R E S U M E N...UNIVERSIDAD DE CUENCA AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ 1 R E S U M E N El...

UNIVERSIDAD DE CUENCA

AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ 1

R E S U M E N

El presente trabajo de graduación es una propuesta didáctica para el abordaje teórico y práctico de la Física en el primer año del Bachillerato común, con una metodología constructivista basada en el aprendizaje por destrezas y criterios de desempeño. Los contenidos están estructurados de acuerdo a la propuesta de malla curricular para el nuevo bachillerato unificado, que se centra en el co-nocimiento fenomenológico de la naturaleza y sus leyes, elevando a nivel de categorías científicas los fenómenos más relevantes. La guía comprende tres capítulos: en el primer capítulo se hace una breve des-cripción de la teoría de métodos, relacionando aquellos usados por los maes-tros y los nuevos. Luego se dan una serie de propuestas y recomendaciones metodológicas para el estudio guiado de cada unidad y subunidad estructural. En el segundo y tercer capítulo se desarrollan las dos principales unidades de estudio: EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS (ESTÁTICA) y MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS (CINEMÁTICA). Cada una de ellas contiene subunidades con los temas más relevantes para un estudio ordenado y sistematizado por parte del usuario. En cada tema de estudio se expone una breve reseña teórica acompañado de una serie de demostraciones, ejercicios guía, preguntas y ejercicios de comprensión y de razonamiento, además de una plantilla donde el estudiante deberá registrar un informe investigativo de una situación problémi-ca real de aplicación práctica, la cual puede ser planteada luego del abordaje de cada tema, como parte de su formación científica.

PALABRAS CLAVE Metodología Estática Magnitud Unidades Vectores Fuerza Torque Equilibrio



Í N D I C E Certificado……………..…………………………………………………………... Dedicatoria……………..………………………………………………………….. Agradecimiento……………………………………………………………………. 1. Introducción…….……………………………….…………………………...... 2. Objetivos generales…………………………………………….…………...... 3. Esquema resumen de contenidos: Estructura de la Guía...…...………….. 4. CAPÍTULO I Metodologías a seguirse para la correcta utilización de la Guía....................... 4.1 Teoría de métodos……………………………………………………............. 4.2 Lista de métodos recomendados…..…..…………………………............... 4.3 Recomendaciones y sugerencias metodológicas….............……............... 5 CAPÍTULO II Equilibrio de los cuerpos. Estática………………………………........................ 5.1 Primera subunidad Magnitudes físicas....……………………………………………......................... 5.1.1 Medidas instrumentos y errores…….….………..................................... 5.1.2 Sistema internacional de Unidades..........……………………................. 5.1.2.1 Reseña histórica...............................................….................................. 5.1.2.2 Magnitudes fundamentales…………………………………………….... 5.1.2.3 Magnitudes derivadas……………………….……………………………. 5.1.2.4 Prefijos SI…………………………………………………………………... 5.1.2.5 Normas para el manejo del SI……………………………………………. 5.1.2.6 Reducciones y conversiones SI………………………………………….. 5.2 Segunda subunidad Elementos de Algebra Vectorial ….…..…………………………........................ 5.2.1 Expresión trigonométrica de vectores….............………………………... 5.2.2 Suma trigonométrica de vectores en el plano…………………………… 5.2.3 Resta trigonométrica de dos vectores en el plano...……………………. 5.2.4 Vectores unitarios…….….………............................................................ 5.2.5 Expresión analítica de vectores..........……………………....................... 5.2.6 Suma y resta analítica de vectores...............................................…....... 5.2.7 Producto de un escalar por un vector…………………………………..... 5.2.8 Producto escalar de vectores……………………….……........................ 5.2.9 Producto vectorial de vectores……………………………………........... 5.3 Tercera Subunidad: Estática Traslacional………………………………………………….……........... 5.3.1 Fuerzas……………………………………………………………………... 5.3.2 Composición de fuerzas aplicadas sobre una partícula…..…..………….. 5.3.3 Equilibrio traslacional de una partícula….............………………..…..........

