PRUEBA DE MATEMÁTICA INSTRUCCIONES FORMA UST...

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Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.

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PRUEBA DE MATEMÁTICA INSTRUCCIONES FORMA UST-115

1.- Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.- Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.

3.- Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.

4.- Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.

5.- Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas N°74 a N°80, que se encuentran a continuación de la pregunta N°73. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

6.- No se descontarán del puntaje las preguntas erróneas.

7.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.

8.- Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.

9.- Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

10.- Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen los resultados.

11.- A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

12.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está prohibida su reproducción parcial o total.

FIRMA . . –

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INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede

consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

2. Las figuras que aparecen en la prueba son solo indicativas.

3. Los gráficos que se presentan en esta prueba están dibujados en un

sistema de ejes perpendiculares.

4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al

lanzarlo las caras son equiprobables de salir.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

< ≅>≤ ⊥≥ ≠

∈

φ

es menor que es congruente cones mayor que ~ es semejante con

es menor o igual a es perpendicular aes mayor o igual a es dist int o deángulo recto // es paralelo aángulo pertenece a

log logaritmo en base 10 AB trazo ABconjunto vacío x v

∢

∪∩ c

alor absoluto de x

unión de conjuntos x! factorial de xintersección de conjuntos A complemento del conjunto A

u vector u�

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3

1. 3 11 24 2 − − =

A) 18

−

B) 18

C) 58

D) 38

E) 1

2. Los números racionales a, b, c y d están ubicados en la recta numérica, como en la siguiente figura.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) bc puede ser irracional.

II) entre c y d existen infinitos números racionales. III) a b⋅ es siempre un número racional.

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

3. El número 1,35791, aproximado por redondeo

A) a la décima resulta 1,3. B) a la milésima resulta 1,358. C) a la unidad resulta 0. D) a la centésima resulta 1,35. E) ninguna de las afirmaciones es correcta.

0 a b c d 1

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4

4. Carlos recolecta de su huerto 25 kg de lentejas y les regala la mitad a sus hermanos y las dos terceras partes del resto a sus padres, entonces ¿con cuánto se queda Carlos, en kg, aproximado por redondeo a la centésima?

A) 4,2 B) 4,1 C) 4,18 D) 4,17 E) 4,16

5. Si 0 t 1< < y s es el recíproco de t, entonces ¿cuál(es) expresiones es (son) igual(es) a 1?

I) 2st−

II) 1

st

−

III) st

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III F)

6. Si a 5,1 unidades se le resta 56 unidades, y luego se resta

23 unidades,

¿cuánto es la mitad del resto?

A) 6536 unidades.

B) 11318 unidades.

C) 17418 unidades.

D) 8936 unidades.

E) Otro valor.

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5

7. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) 4 22 3 7− + = −

II) ( )2

59:0,6 1,5

4 =

III) Todo número racional multiplicado por su recíproco resulta igual a 1.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

8. Si se tienen los números reales negativos r, s r 1= + y t s 1= + , entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) s1

r<

B) t 2 r− =

C) t ss r

>

D) t r 2n+ = , con n un número entero negativo. E) t s 0− >

9. Si blog m x= y blog p w= , con m positivo, y p, b mayores que 1,

entonces es FALSO que

A) ( )bx w log m p+ = ⋅

B) xb m=

C) wp b=

D) p

xlog m

w=

E) b bx w log m log p⋅ = + , si p=b.

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10. Sean los números p, racional y 4q p= . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) p q+ es siempre irracional.

II) 2q puede ser entero.

III) pq es siempre un número real.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

11. Si A 11= , 8

B3

= − , 65

C2

= y D 2 3= , entonces el orden de los

números de mayor a menor es

A) C, D, A, B B) D, A, B, C C) C, B, A, D D) C, D, B, A E) D, C, A, B

12. Si z a bi= + y z es su conjugado, es siempre verdadero que

A) z z 2a 2bi+ = +

B) z z 2bi− =

C) 2 2z z a b⋅ = −

D) 2 2z a b= +

E) 1z

z=

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13. La siguiente tabla expresa las equivalencias entre las distintas medidas de velocidad de transmisión de datos: 1 Terabyte por segundo (TB/s) 1.000 Gigabytes por segundo 1 Gigabyte por segundo (GB/s) 1.000 Megabytes por segundo 1 Megabyte por segundo (MB/s) 1.000 Kilobytes por segundo 1 Kilobyte por segundo (KB/s) 1.000 Bytes por segundo 1 Byte por segundo (B/s)

De acuerdo a estos datos, ¿cuál de las siguientes igualdades es FALSA?

