para distintos isótopos . . 33

3.13. Histograma de reactividad para el sampleo de distintos isótopos . . . . 34

3.14. Histograma de factor de pico para el sampleo de distintos isótopos . . . 35

3.15. Coe�ciente de realimentación por temperatura isotérmico variando pa-

rámetros de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.16. Coe�ciente de realimentación por vacío variando parámetros de diseño . 39

3.17. Comportamiento de la barra 2 con zoom desde 80% de inserción . . . . 41

3.18. Peso de barra 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.19. Peso de barra 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.20. Peso de barra 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.21. Peso de barra 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.22. Peso de barra 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.23. Reactividades correspondientes a estados críticos del reactor . . . . . . 47

3.24. Valores máximos, mínimos y medios de la reactividad . . . . . . . . . . 47

3.25. Factor de pico correspondiente a estados críticos del reactor . . . . . . 48

3.26. Valores máximos, mínimos y medios del factor de pico . . . . . . . . . . 48

4.1. Comparación entre HCLS y el método Random . . . . . . . . . . . . . 52

4.2. Histogramas obtenidos por HCLS y por Random . . . . . . . . . . . . . 53

4.3. Reactividad ρinf [pcm] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4. Factor de pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.5. Método híbrido de cálculo de incertezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Índice de tablas

3.1. Listado de variables en el análisis de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Tabla de sensibilidad relativa en variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.3. Orden de sensibilidad en forma decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4. Comparación de valores obtenidos para ρinf . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5. Comparación de valores obtenidos para el factor de pico . . . . . . . . . 30

3.6. Raíz de la suma de cuadrados, valores presentados en pcm . . . . . . . 37

3.7. Sampleo simultaneo, valores presentados en pcm . . . . . . . . . . . . . 37

3.8. Resultado del análisis de incertezas en el coe�ciente de realimentación

por temperatura isotérmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.9. Resultado del análisis de incertezas en el coe�ciente de realimentación

por vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.10. Tabla comparativa de resultados obtenidos con resultados experimentales 44

xiii

Resumen

La motivación del presente trabajo surge de la necesidad de analizar las incertezas

asociadas a parámetros de ingeniería, con sus respectivas tolerancias y distribuciones

probabilisticas. Tambien se tienen en cuenta las incertezas en datos nucleares, las cuales

tienen un impacto directo sobre el cálculo de reactores. Se estudian dos metodologías

de análisis de incertezas mostrando las ventajas y desventajas que presenta cada una

de ellas y se llega a una conclusión respecto a qué metodología se utilizará en este

trabajo.

Utilizando dicha metodología, se procede a analizar las incertezas en observables

debido a variaciones en parámetros de ingeniería y datos nucleares. Estos resultados

podrían ser utilizadas para realizar una realimentación en el diseño de reactores de

investigación. Por último, se proponen alternativas y mejoras para hacer más e�ciente

la metodología de análisis de incertezas.

Palabras clave: INCERTEZAS

xv

abstract

The motivation of this project raises from the need of analysing uncertainties aso-

ciated with design parameters, with their respective tolerance limits and probability

distributions. It is necessary to take into account the uncertainty on nuclear data, which

has a direct impact on reactor simulations. Two methodologies of uncertainty analysis

are studied, by looking at their advantages and disadvantages. A conclusion is made

about which method is more appropiate for this research.

Using this methodology, we proceed to analyse the uncertainty of observables due

to a variation on engineering parameters and nuclear data. These results could be

used to make a feedback on the experimental reactor's design. Finally, we propose

alternatives and improvements in order to make the uncertainty analysis methodology

more e�cient.

xvii

Capítulo 1

Introducción

�El fracaso derrota a los perdedores pero inspira a los gana-

dores�

� Robert Kiyosaki

El análisis de incertezas en el cálculo de reactores es hoy en día un campo de inves-

tigación activo tanto para reactores de investigación como para reactores de potencia.

Este análisis tiene implicancias en la integridad de los elementos combustibles dentro

de un reactor, el comportamiento de los neutrones dentro del núcleo del reactor, el daño

en recipientes de presión, el cálculo de blindaje y radio-protección, almacenamiento de

combustibles gastados o la simulación de accidentes.

Una de las particularidades del área nuclear es la gran diferencia de escala en las

interacciones que se toman en cuenta: desde partículas sub-atómicas (neutrones, pro-

tones, etc.) hasta grandes instalaciones (reactores, depósitos de combustibles gastados,

etc.) donde se puede ver que efectos a pequeña escala tienen un gran impacto a gran

escala. La falta de certeza sobre los parámetros que caracterizan las reacciones que

involucran a estas partículas y de los parámetros asociados a componentes (desde los

más chicos hasta los más grande dentro del núcleo de un reactor) pueden afectar la

dinámica de un reactor nuclear durante transitorios, o pueden hacer que un depósito de

almacenamiento de combustibles gastados llegue a la criticidad bajo condiciones espe-

cí�cas. Hace décadas, el hecho de sobre dimensionar los márgenes de seguridad estaba

enmascarando el efecto de las incertezas en los datos nucleares, en geometrías con valo-

res inciertos en el reactor y en las composiciones de cada componente que involucraba

un reactor. Pero las nuevas condiciones de operación y diseño de las facilidades críticas

(cálculos best-estimate, mayor quemado de los elementos combustibles o reducción de

costos para almacenamiento de combustibles gastados) ponen a prueba el conocimiento

respecto a los datos nucleares,los parámetros de ingeniería en procesos de fabricación

de elementos combustibles o elementos estructurales, y el tratamiento de las incertezas

asociadas.

1

2 Introducción

1.1. Objetivos

Los objetivos de este proyecto integrador son:

Identi�car las incertezas existentes en los parámetros de un reactor, desde di-

mensiones en componentes estructurales y composiciones en los mismos hasta

secciones e�caces.

Hacer un estudio y una comparación de dos metodologías para analizar incertezas,

una de ellas conocida como Teoría General de Perturbaciones (GPT por sus siglas

en inglés) y otra conocida como Total Montecarlo (TMC).

Analizar las incertezas asociadas a parámetros de fabricación de elementos com-

bustibles, utilizando la metodología TMC, y como modelo al reactor australiano

OPAL (Open Pool Australian Lightwater Reactor) [3] diseñado por INVAP. Para

esto se recurrirá a la línea de cálculo de reactores y post-procesamiento utilizada

por INVAP, que cuenta con los códigos CONDOR, HXS, CITVAP y ARCANE,

con asistencia de los programas NJOY y ESINLM[2].

Proponer mejoras en la metología de cálculo utilizada junto con metodologías

alternativas, de forma de optimizar los tiempos de cálculo y hacer un análisis con

mayor profundidad de las incertezas involucradas en los procesos de fabricación.

1.2. Cálculo de reactores

Las variables necesarias para el análisis de la física de un reactor dependen de

la interacción de los neutrones con la materia. Dichas propiedades de la materia están

dadas por las secciones e�caces de los materiales y los datos de ingeniería. Estos datos de

ingeniería dependen de condiciones operacionales (por ejemplo temperatura, densidad,

condiciones del refrigerante, etc) y las secciones e�caces dependen de la energía y la

temperatura del material, pero también dependen de ciertos datos especí�cos como la

estructura cristalina y molecular de los materiales en cuestión. Esto hace necesario el

desarrollo de modelos que representen la dinámica real de un reactor, ya que se desea

conocer el comportamiento de los neutrones dentro del reactor, y cómo estos actúan

frente a variaciones de los parámetros mencionados.

Para obtener el �ujo neutrónico dentro de un reactor nuclear se debe resolver la

ecuación de transporte, una ecuación integro-diferencial que cuenta con solución ana-

lítica en condiciones muy restrictivas. Pero es una ecuación en la cual se suelen usar

muchos métodos y herramientas distintas para resolver casos de interés a través de

soluciones aproximadas de la misma.

1.2 Cálculo de reactores 3

El �ujo neutrónico depende de la posición, el ángulo, la energía del neutrón y el

tiempo, por lo que la solución del �ujo neutrónico en todo el reactor tomando en cuenta

todas estas variables asociadas al sistema requiere una cantidad importante de recursos

computacionales.

Para el tratamiento de las variables angulares, las mismas pueden ser integradas

analíticamente para que el �ujo escalar sea directamente calculado; esto se conoce

como Método de Probabilidad de Colisión y es útil bajo la aproximación importante

de contar con scattering isotrópico. Existen otros métodos como Ordenadas discretas

donde se discretiza el ángulo sólido de 4π en cierto número de direcciones discretas. Por

último, el método de expansión en armónicos esféricos (mejor conocido como método

Pl, en el cual se hace un tratamiento analítico de la variable angular), pero tiene

la desventaja de requerir un esfuerzo importante en programación para cada orden l

de los polinomios. Para el primer orden de este método, P1, considerando scattering

linealmente anisotrópico ,sistemas poco absorbentes y algunas otras aproximaciones

que pueden verse en [14], se puede obtener la Ley de Fick, que se utiliza en el método

de cálculo conocido como Teoría de Difusión.

Respecto a la energía, se utiliza lo que se conoce como esquema multigrupo donde

todo el rango energético de neutones es dividido en grupos de energía. La sección e�caz

macroscópica condensada de cada grupo cumple con la ecuación 1.1, y con ellas se puede

llegar de la ecuación de transporte de neutrones a un sistema de ecuaciones acoplado

debido a las secciones e�caces de �sión y de scattering de los materiales involucrados.

Σg(~r)

∫∆Eg

φ(~r, E)dE =

∫∆Eg

Σ(~r, E)φ(~r, E)dE (1.1)

Para analizar la distribución espacial, el reactor se suele dividir en subsistemas

pequeños, donde se aproxima la distribución espacial del �ujo dentro de cada subsistema

a una función constante o lineal.

Muchas de las líneas de cálculo disponibles hoy en día usan el hecho de que un

reactor nuclear es diseñado usando múltiples elementos combustibles que suelen tener

diseños iguales o similares. Esto permite dividir el cálculo del reactor en 2 etapas:

La primer etapa conocida como Cálculo de celda, que es llevada a cabo en un

subsistema pequeño, por ejemplo un único elemento combustible, pero con una

gran resolución espacial y mucho detalle respecto a la distribución energética.

En esta etapa, para resolver la ecuación de transporte es necesario utilizar un

método de gran precisión (tal es el caso de Probabilidad de colisión, ordenadas

discretas o los métodos MonteCarlo).

La segunda etapa (conocida como Cálculo de Núcleo), se lleva a cabo en todo

el reactor, pero sin tanto nivel de detalle. Esto es posible debido a la condensa-

4 Introducción

ción y homogeneización de secciones e�caces macroscópicas de cada subsistema

resuelto en el cálculo de celda. En esta etapa se puede utilizar un método menos

preciso para calcular la ecuación de transporte, como el método de Difusión y el

método de diferencias �nitas para resolver, en forma aproximada, la ecuación de

transporte en todo el reactor.

1.3. Datos de ingeniería y datos nucleares

El desarrollo de reactores nucleares para la producción de energía o para usos de

investigación requiere de una gran capacidad de modelado para una buena evaluación

de seguridad , con�abilidad y optimización de costos de tales sistemas. Tambien para

la interpretación de benchmarks experimentales necesitados para evaluaciones de se-

guridad o performance. Un componente esencial en el modelado de estos sistemas son

los datos nucleares y los datos de ingeniería, los cuales deben proveer de información

completa y precisa. Un bene�cio que se obtiene de datos más precisos es la reducción

de costos en el diseño, desarrollo y operación de reactores nucleares. A través de estos

datos, los reactores pueden ser diseñados para alcanzar e�ciencias altas manteniendo

los estándares de seguridad adecuados.

Surge entonces la necesidad de conocer las incertezas de todos estos datos, tanto

de los datos nucleares como de los parámetros de ingeniería en fabricación y diseño

nuclear.