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5.4 Cuarta Subunidad: Estática Rotacional……………………………….....................………….............. 5.4.1 Torque de una fuerza.……………………………………………................ 5.4.2 Torque de un sistema de fuerzas…….….………...................................... 5.4.3 El sólido rígido.……………………………………………............................ 5.4.4 Centros de masa...............................................…..................................... 5.4.5 Equilibrio del sólido rígido…………………………………………….……... 5.5 Quinta Subunidad Los fluidos en reposo. Hidrostática….............………………………..…............... 5.5.1 Introducción……………………….………………………………………...... 5.5.2 Ecuación fundamental de la hidrostática…………………………………… 5.5.3 Principio de Pascal ………………………………………………….……...... 5.5.4 Principio de Arquímedes……………………………………………………… 5.5.5 Flotación…..…..…………………………...................................................... 5.5.6 Tensión superficial….............………………………..................................... 5.5.7 Capilaridad……………………………….....................………….................. 5.6 Sexta Subunidad Las máquinas simples...…………………………………………….......................... 5.6.1 Palancas…….….………............................................................................... 5.6.2 Poleas..........…………………….................................................................... 5.6.3 Plano inclinado............................................................................................. 6 CAPÍTULO III El movimiento de los cuerpos: Cinemática............................................................. 6.1 Primera Subunidad. Los sistemas de referencia………………………………. 6.1.1 Sistema cartesiano tridimensional……………………….…………………… 6.1.2 Sistema cartesiano bidimensional……………………………………………. 6.1.3 Sistema cartesiano unidimensional....……………………………………...... 6.2 Segunda subunidad El movimiento rectilíneo….…..………………………….......................................... 6.2.1 Conceptos fundamentales de Cinemática Lineal......………………………. 6.2.2 Movimiento rectilíneo uniforme. ….............………………………................ 6.2.3 Movimiento rectilíneo uniformemente variado. ….............………………… 6.2.4 Caída libre. ….............………………………..….............…………………… 6.3 Tercera subunidad: Los movimientos en el plano. ….............………………………..….............…........ 6.3.1 Movimiento de un proyectil. ….............………………………..…................. 6.3.2 Conceptos fundamentales de Cinemática Angular....................................... 6.3.3 Movimiento circular uniforme. .............………………………..…................. 6.3.4 Movimiento circular uniformemente variado. .............………………........... 6.3.5 Relaciones entre movimientos rectilíneo y circular. .............………............ 6.3.6 Movimiento relativo. .............………………………..…................................. 6.4 Cuarta subunidad:

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HIDRODINÁMICA….............………………………..….............………………….... 6.4.1 Movimiento de un fluido. Continuidad. ….............………………………..…. 6.4.2 Teorema de Bernoulli. ….............………………………..….............….......... 6.4.3 Aplicaciones del teorema de Bernoulli. ….............………………………..… 6.4.4 Viscosidad y rozamiento viscoso.….............………………………..…......... CONCLUSIONES….............………………………..….............…………………… RECOMENDACIONES. ….............………………………..….............………….... BIBLIOGRAFÍA. ….............………………………..….............……………………..

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UNIVERSIDAD DE CUENCA FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

ESPECIALIDAD DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

“GUÍA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA FÍSICA EN EL PRIMER AÑO DE BACHILLERATO COMÚN”

Tesina previa a la obtención del título de Licenciado en Ciencias de la Educación en la especialidad de Matemáticas y Física

DIRECTOR: Dr. ALBERTO SANTIAGO AVECILLAS JARA AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ

CUENCA-ECUADOR

2011



CERTIFICADO Yo, Jorge Patricio Mogrovejo Hernández, certifico que todo el contenido del presente trabajo es de exclusiva responsabilidad del autor. …………………………………..



DEDICATORIA A Dios, fuente inagotable de toda sabiduría y proveedor de vida. A mi familia, sostén y apoyo moral durante mi carrera, brazo leal y cálido que lleva el peso de los problemas y la satisfacción por los logros alcan-zados. A mis maestros de la carrera, por su incansable afán de enseñanza, por su paciencia y sus consejos. Gracias a la preocupación y amor de todos ellos, hoy este proyecto es una realidad.



AGRADECIMIENTO Al Todopoderoso encomiendo mi más grande gratitud por permitirme es-tar en este mundo y hacer realidad este anhelo A mis familiares que me apoyaron económica y psicológicamente con un espíritu de prosperidad y deseo de triunfos. Como olvidar a mis queridos maestros que moldearon mi personalidad con la enseñanza de conocimientos y valores, que servirán de base fun-damental para orientar a la juventud por el sendero del aprendizaje acorde a las exigencias de la Educación del tercer milenio. Finalmente quiero expresar un sentimiento de cordialidad y estima a mis queridos compañeros y nuevos colegas, ya que de ustedes aprendí mu-chas cosas útiles para mi vida profesional futura.



INTRODUCCIÓN Esta guía didáctica ha sido, mentalizada, proyectada y elaborada para ser uti-lizada como material de apoyo en el aprendizaje o auto aprendizaje de la Física en el primer año del nuevo bachillerato ecuatoriano, en los centros de ense-ñanza media del país. El presente trabajo pretende ajustarse a las innovaciones de carácter pedagó-gico que se están impulsando últimamente en al país, de ahí que los métodos utilizados están enfocados al desarrollo de destrezas, más que a los conteni-dos cognitivos, dando importancia al aprendizaje por criterios de desempeño. Por ello, los contenidos están estructurados de acuerdo a la nueva malla curri-cular para el bachillerato unificado, la que se centra en el conocimiento feno-menológico de la naturaleza y sus leyes, de tal manera que los fenómenos más relevantes sean elevados al nivel de categorías científicas, las cuales de-berán ser aprendidas conservando su unidad científica. La guía comprende tres capítulos: en el primer capítulo se hace una breve descripción de la teoría general de métodos, haciendo una especie de compa-ración con los usados por los maestros y los nuevos. Luego se dan una serie de metodologías alternativas que serán empleadas en cada unidad didáctica, culminando con recomendaciones y sugerencias metodológicas que los desti-natarios de la obra podrán seguir para su correcta utilización. En el segundo y tercer capítulo se desarrollan las dos principales unidades de estudio: EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS (ESTÁTICA) Y MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS (DINÁMICA). Cada una de ellas comprende las subunidades correspondientes más relevantes para un estudio progresivo, ordenado y sis-tematizado por parte del alumno. Las subunidades se encuentran divididas a su vez en secciones o temas de es-tudio. Cada tema empezará con el desarrollo de una base teórica mínima la cual servirá de sustento para el planteo y resolución de situaciones problémi-cas o retos que el maestro pueda proponer y de esta manera alcanzar los ob-jetivos indicados al principio del tema. En todos los temas se incluyen ejemplos ilustrativos, y un grupo de ejercicios propuestos que revisten una cierta dificultad, justamente para ayudar al estu-diante en el razonamiento. El repaso constituye un estudio dirigido, donde los estudiantes deben procurar responder a las preguntas luego de estudiar el capítulo.



