Prueba de la segunda derivada para extremos locales

En vez de buscar los cambios de signo en f’ en los puntos críticos, algunas veces podemos usar la siguiente prueba para determinar la presencia y el carácter de los extremos locales.

TEOREMA 5 Prueba de la segunda derivada para extremos locales

Supongamos que f” es continua en un intervalo abierto que contiene a x = c.

1. Si f’ (c) = 0 y f” (c) < 0, f tiene un máximo local en x = c.2. Si f’ (c) = 0 y f” (c) > 0, f tiene un mínimo local en x = c.3. Si f’ (c) = 0 y f” (c) = 0, la prueba falla. La función f puede tener un máximo local, un mínimo

local, o ninguno de ellos.

Demostración Parte (1). Si f” (c) < 0, entonces f” (x) < 0 en algún intervalo abierto l que contenga el punto c, ya que f” es continua. Por lo tanto, f” decrece l. Como f’ (c) = 0, el signo de f’ cambia de positivo a negativo en c, de manera que, según la prueba de la primera derivada, f tiene un máximo local en c.

La demostración de la parte (2) es similar.

Para la parte (3), considere las tres funciones y = x4 , y = -x4, y y = x3. Para cada función, la

primera y segunda derivadas sin cero x = 0. Aunque la función y = x4 tiene un mínimo local ahí,

y = -x4 tiene un máximo local, y y = x3 es creciente en cualquier intervalo abierto que contenga x = 0 (no tiene máximo, ni mínimo ahí). En consecuencia, la prueba falla.

Esta prueba requiere que conozcamos f” solamente en c y no en un intervalo alrededor de c. Esto hace que la prueba sea fácil de aplicar. Esta es la buena noticia; la mala es que la prueba no es concluyente si f” = 0 o si f” no existe en x = c. Cuando pasa esto es preciso usar la prueba de la primera derivada para valores extremos locales.

Juntas, f’ y f” nos indica la forma de la grafica de la función; esto es, nos dicen en donde se localizan los puntos críticos y que pasan en ellos, en donde es creciente y en donde es decreciente la función, y si la curva abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de su concavidad.

Ejemplo: Uso de f’ y f” para graficar f

Graficar la función

f(x) = x4 - 4x3 + 10

Usando los pasos siguientes:

A. Identificar en donde se alcanzan los extremos de f. B. Encontrar los intervalos en los que f es creciente y en los que es decreciente.C. Encontrar en que parte la gráfica de f es cóncava hacia arriba y en que parte es cóncava

había abajo.D. Dibujar la forma general de la grafica para f. E. Trazar algunos puntos específicos, tales como los puntos máximos y mínimos locales, los

puntos de inflexión y las interacciones con los ejes. Después, dibujar la curva.

Solución f es continua, ya que f’(x) = 4x3 + 12x2 existe. El dominio de f es (-∞, ∞), y el dominio de f’ también es (-∞, ∞). Por lo tanto, los puntos críticos de f se alcanzan solamente en los ceros de f’. Como:

f’(x) = 4x3 + 12x2 = 4x2 (x - 3)

La primera derivada es cero en x = 0 y en x = 3.

Intervalos x < 0 0 < x < 3 3 < x

Signo de f’ - - +

Comportamiento de f’ Crecimiento Decrecimiento Crecimiento

A. Usando la prueba de la primera derivada para extremos locales y la tabla anterior, vemos que no existe un extremo en x = 0, ni un mínimo local en x = 3.

B. Usando la tabla anterior, vemos que f es decreciente en (-∞, 0] y [0, 3], y creciente en [3, ∞).

C. f’(x) = 12x2 – 24 x = 12x (x – 2) es cero en x = 0 y x = 2.

Intervalos x < 0 0 < x < 2 2 < x

Signo de f’ + - +

Comportamiento de f’ Cóncavo Cóncavo Cóncavo hacia arriba hacia abajo hacia arriba

Vemos que f es cóncava hacia arriba en los intervalos (-∞, 0), y (2, ∞), y cóncava hacia abajo en (0, 2).

D. Resumiendo la información de las dos tablas anteriores, obtenemos:

X < 0 0 < X < 2 2 < X < 3 3 < X

Decreciente Decreciente Decreciente Creciente Cóncavo Cóncavo Cóncavo CóncavoHacia arriba Hacia abajo Hacia arriba Hacia arriba

La forma general de la curva es:

E. Dibuje las interacciones con los ejes, y los puntos donde y, y y” son cero. Indique todos los valores extremos y los puntos de inflexión.