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Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán

http://www.cuautitlan.unam.mx Prueba de Hipótesis

El proceso de estimación de parámetros, analizado en el fascículo

anterior y las pruebas de hipótesis son los temas medulares de la

estadística inferencial.

Una prueba de hipótesis inicia con una suposición, denominada

hipótesis, que hacemos en torno a un parámetro de la población, por

ejemplo:

• El costo de una computadora portátil es de $12,000

• El salario de los profesores de una secundaria es de por lo menos

$ 6,000

• El porcentaje de votantes que apoyan a un candidato es de 37%.

• Las pastillas Halls tienen un contenido neto de 34gr.

PRUEBA DE HIPÓTESIS



Después reunimos datos muestrales, calculamos los

estadísticos de la muestra y nos servimos de esta

información para decidir la probabilidad de que el supuesto

parámetro de la población sea correcto. Pongamos el caso

del ejemplo de las pastillas Alls, “suponemos” que el

contenido neto es correcto porque es lo que marca la

etiqueta de ese producto y por lo tanto el valor de la media

de la población de todo un lote de la producción. Para

verificar la validez de nuestra suposición, obtenemos datos

de una muestra representativa del lote de producción y determinamos

la diferencia entre el valor supuesto y el valor real de la media muestral.

A continuación juzgamos si la diferencia es significativa. Cuanto menor

sea la diferencia, mayores probabilidades habrá de que sea correcto el

valor supuesto de la media poblacional. Y a una diferencia más amplia

corresponderá una probabilidad menor, figura 1

Figura 1. Diferencias entre el supuesto parámetro poblacional y sus estadísticos



Desgraciadamente no sabemos qué tan grande

debe ser la diferencia entre el supuesto parámetro

de la población y el estadístico muestral para que

automáticamente rechacemos la hipótesis, ni que

tan pequeña debe ser esa diferencia para que de

inmediato la aceptemos. Por esta razón debemos

hacer una prueba de hipótesis que nos ayude en la

toma de decisiones.

“Un método sistemático de evaluar creencias tentativas sobre la realidad

se llama prueba de hipótesis; requiere de la confrontación de

creencias con evidencia y decidir, en vista de esta evidencia, si dichas

creencias se pueden conservar como razonables o deben desecharse por

insostenibles”.1

Supongamos que el salario de los docentes de una

secundaria es de $6000 pesos mensuales. ¿Cómo

podremos probar la validez de esta hipótesis? Al

aplicar los métodos de muestreo anteriormente

estudiados, calculamos el salario de una muestra

de los profesores. Si encontramos que el estadístico muestral resultó ser

de $ 5 880 pesos, seguramente aceptaremos la suposición anterior.

Pero si el estadístico muestral fuera de $ 4 600 pesos, rechazaríamos la

suposición por considerada falsa. Los dos resultados podemos

interpretados recurriendo al sentido común.

1 Kohler, Heinz. Estadística para Negocios y Economía, ed.CECSA,



Por otro lado si el estadístico muestral revela un salario de $5900 pesos,

este valor es relativamente cercano a $6000 pesos. Pero, ¿está lo

suficientemente cerca como para que aceptemos la suposición? Si la

aceptemos o rechacemos, no podemos tener la seguridad absoluta de

que nuestra decisión sea correcta; por tanto, tenemos que aprender a

afrontar la incertidumbre en la toma de decisiones. No podemos aceptar

ni rechazar una hipótesis referente a un parámetro de la población por

sentido común, debemos decidir con objetividad, basándonos en la

información de la muestra, si aceptamos o rechazamos una suposición.

TIPOS DE HIPOTESIS

Hipótesis nula

Al ser un supuesto se habla de una Hipótesis estadística, y al

comprobarla, estamos hablando de una prueba de hipótesis. Por lo tanto

una proposición adelantada tentativamente como una verdad posible es

llamada hipótesis. En una prueba de hipótesis, debemos de formular el

supuesto valor del parámetro de la población antes de hacer el

muestreo. La suposición que deseamos probar recibe el nombre de

hipótesis nula y se representa con el símbolo "Ho:” y se interpreta

como: la hipótesis nula establece. Y podemos decir que es una

declaración tentativa de que el parámetro de la población es igual a un

valor específico e implica la idea de que no hay diferencia entre el

supuesto valor del parámetro poblacional y el estadístico muestral de

prueba.



Supongamos que queremos probar la hipótesis de que la media de la

población de las pastillas Halls tienen un contenido neto de 34gr.

Podríamos representarla del modo siguiente:

0 : 34H grµ =

y leerla así: "La hipótesis nula establece que la media de la población es

igual a 34 gr"

La expresión hipótesis nula proviene de antiguas aplicaciones de la

estadística a la agricultura y la medicina. A fin de probar la eficacia de

un nuevo fertilizante o medicamento, la hipótesis probada (nula) era

que no producían efecto alguno; es decir, no existía diferencia entre las

muestras tratadas y las no tratadas.

La hipótesis nula H0 es la primera de dos opuestas en una prueba de

hipótesis. Es una descripción del estado de las cosas en un momento

dado, es decir de lo que las personas han pensado durante mucho

tiempo que es cierto. Si H0 se corrobora en una prueba de hipótesis, no

es necesario realizar una acción. Si los resultados de la muestra no

apoyan la hipótesis nula, debemos concluir que no son verdaderos.

Hipótesis alternativa

Cada vez que rechazamos la hipótesis nula, la conclusión que aceptamos

se llama hipótesis alternativa y se representa mediante H1: en el caso

de la hipótesis nula:

0 : 34H grµ = :



“La hipótesis nula establece que la media de la población es igual

a 34 gr.”

Se pueden considerar únicamente tres hipótesis alternativas:

1 : 34H grµ ≠ : “La hipótesis alternativa establece que la media de la

población no es igual a 34 gr.”

1 : 34H grµ > : “La hipótesis alternativa establece que la media de la

población es mayor a 34 gr.”

1 : 34H grµ < : “La hipótesis alternativa establece que la media de la

población es menor a 34 gr.”

La hipótesis alternativa H1 es la segunda de dos opuestas en una

prueba de hipótesis. Es un medio para hacer aseveraciones

trascendentes que contradicen las creencias de las personas. Si H0 no se

puede corroborar en una prueba de hipótesis, H1 se acepta

tentativamente y esto requiere iniciar una acción, Por lo tanto se puede

considerar a H1 como la hipótesis de acción. Y podemos decir que es una

declaración tentativa de que el parámetro poblacional tiene un valor

diferente del especificado en la hipótesis nula, es decir, contradice a H0

y constituye la hipótesis de trabajo.

Al formular la hipótesis nula y alternativa, se le llama planteamiento de

las hipótesis y son mutuamente excluyentes, al aceptar H0.se debe

rechazar H1 y al rechazar H0 se debe aceptar H1, no se pueden aceptar

ni rechazar ambas, forzosamente tenemos que aceptar una de las

hipótesis.



Supongamos que se tienen sospechas de que el

contenido de producto neto de las pastillas Halls

es menor al indicado en la etiqueta que es de

34 gr. El planteamiento de las hipótesis, lo

podemos ejemplificar de la siguiente forma:

0

1

: 34: 34

H grsH grs

µµ

=<

Errores Tipo I y Tipo II Las hipótesis nula y alternativa son aseveraciones sobre la población

que compiten entre sí, es decir o la hipótesis nula es verdadera, o lo es

la hipótesis alternativa, pero no ambas. En el caso ideal, el

procedimiento de prueba de hipótesis debe conducir a la aceptación de

H0 cuando sea verdadera y al rechazo de H0 cuando H1 sea verdadera.

Desafortunadamente no siempre son posibles las conclusiones correctas.

Como las pruebas de hipótesis se basan en información de muestras,

debemos considerar la posibilidad de errores. La tabla 1 muestra los dos

tipos de errores que se pueden cometer en la prueba hipótesis.

Condición de la población

H0

verdadera

H1

verdadera

Con

clus

ión Aceptar H0 Conclusión

correcta Error

Tipo II

Rechazar H0 Error Tipo I

Conclusión correcta

Tabla 1. Tipos de errores que se pueden cometer en una prueba de hipótesis



Se puede observar lo que puede suceder cuando la conclusión es

aceptar H0. Si H0 es verdadera, esta conclusión es correcta. Sin

embargo, si H1 es verdadera, hemos cometido un error tipo II, esto es,

hemos aceptado H0 siendo falsa. Ahora bien, si la conclusión es

rechazar H0 Si H0 es verdadera, hemos cometido un error tipo I, esto

es, hemos rechazado H0 siendo verdadera. Sin embargo, si H1 es

verdadera, es correcto rechazar H0.

Nivel de significancia

La finalidad de una prueba de hipótesis no es poner en duda el valor

calculado del estadístico muestral, sino emitir un juicio sobre la

diferencia existente entre el supuesto parámetro de la población y

estadístico. El siguiente paso, después de formular la hipótesis nula y la

hipótesis alternativa, será decidir qué criterio aplicar para decidir si se

acepta o rechaza H0

En la práctica, la persona que efectúa la prueba de

hipótesis debe especificar la máxima probabilidad

permisible, llamada nivel de significancia α, de

cometer un error de tipo I. Comúnmente se utilizan

los valores de 0.10, 0.05 y 0.01 como niveles de

significancia.



Supongamos que deseamos probar una hipótesis con un nivel de

significancia de 5% o 0.05. Lo anterior significa que rechazaremos la

hipótesis nula si en promedio la diferencia entre el estadístico muestral

y el supuesto parámetro de la población es tan grande que ella o una

diferencia mayor podría ocurrir, en promedio, apenas cinco o menos

veces en cada 100 muestras, cuando sea correcto el parámetro de la

población. Así pues, suponiendo que la hipótesis es correcta, el nivel de

significancia indica el porcentaje de medias muestrales que se encuentra

fuera de ciertos límites. (recuerde que al hacer la estimación, no olvide

que el nivel de confianza indica el porcentaje de las medias muestrales

que caían dentro de los límites definidos de confianza).