La guía requerirá de la orientación del maestro, el cual pondrá en juego su creatividad y experiencia docente para plantear según el caso, la situación problémica y relacionarla con el tema, con unidades anteriores y otras ramas de la Física, así como con otras ciencias. Dado que la carga horaria de la asignatura es limitada (4 horas semanales), es conveniente que el alumno profundice por su cuenta los contenidos concep-tuales expuestos en cada subunidad, para lo cual se ha diseñado una serie de actividades de refuerzo y de retroalimentación, las cuales van como activi-dades de fin de tema. Esta Guía Didáctica pretende ser un instrumento de ayuda pedagógica que centre el interés de los estudiantes en los temas básicos del curso, orientándo-les en el estudio sobre los aspectos fundamentales que garantizarán el éxito. Se recomienda, pues, que la primera labor del estudiante sea leer con deteni-miento esta Guía. Esperemos que esta obra contribuya a mejorar en algo los deficientes métodos de enseñanza de la Física e incentivar en los alumnos la capacidad de investi-gación, tan venida a menos en nuestros días.

OBJETIVOS GENERALES 1. Aplicar los conocimientos adquiridos a la resolución de problemas de la vida cotidiana, relacionando los contenidos de la Física con los de otras disci-plinas científicas, como forma de entender y poder abordar los temas plantea-dos. 2. Comprender los principales conceptos de la Física, su organización en leyes, teorías y modelos matemáticos, usados para abordar la solución de de-terminadas interrogantes y problemas. 3. Desarrollar en los estudiantes la capacidad de investigación crítica. 4. Proporcionar al estudiante nuevas alternativas metodológicas que lo in-duzca adaptar nuevos hábitos de aprendizaje. 5. Potenciar en el alumno sus habilidades innatas y específicas, para que él mismo se convierta en el objeto de su propio aprendizaje.



6. Generar interés en los alumnos el manejo correcto de los principios físi-cos y sus expresiones matemáticas. 7. Adquirir autonomía suficiente para utilizar en distintos contextos, con sentido crítico y creativo, los aprendizajes adquiridos. 8. Apreciar la importancia de la participación activa y la interacción en los equipos de trabajo.



ESQUEMA RESUMEN DE CONTENIDOS

FÍSICA I

ESTÁTICA

EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS

MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS

MAGNITUDES FÍSICAS

HIDROSTÁTICA

EQUILIBRIO ROTACIONAL

ELEMENTOS DE ALGEBRA VECTORIAL

MÁQUINAS SIMPLES

EQUILIBRIO TRASLACIONAL

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

SISTEMAS DE REFERENCIA

CINEMÁTICA

HIDRODINÁMICA

MOVIMIENTOS EN EL PLANO



METODOLOGÍAS A UTILIZARSE PARA LA CORRECTA UTILIZACIÓN DE LA GUÍA

1.1. Teoría de métodos. 1.2. Lista de métodos recomendados. 1.3. Sugerencias y recomendaciones metodoló-gicas.

1.1. Teoría de métodos

En los tratados didácticos, se distingue con frecuencia, distintos tipos de méto-dos o enfoques de enseñanza, según los diferentes patrones de comunicación que se manifiesten dentro del trabajo en el aula. Para Belt (1971), los modelos educacionales son lo que nosotros conocemos como estilos o métodos de en-señanza, es decir esquemas mediadores entre la teoría escrita en libros, folle-tos o guías y la práctica de aprehender y comprender tal teoría. Dado que el método es un camino recorrido para llegar a un fin, su aplicación persigue una finalidad determinada. En el contexto educativo, la finalidad es la formación a más de intelectual, integral del educando. Por lo tanto es de vital importancia la fijación de propósitos antes de formular un determinado método, de forma que exista una conexión lógica entre las fina-lidades que se persigue con la aplicación del método formulado y la práctica educativa. En otras palabras, “la acción didáctica o metodología debe ser co-herente con los propósitos planteados, es decir debe responder a intenciones