A) 1 MB/s = 310 KB / s

B) 1 GB/s = 910 B / s−

C) 1 TB/s = 610 MB / s

D) 1 KB/s = 610 GB / s

E) 1 B/s = 1210 TB / s

14. Si π aproximadamente es 3,14159265359, entonces el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide

I) 1 cm, aproximado por exceso a la milésima, es de 6,284 cm. II) 0,5 cm, aproximado por defecto a la diezmilésima, es de

3,1414 cm. III) 2 cm, aproximado por redondeo a la décima, es de 12,6 cm.

Es (son) verdadera(s)

A) solo I B) solo I y II C) solo I y III D) solo II y III E) I, II y III

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8

15. En el siguiente plano complejo se tienen los números z y w. De acuerdo a él,

zzw

+ es igual a

A) 13 9i5

− +

B) 22 4i5−

C) 1 i3+

D) 5 9i5

− +

E) 6 8i2 i

− −− −

16. 75 108

6

− =

A) 2−

B) 22

−

C) 2

D) 1

2

E) 11

2−

Im

Re

z

w

4

–3 –2

–1

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9

17. Si a y b son números reales distintos de 0 y a ≠ b la expresión

2 2 2 2

a b a–b–

a–b a ba – ab b a ab ba–b a b

++

+ + +++

es equivalente a

A)

B)

4a2

a2 –b2

C)

D)

E)

18. Si la diferencia entre xc 1+

y b es igual a x 1c+, con c 0≠ y c 1≠ − ,

entonces el valor de b es

A) xc

−

B) ( )1c 1

−+

C) ( )1

c c 1−

+

D) ( )x c 1c c 1

+ +−+

E) ( )1 c xc c 1

+ −+

2ba2

4–b2

4aba2 –b2

2aba2 + b2

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19. Sea x el lado menor de un rectángulo cuyo lado mayor mide el doble del lado menor. Si aumenta su lado menor en 2 unidades y su lado mayor en 3 unidades. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la diferencia positiva entre las áreas de estos dos rectángulos?

A) B) 7x+6 C) x+1 D) 10 E) 6

20. ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas es (son) compatible(s) determinado(s)?

I)

II)

III)


4x2 + 7x + 6

x –2y + 5 = 03x + 5 = 7 + 6y

5x–9y = 6x–5y = 2

3x + 5y = –106x +10y + 20 = 0

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21. Una empresa de telefonía ofrece en promoción un plan multimedia con un cargo fijo mensual de $ 23.990, con una tarifa de $ 79 el minuto adicional a todo destino. Si x representa los minutos adicionales que utiliza un usuario de este plan, ¿cuál de las siguientes funciones modela lo que debe pagar? A) f(x) = 23.990 B) g(x) = 23.990x – 79 C) h(x) = 23.990 – 79x D) j(x) = 23.990x + 79 E) m(x) = 23.990 + 79x

22. Para un evento, dos amigas requieren de vasos plásticos y vasos térmicos. Tienen dos cotizaciones: en la primera cada vaso plástico cuesta $ 24 y cada vaso térmico cuesta $ 20 y el valor total a pagar sería $ 4.480. En la segunda cotización cada vaso plástico tiene un valor de $ 30 y cada vaso térmico cuesta $ 15, en este caso el valor total a pagar sería de $ 4.800. ¿Cuántos vasos de plástico necesitan comprar estas dos amigas? A) 40 B) 80 C) 120 D) 200 E) 680

23. ¿En cuál de las siguientes ecuaciones las soluciones son reales y distintas? A)

B)

C)

D) E)

2x2 + 5 = 0

3 x2 + 2x +1( ) = 0

3x x + 2( ) + 3 = 5 + x

x2 –2x + 5 = 0

x2 = 2 x–5( )

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24. Respecto a la función es FALSO que

