Quiz 3 11 de Julio de 2009

Departamento de Fsica, Facultad de Ciencias, Universidad de Tarapac ____________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________ Dr. Edmundo Lazo, email: [email protected]; [email protected], fono: 205379

x=0 x=b x=c X

U(x)

0V

1V2V

E

IVII IIII

SOLUCIONARIO Tercer Quiz

Fsica Contempornea (Ingeniera civil) Semestre de Otoo

Sbado 11 de julio 2009 Problema 1. (0.5 ptos.) Se enva una partcula desde la derecha hacia la izquierda con energa total E , a la regin con potencial discontinuo, formado por las cuatro regiones marcadas que se muestran en la figura.

Solucin:

a) Resuelva la ecuacin de Schroedinger en cada regin del potencial ( )U x definido a travs de la figura. Luego elimine las soluciones fsicamente inaceptables y escriba correctamente la funcin de onda en todo el espacio. Debe dar las razones correctas por las cuales elimina las soluciones no fsicas.

La ecuacin de ecuacin de Schroedinger en cada regin se escribe

( ) ( ) ( )2 2 22 0d x m E V xdx + == (1)

donde V representa el valor del potencial constante en cada regin. Se proponen soluciones del tipo ( ) xx e = . Se reemplaza esta solucin en (1) y se obtiene la condicin que debe cumplir : ( )22m E V = = (2) En este problema tenemos cuatro regiones, por lo tanto tenemos cuatro valores de :

( ) ( )( ) ( )

1 0 2 12 2

3 4 22 2

2 2;

2 20 ;

m mE V E V

m mE E V

= =

= = = =

= =

(3)

Dado que la energa total E slo es menor que 0V , 1 es la nica magnitud real, las dems son todas imaginarias: 1 1 2 2 3 3 4 4; ; ;k ik ik ik = = = = (4) donde,



( ) ( )

( )1 0 2 12 2

3 4 22 2

2 2;

2 2;

m mk V E k E V

m mk E k E V

= =

= = = =

= =

(5)

Por lo tanto, matemticamente, la funcin de onda total viene dada por

( )( )( )( )( )

1 1

2 2

3 3

4 4

1

2

3

4

si 0si 0sisi

k x k x

ik x ik x

ik x ik x

ik x ik x

x Ae Be xx Ce De x b

xx Fe Ge b x cx He Je c x

= + < = + < = = + < = + < <

(6)

La solucin ( )1k xBe explota, es decir, tiende a infinito cuando x , por lo tanto debemos eliminarla, haciendo 0B = . La funcin de onda en todo el espacio viene dada por:

( )( )( )( )( )

1

2 2

3 3

4 4

1

2

3

4

si 0si 0sisi

k x

ik x ik x

ik x ik x

ik x ik x

x Ae xx Ce De x b

xx Fe Ge b x cx He Je c x

= < = + < = = + < = + < <

(7)

b) Aplique la condicin de continuidad de la funcin ( 0) ( 0)I IIx x = = = y la condicin de continuidad de la derivada

0 0

I II

x x

d ddx dx

= == en la discontinuidad finita 0x = , y escriba las dos

relaciones que resultan. En 0x = , se cumple ( ) ( )

1 2 2

1 2

0 0 0

0 0k ik ik

x x

Ae Ce De

= = == +

(8)

C D A+ = (9) Las derivadas vienen dadas por

( )1 2 21 21 2;k x ik x ik xd dk Ae ik Ce Dedx dx = = (10) La condicin que deben cumplir es,

1 20 0x x

d ddx dx

= == (11)

Es decir,

( )

( )1 2 20 0 0

1 2

1 2

k ik ikk Ae ik Ce De

k A ik C D

= = (12)

12

kC D i Ak

= (13) Las relaciones que resultan son:



x=0 x=b X

U(x)

0V

E

0V

12

C D AkC D i Ak

+ = = (14)

Problema 2. (0.5 ptos.) Una partcula se encuentra en una caja de potencial finito de igual altura 0V , formada por las tres regiones marcadas en la figura. Para las soluciones en la regin II ( 0 x b ), use las constantes A y B . Solucin:

a) Resuelva la ecuacin de Schroedinger en cada regin. Luego elimine las soluciones fsicamente inaceptables y escriba correctamente la funcin de onda en todo el espacio. Debe dar las razones correctas por las cuales elimina las soluciones no fsicas.

Al resolver la ecuacin de Schroedinger, la constante que aparece en la solucin propuesta viene dada por ( )22m E V = = , por lo tanto, en este caso tenemos tres valores distintos, uno para cada regin:

( ) ( ) ( )1 0 2 3 02 2 22 2 2; 0 ;m m mE V E E V = = = = = = (15) 1 y 3 son reales e iguales y 2 es imaginaria pura:

1 1 2 2 3 1 1; ;k ik k = = = = (16) ( )1 0 22 22 2;m mk V E k E= == = (17) Por lo tanto, las soluciones matemticas de la ecuacin de ondas son:

( )( )( )( )

1 1

2 2

1 1

1

2

3

si 0si 0si

k x k x

ik x ik x

k x k x

x Ce De xx x Ae Be x b

x Fe Ge b x

= + <



( )( )( )( )

1

2 2

1

1

2

3

si 0si 0si

k x

ik x ik x

k x

x Ce xx x Ae Be x b

x Ge b x

= <



Por sencillez, esta relacin se puede escribir en la forma A B G + = (28) donde, 2ik bA Ae = , 2ik bB Be = y 1k bG Ge = . La derivada de 2 viene dada por relacin (21), y la derivada de 3 viene dada por 13 1

k xd k Gedx = (29)

Igualando las derivadas, en x b= , se tiene ( )2 2 12 1ik b ik b k bik Ae Be k Ge = (30) Reordenando y usando las definiciones anteriores, se tiene

12

kA B i Gk

= (31)

Sumando las ecuaciones (28) y (31) se obtiene A como funcin de G : 2 1

22k ikA G

k + =

(32)

Restando dichas ecuaciones se obtiene B como funcin de G : 2 1

22k ikB G

k =

(33)

Despejando A y B , se tiene

22 122

ik bk ikA e Gk

+ = (34)

22 122

ik bk ikB e Gk

= (35)

Entonces, el cociente AB

viene dado por

222 12 1

ik bk ikA eB k ik

+ = (36)

d) Iguale las expresiones para AB

obtenidas en b) y c), y escriba la relacin resultante. Slo hasta ac es la exigencia del Quiz. Nota: a partir de dicha relacin se pueden calcular las energas totales nE , permitidas para la partcula en esta caja de potencial (cuantizacin de la energa)

Igualando (26) con (36), se tiene la relacin que permite encontrar las energas permitidas:

222 1 2 12 1 2 1

ik bk ik k ik ek ik k ik

+= + (37)

que se puede reescribir como

22

22 1

2 1

ik bk ik ek ik

= + (38)

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