educativas explícitas”. (Piaget, 1998). La acción didáctica debe ajustarse al contexto real o entorno del alumno, a sus capacidades, intereses, necesidades y aptitudes, partiendo de un enfoque indi-vidualista que promueva el desarrollo cognitivo en base al aprendizaje significa-tivo del alumno. El método se manifiesta en la dinámica del proceso de educación-comunicación, ya que la razón de ser de la educación es la comunicación. Por esto, es de vital importancia la comunicación biunívoca entre profesores y alumnos, para “discernir las estrategias que adoptan profesores y alumnos en el proceso de interacción educativa” (Sara Delamont, 1985). Las estrategias que regulan el proceso educativo son múltiples y complementa-rias, debido a la diversidad de aspectos o variables que se presentan dentro del trabajo en el aula tales como: la edad de los educandos, la homogeneidad o heterogeneidad del grupo- clase, el grado de formación básica, el bagaje de conocimientos anteriores, el grado de motivación y sobre todo, la experiencia y la capacitación del maestro y los recursos didácticos disponibles. La existencia de variadas formas de enfocar el proceso de enseñanza-aprendizaje obliga al maestro a no centrarse en un único método, el escogita-miento de estrategias metodológicas debe ir de la mano con la finalidad a se-guir, con quien y en qué circunstancias. En todo caso es aconsejable un enfoque metodológico integrador, que propicie la utilización de unos métodos u otros en función de las necesidades de los di-ferentes momentos de la etapa o nivel, de las distintas tareas o situaciones, de la diversidad del alumnado, etc. Al respecto se va a desarrollar algunos métodos y técnicas que se van a utilizar en el desarrollo de la guía de manera que el maestro pueda llevarlos a la práctica para el desarrollo del proceso didáctico dentro o fuera del aula. 1.2. Lista de métodos recomendados. 1.2.1. MÉTODO DEL APRENDIZAJE POR DESCUBRIMIENTO. Dichas propuestas se centran en un trabajo experimental y autónomo de los alumnos, dando preferencia a los "procesos de la ciencia" sobre los contenidos. Este método propone la combinación de la explicación teórica con la labor ex-perimental, con el fin de que los alumnos a partir de la abstracción vayan en-contrando por sí mismos nuevas formas de relacionar la teoría con la práctica en el laboratorio. 1.2.2. MÉTODO DE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS. Gran parte de los ejercicios y problemas de la guía pueden llevarse a discu-sión y resolución por este método, el cual debe partir de la traducción del pro-blema a la vida real, de tal manera que se use la imaginación para trasladar la situación concreta al campo matemático y luego volver a la idea inicial expre-



sada por los resultados. 1.2.3. MÉTODO DE PROYECTOS. Método activo en el que se utiliza material del medio para la búsqueda de in-formación y auto elaboración de los conocimientos, bajo la guía del maestro. Va acompañado de un problema a resolver o una aplicación técnica o tecnoló-gica de un determinado tema. Se debe organizar un trabajo por equipos con un cronograma establecido y rígido, de tal manera que los objetivos se cumplan en un tiempo determinado por el maestro. 1.2.4. MÉTODO EXPERIMENTAL. Tiene como finalidad reproducir un fenómeno natural en forma artificial para que los alumnos en base a sus propias experiencias puedan formular hipótesis que permitan a través del proceso didáctico, hacer comparaciones con otros fenómenos, las cuales dan lugar a generalizaciones científicas, las cuales per-miten una relación entre conceptos, entre ramas de la Física y una relación de la Física con otras ramas. Como la metodología del nuevo bachillerato es el estudio de los contenidos en bloques temáticos, desde el punto de vista fenomenológico, este método tiene una gran riqueza didáctica l, sobre todo si se quiere aplicar criterios de desem-peño, tal como señala la Reforma Curricular. Este método tiene varios pasos, los cuales se detallan a continuación.

Observación libre: donde el estudiante a través de montajes experimen-tales obtiene impresiones visuales del fenómeno objeto de estudio, se puede complementar con descripciones y análisis de las observaciones o aspectos comunes.

Generación de hipótesis o preguntas problema: que van acompañadas de su posible solución. El maestro tiene la función de guiar al alumno a la re-flexión del problema a fin de formular la situación problémica.

Comparación: la cual establece una relación entre la situación problémi-ca y el resultado experimental, se puede extender el análisis a situaciones simi-lares.

Generalización: que son las conclusiones a las que se llega luego de la labor experimental. Aquí se puede relacionar teorías, campos y ciencia. 1.3. Sugerencias y recomendaciones metodológicas para el manejo de la guía. Las sugerencias dadas a continuación no pretenden cambiar la enseñanza de la Física, pero sí ofrecer unas metodologías alternativas a lo que llamaríamos el sistema tradicional. Para la enseñanza-aprendizaje de la Física teórica no hay demasiadas alterna-tivas, puesto las leyes físicas son irreemplazables, es decir, si comparamos dis-



