Química, Enseñanza de las Ciencias a través deModelos · Mezclas y aleaciones (III) 83 La...

Enseñanzade las Ciencias

a través de ModelosMatemáticos

Enseñanzade las Ciencias

a través de ModelosMatemáticos

Química,Biología y Física

Química,Biología y Física

B/LPA/ECAMM/QFB/2002/QX4.0 8/20/02 3:35 PM

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología

Dirección general

Elisa Bonilla Rius (SEP)

Coordinación general de Enseñanza de lasMatemáticas con Tecnología

Teresa Rojano Ceballos (Cinvestav)

Elvia Perrusquía Máximo

Coordinación de fase experimental

Enrique Vega Villanueva

Autor

Simón Mochón Cohen (Cinvestav)

Diseño de actividades

Simón Mochón Cohen

Coordinación editorial

Elena Ortiz Hernán Pupareli

Cuidado de la edición

Alfredo Giles-Díaz

Corrección

Leopoldo Cervantes-Ortiz

Héctor Veyna

Supervisión técnica-editorial

Alejandro Portilla de Buen

Diseño

Leticia Dávila Acosta

Formación

Agustín Azuela de la Cueva

José Luis Herrera

Este material fue puesto a prueba en las escuelas secundariasdel estado de Morelos, con apoyo de la UniversidadAutónoma de Morelos y financiado por el Conacyt, en elmarco del proyecto de grupo Incorporación de NuevasTecnologías a la Cultura Escolar (G26338S), bajo la direcciónde investigadores del Cinvestav.

D.R. © SEP, 2002 Secretaría de Educación PúblicaArgentina 28, Centro, 06020, México, D.F.

ISBN 970-18-7768-3 (obra completa)ISBN 970-18-7761-6ISBN 970-18-7909-0 (CD)

Impreso en México

DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

EEnnsseeññaannzzaa ddee llaass CCiieenncciiaass aa ttrraavvééss ddee MMooddeellooss MMaatteemmááttiiccooss ((EEccaammmm)) ha sido desarrollado por laDirección General de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecretaría de Educación Básica yNormal de la Secretaría de Educación Pública, el Centro de Investigación y Estudios Avanzados delInstituto Politécnico Nacional y la Universidad de Bristol en Inglaterra.


3

IInnttrroodduucccciióónn 5

Prefacio 7

Lista de actividades de matemáticas 15

La importancia de las gráficas (I) 17

La importancia de las gráficas (II) 21

Unidades y escalas (I) 25

Unidades y escalas (II) 29

Proporcionalidad (I) 31

Proporcionalidad (II) 35

Proporcionalidad (III) 39

Mezclas y aleaciones (I) 43

Variación lineal y exponencial (I) 47

Variación lineal y exponencial (II) 49

Jugando con la hoja de cálculo 53

De días a horas, de horas a minutos... 57

De pies y pulgadas a metros y viceversa 61

Grados Kelvin, centígrados y Fahrenheit (relaciones de cambios) 65

¿Cómo crecen las poblaciones? 69

Grados Kelvin, centígrados y Fahrenheit (relaciones funcionales) 73

Distancia recorrida y posición 77

Mezclas y aleaciones (II) 81

Mezclas y aleaciones (III) 83

La importancia de las gráficas (III) 87

Hirviendo agua dentro de la computadora 89

Uso de la regla de tres (I) 93

Uso de la regla de tres (II) 95

Inventa tu propia escala de temperatura 97

La importancia de las gráficas (IV) 101

ContenidoContenido


Introducción

5

La colección Enseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos(Ecamm) busca introducir en el aula técnicas y métodos matemáticos mediantehojas electrónicas de cálculo y modelos matemáticos, como gráficas,representación numérica y uso de diagramas. Esta colección ha sido diseñadaa partir de experiencias pedagógicas que favorecen la comunicación entre losestudiantes de secundaria y entre éstos y el maestro. Además, estos materialesfacilitan el entendimiento de los conceptos científicos por medio de sucuantificación.Como parte del proyecto Enseñanza de las Matemáticas y las Ciencias conTecnología —puesto en marcha, desde 1997, en escuelas secundarias, por laSecretaría de Educación Pública y el Instituto Latinoamericano de la ComunicaciónEducativa—, Ecamm vincula la enseñanza de las ciencias con las matemáticas apartir del aprovechamiento de las descripciones que los estudiantes puedenhacer de una serie de fenómenos mediante modelos matemáticos. Las hojas de trabajo de los libros de Ecamm pueden emplearse tanto enlaboratorios Emat como en otros que cuenten con el programa de computaciónExcel. Se recomienda consultar el libro Matemáticas con la hoja electrónica de cálculoEmat donde se dan a conocer las propiedades didácticas de la hoja de cálculo y unadescripción de las características del aula y de la metodología de trabajo.Las actividades que se incluyen en estos libros, y que promueven la enseñanzay el aprendizaje multidisciplinario de los fenómenos científicos, constituyen unavía para apoyar la enseñanza de la física, la química y la biología en la escuelasecundaria.

Introducción


7

Los fenómenos de la naturaleza son complejos. Para su mejor entendimientoy explicación, desde hace muchos siglos, los científicos han puesto mucho de

su esfuerzo en representar estos fenómenos por medio de descripciones mate-máticas llamadas “modelos matemáticos”. Estos modelos dan una imagen del fe-nómeno mucho más fácil de analizar ya que contienen los factores esenciales de sufuncionamiento.

La educación de las ciencias también ha tratado de aprovechar estas des-cripciones matemáticas para una enseñanza y aprendizaje más sólidos de losfenómenos científicos. Estos modelos matemáticos se han utilizado para dar unadescripción más clara del comportamiento de los procesos científicos.

Hay que puntualizar que no se pretende usar fórmulas ya que su carácterabstracto no serviría para este fin. Por el contrario, se construirán las descripcio-nes matemáticas con base en tablas, gráficas y modelos matemáticos desarrolla-dos en computadora para que los estudiantes puedan explorarlos y den mayorsentido a los fenómenos científicos.

Estas ideas ya han sido puestas en práctica con gran éxito. En un proyectode investigación mexicano-inglés, se introdujo de manera muy efectiva la hoja decálculo en materias científicas (Física, Química y Biología) para construir mode-los.1 Los estudiantes exploraban y analizaban los modelos construidos y de estamanera mejoró considerablemente su entendimiento de las ideas científicas rela-cionadas con el modelo.

La presente serie se ha creado para que, mediante un análisis cuantitativo delos procesos de la naturaleza, los estudiantes puedan llegar a un mejor entendi-miento de las ciencias.

Esta serie consta de cuatro cuadernos de actividades cuyos títulos aparecena continuación.

Prefacio

1 R. Sutherland, T. Rojano, S. Mochon, E. Jinich y S. Molyneux, ”Mathematical Modelling in the

Sciences Through the Eyes of Marina and Adam“, en Proceedings of PME-20 (Valencia), vol.

4 (1996), 291-297.

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Aprendiendo química, biología y física por medio de actividades y modelosmatemáticos. Cuaderno preliminar.Aprendiendo química por medio de actividades y modelos matemáticos.Aprendiendo biología por medio de actividades y modelos matemáticos.Aprendiendo física por medio de actividades y modelos matemáticos.

Como se puede notar, el primero de estos cuadernos, Aprendiendo química,biología y física por medio de actividades y modelos matemáticos, contiene lasideas básicas y por ello debe trabajarse primero. Para hacer las actividades de es-te cuaderno lo más relevantes posibles para las materias científicas, se ha tenidocuidado de dotarlas con un contexto científico, mezclando un poco las tres áreas.

Las actividades de este cuaderno preliminar contienen el desarrollo de algu-nos temas y conceptos necesarios para el mejor entendimiento de las activida-des de los cuadernos restantes, así como una introducción a la hoja electrónicade cálculo para quienes deseen trabajar con las actividades computacionales.

Los otros tres títulos se concentran en cada una de las asignaturas respectivas.Tienen algunas relaciones entre sí, pero pueden ser trabajados de manera inde-pendiente. Por ejemplo, algunas de las actividades que aparecen en el de quími-ca tienen también un contenido que puede ser relevante en física, y viceversa. Tam-bién, muchos fenómenos tienen estructuras matemáticas similares, como reaccionesquímicas y difusión, por lo cual sería conveniente estudiarlos simultáneamente.

Cada uno de estos libros contiene tres tipos de actividades:

“Desarrollando ideas” (sólo requieren lápiz, papel y calculadora).“Profundizando con la hoja de cálculo” (los estudiantes construyen suspropias hojas de cálculo en Excel sobre situaciones científicas).“Explorando modelos computacionales” (los estudiantes exploran un mo-delo computacional diseñado previamente en Excel).

En el último tipo de actividades, se espera que el estudiante tome una actitudde investigador usando las simulaciones diseñadas en hojas electrónicas de cálculopara este fin. Se pretende que en ellas, el estudiante siga las etapas de una in-vestigación científica, incluyendo la experimentación, el análisis de los datos obteni-dos, la formación de hipótesis, la generalización, la predicción y la verificación.

El tipo de actividad (desarrollando ideas; profundizando con la hoja de cálcu-lo, y explorando modelos computacionales) está descrito en la cornisa de la pá-gina. El primer tipo de actividades (“Desarrollando ideas”) pueden ser trabajadas enel salón de clase ya que no requieren de equipo computacional. El segundo tipode actividades (“Profundizando con la hoja de cálculo”) requiere que el estu-


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diante esté familiarizado con el programa Excel, por lo que es muy importanteque el alumno trabaje las actividades correspondientes de este cuaderno prelimi-nar. El tercer tipo de actividades (“Explorando modelos computacionales”) re-quiere un laboratorio de cómputo y el programa Excel; aunque, no se requiereun entrenamiento previo del estudiante con el programa Excel, convendría quetrabajara primero con las actividades de este tipo contenidas en este cuaderno.

El CD anexo a este cuaderno preliminar incluye:

Las hojas de cálculo exploratorias diseñadas con modelos matemáticos, quecorresponden a las actividades “Explorando modelos computacionales”Las hojas de cálculo que los estudiantes construirán en las actividades“Profundizando con la hoja de cálculo”. Éstas le servirán al profesor paraque observe el producto ya terminado de lo que sus estudiantes debenhacer (aun cuando el objetivo no es hacerlas sino aprender de ellas).Archivos en Word de las hojas de trabajo de los cuatro libros que com-prende esta serie.

Existe un cuarto tipo de hojas de trabajo llamadas “Preparación para la ho-ja de cálculo”. Tienen como objetivo que antes de entrar de lleno a construir su hojade cálculo o a explorar modelos computacionales, el estudiante desarrolle algu-nas ideas preliminares sobre el contenido de la hoja de cálculo. Este tipo de ac-tividades están diseñadas para ser utilizadas con estudiantes que no tengancomputadora. Pueden ser trabajadas por todos los estudiantes.

Notas importantes

Conviene hacer aquí algunos comentarios adicionales sobre estos cuatro cuadernos.Las actividades contenidas en estos cuadernos tienen el objetivo de comple-

mentar el estudio de las ciencias realizado en el salón de clase mediante activi-dades matemáticas de modelación. Esto implica que el profesor debe enrique-cer lo más posible la información científica acerca del fenómeno tratado.

Aun cuando el contenido de estas actividades es eminentemente matemático,su finalidad principal no es que los alumnos aprendan matemáticas (algo quetambién sucederá) sino que comprendan con mayor profundidad los conceptoscientíficos por medio de actividades matemáticas de modelación.

Muchas actividades están diseñadas para desarrollar conceptos importantesen los estudiantes, por lo cual no requieren de un conocimiento previo. De he-cho, si el estudiante ya conoce el resultado de la actividad, ésta perderá su sen-tido. A veces es más recomendable que los estudiantes trabajen con las activi-


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dades sin explicaciones previas y que a lo largo de la actividad en el salón declase se vayan aclarando las dudas.

Las actividades propuestas parten de una serie de cuestionamientos a los es-tudiantes. Las preguntas tienen la finalidad de que el estudiante se detenga a re-flexionar sobre algunas ideas o a aplicar algunos conocimientos adquiridos (véa-se más adelante la metodología utilizada). Por lo tanto, no deben tomarse comocuestionarios en los que se evalúe al alumno simplemente como “bien” o “mal”.

En realidad, existen dos tipos de cuestionamientos. Algunos, más o menos di-rectos, tienen como propósito que el alumno no siga leyendo el texto sin haberentendido las ideas expuestas con anterioridad. También pretenden reforzar losconocimientos adquiridos.

Hay también preguntas más profundas que tienen la finalidad de motivar alalumno a ir un poco más allá de las ideas básicas que las actividades tratan dedesarrollar. No se espera que los alumnos las puedan responder siempre correc-tamente. De nuevo, el apoyo del profesor es fundamental.

