ANLISIS DE ARCOS METLICOS

TESIS DOCTORAL: PANDEO LATERAL DE ESTRUCTURAS METLICAS EN ARCO

4. ANALISIS DE ARCOS METLICOS

ANLISIS DE ARCOS METLICOS

TESIS DOCTORAL: PANDEO LATERAL DE ESTRUCTURAS METLICAS EN ARCO

4.1

4. ANLISIS DE ARCOS METLICOS

4.1. OBJETO DEL CAPTULO

En este captulo se realiza un recorrido por el arco metlico, tanto desde

el punto de vista de la estructura como desde la ptica del comportamiento del

acero.

De esta forma, en primer lugar se efecta un anlisis del arco elstico en

servicio, tanto desde el punto de vista lineal como no lineal, con objeto de cono-

cer la incidencia de sus dimensiones geomtricas, coacciones y patrn de carga

en su comportamiento.

En segundo lugar se hace un recorrido por las caractersticas del acero en

tanto en cuanto influyen en la modelizacin de la carga ltima que ser la que

se calcular en el Captulo 9. Dichas caractersticas son las bases plsticas del

acero, su comportamiento como material no lineal y las imperfecciones estructu-

rales que pueden acompaarle (autotensiones).

Por ltimo se analizan las imperfecciones geomtricas del conjunto.

4.2. REFLEXIONES SOBRE LA NATURALEZA DEL PANDEO LATERAL DE ARCOS

Si se realiza un anlisis de la inestabilidad lateral de un arco sometido a

cargas dentro de su plano se deduce lo siguiente:

a) En lo que respecta a su comportamiento como viga, la parte de

sta que queda comprimida puede (si se supera un cierto valor

umbral) provocar el vuelco a pandeo lateral, que consiste en

que las diferentes secciones de la viga sufren, adems de los

desplazamientos verticales debidos a la flexin, deformaciones

transversales acompaadas de giros torsores.

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4.2

b) En lo que respecta a su comportamiento como arco, si ste es

muy estrecho, se puede salir del plano, con flexin lateral de las

secciones y aparicin de torsin.

4.3. LA ESTRUCTURA LINEAL

4.3.1. Planteamiento de la Resistencia de Materiales

El anlisis lineal supone un material perfectamente elstico, no tiene en

cuenta la existencia de autotensiones, no incluye los esfuerzos de segundo or-

den, no detecta los fenmenos de inestabilidad ni determina la carga ltima de

colapso. Pero, para la mayor parte de los arcos, da una idea sencilla y suficien-

temente correcta del comportamiento de la estructura en servicio.

El anlisis del comportamiento lineal de un arco en su plano obedece a

las leyes de la Resistencia de Materiales para piezas de directriz curva y puede

encontrarse, entre otros lugares, en la monografa de TORROJA (1957) o en el

libro de FERNANDEZ CASADO (1964).

No se incluye su desarrollo en el presente apartado por considerar que es-

t fuera del alcance de la presente Tesis.

En lo que se refiere al comportamiento lineal fuera del plano,

TIMOSHENKO y GERE (1961) plantean las ecuaciones de resolucin del proble-

ma para el caso de un arco de directriz circular. Se exponen a continuacin las

mismas, a pesar de no coincidir con la directriz objeto del presente estudio, con

el fin de aclarar algunos conceptos bsicos para el desarrollo de la investigacin.

Sea una barra circular AB de seccin rectangular estrecha contenida en el

plano DAB y solicitada por una carga distribuida a lo largo del eje AB, tal y como

se muestra en la Figura 4.3.1.1.

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4.3

Figura 4.3.1.1. Arco Circular AB.

Para pequeas deformaciones, la deformada de la barra queda determina-

da por el desplazamiento del centroide de cada seccin transversal y el giro de

cada seccin con respecto a la tangente de la directriz. Para cualquier seccin

transversal del arco definida por el ngulo , se considera un sistema rectangu-

lar de coordenadas con origen en el centroide O y unos ejes tales que x e y

coinciden con los ejes principales de la seccin transversal, mientras que z

coincide con la tangente a la directriz. El plano xz coincide con el plano del arco,

con la direccin positiva del eje x hacia el centro de curvatura y la del eje z

correspondiente a un incremento del ngulo .