Existen distintas fuentes de incertezas en todos estos parámetros; ejemplos de esto

son las tolerancias de fabricación para los componentes de un reactor o de un elemento

combustible, incertezas en datos nucleares (haciendo énfasis en secciones e�caces) e

incertezas durante operación del reactor (por ejemplo, incertezas en la presión o tem-

peratura del reactor, etc.). Existen guías como [8] para el tratamiento de incertezas

donde se especi�ca como proceder en dicho análisis.

1.3.1. Incertezas en Datos nucleares

Los datos nucleares, especialmente las secciones e�caces, son parámetros que se

conocen con precisión limitada. Dichos valores pueden variar desde un pequeño por-

centaje hasta décimas de porcentajes para los isotopos de interés [1]. Un ejemplo de

esta variación es presentada en Figura 1.1, la cual representa un sampleo de la sección

e�caz de scattering del 208Pb extraído de TENDL-2013 donde se muestra en rojo el

valor de referencia de la sección e�caz del 208Pb, mientras que se muestra en negro los

50 casos sampleados. Para mayor detalle acerca de como se almacenan la información

asociada a las incertezas en datos nucleares véase [9].

1.3 Datos de ingeniería y datos nucleares 5

Figura 1.1: Sección e�caz de scattering del 208Pb [9]

Las incertezas de datos nucleares tienen implicancia directa para cálculos neutróni-

cos tales como el almacenamiento de combustibles gastados, donde es necesario conocer

con gran precisión la densidad numérica de los isotopos que allí yacen, como para la

determinación de ritmos de reacciones para conocer el comportamiento de venenos que-

mables, tales como alambres de Cd en los elementos combustibles. En este proyecto

integrador se hará un análisis tomando en cuenta los isotopos de Hidrogeno, Aluminio,

Uranio 234, Uranio 235, Uranio 236 y Uranio 238.

1.3.2. Incertezas en ingeniería

Las incertezas de ingeniería fueron consideradas de la siguiente forma:

Datos de manufactura (en caso que se contara con dicha información).

Tolerancias de fabricación de cada parámetro.

En este trabajo, solamente se tuvieron en cuenta incertezas asociadas a la fabricación

de elementos combustibles.

6 Introducción

1.4. Tolerancias de fabricación de elementos combus-

tibles tipo placa

En esta sección se explicará brevemente los métodos de fabricación de un elemento

combustible tipo MTR con Siliciuro de Uranio disperso en una matriz de Aluminio, y

la procedencia de las incertezas en sus especi�caciones.

1.4.1. Fabricación de combustibles tipo placa

Para la fabricación de elementos combustibles se sigue la metodología mostrada

en Figura 1.2. Con una cantidad determinada de gramos de Uranio y de Silicio, se

funden estos 2 materiales para conformar el compuesto U3Si2, el cual sufre procesos de

trituración, molienda y tamizado para conformar el polvo que será usado para armar

la placa combustible. Este polvo es mezclado con aluminio para obtener la matriz del

combustible disperso, y luego pasa a ser prensado para conformar el compacto.

Fundición

Trituración Molienda Tamizado

Polvo

Mezclado Prensado

SandwichMarco Tapas

Compacto

Uranio Silicio

Aluminio

Figura 1.2: Conformación del Sandwich a partir de U3Si2

1.4 Tolerancias de fabricación de elementos combustibles tipo placa 7

Una vez conformado el compacto, es colocado dentro de un marco cuya geometría

está preestablecida por márgenes de diseño relacionados con la dureza y ductilidad que

presentará la placa antes y durante su irradiación en el reactor, se añaden 2 tapas y

se suelda para formar el sandwich, puede verse un ejemplo en Figura 1.3. Los proce-

dimientos posteriores a la construcción del sandwich para la fabricación del elemento

combustible pueden verse en Figura 1.4.

Figura 1.3: Ilustración del �Sandwich�

Se procede a la laminación del sandwich para formar la placa combustible, se veri�ca

a través de radiografías que la misma cumpla con las tolerancias de diseño necesarias.

En caso que sea aprobada pasa a ser cortada y luego pasa a control de dimensiones

para que pueda repujarse y formar así el elemento combustible tipo placa.

8 Introducción

Sandwich

Soldadura

Laminación

Radiografía

Corte

Control

Placa

Ensamble

Figura 1.4: Conformación del combustible �nal

1.4.2. Tolerancias y distribuciones de probabilidad

Durante todos estos procesos, existen tolerancias asociadas a cada parámetro, tanto

de la placa combustible como del elemento combustible �nal. Estos valores son estable-

cidos a través de criterios de diseño, de tal forma que no se comprometa la integridad

del elemento combustible y se consiga el mejor rendimiento posible del mismo, un

ejemplo de esto es la tolerancia en la densidad del compacto. Se establece un límite

máximo de 4.8 grcm3 en la densidad del compacto una vez laminado, ya que se busca

cierta porosidad en el combustible para poder contener productos de �sión dentro de la

matriz del combustible disperso. Este valor de densidad se asigna como valor máximo

posible porque no existen combustibles validados para densidades mayores.

La inhomogeneidad a lo largo de la longitud activa de la placa combustible repre-

senta otra tolerancia de fabricación, donde se aceptan desviaciones respecto del valor

de densidad media de un 25% en la densidad de los extremos de la placa y de un 12%

en la densidad en la zona media. A este fenómeno se conoce como dogboning y es muy

común en los procesos de fabricación de placas combustibles debido al laminado de las

mismas, se presenta un ejemplo de esto en Figura 1.6 donde se determina la densidad

super�cial de la placa laminada, con una radiografía de la misma placa en Figura 1.5.

Figura 1.5: Radiografía de una placa combustible

1.4 Tolerancias de fabricación de elementos combustibles tipo placa 9

Figura 1.6: distribución super�cial de meat

Figura 1.7: Histograma de espesor de cladding de una placa de elemento combustible

Estos límites de diseño indican que existe mucha variabilidad respecto a la inhomo-

geneidad de la placa, un ejemplo en [10] se presenta en Figura 1.6. 12

En estos procesos de fabricación de elementos combustibles se asignan tolerancias

1Las escalas en dicha �gura muestran mayor opacidad ante mayor densidad super�cial en la placa2Para mayor información respecto a dichas radiografías véase [10]

10 Introducción

Figura 1.8: Esquema tridimensional de la maquinaria utilizada para laminar placas combusti-bles

a cada parámetro y los controles se realizan únicamente para determinar si los valores

se encuentran dentro del rango aceptado. No se toma en cuenta la variabilidad de cada

parámetro o cualquier posible distribución de probabilidad que tuviese, un ejemplo de

esto es el espesor de cladding de la placa combustible, como puede verse en Figura 1.7.

El espesor de cladding es un parámetro que presenta tolerancia asimétrica, y una

distribución de probabilidad triangular. Esto indica que al momento de laminar la pla-

ca, se deforma para luego ser enderezada con un espesor que presenta una distribución

de probabilidad. Este proceso se muestra en Figura 1.8. A pesar de que la placa se en-

cuentre dentro de las tolerancias aceptables, esto repercute directamente en observables

como la reactividad del elemento combustible debido a que, manteniendo el pitch entre

elementos combustibles, se está cambiado la relación de moderación al tener canales

más pequeños o más grandes entre placas, y por consecuencia menor cantidad de agua

cercana a las placas.

Al igual que el espesor de cladding de una placa combustible, existen otros pará-

metros que cuentan con su respectiva función de probabilidad. La masa de Uranio o de

Silicio dentro de cada compacto presentan distribuciones de probabilidad y tolerancias

asimétricas que determinan la composición dentro de la placa combustible, y así tam-

bién di�ere la cantidad de Uranio 235 por gramo de Uranio. Debido a variabilidades

como esta, se debe establecer una metología de cálculo y análisis de incertezas para ver

1.5 Caso de aplicación: Benchmark de OPAL 11

como afecta la aleatoriedad de cada parámetro a los observables de un reactor.

1.5. Caso de aplicación: Benchmark de OPAL

Figura 1.9: Imagen de OPAL

En el presente trabajo, se aplicará el análisis de incertezas al reactor de investiga-

ción que representa el estado del arte de la tecnología. Para esto se ha seleccionado el

modelado del reactor OPAL,mostrado en Figura 1.9. OPAL es un reactor de investi-

gación multipropósito de 20 MWth, construido y licenciado por INVAP entre los años

2000 y 2006. El reactor presenta facilidades de irradiación, las cuales son utilizadas

para la producción de radioisotopos con �nes industriales y medicinales, para el análi-

sis de materiales y muestras usando la técnica de activación neutrónica y la activación

por neutrones retardados, y para la irradiación de silicio para la producción de semi-

conductores. El reactor cuenta además con una fuente de neutrones fríos para estudios

asociados a ciencias de los materiales y su núcleo se encuentra rodeado por re�ector de

agua pesada [3].

Figura 1.10: Esquema del primer núcleo de Opal

El núcleo del reactor consta de 16 elementos combustibles de bajo enriquecimiento

tipo MTR, cuyo combustible se fabrica de Siliciuro de Uranio, y es moderado y refri-

12 Introducción

gerado utilizando agua liviana. El primer núcleo del reactor contaba con 3 elementos

combustibles distintos que se diferenciaban por la cantidad de gramos de siliciuro de

uranio presente en el combustible disperso, se muestra un esquema de esta con�guración

en Figura 1.10.

El sistema de apagado de este reactor está constituido por:

Un primer sistema de parada de actuación rápida, el cual está conformado por

5 barras de control de Hafnio, 4 de ellas tipo placa y una 5ta barra de control

central con forma de cruz, la cual es usada como barra de regulación.

Un segundo sistema independiente, diverso y redundante que consta del drenaje

del agua pesada presente en el recipiente del reactor. El agua pesada drenada se

lleva a un tanque de almacenamiento de agua pesada, donde todo el sistema es

presurizado con Helio gaseoso.

Habiendo establecido el reactor sobre el cual se realizará un análisis de incertezas,

se debe seleccionar la metodología para analizar la variación de parámetros de diseño

dentro del reactor.

Capítulo 2

Análisis de incertezas y las distintas

metodologías posibles

�All you need in life is ignorance and con�dence, then success

is sure�

� Mark Twain, en una carta (1887)

En este capítulo se explicarán las posibles metodologías para el análisis de incertezas.

Se analizará un ejemplo para demostrar la practicidad de estos métodos de cálculo y

se mencionarán los fundamentos teóricos, las ventajas y las desventajas de cada una

de ellos.

Se consideran observables a parámetros como el peso de barras, el factor de pico o

la reactividad del núcleo o de cada elemento combustible en particular. Aquellos pará-

metros denotados X hacen referencia a composiciones dentro una placa combustible o

a medidas geométricas dentro de un elemento combustible.

Para analizar incertezas existen métodos que, computacionalmente, son más senci-

llos que GPT y TMC. Una opción es hacer un análisis conservativo de un observable

R respecto de algún parámetro Xk.

El parámetro Xk puede tomar valores entre Xkmin y Xkmax, los cuales representan

límites de�nidos por la tolerancia del parámetro Xk, entonces para conocer la variabili-

dad de R = f(Xk) frente a Xk se calculan R1 = f(Xkmin) y R2 = f(Xkmax). Este tipo

de cálculos resulta representativo cuando el observable R cuenta con una dependencia

monótona con Xk. En ese caso, los valores de R1 y R2 representan las condiciones

extremas de dicho observable. Los problemas que surgen con este método de análisis

de incertezas son los siguientes:

No se toma en cuenta la distribución de probabilidad correspondiente al paráme-

tro Xk, la cual in�uye directamente en los valores posibles de R.

13

14 Análisis de incertezas y las distintas metodologías posibles

Dado el caso que el observable R no tenga dependencia monótona con Xk, los

valores de R1 y R2 podrían no representar las condiciones extremas de dicho

observable.