El nivel de algunas de las actividades posiblemente parezca un poco elevadopara estudiantes de secundaria. La razón de esto es que las actividades debenpresentar un reto para los estudiantes. Sin embargo, el apoyo del profesor pue-de compensar muy bien este posible desnivel.

Las actividades fueron desarrolladas teniendo en cuenta los temas de los pro-gramas de estudio. Sin embargo, algunos temas no están mencionados explíci-tamente en ellos. Estas actividades se incluyeron por dos razones: su valor en elaprendizaje de conceptos importantes y resaltar el carácter específico de un en-foque cuantitativo.

Estas actividades pueden ser desarrolladas también en la clase de Matemá-ticas. De esta manera, esta asignatura se relaciona con las demás materias cientí-ficas, con la doble ventaja de introducir ideas matemáticas en las clases de cien-cias, y contextos científicos en la de Matemáticas.

Si la escuela cuenta ya con otra serie de actividades con herramientas tecnológi-cas, las propuestas aquí pueden servir de complemento, ya sea simultáneamen-te (parte de los estudiantes con un tipo y parte con el otro)* o en tiempos diferentes.

Qué nuevos elementos introducen estas actividades

Sabemos que ya se aplican las matemáticas en las clases de Física y Química.¿Qué elementos diferentes agregaría esta nueva serie de actividades? Los méto-dos de enseñanza en las ciencias aún no han puesto en práctica los más recientesavances de la matemática educativa. Entre ellos, sobresalen los siguientes.

Prefacio

* Esto es recomendable cuando no se cuenta con suficientes computadoras o calculadoras.


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a) Métodos y técnicas matemáticas más apropiados para estudiantes de se-cundaria, los cuales proporcionarían un mejor entendimiento de los con-ceptos mediante su cuantificación.

b) El acercamiento matemático utilizado en estas notas es diferente al con-vencional. Por ejemplo, en los problemas que “requieren” el uso de la re-gla de tres, los estudiantes utilizan razonamientos proporcionales del tipo:“aumentó al doble, entonces el otro debe también aumentar al doble” o“se redujo a la cuarta parte, por lo tanto la otra cantidad debe reducirsetambién a la cuarta parte”. Es por esto que los números en las tablas es-tán seleccionados para que el estudiante pueda hacerlo. En muy pocasocasiones se plantean números con relaciones más complejas para queel estudiante tenga la oportunidad de usar la regla de tres como un recur-so adicional.

c) El objetivo de estos cálculos no es que el alumno obtenga la respuesta nu-mérica, sino que mediante este tipo de razonamientos aprenda y com-prenda las ideas y conceptos fundamentales de la química, la física y labiología.

d) La importancia de trabajar con varias representaciones, como la gráfica,la numérica, el uso de diagramas y modelos, además de la representa-ción simbólica por medio de fórmulas y ecuaciones.

e) El uso de la calculadora y la hoja electrónica de cálculo para descargaral alumno de la parte operativa y mecánica de las matemáticas y darleinstrumentos más apropiados para la modelación matemática de fenómenos.

f) Modelos pedagógicos diferentes basados en hojas de trabajo y una or-ganización diferente a la del salón de clase.

Antecedentes de este proyecto

Antes de comenzar a usar las actividades contenidas en este libro, conviene queel profesor conozca la filosofía con que fueron escritas y el modelo pedagógicoapropiado para ellas.

El proyecto Aprendiendo química, biología y física por medio de actividadesy modelos matemáticos está enmarcado dentro del mismo grupo que los proyec-tos Emat (Enseñanza de las Matemáticas con Tecnologías) y Efit (Enseñanza dela Física con Tecnologías), desarrollados en la Dirección General de Materialesy Métodos Educativos de la SEP y sustentado por el modelo pedagógico quedescribiremos más adelante. Sin embargo, este nuevo proyecto se aparta deaquél en dos aspectos. Primero, no se centra solamente en las tecnologías, sino

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que hace uso de varios tipos de hojas de trabajo. Segundo, se enfoca hacia lasasignaturas científicas en general: la física, la química y la biología.

Una de las ideas principales en la que se fundamentan estos proyectos es lasiguiente: los temas matemáticos se introducen regularmente en el aula, partien-do de principios generales hacia ejemplos particulares (enfoque “de arriba ha-cia abajo”). De hecho, el enfoque opuesto, “de abajo hacia arriba”, está men-cionado y recomendado explícitamente en los nuevos programas de estudio. A.diSessa sugiere que la enseñanza de las ciencias al estilo “de arriba hacia aba-jo” sólo funciona para alumnos que ya han desarrollado, de manera suficiente,experiencias previas relevantes a partir de las cuales construyen su conocimien-to.2 Esto implica que el acercamiento puede redundar en grandes dificultadespara estudiantes que carezcan de esta experiencia. Lo anterior apunta a que esmás aconsejable seguir un enfoque “de abajo hacia arriba”, es decir, desdeejemplos y situaciones concretas hacia la generalización de las ideas.

Otro aspecto destacado de la didáctica en estos proyectos es el aprendizaje co-laborativo. La interacción del estudiante con la computadora, y de los estudiantesentre sí, es de primordial importancia dentro de la perspectiva educativa de A. di-Sessa y debe tomarse en cuenta como un factor determinante para el aprendizaje.

El modelo pedagógico

En esta sección se describirá brevemente el modelo pedagógico implementadopor el proyecto Emat y que debe servir de modelo para el nuevo proyecto.Éste tiene varios componentes, entre los cuales destacan:

El trabajo del estudiante que, dirigido por medio de hojas de trabajo, tie-ne como propósito llevarlo a descubrir el conocimiento particular.El estudiante pasa a ser el elemento más importante del salón de clasepues se convierte en un sujeto activo, quien mediante su propia reflexiónva construyendo conceptos y desarrollando habilidades.La comunicación es un elemento muy importante en el aprendizaje del es-tudiante. Debido a esto, el trabajo de los estudiantes se realiza en equipospara fomentar el intercambio de ideas y la interacción.El papel del profesor en el salón de clase es el de asesor. Su influencia enlos estudiantes puede ejercerla de tres maneras distintas:a) Con las hojas de trabajo.b) Asesorando a los estudiantes en su trabajo en el salón de clase.

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2 A. diSessa (1993), Toward an Epistemology of Physics, Cognition and Instruction, 10, pp. 105-225.


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c) Con discusiones grupales para retomar y afianzar las ideas y conceptosque surgen de las hojas de trabajo.

Es primordial que al final de cada actividad se comparta grupalmente el traba-jo de los alumnos para que así todos aprendan de todos y para que se llegue a unconsenso acerca de las ideas y las conclusiones más importantes de la actividad.

Este modelo pedagógico no sólo es útil en un laboratorio de cómputo sinotambién en el salón de clase normal.

Estructura de las hojas de trabajo

Después de una serie de investigaciones en las que se requería el diseño de hojasde trabajo, se llegó a un esquema de la secuencia que debe seguir cada activi-dad. Éste nos sirve de guía para su diseño. A continuación se enlistan cada una desus partes y se explica su razón de ser.

a) Planteamiento de una situación problemática. Un problema real comocontexto ayuda al estudiante a dar significado a las operaciones mate-máticas que está aprendiendo.

b) Preguntas intuitivas para reflexionar sobre el problema. Estas preguntastienen como objetivo que el alumno entienda el problema planteado yque se forme algunas expectativas y predicciones antes de trabajar conla computadora.

c) Desarrollo del problema con la herramienta de trabajo. Esta parte contienepropiamente el objetivo didáctico propuesto para cada actividad.

d) Preguntas sobre resultados, preguntas abiertas y retos. El alumno necesi-ta cuestionarse acerca de los resultados obtenidos. Además, conviene quese le deje explorar sus ideas (esto, por falta de espacio, a veces no se haceexplícito en la hoja de trabajo, pero el profesor debe llenar este hueco cuan-do lo crea necesario).

e) Discusión y conclusiones. Es importante que el alumno llegue a conclusio-nes sobre la actividad y que las exponga al grupo para su discusión. El pro-fesor puede guiar entonces a sus alumnos acerca de los elementos másimportantes de la actividad.

f) Trabajo extra. Un grupo siempre es heterogéneo y hay estudiantes que termi-nan el material muy rápidamente. Para estos estudiantes siempre hay untrabajo extra al final de cada actividad. El profesor no debe preocuparse deque todos los estudiantes concluyan la actividad al cien por ciento. Es suficien-te con que cubran el material básico de las primeras partes de la actividad.

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Como puede observarse, al final de las hojas de trabajo, éstas se vuelven másabiertas para que el estudiante tenga la posibilidad de explorar sus ideas.

Algo muy significativo en una hoja de trabajo es que le ofrezca al estudianteretroalimentación sobre su desempeño. Esto se puede lograr de varias formas, porejemplo, incluir en las hojas algunos valores a los cuales el alumno debe llegar.

Notas adicionales

Esperamos que esta serie de actividades matemáticas sea de mucha utilidadpara las materias científicas. Para aprovecharlas al máximo, el profesor tendráque resolver la actividad de antemano para darse cuenta de su objetivo didác-tico y prever las posibles dificultades. También deberá tomar en cuenta la dife-rente metodología utilizada en el salón de clase.

¡Buena suerte!

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15

25actividades en total (los primeros dos grupos no requieren la computadoraen 11 actividades): 10 Desarrollando ideas

9 Introducción a la hoja de cálculo5 Explorando modelos computacionales1 Preparando para el modelo computacional

Lista de actividades dematemáticas

ACTIVIDAD TIPO

La importancia de las gráficas (I) Desarrollando ideasLa importancia de las gráficas (II) Desarrollando ideasUnidades y escalas (I) Desarrollando ideasUnidades y escalas (II) Desarrollando ideasProporcionalidad (I) Desarrollando ideasProporcionalidad (II) Desarrollando ideasProporcionalidad (III) Desarrollando ideasMezclas y aleaciones (I) Desarrollando ideasVariación lineal y exponencial (I) Desarrollando ideasVariación lineal y exponencial (II) Desarrollando ideasJugando con la hoja de cálculo Introducción a la hoja de cálculoDe días a horas, de horas a minutos... Introducción a la hoja de cálculoDe pies y pulgadas a metros y viceversa Introducción a la hoja de cálculoGrados Kelvin, centígrados y Fahrenheit (relaciones de cambios) Introducción a la hoja de cálculo¿Cómo crecen las poblaciones? Introducción a la hoja de cálculoGrados Kelvin, centígrados y Fahrenheit (relaciones funcionales) Introducción a la hoja de cálculoDistancia recorrida y posición Introducción a la hoja de cálculoMezclas y aleaciones (II) Introducción a la hoja de cálculoMezclas y aleaciones (III) Introducción a la hoja de cálculoLa importancia de las gráficas (III) Explorando modelos computacionalesHirviendo agua dentro de la computadora Explorando modelos computacionalesUso de la regla de tres (I) Preparando para el modelo computacionalUso de la regla de tres (II) Explorando modelos computacionalesInventa tu propia escala de temperatura Explorando modelos computacionalesLa importancia de las gráficas (IV) Explorando modelos computacionales

Lista de actividades dematemáticas


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En esta serie de actividades usaremos tres tipos de gráficas para representardatos. Mostraremos cuál de los tipos es el más apropiado a cada situación.Observa los siguientes datos de 10 personas adultas:

NOMBRE ALTURA (cm) PESO (kg) COLOR DE OJOS COLOR DE PELO

Lan 175 75 Café NegroBob 165 87 Negro NegroRus 160 63 Azul RubioEna 75 32 Café PelirrojoCal 168 70 Café NegroDil 167 100 Azul CaféAmi 182 83 Negro NegroShak 215 150 Café NegroTes 150 50 Negro CaféIri 172 67 Café Negro

¿Qué podrías decir acerca de cada una de las cuatro características de es-

te grupo de individuos?

Altura:

Peso:

Color de ojos:

Color de pelo:

Veamos ahora cómo podemos presentar la información contenida en la ta-bla anterior para interpretarla mejor y sacar algunas conclusiones. Empecemos conel color de ojos. Completa la tabla siguiente anotando las cantidades (frecuen-cias) de cada color:

COLOR DE OJOS CANTIDAD (FRECUENCIA)Negro 3CaféAzul

La importancia de las gráficas (I)La importancia de las gráficas (I)


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¿Qué fracción de las personas del grupo tiene ojos cafés?

¿Qué porcentaje tiene ojos negros?

Estas frecuencias se pueden representar en una gráfica circular como la siguiente.

Comprueba tus respuestas anteriores.Agrupa en la siguiente tabla de frecuencias los datos dados en la hoja ante-

rior del color de pelo. En el círculo a su derecha, traza los sectores de cada co-lor, señalando sus porcentajes correspondientes (el tamaño de cada sector lopuedes determinar estimando la porción que le corresponde).