I) Su vértice es el punto (–3,2). II) Su concavidad está orientada hacia arriba. III) Sus ceros de la función no son reales.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III

25. En una industria se ha calculado que el costo unitario, en pesos, al producir x unidades de su producto estrella, está dado por la función

( ) 2C x x 150x 5.000= − + . ¿Cuál es la cantidad que deben producir para

que el costo unitario sea el mínimo? A) 625 B) 500 C) 300 D) 150 E) 75

26. ¿Cuál de los siguientes valores de x satisfacen simultáneamente las inecuaciones y

x –2x + 2

< 3

A) B) C) x 1 y x 7< ≥

D) 1 x 7< ≤ E)

f(x) = x–3( )2 + 2

x + 5x–1

≥ 2

–2 < x ≤ 7 –2 < x ≤1

–2 < x ≤ 6

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27. Si ( ) xf x 2= y ( )g x 2x= se puede afirmar que

I) ( ) ( )f x g x= , si x = 1.

II) Si x < 0, entonces ( ) ( )f x g x> .

III) ( )( )f g 0 1=

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II, III

28. Si , entonces f(–5) es igual a

A) 0 B) 2 C) 10 D) 12 E) –28

29. Dada la función ( )f x 1 x= − , es correcto afirmar que

I) su dominio es el conjunto S ,1= −∞ .

II) la preimagen de 2 es 3.

III) su gráfica es una curva creciente.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

f(x) = x2 –3x–4 – x +1( )2

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30. Sean f y g funciones tales que: , g(x) = 2x –1

Entonces es cierto que

I) ( )( )g f 0 0=

II) ( )( )f g 2 –9− =

III) ( )( ) 2g f x 4x 4x 1= + + , si x ≥ –3.

A) Solo I B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) I, II, III

31. Dada la función exponencial ( )x

1f x

2 =

, para su gráfica es verdadero

afirmar que

I) Es una curva estrictamente decreciente. II) Pasa por el punto ( )1,0 .

III) Es asintótica al eje x en el segundo cuadrante.

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

f(x) = x x < –3

–x2 –3 ≤ x

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32. Con respecto a la función logarítmica es incorrecto afirmar que

A) su dominio es el conjunto de los reales positivos. B) su recorrido es el conjunto de los números reales. C) sus imágenes son negativas para preimagenes negativas. D) su gráfica es asintótica al eje y. E) su base b, es un número real positivo distinto de 1.

33. En un camión de embarques se transportan manzanas, las cuales son menos de 1.000 unidades, se sacan 9 que están podridas y 31 que no cumplen con el peso mínimo exigido para importación. ¿Cuál es el número máximo de manzanas que llegaría al destino si en el traslado caen 4 de ellas?

A) 955 B) 956 C) 959 D) 960 E) 1.000

34. ¿Con cuál(es) de las siguientes opciones se puede describir el conjunto S 2,10= − ?

I) Son los números reales que están entre 3 y 11− .

II) Es la solución de la inecuación x

2 3 82

< + < .

III) Son los números reales cuya distancia a 4 es menor que 6 en la recta numérica.

A) Solo con II. B) Solo con I o con II. C) Solo con I o con III. D) Solo con II o con III. E) Solo con I, con II o con III.

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35. Si p y q pertenecen al intervalo 0,1 , entonces ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si <p q , entonces 1 1p q− −< .

II) Si >p q , entonces ( ) 11p p q−− < ⋅ .

III) Si <p q , entonces ( ) ( )1 1p q q p

− −+ < − .

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y III

E) Solo II y III

36. En el triángulo ABC isósceles de base BC de la figura adjunta se han inscrito: el triángulo isósceles BCD de base BD y el triángulo isósceles DBE de base DE . Con respecto a tal figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Los ángulos BAC, DCB y EBD son

congruentes. II) Los triángulos ADC y CEB son

semejantes. III) El triángulo BEC es isósceles.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

A

B C

D

E

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37. ¿Con qué vector se debe trasladar la circunferencia de centro A para obtener la circunferencia de centro B de la figura adjunta?