En la tabla 1, la conclusión de rechazar Ho indica que hay un error de

tipo I o que la conclusión es correcta. Así, si se controla la probabilidad

de cometer un error tipo I seleccionando un pequeño valor del nivel de

significancia, tendremos un alto grado de confianza en que sea correcta

la conclusión de rechazar Ho. En esos casos contamos con respaldo

estadístico para concluir que Ho es falsa y que H1 es verdadera.

La figura 2 muestra cómo interpretar un nivel de significancia de 5%.

Nótese que 2.5% del área bajo la curva está situado en cada extremo.

Si consultamos la tabla de la distribución normal del apéndice,

podremos determinar que 95% del área bajo la curva queda incluida en

un intervalo que se extiende 1.96 xσ a ambos lados de la supuesta

media. En 95% del área, no existe diferencia de significancia entre el

estadístico muestral y el supuesto parámetro de la población.



En el restante 5% (las regiones sombreadas), sí hay una diferencia

significativa.

Figura 2. Regiones de diferencia significativa y no significativa con un nivel del 5%

En la figura 2 se examina la misma interpretación, en ella 95% del área

bajo la curva se halla donde aceptaríamos la hipótesis nula. Las dos

partes sombreadas bajo la curva, que representan un total de 5% del

área, se encuentran donde rechazaríamos la hipótesis nula.

Aquí conviene hacer una advertencia. Aun cuando los estadísticos

muestrales en la figura 3 caigan en la región no sombreada (que abarca

95% del área bajo la curva), ello no prueba que nuestra hipótesis nula

(H0) sea verdadera; simplemente el estadístico no ofrece evidencia

estadística para rechazarla. ¿Por qué? Porque la única manera de

aceptarla con certidumbre consiste en que conozcamos el parámetro de

la población.



Por lo tanto, cada vez que decimos que la aceptamos, en realidad

queremos decir que no se cuenta con suficiente evidencia estadística

para rechazarla. Se ha generalizado el uso del verbo aceptar, en lugar

de no rechazar. Significa sencillamente que, cuando los datos de la

muestra no nos llevan a rechazar una hipótesis nula, la consideramos

como si ésta fuera verdadera.

Figura 3. Regiones de aceptación y rechazo de Ho con un nivel de significancia de 5%

Al seleccionar la significancia no existe un nivel como norma con el cual

se deben probar las hipótesis, regularmente se utiliza el del 5%, pero es

común que en los resultados publicados de investigaciones hayan

recurrido al 1% de significancia. Es posible probar una hipótesis en

cualquier nivel de significancia. Pero recuérdese que nuestra elección del

nivel, es asimismo el riesgo que corremos de rechazar una hipótesis

nula aunque sea verdadera.



Cuanto más alto sea el nivel de significancia que utilizamos al probar

una hipótesis, mayores probabilidades habrán de rechazar una hipótesis

nula que sea verdadera.

El concepto anterior lo podemos ilustrar con la figura 5, se observa una

prueba de hipótesis con tres niveles de significancia: 1, 10 y 50%.

Hemos indicado la ubicación de la media muestral en cada distribución.

En las partes a y b, podríamos aceptar la hipótesis nula de que la media

de la población es igual al valor supuesto. Pero obsérvese que en la

parte c, rechazaríamos esta misma hipótesis nula. ¿Por qué? Porque allí

nuestro nivel de significancia de 0.50 es tan alto que rara vez la

aceptaremos, cuando no sea verdadera; pero, al mismo tiempo,

frecuentemente la rechazaremos aunque sea verdadera.

Figura 4. Una prueba de hipótesis con tres distintos niveles de significancia



Distribución adecuada de probabilidad Después de decidir qué nivel de significancia utilizar, el siguiente paso

en la prueba de hipótesis consiste en determinar la distribución

adecuada de probabilidad. Tenemos que seleccionar entre la distribución

normal y la distribución t de estudent (ver apéndice de tablas). Las

reglas para elegir la distribución de probabilidad apropiada se parecen a

las descritas en el fascículo I, tema II Estimación de parámetros. En la

tabla 2 se resume cuándo usar la distribución normal y la distribución t

al efectuar pruebas para las medias. Más adelante en este capítulo,

examinaremos la distribución idónea para probar las hipótesis relativas

a proporciones.

No se olvide otra regla más al probar el supuesto valor de una media.

Como en la estimación, se utiliza el multiplicador de población finita

cuando ésta es de tamaño finito, el muestreo se realiza sin

reemplazamiento y la muestra constituye más de 5% de la población.

Desviación

estándar de la población conocida

Desviación estándar de la población no

conocida

El tamaño de la muestra es mayor que 30 (n>30)

Distribución normal Tabla z


El tamaño de la muestra es 30 o menos y

suponemos que la que la población es normal o

aproximadamente normal ( n≤30)


Distribución t de student Tabla t

Tabla 2. Condiciones para usar la distribución normal y la distribución t en la prueba de hipótesis para las medias



TIPOS DE PRUEBAS DE HIPOTESIS Prueba de hipótesis de dos extremos A esta prueba también se le llama de dos colas o bilateral, se utiliza

cuando se desea encontrar evidencia estadística de que el verdadero

valor del parámetro poblacional es diferente del especificado en la H0.,

es decir rechazará la hipótesis nula si la media muestral es

significativamente más alta o más baja que la supuesta media de la

población. Por consiguiente, en una prueba de dos extremos, existen

dos regiones de rechazo. Esto se puede apreciar en la figura 5.

Figura 5. Regiones de aceptación y rechazo de Ho para una prueba de hipótesis bilateral



Supongamos que se sospecha que una maquina

envasadora de azúcar está llenando mal las

bolsas en la presentación de 2.0 kg. Si el

contenido neto es menor, posiblemente perderá

clientes; si es mayor el contenido de azúcar, se

tendrá una pérdida de producto, disminuyendo la

plusvalía de la empresa. Con la finalidad de observar si el proceso de

envasado de la azúcar está funcionando bien, tomamos una muestra de

las bolsas llenadas por la máquina para probar la hipótesis:

0 : 2.0H kgµ =

Puesto que no se desea desviar significativamente de 2.0 kg. En

ninguna de las dos direcciones (más o menos) la hipótesis alternativa

apropiada será:

0 : 2.0H kgµ ≠

Por lo tanto se utilizara una prueba de dos colas. Es decir rechaza la

hipótesis nula si el contenido neto de azúcar promedio de las bolsas de

la muestra está muy por arriba o muy por debajo de 2.0 kg.

Prueba de hipótesis de un extremo (izquierdo)

Se utiliza cuando se desea encontrar evidencia estadística de que el

parámetro poblacional especificado en H0 es menor. Por ejemplo un

mayorista que compra grandes cantidades de azúcar a la compañía

antes mencionada, en bolsas de 2.0 kg.



El mayorista no quiere aceptar un embarque de azúcar a menos que el

contenido neto promedio sea de dos kilogramos. Al llegar cada pedido,

el mayorista prueba una muestra para decidir si debe aceptar el

embarque. Éste rechazará el envió sólo si descubre que el contenido

neto no llega a 2.0 kg. Así las hipótesis del mayorista son:

0

1

: 2.0: 2.0

H kgH kg

µµ

=<

Se rechaza H0 sólo si el contenido neto de azúcar promedio de las

bolsas que conformaron la muestra está significativamente por debajo

de dos kilogramos. En la figura 6 se ilustra este tipo de prueba. En ella

vemos por qué a esta prueba se también se le llama prueba de una cola

a la izquierda (o una prueba de extremo inferior).

Figura 6. Regiones de aceptación y rechazo de Ho de una prueba de un extremo izquierdo



En general, se aplica una prueba de un extremo izquierdo si el

planteamiento de las hipótesis es:

0

1

: 0: 0

HH

µµ

=<

caso 1

0

1

: 0: 0

HH

µµ

≥<

caso 2

donde cero es el valor especifico del supuesto parámetro poblacional. En

tales situaciones, es la evidencia del estadístico muestral que esta

significativamente por debajo de la supuesta media de la población la

que nos hace rechazar la hipótesis nula y por ende aceptamos la

hipótesis alternativa. Dicho con otras palabras, la región de rechazo se

halla en el extremo inferior (extremo izquierdo) de la distribución de la

media muestral; y por eso a esta prueba la llamamos prueba de

extremo inferior. El caso 1 se le llama hipótesis simple porque

únicamente se utiliza un solo valor como el supuesto parámetro

poblacional y al caso 2 se le conoce como hipótesis compuestas, porque

se utilizan una gama de valores como el supuesto valor del parámetro

poblacional.

Prueba de hipótesis de un extremo (derecho)

Se utiliza cuando se desea encontrar evidencia estadística de que el

parámetro poblacional especificado en H0 es mayor, también se le llama

prueba unilateral por la derecha o prueba de extremo superior.



Esta prueba se aplica cuando las hipótesis son:

0

1

: 0: 0

HH

µµ

=>

0

1

: 0: 0

HH

µµ

≥>

Si el estadístico muestral se encuentra significativamente por arriba de

la supuesta media poblacional, rechazaremos la hipótesis nula en favor

de la hipótesis alternativa. A esto se le llama prueba de extremo

superior, porque la región de rechazo está en el extremo superior de la

distribución de la media muestral. La Prueba unilateral a la derecha se

ilustra en la figura 7; por ejemplo, el gerente de ventas de la

envasadora de azúcar ha pedido a sus vendedores ajustarse a un límite

en los viáticos por concepto de gasolina.

El gerente confía mantener los gastos en un

promedio de $100 pesos por vendedor al día.

Un mes después de fijado el límite, se extrae

una muestra de los gastos por gasolina

presentados diariamente para comprobar si

están observando el límite los vendedores.