COLOR DE PELO CANTIDAD (FRECUENCIA)NegroCaféRubioPelirrojo

¿Cuál es el color de pelo más frecuente?

En tu salón de clase, ¿cuantos niños hay?

¿Cuántos de ellos tienen pelo negro?

Azul 20% Negro 30%

Café 50%


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Otro tipo de gráfica es la de columnas. Abajo tenemos representada la altu-ra de cada persona del grupo en este tipo de gráfica.

¿Quién es el más alto? ¿Quién es el más bajo?

Aproximadamente, ¿cuál es la altura más representativa de este grupo de

personas?

Abajo a la izquierda haz una gráfica de columnas para los datos agrupadosen frecuencias del color de ojos. En la derecha haz una gráfica de columnas pa-ra los datos agrupados en frecuencias del color de cabello.

0

50

100

150

200

250

Lan Bob Rus Ena Cal Dil Ami Shak Tes Iri

Altura (cm)

Negro Café Azul Negro Café Rubio Pelirrojo

6

5

4

3

2

1

0

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5

4

3

2

1

0


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En el espacio de abajo traza la gráfica de columnas para el peso de cadapersona del grupo dado en la primera hoja de esta actividad.

Toma datos de tus compañeros de clase sobre alguna característica y repre-séntalos abajo en una gráfica (escoge el tipo de gráfica que creas más conve-niente).

Desarrollando ideas


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Esta actividad se centra en gráficas de líneas curvas para representar datosque varían en forma continua.La tabla siguiente da las longitudes y pesos promedios de bebés en Estados

Unidos, desde el nacimiento hasta los tres años de edad.

EDAD (MESES) LONGITUD (cm) PESO (kg)0 50 33 59 5.4006 66 7.2009 71 8.600

12 74 9.60015 78 10.30018 81 10.80021 84 11.40024 87 11.90027 89 12.40030 91 12.90033 93 13.40036 95 13.900

En esta tabla se encuentra concentrada mucha información que extraeremos

poco a poco. (En las respuestas que darás a continuación, no se te olvide poner

las unidades.)

¿Cuál es la estatura promedio de un bebé al nacer?

¿Cuál es el peso ”normal“ de un bebé al año de nacido?

¿Cuántos centímetros crece un bebé en sus primeros tres años de vida?

Esto quiere decir que en estos primeros tres años, el bebé casi duplica su longitud.

Aproximadamente, ¿cuántas veces se incrementa el peso de un bebé en sus

primeros tres años de vida? (Sugerencia: piensa

en un bebé que nace con un peso de 3 kg y que a los tres años pesa 15 kg.)

La importancia de las gráficas (II)La importancia de las gráficas (II)


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• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

¿Cuánto aumenta el peso de un bebé en su primer año?

¿Cuánto aumenta el peso de un bebé en su segundo año?

¿Cuánto aumenta el peso de un bebé en su tercer año?

¿En cuál periodo de tres meses se observa el incremento más rápido de pe-

so de un bebé?

En los siguientes dos planos coordenados traza las gráficas de la longitud yel peso como función de la edad. Primero representa cada uno de los datos dela tabla anterior con un punto y después conecta los puntos con una línea curvaque pase por ellos.

Desarrollando ideas

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

Edad (meses)

Longitud (cm)

0123456789

10

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39

Edad (meses)

Peso (kg)

1112131415


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

23


Discute con tus compañeros de equipo cuándo se observa en las gráficas uncrecimiento más rápido y cuándo un crecimiento más lento. (Sugerencia: discutetambién por qué se deben conectar estos puntos con una línea curva.)

La tabla siguiente muestra la altura y peso promedio de mujeres y hombresen Estados Unidos, de tres a 18 años de edad.

MUJER (VALORES PROMEDIO) HOMBRE (VALORES PROMEDIO)EDAD (AÑOS) ALTURA (cm) PESO (kg) ALTURA (cm) PESO (kg)

3 95 14 95 154 102 16 103 175 109 18 110 196 115 20 116 217 121 22 122 238 126 25 127 25.59 132 28.5 132 28

10 138 32 137 31.511 145 37 143 35.512 151 41.5 149 4013 157 46.5 156 4514 160 50 163 5115 162 53.5 169 5716 163 56 173 62.517 164 57 176 66.518 165 57 177 69

De acuerdo con la información presentada, contesta las siguientes preguntas.

¿Cuánto aumenta la altura de una mujer,

de 3 a 4 años de edad? de 6 a 7 años?

de 9 a 10 años? de 12 a 13 años?


¿Qué puedes deducir de estos valores?


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

24


¿Cuánto aumenta la altura de un hombre,

de 3 a 4 años de edad? de 6 a 7 años?



¿Qué puedes deducir al observar estos valores?

¿Cuál es la altura promedio (en Estados Unidos) para una mujer de tu edad?

Mide la altura de cinco mujeres de tu clase. ¿Cuál es el promedio de estos

cinco valores? Compara este valor con el de arriba.

¿Cuál es la altura promedio (en Estados Unidos) para un hombre de tu edad?

Mide la altura de cinco hombres de tu clase. ¿Cuál es el promedio de estos

cinco valores? Compara este valor con el de arriba.

Tarea

En papel cuadriculado y en los mismos ejes coordenados traza las gráficasde la altura promedio de una mujer y un hombre como función de la edad.

Analiza las gráficas y escribe aquí tus observaciones.

En papel cuadriculado y en los mismos ejes coordenados traza las gráficasdel peso promedio de una mujer y un hombre como función de la edad.

Analiza las gráficas y escribe aquí tus observaciones.


25

En esta actividad harás algunos cambios de escala y conversiones sencillas.Un complemento dietético (Centrum) contiene en cada tableta las siguientes

vitaminas y minerales (“U.I.” en la tabla significa “unidades internacionales”,usadas para algunas vitaminas; “mg” y “mcg” significan “miligramos” y “micro-gramos”).

COMPUESTOS CANTIDAD ELEMENTOS CANTIDAD

Acetato de vitamina A 5000 U.I. Boro 150 mcgy betacaroteno Calcio 162 mgVitamina B1 1.5 mg Cloro 72 mgVitamina B2 1.7 mg Cobre 2 mgVitamina B6 2 mg Cromo 65 mcgVitamina B12 6 mcg Estaño 10 mcgVitamina C 60 mg Fósforo 109 mgVitamina D2 400 U.I. Hierro 18 mgVitamina E 30 U.I. Yodo 150 mcgVitamina K 25 mcg Magnesio 100 mgÁcido fólico 400 mcg Manganeso 3.5 mgBiotina 30 mcg Molibdeno 160 mcgNiacinamina 20 mg Níquel 5 mcgÁcido pantoténico 10 mg Potasio 80 mg

Selenio 20 mcgSilicio 2 mgVanadio 10 mcgZinc 15 mg

Unidades y escalas (I)Unidades y escalas (I)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

26


¿Cuántos miligramos hay en un gramo?

¿Cuántos microgramos hay en un miligramo?

¿De cuál hay más cantidad en una tableta: ácido fólico o vitamina B1?

Escribe abajo los cinco elementos contenidos en mayor cantidad en la table-

ta (de mayor a menor).

Escribe abajo los cinco elementos contenidos en menor cantidad en la table-

ta (de menor a mayor).

Construye abajo una gráfica de columnas con los cinco elementos conteni-dos en la tableta en mayor cantidad (observa el orden dado en ella: Ca, calcio; P,fósforo; K, potasio; S, azufre; Cl, cloro; y Mg, magnesio).

En la siguiente gráfica se muestran las cantidades aproximadas en gramosde estos seis elementos que contiene el cuerpo de una persona adulta de 70 kg.

Ca P K S Cl Mg0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Miligramos


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

27


Compara las dos gráficas y escribe algunas observaciones al respecto.

Aproximadamente, ¿cuántas veces mayor es la cantidad de fósforo en elcuerpo humano que en la tableta? (observa que la escala en la tableta son mi-ligramos y en el cuerpo humano son gramos).

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, ¿qué cantidad de calcio es-tá contenida en tu cuerpo? (recuerda que los datos son para alguien de 70 kg).

0

250

500

750

1000

1250

1500

Ca P K S Cl Mg

Gramos

1350

750

250180

11025


29

¿Has oído hablar de Gulliver y sus viajes imaginarios por países como Lilli-put y Brobdingnag? En esta actividad harás algunos cambios de escala y

conversiones sencillas.Imaginemos que Centrum (ve la tabla de la primera parte) quiere vender su su-

plemento vitamínico en un país en donde las personas son 10 veces más grandesque nosotros. Su volumen será entonces 1 000 veces más que el nuestro. Esto quie-re decir que las nuevas tabletas deben contener 1 000 veces más cada sustancia.

Llena la tabla siguiente para indicar cuánto de cada sustancia debe contenercada nueva tableta (no cambies los números sólo sus unidades). Por ejemplo, lastabletas originales tenían 150 mcg de boro. Las nuevas tabletas deberán tener150 000 mcg de boro o, lo que es lo mismo, 150 mg de boro.


Acetato de vitamina A Boro 150 mgy betacaroteno CalcioVitamina B1 CloroVitamina B2 CobreVitamina B6 CromoVitamina B12 EstañoVitamina C FósforoVitamina D2 HierroVitamina E YodoVitamina K MagnesioÁcido fólico ManganesoBiotina MolibdenoNiacinamina NíquelÁcido pantoténico Potasio

SelenioSilicioVanadioZinc

Escribe abajo los cinco elementos contenidos en mayor cantidad en la table-

ta (de mayor a menor).

Unidades y escalas (II)Unidades y escalas (II)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

30


Escribe abajo los cinco elementos contenidos en menor cantidad en la tableta

(de menor a mayor).

¿Deben coincidir estas listas con las de la primera parte para las tabletas originales?

Imaginemos ahora que Centrum quiere vender este suplemento vitamínico enun país en donde las personas son 100 veces más grandes que nosotros. Su vo-lumen será entonces 1 000 000 de veces más que el nuestro. Esto quiere decirque las nuevas tabletas deben contener 1 000 000 de veces más cada sustancia.

Llena la tabla siguiente para indicar qué cantidad de cada sustancia debecontener cada nueva tableta (no cambies los números, sólo sus unidades). Porejemplo, las tabletas originales tenían 150 mcg de boro. Las nuevas tabletas de-berán tener 150 000 000 mcg de boro o, lo que es lo mismo, 150 000 mg de bo-ro o, lo que es lo mismo, 150 g de boro.

Explica por qué estas nuevas tabletas deben contener por ejemplo, 1.5 kg de

vitamina B1.


Acetato de vitamina A Boro 150 gy betacaroteno CalcioVitamina B1 1.5 kg CloroVitamina B2 CobreVitamina B6 CromoVitamina B12 EstañoVitamina C FósforoVitamina D2 HierroVitamina E YodoVitamina K MagnesioÁcido fólico ManganesoBiotina MolibdenoNiacinamina NíquelÁcido pantoténico Potasio

SelenioSilicioVanadioZinc


31

En esta serie de actividades se desarrollarán algunas ideas importantes deproporcionalidad que se necesitarán más adelante.Las ”recetas químicas“ para formar compuestos están expresadas en fórmu-

las. Por ejemplo, la fórmula del agua: H2O, nos indica que por cada átomo deoxígeno en el agua hay dos átomos de hidrógeno.

Con la información anterior, llena la siguiente tabla.

ÁTOMOS DE OXÍGENO ÁTOMOS DE HIDRÓGENO MOLÉCULAS DE AGUA

1 2 12

10100 000

6 � 1023

Desde luego que los químicos no forman compuestos uniendo átomo por áto-mo. De esto nos ocuparemos después.

El butano es un gas que se emplea para cocinar. Su fórmula es C4H10. Éstanos indica que por cada 4 átomos de carbono en este gas hay 10 átomos dehidrógeno.

Con la información anterior, llena la tabla siguiente (sugerencias: a) 20 es 5veces el 4; b) 80 es 8 veces el 10; c) 100 es 25 veces el 4, o 5 veces el 20).

ÁTOMOS DE CARBONO ÁTOMOS DE HIDRÓGENO MOLÉCULAS DE BUTANO

4 10 120

80100

6 � 1023

El propano es otro gas que se emplea para cocinar. Su fórmula es C3H8. Ésta

nos indica que por cada átomos de carbono en este gas hay

átomos de hidrógeno.

Proporcionalidad (I)Proporcionalidad (I)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

32


100 moléculas de propano contienen átomos de

carbono átomos de hidrógeno.

6 000 átomos de carbono necesitan átomos de hidrógeno

para formar moléculas de propano (sugerencia: 6 000

es 2 000 veces el 3).