Se debe determinar, en una instancia previa a los cálculos, la condición más con-

servativa, lo cual no es sencillo cuando se toman en cuenta muchos observables a

la vez. Ciertos parámetros Xi,Xj,Xk,etc., pueden variar ocasionando un aumento

de algún observable (por ejemplo: la reactividad del núcleo o el peso de las ba-

rras), pero disminuyendo simultaneamente otro observable de importancia (por

ejemplo: el factor de pico).

Se torna imperativo implementar metodologías para análisis de incertezas capaces

de calcular efectos no lineales donde se tomen en cuenta las distribuciones de proba-

bilidad de los parámetros de diseño del reactor. De esta forma, se logra conocer el

comportamiento de un observable como respuesta ante variación en dichos parámetros.

2.1. Teoría de perturbaciones

Considerando la ecuación 2.1 de transporte de neutrones para un reactor crítico

asociado en k, escrita en forma de operadores, se puede conocer el comportamiento de

la población neutrónica en cualquier sistema a analizar.

Aφ =P

keffφ (2.1)

Esta ecuación puede representar cualquier forma de la ecuación de transporte con

cualquier esquema de discretización, tanto espacial como en energías (a través del

esquema multigrupo) y en variables angulares, por lo que φ puede representar el �ujo

de un grupo en cierto número de grupos en un volumen �nito o en un punto dado en

un reactor, con direcciones especí�cas.

La ecuación 2.1 representa un medio multiplicativo sin fuentes de neutrones, es-

tacionario y cuyo factor de multiplicación keff puede ser distinto de 1. Esta ecuación

utiliza un concepto que se conoce como reactor crítico asociado, el cual es un reactor

�cticio, similar al reactor que se analiza, pero con modi�caciones en algún parámetro

de manera tal que sea necesariamente crítico. En el caso especí�co de un reactor crí-

tico asociado en k se modi�ca el operador de producciones dividiendo por el factor de

multiplicación, por lo que en lugar de plantear en 2.1 un operador P de producciones,

se utiliza un operador Pkeff

. Gracias a esto se puede analizar la ecuación de transporte

en estado estacionario para reactor con un keff distinto de 1.

Se de�ne un operador adjunto para el �ujo φ ; el cual se conoce como �ujo adjunto,

denotado φ+, y cumple con las propiedades presentes en ecuación 2.2 y ecuación 2.3.

2.1 Teoría de perturbaciones 15

(A+ − P+

keff)φ+ = 0 (2.2)

< φ+,Hφ >=< H+φ+, φ > (2.3)

donde H representa un operador lineal cualquiera.

El �ujo adjunto también se conoce como importancia debido a la interpretación

física que el mismo tiene. El operador φ+ muestra que tan importante es un neutrón

en un punto determinado del espacio, a una energía dada.

Con esta magnitud física se pueden calcular perturbaciones a un sistema crítico,

las cuales implican modi�caciones de poca magnitud en los operadores presentados en

ecuación 2.1.

Perturbaciones a parámetros relevantes en el diseño de un reactor pueden ser cal-

culadas usando GPT (General Perturbation Theory), el caso mas notorio es el cálculo

de reactividad introducida por una perturbación en el reactor partiendo de un estado

crítico del reactor (keff = 1). Se puede demostrar que, bajo pequeñas perturbaciones,

el cambio de reactividad producido por un cambio en las secciones e�caces en cualquier

punto del reactor se puede calcular con la ecuación 2.4. Un análisis más profundo de

como obtener esta ecuación se encuentra en apéndice A.

− δ( 1

keff) ≈ δ(

keff − 1

keff) = δρ = −

< φ+, (δA− δPkeff

)φ >

< φ+,Pφ >(2.4)

Este tipo de aplicaciones resultan útiles ya que se puede calcular desde coe�cientes

de re-alimentación, ya sea por temperatura o por vacío, hasta la magnitud de una

inserción de reactividad al cambiar materiales dentro de un reactor. A su vez, teoría

de perturbaciones puede calcular los cambios de muchos otros observables cuando las

perturbaciones son pequeñas, tal es el caso del βeff de un reactor o el tiempo medio

entre �siones. Se puede perturbar cualquier observable R que pueda ser descripto como

R =< S+, φ >, R =<S+

1 ,φ>

<S+2 ,φ>

o R = <φ+,H1φ><φ+,H2φ>

donde H1 y H2 representan operadores

lineales similares a H, A o P; y S+, S+1 y S+

2 representan operadores vectoriales,

denomidando aquellos que cumplen con la condición de que el producto interno con el

�ujo neutrónico sea un escalar. Un cálculo con teoría de perturbaciones para observables

de este tipo se presenta en el apéndice A en la sección A.2.

Eventualmente cada observable cuyo comportamiento se quiera investigar, debe ser

expresado de la forma < S+, φ >, donde S+ se conoce como fuente de importancia.

Para aplicar la propiedades de los operadores adjuntos, se debe resolver un sistema de

ecuaciones similar a la ecuación A.11 en Apéndice A. A �nes prácticos, este cálculo

es computacionalmente tan costoso como el cálculo de �ujo neutrónico. Debido a esto,

GPT no presenta una mejora signi�cativa si se desea calcular un número pequeño de


perturbaciones.

Surge entonces otro problema de que cada observable, dependiendo de como es

expresado matemáticamente, cuenta con una fórmula distinta para calcular perturba-

ciones en el mismo, por lo que para cada uno de ellos se debe desarrollar un cálculo

particular. Esto lleva a que la implementación de GPT en los códigos de cálculo sea

más compleja.

Otro problema asociado al cálculo de perturbaciones es que GPT presenta muchas

aproximaciones al momento de calcular las mismas. Partiendo de la hipotesis de peque-

ñas perturbaciones, GPT ofrece un método estimativo que no es exacto, y cuyo error

crece a medida que dichas perturbaciones en el reactor son muy grandes.

2.2. Total MonteCarlo

La segunda metodología de análisis, conocida como Total Montecarlo (TMC), se

basa en el modelado de la variabilidad de los parámetros del reactor usando las distri-

buciones de probabilidad de cada parámetro.

Para cada parámetro Xk se genera con una cantidadM de sampleos un valor medio

Xk y luego se calcula χk = Xk−Xk

Xk∗100; la �gura 2.1 muestra histogramas de la variable

χk para algunos parámetros.

El método tiene un principio mucho mas simple que el que aplica GPT. Si se

desea conocer la variación de un observable frente a las incertezas asociadas y las

distintas distribuciones de probabilidad se samplean parámetros de entrada (como ser

la geometría del elemento combustible, la composición dentro del meat de cada placa,

el radio de los alambres de Cd, etc.), se recalcula el reactor con estos nuevos parámetros

de entrada y se hace un análisis estadístico sobre los resultados obtenidos.

A pesar de esto, con los años los cálculos han comenzado a ser cada vez más com-

plejos y ha acrecentado la necesidad de que cada vez sean más precisos; por lo que el

tiempo de cálculo ha aumentado exponencialmente.

El problema que tiene este enfoque es que si las variaciones son demasiado chicas, los

cambios producidos por estas perturbaciones en parámetros de entrada pueden quedar

dentro del error de cálculo, en cuyo caso este método cuenta con una limitación cuando

las perturbaciones son demasiado chicas.

Referencias como [4] hacen énfasis en que una de las principales desventajas de estos

códigos es el tiempo empleado. Si se desea repetir un análisis de sensibilidad de algún

observable frente a un parámetro especí�co, se debe aplicar la siguiente metodología:

Dejar un parámetro libre para samplear.

Dejar �ja todos los otros parámetros involucrados.

2.2 Total MonteCarlo 17

Calcular la cantidad N necesaria de simulaciones del reactor para conseguir una

estadística con�able.

Hacer un análisis estadístico sobre los observables.

Tomando en cuenta una cantidad d de variables, donde cada variable cuenta con

una cantidad N de simulaciones, se necesitaría cada vez más simulaciones si se desea

conocer la sensibilidad ante una mayor cantidad de variables. Además este método es

ine�ciente debido a que muchos observables que son recalculados no son sensibles ante

variaciones, y muchos de los cálculos resultan inútiles.

La ventaja principal de esta metodología es la posibilidad de analizar distintos

observables simultáneamente. Simplemente se simula una cantidad N de casos , cada

uno variando parámetros de diseño (por ejemplo: calcular un reactor con distintos

espesores de cladding en todas las placas de todos los elementos combustibles), y se

hace un análisis estadístico sobre un observable (por ejemplo: el kinf del elemento

combustible). Por otra parte, se pueden ver otros observables como el factor de pico,

el �ujo en cierta región de un reactor o el cambio en el quemado de un combustible en

particular. Estos observables no pueden ser analizados con facilidad utilizando GPT

ya que no todos ellos pueden ser expresados de la forma R =< S+, φ >, R =<S+

1 ,φ>

<S+2 ,φ>

o

R = <φ+,H1φ><φ+,H2φ>

.

Aparte de esto, TMC es de fácil implementación y permite analizar cualquier efecto

no lineal que existiera en la dinámica del reactor.

Por todas estas razones, en este trabajo se utilizará la metodología de TMC para

análisis de incertezas en el reactor OPAL.


Figura 2.1: Distribuciones de probabilidad de distintos parámetros en una sola placa

Capítulo 3

Cálculos con la línea

CONDOR-CITVAP

Buscando optimizar el diseño del núcleo de un reactor, se puede sacar mucha infor-

mación importante de análisis de sensibilidad y de análisis de incertezas, donde puede

analizarse el comportamiento que tienen ciertos observables frente a un determinado

parámetro de ingeniería.

Para el análisis del modelo de OPAL, se utilizó la línea de cálculo usada por INVAP,

validada y empleada para cálculos de varios reactores construidos y en construcción en

la actualidad.

3.1. Descripción de los códigos, la línea de cálculo

y las modi�caciones pertinentes para utilizar la

metodología TMC

En esta sección se hará una descripción de los códigos y programas utilizados en este

proyecto integrador y la función de cada uno de ellos, se presenta un esquema indicativo

en Figura 3.1 y para mayor detalle respecto a dicha línea de cálculo y extensiones hacia

otros códigos véase referencia [11].

3.1.1. Descripción

Para obtener la información de las secciones e�caces microscópicas de cada material

y de cada isótopo, se utilizan las bibliotecas de datos nucleares ENDF/B cuyas secciones

e�caces son previamente validadas para el uso en el cálculo de reactores.

Esta biblioteca no cuenta con una estructura de datos de forma tal que códigos

como CONDOR puedan utilizarla, razón por la cual dichas bibliotecas son procesadas

por códigos como NJOY; el cual genera bibliotecas WIMS de 69 grupos o bibliotecas

19

20 Cálculos con la línea CONDOR-CITVAP

Figura 3.1: Esquema representativo de la línea de cálculo CONDOR CITVAP

HELIOS; y el código ESINLM; que genera bibliotecas en formato ESIN a partir de

ENDF/B y cuenta con la capacidad de añadir isótopos de ENDF/B a bibliotecas

generadas por NJOY. Las bibliotecas ESIN son aquellas utilizadas por CONDOR para

el cálculo de celda.

El código CONDOR es aquel utilizado para los cálculos a nivel de celda. CONDOR

adquiere la biblioteca necesaria y resuelve aproximaciones a la ecuación de transporte en

2 dimensiones para cualquier geometría usando el método de Probabilidad de Colisión

y el método de Respuesta Heterogenea. En este método todo el sistema se divide en

subsistemas y la distribución neutrónica en cada subsistema es calculada a través de

Probabilidad de Colisión. Una vez hecho esto, todos los subsistemas son acoplados.

3.1 Descripción de los códigos, la línea de cálculo y las modi�caciones pertinentes para

utilizar la metodología TMC 21

De esta forma, CONDOR puede modelar geometrías complicadas en forma rápida y

precisa, así también puede calcular secciones e�caces en función del quemado que serán

utilizadas por otros códigos en la etapa de cálculo de núcleo.

