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Ulises Quaglia

En este proyecto de investigación matemática buscaré relacionar las funciones trigonométricas con las notas musicales y sus resonancias en diferentes frecuencias.

Para realizar este proyecto, me propongo analizar las sinusoides obtenidas a partir de la resonancia de diferentes diapasones en diferentes frecuencias (y por lo tanto en diferentes notas musicales). Para llevar esto a cabo, construiré una máquina consistente de dos partes; una será una cinta de papel controlada por un motor eléctrico para moverse horizontalmente a una velocidad constanteque servirá para controlar los periodos (de la sinusoide). La otra parte será un soporte al cual el diapasón esté fijado y conectado a un oscilador que mantenga las vibraciones del diapasón constantes, así se controlará la amplitud de la sinusoide. En un extremo del diapasón se pondrá una punta de grafito que entre en contacto con la cinta de papel y así dibujará la sinusoide a medida que el diapasón vibra y la cinta se mueve horizontalmente. Los dibujos serán luego representados digitalmente y ampliados para observarlos con mayor precisión.

Mi objetivo será observar la diferencia entre las sinusoides resultantes de diferentes diapasones y comparar los resultados.

Para presentar las mediciones, es necesario hacer una breve referencia al Hertzio, unidad de frecuencia del sistema internacional de unidades. Esta es equivalente a “ciclos por segundo”, donde ciclos se refiere a la repetición de un suceso, en este caso, la repetición de un período. La magnitud medida en hertzios se llama frecuencia y, de esta manera, también se define por ser la inversa del período. De manera que se pueden establecer las siguientes igualdades:

f= 1T

=Hz=s−1=1s

Donde f=frecuencia, T=Tiepo y s=Segundo.

También, es necesario dar una explicación de la composición de la llamada escala cromática en la música. Si bien puede parecer que esto se desvía del tema de investigación, se demostrará que dicha escala está compuesta de una manera matemática en su totalidad y que esta referencia es necesaria para llegar a una conclusión precisa. Ésta está integrada únicamente por 12 tonos que resuenan a 12 frecuencias diferentes y se repiten al aumentar o disminuir la frecuencia correspondientemente.

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Las mediciones entonces fueron obtenidas a partir de diapasones en las siguientes frecuencias: 440Hz, 466Hz, 523 Hz, 659Hz y 880Hz.

1. Diapasón de 440Hz (Nota “La”, la ubicaremos primera en la escala de 12 notas):

2. Diapasón de 466Hz (Nota “Si”, la ubicaremos segunda en la escala de 12 notas):

3. Diapasón de 523Hz (Nota “Do”, la ubicaremos cuarta en la escala de 12 notas):

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4. Diapasón de 659Hz (Nota “Mi”, la ubicaremos octava en la escala de 12 notas):

5. Diapasón de 880Hz (Nota “La”, la ubicaremos treceava en la escala de 12 notas):

A continuación, se compararan las sinusoides obtenidas analizándolas gráficamente.

Como es sabido, las características de toda curva de seno se define por la siguiente ecuación:

y=a×sen (bx )+c

Donde a define la amplitud de la honda, b define su período y c su desfase (con respecto al eje y).

Análisis del ejemplo 1 (440Hz):

En el caso de todas las sinusoides presentes en este proyecto, la amplitud y el desfase se mantiene igual, ya que lo que se quiere investigar es el cambio en

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el período. Entonces, con tan solo ver el grafico podemos obtener tanto a como c:

Como se puede observar, la línea roja define el desfase, es decir c. Como podemos ver, esta línea se traza sobre y=1 de manera que c=1. Los segmentos verticales verdes muestran la amplitud, que al extenderse desde 0 a 1 y de 1 a 2, y la definen como1, es decir, a=1. Estos dos valores, como expresado previamente, serán iguales en los cinco gráficos. También vemos que, en la extensión del gráfico, el ciclo se repite exactamente 4 veces, permitiendo deducir que el grafico se define por:

y=sin (4 x )+1

Analíticamente, podemos también obtener la ecuación de la función trigonométrica que

440Hz = 440 ciclos por segundo, entonces, si tomamos el segundo como, sabiendo que a=1 y c=1 podemos obtener la siguiente ecuación, ya que sabemos la cantidad de ciclos que ocurren en un segundo:

y=sin (4 40x )+1

A esta altura, es irrelevante la diferencia entre las dos ecuaciones obtenidas a partir del diapasón 1, ya que no tienen relación, pero ambas serán de utilidad para establecer una relación entre los diferentes tonos más adelante.

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Además cabe destacar que la medida de la treceava nota partiendo de cualquier tono, será exactamente el doble que el del primero, por ejemplo el 1 será la mitad que el 13, éste será la mitad que el 25 y así sucesivamente. De esta manera se puede establecer la siguiente sucesión geométrica:

659.26=440×r8−1 659.26÷440=r77√659.26÷440=r 1.059464216=r

Entonces:

U n=440×1.059464216n−1