La glucosa es un azúcar simple muy importante en biología. Su fórmula es

C6H12O6. Ésta nos indica que por cada 6 átomos de carbono en esta azúcar hay

átomos de hidrógeno y átomos de oxígeno.

Con la información anterior, llena la tabla siguiente (sugerencia: la cantidadde átomos de hidrógeno siempre será el doble de la cantidad de átomos de car-bono).

ÁTOMOS DE ÁTOMOS DE ÁTOMOS DE MOLÉCULAS DE

CARBONO HIDRÓGENO OXÍGENO GLUCOSA

6 12 6 13 000 000

24 � 1025

6 � 1023

El azúcar de mesa (sacarosa) tiene por fórmula C12H22O11. Ésta nos indica

que por cada 12 átomos de carbono hay átomos de hidrógeno

y átomos de oxígeno.

6 � 1023

moléculas de sacarosa contienen átomos de

carbono, átomos de hidrógeno y

átomos de oxígeno.

12 � 1023

átomos de carbono necesitan átomos de

hidrógeno y átomos de oxígeno para formar

moléculas de sacarosa.

24 � 1023

átomos de carbono necesitan átomos de

hidrógeno y átomos de oxígeno para formar

moléculas de sacarosa.


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

33


La fórmula de la nitroglicerina es C3H5O9N3.

Cada molécula de nitroglicerina contiene átomos de

carbono, átomos de hidrógeno,

átomos de oxígeno y átomos de nitrógeno.

6 � 1023

moléculas de nitroglicerina contienen átomos de

carbono, átomos de hidrógeno,

átomos de oxígeno y átomos de nitrógeno.

3 000 000 de átomos de carbono necesitan de átomos

de hidrógeno, de átomos de oxígeno y

de átomos de nitrógeno para formar de moléculas de

nitroglicerina.


35

En esta actividad continuaremos desarrollando algunas ideas importantes deproporcionalidad que se necesitarán más adelante.Regresemos al caso del agua, cuya fórmula es H2O. Sabemos de esta fórmu-

la que por cada átomo de oxígeno en el agua hay dos átomos de hidrógeno.Pero un átomo de oxígeno tiene una masa 16 veces mayor que la de uno de hi-drógeno. Esto implica que: 2 gramos de hidrógeno necesitan 16 gramos de oxí-geno para formar 18 gramos de agua.

¿Podrías explicar por qué se necesitan 2 gramos de hidrógeno en vez de 1

por cada 16 gramos de oxígeno?

Con la información anterior, llena la tabla siguiente (sugerencia: a) 4 es eldoble de 2; b) 1 es la mitad de 2; …).

GRAMOS DE HIDRÓGENO GRAMOS DE OXÍGENO GRAMOS DE AGUA

2 16 1841

100.5

¿Por qué siempre la suma de las masas del hidrógeno y el oxígeno da como

resultado la masa del agua?

Proporcionalidad (II)Proporcionalidad (II)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

36


Pasemos ahora al butano, cuya fórmula es C4H10 (por cada 4 átomos de car-bono hay 10 átomos de hidrógeno). Pero un átomo de carbono tiene una masa12 veces mayor que la de uno de hidrógeno. Esto implica (como lo verás en tucurso de química) que: 48 gramos de carbono necesitan 10 gramos de hidróge-no para formar 58 gramos de butano.

Con la información anterior, llena la tabla siguiente (sugerencia: a) 5 es lamitad de 10; b) 12 es la mitad de 24; c) 30 es el triple de 10).

GRAMOS DE CARBONO GRAMOS DE HIDRÓGENO GRAMOS DE BUTANO

48 10 585

123080

¿Es la suma de las masas del carbono y el hidrógeno siempre igual a la ma-

sa del butano?

Para el propano (C3H8) se requieren 36 gramos de carbono y 8 gramos de

hidrógeno para formar 44 gramos de propano. ¿Cuántos gramos de carbono

se requerirán para combinarse con 800 gramos de hidrógeno?

¿Cuántos kilogramos de propano se formarán?

Regresemos nuevamente a la glucosa (C6H12O6). De la relación entre lasmasas de los átomos se puede deducir que: se necesitan 72 gramos de carbo-no, 12 gramos de hidrógeno y 96 gramos de oxígeno para formar 180 gramosde glucosa.

Con la información anterior, llena la tabla siguiente (sugerencia: 4 es la ter-cera parte de 12; para la última, 18 es la décima parte de 180):

GRAMOS DE GRAMOS DE GRAMOS DE GRAMOS DE

CARBONO HIDRÓGENO OXÍGENO GLUCOSA

72 12 96 18041

5018


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

37


¿La suma de las masas de los tres elementos siempre es igual a la masa del

compuesto?

¿Cuál de los tres elementos tiene más átomos en la glucosa?

¿Cuál de los tres elementos contribuye con más masa en la glucosa?


39

En esta actividad estudiaremos el concepto de densidad de una sustancia. ¿Es

cierto que si algo es más denso es más pesado? Explica.

Empecemos analizando un material como la plata. La masa de 10 cm3 de

plata es de 105 gramos. ¿Cuál sería la masa de 20 cm3 de plata?

Completa la siguiente tabla:

PLATA VOLUMEN (cm3) MASA (g)10 1052030

10050

51

De tu razonamiento anterior para completar la tabla, se deduce que parauna sustancia definida, la masa es proporcional al volumen.

Hagamos los mismos cálculos para un material como el corcho. La masa de10 cm3 de corcho es de 2 gramos. Completa la siguiente tabla.

CORCHO VOLUMEN (cm3) MASA (g)10 22030

10050

51

Proporcionalidad (III)Proporcionalidad (III)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

40


¿Cuál de los dos materiales anteriores es más denso?

Explica por qué.

La densidad de una sustancia representa la masa de 1 cm3 de esa sustancia.

De acuerdo con las tablas anteriores, ¿cuál es el valor de la densidad de la plata?

gramos por cm3. ¿Cuál es el valor de la

densidad del corcho? gramos por cm3.

La densidad del azúcar es de 1.6 gramos por cm3. De acuerdo con este va-lor, completa la tabla siguiente.

AZÚCAR VOLUMEN (cm3) MASA (g)1

10100

1000500

360

Estima cuál sería el volumen de un kilogramo de azúcar: cm3.

Un hueso pequeño de una persona tiene un volumen aproximado de 100

cm3 y una masa de 200 gramos. ¿Cuál es la densidad de este hueso?

gramos por cm3.

Otro hueso de otra persona tiene un volumen de 1 000 cm3 y una masa de

1800 gramos. ¿Cuál es la densidad de este hueso? gramos por cm3.

¿Cuál hueso es más denso?

Compara (mayor o menor que) la masa, el volumen y la densidad de un hue-

so de dinosaurio con los de un hombre.


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

41


La densidad del agua es de 1 gramo por cm3. Completa la siguiente tabla:

AGUA VOLUMEN (cm3) MASA (g)1

30475

10002200

¿Cuántos kilogramos pesa un metro cúbico de agua?

(Sugerencia: hay 1 000 cm3 en 1 dm3 y 1 000 dm3 en 1 m3.)


43

En esta actividad combinaremos dos sustancias y calcularemos los porcenta-jes con que cada una de ellas contribuye a la mezcla.

Supongamos que fundimos 10 cm3 de oro puro y 10 cm3 de plata y los uni-

mos para formar una aleación de oro y plata. ¿Qué volumen total tendrá esta

mezcla? ¿Qué porcentaje de oro hay en ella?

¿Qué porcentaje de plata hay en ella?

Queremos ahora calcular la cantidad de masa de oro y de plata que contie-ne la aleación anterior. Para esto necesitamos las densidades de estos metales.Los siguientes son valores aproximados:

Densidad de oro ≈ 20 g/cm3 Densidad de plata ≈ 10 g/cm3

¿Cuál es más pesado: el oro o la plata?

¿Cuántas veces más pesado?

El valor de la densidad del oro significa que su masa es de 20 gramos por

cada cm3. ¿Cuál será la masa de 10 cm3 de oro?

El valor de la densidad de la plata significa que

¿Cuál será la masa de 10 cm3 de plata?

Así, la aleación de arriba contiene 200 g de oro y 100 g de plata. ¿Qué ma-

sa total tendrá esta mezcla? Observarás que las dos terce-

ras partes es oro y una tercera parte es plata. ¿Qué porcentaje de oro hay?

¿Qué porcentaje de plata hay?

Notarás que cuando hicimos los cálculos con volúmenes obtuvimos porcen-

tajes diferentes que cuando los hicimos con masas. ¿Por qué?

Mezclas y aleaciones (I)Mezclas y aleaciones (I)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

44

Explica por qué los dos porcentajes resultan tan diferentes:

¿Cuál es el porcentaje en volumen de corcho?

¿Cuál es el porcentaje en masa de corcho?

Para el caso de 5 cm3 de oro y 15 cm3 de plata, ¿cuál es el porcentaje en volu-

men de plata? ¿Cuál es el porcentaje en masa de plata?

Pasemos a un ejemplo diferente. Un ingeniero desea diseñar un material pa-ra pistas de carreras con parte de arcilla (densidad ≈ 2 g/cm3) y parte de cor-cho (densidad ≈ 0.2 g/cm3). Supongamos que decide hacer una mezcla de es-tos materiales con 50% en volumen de arcilla. Calcula el porcentaje en masa deesta mezcla. Para esto, ayúdate de una tabla como la de la hoja anterior:


Por lo anterior, debe especificarse si los porcentajes están basados en los volúme-nes o en las masas de las componentes. Para esto, usamos los términos: “porcen-taje en volumen” y “porcentaje en masa” para diferenciar éstos.

La tabla siguiente resume los resultados anteriores en su primera fila de valo-res. Tu tarea es llenar la tabla con los otros 3 casos que se dan en ella (se te danalgunos valores para que puedas comprobar tus cálculos).

VOLUMEN TOTAL FIJO � 20 cm3

VOLUMEN DE VOLUMEN DE PORCENTAJE EN MASA DE MASA DE MASA PORCENTAJE EN

ORO (cm3) PLATA (cm3) VOLUMEN DE ORO ORO (g) PLATA (g) TOTAL (g) MASA DE ORO

10 10 50% 200 100 300 66.67%5 15 250

16 4 88.89%18 10% 220

VOLUMEN DE VOLUMEN DE PORCENTAJE EN MASA DE MASA DE MASA PORCENTAJE EN

ARCILLA (cm3) CORCHO (cm3)VOLUMEN: ARCILLAARCILLA (g)CORCHO (g) TOTAL (g) MASA: ARCILLA

50 50


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

45


¿Qué porcentaje en volumen de arcilla dará un porcentaje de 50% en masa?

(Sugerencia: prueba con varias combinaciones

de los volúmenes de arcilla y corcho: 40 y 60; 30 y 70; etcétera.)

Si mezclamos agua (densidad � 1 g/cm3) y alcohol (densidad � 0.8 g/cm3) con

los mismos volúmenes de ambos, ¿cuál de ellos tendrá mayor porcentaje en masa?

Explica:

Hasta ahora hemos sumado el volumen de las partes para obtener el volu-men del todo y sumado la masa de las partes para obtener la masa del todo.

La segunda propiedad se conoce como la “ley de conservación de la masa”y se cumple siempre: la materia se conserva, no se crea ni se destruye.

La primera propiedad parece algo lógico, pero en algunas ocasiones no secumple. Es decir, el volumen no siempre se conserva cuando mezclamos dos sus-tancias. Para entender esto, sugerimos mezclar, dos a dos, diferentes tamaños debolas de unicel, canicas, balines, etcétera, y medir los volúmenes antes y despuésde mezclarlos (nótese que cuando las partículas de una de las partes son bas-tante más pequeñas que las otras, éstas se logran acomodar entre las grandesy casi no incrementan su volumen original).

Relaciona la experiencia anterior con lo que pasa cuando se mezclan losátomos o moléculas de diferentes sustancias.


47

En esta serie de actividades se ofrecen algunas ideas para que los alumnos co-miencen a diferenciar entre dos tipos de variación, la lineal y la exponencial.Supongamos que tenemos un recipiente con agua a 20 oC (la temperatura

ambiente) y que la calentamos de tal manera que su temperatura aumenta 4 oCpor minuto.

Por ejemplo, después de un minuto de calentamiento, la temperatura delagua será de 20 � 4 � 24 oC.

Después de dos minutos de calentamiento, la temperatura del agua será de24 � _ __ � _ __oC.

La tabla siguiente se ha construido siguiendo la idea de que la temperaturaaumenta 4 oC cada minuto. Completa los valores de la temperatura del aguahasta el minuto 15.

TIEMPO (min) TEMPERATURA (OC)0 201 242 283 32456789

101112131415

Si se sigue calentando el agua de esta manera, ¿cuál sería la temperatura

del agua a los 20 minutos? ¿Cuál sería la temperatura del agua

a los 25 minutos? (Recuerda que el agua hierve a los 100 oC.)