La hipótesis nula establece que:

0 : 100.00H pesosµ =



Pero al gerente le interesa observar si los vendedores se están

ajustando al límite en gastos por concepto de gasolina. Por lo tanto, la

hipótesis alternativa apropiada será:

1 : 100.00H pesosµ >

Se aplica una prueba de extremo superior. Si se rechaza la hipótesis

nula se encontró evidencia estadística de que la media muestral es

significativamente mayor que $100.00. Esta evidencia muestra que los

vendedores no están acatando el límite y se deben tomar las medidas

correctivas.

Figura 7. Regiones de acepación y rechazo de Ho de una prueba de un extremo derecho



Debemos tener en cuenta siempre que en una prueba de hipótesis,

cuando aceptamos una hipótesis nula basándonos en la información de

la muestra, realmente estamos afirmando que se carece de datos

estadísticos para rechazarla. No estamos diciendo con ello que la

hipótesis nula sea verdadera. La única manera de probar una hipótesis

nula consiste en saber cuál es el parámetro de la población, y como

sabemos eso no es posible en el muestreo. Así pues, aceptamos la

hipótesis nula y actuamos como si fuera verdadera simplemente porque

no encontramos evidencia para rechazarla.

PROCEDIMIENTO PARA ELABORAR UN PRUEBA DE HIPOTESIS

• Determinar el supuesto valor del parámetro poblacional • Obtener los datos muestrales y calcular los estadísticos

correspondientes. • Determinar el nivel de α.

• Llevar a cabo el planteamiento de las hipótesis.

• Construir las áreas de aceptación y rechazo de H0 • Realizar la prueba estadística adecuada. • Tomar una decisión para aceptar H0 o no rechazar H0. • Emitir una conclusión en términos del problema.



PRUEBAS DE HIPOTESIS Para una media

Para elaborar una prueba de hipótesis para la media se sigue el

procedimiento antes mencionado y se utilizan las siguientes formulas o

estadístico de prueba (según el caso). El estadístico de prueba es el

que se calcula en una sola muestra aleatoria simple, tomada de la

población de interés, para establecer la verdad o falsedad de la hipótesis

nula.

Cuando σ es conocida, se utiliza la distribución normal ( “z” ) como

se mostró en la tabla 2

cx

x µσ−

Ζ =

Cuando σ no es conocida, y la muestra es grande (n > 30), se utiliza la distribución de probabilidad “z “.

ˆc

x

xS

µ−Ζ =

Cuando σ no es conocida, y la muestra es pequeña (n ≤ 30), se utiliza la distribución de probabilidad “ t “ student.

ˆc

x

xtS

µ−=



Para una mejor comprensión, lo anterior se muestra en la figura 8.

Figura 8. Diagrama de flujo para seleccionar la prueba estadística adecuada para una media



1. Un Ingeniero de control de calidad debe comprobar

que una maquina envasadora de café está vertiendo en

promedio la cantidad de producto por sobre de 30

gramos, además sabe que la desviación estándar del

proceso es de 1 gramo. Toma una muestra de 36

sobres con café y encontró una media de 2.92 gramos.

¿Con la evidencia obtenida en la muestra se podría

concluir que la maquina no está envasando

correctamente el producto con un nivel α = 0.01?

SOLUCION

Observaciones: Se conoce la desviación estándar poblacional por lo tanto se utiliza la distribución Z y puesto que se va a verificar si la maquina envasadora está trabajando correctamente se debe aplicar una prueba de dos extremos.

1. µ = 3º gramos

2. DATOS

n = 36

x = 29.2 gramos

σ = 1 gramo

3. Determinar el valor de α:

α = 0.01/2 = 0.005

4. Plantear las hipótesis

H0: µ = 30 gramos

H1: µ ≠ 30 gramos

EJEMPLOS PRUEBA DE HIPÓTESIS



5. Construir las áreas de aceptación y rechazo de H0

6. Aplicar la prueba estadística adecuada.

2.92 3.0 2.670.1836

cZ −= = −

7. Tomar una decisión

8. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con un nivel de

significancia del 1% que la maquina envasadora no esta vertiendo en

promedio 3 libras de café, por lo que se recomienda llevar a cabo las

acciones correctivas.

0.5 0.005 0.49502.58

∴ − =Ζ =

El valor de Z c cae en zona de Rechazo,

Por lo tanto la decisión es rechazar H0.



2. Un comprador de camisas para una tienda

departamental desea probar si las camisas con

etiqueta de manga 33 pulgadas en realidad

satisfacen esa especificación en promedio. Se

toma una muestra aleatoria de 36 camisas que

entran al almacén, la muestra indica un largo

medio de 34 pulgadas son una desviación

estándar de 2 pulgadas con un α = 0.05 Realice la prueba.

SOLUCION

Observaciones: No se conoce la desviación estándar poblacional, pero el tamaño de la muestra es “grande” n > 30, por lo tanto se utiliza la distribución Z y puesto que se va a probar que un producto cumpla con las especificaciones de diseño, largo 33 pulgadas (ni mas grande ni mas pequeño) se debe aplicar una prueba de dos extremos. 1. µ = 33 pulgadas

2. DATOS

n = 36

x = 34 pulgadas

S = 2 pulgadas


α = 0.05/2 = 0.025


H0: µ = 33 pulgadas

H1: µ ≠ 33 pulgadas



5. Construir las áreas de aceptación y rechazo de H0

6. Aplicar la prueba estadística adecuada.

34.0 33.0 3.02.036

cZ −= = −

7. Tomar una decisión


significancia del 5% que las camisas no cumplen con la

especificación de “largo 33 pulgadas”, se sugiere regresar el

pedido que entro al almacén

0.5 0.025 0.47501.96

∴ − =Ζ =

El valor de Z c cae en zona de rechazo, Por lo tanto la decisión es rechazar H0.



3. Un gerente desea probar la resistencia de la tensión del hilo que ha

de usarse en las nuevas máquinas de la

empresa, el cual debe ser de por lo menos

25 libras. Se toma una muestra aleatoria de

16 carretes y se encontró una resistencia de

promedio de 23 libras, con una desviación

estándar 0.2 libras. Realicé la prueba con un

nivel de significancia del 5% y determine si

el hilo es apropiado.

SOLUCION

Observaciones: No se conoce la desviación estándar poblacional, y el tamaño de la muestra es “pequeño” n ≤ 30, por lo tanto se utiliza la distribución t de estudent. Puesto que se desea probar si un hilo es adecuado a las necesidades de la empresa que son de que tenga una resistencia a la tensión de por lo menos 25 libras, se debe aplicar una prueba de un extremo a la izquierda. 1.µ ≥ 25 libras

2. DATOS

n = 16

x = 24.9 libras

s = 0.2 libras

3. Determinar el valor de:

α = 0.05


H0: µ ≥ 25 libras

H1: µ < 25 libras



5. Realizar la prueba

6. Tomar una decisión: El valor calculado de tc cae en zona de rechazo

por lo que se rechaza H0.


significancia del 5% que la resistencia del hilo no satisface la

especificación de 25 libras de resistencia. Se recomienda que

ese hilo no se utilice.

75.115116.

==−=

tlg

24.9 25 2.00.216

ct−

= = −



Para elaborar una prueba de hipótesis para la proporción, se sigue el

mismo procedimiento que para la prueba de hipótesis de la media.

Debemos recordar que la distribución binomial, es la distribución

teóricamente correcta que debe usarse para las proporciones, pues los

datos son discretos. A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la

distribución binomial se acerca a la distribución normal en sus

características y podemos aplicar esta ultima para aproximar la

distribución de muestreo. En resumen, np y nq necesitan cada una ser

por lo menos 5 para que se pueda utilizar la distribución normal de

probabilidad en sustitución de la binomial.

En este caso se utiliza la siguiente prueba estadística adecuada

pc

pσ

π−=Ζ

Para una mejor comprensión lo anterior se muestra en la figura 9

Figura 9. Diagrama de flujo para seleccionar la prueba estadística adecuada para una proporción

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN



1. Un fabricante de blusas para dama cree que su marca se vende en

19% de las tiendas de ropa para mujer del

centro de la ciudad de México.

Recientemente tomo una muestra de 85

de esas tiendas y encontró que

únicamente el 14.12% venden su marca.

Con un nivel de significancia del 4% ¿Se

podría concluir que ha disminuido la

presencia de su marca en esa parte de la

ciudad?

SOLUCION

Observaciones: Se desea probar una proporción poblacional y np es mayor a 5, por lo tanto se puede utilizar la distribución normal, la hipótesis de trabajo es demostrar si ha disminuido la presencia de la marca en una región, se debe aplicar una prueba de un extremo a la izquierda. 1. 𝜋 = 19% de las tiendas venden la marca

2. DATOS

n = 85

.1412p =


α = 0.04


0

1

: 0.19: 0.19

HH

ππ

=<

EJEMPLOS PRUEBA DE HIPÓTESIS PROPORCIÓN



0.5 0.04 0.46001.75

∴ − =Ζ =

0.1412 0.19 1.150.19 0.81

85

c−

Ζ = = −×

5 Realizar la prueba

6. Tomar una decisión: El valor de Z c se encuentra en área de

aceptación, por lo tanto la decisión es aceptar H0.

7. Emitir una conclusión: Se encontró evidencia estadística con un α =

0.04 que el 19% de las tiendas de ropa para Dama en el centro de

Ciudad de México venden la marca del fabricante, por lo que se puede

concluir que no ha disminuido su presencia en la zona.



2. Un vendedor profesional, asegura que al

menos a 1 de cada dos clientes les vende un

reloj. Para probar la afirmación del vendedor

se tomo una muestra aleatoria de 25 clientes

que tuvieron contacto con el vendedor y se

encuentra que diez de ellas compararon un

reloj. Realice la prueba con un nivel se

significancia del 5%.

SOLUCION

Observaciones: Se desea probar una proporción poblacional y np es mayor a 5, por lo tanto se puede utilizar la distribución normal, dado que se esta afirmando que se logra al menos un 50% de las ventas, se debe aplicar una prueba de un extremo a la izquierda.