A) ( )3, 1− −

B) ( )4,2

C) ( )3,1

D) ( )3,2

E) ( )5,3

38. En el triángulo ABC de la figura adjunta, se traza la simetral desde el lado AB , de tal manera que ella pasa por el vértice C del triángulo. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) El segmento DC es bisectriz del

ángulo ACB. B) Los lados AC y BC del triángulo

son congruentes. C) DC AB⊥ D) Los triángulos ADC y BDC son

congruentes. E) El ángulo ABC es congruente al

ángulo ACD.

39. En el hexágono regular ABCDEF de la figura adjunta de centro O se afirma que

I) ABOF es un rombo. II) BCO EFO∆ ≅ ∆ III) FCDE CFAB≅

De ellas, es (son) verdadera(s)

A) solo I. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III.

1

1

4

2

x

y

A

B

A B

C

D

A B

C

DE

F O

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40. Dados los vectores del plano ( )u 4,2=�

y ( )v 1, 5= −��

. Si x�� es un vector tal

que u x v+ =� ��

, entonces la longitud de x�� es igual a

A) 58

B) 20

C) 26

D) 74 E) 18

41. Si la imagen del punto ( )A 3,2 bajo una simetría axial es el punto

( )B 7,4 , entonces la ecuación del eje de simetría es

A) x 2y 1 0− + = B) x 5= C) y 3= D) 2x y 13 0+ − = E) 2x y 8 0+ − =

42. ¿En cuál de las siguientes figuras se verifica que las rectas 1L y 2L son paralelas?

A) Solo en I B) Solo en II C) Solo en III D) Solo en I y en II E) Solo en I y en III

4

6

12

18

1L

2L

3L

I)

2L

1L12

15

9

12

II )

18 10

15 12

1L2L

III)

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43. Los triángulos ABC y DEF son congruentes de tal manera que AB es el correspondiente con DE y AC // DF . Si se prolonga el lado BC del triángulo ABC intersectando al triángulo DEF en los puntos P y T; y además se prolonga el lado AB intersectando al triángulo DEF en F, ¿cuánto mide el ángulo TPF?

A) 138° B) 131° C) 123° D) 99° E) 42°

44. En la circunferencia de la figura adjunta, se traza la tangente PT�� desde el punto P exterior a la circunferencia. Si la secante PB contiene al diámetro AB , PA 8 cm= y PT 12 cm= , ¿cuánto mide el semiperímetro de la circunferencia?

A) 18 cmπ B) 9 cmπ C) 10 cmπ D) 5 cmπ E) 20 cmπ

57°

81°

A

B

C

D

F

E

P

T

P A B

T

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45. ¿Cuál es la distancia mínima de la recta L graficada en la figura adjunta hacia el origen de coordenadas?

A) 130

B) 81

130130

C) 63

130130

D) 49

130130

E) No se puede determinar.

46. Si en la circunferencia de centro O de la figura adjunta se dibuja el segmento de cuerda AE tal que el ángulo CAE mide 50° y el ángulo AOB mide 60°, ¿cuánto mide el ángulo ADB?

A) 60° B) 70° C) 80° D) 90° E) 110°

47. Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa valen a y b tal que b a> . ¿Cuánto mide el mayor de los catetos de tal triángulo?

A) 2 2a b+

B) ab

C) a b+

D) 2a ab+

E) 2b ab+

A

BE

D

O

CF

x

yL

9 −

|

7

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48. En la figura adjunta, el cuadrado ABCD y el triángulo equilátero BEF tienen lado igual a 1 cm. Si A, B, E y A, G, F son, respectivamente, puntos colineales, entonces el área de la región achurada correspondiente al triángulo BFG, en centímetros cuadrados, es igual a

A) 14

B) 13

C) 34

D) 312

E) 310

49. ¿Cuáles son las coordenadas del punto P de la figura adjunta?

A) 3,32

B) ( )1,3

C) 1 5,8 16

D) 5 3,2 4

E) 3 5,4 2

AB

E

F

CD

G

x

y

4 −

2 −

|

3−|

2

P

1L

2L

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22

50. Sean las rectas de ecuación 1L :2kx y 2 0− + = y ( )2L : x r 1 y 6 0+ + − = ,

¿cuál debe ser la relación correcta entre k y r para que las rectas sean perpendiculares?

