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Una zaranda está sometida a vibración forzada para separar o tamizar granos.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE INGENIERÍA APLICADA

Curso: Vibraciones Mecánicas (MC 571) Periodo Académico 2014-I

SISTEMAS NO AMORTIGUADOS BAJO EXCITACIÓN ARMÓNICA

Respuesta a una excitación armónica.- Consideremos una vibración que se inicia súbitamente por la acción de una fuerza armónica de la forma F(t) = FmáxcosΩΩΩΩt. Así entonces, la ED del movimiento será:

á (1) Asimismo, se sabe que:

x(t) = xc(t) + xp(t) (xc = xhom) Donde: xp = AforzcosΩΩΩΩt (2) (c = 0)

Derivando 2 veces la ecuación (2), y reemplazando en (1): á

Despejando se obtiene: á/ á (3)

Y siempre que ωMAS ≠ Ω, xp será: !"#$ á (4) La solución complementaria u homogénea vendrá dada por:

xc(t) = Asen(ωMASt + φ) = A1senωMASt + A2cosωMASt y la solución total es: "$ %&' á (5) Los coeficientes A1 y A2 se hallarán en base a las condiciones iniciales. Si dichas condiciones son x(0) = x0; ( ")$ *), hallamos sus valores, y así x(t) resulta:

"$ *) &' ) á á (6)

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CASO ESPECÍFICO: x0 = 0; v0 = 0. La ecuación (6) queda:

"$ á " $ Empleando identidades trigonométricas, se obtiene:

"#$ +,-á./012 sen 67+ #8 sen 6+ #8 (7)

Dos fenómenos importantes ocurren cuando la frecuencia de excitación está muy próxima a la frecuencia natural del sistema.

En principio, si ωωωωMAS – ΩΩΩΩ es muy pequeño, para condiciones iniciales iguales a cero

la solución viene dada por la ecuación (7); sin embargo, debe observarse que el

término &' 6 8 oscilará con un periodo mayor que &' 67 8, ya que

el periodo, como se sabe, es 2π/ω. Así entonces, el periodo de dicha oscilación será: 9 +:;<=>?@2 ⇒ 9 AB (8)

El movimiento resultante es una oscilación rápida cuya amplitud varía lentamente, y se denomina golpeteo (beating).

Ejemplo gráfico de respuesta en golpeteo: Resultante de una vibración con ωωωωMAS = 400 s-1 y ΩΩΩΩ = 390 s-1.

Dando otra forma a la ecuación (7):

4DEFGH Ω

4DEFGH Ω

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"#$ 2KLáM/NEFGH+ Ω+ sen O 2 #P sen O 2 #P O también:

"#$ "2KLáM/N$# sen O 2 #P Qsen 6 2 #8 2 # R

Llevando esta expresión al límite, se tiene:

lim→ "#$ lim→ W"KLáM/N$# sen O 2 #P Qsen 6 2 #8 2 # RX

Cuyo resultado es: "$Yí "á/$ &' (9) Puede apreciarse que x(t) → ∞ cuando t → ∞. Este es el indeseable fenómeno que se conoce como RESONANCIA.

SISTEMAS AMORTIGUADOS BAJO EXCITACIÓN ARMÓNICA Si ahora consideramos la presencia de amortiguamiento, la ecuación (1) será de la forma: "\$( á (10) Cuya respuesta permanente es una función armónica con la misma frecuencia de la fuerza excitatriz, pero con diferente amplitud y fase, esta última debida a la presencia del amortiguamiento. Así entonces, la respuesta del sistema vendrá dada por:

"á/$

"á/$

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Para la prueba del sistema de suspensión del vehículo, se debe hacer un ensayo de vibración forzada con amortiguamiento.

x(t) = Ae-(ξωξωξωξωMAS)tcos(ωωωωt + θθθθ) + Aforzcos(ΩΩΩΩt – φφφφ) (11)

Los valores de A y θ los determinan las condiciones iniciales.

Para grandes valores de t, el primer término de x(t) se aproxima a cero, y por tanto x(t) se aproxima a la solución particular. Así entonces, las solución homogénea (o complementaria) se denomina respuesta transitoria o transiente, y la solución particular se denomina respuesta en estado estable. Según el problema, si ξξξξ es relativamente grande, puede ignorarse la parte transitoria y solo considerar la respuesta en estado estable. Al examinar la amplitud Aforz y la fase φ de la respuesta en estado estable con el factor de amplificación (FA), haciendo r = ΩΩΩΩ/ωωωωMAS se obtiene:

FA _`abcde %f"%g$7"\g$ (12)

hi'j \g%g (13)

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En el compactador de suelo, la vibraciónse genera por un motor interno, cuya frecuencia de operación no debe alcanzarla frecuencia natural de la máquina; de lo contrario, tendría lugar la resonancia.

Notese que si Ω → 0, Aforz → Fmáx/mω2; si Ω → ∞, Aforz → 0.