1. 𝜋 ≤ 0.5 de las familias

2. DATOS

n = 25

60.02515

40.02510

==

==

q

p

3. Determinar el valor de:

α = 0.05


0

1

: 0.5: 0.5

HH

ππ

≤>



5. Realizar la prueba

6. Toma runa decisión: El valor de Z c se encuentra en área de

aceptación, por lo tanto la decisión es aceptar H0.

7. Emitir una conclusión: Se encontró evidencia estadística con un α

= 0.05 que el vendedor logra una venta en al menos el 50% de

las veces

65.14500.005.05.0

=Ζ=−∴

02.1

256.04.05.04.0

−=×

−=Ζc



Los responsables de la de toma de decisiones, necesitan determinar en

muchas ocasiones si los parámetros de dos poblaciones son semejantes

o son diferentes, es decir si la diferencia entre ellos es estadísticamente

significativa. Una empresa quizá quiera probar, por ejemplo, si las

empleadas reciben sueldos más bajos que los varones por realizar el

mismo trabajo. Es posible que un fabricante de pantalones de mezclilla

desee probar si dos tipos de tela semejantes tienen la misma

durabilidad. Un nutriólogo quiere determinar si dos dietas son igual de

efectivas para el control de peso. Un profesor quiera demostrar que una

nueva técnica didáctica es mejor que la tradicional para impartir

matemáticas a nivel bachillerato.

En todas las situaciones anteriores, nos

debemos de preocupar de los parámetros

de dos poblaciones, a diferencia de la

prueba de hipótesis para una media o una

proporción, no es de gran importancia el

verdadero valor de los parámetros. Lo

relevante es observar la relación existente entre los valores de los

parámetros, o sea en qué difieren estos últimos. ¿Ganan menos las

empleadas que los empleados por el mismo trabajo? ¿Las telas

muestran una durabilidad diferente?

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS MEDIAS



¿Una dieta es mejor que la otra para el control de peso? ¿Las nuevas

técnicas didácticas mejoran sensiblemente el aprovechamiento de los

alumnos en matemáticas? En esta sección, introduciremos métodos que

nos permiten contestar las preguntas anteriores, mediante

procedimientos de la prueba de hipótesis.

Los supuestos para este tipo de pruebas, es que las varianzas de las

poblaciones sean iguales 22

21 σσ = , y que las poblaciones tengan una

distribución normal o aproximadamente normal.

Al estudiar dos poblaciones, la distribución de muestreo que nos

interesa ahora es la distribución de muestreo de /a diferencia entre dos

medias muestrales. La figura, 10 puede ayudamos a conceptualizar esta

distribución.



En la parte superior de la figura, se indican dos distribuciones

muestrales 1 2x y x de dos poblaciones, con medias 1 2yµ µ , así como sus

errores estándar, y en la parte inferior se señala la distribución de

muestreo de la diferencia entre las medias muestrales.

En las dos distribuciones teóricas de muestreo de la media están

integradas todas las muestras posibles que pueden extraerse de la

correspondiente distribución de la población. Ahora bien, supongamos

que tomamos una muestra aleatoria de la distribución de la población 1

y otra de la distribución de la población 2. Si restamos las "dos medias

muestrales”, obtendremos:

1 2x x− diferencia entre medias muestrales

Figura 10. Distribución muestral de la diferencia de medias 1 2x x− y su relación con las

distribuciones muestrales 1 2x y x



Esta diferencia será positiva si 1x es mayor que 2x y negativa si 2x es

mayor que 1x Al construir una distribución de todas las diferencias

posibles del muestreo de 1 2x x− , obtenemos la distribución de muestreo

de la diferencia entre las medias muestrales, como se indica en la figura

10.

La desviación estándar de la distribución de la diferencia entre las

medias muestrales recibe el nombre de error estándar de la diferencia

entre dos medias y se calcula aplicando esta fórmula:

1 2

2 21 2

1 2x x n n

σ σσ − = +

Si se conocen las desviaciones estándar de las poblaciones, si estas no

se conocen, es posible estimar el error estándar de la diferencia entre

dos medias de la siguiente forma:

ˆ Sσ =

Recordemos que la desviación estándar de la muestra se representa con

S, por lo tanto, la fórmula del error estándar estimado de la diferencia

entre medias se expresa así:

1 2

2 21 2

1 2

ˆ ˆˆ x x n nσ σσ − = +



Procedimiento para elaborar una prueba de hipótesis para dos medias

El procedimiento para elaborar una prueba de hipótesis para dos medias

es similar al que se utilizo para sola media y se muestra a continuación:

1. Obtención de los datos 2. Determinar el valor de α 3. Plantear las hipótesis según el tipo de prueba:

• Bilateral o de dos extremos

0 1 2

1 1 2

::

HH

µ µµ µ

=≠

• Unilateral a la izquierda •

0 1 2 0 1 2

1 1 2 1 1 2

: :: :

H HH H

µ µ µ µµ µ µ µ

= ≥< <

• Unilateral a la derecha

0 1 2 0 1 2

1 1 2 1 1 2

: :: :

H HH H

µ µ µ µµ µ µ µ

= ≤> >



4. Establecer las áreas de aceptación y rechazo de la hipótesis nula.2

5. Realizar la prueba estadística 6. Tomar una decisión. 7. Emitir una conclusión en términos del problema. Prueba estadística adecuada: La prueba estadística adecuada depende de la información obtenida en

el paso 1 del procedimiento.

1. Cuando σ1 y σ2 son conocidas, se utiliza la distribución “ Z “ de

probabilidad.

1 22 21 2

1 2

cx x

n nσ σ

−Ζ =

+

2. Cuando σ1 y σ2 no son conocidas. Si n1 y n2 son > 30, se utiliza la distribución “ z” de probabilidad.

2

22

1

21

21

nS

nS

xxc

+

−=Ζ

2 Se establecen de igual manera como en la prueba de hipótesis para una media, o una proporción, antes mencionada.



Si n1 y n2 son ≤ 30y el muestreo es independiente, se utiliza la

distribución “ t “ de student, de la siguiente forma:

( ) ( )1 2

2 21 1 2 2

1 2 1 2

1 1 1 12

cx xt

n S n Sn n n n

−=

− + −• +

+ −

Si n1 y n2 son ≤ 30 y el muestreo es dependiente, se utiliza la

distribución “ t “ student de la siguiente forma:

ndS

dtc =

Las muestras independientes son aquellas que poseen elementos

tales que los que conforman la muestra tomada de la población A, se

escogen de modo independiente de los elementos que conforman la

muestra tomada de la población B.

“Muestras independientes: muestras tomadas de dos poblaciones en

tal forma que los elementos que forman una muestra se eligen en forma

independiente de los que forman la otra muestra.”3

Para calcular lo grados de libertad cando se presentan este tipo

de muestreo se calculan con la formula que sigue:

2.. 21 −+= nnlg

3 Anderson, Sweeney, Williams, Estadística para administración y economía.



Las muestras apareadas, dependientes ó acopladas, son aquellas

que una vez seleccionados los elementos de la muestra de la población

A, se acoplan con una “gemela” de la muestra de la población B.

“Muestras apareadas: muestras en las que con cada dato de una

muestra se forman parejas con el dato correspondiente de la otra

muestra.” El uso de muestras dependientes nos permite realizar un

análisis más preciso, porque nos permite controlar factores extraños.

¿Cómo tratar las muestras: como independientes o dependientes? Para

contestar esta pregunta podríamos citar los ejemplos siguientes:

1. El INIFAP desea determinar si una nueva semilla

de maíz híbrido da un mayor rendimiento que una

antigua variedad normal. Si INIFAP pide a 10

agricultores registrar el rendimiento de una

hectárea sembrada con la nueva variedad y pide a otros 10 registrar el

rendimiento utilizando la misma superficie, sembrada con la antigua

variedad, las dos muestras serán independientes. Pero si pide a 10 agri-

cultores sembrar una hectárea con cada variedad y registrar los

rendimientos, las muestras serán dependientes y entonces conviene

aplicar la prueba de diferencia para muestras pareadas.

En el segundo caso, las diferencias debidas a fertilizantes, plaguicidas,

riego y otros factores se controlan porque cada agricultor da el mismo

tratamiento a sus dos parcelas. Por tanto, las, diferencias en el

rendimiento pueden ser atribuidas exclusivamente a la variedad de maíz

sembrada.



2. El director del grupo de secretarias en un gran bufete legal quiere

determinar si la velocidad del mecanografiado depende de la clase de

máquina de escribir que usan ellas. Si somete a prueba siete secretarias

que utilizan máquinas eléctricas y siete que utilizan máquinas

mecánicas, deberá tratar como independiente a cada muestra. Si prueba

dos veces a las mismas siete secretarias (una vez en cada tipo de

máquina de escribir), las dos muestras serán dependientes. En la

prueba de diferencia para muestras pareadas, las diferencias entre las

secretarias se eliminan como factor influyente, y entonces las

diferencias en la velocidad del mecanografiado pueden ser atribuidas a

las dos clases de máquina.