Variación linealy exponencial (I)Variación linealy exponencial (I)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

48


En el siguiente plano cartesiano, usa los valores de la tabla anterior para tra-zar la gráfica de la temperatura del agua contra el tiempo (une los puntos conuna recta).

A este tipo de variación se le llama lineal (línea recta). Está caracterizada poraumentos o disminuciones constantes.

Supón ahora que el agua a 20 oC se calienta más rápidamente, de tal ma-nera que su temperatura aumenta 8 oC por minuto. Con base en esto, completalos valores de la tabla siguiente y traza la gráfica correspondiente en el planode arriba.

TIEMPO (min) TEMPERATURA (OC)0 201 282 36345678

Temperatura (oC)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

t (min)

108104100

96928884807672686460565248444036322824201612840


49

En esta actividad se ofrece una descripción de la variación exponencial.Recordarás que en la primera parte de esta actividad calentamos agua de

20 oC a 80 oC. Supongamos ahora que el agua, a 80 oC, se pone en un conge-lador que está a 0 oC.

¿Qué le pasará a la temperatura del agua?

¿A qué temperatura llegará finalmente?

Para analizar esta situación tenemos que recurrir a una ley que dice: la dis-minución de temperatura será “proporcional” a la temperatura misma.

Para hacer esta ley más clara, pongamos un ejemplo concreto. Supongamos quela temperatura del agua se reduce en 5% por minuto. Con base en esto, tendre-mos lo siguiente:

Después de un minuto, la reducción de la temperatura será de:

5% de 80 � 0.05 � 80 � 4 oC

Así, la temperatura al minuto será de:

80 � 4 � 76 oC

Después de 2 minutos, la reducción de la temperatura será de:

5% de 76 � 0.05 � 76 � _ _ __oC

Así, la temperatura a los 2 minutos será de:

76 � 3.8 � ____ _oC

La tabla siguiente se ha construido siguiendo la idea de que la temperaturase reduce en 5% cada minuto. Completa los valores de la temperatura del aguahasta el minuto 10 (redondea los valores a un decimal; si puedes, usa una cal-culadora).

Variación linealy exponencial (II)Variación linealy exponencial (II)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

50


TIEMPO (min) TEMPERATURA (OC) REDUCCIÓN DE LA TEMPERATURA (OC)0 80 41 76 3.82 72.2 3.63 68.6456789

10 47.9 2.411 45.5 2.312 43.2 2.213 41.1 2.114 39.0 1.915 37.1

En el siguiente plano cartesiano, usa los valores de la tabla anterior para tra-zar la gráfica de la temperatura del agua contra el tiempo (nota que ahora noes una recta).

Temperatura (oC)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

t (min)

108104100

96928884807672686460565248444036322824201612840


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

51


A este tipo de variación se le llama exponencial. Está caracterizada por cam-bios proporcionales a la cantidad misma.

Si siguieras con los cálculos anteriores, ¿a qué valor crees que llegaría la

temperatura del agua?

Si continuamos calculando la temperatura del agua, obtendremos los siguien-tes valores (se dan cada 10 minutos para reducir el tamaño de la tabla).

TIEMPO (min) TEMPERATURA (OC)0 80

10 47.920 28.730 17.240 10.350 6.260 3.770 2.280 1.390 0.8

100 0.5

La gráfica correspondiente a estos valores es la siguiente.

Escribe en una hoja tus comentarios sobre esta gráfica y discútelos con tu grupo.

Temperatura (oC)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

t (min)110

100959085807570656055504540353025201510

50


53

En esta actividad el estudiante se empezará a familiarizar con la hoja electró-nica de cálculo.Abre una hoja de cálculo. Verás en ella muchas celdas vacías, listas para ser

llenadas por ti. Cada una de estas celdas tiene su nombre. Por ejemplo, la celdaA1 es la de más arriba a la izquierda.

Para empezar a llenar la hoja de hoy,Escribe en la celda B3 el texto: Grupo AEscribe en la celda C3 el texto: Grupo B Escribe en la celda D3 el texto: Grupo CSigue llenando tu hoja de cálculo hasta que se vea como la siguiente.

A B C D E123 Grupo A Grupo B Grupo C4 Primer grado 42 45 355 Segundo grado 33 36 306 Tercer grado 29 30 2878

Como puedes observar, una de las ventajas de la hoja de cálculo es que or-ganiza los datos de una situación determinada.

Según la hoja, ¿cuántos estudiantes hay en el grupo B del tercer grado?

Vamos ahora a realizar algunos cálculos con la hoja. Para esto, necesitamosintroducir fórmulas.

Por ejemplo, para calcular el total de estudiantes en el primer grado debe-mos sumar las cantidades de las celdas B4, C4 y D4.

Escribe en la celda E4 la fórmula: =B4+C4+D4Recuerda que las fórmulas en una hoja de cálculo siempre se comienzan con

un signo de igual (=).¿Cuánto resulta el total de estudiantes en el primer grado?Compruébalo haciendo los cálculos mentales.

Jugando con la hoja de cálculoJugando con la hoja de cálculo


54

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Introducción a la hoja de cálculo

Para calcular los totales de los otros dos grados:Escribe en la celda E5 la fórmula: =B5+C5+D5Escribe en la celda E6 la fórmula:Escribe en la celda E3 el texto: Totales.Tu hoja de cálculo se debe ver como sigue.

A B C D E123 Grupo A Grupo B Grupo C Totales4 Primer grado 42 45 35 1225 Segundo grado 33 36 30 996 Tercer grado 29 30 28 8778

Supón ahora que a mediados del año escolar quedan sólo el número de es-tudiantes que indica la siguiente tabla.

Grupo A Grupo B Grupo CPrimer grado 38 40 32Segundo grado 27 31 28Tercer grado 19 21 17

Introduce estas nuevas cantidades en tu hoja de cálculo.

¿Cuánto resulta ahora el total de estudiantes en el primer grado?

¿Cuánto resulta ahora el total de estudiantes en el segundo grado?

¿Cuánto resulta ahora el total de estudiantes en el tercer grado?

Como puedes observar, otra de las ventajas de la hoja de cálculo es que lasceldas con fórmulas cambian automáticamente sus valores.

Te sugerimos que arregles tu hoja de cálculo lo más que puedas. 1) Centran-do cantidades y textos; 2) coloreando las celdas; y 3) agregando fronteras a lasceldas (para esto, usa los iconos especiales que se encuentran en la parte supe-rior de la hoja de cálculo).


55

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Introducción a la hoja de cálculo

La siguiente sería un muestra, obviamente sin color.

A B C D E1 Estudiantes de la Escuela Secundaria Núm. 0

23 Grupo A Grupo B Grupo C Totales4 Primer grado 38 40 32 1105 Segundo grado 27 31 28 866 Tercer grado 19 21 17 5778


57

En esta actividad el estudiante continuará familiarizándose con la hoja elec-trónica de cálculo haciendo algunas conversiones de unidades de tiempo.Sabemos muy bien que:

En un año hay 365 días En un día hay horas

En una hora hay minutos En un minuto hay segundos

Usaremos estas equivalencias para hacer conversiones en una hoja de cálculo.Supongamos que queremos calcular cuántos días hay en 12 años. Para re-

solver esto, construye la hoja de cálculo que se muestra a continuación.

En la celda B3 debes poner la fórmula: =A3*365. Explica esta fórmula:

A B C1 De A2 años días3 12 43804

Usa ahora tu hoja de cálculo para contestar las siguientes preguntas:

¿Cuántos días ha vivido una persona de 65 años de edad?

Un prisionero es sentenciado a 3 años y medio en la cárcel. ¿Cuántos días

permanecerá allí?

Ahora expandamos nuestra hoja de cálculo a otros tres tipos de conversio-nes, como lo muestra la figura de abajo.

En la celda E3 debes poner la fórmula: =D3*24

En la celda B7 debes poner la fórmula: =A7*

En la celda E7 debes poner la fórmula: =

De días a horas, de horas a minutos...De días a horas, de horas a minutos...


58

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C D E1 De A De A2 años días días horas3 3.5 1277.5 5 12045 De A De A6 horas minutos minutos segundos7 12 720 5 3008

Usa ahora tu hoja de cálculo para contestar las siguientes preguntas:

¿Cuántas horas hay en 7 días (1 semana)?

¿Cuántos minutos hay en 1 día (24 horas)?

Con tu hoja de cálculo anterior puedes hacer conversiones muy variadas, talcomo lo mostramos a continuación.

Por ejemplo, si queremos saber cuántos segundos hay en 2 años, podemoshacer lo siguiente.

En la celda A3 ponemos 2 para obtener en la celda B3 el número de días

en 2 años. El resultado es: días.

En la celda D3 ponemos 730 para obtener en la celda E3 el número de

horas en estos 2 años. El resultado es: horas.

En la celda A7 ponemos 17520 para obtener en la celda B7 el número

de minutos en estos 2 años. El resultado es: minutos.

En la celda D7 ponemos para obtener en la celda E7 el núme-

ro de segundos en estos 2 años. El resultado es: segundos.

Construye otra hoja de cálculo que haga el procedimiento anterior automá-ticamente.

Las celdas B3, C3, D3 y E3 deben tener sus fórmulas respectivas (=A3*365,=B3*24...):

Introducción a la hoja de cálculo


59

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

A B C D E1 De A A A A2 años días horas minutos segundos3 2 730 17520 1051200 630720004

Usa ahora tu hoja de cálculo para contestar las preguntas siguientes:

¿Cuántos segundos ha vivido una persona de 65 años?

¿A cuántos minutos equivale esta cantidad?

Regresemos a la hoja de cálculo más sencilla de la página anterior que con-

vierte de años a días. ¿Podrías usar esa misma hoja para convertir de días a

años? Explica tu respuesta (sugerencia: fíjate dónde está el valor y dónde está

la fórmula).

Introducción a la hoja de cálculo


61

En esta actividad el estudiante continuará familiarizándose con la hoja elec-trónica de cálculo mediante la conversión de alturas.En Estados Unidos y otros países, la altura de las personas se mide en pies y

pulgadas. Por ejemplo, la altura de un jugador de basquetbol puede ser de 7 piescon 4 pulgadas.

Para convertir esta altura a metros, necesitamos saber que:

Un pie contiene 12 pulgadas

Una pulgada equivale a 2.54 centímetros

Para hacer esta conversión, construye la hoja de cálculo que se muestra acontinuación. Para ello, necesitas poner fórmulas en tres celdas.

En la celda B6 debes poner la fórmula: =A3*12+B3. Explica esta fórmula:

En la celda C6 debes poner la fórmula: =B6*2.54. Explica esta fórmula:

En la celda D6 debes poner la fórmula: =

De pies y pulgadasa metros y viceversaDe pies y pulgadasa metros y viceversa


62


A B C D E12 Pies: Pulgadas:3 7 445 Total pulgadas: Total cm: Total metros:6 88 223.52 2.235278

Usa tu hoja de cálculo para contestar las siguientes preguntas:

Una señora mide 4 pies con 8 pulgadas. ¿Cuál es su altura en metros?

Una persona mide exactamente 6 pies. ¿Cuántas pulgadas mide?

¿Cuál es su altura en metros?

¿Cuál es la longitud de una yarda en centímetros? (una yarda equivale a 3 pies):

Un avión vuela a 10 000 pies de altura. ¿A cuánto equivale esta altura en metros?

Un estudiante viaja a una universidad de Estados Unidos donde le asignan

un cuarto para dormir de 12.5 pies de largo por 8 pies de ancho. ¿A cuántos

metros equivalen estas medidas? y

Tu hoja también te puede servir para convertir metros a pies y pulgadas. Elmétodo que debes seguir es el de tanteo y mejora, como se ilustra enseguida.

Supongamos que quieres saber la altura en pies y pulgadas de una personaque mide 1.90 m.

Primero determinamos los pies correspondientes a esta altura, variando (1, 2,3, 4, …) la cantidad de pies en la celda A3 hasta que nos acerquemos lo másposible a la altura de la persona (celda D6) sin pasarnos (la cantidad de pulga-das debe estar en cero).

¿Cuántos pies obtuviste al hacer esto?Una vez identificada la cantidad de pies, variamos (1, 2, 3, 4, …) la canti-

dad de pulgadas en la celda B3 hasta que nos acerquemos lo más posible a laaltura de la persona.

¿Cuántas pulgadas obtuviste al hacer esto?¿Cuál es la altura de la persona? pies y pulgadas.


63


Usando el procedimiento anterior, contesta las siguientes preguntas:

Una persona mide 2.70 metros. ¿Cuál es la altura de esta persona en pies y

pulgadas? pies y pulgadas.

Una estatua mide 6.40 metros. Aproximadamente, ¿cuántos pies de altura

tiene?