El desplazamiento del centroide O tiene tres componente: u, v y w segn

las direcciones de los ejes x,y,z respectivamente. El ngulo de rotacin de la seccin con respecto al eje z es .

La deformacin de un elemento del arco comprendido entre dos secciones

transversales consiste en las flexiones dentro de los planos principales xz e

yz y el giro con respecto al eje z.

Sean 1

1 y 2

1 las curvaturas de la directriz en O tras la deformacin en

los planos principales yz y xz respectivamente y el ngulo de giro por unidad

en el mismo punto. Si R1

es la curvatura inicial de la directriz del arco, las ecua-

ciones de clculo de las curvaturas y el giro son:

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4.4

xX MEI =1 yy MREI =

11

2 zMC = (4.3.1.2.)

Donde Mx, MY y Mz son los momentos en O con respecto a los ejes x,y,z

respectivamente; EIX y EIy son las rigideces principales a flexin, y C es la rigi-

dez a torsin del arco.

Las ecuaciones diferenciales para calcular los desplazamientos u, v y w se

obtienen estableciendo las expresiones de la curvatura y el giro unitario en funcin de u, v, w y . Asumiendo la hiptesis de pequeos desplazamientos, se puede considerar separadamente cada componente del movimiento y obtener

la curvatura y el giro final como suma de los efectos producidos por cada com-

ponente.

Las componentes u y w representan los desplazamientos en el plano

del arco, y slo producen cambio de curvatura en el plano xz, con lo que:

2

2

22

11dsud

Ru

R++= (4.3.1.3.)

Por otra parte,

dsd = (4.3.1.4.)

Esto tambin produce flexin en el plano principal yz. Debido al giro , la superficie del arco se transforma en una superficie cnica, con una curvatura

RRsen .

El desplazamiento v produce una curvatura en el plano yz de valor 2

2

dsvd

,

anlogo al de una barra recta; asimismo, tambin se produce un giro por unidad

de longitud con respecto al eje z de dsdv

R1

.

Resumiendo, las curvaturas y el giro de un arco tras la deformacin vie-

nen dados, en un caso general, por las siguientes ecuaciones:

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4.5

2

2

1

1dsvd

R=

2

2

22

11dsud

Ru

R++= (4.3.1.5.)

dsdv

Rdsd .1+=

Si se sustituyen estas ecuaciones en (4.3.1.2.), se obtienen tres ecuacio-nes que determinan los desplazamientos u, v, w y y resuelven el problema planteado.

TIMOSCHENKO y GERE calcularon dichos desplazamientos para los ca-

sos de dos momentos iguales contenidos en el plano del arco aplicado en los

extremos y una carga uniformemente distribuida radial aplicada a lo largo de la

directriz del arco.

La resolucin del sistema de ecuaciones diferenciales para el caso de un

arco circular y cargas aplicadas tal y como se describe en el prrafo anterior es

exacta y permite obtener frmulas explcitas, tablas o diagramas. Sin embargo,

para otras curvas con expresiones analticas ms complejas, la tarea se compli-

ca, y la solucin pasa por utilizar unos mtodos nmericos de clculo muy tedio-

so y de difcil manejo.

4.3.2. Anlisis matricial

Afortunadamente, en la dcada de los 60 aparece el ordenador. El clculo

matricial y el mtodo del equilibrio o el de los elementos finitos permiten el

estudio del arco en ordenador. Es necesario realizar una discretizacin del mis-

mo: puede ser efectuada mediante su asimilacin a un polgono de barras rectas

o mediante el empleo de barras curvas con una matriz de rigidez de barra espe-

cialmente desarrollada a tal efecto. La primera opcin introduce errores en los

flectores de las barras, lo cual es admisible si la imperfeccin geomtrica que

provoca es inferior a las tolerancias constructivas (falsa flecha