UNIVERSIDAD DE CONCEPCIONFACULTAD DE CIENCIASFISICAS Y MATEMATICASDEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

ALGEBRA Y ALGEBRA LINEAL (520142)

P1. Escriba la alternativa correcta en la tabla (sin justificar) de las siguientes cincopreguntas. Tenga presente que solo se consideraran las alternativas marcadas en latabla.

Pregunta P1.1 P1.2 P1.3 P1.4 P1.5

Alternativa correcta c c d d c

(4 puntos c/u)

P1.1 En un estudio de mercado para nuevos productos, Hurten y Ruben-stein hacen referencia a la funcion

F (t) =q p e(t+C)(p+q)q[1 + e(t+C)(p+q)]

,

donde p, q y c son constantes. Si F (0) = 0, entonces

a) C = 1p+ q

ln(pq ), (b) C = 1

p+ q

ln(q)

ln(p),

c) C = 1p+ q

ln(qp), (d) C =1

p+ q

ln(q)

ln(p).

P1.2 El valor de (3 + i)6, es:a) 64 i , b) 64 , c) 64 , d) 64 i .

P1.3 Si z = x + iy pertenece al segundo cuadrante, entonces

a) Arg(z) + Arg(z) = 2Arctan(yx) pi2 .b) Arg(z) = Arctan(xy ) pi2 .c) Arg(z) + Arg(z) = Arctan(yx) + pi2 .d) Arg(z) + Arg(z) = 2Arctan(yx) + pi.

P1.4 Si sen2(x) = 12 sen(2x) con x [0, 2 pi[ , entonces el conjuntosolucion, es:

a) S = { 0 , 3pi4 , pi , 5pi4 }, (b) S = { 0 , 5pi4 , pi , 7pi4 },c) S = { 0 , 3pi4 , pi , 7pi4 }, (d) S = { 0 , pi4 , pi , 5pi4 }.

P1.5 Sean z = x+ iy y w = c+ id dos numeros complejos tales queIm(z w) < Re(z) Im(w). Entoncesa) (Re(w) < 0 Im(z) > 0) ((Re(w) < 0 Im(z) < 0).b) (Re(w) > 0 Im(z) > 0) ((Re(w) < 0 Im(z) > 0).c) (Re(w) < 0 Im(z) > 0) ((Re(w) > 0 Im(z) < 0).d) (Re(w) > 0 Im(z) > 0) ((Re(w) > 0 Im(z) < 0).a) (c < 0 y > 0) (c < 0 y < 0)

P2.1 Sea f una funcion real definida por

f : Dom(f) R Rx 7 f(x) = ln(4 x2)

a) Determine Dom(f) y Rec(f).

b) Para la funcion f considerada en la parte (a), determine siexiste f1. Justifique su respuesta.

c) Si no existe f1, restrinja el mnimo posible y defina unafuncion inversa para f .

Solucion.

a)Dom(f) = {x R : ln(4 x2) R}

= {x R : 4 x2 > 0 R}

=] 2, 2[ - - - - - - (3 pts.)

Rec(f) = {y R : y = ln(4 x2), x ] 2, 2[}

= {y R : ey = 4 x2, x ] 2, 2[}

= {y R : |x| = 4 ey, 4 ey 0, x ] 2, 2[}

= {y R : ey 4}

=], ln(4)]- - - - - - (6 pts.)

b) f no es invertible, puesto que f no es inyectiva. Bastaconsiderar {1,1} Dom(f) y f(1) = f(1). - - - - - - (3 pts.)

c) Restingiendo la funcion f al dominio ]0, 2[, obtenemos la funciong definida por

g : [0, 2[ ], ln(4)]x 7 g(x) = ln(4 x2).

- - - - - - (4 pts.)Resulta que g es biyectiva y su inversa es la funcion definidapor

g1 :], ln(4)] [0, 2[x 7 g1(x) = 4 ex

- - - - - - (4 pts.)

P3.1 En la cima de una torre de 30 m de altura se quiere construir unaantena de altura apropiada. Desde lados opuestos a la base de latorre y separados por 110 m de longitud, se levantan dos tirantesa la cima de la torre. El tirante del lado Este tiene un angulo deelevacion de 30 a la cima de la torre. Ademas, el tirante del ladoOeste con la lnea de visibilidad a la cuspide de la antena formaun angulo de 5. Sabiendo que tan(5) = 0.1 y

3 = 53 , determine

la longitud de la antena. (10 ptos)

P3.2 Para x ]pi

2,3pi

2

[, resuelva la desigualdad

sen(x) > cos(x). (10 ptos)

Solucion.

(3.1) Del Teorema de los senos, sigue que

sen(30)

30=

sen(60)

yo tan(30) =

30

y

en cualquiera de los dos casos se obtiene:

y3

= 30 ()

Se presentan dos alternativas

(i) Si en () escribimos

y = 30

3 y considerando que

3 =5

3,

Resulta quey = 50.

(ii) Si en () racionalizamos enseguida, obtenemos y33 = 30;

esto es,

3 y = 90 y considerando

3 =

5

3

se obtieney = 54.

En el primer caso se obtiene que

tan( + 5) =tan() + tan(5)

1 tan() tan(5) =x+ 30

110 y =x+ 30

60,

es decir,0.5 + 0.1

1 0.05 =x+ 30

60

x =36

0.95 30

En el segundo caso se obtiene:

tan( + 5) =tan() + tan(5)

1 tan() tan(5) =x+ 30

110 y =x+ 30

56,

es decir,0.5 + 0.1

1 0.05 =x+ 30

56

x =33, 6

0.95 30

(3.2) Observar que para x ]pi

2, pi

], resulta que:

sen(x) 0 y cos(x) < 0Ademas, de las definiciones de las funciones sen(x), cos(x) en]pi2 ,

3pi2

[, y teniendo presente que:

(a) sen(pi4 ) = cos(pi4 ),

(b) a partir de 5pi/4, sen(x) < cos(x).

Sigue que para x [pi ,

5pi

4

[, sen(x) > cos(x).

Por lo tanto, resulta que para x ]pi

2,5pi

4

[, sen(x) > cos(x).