Una señorita mide su cintura con una cinta métrica y obtiene 66 centímetros.

¿Cuál sería su cintura en pulgadas (sin pies)?

¿A cuántos pies y pulgadas equivalen éstas? pies

y pulgadas.

¿A cuántos pies equivale un metro? (No utilices las pulgadas, pero usa valo-

res decimales para los pies.)

¿A cuántas pulgadas equivale un metro? (No utilices ahora los pies, pero usa

valores decimales para las pulgadas.)


• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

64


65

En esta actividad el estudiante aprenderá a ”copiar fórmulas hacia abajo“.La escala centígrada y la Kelvin son muy similares. Un aumento en la tempe-

ratura de un grado centígrado (oC) equivale también a un aumento de un gradoKelvin (oK). La diferencia entre estas escalas es que la temperatura de 0 oC equi-vale a 273 oK.

Para mostrar la relación de valores entre estas dos escalas, construye una ho-ja de cálculo haciendo lo siguiente:

1. Escribe en las celdas A1 y B1: “Grados C” y “Grados K”, respectivamente.2. Escribe en las celdas A2 y B2 los números 0 y 273, respectivamente.3. Escribe en las celdas A3 y B3 las fórmulas: =A2+1 y =B2+1, respecti-

vamente.

¿Qué resultados obtienes en cada una de estas celdas?

y

Explica las fórmulas de arriba:

4. “Copia hacia abajo” las fórmulas que escribiste en las celdas A3 y B3(Pídele a tu profesor, o a un compañero que ya sepa, que te enseñe cómo.)Tu hoja debe quedar como sigue.

A B C1 Grados C Grados K2 0 2733 1 2744 2 2755 3 2766 4 2777 5 2788 6 279

Grados Kelvin, centígradosy Fahrenheit (relaciones de cambios)

Grados Kelvin, centígradosy Fahrenheit (relaciones de cambios)


66


Usa tu hoja para contestar las siguientes preguntas:

¿A cuántos grados Kelvin equivalen 27 oC?

¿A cuántos grados centígrados equivalen 333 oK?

Para incluir también valores negativos en la lista de grados centígrados, po-demos iniciar la lista desde cero absoluto como se indica a continuación:

1. Escribe en las celdas A2 y B2 los números �273 y 0 respectivamente(�273 oC equivale a 0 oK).

2. Extiende las dos columnas hacia abajo hasta que veas el 0 en los gradoscentígrados.

3. Comprueba que le corresponde el valor 273 en los grados Kelvin.

Usa tu hoja modificada para contestar las preguntas siguientes:

¿A cuántos grados centígrados equivalen 25 oK?

¿A cuántos grados Kelvin equivalen �200 oC?

Abre otra hoja de cálculo nueva.La escala centígrada y la Fahrenheit no son muy similares. Un aumento en la

temperatura de 5 grados centígrados equivale a un aumento de 9 grados Fah-renheit. Además, la temperatura de 0 oC equivale a 32 oF.

Para mostrar la relación de valores entre las tres escalas estudiadas en estaactividad, construye una hoja de cálculo haciendo lo siguiente:

1. Escribe en las celdas A1, B1 y C1: “Grados C”, “Grados K” y “Grados F”.2. Escribe en las celdas A2, B2 y C2: los números 0, 273 y 32.3. Escribe en las celdas A3, B3 y C3: las fórmulas: =A2+5, =B2+5 y

=C2+9.

Explica estas tres fórmulas:

¿Qué resultados obtienes en cada una de estas celdas? ,

y

4. “Copia hacia abajo” las fórmulas que escribiste en las celdas A3, B3 y C3.

Tu hoja debe quedar como sigue.


67


A B C D1 Grados C Grados K Grados F2 0 273 323 5 278 414 10 283 505 15 288 596 20 293 687 25 298 778 30 303 86

Usa tu hoja de cálculo para contestar las preguntas siguientes:

¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 100 oC?

¿A cuántos grados centígrados equivalen 104 oF?

Si alguien te dice que en Nueva York la temperatura de ayer llegó a un má-

ximo de 45 oF, ¿hizo calor o frío? Aproximadamente, ¿a

cuántos grados centígrados equivale esta temperatura?


69

En esta actividad el estudiante desarrollará en la hoja de cálculo dos mode-los sencillos de poblaciones.¿Cómo crees que crecen las poblaciones? Te damos a continuación dos op-

ciones. Analízalas:a) El número de nacimientos es constante durante los años.b) El número de nacimientos es mayor conforme crece la población.

Creo que la más adecuada es la opción

Introduzcamos estas dos opciones en una hoja de cálculo para ver qué resul-tados generan. Empecemos con la opción a).

Supongamos que tenemos inicialmente una población de 100 000 indivi-

duos y que anualmente nacen 10 000 bebés. ¿Cuántos individuos habrá al año?

¿Cuántos individuos habrá al segundo año?

Para calcular estos valores de manera automática, construye una hoja de cálcu-lo y haz lo siguiente.

1. Escribe en las celdas A1 y B1: “Tiempo” y “Población A”, respectivamente.2. Escribe en las celdas A2 y B2 los números 0 y 100 000, respectivamente.3. Escribe en las celdas A3 y B3 las fórmulas: =A2+1 y =B2+10000.

¿Qué resultados obtienes en cada una de estas celdas? y

Explica las fórmulas de arriba:

4. “Copia hacia abajo” las fórmulas que escribiste en las celdas A3 y B3.Tu hoja debe de quedar como sigue.

¿Cómo crecen las poblaciones?¿Cómo crecen las poblaciones?


70


A B C1 Tiempo Población A2 0 100 0003 1 110 0004 2 120 0005 3 130 0006 4 140 0007 5 150 0008 6 160 000

¿Qué población habrá 20 años después del inicio?

A este crecimiento se le llama “lineal” (aumentos constantes).Agreguemos ahora a la hoja la opción b). Comencemos nuevamente con

una población de 100 000 individuos. Supongamos ahora, de acuerdo con laopción b), que anualmente nace una cantidad de bebés igual a 10% de la po-blación.

Así, en el primer año nacerá una cantidad de bebés igual a 10% de

100 000 � 10 000 bebés. Por lo tanto, la cantidad total de individuos al año

será de 110 000. Explica este último resultado:

Para el segundo año nacerá una cantidad de bebés igual a 10% de 110 000 �

bebés. Por lo tanto, la cantidad total de individuos al

año será de 110 000 � 11 000 � .Para calcular estos valores de manera automática, agrega a tu hoja de cál-

culo lo siguiente:1. Escribe en las celdas D1, E1 y F1: “Tiempo”, “Población B” y “Nacimientos”.2. Escribe en las celdas D2 y E2 los números 0 y 100 000.3. Escribe en la celda F2 la fórmula: =E2*0.1

¿Qué resultado obtienes en esta celda?


71


Explica la fórmula de arriba:

4. Escribe en las celdas D3 y E3 las fórmulas: =D2+1 y =E2+F2


Explica la segunda fórmula de arriba:

5. “Copia hacia abajo” las fórmulas que escribiste en las celdas D3, E3 y F2.Tu hoja debe quedar como sigue.

A B C D E F1 Tiempo Población A Tiempo Población B Nacimientos2 0 100 000 0 100 000 10 0003 1 110 000 1 110 000 11 0004 2 120 000 2 121 000 12 1005 3 130 000 3 133 100 13 3106 4 140 000 4 146 410 14 6417 5 150 000 5 151 051 15 105.18 6 160 000 6 166 156.1

Extiende todas las columnas hacia abajo y compara el crecimiento de las dospoblaciones.

Escribe a continuación tus conclusiones.

Discute tus resultados con tu profesor de biología (¡las poblaciones crecen deacuerdo con la opción b)!).


73

En esta actividad el estudiante continuará usando el procedimiento “copian-do fórmulas hacia abajo”.En la actividad anterior utilizamos una relación de cambios entre las diferen-

tes escalas de temperatura. Por ejemplo, vimos que un cambio de 5 grados enla escala centígrada equivale a un cambio de 9 grados en la escala Fahrenheit.En esta actividad usaremos fórmulas para relacionar las diferentes escalas.

La fórmula que relaciona grados centígrados con grados Kelvin es la siguien-te: oK � oC � 273.

Construye una hoja de cálculo que relacione estas dos escalas, utilizando lafórmula anterior. Sigue los pasos marcados a continuación.

1. Escribe en las celdas A1 y B1: “Grados C” y “Grados K”.2. Escribe en la celda A2 el número 0.3. Escribe en la celda B2 la fórmula: =A2+273.

Explica esta fórmula:

4. Escribe en la celda A3 la fórmula: =A2+5.


5. “Copia hacia abajo” las fórmulas que escribiste en las celdas A3 y B2.Tu hoja debe quedar como sigue.

Grados Kelvin, centígradosy Fahrenheit (relaciones funcionales)

Grados Kelvin, centígradosy Fahrenheit (relaciones funcionales)


74


A B C1 Grados C Grados K2 0 2733 5 2784 10 2835 15 2886 20 2937 25 2988 30 303

Después de “copiar hacia abajo”, ¿qué fórmula apareció en la celda A4?

Explícala:

Después de “copiar hacia abajo”, ¿qué fórmula apareció en la celda B3?

Explícala:

La fórmula que relaciona grados centígrados con grados Fahrenheit es la si-guiente:

oF � 9 oC � 32.5

Extiende tu hoja de cálculo anterior para que incluya la escala Fahrenheit uti-lizando la fórmula anterior.

1. Escribe en la celda C1 “Grados F”.2. Escribe en la celda C2 la fórmula: =9*A2/5+32.


3. “Copia hacia abajo” la fórmula que escribiste en la celda C2.Tu hoja debe quedar como sigue.


75


A B C D1 Grados C Grados K Grados F2 0 273 323 5 278 414 10 283 505 15 288 596 20 293 687 25 298 778 30 303 86

Después de “copiar hacia abajo”, ¿qué fórmula apareció en la celda C3?

Después de “copiar hacia abajo”, ¿qué fórmula apareció en la celda C4?

Explícalas:

Nota que la única celda que no tiene fórmula es la A2. Todas las demás de-penden de este número. Para que veas esto, cambia el 0 de esta celda por un100 y observa el efecto.

¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 130 oC?

¿A cuántos grados Kelvin equivalen 130 oC?

Cambia el valor de la celda A2 para que puedas contestar la pregunta: ¿A

cuántos grados Fahrenheit equivalen �40 oC?

En la celda A3 tienes la fórmula: =A2+5. Cámbiala por la fórmula: =A2+1 y

cópiala hacia abajo. Describe a continuación lo que sucedió:


77

En esta actividad el estudiante usará las fórmulas de distancia d = vt en unahoja de cálculo para calcular las distancias recorridas y las posiciones de un

automóvil.Supongamos que un coche se encuentra en el kilómetro 150 de una carrete-

ra y que viaja a una velocidad constante de 80 kilómetros por hora.

¿Qué distancia recorrerá en 2 horas? En qué kilóme-

tro se encontrará después de 2 horas?

Para calcular estos valores de manera automática, construye una hoja de cálcu-lo utilizando los pasos siguientes:

1. Escribe en las celdas A1, B1 y C1: “Tiempo (hr)”, “Distancia (km)” y “Po-sición (km)”.

2. Escribe en las celdas A2, B2 y C2 los números 0, 0 y 150 (en el tiempo 0,la distancia recorrida es 0 y la posición del automóvil es en el kilómetro 150).

3. Escribe en las celdas A3 y B3 las fórmulas: =A2+1 y =80*A2.


Explica la segunda fórmula de arriba (recuerda la fórmula de distancia):

4. Escribe en la celda C3 la fórmula: =B3+150.

¿Qué resultado obtienes en esta celda?

Explica la fórmula de arriba:

Distancia recorrida y posiciónDistancia recorrida y posición


78


5. “Copia hacia abajo” las fórmulas que escribiste en las celdas A3, B3 y C3.Tu hoja debe quedar como sigue.

A B C D1 Tiempo (hr) Distancia (km) Posición (km)2 0 0 1503 1 80 2304 2 160 3105 3 240 3906 4 320 4707 5 400 5508 6 480 630

¿Cuál es la posición del automóvil a las 9 horas de camino?

¿Qué distancia recorrió desde el inicio?

Supón ahora que otro automóvil, en el tiempo 0, se encuentra en el kilóme-tro 400 de la misma carretera y que viaja a una velocidad constante de 60 ki-lómetros por hora.

Construye una hoja de cálculo, como la que aparece a continuación, quecompare las posiciones de ambos coches. Las columnas A, B, y C son iguales alas anteriores con pequeñas modificaciones. En las celdas D3 y E3 debes escri-bir las fórmulas correspondientes y copiarlas hacia abajo (sugerencia: observa lasfórmulas usadas en las celdas D3 y E3).