CONDOR cuenta además con una herramienta para post-procesamiento grá�co lla-

mada POSCON, la cual permite gra�car el sistema que se está simulando en geometría

1D o 2D, y tambien puede gra�car variables en función del quemado del combustible

y de la energía de los neutrones.

Habiendo completado los cálculos a nivel de celda, CONDOR condensa y homoge-

neiza los materiales para exportar secciones e�caces macroscopicas que serán utilizadas

por el programa HXS. Este programa permite generar bibliotecas que serán usadas en

etapas posteriores por el código CITVAP para cálculo de núcleo. HXS puede almacenar

y procesar secciones e�caces en función del quemado del combustible, de la tempera-

tura, de las densidades, de las concentraciones de impurezas, etc.

Para el cálculo de núcleo se toma en cuenta grandes dimensiones espaciales, por

lo cual se utiliza el método de Difusión para conocer el �ujo neutrónico. CITVAP

es un código desarrollado a partir del código CITATION II para Difusión, y lo que

permite es un manejo más sencillo e intuitivo del código CITATION a través de distintos

comandos. CITVAP puede resolver geometrías 1D, 2D y 3D con formas geométricas

hexagonales, rectangulares, cilindricas y triangulares; y cuenta además con muchas

otras capacidades de cálculo para optimización de diseño y seguimiento de operación

de reactores.

Por último se encuentra el programa de post-procesamiento ARCANE, el cual ma-

neja las bases de datos provenientes de CITVAP en formato STORM v2.0. A través de

este programa se pudo hacer un análisis estadístico de todos los observables del modelo

del reactor OPAL.

3.1.2. Modi�caciones pertinentes

Para realizar el análisis de incertezas a través de la metodología TMC se hicieron

algunas modi�caciones a los códigos utilizados:

Se añadió la posibilidad de generar números pseudoaleatorios a los códigos CON-

DOR y CITVAP. Los mismos cuentan con la capacidad de generar números pseu-

doaleatorios con distribución uniforme o normal dentro de un rango especí�cado

por el usuario; en el caso de la distribución normal también se debe especi�car el

valor medio y la desviación estándar de dicha distribución.

Se añadió a CONDOR y a CITVAP la posibilidad de que el usuario de�na una

semilla, la cual se utiliza para la generación de números pseudoaleatorios.


Se añadió a CONDOR la capacidad de incluir distintas secciones e�caces para

un mismo isótopo, de forma que se tome en cuenta la incerteza en las secciones

e�caces.

Gracias a todas estas modi�caciones, se pudo analizar variaciones aleatorias en

parámetros de diseño de elementos combustibles utilizando TMC.

3.2. Modelo

Para analizar la incerteza y sensibilidad de algún observable frente a variaciones en

parámetros de diseño del elemento combustible, se utilizaron los modelos de elemento

combustibles en los cuales se variaban en forma aleatoria distintos parámetros. Se

considera como parámetro por balance a aquel parámetro que queda �jado a través de

otros parámetros variables. Se muestra en una lista aquellos parámetros tomados en

cuenta:

1. Parámetros �jos:

Pitch entre placas combustibles.

Longitud activa.

Pitch entre elementos combustibles.

2. Parámetros variables:

a) Geometría:

Ancho y espesor del marco del elemento combustible.

Espesor y ancho de placas, tanto de placas internas como de placas

externas.

Radio de los alambres de Cd.

Distancia entre placa y meat.

Ancho y espesor del slot de cada placa.

Ancho del slot donde se encuentra el alambre de Cd.

b) Composición:

Masa de Uranio, ya sea para combustibles tipo 1, tipo 2 o estándar.

Enriquecimiento de Uranio.

Masa de Silicio en el compacto.

Masa de Aluminio en el compacto.

Impurezas.

3.2 Modelo 23

Porcentaje de Uranio 234 y 236.

3. Parámetros por balance:

a) Geometría:

Espesor de meat.

Dimensión de los canales de agua.

Ancho de meat.

b) Composición:

Masa total del compacto.

Masa de Uranio 238.

Se muestra un ejemplo del modelo de elemento combustible utilizado en Figura

3.2a, con un zoom en la sección mostrada que puede verse con más detalle en Figura

3.2b.

(a) Vista frontal de elemento combustible

(b) Zoom a la vista frontal

Figura 3.2: Modelo de elemento combustible utilizado

Para ciertos análisis realizados, se optó por un modelo más simpli�cado de una

única placa combustible re�ejada en todas las direcciones. Este modelo se puede ver

en Figura 3.3. Para el análisis a nivel de núcleo se utilizó el ciclo 1 del reactor, cuya

con�guración de núcleo presenta 3 tipos de combustibles que di�eren por la cantidad de

uranio utilizada para fabricar el compacto de cada placa. Se denominan combustibles

tipo 1, combustibles tipo 2 y combustibles estándar, de los cuales el combustible tipo

1 presenta la menor cantidad de Uranio en el compacto y el combustible estándar

presenta la mayor cantidad de Uranio.


Figura 3.3: Modelo de una única placa

3.3. Análisis y resultados

En esta sección se presentarán los resultados obtenidos, haciendo un análisis tanto

a nivel de celda como a nivel de núcleo. Se separará en 2 secciones, una en la que se

presenten todos aquellos resultados habiendo utilizado únicamente el modelo de ele-

mento combustible calculado por CONDOR, ya sea el elemento combustible completo

o la placa simple, y en otra sección se presentarán los resultados correspondientes al

cálculo de celda efectuado por CONDOR seguido con un cálculo de núcleo efectuado

por CITVAP.

3.3.1. Observables a nivel de celda

El problema de la convergencia

Con la metodología TMC se busca conocer el valor promedio y la desviación estan-

dar del observable a estudiar, con el �n de analizar el comportamiento que tendrá el

mismo frente a perturbaciones. Dada una cantidadM de sampleos realizados, se puede

calcular el valor promedio y la desviación estándar a través de la ecuación 3.1.

R =

∑Mi=1Ri

M(3.1)

σR =

∑Mi=1(Ri −R)2)

(M − 1)

El valor de R depende del sampleo y del número de casos tomados en cuenta. A

medida que M aumenta, R se hace cada vez más próximo a E(R) y el valor de R

3.3 Análisis y resultados 25

comienza a ser independiente de la cantidad de sampleos realizados, en forma análoga

con σR. A partir de este punto, se a�rma que es irrelevante continuar con el sampleo

debido a que cada Ri calculado no tendrá un peso importante en el valor de R. Se

puede visualizar este comportamiento con un ejemplo en Figura 3.4 donde se analizó la

variación de ρinf frente a valores aleatorios de enriquecimiento de Uranio en una placa

combustible.

Figura 3.4: Análisis de convergencia sampleando el enriquecimiento

Figura 3.4 fue calculada usando el modelo de la placa única mostrado en Figura 3.3

por el corto tiempo de cálculo que implicaba. El valor presentado corresponde al valor

promedio de ρinf en pcm y a su desviación estándar en pcm.

Para calcular cada promedio y desviación estándar, se hizo un total de 200 sampleos

y, para cada uno de ellos, se calculó la reactividad del sistema. Luego, de esos 200 casos

se tomó una cantidad N de casos elegidos en forma aleatoria y se calculó el promedio

y desviación estándar.

Se puede ver en la �gura que tanto el valor promedio como la desviación estandar

dejan de depender del número de casos a partir de 190 casos, se puede tomar entonces

que para 200 casos los observables convergen a su valor �nal.

Sensibilidad

El análisis de sensibilidad es un estudio que provee información importante al dise-

ñador; en este punto se puede ver cuanto altera cada variable a nuestro observable, y

de esta forma, se puede hacer una optimización en el diseño viendo cuales parámetros

son importantes y cuales no.

Se utilizó el modelo en Figura 3.3, el cual equivale a un análisis de sensibilidad a

nivel de celda. Esto impide que se obtengan valores absolutos de senbilidad debido a

que debería continuarse el análisis a nivel de núcleo, pero brinda información relativa

entre parámetros a nivel de celda.


Se presenta en la tabla 3.1 las variables utilizadas para el análisis de sensibilidad,

se consideró por simplicidad que todas ellas representan variables con distribuciones

normales con valores medios y desviaciones estándar indicados, y que se encuentran

truncadas en los valores mínimos y máximos mostrados.

Variable Valor mínimo Valor máximo Valor Medio Desviación estándar UnidadesRadio de cd izquierdo 0.02455 0.02475 0.02465 0.002 cm

Ancho del slot de cd izquierdo 0.06 0.065 0.06 0.0029 cmRadio de cd derecho 0.02455 0.02475 0.02465 0.002 cm

Ancho del slot de cd derecho 0.06 0.065 0.06 0.00289 cmAncho de placa 7.46 7.5 7.5 0.0058 cmAncho de meat 6.86 7.1 7.0 0.058 cm

Espesor de placa (meat) 0.128 0.135 0.1322 0.00404 cmEspesor de cladding 0.037 0.03848 0.037 8.5E-4 cm

Masa de Uranio 234 0.143 0.159 0.15 0.007 % gr Uranio 234

gr Uranio


gr Uranio


gr Uranio

Masa de Silicio 8.06 8.56 8.19 0.106 % gr Silicio

gr Uranio

Masa de Aluminio 91.17 97.18 92.50 2.01 % gr Aluminio

gr Uranio

Impurezas (% boro equivalente) 6.8733e-04 7.4577e-04 7.1655e-04 6.3126e-05 % boro equivalente

Tabla 3.1: Listado de variables en el análisis de sensibilidad

A pesar que algunas variables parezcan en principio, poco importantes, puede pre-

sentar variaciones cuyos efectos sean relevantes. Un ejemplo de este tipo de variables

es el ancho del slot donde se encuentra el alambre Cd, el cual puede alterar en la can-

tidad de agua dentro del elemento combustible. Una disminución en este ancho cuenta

con un efecto de sacar moderador de zonas cercanas del meat y del alambre de Cd, y

colocar aluminio donde antes no había. Dicho efecto se puede ver tambien en variables

tales como el espesor del cladding de cada placa o el ancho de la placa en sí; de esto se

puede concluir que la cantidad de agua que verá cada placa del elemento combustible

está directamente relacionada con algunas de estas variables en cuestión.

Esto sucede no sólo para la cantidad de agua circundante al elemento combustible,

sino también con muchos otros parámetros.

Otro ejemplo es la in�uencia que tiene samplear el espesor de una placa con respecto

al espesor del meat. En esta relación, hay 3 parámetros considerados: espesor de meat,

espesor de placa, y espesor de cladding, los cuales están interrelacionados.

Tm + 2Tc = Tp

Esto lleva a que se puedan samplear solamente 2 de estas variables y la tercera sea

calculada por balance.

Al momento de analizar sensibilidad, existen 3 posibles formas de calcular estos

parámetros.

1. Mantener Tm constante, muestrear Tp y calcular Tc por balance.


2. Mantener Tp constante, muestrear Tc y calcular Tm por balance.

3. Mantener Tc constante, muestrear Tm y calcular Tp por balance.

En estos 3 casos, se está analizando el comportamiento de un observable frente a

cambios de materiales, debido a que se altera la cantidad que hay de un material (por

ejemplo disminuyendo el agua cercana a la placa al aumentar el espesor de meat), pero

se compensa con otro material distinto (por ejemplo más combustible al haber mayor

espesor de meat).

Se analizará el valor de ρinf y del factor de pico utilizando la variable χK presentada

en el capítulo 2. El cálculo consiste en aproximar el valor de∂ρinf

∂χKconsiderando que

ρinf ∝ χK , y proceder en forma análoga para el factor de pico:

∣∣∣∣∂ρinf∂χK

∣∣∣∣ ≈√V arXK

(ρinf )

V ar(χK)(3.2)

Se muestra en tabla 3.2 las variables sampleadas en orden descendiente de sensibi-

lidad para el factor de pico y la reactividad del elemento combustible.