Para calcular lo grados de libertad en, muestras apareadas:

1.. −= nlg

A continuación se presentan ejemplos que ilustran los casos anteriores:



1. Una empresa estudia los tiempos de entrega de dos proveedores de

materia prima. En general, está satisfecha con el proveedor A, y lo

conservará si la media de su tiempo de entrega es igual o menor que la

del proveedor B. Suponga que unas muestras independientes dan las

siguientes características de tiempo de entrega para los dos

proveedores:

Proveedor A Proveedor B n = 50

14x = días 3S = días

n = 50 12.5x = días 2S = días

¿Qué acción recomendaría respecto a la elección del proveedor, con α = 0.05? SOLUCION

Observaciones: Se desea comparar los tiempos de entrega de dos proveedores, por lo tanto se debe aplicar una prueba de hipótesis para dos medias. Las desviaciones estándar de las poblaciones no se conocen, pero los tamaños de muestra son “grandes” n > 30, los que nos permite utilizar la distribución “Z”. Por otra parte la empresa está de acuerdo con su actual proveedor(A) y lo cambiara si encuentra evidencia de que los tiempos de entrega son mayores con respecto a un proveedor B, la prueba indicada es de un extremo a la derecha. 1. Datos

1µ Proveedor A

2µ Proveedor B

n = 50 14x = días 3S = días

n = 50 12.5x = días 2S = días

EJEMPLOS PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS MEDIAS



2. Determinar el nivel de significancia :

α = 0.05

3. Planteamiento de hipótesis

0 1 2

1 1 2

::

HH

µ µµ µ

≤>

4. Áreas de aceptación y rechazo de la hipótesis nula.

5. Realizar la prueba estadística adecuada:

1 2

2 2 2 21 2

1 2

14 12.5 2.943 250 50

cx xS Sn n

− −Ζ = = =

++



6. Tomar una decisión:

7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con α = 0.05, de que el

tiempo de entrega del proveedor A es mayor que la del proveedor B, se recomienda cambiar de proveedor o comprometer al actual proveedor que disminuya sus tiempos de entrega.

Rechazar H0



2. Una compañía constructora está preocupada por el tiempo que se

pierde debido a accidentes de trabajo. Por ello, dispuso montar un

programa de seguridad para reducir el tiempo perdido debido a dichos

accidentes. El programa duró 36 meses y, al finalizar, el tiempo perdido

por accidentes tuvo un promedio de 96 h mensuales, con una desviación

típica de 15h. En los 36 meses anteriores al programa de seguridad, el

tiempo perdido por accidentes promedió 110h mensuales con una

desviación estándar de 18h. Determine si fue efectivo el programa de

seguridad para disminuir el tiempo perdido por accidentes de trabajo. se

un nivel de significación de 5%.

SOLUCION

Observaciones: Se desea probar si la implementación de un programa de seguridad industrial disminuye el tiempo perdido por accidentes de trabajo, se van a comparar los tiempos perdidos que se tenían anteriormente con los obtenidos después de cierto período de implantación del programa, por lo tanto se debe aplicar una prueba de hipótesis para dos medias. Las desviaciones estándar de las poblaciones no se conocen, pero los tamaños de muestra son “grandes” n > 30, los que nos permite utilizar la distribución “Z”. 1. Datos

1µ Después del programa

2µ Antes del programa

n = 36 96x = horas 15S = horas

n = 36 110x = horas 18S = horas


α = 0.05




0 1 2

1 1 2

::

HH

µ µµ µ

=<



1 2

2 2 2 21 2

1 2

96 110 3.5915 1836 36

cx xS Sn n

− −Ζ = = = −

++


7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con α = 0.05, de que

los tiempos perdidos debido a los accidentes de trabajo ha disminuido después de implementar el programa de seguridad.

Rechazar H0



3. El director de una escuela cree que si se introduce equipo multimedia

a los distintos temas de conversación en la enseñanza del idioma inglés,

el estudiante adquiere mayor dominio de dicho idioma. Para poner a

prueba tal hipótesis, en la escuela se implemento un laboratorio

equipado con multimedia, se impartieron clases durante un periodo de

10 semanas (una hora diaria de lunes a viernes) a un grupo de 36

estudiantes; y utilizando los métodos actuales, a un grupo similar de 40

se le impartieron los mismos temas, pero sin utilizar la multimedia. Al

finalizar el curso se obtuvieron los siguientes resultados:

Grupo experimental (con multimedia)

Grupo de control (sin multimedia)

n = 36 alumnos

∑Χ= 2340

S = 9

n = 40 alumnos

∑Χ=2400

S = 12

Pruebe si los recursos de multimedia mejoraron el aprendizaje del

idioma inglés. Use α= 0.02.

SOLUCION

Observaciones: Se desea demostrar que la tecnología multimedia aumenta la comprensión del idioma ingles al comparar los resultados obtenidos con los que comúnmente se obtenían sin utilizar esta técnica, se debe aplicar una prueba de hipótesis para dos medias. Las desviaciones estándar de las poblaciones no se conocen, pero los tamaños de muestra son “grandes” n > 30, los que nos permite utilizar la distribución “Z 1. Datos

µ1 (con multimedia)

µ2 (sin multimedia)

n = 36 alumnos

65x =

S = 9

n = 40 alumnos

60x =

S = 12



2. Determinar el nivel de significancia:

α = 0.02


0 1 2

1 1 2

::

HH

µ µµ µ

=>



1 2

2 2 2 21 2

1 2

65 60 2.079 1236 40

cx xS Sn n

− −Ζ = = =

++


7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con α = 0.02, de que la tecnología multimedia incrementa la comprensión del idioma ingles.

Rechazar H0



4. Suponga que se toman muestras aleatorias independientes de 15

obreras sindicalizadas y 20 no sindicalizadas, todas ellas trabajaban a

destajo y se obtuvieron los siguientes salarios por día en pesos.

Obreras sindicalizadas

122.4 118.9 116.7 114.05 116.2 120.0 116.1 116.3

119.1 116.5 118.5 119.8 117.0 114.3 117.2

Obreras no sindicalizadas

117.6 114.4 116.6 115.0 117.65 115.0 117.55 113.3

111.2 115.9 119.2 111.85 116.65 115.2 115.3

¿Parece haber alguna diferencia en el salario promedio entre los dos

grupos?

SOLUCION

Observaciones: Se van a comparar los salarios de dos grupos de mujeres trabajadoras, se debe aplicar una prueba de hipótesis para dos medias. Las desviaciones estándar de las poblaciones no se conocen, y los tamaños de muestra son “pequeñas” n ≤ 30, los que nos indica que la distribución apropiada es la “t” de estudent con sus grados de libertad correspondientes, al utilizar a dos grupos de mujeres trabajadoras diferentes las muestras son independientes. 1. Datos

µ1 (obreras sindicalizadas)

µ2 (obreras no sindicalizadas)

n = 15 obreras

117.54x =

S = 2.24

n = 15 obreras

115.49x =

S = 2.21




α = 0.05


0 1 2

1 1 2

::

HH

µ µµ µ

=≠



( ) ( )2 2

117.54 115.49 2.5215 1 2.24 15 1 2.21 1 1

15 15 2 15 15

ct−

= =− + −

• ++ −


7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con α = 0.05, de que existe una diferencia significativa en los salarios de ambos grupos de mujeres trabajadoras.

Rechazar H0

. . 15 15 2

. . 282.05t

g lg l

t

= + −=

∴ =



5. Juan Díaz es un supervisor de producción en una línea de montaje de

las unidades de disco de una empresa ensambladora de computadoras.

Esta compañía contrató un sistema de música ambiental, con la

esperanza de que los trabajadores se relajen y aumenten su

productividad. El señor Díaz se muestra escéptico ante esa hipótesis y

teme que la música los distraiga y haga disminuir su productividad.

Muestreo la producción semanal de seis trabajadores antes que la

música fuera instalada y después de la instalación, a continuación se

muestran los datos que obtuvo:

Empleado 1 2 3 4 5 6

Semana sin música 137 140 148 147 143 140

Semana con música 142 136 158 145 150 148

¿Ha aumentado producción promedio? Utilice α = 0.025.

SOLUCION

Observaciones: Se va a compara la productividad de una muestra de empleados con dos ambientes de trabajo, sin y con música, Además a cada persona se le cuenta su productividad en cada ambiente de trabajo, por lo tanto se trata de un muestreo apareado, la distribución apropiada es la “t” de estudent con sus grados de libertad correspondientes 1. Datos

Empleado 1 2 3 4 5 6

Semana sin música µ1 137 140 148 147 143 140

Semana con música µ2 142 136 158 145 150 148

Diferencia (d) -5 4 -10 2 -7 -8

∑= d -24

24 4.06

d −= = −

5.69dS =



2. Determinar el nivel de significancia:

α = 0.02


0 1 2

1 1 2

::

HH

µ µµ µ

=<



4 1.725.696

cdt

Sdn

−= = = −


7. Conclusión: Se encontró evidencia estadística con α = 0.025, que la

productividad de los trabajadores es igual en los dos ambientes de trabajo, o bien no se encontró una diferencia significativa, es decir un ambiente de trabajo con música no incrementa la productividad.

Aceptar H0

. . 6 1

. . 52.57t

g lg l

t

= −=

∴ =



Se pueden determinar pruebas de hipótesis donde intervienen dos

poblaciones, cuando la diferencia entre sus respectivas proporciones es

de mayor importancia. Al igual que en la prueba de hipótesis para la

diferencia entre dos medias, en este caso, también se utiliza para

comparar dos situaciones, que sean similares entre sí.

Procedimiento para elaborar una prueba de hipótesis para dos proporciones. 1. Obtención de los datos 2. Determinar el valor de α 3. Plantear las hipótesis.

Bilateral

0 1 2

1 1 2

::

HH

π ππ π

=≠

Unilateral a la izquierda

0 1 2 0 1 2

1 1 2 1 1 2

: :: :

H HH H

π π π ππ π π π

= ≥< <

Unilateral ala derecha

0 1 2 0 1 2

1 1 2 1 1 2

: :: :

H HH H

π π π ππ π π π

= ≤> >

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA DOS PROPORCIONES



4. Establecer las áreas de aceptación y rechazo.4

5. Realizar la prueba estadística y tomar una decisión. 6. Emitir una conclusión en términos del problema.

Prueba estadística adecuada: Recordemos que la distribución binomial es la distribución correcta de

muestreo, únicamente tenemos que asegurarnos de que np y nq sean

mayores que cinco, para poder utilizar la distribución “Z”.

Para calcular la prueba estadística adecuada se utiliza la

siguiente formula.