Tu hoja debe quedar como sigue.

A B C D E F1 Tiempo Distancia A Posición A Distancia B Posición B

(hr) (km) (km) (km) (km)2 0 0 150 0 4003 1 80 230 60 4604 2 160 310 120 5205 3 240 390 180 5806 4 320 470 240 6407 5 400 550 300 7008 6 480 630 360 760


79


Con los resultados de tu hoja, contesta las siguientes preguntas:

A las 9 horas, ¿cuál es la posición del coche A? , ¿cuál es la po-

sición del coche B? ¿Cuál de los dos va adelante?

¿Cuántos kilómetros de ventaja le lleva?

A las 12 horas, ¿cuál es la posición del coche A? , ¿cuál es la po-



A las 13 horas, ¿cuál es la posición del coche A? , ¿Cuál es la po-



¿En qué tiempo exacto alcanzará el automóvil A al B?

Tarea

En un mismo plano coordenado, traza las gráficas de la posición contra el tiem-po para los dos automóviles (pasa los datos que necesites a una hoja de papel).

Observa en qué punto se intersectan las gráficas y compáralo con el tiempode alcance que obtuviste arriba.


81

En esta actividad introduciremos algunas fórmulas necesarias para calcular elporcentaje en masa y el porcentaje en volumen de una aleación.Supongamos que formamos una aleación fundiendo 20 gramos de oro con

60 gramos de cobre. ¿Cuál será la masa total de la aleación?

El porcentaje de oro (en masa) estaría dado por:

Porcentaje de oro (en masa) � 20 � 100�80

El porcentaje de cobre (en masa) estaría dado por:

Porcentaje de cobre (en masa) � � 100�80

Para calcular los volúmenes de oro y cobre, necesitamos una fórmula que re-lacione éstos con su masa. En la primera parte encontramos que la densidad esla cantidad de masa de una sustancia por unidad de volumen. Esto se puede ex-presar mediante la fórmula siguiente:

densidad �masa

volumen

Esta fórmula también puede escribirse como:

volumen �masa

densidad

La densidad del oro es de 19.3 g/cm3. De acuerdo con la fórmula anterior,el volumen de los 20 gramos de oro que teníamos al inicio será de:

Volumen de oro � 20 � cm3

19.3

La densidad del cobre es de 8.9 g/cm3. De acuerdo con la fórmula anterior,el volumen de los 60 gramos de oro que teníamos al inicio será de:

Volumen de cobre � �

Mezclas y aleaciones (II)Mezclas y aleaciones (II)


82


¿Cuál es el volumen total de la aleación?

Los porcentajes de oro y cobre (en volumen) serán de:

Porcentaje de oro (en volumen) � �100�

Porcentaje de cobre (en volumen) � �100�

Comenta con tus compañeros acerca de los resultados de esta actividad.


83

En esta actividad formaremos aleaciones y resolveremos, por medio de unahoja de cálculo que construiremos, algunos problemas relacionados.

Modelemos una situación similar a la discutida en la segunda parte. Suponga-

mos que formamos una aleación fundiendo 100 gramos de oro con 100 gramos

de cobre. ¿Cuál será la masa total de la aleación?

¿Qué porcentaje de oro (en masa) tendrá?

Construye una hoja de cálculo como la que aparece a continuación. Las dosdensidades y las dos masas del oro y del cobre se toman como los datos. Lasotras seis cantidades se deben calcular con fórmulas (para los volúmenes utilizala fórmula: volumen � masa/densidad).

A B C D1 Densidad oro Densidad cobre

(g/cm3) (g/cm3)2 19.3 8.934 Masa oro Masa cobre Masa total Porcentaje de oro

(g) (g) (g) en masa5 100 100 200 50.0%67 Volumen oro Volumen cobre Volumen total Porcentaje de oro

(cm3) (cm3) (cm3) en volumen8 5.18 11.24 16.42 31.6%

La aleación anterior es de “12 quilates” ya que contiene 50% de oro en ma-sa (al oro 100% puro se le denomina de “24 quilates”).

Mezclas y aleaciones (III)Mezclas y aleaciones (III)


84


Notarás que el volumen del oro es menor que el del cobre, aun cuando su ma-

sa es igual. Trata de explicar esto, basándote en el hecho de que la densidad

del oro es mayor:

Con tu hoja de cálculo resuelve los siguientes problemas:

Un anillo contiene 18 gramos de oro y 6 gramos de cobre. ¿Qué masa total

tiene este anillo?

¿Qué volumen total tiene?

¿Qué porcentaje de oro en volumen contiene?

¿De cuántos quilates es el anillo?

Se desea hacer un anillo similar al anterior con 6 gramos de cobre pero con

un porcentaje de oro en volumen de tan sólo 35%. ¿Cuántos gramos de oro

se necesitarán? (Sugerencia: varía en tu

hoja la masa del oro hasta que obtengas este porcentaje de oro en volumen.)

Se tienen 500 gramos de oro, a los que se quiere agregar cobre en aleación

para hacer un cubo de 125 cm3. ¿Cuántos gramos de cobre se necesitarán?

(Sugerencia: varía en tu hoja la masa del

cobre hasta que obtengas este volumen total.)

¿Cuál es el porcentaje de oro en masa del cubo?

¿A cuántos quilates aproximadamente equivale este porcentaje?

(Sugerencia: efectúa la siguiente regla de tres: 100% de oro son 24 quilates,

36.2% de oro, ¿cuántos quilates serán?)

Se desea hacer una estatuilla de 12 quilates con un volumen total de 1 000

cm3. Antes de usar tu hoja contesta: ¿Qué porcentaje de oro en masa se de-

be tener?


85


Usa ahora tu hoja para obtener lo siguiente (Sugerencia: varía en tu hoja las

masas de oro y cobre, pero siempre con el mismo valor.) ¿Cuántos gramos

de oro se necesitarán?

¿Cuántos gramos de cobre se necesitarán?

Convierte las cantidades anteriores a kilogramos: ¿Cuántos kilogramos de oro?

¿Cuántos kilogramos de cobre?

¿Cuánto costará en total la estatuilla?

Los siguientes problemas son más complicados que los anteriores pero másinteresantes.

A un joyero le llevan un anillo para que determine su quilataje. El joyero mi-

de su masa y su volumen, y encuentra 36 gramos y 3.23 cm3, respectivamen-

te. ¿Cuántos gramos de oro contiene el anillo?

¿Cuántos gramos de cobre contiene? (Sugerencia:

una de las condiciones del problema se puede expresar de la siguiente ma-

nera: “masa oro � masa cobre � 36”, o despejando: “masa cobre � 36 � masa

oro”. Inserta la fórmula “�36�A5” en la celda apropiada. Varía ahora la

masa de oro hasta que encuentres el volumen total del anillo. Nota que la ma-

sa total siempre será 36.)

¿De cuantos quilates es el anillo?

Resolvamos ahora un problema relacionado con Arquímedes (250 a. C.). Laleyenda cuenta que el rey Herón II de Siracusa encargó a su joyero fabricar unacorona de oro. El rey sospechó que la corona entregada contenía algo de pla-ta y le pidió a Arquímedes que descubriera la verdad sin dañar la corona. El pro-blema de Arquímedes era cómo podía saber el volumen de la corona. La leyen-da cuenta que Arquímedes se dio cuenta en una tina de baño que al sumergiralgo en agua se podía determinar su volumen, por la cantidad de agua despla-zada y salió a las calles desnudo y gritando “¡Eureka! ¡Eureka!”.


86


Supongamos que Arquímedes encuentra que la masa de la corona es de 3 000

gramos y su volumen de 200 cm3. Determina la cantidad de oro

y la cantidad de plata que contiene esta corona. Sugeren-

cia: tendrás que cambiar tu hoja de cálculo para aleaciones de oro y plata

(la densidad de la plata es de 10.5 g/cm3). Sigue el procedimiento sugerido

en el problema anterior, pero tendrás que escribir en la celda B5 una fórmu-

la adecuada para este problema.

¿Cuántos gramos de oro se robó el joyero?

Supón ahora que Arquímedes encuentra que la masa de la corona es de 3 000

gramos y su volumen de 300 cm3. Determina la cantidad de oro

y la cantidad de plata que contiene esta corona.

¿Qué crees que signifique tu descubrimiento anterior?


87

En esta actividad usaremos trazadores automáticos de gráficas, diseñados enhoja de cálculo (para esto, necesitarás tener a la mano las dos primeras par-

tes de esta actividad).En la primera parte de esta actividad realizamos dos gráficas circulares re-

presentando el color de ojos y el color de pelo de un grupo de individuos. Abreel archivo de Excel ”GraficadorCirc.xls“. Borra los datos, utilizando el botón quepara este fin aparece en la pantalla. Introduce en el programa los datos de latabla de frecuencias del color de ojos (primera hoja de la primera parte) y veri-fica que obtienes la misma gráfica circular.

Borra otra vez los datos e introduce ahora los datos de la tabla de frecuen-cias del color de pelo (segunda hoja de la primera parte). ¿Obtienes la mismagráfica que la que obtuviste en la primera parte de esta actividad?

Borra nuevamente los datos e introduce ahora los datos de la tabla siguien-te, que da el número de habitantes (en millones) en cada continente en el añode 1993. En la parte derecha de esta tabla, copia la gráfica que obtuviste.

CONTINENTE NÚMERO DE HABITANTES (EN MILLONES)África 628América 713Asia 3 052Europa 497Oceanía 26

En la misma primera parte de esta actividad se realizaron varias gráficas decolumnas. Abre el archivo de Excel ”GraficadorColu.xls“. Repite cada una de es-tas gráficas usando el programa. Copia abajo la gráfica del peso de cada per-sona del grupo.

La importancia de las gráficas (III)La importancia de las gráficas (III)


88

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Explorando modelos computacionales

Cuando hayas terminado, introduce en este programa los datos de arriba so-bre el número de habitantes en cada continente. En el espacio de abajo copiala gráfica que obtuviste.

En la segunda parte de esta actividad hicimos varias gráficas de líneas cur-vas. Abre el archivo de Excel ”Graficador.xls“ y repite en él todas estas gráficas.

Escribe a continuación un párrafo explicando por qué piensas que una gráfica

es mejor que una tabla de valores. Terminando este párrafo escribe otro señalan-

do algunas ventajas de la tabla sobre la gráfica (discute tus ideas con todo el

grupo).


89

En esta actividad tomarás y analizarás datos de un proceso representado enla computadora.Abre el archivo de Excel “HervirAgua.xls”. En la parte superior de la panta-

lla verás los valores asignados a las tres cantidades siguientes:

Tasa de calentamiento: 2000 J/min (joules por minuto) Temperatura inicial del agua: 20 oC Volumen inicial del agua: 100 cm3

En la parte inferior de la pantalla hay tres gráficas de barras con sus respec-tivos valores para el “Tiempo” en minutos, la “Temperatura” del agua en gradoscentígrados y el “Volumen” del agua en cm3.

El “Tiempo” tiene su control para variar su valor. Aprieta este control (haciendo“clic” en con el ratón) para avanzar el tiempo hasta los 60 minutos. Observacon detenimiento qué les sucede a las otras gráficas.

Describe lo que le pasa con la temperatura del agua conforme avanza el tiem-

po hasta los 60 minutos:

Describe lo que le sucede al volumen del agua conforme avanza el tiempo has-

ta los 60 minutos:

Hirviendo agua dentro de la computadoraHirviendo agua dentro de la computadora


90

Obtén un dato más del programa. ¿En qué tiempo exactamente la temperatura

del agua llega a 100 °C?

Según los valores de la tabla anterior, estima en qué tiempo el agua se evapo-

rará completamente:

Regresa nuevamente el valor del tiempo a cero. Reduce la tasa de calentamien-to a la mitad, es decir, escribe en la celda respectiva el valor de 1 000 (J/min).

Avanza el valor del tiempo y observa la variación de la temperatura y el volumen.

Describe lo que le sucede con la temperatura del agua conforme avanza el tiem-

po contrastando con el caso anterior:

Describe lo que sucede con el volumen del agua conforme avanza el tiempo

contrastando con el caso anterior:

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Explorando modelos computacionales

Regresa el valor del tiempo a cero. Varía nuevamente el valor del tiempo, to-mando los datos necesarios para llenar la siguiente tabla.

TIEMPO (min) TEMPERATURA (OC) VOLUMEN (cm3)

0 20 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


91

Obtén un dato más del programa. ¿En qué tiempo exactamente la temperatura

del agua llega a 100 °C?

De acuerdo con los valores de la tabla anterior, estima en qué tiempo el agua

se evaporará completamente:

Experimenta con el programa para que encuentres una situación diferente alas de arriba. En una hoja describe la situación y los resultados que obtengas.