Factor de pico Reactividad (ρinf)1. ancho de meat 1. masa de uranio 2352. ancho de plate 2. ancho de meat3. radio de cd izquierdo 3. radio de cd izquierdo4. radio de cd derecho 4. radio de cd derecho5. masa de uranio 235 5. ancho de plate6. espesor de cladding 6. espesor de cladding7. ancho del slot de cd izquierdo 7. masa de aluminio8. ancho del slot de cd derecho 8. espesor de meat9. espesor de meat 9.ancho del slot de cd izquierdo10. masa de aluminio 10.ancho del slot de cd derecho11. masa de silicio 11. masa de uranio 23412. impurezas (% boro equivalente) 12. impurezas (% boro equivalente)13. masa de uranio 234 13. masa de silicio14. masa de uranio 236 14. masa de uranio 236

Tabla 3.2: Tabla de sensibilidad relativa en variables

Como puede verse en la tabla 3.2, cuando se analiza ρinf , el parámetro más sensible

resulta ser la masa de uranio 235 presente en la placa, mientras que para el factor de

pico el parámetro más sensible resulta ser el ancho del meat. Esto demuestra que no

es trivial determinar la condición más conservativa al momento de analizar incertezas,

debido a que ciertos parámetros maximizan algunos observables pero no presentan


mucho efecto en otros. Se presenta en Figura 3.5 una comparación entre 2 parámetros

sensibles para ρinf , que son el ancho de meat y el enriquecimiento. De forma que sean

comparables entre ellos, se presenta ρinf en función de χWm [ %] y χM5 [ %]. A los costados

se muestran histogramas correspondientes a los valores de ρinf en cada caso, y en la

parte inferior de la �gura se muestran los histogramas de χWm [ %] y χM5 [ %] solapados.

Figura 3.5: Sensibilidad del ρinf frente a 2 variables

Se puede ver que ρinf presenta una mayor desviación estándar variando Wm que

M5, esto se debe a que la dispersión que tiene Wm es mucho mayor que la que presenta

M5.

Teniendo esto en cuenta, se puede ver que al momento de analizar la sensibilidad

de un observable, existe la posibilidad de que el estimador de sensibilidad, por ejemplo∂R∂χK

, no sea lo su�cientemente representativo para ver las variables que producen una

mayor desviación estándar.

Sensibilidad por Datos Nucleares

Se analizó la sensibilidad de 2 observables a nivel de celda utilizando el modelo

presentado en Figura 3.3.

A través de secciones e�caces de un mismo isótopo, se estudió el comportamiento

del factor de pico y la reactividad ρinf ante variaciones en las secciones e�caces corres-

pondientes a los isótopos de 11H, 27

13Al,23592 U ,

23892 U ,

23692 U y 234

92 U . Se muestra en las �guras

Figura 3.6 a Figura 3.11 ejemplos de secciones e�caces de absorción sampleadas para

los isótopos mencionados. Dicho muestreo fue realizado a través de TENDL. Por otra

parte, se muestra en tabla 3.3 el orden de sensibilidad de cada observable en forma

decreciente.

Se presenta en Figura 3.12 la desviación estándar de la sección e�caz de absorción

para cada isótopo en función de la energía del neutrón.


Figura 3.6: Sección e�caz de absorción en función de la energía para distintos sampleos obte-nidos con TENDL para el isótopo 235

92 U

Reactividad Factor de pico1 Uranio 235 Hidrogeno2 Hidrogeno Aluminio3 Uranio 238 Uranio 2354 Uranio 234 Uranio 2345 Aluminio Uranio 2386 Uranio 236 Uranio 236

Tabla 3.3: Orden de sensibilidad en forma decreciente

Se puede ver que la sensibilidad del factor de pico di�ere respecto a la sensibili-

dad de ρinf , esto puede verse en forma más clara en Figura 3.14 y Figura 3.13, las

cuales presentan histogramas correspondientes a 200 casos de sampleo de cada isótopo

manteniendo �jas las secciones e�caces del resto.

Se presenta en tabla 3.4 y tabla 3.5 una comparación entre valores mínimos, máxi-

mos, promedios y desviaciones estándar para los 2 observables analizados previamente,

sampleando distintos isótopos y un caso en el cual fueron sampleados todos los isótopos

simultaneamente.



92 U

Mínimo[pcm] Máximo[pcm] Promedio[pcm] Desviación Estándar[pcm]Aluminio 3,21E+04 3,22E+04 3,21E+04 1,53E+01Hidrogeno 3,18E+04 3,22E+04 3,20E+04 9,19E+01Uranio 234 3,21E+04 3,22E+04 3,21E+04 2,27E+01Uranio 235 3,18E+04 3,25E+04 3,21E+04 1,26E+02Uranio 236 3,21E+04 3,21E+04 3,21E+04 1,85E+00Uranio 238 3,20E+04 3,22E+04 3,21E+04 2,78E+01

Todos 3,16E+04 3,26E+04 3,20E+04 1,70E+02

Tabla 3.4: Comparación de valores obtenidos para ρinf

Mínimo Máximo Promedio Desviación EstándarAluminio 1,0131E+00 1,0139E+00 1,0135E+00 1,550E-04Hidrogeno 1,0133E+00 1,0153E+00 1,0142E+00 5,018E-04Uranio 234 1,0135E+00 1,0136E+00 1,0135E+00 1,688E-05Uranio 235 1,0133E+00 1,0136E+00 1,0135E+00 5,586E-05Uranio 236 1,0135E+00 1,0135E+00 1,0135E+00 1,146E-06Uranio 238 1,0135E+00 1,0135E+00 1,0135E+00 1,529E-05

Todos 1,0132E+00 1,0153E+00 1,0141E+00 5,373E-04

Tabla 3.5: Comparación de valores obtenidos para el factor de pico



13Al


1H


Figura 3.10: Sección e�caz de absorción en función de la energía para distintos sampleosobtenidos con TENDL para el isótopo 236

92 U

Figura 3.11: Sección e�caz de absorción en función de la energía para distintos sampleosobtenidos con TENDL para el isótopo 238

92 U


Figura 3.12: Desviación estándar en función de la energía para distintos isótopos


(a) Histograma

(b) Zoom a la sección central

Figura 3.13: Histograma de reactividad para el sampleo de distintos isótopos


(a) Histograma

(b) Zoom a la sección central

Figura 3.14: Histograma de factor de pico para el sampleo de distintos isótopos


Independencia entre variables

Una forma de propagación de errores a través del análisis de sensibilidad es la

suma cuadrática de las desviaciones estándar producidas por cada variable. Si se desea

conocer la varianza de un observable respecto a n parámetros y se cuenta con un

análisis de sensibilidad previo como el que se presentó en sección 3.3.1, se puede calcular

la desviación estándar de dicho observable en forma analítica sin necesidad de hacer

un sampleo que involucre a todas las variables simultaneamente. Dicha ecuación se

presenta en ecuación 3.3

V ar(R) = V arX1(R) + V arX2(R) + · · ·+ V arXn(R) (3.3)

El problema con este método de propagación de errores se basa en la suposición

de la independencia entre variables. Al samplear muchas variables simultaneamente,

surgen comportamientos no lineales que llevan a una dependencia entre los parámetos

de diseño.

En esta sección se analizará dicho comportamiento, y se demostrará que existe una

dependencia entre las variables, por lo que la ecuación 3.3 no aplica en un análisis de

incertezas con modelos complejos y comportamientos no lineales.

Se presenta en tablas 3.6 y 3.7 los valores obtenidos al analizar el comportamiento de

la reactividad ρinf sampleando 2 variables por separado, y luego sampleando variables

simultaneamente. Para una mayor simplicidad para leer las tablas, se presenta un

listado con los parámetros numerados en forma arbitraria.

En la diagonal principal de las tablas 3.7 y 3.6 se encuentra la desviación estandar

de ρinf (en pcm) obtenidas haciendo el sampleo únicamente de la variable con índice

correspondiente a dicha celda. Entonces el elemento (2,2) de dicha tabla, correspon-

diente a 3, 37E + 00 pcm, se corresponde con la desviación estándar de ρinf habiendo

sampleado únicamente la variable 2 de la lista (que, en este caso, corresponde al ancho

del slot izquierdo en el que se encuentra el alambre de Cd ). En la tabla 3.6, cada

elemento fuera de la diagonal principal (elemento (I,J) con I distinto de J) cumple la

siguiente ecuación:

σ(I, J) =√σ2I + σ2

J

Mientras que en 3.7 cada elemento (I,J) resulta de calcular la desviación estándar de

ρinf habiendo sampleado la variable I y la variable J simultaneamente.

En estas tablas se pueden ver ciertos valores que di�eren considerablemente, por

lo que se deben tomar en cuenta tanto efectos no lineales como dependencia entre las

variables.


1. radio de cd izquierdo

2. ancho del slot de cd izquierdo

3. radio de cd derecho

4. ancho del slot de cd derecho

5. ancho de plate

6. ancho de meat

7. espesor de meat

8. espesor de cladding

9. masa de uranio 234



12. masa de silicio

13. masa de aluminio

14. impurezas (% boro equivalente)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141 1,37E+01 1,41E+01 1,94E+01 1,41E+01 1,51E+01 1,29E+02 1,83E+01 1,79E+01 1,40E+01 7,40E+01 1,47E+01 1,37E+01 1,93E+01 1,38E+012 1,41E+01 3,37E+00 1,41E+01 4,76E+00 7,06E+00 1,28E+02 1,25E+01 1,20E+01 4,44E+00 7,27E+01 6,33E+00 3,43E+00 1,40E+01 3,62E+003 1,94E+01 1,41E+01 1,37E+01 1,41E+01 1,51E+01 1,29E+02 1,83E+01 1,79E+01 1,40E+01 7,40E+01 1,47E+01 1,37E+01 1,93E+01 1,38E+014 1,41E+01 4,76E+00 1,41E+01 3,37E+00 7,06E+00 1,28E+02 1,25E+01 1,20E+01 4,44E+00 7,27E+01 6,33E+00 3,43E+00 1,40E+01 3,62E+005 1,51E+01 7,06E+00 1,51E+01 7,06E+00 6,20E+00 1,28E+02 1,36E+01 1,30E+01 6,84E+00 7,29E+01 8,20E+00 6,23E+00 1,49E+01 6,34E+006 1,29E+02 1,28E+02 1,29E+02 1,28E+02 1,28E+02 1,28E+02 1,29E+02 1,29E+02 1,28E+02 1,47E+02 1,28E+02 1,28E+02 1,29E+02 1,28E+027 1,83E+01 1,25E+01 1,83E+01 1,25E+01 1,36E+01 1,29E+02 1,21E+01 1,67E+01 1,24E+01 7,37E+01 1,32E+01 1,21E+01 1,81E+01 1,22E+018 1,79E+01 1,20E+01 1,79E+01 1,20E+01 1,30E+01 1,29E+02 1,67E+01 1,15E+01 1,18E+01 7,36E+01 1,27E+01 1,15E+01 1,78E+01 1,16E+019 1,40E+01 4,44E+00 1,40E+01 4,44E+00 6,84E+00 1,28E+02 1,24E+01 1,18E+01 2,89E+00 7,27E+01 6,09E+00 2,97E+00 1,38E+01 3,18E+0010 7,40E+01 7,27E+01 7,40E+01 7,27E+01 7,29E+01 1,47E+02 7,37E+01 7,36E+01 7,27E+01 7,27E+01 7,29E+01 7,27E+01 7,39E+01 7,27E+0111 1,47E+01 6,33E+00 1,47E+01 6,33E+00 8,20E+00 1,28E+02 1,32E+01 1,27E+01 6,09E+00 7,29E+01 5,36E+00 5,40E+00 1,46E+01 5,52E+0012 1,37E+01 3,43E+00 1,37E+01 3,43E+00 6,23E+00 1,28E+02 1,21E+01 1,15E+01 2,97E+00 7,27E+01 5,40E+00 6,54E-01 1,36E+01 1,47E+0013 1,93E+01 1,40E+01 1,93E+01 1,40E+01 1,49E+01 1,29E+02 1,81E+01 1,78E+01 1,38E+01 7,39E+01 1,46E+01 1,36E+01 1,35E+01 1,36E+0114 1,38E+01 3,62E+00 1,38E+01 3,62E+00 6,34E+00 1,28E+02 1,22E+01 1,16E+01 3,18E+00 7,27E+01 5,52E+00 1,47E+00 1,36E+01 1,32E+00