tintos libros de texto veremos que en todos se exponen dichas leyes, en algu-nos habrá más ilustraciones, mejor o peor presentación, etc. En cuanto a la realización de ejercicios habitualmente al final de cada capítulo hay una lista relacionada con el tema. Se puede elegir esta metodología alternativa basada en una especie de algo-ritmo con algunas etapas, las cuales enumero a continuación: 1) Análisis del enunciado para ver que información ha sido proporcionada y que es lo que el problema pide que calcule. 2) Estudio de las interacciones que van a tener lugar entre partículas, sis-temas de partículas o cuerpos, utilizando para ello gráficas y/o diagramas de cuerpo libre. 3) Elección de un sistema de coordenadas de acuerdo a las necesidades del ejercicio. 4) Representación gráfica de todas las relaciones que están explicitadas en el enunciado del problema, las cuales deberán contener los datos y las incóg-nitas. 5) Expresión matemática de la ecuación o del sistema de ecuaciones ma-temáticas y/o trigonométricas de cada componente. 6) Resolución de las expresiones, interpretación física y comprobación. A la vista de todo lo expuesto me gustaría resaltar que existe una concepción de la física por parte del estudiante que asocia cada ejercicio con una ecuación o expresión matemática resultante de la ley o teoría física demostrada en la te-oría, y que habría que intentar eliminar. Por ese motivo se intenta con esta me-todología sustituir el tópico de que la física son un conjunto de expresiones físi-co-matemáticas, por el hecho de que la física es un conjunto de conceptos y que los ejercicios hay que realizarlos con una metodología. Otra propuesta sugerida en esta guía se basa en la comprensión y profundi-zación que el estudiante realice al estudiar cada tema, para ello he introducido al final de cada tema preguntas de comprensión y profundización además de talleres que van desde simples experimentos hasta demostraciones y profun-dizaciones acerca de una determinada temática relacionada con el tema de es-tudio. Estas preguntas se pueden utilizar como instrumentos de evaluación continua y están sujetas a cambios a criterio del maestro. Se debe usar números significativos para abordar los contenidos teóricos, los cuales pueden ser obtenidos de mediciones de valores significativos, de la vida real. Partir siempre de una relación entre un contenido con el anterior, para luego re-lacionar una rama con otra y finalizar con una relación de la Física con otras ciencias. En la formulación de ejemplos y problemas físicos, utilizar la realidad del en-torno (situaciones, vivencias, necesidades, actividades, problemas). Complementar el estudio con un asiduo manejo de animaciones informáticas y



software, para reforzar el manejo de las magnitudes cinemáticas descriptoras de los movimientos. Las prácticas de laboratorio deben desarrollarse conjuntamente con el avance teórico y deben servir de base para el planteamiento de situaciones problémicas, estas prácticas pueden ser realizadas fuera del aula, con materiales del medio, todo dependerá del ingenio y la creatividad del maestro. El maestro debe poseer un sustento teórico amplio, de manera que pueda responder y profundizar en las preguntas y aplicaciones problémicas que los estudiantes planteen, las cuales deben tener un asidero real y ser concebidas luego de exponer los contenidos conceptuales. Una última sugerencia al maestro es que adiestre al alumno a afrontar los conceptos que este erróneamente se forja, invitarlo a que los corrija mediante la experimentación, pues la Física es una ciencia cuyos conceptos deben ser correctamente formulados y enunciados, pues en el aula “suele ser útil crear una situación donde los estudiantes deban pensar como el matemático que ideó el algoritmo e intenten desarrollar por su cuenta una fórmula adecuada” (Gardner; 2 000). Finalmente, es el maestro el que debe escoger el método de enseñanza que más se adapte a la realidad del aula y al avance académico de sus educandos, ya que este documento está abierto a cualquier modificación, siempre que se crea conveniente.



Primera Unidad

ESTÁTICA

Subunidades: 1. MAGNITUDES FÍSICAS 2. ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL 3. EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN 4. EQUILIBRIO DE ROTACIÓN 5. LOS FLUIDOS EN REPOSO : HIDROSTÁTICA 6. MÁQUINAS SIMPLES Objetivos específicos: 1. Entregar al estudiante los conceptos físicos referidos a fenómenos de está-

tica para que sus integre a su acervo cognitivo anterior.

2. Desarrollar en el alumno la capacidad para interpretar fenómenos físicos y llevarlos a la práctica cotidiana.

PRIMERA UNIDAD

EL EQUILIBRIO DE LOS CUERPOS

ESTÁTICA



3. Introducir al estudiante en la investigación entendiéndola como un proceso

fundamentado en la exploración y en el desarrollo de la capacidad para el pensamiento científico, crítico y reflexivo.

4. Habilitar al estudiante en la comunicación oral y escrita para que pueda des-envolverse en sus tareas académicas. En esta primera unidad se desarrollan seis subunidades básicas o bloques temáticos. En la primera se aborda la introducción a la física, las magnitudes físicas, así como las unidades de medida y los patrones de medición de los fenómenos físicos. En la segunda se abordan los contenidos de álgebra vecto-rial como una especie de nivelación matemática para estudiar el equilibrio tras-lacional y rotacional de partículas y cuerpos rígidos, los cuales serán analiza-dos en la tercera y cuarta subunidad. La quinta es una aplicación de los principios de equilibrio a los fluidos y la sexta es un estudio de algunas aplica-ciones de le estática, como es el caso de las palancas, poleas y más máquinas simples.