A) 2k r 1− =

B) ( ) 1k r 1

2+ = −

C) k r= D) kr 1= − E) k r 2+ =

51. El segmento AB tiene por extremos los puntos ( )A 2,0 y ( )B 3,0 . Si M es

el punto medio del segmento AB, ¿cuál es la distancia entre el punto M y su simétrico con respecto al origen?

A) 5

B) 52

C) 5

D) 254

E) 10

52. Al punto ( )P 3,7 se le hace una simetría con respecto a la recta x 2= y

se obtiene el punto Q. Por otro lado, el punto R resulta de rotar P en 90° en torno al punto ( )A 1,2 . ¿Cuál es la pendiente de la recta que contiene

a los puntos R y Q?

A) 1−

B) 35

C) 75

−

D) 5

E) 15

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OA ''

A 'A

C''

C'

CB''

B '

B

53. Al triángulo ABC de la figura se le aplican dos homotecias, ambas con centro en O. La primera, de razón 3, lo transforma en el triángulo

A 'B 'C' y la segunda, de razón 13, lo transforma en el triángulo

A ''B''C '' , como lo indica la figura ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ( )

( )Área ABC 1

9Área A 'B 'C '

∆=

∆

II) OB'' : B''B : BB' 1 : 2 :6= III) OC : CC' OA : AA ' 1 : 2= =


54. Si a un cuadrado ABCD se le aplica una homotecia de razón 0 k 1< < con respecto al vértice A del cuadrado obteniéndose el cuadrado DEFG. ¿Cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?

A) El punto F siempre se encuentra sobre la diagonal DB del cuadrado

ABCD. B) Los puntos A, F y C son colineales. C) FD // GE D) El punto E está más cerca del punto A que del punto B. E) El punto G es el punto más alejado del vértice C.

55. ¿Cuántos cubos de 1 cm de arista caben de manera exacta en un cubo de arista 4 cm, de tal manera que no sobre ni falte espacio?

A) 16 B) 4 C) 64 D) 24 E) 36

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56. Se forma un octaedro regular mediante la unión de los centros de las caras adyacentes que forman al hexaedro regular, como se indica en la figura. ¿Cuál es la razón entre el volumen del octaedro así formado y el cubo?

A) 1 : 2 B) 1 : 6

C) 3 : 12 D) 1 : 4

E) 2 : 8

57. ¿En cuál(es) de las siguientes opciones se obtiene al menos un cono?

I) Girando indefinidamente la recta x 1= en torno al eje x. II) Girando indefinidamente un cuadrado en torno a una de sus

diagonales. III) Girando indefinidamente un triángulo rectángulo en torno a la

hipotenusa.

A) Solo en I B) Solo en II C) Solo en III D) Solo en I y en II E) Solo en II y en III

58. Si la recta ( ) ( ) ( )x t 13,1,4 2,1,7 t= + − , para t variando en los números

reales, es perpendicular a un plano que pasa por el punto ( )8, 5,4− ,

entonces la ecuación del plano mencionado es

A) 2x y 7z 7− − = − B) 2x y 7z 17− − = −

C) 13x y 4z 1+ + = D) 8x 5y 4z 0− + =

E) 2x y 7z 13 5− − = +

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59. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) La media aritmética, moda y mediana de datos cuantitativos es un número real.

B) La moda de una variable cualitativa es un número real. C) En una muestra de una cantidad impar de datos cuantitativos, la

mediana de ella es siempre un valor que se encuentra en la muestra.

D) La media aritmética requiere sumar todos los datos de la muestra y dividirlos por la cantidad de datos de ella.

E) La moda se puede determinar para datos cuantitativos y datos cualitativos.

60. Los datos de una muestra M son { }5,5,5,5,5,x , mientras que los datos

de una muestra N son { }5,5,5,5,y . ¿Cuál de las siguientes alternativas

es verdadera?

A) La moda de ambas muestras depende de los valores de x y de y. B) Si x y= , entonces el promedio aritmético de M será siempre mayor

al promedio aritmético de N. C) Si x vale 0 e y vale 1, entonces el promedio aritmético de M es

menor al promedio aritmético de N. D) No es posible obtener la mediana de ninguna de las muestras. E) Si x y< , entonces el promedio aritmético de N es mayor que el

promedio aritmético de M.