Tabla 3.6: Raíz de la suma de cuadrados, valores presentados en pcm

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 141 1,37E+01 1,04E+01 1,35E+01 1,03E+01 1,31E+01 1,26E+02 2,01E+01 2,14E+01 1,08E+01 7,03E+01 1,14E+01 1,02E+01 1,72E+01 1,00E+012 1,04E+01 3,37E+00 9,78E+00 3,09E+00 7,81E+00 1,27E+02 1,85E+01 1,85E+01 3,75E+00 7,50E+01 5,22E+00 2,43E+00 1,35E+01 2,70E+003 1,35E+01 9,78E+00 1,37E+01 9,85E+00 1,27E+01 1,26E+02 2,00E+01 2,12E+01 1,03E+01 7,03E+01 1,09E+01 9,62E+00 1,69E+01 9,48E+004 1,03E+01 3,09E+00 9,85E+00 3,37E+00 7,71E+00 1,27E+02 1,82E+01 1,84E+01 3,43E+00 7,49E+01 4,90E+00 1,83E+00 1,34E+01 2,23E+005 1,31E+01 7,81E+00 1,27E+01 7,71E+00 6,20E+00 1,24E+02 1,86E+01 2,05E+01 8,79E+00 7,40E+01 9,17E+00 8,31E+00 1,56E+01 8,12E+006 1,26E+02 1,27E+02 1,26E+02 1,27E+02 1,24E+02 1,28E+02 1,20E+02 1,25E+02 1,26E+02 1,43E+02 1,17E+02 1,21E+02 1,19E+02 1,19E+027 2,01E+01 1,85E+01 2,00E+01 1,82E+01 1,86E+01 1,20E+02 1,21E+01 2,63E+01 1,88E+01 7,19E+01 1,85E+01 1,77E+01 2,15E+01 1,84E+018 2,14E+01 1,85E+01 2,12E+01 1,84E+01 2,05E+01 1,25E+02 2,63E+01 1,15E+01 1,87E+01 7,72E+01 1,91E+01 1,85E+01 2,43E+01 1,82E+019 1,08E+01 3,75E+00 1,03E+01 3,43E+00 8,79E+00 1,26E+02 1,88E+01 1,87E+01 2,89E+00 7,20E+01 5,69E+00 3,02E+00 1,43E+01 3,27E+0010 7,03E+01 7,50E+01 7,03E+01 7,49E+01 7,40E+01 1,43E+02 7,19E+01 7,72E+01 7,20E+01 7,27E+01 7,25E+01 7,21E+01 7,27E+01 7,14E+0111 1,14E+01 5,22E+00 1,09E+01 4,90E+00 9,17E+00 1,17E+02 1,85E+01 1,91E+01 5,69E+00 7,25E+01 5,36E+00 4,79E+00 1,44E+01 5,01E+0012 1,02E+01 2,43E+00 9,62E+00 1,83E+00 8,31E+00 1,21E+02 1,77E+01 1,85E+01 3,02E+00 7,21E+01 4,79E+00 6,54E-01 1,38E+01 1,53E+0013 1,72E+01 1,35E+01 1,69E+01 1,34E+01 1,56E+01 1,19E+02 2,15E+01 2,43E+01 1,43E+01 7,27E+01 1,44E+01 1,38E+01 1,35E+01 1,38E+0114 1,00E+01 2,70E+00 9,48E+00 2,23E+00 8,12E+00 1,19E+02 1,84E+01 1,82E+01 3,27E+00 7,14E+01 5,01E+00 1,53E+00 1,38E+01 1,32E+00

Tabla 3.7: Sampleo simultaneo, valores presentados en pcm


3.3.2. Observables a nivel de núcleo

Los cálculos efectuados en esta subsección di�eren considerablemente de los cálculos

realizados únicamente a nivel de celda respecto a los modelos y los métodos usados. Se

utilizó a nivel de celda el elemento combustible completo sampleando todos los paráme-

tros previamente presentados, en cada una de las placas de los elementos combustibles

tipo 1, tipo 2 y estándar del núcleo del OPAL. Se calcularon 200 combustibles de ca-

da tipo, incluyendo combustibles con y sin venenos quemables para los combustibles

tipo 2 y estándar, para exportar secciones e�caces condensadas y homogeneizadas des-

de CONDOR a CITVAP, a través de HXS. A nivel de núcleo, se sortearon números

pseudoaleatorios enteros, de tal forma que cada número entero hacía referencia a un

elemento combustible de los 200 elementos combustibles posibles. De esta forma, se

consigue que el núcleo cuente con elementos combustibles de distinto tipo, mantenien-

do la con�guración establecida como se muestra en Figura 1.10, pero cada elemento

combustible cuenta con geometrías y composiciones distintas.

Coe�cientes de realimentación

Se presenta el resultado de calcular coe�cientes de realimentación, por vacío y por

temperatura isotérmico; se eligieron estos 2 coe�cientes para poder comparar con los

valores experimentales. Estos coe�cientes cuentan con una gran importancia debido

a que toda la dinámica del reactor ante transitorios está regida principalmente por

como actuará la reactividad del núcleo ante estos transitorios. Para tener estadística

apreciable se tomaron 100 casos de simulación para cada coe�ciente.

Coe�ciente isotérmico de temperatura

La forma de cálculo fue utilizando la con�guración de barras presentada por [12] en

la cual el reactor se encontraba crítico a temperatura de operación, luego se calculó la

reactividad del reactor en esa misma posición pero con combustibles fríos, a la tempe-

ratura �nal especi�cada en [12]. La diferencia en reactividad se asocia directamente con

un salto de temperatura conocido con lo que se pudo obtener un valor del coe�ciente

de temperatura isotérmico.

Se muestra en Figura 3.15 la asimetría que presenta el coe�ciente de realimentación

variando todos los parámetros y variando además los combustibles posibles. Se puede

ver que, dada la distribución que tiene dicho coe�ciente, existe una tendencia a ir a

valores mayores ante variaciones en parámetros de diseño.


Figura 3.15: Coe�ciente de realimentación por temperatura isotérmico variando parámetrosde diseño

αT σαTαT referencia αT máximo αT mínimo

αT [pcm◦C] -16,5 0,9 -15,74 -19.12 -14.7

Tabla 3.8: Resultado del análisis de incertezas en el coe�ciente de realimentación por tempe-ratura isotérmico

Coe�ciente de realimentación por vacío

Otro coe�ciente de realimentación de gran importancia al momento de calcular

accidentes es el coe�ciente de realimentación por vacío, el cual tiene en cuenta el cambio

de densidad de refrigerante, sin cambiar la temperatura. En el caso del OPAL, su valor

es aproximadamente -222 pcm%vacio

. Este valor se interpreta de la siguiente forma: si la

densidad del moderador varía de 100% a 99%, la reactividad introducida tendrá un

valor de -222 pcm dado que disminuye la moderación de neutrones.

Figura 3.16: Coe�ciente de realimentación por vacío variando parámetros de diseño


αV σαVαV de referencia αV máximo αV mínimo

αV [ pcm%vacio

] -228,4 3,8 -222,9 -238,9 -218,7

Tabla 3.9: Resultado del análisis de incertezas en el coe�ciente de realimentación por vacío

Para calcular dicho coe�ciente se usó la misma lógica que con el coe�ciente de

temperatura isotérmico; se tomó la posición de crítico ,con espadas de aluminio que

simulaban vacío en el moderador, de [13] y se hicieron 2 cálculos; uno de ellos fue

la reactividad del reactor disminuyendo la densidad del moderador, y el otro cálculo

fue sin alterar dicha densidad. Se puede ver en Figura 3.16 que, a diferencia que el

coe�ciente de temperatura isotérmico, el coe�ciente presenta un comportamiento más

simétrico respecto al coe�ciente de realimentación por temperatura realizando varia-

ciones similares de los parámetros de diseño.

Peso de barras

Las barras de control en los reactores de investigación son el mecanismo a través

del cual se regulará la reactividad del núcleo y por ende su población neutrónica, razón

por la cual es necesario conocer como varía este valor respecto a variaciones en los

parámetros asociados a los elementos combustibles.

Para calcular perturbaciones, se utilizaron las mismas con�guraciones de barras que

en [7], donde se reportan los valores obtenidos de peso de barras, provenientes de la

calibración de cada una de las barras. Para calcular esto usando CONDOR-CITVAP,

se siguió el mismo procedimiento que en la calibración de barras pero los elementos

combustibles eran sampleados como se explicó previamente. En Figura 3.17a se puede

ver los 100 casos solapados del peso de la barra 2 en función del porcentaje de inserción

de la barra, y en Figura 3.17b se encuentra un zoom mostrando en negro el valor de la

barra más pesada (aquella que tiene mayor reactividad ante un 100% de inserción) y

de la barra más liviana (aquella con el menor peso al 100% de inserción). El peso de la

barra 2 aparenta tener mucha sensibilidad ante variaciones de parámetros del elemento

combustible, pero no se cumple para todas las barras dada la asimetría del núcleo.

Cada barra tiene una distribución de probabilidad levemente diferente a medida que es

insertada en el núcleo, y este comportamiento cambia respecto a la barra que se está

analizando.

Se muestra en Figura 3.18a el peso de la barra 2 junto con un histograma en

Figura 3.18b que muestra la distribución de la barra en distintos% de inserción; las

líneas verticales bordo indican el valor del caso correspondiente a la barra más liviana

mientras que el celeste indica el valor del caso correspondiente a la barra más pesada. Se

puede ver que la barra más liviana representa el mínimo peso a lo largo de la inserción,


(a) 100 casos de sampleo de la barra de control 2

(b) Zoom de los 100 casos de la barra 2

Figura 3.17: Comportamiento de la barra 2 con zoom desde 80% de inserción

al igual que la barra máxima correspondiente al peso máximo.

Este comportamiento di�ere en gran medida con la barra 1. La misma presenta

una sensibilidad menor que las otras barras como se puede ver en �gura 3.19. En los

histogramas puede verse que la barra más liviana no siempre representa el valor mínimo

de peso de barra a lo largo de la inserción.

Se muestran en �gura Figura 3.20, Figura 3.21 y Figura 3.22 el comportamiento de

las barras de control 3, 4 y 5.

Para ver que tan representativo son estos resultados respecto a los valores experi-

mentales, se compararon los valores del peso de barras máximos, mínimos y promedios


(a) 100 casos del peso de la barra de control 2

(b) Histograma del peso de barra a distintos% de inserción

Figura 3.18: Peso de barra 2

con respecto a lo reportado en [3]. Estos valores se presentan en tabla 3.10.

La sensibilidad del peso de las barras dependerá entonces del tipo de combustible

que se encuentra cercano a dichas barras, esto se puede veri�car viendo aquellas �guras

donde se muestra el peso de barra en función del% de inserción para las distintas

barras de control. Aparte, se puede ver una asimetría en común con algunos de los

parámetros calculados a nivel de núcleo, por ejemplo el coe�ciente de realimentación





por temperatura isotérmico o el peso de las barras.





peso peso calculado peso calculado peso calculadoexperimental medio mínimo máximo

barra 1 5,69 5,46 5,44 5,49barra 2 5,7 5,65 5,53 5,79barra 3 4,85 4,75 4,71 4,76barra 4 5,33 5,06 5,04 5,07barra 5 4,34 3,97 3,92 4,03

Tabla 3.10: Tabla comparativa de resultados obtenidos con resultados experimentales


Observables en condiciones críticas

Para las posiciones críticas correspondientes a la calibración de las barras, se calculó

la reactividad y el factor de pico con estas posiciones de barras, las cuales se presentan

en [7]. Se tomaron 42 con�guraciones correspondientes a distintas posiciones de barras

para un estado crítico del reactor durante las calibraciones de las barras 1 a 4. Se

muestran los resultados en Figura 3.23 y Figura 3.24 para la reactividad, y Figura 3.25

y Figura 3.26 para el factor de pico.