Primera Subunidad

MAGNITUDES FÍSICAS

MAGNITUDES FÍSICAS

MEDIDAS, INSTRUMENTOS Y ERRORES

MAGNITUDES FUNDA‐MENTALES

MAGNITUDES DERIVADAS

PREFIJOS SI

NORMAS PARA EL MANEJO DEL SI

MAGNITUDES SUPLEMENTARIAS

SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES

REDUCCIONES Y CON‐VERSIONES SI

INTRODUCCIÓN



Primera Subunidad

MAGNITUDES FÍSICAS

La Física es una ciencia experimental que tiene por objeto el estudio y descrip-ción del comportamiento de los fenómenos naturales que ocurren en nuestro universo. Es una ciencia basada en observaciones experimentales y en mediciones. Su objetivo es desarrollar teorías físicas basadas en leyes fundamentales, que permitan describir el mayor número posible de fenómenos naturales con el me-nor número posible de leyes físicas. Estas leyes físicas se expresan en lengua-je matemático, por lo que la Física se relaciona íntimamente con las matemáti-cas; por otra parte, las leyes físicas tienen su aplicación en otras ciencias, lo que establece relaciones entre la Física y la Biología, la Química, la Anatomía, etc. 9.1.1. MEDIDAS, INSTRUMENTOS Y ERRORES OBJETIVOS DEL TEMA. Identificar correctamente los conceptos básicos y aplicarlos al planteamiento, resolución e interpretación de la situación problémica propuesta. Despertar el interés por esta metodología. La física es una ciencia experimental. Estudia los procesos del mundo físico y establece un cierto número limitado de leyes con las cuales se puede explicar la mayor variedad posible de los fenómenos observados y predecir el resultado de experiencias nuevas. Que sea ciencia experimental significa que los fenómenos en análisis deben observarse y medirse. Decimos que una magnitud es una realidad física capaz de ser medida. La medición constituye una buena parte de la rutina diaria del físico experimental. Las magnitudes o cantidades físicas se subdividen en magnitudes escalares y vectoriales. Una medición escalar se expresa con un número seguida de un símbolo de la unidad usada. El número expresa cuantas veces el patrón está contenido en la medición. Algunas de las cantidades escalares son: masa, tiempo, longitud, temperatura, etc. Las cantidades vectoriales requieren para su completa determinación tres da-



tos, la magnitud, la dirección y el sentido: la magnitud es el tamaño de la canti-dad medida (número +unidad), la dirección es una línea imaginaria sobre la cual actúa la fuerza y el sentido hacia dónde actúa la cantidad estudiada. Ejemplos de estas magnitudes son: desplazamiento lineal, velocidad lineal, aceleración lineal, fuerza, torque, campo eléctrico, etc. Existen medidas directas e indirectas, por ejemplo el largo y el ancho de una sala son medidas directas, pero la superficie de la sala es una medida indire-cta. Gran parte de la Física tiene que ver con la medida de cantidades físicas tales como distancia, tiempo, volumen, masa, temperatura, etc. Medir una magnitud consiste en compararla con una cantidad arbitraria fija de la magnitud llamada patrón o unidad de medida. El proceso de medición es un proceso físico, una operación física experimental, en la que intervienen necesariamente tres sistemas:

El sistema objeto al cual queremos medir. El sistema de medición o aparato de medición. El sistema de comparación, que definimos como unidad, y que suele

venir unido o estar incluido en el aparato o instrumento de medición. Por ejemplo: en el llamado “medición de longitud” interviene:

El objeto cuya medición queremos medir: ejemplo, una viga. El instrumento, por ejemplo, una regla. La unidad (cierta escala marcada en la misma regla, o en cierta barra

patrón). Medir temperaturas significa: tomar un instrumento llamado termómetro, poner-lo en contacto térmico con el sistema que queremos medir, esperar que se es-tablezca el equilibrio térmico, medir la longitud de la columna de mercurio, etc. Medir la masa de un cuerpo significa: tomar el cuerpo, ponerlo sobre el platillo de un instrumento llamado balanza, colocar masas unidad en el otro platillo hasta equilibrar la balanza, leer el número de masas unidad. La medición exige instrumentos los cuales han ido surgiendo como resultado de inven-to de algunos genios físicos importantes. La fig. 1 nos muestra instrumentos conocidos: la balanza mida masas y el calibrador, longi-tudes. Al realizar medidas se comenten multitud de errores, tanto por falta de sensibi-lidad del aparato como por deficiencias del observador. Por ello el número que resulta de una medición nunca es el valor exacto o verdadero, sino un valor aproximado.

Fig.-1 Algunos instrumentos de medición.