61. Supongamos una muestra cuya varianza y desviación estándar son numéricamente iguales, entonces

I) los datos de la muestra pueden ser todos iguales. II) la muestra puede contener un solo dato. III) los datos tienen media aritmética igual a cero.

De tales afirmaciones, es (son) verdadera(s)

A) solo I. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III.

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62. Una encuesta acerca del porcentaje de amargor en el chocolate fue realizada a 100 personas. Los resultados se encuentran en el histograma de la figura adjunta. Con respecto a él, ¿cuál de las siguientes alternativas presenta la tabla de frecuencias correcta asociada a tal histograma?

A)

i i% f F20 200,20

60 4020,40

90 3040,60

100 1060,80

B)

i i% f F20 200,20

40 6020,40

30 9040,60

10 10060,80

C)

i i% f F20 1000,20

40 9020,40

30 6040,60

10 2060,80

D)

i i% f F20 200,20

40 6020,40

30 9040,60

10 10060,80

E)

i i% f F20 200,20

40 6020,40

30 9040,60

10 10060,80

10 −

20 −30 −

40 −

|

10%|

30%|

50%|

70%

Porcentaje

iFrecuencia Absoluta f

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63. Si P es una muestra de varianza 2σ y de media aritmética X , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si 2 0σ = , entonces X 0= . II) Si X 0= entonces 2 0σ = . III) Si 2 Xσ = entonces todos los datos son iguales a 0.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Ninguna de ellas.

64. Los datos de una muestra se generan mediante la sucesión numérica na 2n= para n variando desde 1 hasta 10. El recorrido intercuartil de la

muestra es igual a

A) 3a

B) 3 4a a2+

C) 5a

D) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10a a a a a a a a a a10

+ + + + + + + + +

E) 1 10a a2+

65. Tres marcas de automóviles reúnen en una feria de exposición, 5 autos de la marca uno, 3 autos de la marca dos y 8 autos de la marca tres. En la exposición se necesitan ordenar en una fila, de tal manera que siempre los de la misma marca queden juntos. ¿De cuántas maneras de puede montar el stand de las marcas en la feria?

A) 5 3 8⋅ ⋅ maneras. B) 5! 3! 8!⋅ ⋅ maneras. C) 16! maneras. D) 5! 3! 8! 3!⋅ ⋅ ⋅ maneras. E) 16! 3!⋅ maneras.

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66. Un dado de seis caras está cargado de tal manera que es siempre tres veces más probable que salga un número par a que salga un número impar, entonces al lanzar el dado, la probabilidad de obtener primero un número par y luego un número impar es

A) 316

B) 38

C) 34

D) 14

E) 916

67. Un estudio realizado a alumnos de primer año de un conservatorio de música determinó las preferencias entre dos grandes compositores del siglo XVIII. Los alumnos solo podían escoger una de las dos opciones. Los resultados fueron resumidos en la tabla adjunta. Con respecto a tales datos, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si se selecciona un hombre de la muestra, la probabilidad de que

guste de Mozart es 730.

II) La probabilidad de seleccionar un alumno que guste de

Beethoven es 1330.

III) Si se selecciona un alumno que guste de Mozart, la probabilidad

de que el alumno sea mujer es 1017.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

Mozart BeethovenHombre 7 9Mujer 10 4

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68. En una caja hay 3 bolitas azules y 5 bolitas verdes. Sea realiza 100.000 veces el experimento de extraer dos bolitas simultáneamente de la caja, registrar su color y devolverlas a la caja. De acuerdo a la Ley de los Grandes Números, ¿en qué porcentaje, aproximadamente, del total de extracciones, saldrán dos bolitas verdes?

A) 36% B) 39% C) 50% D) 61% E) 82%

69. ¿Cuál es el conjunto de llegada de una función de probabilidad?

A) 0,1

B) 0,1

C) ℤ D) 0 y 1. E) Depende de la variable aleatoria que se defina.

70. Se lanzan dos dados comunes al aire. Se define la variable aleatoria X sobre tal experimento, de manera que X toma el valor 1 si ambos valores obtenidos son pares; 2 cuando en el primer dado sale un número impar y en el segundo un número par; 3 cuando el primer número es par y el segundo número impar; y 4 cuando ambos números son impares. ¿Cuál de las siguientes alternativas es verdadera?