Por definición, se sabe que la resonancia tiene lugar cuando Ω = ωMAS, valor que corresponde

a la fase φ = π/2, pero no necesariamente al máximo valor de la amplitud Aforz. Así entonces, a partir de la ecuación (12) el FA límite viene a ser:

klGkm 0 ⇒ o!pqr f1 2t+ 1u v 1

Así, FAmáx resulta: wá %\f%\ (14)

En muchas aplicaciones, ξ es pequeño, por lo que rpico → 1. En ese caso, la condición de resonancia no amortiguada (Ω = ωMAS) puede

ser usada como resonancia de un sistema ligeramente amortiguado.

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EXCITACIÓN DE BASE

Muchas veces las máquinas o partes de ellas son excitadas (generalmente de manera armónica) por medio de soportes elásticos que se pueden modelar como resortes y amortiguadores.

Aplicando la Segunda Ley de Newton al sistema se tiene: x" y$ z" ( y( $ N ⇒ 0 " ( y( $ /0 " y$ 0 (15)

Consideremos que la base móvil es excitada según la relación: y = ymáxsenωωωωbt. Así entonces, al reemplazar en (15) se obtiene: 0 ( /0 yLáM 6/0 senE|# 0E|cosE|#8 (16)

Esta ecuación representa un sistema de dos excitaciones armónicas, cuya solución

particular es la suma de dos soluciones particulares, que se denotarán como "%$ y "$ respectivamente.

Hallando las soluciones particulares tal como se hizo en el acápite 3.1, se tiene, para la solución (1): "%$ \á"j%$

7"\$ y: hi'j% \

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Y para la solución de (2) consideraremos que es de la forma Aforzcos(ωωωωbt – φφφφ1), siendo su excitación á '. Siguiendo el mismo procedimiento del caso anterior, se obtiene:

() = á&'( − j%) − + (\)

Siendo φ1 el mismo que para (%), ya que no depende de la amplitud de la excitación;

y empleando el principio de superposición, la solución particular total será de la forma: () = (%) + ()

xc depende del amortiguamiento. Que con los procedimientos de la Trigonometría permite obtener la solución:

() = á 7(\) 7(\) ( − j% −j) (17)

Siendo: hi'j = Comparemos los desplazamientos debido a la vibración. La relación así obtenida se denomina TRANSMISIBILIDAD DE DESPLAZAMIENTOS (TR). Haciendo r = ωωωωb/ωωωωMAS, y la solución particular X, se obtiene:

TR = ymáx = 1 + (2to)+(1 − o+)+ + (2to)+

Consideraciones a) Para r < √2, TR > 1; es decir, la masa amplifica el desplazamiento de la base;

menor el amortiguamiento, mayor la amplificación. b) Para r > √2, TR < 1; es decir, mayor el amortiguamiento, menor la amplificación. Otra cantidad de interés es la “fuerza transmitida” a la masa como resultado del movimiento armónico de la base, la cual es: K(#) = x( − y) + z( ( − y( )

La cual se debe igualar a la fuerza inercial, es decir: () = − . Cuyo valor se obtiene al derivar la ecuación (17) dos veces.

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"$ á "\$ "\$ " j% j$

Haciendo F(t) = Ftrcos(ωωωωbt – φφφφ1 – φφφφ2), y hallando por comparación Ftr, se obtiene:

h ág % "\g$"% g$ "\g$

Y la “transmisibilidad de fuerzas” queda definida por:

há g % "\g$"% g$ "\g$

Relación que expresa adimensionalmente la medida de cómo el desplazamiento en la base (ymáx) resulta en una fuerza de magnitud Ftr aplicada a la masa, la cual

alcanza su valor pico cuando: oL 12t 6f1 8t+ 18/+

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3.4. ROTORES DESBALANCEADOS Se deben esencialmente a la distribución irregular de una masa rotativa, la que puede producir grandes vibraciones. Los ejemplos más comunes lo constituyen los motores eléctricos, los ventiladores, las turbinas, las lavadoras y las ruedas de los automóviles, que suelen portar masas excéntricas, causantes de las vibraciones.

Fig. 1. En el ventilador y el secador de ropa funcionan claramente por el desbalance que se dan en sus rotores.

Fig. 2. Diagramas de cuerpo libre del bloque que muestran cómo se ha de calcular los parámetros del desbalance en los rotores.

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Fig. 3. Modelo de una máquina desbalanceada Fig. 4. Diagrama de cuerpo libre de la máquina.

La ecuación de movimiento generada por el desbalance será:

x z ( K " N$ N +#+ " senEm#$

Que ordenado resulta: ( g&'g Cuya solución particular es de la forma: "$ &'"g j$, siendo: g

%g7"\g$ y: j \g%g

Siendo: g g; e = Excentricidad de la carga desbalanceada.

Del denominador de A se observa que la máxima deflexión disminuye cuando ξ > 1, lo cual significa que las vibraciones pueden atenuarse incrementando el amorti-guamiento. Ejemplo aplicativo: En algunos casos es indispensable mantener la vibración por debajo de cierto nivel para evitar el daño a los elementos de un sistema, tales como los rodamientos, para lo cual debemos determinar un rango aceptable de velocidades dentro de un intervalo.

Fig. 6

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Fig. 5. Comparación de la transmisibilidad entre una vibración con base excitada armónicamente y un rotor desbalanceado vs la relación de frecuencias de excitación.

Fig. 7. Se representa un rango aceptable de velocidades para una máxima magnitud permisible de un sistema vibratorio.