Lee, razona y resuelve: Organízate en grupos de estudio: Con la base teórica propuesta, intenta realizar mediciones de objetos que se encuentran en el aula. Cada vez que midas un objeto, indica en voz alta el con-cepto y luego el valor de la medición. ¡Profundiza en tus conocimientos: Consulta bibliografía y páginas de In-ternet! ¡No te olvides de preguntar en clase! 9.1.2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES. 9.1.2.1. RESEÑA HISTÓRICA. OBJETIVOS DEL TEMA. Dotar al alumno de una base teórica mínima para ser utili-zada por éste en la resolución e interpretación de aplicaciones propuestas. Despertar el interés por la investigación dentro y fuera del aula. Con objeto de tener constancia de la cuantía de todas y cada una de las uni-dades, estas se materializaron mediante objetos, que recibieron el nombre de unidades patrón, siendo fijadas mediante convenios internacionales. El metro patrón fue definido en 1790 por la revolución Francesa, de la manera siguiente:” El metro es la cuarenta millonésima parte del meridiano terrestre”. Mas tarde, con la utilización de mejores instrumentos se redefinió al metro va-rias veces hasta la actualidad. En 1875, se conforma, la convención del metro, conformada por veinte países, decidiendo acoger el metro y el kilogramo como unidades de medida. Se con-formó la Conferencia Internacional de Pesas y Medidas con sede en París, Francia. Posteriormente se incluyó al segundo como unidad de tiempo, al am-perio como unidad de intensidad de corriente eléctrica, al kelvinio como uni-dad de temperatura, al mol, como unidad de cantidad de sustancia y a la can-dela como unidad de intensidad luminosa. Con estas seis unidades básicas el nuevo sistema de unidades así formado tomó el nombre de SISTEMA INTER-NACIONAL DE UNIDADES, SI. Recién en 1971 se incluye al mol dentro del SI como nueva unidad básica. En Ecuador, se crea el Instituto Nacional de Nor-malización, en 1973-74, como un organismo encargado de implantar e incenti-var el uso del SI en el país. Actualmente el SI se usa en casi todos los países del mundo.



9.1.2.2. MAGNITUDES FUNDAMENTALES Las leyes físicas se expresan en términos de cantidades básicas que requieren una definición clara, llamadas magnitudes físicas fundamentales. En mecá-nica las magnitudes físicas fundamentales son tres: longitud, tiempo y masa. Se llaman magnitudes físicas fundamentales porque están definidas en forma independiente de cualquier otra magnitud física. Para que sean útiles deben ser invariables y reproducibles y se debe definir una unidad de medida única para la magnitud física, llamada patrón de medida. El Sistema Internacional (SI) de unidades determina el conjunto de patrones de medida. En este sistema, las unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en Mecánica, son las que se dan en la tabla 1.1.2.1. Este se conoce también como el sistema MKS (abreviaturas de metro, kilogramo y se-gundo). También existe el sistema CGS cuyas unidades de medida son el centímetro, gramo y segundo. El SI es el que se usa mayoritariamente en todas las áreas de las ciencias.

Magnitud Física Unidad de medida Símbolo Longitud Metro m Tiempo Segundo s Masa Kilogramo kg

Tabla 1.1.2.1. Unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales en mecánica.

La definición operacional actual de las magnitudes físicas fundamentales se da a continuación. Longitud: Se han desarrollado muchos sistemas de medición de longitud, pero se han abandonado por razones de precisión. Desde 1983, la unidad de longi-tud, el metro, se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío duran-te un tiempo de 1/299792458 segundos. De paso esta definición establece que la rapidez de la luz en el vacío es de 299 792 458 m/s. Tiempo: En 1967 se definió el segundo como unidad de tiempo igual a 9 192631 770 periodos de la radiación de átomos de cesio 133. Con un reloj atómico de cesio, se puede medir la frecuencia de su radiación con una preci-sión de una parte en 10E12, lo que equivale a una incertidumbre menor que un segundo cada 30000 años. Masa: Desde 1987 se considera como unidad de masa, el kilogramo, que se define como la masa de una aleación de platino e iridio que se conserva en el Laboratorio Internacional de Pesas y Medidas en Sevres, cerca de París, Fran-cia. Las otras magnitudes fundamentales de la Física, que con las anteriores su-man siete en total, están indicadas en la tabla 1.1.2.2.



MAGNITUDES NOMBRE SÍMBOLO

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica amperio A

Temperatura termodinámica kelvinio K

Cantidad de sustancia mol mol

Intensidad luminosa candela cd

Ángulo plano radián

Ángulo sólido estereorradián Tabla 1.1.2.2. Unidades de medida de las magnitudes físicas fundamentales.