A) ( )X 4 1> =P

B) ( ) 1X 1

2> =P

C) ( ) ( ) ( )X 1 X 2 X 3= + = = >P P P

D) ( ) ( ) ( ) ( )X 1 X 2 X 3 X 4= = = = = = =P P P P

E) ( )X 1 0≤ =P

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71. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa de manera correcta la relación entre la probabilidad a priori de un evento A, ( )AP , y su

probabilidad luego de ocurrido un evento B, ( )A |BP , del cual se conoce

su probabilidad condicionada?

A) ( ) ( ) ( )( )A

A |B B | AB

= ⋅P

P PP

B) ( ) ( ) ( )( )B

A |B B | AA

= ⋅P

P PP

C) ( ) ( ) ( )( )A

A |B A | AB

= ⋅P

P PP

D) ( ) ( ) ( )( )A

A |B B |BB

= ⋅P

P PP

E) ( ) ( ) ( ) ( )A |B B| A B A= ⋅ ⋅P P P P

72. ¿En cuál(es) de las siguientes situaciones, la variable aleatoria X, se rige por una ley Binomial?

I) Se quiere estudiar la probabilidad de que en 10 lanzamientos

de una moneda normal se obtengan tres caras.

II) Se quiere estudiar la probabilidad de que un intervalo de tiempo, entren 20 personas a una sucursal bancaria.

III) Se quiere estudiar la probabilidad de que al lanzar 30 dados comunes al aire, salgan cuatro caras marcadas con el número 6.

A) Solo en I B) Solo en I y en II C) Solo en I y en III D) Solo en II y en III E) En I, en II y en III

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73. Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal de media aritmética µ y de varianza 2σ . ¿Cuál de las siguientes alternativas corresponde a una variable aleatoria que siga una distribución normal de media aritmética 0 y de varianza 1?

A) X − σ

µ

B) X − µ

σ

C) X

µ − σ

D) 2

X − µ σ

E) 2

X − µσ

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EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N°74 A LA N°80

En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para

responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder

la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se

sabe que

(1) La cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

En la información (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. Si

x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por Px100

, el cual no permite determinar el monto total de la deuda.

Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta

información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda.

Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que Px

Q100

= , luego

esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda. Por lo tanto, se debe marcar la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).

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74. Se puede determinar si un número n es irracional si se sabe que:

(1) El producto de n con un número racional es irracional.

(2) 2n es racional.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

75. Se puede determinar las longitudes de los lados de un rectángulo si se sabe que:

(1) Su área es .

(2) Su semiperímetro es .

A) (1) por si sola B) (2) por si sola C) Ambas juntas (1) y (2) D) Cada una por si sola (1) o (2) E) Se requiere información adicional

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76. Se puede determinar la pendiente del gráfico de una función lineal, si se sabe que:

(1) Las variables son directamente proporcionales con constante 4.

(2) Pasa por el punto (–2, –8).

A) (1) por si sola

B) (2) por si sola

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por si sola (1) o (2)

E) Se requiere información adicional.

77. Se puede determinar la medida del ángulo COB si se sabe que:

(1) El rayo OC es bisectriz del ángulo AOB.

(2) El rayo OD es bisectriz del ángulo AOC.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

OA

D

CB

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78. Se puede determinar la ecuación del plano que pasa por el punto ( )1,2,3

si se sabe que:

(1) El plano pasa por el punto ( )2,1,1− .

(2) El plano es paralelo a la recta ( ) ( ) ( )x t 1,7, 9 1,0, 1 t= − + − , para t

variando en los números reales.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




79. Para la muestra { }0,1,2,a,4,5 . Se puede determinar su promedio

aritmético si:

(1) La moda de la muestra es 4.

(2) La mediana de la muestra es 3.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




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80. Se puede afirmar que X es una variable aleatoria Bernoulli si se sabe que:

(1) La variable aleatoria se genera mediante una moneda honesta,

donde asigna a X un 1 cuando sale cara y un 0 cuando sale sello.

(2) La variable aleatoria se define sobre un experimento de dos posibles respuestas.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




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