Tarea

En el plano de abajo está trazada la gráfica de temperatura contra el tiem-po para la primera de las dos situaciones en las que tomaste datos en las hojasanteriores. Verifica con tus datos que está correcta. Traza de la misma manerala gráfica correspondiente a la segunda situación. Nota que ambas gráficas es-tán formadas por dos líneas rectas que se unen respectivamente en los tiempos17 y 33.5 minutos.

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Explorando modelos computacionales

Regresa el valor del tiempo a cero y toma los datos necesarios para llenar lasiguiente tabla.

TIEMPO (min) TEMPERATURA (OC) VOLUMEN (cm3)

0 20 100

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50


92

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

En el plano de abajo está trazada la gráfica del volumen contra el tiempo parala primera de las dos situaciones en las que tomaste datos en las hojas anteriores.Verifica con tus datos que está correcta. Traza de la misma manera la gráfica co-rrespondiente a la segunda situación. Nota que ambas gráficas están formadas dedos líneas rectas que se unen respectivamente en los tiempos 17 y 33.5 minutos.

Extiende la recta de la gráfica dada arriba para obtener el tiempo en el que elagua se evapora completamente (volumen � 0):

Explorando modelos computacionales

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110T (oC)

t (min)

10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 t (min)

V (cm3)


93

En esta actividad discutiremos en qué casos se debe aplicar la regla de tres.La regla de tres debe usarse solamente cuando:

a) Exista seguridad acerca de que la situación es de tipo proporcional.b) El razonamiento proporcional falle.

Por ejemplo, analiza y resuelve el problema siguiente:

Juan tiene 10 años y su hermano 15. Cuando Juan llegue a los 20 años de edad

(es decir, duplique su edad), ¿cuál será la edad de su hermano?

¿Al duplicarse una cantidad se duplica la otra?

¿Contiene este problema una situación de tipo proporcional?

¿Se podría aplicar la regla de tres?

Ahora considera el siguiente problema:

En un supermercado se venden 6 naranjas por 4 pesos. ¿Cuánto costarán 12

naranjas? ¿Cuánto costarán 36 naranjas?

¿Al duplicarse una cantidad se duplica la otra?

¿Contiene este problema una situación de tipo proporcional?

¿Se podría aplicar la regla de tres?

Aun cuando se puede aplicar la regla de tres, razonamientos proporcionalescomo los siguientes son más apropiados: “El doble de naranjas debe costar eldoble, o sea, 8 pesos”, “36 naranjas son 6 veces 6 naranjas; por lo tanto el pre-cio será 6 veces más, es decir, 24 pesos”.

Analiza y resuelve el siguiente problema. Decide primero si la situación es detipo proporcional. Si lo es, aplica un “razonamiento proporcional”, o la regla detres donde sea apropiado.

Un edificio de 24 metros de altura proyecta en el suelo una sombra de 10 metros.

¿Qué sombra tendrá un edificio de 12 metros de altura (la mitad)?

¿Qué sombra tendrá un edificio de 38 metros de altura?

Uso de la regla de tres (I)Uso de la regla de tres (I)


95

En esta actividad usarás un programa de cómputo que te permite aplicar laregla de tres automáticamente.Regresemos al problema que resolviste en la actividad anterior. “Un edificio

de 24 metros de altura proyecta en el suelo una sombra de 10 metros. ¿Quésombra tendrá un edificio de 38 metros de altura?”.

Este problema se puede plantear en forma de regla de tres de la siguienteforma:

24 es a: 10como 38 es a: �

Abre el archivo de Excel “ReglaDe3.xls”. En él encontrarás que puedes apli-car la regla de tres en dos formas equivalentes mostradas a continuación.

Forma 1

213 es a: 122.6

como: ??? es a : 200

347.47

Forma 2

122.6 es a: 213

como: 200 es a : ???

347.47

Notarás que el problema del edificio y su sombra tiene la forma 2 (incógni-ta a la derecha). Cambia las tres cantidades de esta forma como se muestra acontinuación para resolver el problema.

Forma 2

24 es a: 10

como: 38 es a : ???

15.83

Uso de la regla de tres (II)Uso de la regla de tres (II)


96

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Explorando modelos computacionales

La respuesta dada es que el edificio de 38 metros tendrá 15.83 metros de sobra.Resuelve ahora con el programa el siguiente problema: “Un edificio de 24

metros de altura proyecta en el suelo una sombra de 10 metros. ¿Qué altura ten-drá un árbol que proyecta una sombra de 4.5 metros?”. (Sugerencia: usa la for-ma 1 como se te indica a continuación.)

Forma 1

24 es a: 10

como: ??? es a : 4.5

resultado aquí

La respuesta es:

En una actividad anterior sobre proporcionalidad resolviste problemas comolos que siguen. Resuelve ahora las siguientes versiones más complicadas de losmismos usando este programa de la regla de tres.

1. 2 gramos de hidrógeno necesitan 16 gramos de oxígeno para formar 18gramos de agua. Si queremos obtener un litro de agua (1000 gramos),

¿Cuántos gramos de hidrógeno se necesitan?

¿Cuántos gramos de oxígeno se necesitan?

2. 48 gramos de carbono necesitan 10 gramos de hidrógeno para formar58 gramos de butano. Si se tienen 500 gramos de carbono,

¿Cuántos gramos de hidrógeno se necesitan?

¿Cuántos gramos de butano se elaboran?

3. Calcula el volumen de 1 kg de cada una de las sustancias dadas a continuación.

¿Cuál es el volumen de 1 kg de plata sabiendo que 105 g tienen un volumen de

10 cm3?

¿Cuál es el volumen de 1 kg de corcho sabiendo que 2 g tienen un volumen de

10 cm3?

¿Cuál es el volumen de 1 kg de azúcar sabiendo que 16 g tienen un volumen

de 10 cm3?


97

Celsius y Fahrenheit inventaron escalas de temperatura que ahora llevan sunombre. En esta actividad podrás inventar tu propia escala de temperatura.

Abre el archivo de Excel “CentiFahreMove.xls”. En la pantalla se han esco-gido ya los tres valores apropiados para la conversión de grados Celsius (°C) aFahrenheit (°F):

0 °C � 32 °F

Para un aumento de 5 °C habrá un aumento de 9 °F

El programa te da una lista de valores relacionando las dos escalas y la grá-fica correspondiente. Contesta lo siguiente:

¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 0 °C?



¿Por qué la gráfica que relaciona las dos escalas es una recta?

Cambia ahora los valores del programa, como se te indica a continuación,para que éste represente la conversión de grados Celsius a otra escala de tem-peratura inventada.

1. En la celda G1 cambia la F por una M (la M representa “grados mexicanos”).

2. Con el control respectivo cambia a la equivalencia:

0 °C � �10 °M

3. Con el control respectivo cambia a la relación:

Para un aumento de 5 °C habrá un aumento de 2 °M

Inventa tu propia escala de temperaturaInventa tu propia escala de temperatura


98

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

De acuerdo con la lista de valores contesta lo siguiente:

¿A cuántos grados M equivalen 0 °C?



El 0 en grados M corresponde a °C.

Observa, por ejemplo, que el rango de temperaturas de 25 a 30 °C se tra-

duce al rango más pequeño de 0 a 2 °M. ¿A cuántos grados C equivaldría 1 °M?

Estudia los valores de esta nueva escala M y decide si sería bueno o malo

usarla (da tus razones).

Varía hacia arriba y hacia abajo el control que cambia la equivalencia a 0 °C

y describe a continuación su efecto en la gráfica. Explica tus conclusiones.

Varía hacia arriba y hacia abajo el control que cambia la relación entre au-

mentos y describe a continuación su efecto en la gráfica. Explica tus conclusiones.

Explorando modelos computacionales


99


Cambia ahora los valores del programa como quieras, para que representela conversión de grados Celsius a otra escala de temperatura inventada por ti.Escribe abajo los valores que escogiste:

1. En la celda G1 puse una (ésta representa “grados ”).

2. La equivalencia de 0 °C es:

0 °C � °

3. La relación entre aumentos es:

Para un aumento de °C habrá un aumento de °

¿Es tu escala mejor o peor que la Celsius? Explica por qué:

A continuación, copia los 10 primeros valores de la tabla y la gráfica corres-pondiente.

En tu escala, ¿cuál sería la temperatura normal de cuerpo humano?

¿A qué temperatura herviría el agua? ¿A qué temperatura

se congelaría el agua?


101

En esta actividad utilizaremos un trazador automático de gráficas, diseñadoen hoja de cálculo, para explicar el concepto de correlación.La siguiente tabla es parecida a la de la primera parte de esta actividad en

la que se dieron algunos datos de 10 personas adultas. En ella se incluye un da-to extra, el ”largo del pie“ de cada una de las personas:

NOMBRE ALTURA (cm) PESO (kg) LARGO DEL PIE (cm)Lan 175 75 29Bob 165 87 28Rus 160 63 27Ena 75 32 12Cal 168 70 28Dil 167 100 28Ami 182 83 30Shak 215 150 35Tes 150 50 25Iri 172 67 29

Analiza primero los datos de la altura y el peso y responde lo siguiente.

¿Existe una relación entre ellos? Por ejemplo, ¿son las personas más altas las de

mayor peso y las más bajas las de menor peso?

Para un análisis más preciso, podemos pasar esta información a una gráfica.Para esto abre el archivo de Excel ”MinimosCuad.xls“. Con el botón de arribaen la pantalla borra los datos. Dos celdas abajo de la que dice ”Nombres va-riables“ introduce los nombres ”Peso“ a la izquierda (celda B5) y ”Altura“ a laderecha (celda C5).

Introduce ahora los datos de la tabla de arriba en las columnas correspon-dientes (columna B para los 10 datos del peso y columna C para los de la altu-ra). Cuando termines observarás que cada pareja de datos está representadopor un punto en la gráfica (el eje x representa el peso y el eje y la altura). Tam-bién observarás una línea recta que trata de acercarse a todos los datos ”lo me-jor posible“.

La importancia de las gráficas (IV)La importancia de las gráficas (IV)


102

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •Explorando modelos computacionales

Escribe a continuación todo lo que puedas decir acerca de esta gráfica.

Observarás también en la parte inferior de la pantalla que se da un valor de

la correlación de 0.813. Este valor es una medida de qué tan bien se pueden

aproximar los datos con una línea recta. Un valor de 1 significa que los puntos

están alineados 100%. Un valor de 0 indica que los datos están muy dispersos por

todos lados. ¿Qué puedes decir de la alineación de los puntos en la pantalla?

El valor de la correlación ante-

rior te dice que están mas o menos alineados (80% aproximadamente).

Analiza de la misma manera la relación que existe entre la altura de una per-sona y la longitud de su pie. Para esto, cambia la celda que dice ”Peso“ por”Long. Pie“. Introduce en esa columna los datos respectivos dados en la prime-ra hoja de esta actividad. Deja iguales los datos de la altura.

Escribe aquí tus conclusiones.

La ecuación de la recta que se da en el programa se puede aproximar por:

”Altura“ � 6 ”Long. pie“

¿Es cierta esta relación? Discútela con todo tu grupo.


103


En la siguiente tabla se ofrecen los datos obtenidos de muestras de sangre to-mados de mujeres y hombres que viven a diferentes niveles sobre el mar. Se to-maron en cada altitud cuatro muestras, dos de mujeres y dos de hombres. Los va-lores dan el número de células rojas que contiene un milímetro cúbico de sangre.Analiza estos datos con la ayuda del archivo de Excel ”MinimosCuad.xls“. Intro-duce primero los datos de las mujeres y después los de los hombres.

MUJERES HOMBRES

ALTURA SOBRE EL NIVEL NÚM. DE CÉLULAS ROJAS NÚM. DE CÉLULAS ROJAS

DEL MAR (m) EN 1 mm3 DE SANGRE EN 1 mm3 DE SANGRE

0 4 000 4 5000 4 300 4 700

1 600 4 600 5 0001 600 4 500 5 1002 500 4 600 5 2002 500 4 800 5 4004 400 5 200 5 6004 400 5 400 5 9006 000 5 700 6 2006 000 5 800 6 100

Escribe a continuación tus conclusiones.

Del estudio anterior, ¿qué aprendiste sobre la relación entre la altura en la

que vive una persona y la cantidad de células rojas que tiene en la sangre?

¿Puedes explicar esta relación? Discútelo con tu grupo y tu profesor.


Química, Biología y FísicaEnseñanza de las Ciencias a través de Modelos Matemáticos

se imprimió por encargo de laComisión Nacional de Libros de Texto Gratuitos

en los talleres decon domicilio en

el mes de 2002.El tiraje fue de ejemplares

más sobrantes de reposición.


Química, Enseñanza de las Ciencias a través deModelos · Mezclas y aleaciones (III) 83 La...

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