σ 21

21

ppc

pp

−

−=Ζ

Para calcular el error estándar estimado de la diferencia entre

dos proporciones:

2

22

1

1121 n

qpn

qppp

•+

•=

−σ

4 De igual manera se establecen, como en la prueba de hipótesis para una proporción.



EJEMPLO: 1. El gerente de un restaurante de pizzas desea saber si los pedidos por

teléfono recibidos durante el día (A) y durante la noche (B) se entregan

a tiempo en la misma proporción. En una prueba de tres meses, tomo

una muestra de 250 de dichos pedidos (de día y de noche) y encontró

que 240 de día y solo 220 de noche son entregados a tiempo. Haga la

prueba con un nivel de significancia de 0.05.

1. DATOS * Pedidos de día n = 250 pedidos de los cuales p = 240 / 250= 0.96 q = 1 – 0.96 = 0.04 * Pedidos de noche n = 250 pedidos de los cuales p = 220 / 250= 0.88 q = 1 – 0.88 = 0.12 2. Determinar el valor de α α = 0.05 3. Plantear la hipótesis

0 1 2

1 1 2

::

HH

π ππ π

=≠



4. Áreas de aceptación y rechazo

33.3

25012.088.0

25004.096.0

88.096.0=

×+

×−

=cZ

5. Decisión: Rechazar H0 6. Conclusión Se encontró evidencia estadística con un nivel de significancia del 5% que los pedidos recibidos por teléfono durante el día y noche no se entregan en la misma proporción.

96.1475.0025.5.0

==−∴

z



Relacione las dos columnas y determine la letra que le corresponde a cada uno de los enunciados de la izquierda: Probabilidad de un error de tipo II. ( )

A. ERROR DE TIPO I

Conclusión que aceptamos cuando los datos no apoyan la hipótesis nula. ( )

B. HIPOTESIS

Hipótesis, o suposición, acerca de un parámetro de la población que deseamos probar, generalmente una suposición del status quo (situación actual). ( )

C. ALFA α

Rechazo de una hipótesis nula cuando es verdadera ( )

D. HIPOTESIS ALTERNATIVA

Aquellas que se extraen de dos poblaciones de modo que los elementos no sean seleccionados independientemente entre sí, a fin de permitir un análisis más preciso o controlar algunos factores extraños. ( )

E. HIPOTESIS NULA

Probabilidad de un error de tipo I. ( )

F. BETA β

Suposición, o conjetura, que hacemos sobre un parámetro de la población ( )

G. MUESTRAS DEPENDIENTES

Prueba de hipótesis, en la cual hay sólo una región de rechazo; es decir, únicamente nos interesa saber si el valor observado se desvía del supuesto valor en una dirección ( )

H. NIVEL DE SIGNIFICANCIA

Aceptación de una hipótesis nula cuando es falsa ( )

I. ERROR DE TIPO II

EVALUACIÓN DE CONOCIMIENTOS BÁSICOS



Continuación Relacione las dos columnas y determine la letra que le corresponde a cada uno de los enunciados de la izquierda: Prueba de hipótesis de un extremo, en la cual un valor muestral que está significativamente por encima del supuesto valor de la población llevará a rechazar la hipótesis nula. ( )

J. PRUEBA DE DIFERENCIAS PAREADAS

Valor que indica el porcentaje de los valores muestrales que se halla fuera de ciertos límites, suponiendo que la hipótesis nula sea correcta, esto es, la probabilidad de rechazarla cuando es verdadera. ( )

K. PRUEBA DE DOS EXTREMOS

Prueba de hipótesis en la cual se rechaza la hipótesis nula, si el valor muestral es significativamente mayor o menor que el supuesto valor del parámetro de la población; prueba que incluye dos regiones de rechazo. ( )

L. PRUEBA DE EXTREMO (COLA) SUPERIOR

Prueba de hipótesis de un extremo, en la cual un valor muestral que está significativamente por debajo del supuesto valor de la población nos llevará a rechazar la hipótesis nula. ( )

M. PRUEBA DE EXTREMO INFERIOR

Prueba de hipótesis de la diferencia entre las medias muestrales de dos muestras dependientes. ( )

N. PRUEBA DE UN EXTREMO (COLA)



1. La cadena de tiendas MARTI de artículos deportivos ha iniciado una

promoción especial para su horno de propano y piensa que la

promoción deberá culminar en un cambio de precio. Sabe que, antes

de comenzar la promoción, el precio promedio al menudeo del horno

era de $419.5 pesos, con una varianza de $2872.96 pesos. La tienda

muestrea 16 de sus detallistas una vez iniciada la promoción y

descubre que el precio medio de los hornos ahora es de $389.5 pesos.

En un nivel de significancia de .02, ¿tiene motivos para pensar que el

precio promedio al menudeo ha disminuido?

Solución: a) Zc = - 2.24 Se rechaza H0.

2. De año 2000 al 2005, la razón media de precio/ganancias de de las

acciones que cotizan en la Bolsa de Mexicana de Valores fue de

14.35%, con una desviación estándar de 9.73. En una muestra de 30

acciones elegidas al azar, la razón media de precio/ganancias fue de

11.77% en 2006. ¿Esta muestra ofrece suficiente evidencia para

afirmar (en un nivel de significancia de .05) que en el presente año la

razón media de la Bolsa Mexicana de Valores ha disminuido con

respecto a su valor anterior?

Solución: a) Zc = -1.45 Se acepta H0.

EJERCICIOS PROPUESTOS



3. Una fábrica de focos supone que la vida de su producto es de 145

horas, con una desviación estándar de 21 horas. De una muestra de

25 focos se obtiene una media muestral de 130 horas. En un nivel de

significancia de .01, ¿debe la compañía concluir que la vida media de

los focos es menor que las 145 horas supuestas?

Solución: a) Zc = - 3.57 Se rechaza H0.

4.Cinepolis sabe que una película de gran éxito se exhibirá un promedio

de 84 días con una desviación estándar de 10 días, en cada sala

donde se pase la cinta, El gerente de Cinepolis ubicado en plaza San

Marcos en Cuautitlan Izcalli desea comparar la popularidad de la

película de éxito en su región con la que alcanzó en otras sucursales

del país. Seleccionó aleatoriamente 75 Cinepolis del país y descubrió

que exhibieron la película un promedio de 81.5 días. Con un nivel de

significancia de 1 %, pruebe esta hipótesis.

Solución: a) Zc = - 2.17 Se acepta H0.

5. Un gerente afirma que la comisión promedio que cobra ESTAFETA por

los servicios de paquetería con 500 gramos o menos de peso es de

$144 pesos, con una desviación estándar de $52 pesos. Un contador

tomo una muestra aleatoria de 121 órdenes de los clientes y

determinó que pagaron un promedio de $151 pesos por los servicios

de paquetería. Con un nivel de significancia de .10, ¿podemos afirmar

que los costos de mensajería de Estafeta son superiores?

Solución: a) Zc = 1.48 Se rechaza H0.



6. Todos los días la PFP, descubre aproximadamente 28 millones de

pesos en artículos introducidos ilegalmente al país, (aduanas,

aeropuertos, puertos, puntos de venta, comercio informal etc.) con

una desviación estándar de $16 millones al día. En una muestra de 64

días, este organismo interceptó un promedio de 30.3 millones de

dólares en artículos de contrabando. ¿Indica esa muestra que a las

autoridades responsables les debe preocupar el hecho de que el

contrabando haya rebasado su nivel histórico?

Solución: a) Zc = - 1.15 Se acepta H0.

7. El consumo de gasolina en México había crecido a una tasa mensual

de .57%, con una desviación estándar de .10% al mes. En 15 meses

escogidos aleatoriamente, el consumo de gasolina aumentó a un

porcentaje promedio de apenas .43% por mes. En un nivel de

significancia de .01, ¿puede afirmar usted que el consumo de gasolina

ha disminuido?

Solución: a) Zc = -5.42 Se rechaza H0.

8. Un jugador consiguió un promedio de bateo de .343, con una

desviación estándar de .018. y encabezó la liga en el promedio de bateo

durante muchos años. Sin embargo, en el 2006 su promedio es apenas

de .306. El jugador está renegociando su contrato de la próxima

temporada, y el sueldo que obtendrá depende mucho de su capacidad

para convencer al dueño del equipo de que su promedio de bateo

anterior y el de la temporada 2006 no difiere significativamente. Si el

dueño está dispuesto a usar un nivel de significancia de .02, ¿reducirá el

sueldo del jugador en el próximo año?

Solución: a) Zc = -2.06 Se rechaza H0.



9. El 19% de las amas de casa prefiere la marca “Colgate” según lo

publicado por una revista el año pasado. Se hizo un estudio y se

muestreó 85 amas de casa y se encontró que 14.12% de ellas

prefieren la marca. Con un nivel α de 0.04, ¿hay pruebas de que la

marca ha disminuido en las preferencias de las amas de casa?

Solución: Zc = -1.14 Se acepta H0.

10. Crédito Familiar sucursal Cuautitlan I en el último año otorgo más

de 9500 prestamos, 350 fueron muestreados para determinar qué

proporción fue concedida a las mujeres. La muestra reveló que 41 %

de los préstamos se otorgaba a las mujeres. Un estudio similar,

efectuado hace 5 años, mostró que 35% de los prestatarios eran

mujeres. En un nivel de slgnificancia de .02, ¿puede usted afirmar

que la proporción de préstamos otorgados a las mujeres ha

cambiado significativamente durante los últimos 5 años?

Solución: Zc = -2.35 Se rechaza H0.

11. Algunos teóricos de las finanzas piensan que los precios diarios del

mercado de valores, constituyen una "fluctuación aleatoria con

tendencia positiva". Si tienen razón, entonces el promedio industrial

Dow Jones habrá de mostrar una ganancia en más del 50% los días

de actividad bursátil. Si el promedio aumentará en 101 de 175 días

seleccionados aleatoriamente, ¿qué pensaría usted de la teoría

anterior? Use un nivel de significancia de .01.