Figura 3.23: Reactividades correspondientes a estados críticos del reactor

Figura 3.24: Valores máximos, mínimos y medios de la reactividad

En Figura 3.24 se puede ver que el valor medio es aproximadamente 300 pcm

negativas, pero se llegan a reactividades cercanas a las 500 pcm negativas y el valor

máximo de reactividad queda por debajo del desvío medio de 300 pcm negativas.

En Figura 3.25 se puede ver que el factor de pico es un parámetro sensible ante el


Figura 3.25: Factor de pico correspondiente a estados críticos del reactor

Figura 3.26: Valores máximos, mínimos y medios del factor de pico


movimiento de las barras de control, pero la sensibilidad que presenta respecto a los

combustibles depende de la barra que se encuentre en movimiento. Este efecto se puede

ver para los casos 25 en adelante correspondientes a la calibración de las barras 1 y 4

del reactor OPAL, mientras que no se ven dichas perturbaciones para los casos 1 a 21

correspondientes a la calibración de la barra 2 y 3.

Se debe enfatizar de estos resultados el comportamiento no lineal de los observa-

bles a analizar, tal es el caso de la reactividad o el factor de pico, y que la desviación

estándar de estos observables depende de muchos parámetros que se encuentran inter-

relacionados.

De estos resultados puede verse además que la asimetría de las distribuciones no se

corresponde entre observables, esto se puede ver analizando las distribuciones de alguna

de las barras de control (por ejemplo la barra 1 en Figura 3.19a) y comparandolas con

la distribución presentada en Figura 3.16 del coe�ciente de vacío.

En conclusión, con la metodología de análisis de incertezas TMC y la línea de cálculo

de reactores utilizada, se pudieron determinar las distribuciones de probabilidad de cada

observable planteado, tomando en cuenta efectos no lineales que fueron presentados en

la sección 3.3.1. Este tipo de cálculo no sería exacto utilizando la metodología de análisis

GPT, la cual cuenta como hipótesis principal perturbaciones lineales.

Capítulo 4

Mejoras potenciales para el análisis de

incerteza con aplicación a la línea de

Cálculo CONDOR-CITVAP

La metodología TMC resulta útil para analizar grandes perturbaciones en paráme-

tros de diseño como las que suceden en el momento de la fabricación. Sin embargo,

cuenta con la desventaja de tener que establecer un criterio de convergencia para aque-

llos observables que se desee analizar, lo cual �ja un valor mínimo de simulaciones a

realizar con una línea de cálculo. Este análisis se puede encontrar en profundidad en

[15]. Debido a esto es que en este proyecto integrador se investigó acerca de métodos

utilizados en otras áreas para la optimización de dichos cálculos y para acortar los

tiempos de cálculo involucrados.

En este capítulo se presentarán distintas métodos de optimizar la metodología de

análisis de incerteza TMC, a través de algoritmos de sampleo para optimizar el post-

procesamiento de datos, y un método híbrido adaptado a la línea de cálculo CONDOR-

CITVAP para acortar los tiempos de cálculo necesarios para GPT.

4.1. Latin Hypercube Sampling

El método para simulacón Montecarlo conocido comoHypercube Latin Sampling(HCLS)

se basa en una estrati�cación del espacio muestral n-dimensional que se tiene al mo-

mento de simular n variables con el objetivo de efectivizar lo mas posible cada una de

las simulaciones realizadas.

Cuando se samplea M veces una función de N variables con distribución uniforme,

el rango posible de cada variable se divide en M intervalos igualmente probables,

obteniendo MN subespacios.

La diferencia entre estrategias de sampleo puede ser explicada como sigue:

51

52Mejoras potenciales para el análisis de incerteza con aplicación a la línea de


Figura 4.1: Comparación entre HCLS y el método Random

1. Sampleo random: este método de sampleo se caracteriza por no tener memoria

de sampleos previos, cada sampleo de variables es independiente entre sí, lo cual

puede llevar a un solapamiento de puntos en algunas zonas.

2. Hypercube Latin Sampling: este método cuenta con la particularidad de que

los sampleos no son independientes, cada elección de las N variables aleatorias

representa un punto dentro de un subespacio particular. Una vez que se ha sam-

pleado un punto dentro de ese subespacio, no puede haber un segundo punto

dentro del mismo subespacio, de esta forma el algoritmo se asegura que los pun-

tos se encuentra más dispersos entre sí que usando el método de Sampleo random

Un ejemplo de este algoritmo se presenta en Figura 4.1 donde se samplearon 10

casos de 2 variables aleatorias (X1 y X2), entre 0 y 1, independientes y con distri-

bución uniforme a través de la generación de números pseudoaleatorios. El método de

sampleo random no generó puntos entre para X1 < 0,3 y los puntos en el intervalo

correspondiente a 0,4 < X2 < 0,6 y 0,6 < X1 < 0,85 se encuentran demasiado cerca,

con lo que no está bien representada la distribución uniforme a través de este método.

A pesar de esto, este método cuenta con la ventaja de que no es necesario conocer

previamente la cantidad de sampleos que se van a realizar ni las variables a samplearx.

El método HCLS es capaz de generar, mejor que el método de Sampleo Random,

4.1 Latin Hypercube Sampling 53

una distribución aleatoria uniforme entre las 2 variables aleatorias con gran e�ciencia.

Para hacer un estudio de este método de sampleo, se utilizó el modelo presentado en

Figura 3.3, se de�nió como observable a ρinf y al factor de pico, y se sampleó el ancho

del meat del combustible dado que representa uno de los parámetros mas sensibles para

estos observables.

Para calcular cada histograma en Figura 4.2 con el método Random se hicieron

200 sampleos y se tomó una cantidad determinada de resultados sobre los cuales se

gra�có el histograma correspondiente. Con el método de HCLS no se pudo proceder

de la misma forma que en el método Random ya que se debía preestablecer el número

de sampleos a realizar previamente a que el sampleo fuera efectuado, para evitar una

sobreestati�cación del espacio muestral. Esto llevó a que se hiciera un sampleo de 50

valores, otro sampleo de 100 valores, otro sampleo de 150, y otro de 200.

Se presenta en Figura 4.2 histogramas de diferentes cantidad de casos comparando

las 2 metologías de sampleo, calculando el factor de pico. Se puede ver que el método

de HCLS consigue representar la función d distribución de probabilidad en una forma

más efectiva que el método Random, con lo cual se puede apreciar la ventaja de HCLS

sobre los métodos de sampleo convencional.

Para analizar la convergencia del método, se realizó un análisis idéntico al presen-

Figura 4.2: Histogramas obtenidos por HCLS y por Random



tado en la sección 3.3.1, tanto para los valores obtenidos por sampleo con el método

Random como aquellos obtenidos por HCLS. Los resultados se muestran en Figura 4.4

y Figura 4.3.

Para un bajo número de casos, el método resulta e�ciente debido a que converge al

valor promedio con un error menor al que lo haría el método de sampleo Random ante

un mismo número de casos, pero a medida que se aumenta el número de casos no es

posible distinguir entre el método Random y el método HCLS.

Existen diferencias entre estos 2 métodos de sampleo, las cuales llevan a ventajas

y desventajas de cada uno de estos. En el caso de HCLS, se cuenta con la ventaja de

poder representar en forma e�ciente la variabilidad que tienen los observables frente a

variaciones de parámetros, como se ve en Figura 4.2. Sin embargo, se necesita conocer

previamente la cantidad de sampleos a realizar y no es tan fácil de implementar en los

códigos como lo es el método Random. Dadas todas estas razones, al momento de hacer

análisis de incertezas se debe establecer prioridades para determinar si es necesario o no

la implementación del método de sampleo HCLS en base a las ventajas y desventajas

presentadas en este trabajo.

4.1 Latin Hypercube Sampling 55

(a) Valor medio de reactividad ρinf calculado para los distintos métodos y distinto número de casos

(b) Desviación estándar de reactividad ρinf calculada para los distintos métodos y distinto númerode casos

Figura 4.3: Reactividad ρinf [pcm]



(a) Valor medio del factor de pico calculado para los distintos métodos y distinto número de casos

(b) Desviación estándar del factor de pico calculada para los distintos métodos y distinto número decasos

Figura 4.4: Factor de pico

4.2 Análisis de sensibilidad por descomposición de varianza 57

4.2. Análisis de sensibilidad por descomposición de

varianza

El análisis de sensibilidad con TMC debe ser realizado como se explicó en la sección

3.3.1, donde se deben dejar �jas todas las variables y samplear únicamente aquellas

variables cuya sensibilidad se desea conocer. Si el ptoblema consta de una cantidad

M de variables y se necesita, por variable, una cantidad N de sampleos, el tiempo

de cálculo para un análisis de sensibilidad será proporcional a M ∗ N . Dado el costo

computacional y el tiempo de cálculo que esto requiere, surge la necesidad de buscar

métodos alternativos para analizar sensibilidad entre variables a través de este análisis.

El método de Descomposición de Varianza se basa en una estrategia de sampleo

tal, que puede establecer tanto la sensibilidad de un observable frente a variaciones en

parámetros de diseño, manteniendo todos los otros parámetros de diseño �jos, como la

dependencia que existe entre dichos parámetros.

Este método tiene la capacidad de calcular los siguientes efectos:

efectos simples : que implican únicamente la variación de un parámetro dejando

todos los otros parámetros �jos

efectos dobles : donde se toma en cuenta la dependencia entre parámetros y los

efectos no lineales de samplear dos parámetros simultaneamente.

efectos triples : los cuales toman en cuenta el efecto de samplear simultaneamente

3 variables dejando �jas todos los otros parámetros.

De igual forma se de�nen todos los efectos de orden superior, hasta el orden M corres-

pondiente al efecto de samplear todas las variables simultáneamente.

Como resultado de este análisis, uno puede determinar que porcentaje de la varianza

de un observable aporta cada efecto por separado.

La desventaja que tiene es el hecho de necesitar un total de N(M +2) cálculos para

dicho análisis, y deben conocerse de antemano la cantidad de variables a samplear.

Un desarrollo de las ecuaciones y la estrategia de sampleo utilizada para este método

se puede ver en [6].

Este método requiere de cálculo de estimadores y una capacidad en los códigos para

preprocesar los valores de las variables a utilizar. No obstante, ofrece una ventaja sobre

el análisis de sensibilidad usual por una diferencia de 2N simulaciones.

4.3. Método híbrido para el cálculo de incertezas

Teoría de perturbaciones puede ser aplicada como una posible mejora dado el bajo

costo computacional que presentan sus ecuaciones. Esta opción se ve atractiva en el



caso que se necesiten analizar muchas perturbaciones en la dinámica del reactor. El

problema que presenta esta metodología de cálculo se ve cuando se busca conocer el

comportamiento de algún observable con pequeñas perturbaciones, pero requiriendo

de pocas simulaciones. Un ejemplo de esto sería el caso donde se quiere conocer la

sensibilidad de las secciones e�caces de scattering de cualquier grupo de energía, en

cualquier región del reactor, correspondiente a cualquier material en dicha región. En

este caso, no se justi�ca el cálculo de los parámetros mencionados en la sección A.2.

Una ventaja de la metodología TMC es no estar limitada por los observables a ana-

lizar, y poder hacer cálculos estimativos con un bajo número de simulaciones. A pesar

de esto, presenta la desventaja de necesitar tiempo de cálculo para obtener resultados.