12. La “Costeña” está a punto de decidir si producir una marca nueva de

tomate con mucho condimento. El departamento de investigación de

la compañía aplicó una encuesta telefónica a nivel nacional en 6,000

familias y averiguó que la salsa sería comprada por 335 de ellas. Un

estudio mucho más exhaustivo hecho 2 años antes reveló que 5% de

las familias comprarían la marca entonces. En un nivel de

significancia de 2%, ¿deberá la compañía concluir que hay un mayor

interés en el sabor más condimentado?


13. Un fabricante de cortadoras de pasto quiere comparar la

confiabilidad de los aparatos que él produce con la de otra marca

que se expende a nivel nacional. Sabe que 15% de las cortadoras de

su competidor requieren reparación durante él primer año de uso.

Una muestra de 120 de sus clientes reveló que, 22 de ellos,

necesitaban reparaciones el primer año de uso. En el nivel de

significancia de .02, ¿hay evidencia de que las cortadoras del

comerciante difieren en su confiabilidad de las de su competidor?

Solución: Zc = 1.02 Se acepta H0.

14. Si tenemos una media muestral de 15.7, una desviación están dar

de la muestra de 6 y un tamaño de la muestra de 16, pruebe la

hipótesis de que el valor de la media de la población es 17 contra la

alternativa de que éste sea menor que 17. Use un nivel de

significancia de .025.

Solución: tc = -0.87 Se acepta H0.



15. Si una muestra de 20 exámenes revela una media muestral de 16

aciertos y una variancia muestral de 2.25 aciertos pruebe la

hipótesis de que la media de la población es de 15 aciertos, contra

la alternativa de que sea algún otro valor. Use el nivel de


Solución: tc = 2.98 Se rechaza H0.

16. Un vendedor de bienes raíces tomó una muestra aleatoria de 7

casas en una zona del municipio de Atizapan de Zaragoza en el

estado de México y encontró que el valor promedio estimado del

mercado era de $560,000 pesos, con una desviación estándar de

$49,000 pesos. Pruebe la hipótesis de que, para todas las casas de

la zona, el valor medio estimado es inferior de $600,000 pesos. Use

el nivel de significancia de .05.

Solución: tc = -2.16 Se rechaza H0.

17. El departamento de procesamiento de datos de la compañía de

seguros de vida MetLife México ha instalado nuevas terminales de

video a colores para reemplazar las unidades monocromáticas

usadas anteriormente. Los 95 operadores capacitados para emplear

las nuevas máquinas necesitaban un promedio de 7.2 horas antes de

alcanzar un nivel satisfactorio de rendimiento. Su variancia muestral

fue de 16.2 horas al cuadrado. La larga experiencia con operadores

en las antiguas terminales monocromáticas revela que tenía un

promedio de 8.1 horas en las máquinas antes de dar un rendimiento

satisfactorio. En un nivel de significancia de .01, ¿debe el supervisor

del departamento llegar a la conclusión de que es más fácil aprender

a operar las nuevas máquinas?




18. Un documental de televisión dedicado a la comida chatarra afirmó

que, en promedio, los norteamericanos tienen un exceso de peso de

10 libras aproximadamente. Para probar esta hipótesis, se tomó una

muestra de 18 personas seleccionados aleatoriamente, y se

descubrió que su exceso promedio de pesó era de 12.4 libras, con

una desviación están dar de la muestra de 2.7 libras. En un nivel de

significancia de .01, ¿hay razones para dudar de lo mostrado en el

documental?


19. Un distribuidor, de software para sistemas operativos de

computadoras personales está planeando la oferta inicial de sus

existencias al público, a fin de reunir suficiente capital de trabajo y

financiar el desarrolló de un sistema integrado de la séptima

generación. Con las actuales ganancias de $1.61 por acción, el

distribuidor y sus suscriptores estaban considerando un precio de

oferta de $21, o sea 13 veces las ganancias. A fin de verificar si el

precio es adecuado, escogieron en forma aleatoria 7 firmas de

software cotizadas en la bolsa de valores y descubrieron que su

razón promedio de precio/ganancias era de 11.6, con una desviación

estándar de la muestra de 1.3. Cuando α = .02, ¿puede el

distribuidor afirmar que las acciones de las empresas de software

cotizadas en la bolsa de valores tienen una razón promedio de

precio/ganancias que es significativamente diferente de 13?




20. Se reunieron dos muestras independientes de observaciones. En la

primera muestra de 40 elementos, la media fue de 198 y la

desviación estándar de 15. La segunda muestra de 55 elementos

tenía una media de 204 y una desviación estándar de 11. Usando α

= .01, pruebe si puede considerarse razonablemente que las dos

muestras provienen de poblaciones que tengan la misma media.


21. Para celebrar su primer aniversario, Raúl Pérez decidió comprarle a

su esposa unos aretes de diamantes. Le mostraron 9 pares con

gemas de marquesa que pesaban aproximadamente 2 quilates cada

par. Debido a las diferencias de color y calidad de las piedras, los

precios variaban de un juego a otro. El precio promedio era de

$2,990 pesos con una desviación estándar de $370 pesos. Raúl

también examinó 6 pares con piedras en forma de pera, que tenían

aproximadamente el mismo peso de dos quilates. Estos aretes

costaban un precio promedio de $3,065 pesos, con una desviación

estándar de $805 pesos. Basándose en esta evidencia, ¿puede Raúl

concluir (en un nivel de significancia de .05) que, los diamantes en

forma de pera cuestan más en promedio que los diamantes de

marquesa?




22. Los datos que muestra a continuación son

una muestra aleatoria de 9 empresas

escogidas de la revista The Wall Street

Journal del 5 de febrero de 2006. ¿Fueron en

promedio diferentes las ganancias por

acción en 2004 y 2005? Realice la hipótesis

con α = .02.

Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ganancias en 1984 1.38 1.26 3.64 3.50 2.47 3.21 1.05 1.98 2.72 Ganancias en 1985 2.48 1.50 4.59 3.06 2.11 2.80 1.59 0.92 0.47


23. En las negociaciones de la revisión del contrato colectivo de las

AAPAUNAM, el sindicato realizó entrevistas

entre sus agremiados, para averiguar si

preferían un incremento considerable en

primas para la jubilación o un aumento más

pequeño al salario. En una muestra de 1000

hombres, 743 se pronunciaron en favor del

incremento en las primas para la jubilación.

De 500 mujeres entrevistadas, 405

estuvieron en favor del aumento a las primas de jubilación. Pruebe la

hipótesis según la cual proporciones iguales de hombres y mujeres

favorecen el incremento de las prestaciones de la jubilación. Use un

nivel de slgnificancia de .05.




24. Una muestra de 32 fondos de inversión que ofrecen los bancos a los

ahorradores; mostró que su tasa anual

promedio de rendimiento durante el año

de 2006 fue de 7.23%, con una

desviación estándar de la muestra de .51

%. Un año antes, una muestra de 38

fondos de inversión tuvo una tasa

promedio de rendimiento de 8.36%, con

una desviación estándar de la muestra de .84%. ¿Es razonable

concluir que las tasas de interés de este instrumento de inversión

han disminuido durante 2006?


25. Dos laboratorios de investigación han producido independientemente

medicamentos que dan alivio a los que

sufren artritis. El primer fármaco fue

probado en un grupo de 90 víctimas de

artritis, dando un promedio de 8.5 horas

de alivio, con una desviación estándar de

1.8 horas. El segundo fármaco fue

probado en 80 víctimas de artritis y produjo un promedio de 7.9

horas de alivio, con una desviación estándar de 2.1 horas. En un

nivel de significancia de .05, ¿ofrece el segundo medicamento un

periodo significativamente más corto de alivio?

Solución: Zc = 1.8 Se rechaza H0.



26. Dos secciones de una gran ciudad

están siendo consideradas como sede

de centros de atención diurna. De 200

familias entrevistadas en una sección,

la proporción en que la madre

trabajaba de tiempo completo fue de

0.52. En la otra sección, 40% de las

150 familias entrevistadas tenían

madres que trabajaban en empleos de tiempo completo. En un nivel

de significancia de .04, ¿existe una diferencia significativa en la

proporción de madres que trabajan en las 2 áreas de la ciudad?

Solución: Zc = 2.25 Se rechaza H0.

27. Una planta eléctrica alimentada con carbón está estudiando la

posibilidad de instalar 2 sistemas diferentes de anticontaminación. El

primero ha reducido la emisión de contaminantes a niveles

aceptables 68% de las veces, determinados con 200 muestras de

aire. El segundo sistema, más costoso, ha disminuido las emisiones

a niveles aceptables en 76% de las veces, determinados con 250

muestras de aire. Con un nivel α = 0.02 determine si el segundo

sistema es más eficiente para disminuir la contaminación.




28. Banca Serfin quiere determinar

la eficiencia de sus nuevos

ejecutivos de cuenta en la

obtención de clientes. Luego de

terminar su capacitación, los nuevos ejecutivos dedican varias

semanas a conseguir clientes para que abran cuentas en el banco.

Los datos que se muestran a continuación representan el número de

nuevas cuentas abiertas en sus dos primeras semanas por 10

ejecutivas y 8 ejecutivos de cuenta seleccionadas al azar. ¿Podría

concluirse que las mujeres son más eficaces en obtención de nuevas

cuentas que los hombres?

Número de cuentas nuevas Ejecutivas de cuenta 12 11 14 13 13 14 13 12 14 12 Ejecutivos de cuenta 13 10 11 12 13 12 10 12

Solución: tc =2.25 Se rechaza H0.

29. La PROFECO selecciona varios modelos de automóvil y evalúa su

ahorro de combustible. En el estudio de este año sobre 2 modelos

subcompactos de 2 fabricantes, el Kilometraje promedio de 12

automóviles de marca A fue de 10.94 kilómetros por litro, con una

desviación están dar de 1.53 kilómetros por litro. Las 9 unidades de

la marca B que fueron probadas arrojaron un promedio de 12.9

kilómetros por litro con una desviación estándar de 1.73 kilómetros

por litro. Con alfa al 2%, ¿debe llegarse a la conclusión de que los

automóviles de ambas marcas tienen el mismo rendimiento de

kilometraje por litro de gasolina consumido?




30. A nueve proveedores de la FESC de equipo de cómputo se les

solicito una cotización de 2 impresoras semejantes tipo láser. Los

resultados de estas cotizaciones se muestran a continuación. ¿Es

razonable afirmar que, en promedio, la impresora marca HP cuesta

menos que la impresora Xerox?

Distribuidor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Precio de HP 3500 4190 3850 3600 4050 3950 3890 4090 3750

Precio de Xerox 3700 4250 3690 3750 3890 3850 3950 4250 4000


31. Un fabricante de auto partes acaba de desarrollar dos nuevos

limpiaparabrisas de dos materiales sintéticos, desea investigar si los

limpiaparabrisas tienen la misma durabilidad. Equipa 12

automóviles, pertenecientes a empleados de la empresa, con

limpiaparabrisas fabricados de los dos materiales sintéticos. En 6 de

los vehículos el limpiaparabrisas derecho fue fabricado con el

material A y el de la izquierda con el material B; en otros 6

automóviles, el material A se utilizó en el limpiaparabrisas izquierdo.

Los automóviles fueron conducidos en condiciones normales de

manejo hasta que los limpiaparabrisas empezaron a deteriorarse y

ya no limpiaban bien. Los datos anexos proporcionan la vida útil (en

días) de los limpiaparabrisas. ¿Tienen la misma durabilidad los

limpiaparabrisas fabricados con los dos materiales sintéticos?

Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Limpiaparabrisas Izquierdo 162 323 220 274 165 271 233 156 238 211 241 154

Limpiaparabrisas Derecho 183 347 247 269 189 257 224 178 263 199 263 148




32. Una fábrica de pastillas de RAM (memoria de acceso aleatorio) para

computadoras está en vías de decidir si sustituirá su actual línea de

montaje semi automatizada por una línea totalmente automatizada.

Esta empresa ha reunido algunos datos de pruebas preliminares

sobre la producción de pastillas por hora, datos que se presentan a

continuación, y quisiera saber si debe mejorar su línea de montaje.

Formule (y pruebe con α = .02) las hipótesis correspondientes para

ayudarle a llegar a una decisión.

s n Línea semiautomática 198 32 150

Línea automática 206 29 200


33. Un club de salud ha estado anunciando un riguroso programa de

acondicionamiento físico. El club sostiene que, al cabo de 1 mes en

el programa, el participante promedio será capaz de hacer en dos

minutos 8 planchas más de las que podía hacer al inicio del

programa. Se tomo una muestra de 10 participantes que están en el

programa ¿Qué opina de la afirmación del club? Use el nivel de


Participante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 38 11 34 25 17 38 12 27 32 29

Después 45 24 41 39 30 44 30 39 40 41


x



34. Un grupo de médicos clínicos está efectuando pruebas con algunos

pacientes para determinar la eficiencia de un nuevo antihipertensivo.

Un grupo de enfermos con hipertensión fueron elegidos al azar y

luego fueron asignados aleatoriamente al grupo de control (que

recibía un antihipertensivo bien probado) o al grupo experimental

(que recibía el nuevo fármaco). Los médicos anotaron el porcentaje

de pacientes cuya presión sanguínea se redujo a un nivel normal en

el lapso de un año. En un nivel de significancia de 0.01, pruebe las

hipótesis apropiadas para comprobar si el nuevo medicamento es

significativamente más eficaz que el anterior para reducir la

hipertensión.

GRUPO PROPORCIÓN QUE MEJORÓ

NUMERO DE PACIENTES

Experimental 0.45 120 Control 0.36 150

Solución: Zc = 1.50 Se acepta H0.

35. Un armador de automóviles piensa que es exagerada la afirmación

del fabricante de llantas pues asegura que la vida de sus productos

es de 40,000 millas. El distribuidor registra cuidadosamente el

millaje obtenido con una muestra de 64 de esas llantas. La media

resulta ser 38,500 millas. La desviación estándar de la vida de todas

las llantas de este tipo fue calculada antes por el fabricante en 7,600

millas. Suponiendo que el millaje tiene una distribución normal,

determine el máximo nivel de significancia en el cual aceptaremos la

afirmación del fabricante respecto a la vida de sus llantas.

Solución: α = 0.0571



36. Recientes investigaciones han mostrado

que al menos 40% de los adultos toman

regularmente una taza de café durante el

desayuno. Una muestra aleatoria de 450

individuos reveló que 200 de ellos solían

tomar café en el desayuno. ¿Cuál es el valor

probable de α en una prueba de hipótesis

que pretende demostrar que la afirmación

de las investigaciones era correcta? (Sugerencia: pruebe H0:π=0.4

frente a H1: π>0.4)


37. Un taller usa una sierra controlada por una máquina para cortar

secciones de los tubos que se emplean en los aparatos de medición

de la presión. La longitud de las secciones está normalmente

distribuida, con una desviación estándar de .06 pulg. Se han cortado

25 piezas con la máquina calibrada para cortar secciones de 5.

Pulgadas de largo. Cuando se las midió, su longitud media fue de

4.97 pulgadas. Use valores probables de α para determinar si la

máquina debería ser recalibrada porque la longitud media es

significativamente diferente de 5 pulgadas.




38. Una empresa de servicios educativos anuncia que 80% de las veces

su curso de preparatoria aumentará la puntuación de un individuo en

los exámenes de admisión a la universidad. El director de

mercadotecnia de la empresa, desea averiguar si se trata de una

afirmación razonable. Ha examinado los registros de 125 estudiantes

que se inscribieron en el curso y descubrió que 94 de ellos

efectivamente aumentaron su puntuación. Use valores probables de

α para determinar si los anuncios de la empresa de servicios

educativos deben cambiarse porque el porcentaje de los estudiantes

cuyas calificaciones aumentan es significativamente diferente de

80%.


39. La biblioteca de la FESC

sospecha que el número

promedio de libros

prestados a cada alumno

por semana ha cambiado

en los últimos años.

Anteriormente, un

promedio de 3.4 libros se

prestaban a los alumnos

por semana. Sin embargo, una muestra reciente de 23 estudiantes

dio un promedio de 4.3 libros por semana, con una desviación

estándar de 1.5 libros. En un nivel de significancia de .01, ¿ha

aumentado el promedio de libros prestados?




40. La PROFECO investiga las acusaciones contra una

embotelladora que recientemente inicio operaciones

en el país BIGCOLA, porque no llena los refrescos

correctamente, ha muestreado 200 botellas y ha

descubierto que el contenido promedio es de 31.7

onzas de líquido. En la etiqueta de las botellas se

imprimió un contenido neto de 32 onzas de líquido.

Se sabe que la desviación están dar del proceso es

de 1.5 onzas de líquido. ¿Deben los inspectores llegar a la conclusión

de que, las botellas no están siendo llenadas correctamente? Use un

α=0.02.


41. El grupo Steren vende todo lo relacionado a la

electrónica y sus componentes. Ha tenido mucho

éxito en muchas ciudades donde hay

universidades, pero también ha sufrido algunos

fracasos. Un análisis de estos últimos la ha

llevado a adoptar una política de no abrir una tienda a menos que

tenga una seguridad razonable de que por lo menos 15% de los

estudiantes de la ciudad compren sus productos. Una encuesta de

300 de los 2,400 estudiantes realizada en un pequeño colegio de

humanidades, ha revelado que 57 de ellos comprarían sus

productos. Si la empresa está dispuesta a correr un riesgo de 5%,

¿debe abrir una tienda en esta localidad?



42. En 1982, una encuesta de 50 hospitales municipales de Estados

Unidos reveló una tasa promedio de ocupación de 73.6%, con una

desviación estándar de 18.2%. Otra encuesta de 75 hospitales

municipales, realizada en 1985, descubrió una tasa promedio de

ocupación de 68.9%, con una desviación estándar de 19.7%.

¿Podemos afirmar que la tasa promedio de ocupación ha aumentado

significativamente durante los 3 años transcurridos entre las

encuestas?

43. En respuesta a las críticas concernientes al extravío de

correspondencia, SEPOMEX implantó nuevos procedimientos para

resolver el problema. Al jefe de correos se le ha asegurado que con

este cambio se reducirán las pérdidas por debajo del porcentaje

tradicional de 0.3%. Después de que los nuevos procedimientos

llevaban 2 meses en vigor, SEPOMEX patrocinó una investigación en

la cual un total de 8,000 cartas fueron enviadas desde varias partes

del país. Dieciocho de ellas no llegaron a su destino. En un nivel de

significancia de .10, ¿puede el jefe de correos afirmar que los nuevos

procedimientos cumplieron su cometido?

44. Si queremos aceptar la hipótesis nula 75% de las veces cuando es

correcta, ¿dentro de cuántos errores estándar alrededor de la

supuesta media debe caer la media muestral para que se halle en la

región de aceptación? ¿Y dentro de cuántos debe caer si queremos

tener una seguridad de 96% de aceptar la hipótesis nula cuando sea

verdadera?



45. Una compañía está tratando de mejorar

la distribución de su producto estrella

Yacult. Para lograrlo ha ampliado su fuerza

de ventas pues quiere introducir el

producto en nuevos locales. Antes del

incremento de la fuerza de ventas, la

compañía muestreó 150 tiendas de

abarrotes y averiguó que 44% de ellas

expendían el producto. Luego de contratar a más vendedores, una

muestra de 200 tiendas de abarrotes indicó que 52% de ellas vendían

Yacult. Con α = 0.04, ¿puede la compañía concluir que la distribución

del Yacult ha mejorado?

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