Es por estas razones que se buscó un método híbrido entre estas 2 metodologías de

análisis de incertezas que se adaptara a la línea de cálculo de CONDOR-CITVAP. Se

muestra un esquema de la misma en Figura 4.5.

CONDOR HXS CITVAP ARCANE

Parámetros Nominales

GPTTMC

Figura 4.5: Método híbrido de cálculo de incertezas

La metodología híbrida se basa en que CONDOR calcula, condensa y homogeneiza

las secciones e�caces de materiales que luego serán utilizados por HXS y CITVAP,

pero solamente realiza un único cálculo correspondiente a los parámetros nominales

del elemento combustible. Con teoría de perturbaciones y las ecuaciones utilizadas

en la sección A.2, se calculan nuevas secciones e�caces homogeneizadas tomando en

cuenta las posibles perturbaciones que pudiesen tener los parámetros nominales a nivel

de celda. Posterior a esto, se procede a generar bibliotecas con el programa HXS que

abarquen todas las secciones e�caces macroscópicas perturbadas. Una vez hecho esto,

se realiza un análisis a nivel de núcleo usando la metodología TMC.

La ventaja de este método es clara cuando se desea calcular efectos como el fe-

nómeno de dogboning, donde se aspira conocer como afectan las inhomogeneidades en

el compacto al performance del elemento combustible. Dichas perturbaciones respecto

al valor de referencia son fácilmente calculables con teoría de perturbaciones a nivel

de celda, pero a nivel de núcleo no es seguro que las variaciones en cada elemento

combustible puedan ser calculadas dadas las aproximaciones con las que cuenta GPT.

Además presenta una ventaja sobre un cálculo TMC a nivel de celda, debido a que las

4.3 Método híbrido para el cálculo de incertezas 59

inhomogeneidades no presentan distribuciones uniformes, sino que son más pronuncia-

das en los extremos de la placa, y la implementación de este tipo de aleatoriedades a

CONDOR pueden resultar di�cultosas.

Capítulo 5

Conclusiones

Se analizaron las distintas metodologías de análisis de incertezas, haciendo énfasis

en las ventajas y desventajas que presenta cada una de ellas.

En el caso de GPT, existe la posibilidad de hacer análisis de sensibilidad y análisis

de incertezas en forma más inmediata que usando la metología TMC, pero cuenta

con limitaciones en su aplicación. GPT no puede calcular perturbaciones a cualquier

observable (de hecho en este trabajo se pudieron identi�car algunos de los observables

que pueden ser calculados utilizando GPT) ni pueden calcularse perturbaciones de

cualquier magnitud debido a las aproximaciones que conforman las hipótesis principales

de esta metodología.

INVAP decidió implementar el análisis de incertezas usando TMC en sus líneas de

cálculo (en lugar de usar herramientas especí�cas para este propósito) para minimiza

las fuentes de incertezas provenientes del modelado. Esta minimización se lleva a cabo

a través de la utilización de la metodología de cálculo de INVAP y el establecimiento

adecuado de procedimientos durante todo el proceso de diseño y análisis de reactores.

En el caso de TMC, no se cuenta con limitaciones en la aplicación, pero el tiempo de

cálculo necesario es considerablemente mayor que el tiempo de cálculo usado en GPT,

y es cada vez mayor a medida que se busca mayor precisión (por ende, mayor cantidad

de sampleos). Se optó por esta metodología de análisis debido a su fácil implementación

a los códigos de cálculo de reactores.

Se pudo identi�car cuales parámetros son de importancia en el diseño de elementos

combustibles, y se establecieron valores y distribuciones de probabilidad dentro de sus

tolerancias, de forma tal que se pudieran ver los efectos de variar parámetros de diseño

sobre el performance del reactor y del elemento combustible. Sin embargo, el análisis

presenta di�cultad para visualizar otros parámetros que quizás no fueron tomados en

cuenta en este proyecto pero que podrían resultar de gran importancia al momento de

diseñar elementos combustibles.

Se pudo establecer un orden de sensibilidad para observables ante variaciones de

61

62 Conclusiones

distintos parámetros de diseño de un elemento combustible, y se vio que los observables

no presentan el mismo orden de sensibilidad. Este estudio de sensibilidad fue realizado

exclusivamente a nivel de celda, debido a que un análisis de sensibilidad a nivel de

núcleo, con la metodología de TMC establecida en los códigos CONDOR-CITVAP,

requeriría de un post-procesamiento más exhaustivo.

Se pudo determinar que el factor de pico y la reactividad ρinf presentan compor-

tamientos muy distintos al realizar sampleo de secciones e�caces. Se determinó que

los efectos no lineales de algunos observables son relevantes al momento de calcular

desvíos estándar, razón por la cual no es un cálculo preciso la suma cuadrática de los

desvíos estándar de un observable para conocer cual será el desvío estándar sampleando

muchos parámetros a la vez.

Se pudo calcular con la metodología TMC variaciones en coe�cientes de realimen-

tación, en peso de barras, en factor de pico del núcleo y en reactividad, utilizando el

modelo del reactor OPAL. Se pudo ver que TMC es capaz de representar las distribu-

ciones de probabilidad de dichos observables, y que las mismas presentan, en algunos

casos, asimetría al igual que los parámetros de diseño de los elementos combustibles.

Este análisis puede realizarse para todo tipo de observables, a diferencia de GPT.

Se analizaron y propusieron potenciales mejoras que pueden hacer más efectivo el

sampleo de cada parámetro y el post-procesamiento de datos. Se identi�caron algunas

de ellas y se propuso un método alternativo para disminuir el tiempo de cálculo de la

línea CONDOR-CITVAP.

Respecto a las mejoras posibles para TMC, resulta notorio que el método de HCLS

puede representar en forma e�ciente la distribución de probabilidad que presenta algún

observable en particular. Gracias a esto, presenta una gran ventaja sobre el sampleo

Random cuando se cuenta con pocas simulaciones, pero esta ventaja va desapareciendo

a medida que aumenta el número de casos a calcular.

Apéndice A

Cálculos asociados a Teoría de

perturbaciones

A.1. Cálculo de reactividad

Planteando perturbaciones pequeñas, con el valor previo a la perturbación mas una

perturbación diferencial:

P′ = P + δP

φ′ = φ+ δφ

A′ = A + δA

1

k′eff=

1

keff+ δ(

1

keff)

se puede obtener una ecuación con el �ujo perturbado φ′ similar a la ecuación 2.1.

(A′ − P′

k′eff)φ′ = 0 (A.1)

Despreciando términos diferenciales de segundo orden, se puede llegar a una ecuación

incluyendo las perturbaciones partiendo de la ecuación A.1; por simplicidad, se omite

para los operadores la dependencia en ~r, en E y en variables angulares:

Aφ+ Aδφ+ δAφ− P

keffφ− P

keffδφ− δP

keffφ′ −Pδ(

1

keff)φ′ = 0 (A.2)

substrayendo la ecuación 2.1 de la ecuación A.2 se obtiene que:

Aδφ+ δAφ− P

keffδφ− δP

keffφ′ −Pδ(

1

keff)φ′ = 0 (A.3)

63

64 Cálculos asociados a Teoría de perturbaciones

multiplicando ambos miembros de la ecuación A.3 por el �ujo adjunto φ+ e integrando

según el producto <,> se obtiene que:

< φ+, (A− P

keff)δφ > + < φ+, δAφ > − < φ+,

δP

keff)φ′ > −δ( 1

keff) < φ+,Pφ′ >= 0

(A.4)

Aproximando el �ujo perturbado φ′ al �ujo original φ y usando la ecuación A.5a

proveniente de la propiedad de los operadores adjuntos, podemos calcular la reactividad

introducida ante un cambio en la sección e�caz del material usando la ecuación 2.4.

< φ+, (A− P

keff)δφ >=< (A+ − P+

k)φ+, δφ >= 0 (A.5a)

− δ( 1

keff) ≈ δ(

keff − 1

keff) = δρ = −

< φ+, (δA− δPkeff

)φ >

< φ+,Pφ >(A.5b)

A.2. Cálculo de observables expresados como ritmos

de reacción lineales

Los ritmos de reacción lineales son observables que puede ser expresados a través

de la ecuación A.6.

R =< Σ1, φ >

< Σ2, φ >(A.6)

Partiendo de ecuaciones 2.1 y A.1, se plantea un cambio en nuestro observable de la

forma:

R′ =< Σ′1, φ

′ >

< Σ′2, φ′ >

(A.7a)

δR = R′ −R (A.7b)

donde Σ′ = Σ + δΣ y φ′ = φ+ δφ. Otra forma de expresar la ecuación A.7b se presenta

en A.8.δR

R=R′

R− 1 (A.8)

Substituyendo la ecuación A.7a en la ecuación A.8 se obtiene:

δR

R=

<(Σ1+δΣ1),(φ+δφ)><Σ1,φ>

<(Σ2+δΣ2),(φ+δφ)><Σ2,φ>

− 1 ≈1 + <δΣ1,φ>+<Σ1,δφ>

<Σ1,φ>

1 + <δΣ2,φ>+<Σ2,δφ><Σ2,φ>

− 1 (A.9)

Aproximando a primer orden la ecuación A.9, se obtiene una ecuación lineal en δΣ1,

δΣ2 y δφ. Dicha ecuación se presenta en A.10

δR

R≈ < δΣ1, φ >

< Σ1, φ >− < δΣ2, φ >

< Σ2, φ >+< Σ1, δφ >

< Σ1, φ >− < Σ2, δφ >

< Σ2, φ >(A.10)

A.2 Cálculo de observables expresados como ritmos de reacción lineales 65

Los dos primeros términos de la ecuación A.10 son denominados efectos directos porque

están únicamente relacionados con cambios en δΣ1 y δΣ2, mientras que los dos últimos

términos son denominados efectos indirectos dado que provienen de una perturbación

en el �ujo.

Si deseamos calcular los efectos indirectos, primero debemos de�nir una fuente de

importancia S+ de tal forma que:

I =< Σ1, δφ >

< Σ1, φ >− < Σ2, δφ >

< Σ2, φ >=< S+, δφ >

Es trivial ver que S+ = Σ1

<Σ1,φ>− Σ2

<Σ2,φ>.

Se de�ne la función Γ+g como una función generalizada de tal forma que cumple con

la ecuación A.11

(A+ − P+

k)Γ+

g = S+ (A.11)

en donde aplican las mismas condiciones de contorno que en la ecuación 2.2. Con

Γ+g se pueden calcular los efectos indirectos usando las propiedades de los operadores

adjuntos.

I =< (A+ − P+

k)Γ+

g , δφ >=< Γ+g , (A−

P

k)δφ > (A.12)

Usando la ecuación A.3 y aproximando el �ujo perturbado φ′ a φ se puede ver que los

efectos indirectos se calculan, según la ecuación A.10, de la siguiente forma:

I = − < Γ+g , (δA−

δP

k− δ(1

k)P )φ > (A.13)

Para optimizar el cálculo de la ecuación A.13, se puede proponer una función Γ+ tal que

Γ+ = Γ+p −

<Γ+p ,Pφ>

<φ+,Pφ>φ+, donde Γ+

p representa una solución particular de la ecuación A.11.

De esta forma no es necesario calcular el término en la ecuación A.12 asociado a δ( 1k)

debido a que < Γ+, Pφ >= 0. El cálculo de otros observables puede ser profundizado

en [5]

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[15] S.S.Wilks,Determination of sample sizes for setting tolerance limits ; Princeton

University, Princeton, N. J.

Agradecimientos

A todos aquellos que estuvieron conmigo cuando más lo necesitaba. Cada uno de

ellos impactó en mi vida de maneras que nunca podrán imaginar y de no ser por ellos,

este proyecto integrador nunca hubiese tenido mi nombre en el.

71

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