9.1.2.3. MAGNITUDES DERIVADAS En ciencias se usan muchas otras magnitudes físicas, que se obtienen como una combinación de las magnitudes físicas fundamentales. Se llaman magni-tudes físicas derivadas, porque se derivan de las magnitudes físicas funda-mentales. Algunas de las magnitudes derivadas tienen unidades que han sido “bautiza-das” con nombres especiales, de acuerdo a convenios internacionales. Algunas de estas unidades se muestran a continuación: UNIDADES SI DERIVADAS CON NOMBRES ESPECIALES

Magnitud Nombre Símbolo Equivalencia

Frecuencia hertzio Hz s-1

Fuerza newton N kg·m/s2

Presión pascal Pa N/ m2

Energía, trabajo, cantidad de calor

julio J N/ m

Potencia vatio W J/s

Flujo eléctrico carga eléctrica

culombio C A·s

Potencial eléctrico voltio V W/A



Diferencia de poten-cial

Resistencia eléctrica ohm W V/A

Capacitancia eléctri-ca

faradio F C/V

Flujo magnético weber Wb V·s

Densidad de flujo magnético

tesla T Wb/ m2

Inductancia henrio H Wb/A

Otras unidades derivadas se toman el nombre de la magnitud asociada con el fenómeno físico al cual describen, algunas de las cuales van a continuación: UNIDADES SI DERIVADAS SIN NOMBRES ESPECIALES

Magnitud Unidad SI Símbolo

Velocidad lineal metro por segundo m /s

aceleración metro por segundo cuadrado m/ s2

velocidad angular radián por segundo rad/s

aceleración angular radián por segundo cuadrado rad·s-2

área metro cuadrado m2

volumen metro cúbico m3

torque newton-metro N.m

momento lineal kilogramo. metro por segundo kg m s-1

Viscosidad dinámica pascal-segundo Pa·s

momentum angular, impulso angular

julio-segundo J. s

densidad volumétrica de masa kilogramo por metro cúbico kg /m3

campo eléctrico voltio por metro V/ m

entropía julio por kelvinio J /K



Algunas magnitudes han adoptado unidades de otros sistemas, tales como del CGS o del sistema inglés, los cuales por costumbre circulan actualmente. Algunas de éstas están en la siguiente tabla:

Magnitud Unidad SI Símbolo Equivalencia

masa tonelada libra

t lb

1000 kg 0,454 kg

tiempo minuto hora día

min h d

60 s 3600 s 86 400 s

temperatura grado Celsius °C 1K

ángulo plano grado sexagesimal ° rad

volumen litro l 0,001

9.1.2.4. PREFIJOS QUE FORMAN LOS MÚLTIPLOS, SUBMÚLTIPLOS DEL SI Teniendo en cuenta que la física estudia el comportamiento del universo, los valores numéricos de las magnitudes físicas varían en un rango muy amplio, desde cantidades muy pequeñas a muy grandes, los valores numéricos de la física pueden ser muy complicados de leer en su forma tradicional, por lo que generalmente se expresan en potencias de E, que es la notación científica. Si el exponente de la potencia de E es positivo (o negativo) el valor de la mag-nitud física es un múltiplo (o submúltiplo). Para medir magnitudes muy grandes o muy pequeñas se expresan los valores en potencias de E y se usan los prefi-jos del SI que es el nombre que se le da a la potencia de E. Los prefijos se muestran a continuación en la siguiente tabla:



PREFIJOS SI

NOMBRE SÍMBOLO FACTOR

Yotta Y 1E24

Zetta Z 1E21

Exa E 1E18

Peta P 1E15

Tera T 1E12

Giga G 1E9

Mega M 1E6

kilo K 1E3

hecto h 1E2

deca da 1E1

UNIDAD - 1E0

deci d 1E-1

centi c 1E-2

mili m 1E-3

micro 1E-6

nano n 1E-9

pico p 1E-12

femto f 1E-15

atto a 1E-18

zepto z 1E-21

yocto y 1E-24

Existen algunas unidades de medición que tienen nombres especiales, como por ejemplo el año luz que es la distancia que recorre la luz en un año, igual a 9.45 1E15 m, o el Angstrom que es igual a 1E-10 m. Orden de magnitud. El orden de magnitud es la potencia de E más cercana al valor verdadero de una magnitud física conocida cuyo valor numérico se conoce. Cuando se com-



para entre magnitudes físicas similares, se dice que una magnitud física difiere de la otra en un orden de magnitud, cuando es mayor o menor en un factor de E. La forma de determinar el orden de magnitud de una medición o cantidad es la siguiente: Se expresa la medición en forma de notación decimal, recordando que el coefi-ciente te de E debe ser mayor o igual a 1 y menor que 10. Si el exponente es mayor a 5,5, se incrementa en una unidad el exponente de E, caso contrario, se mantiene. Esta potencia de E es el orden de magnitud de la cantidad o me-dición analizada. Ejemplo 1. El orden de magnitud de 1 es 1E0, el orden de magnitud de 10 es 1E1, el orden de magnitud de 100 es 1E2. Ejemplo 2. a) Determinar el orden de magnitud de la masa de la Tierra, cuyo valor es aproximadamente 6E 24 kg. b) Si la masa del Sol es , ¿en cuántos órdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Solución: a) Considerando que su orden de magnitud es 1E1, por lo tanto el or-den de magnitud de la masa de la Tierra es b) Si la masa del Sol es 1E30 kg, ¿en cuántos órdenes de magnitud difiere de la masa de la Tierra? Masa de la Tierra= Masa del Sol = Por lo tanto la masa del Sol es 6 órdenes de magnitud mayor (un millón de ve-ces más grande) que la masa de la Tierra. 9.1.2.5. REGLAS PARA EL USO DEL SI 1.-Los símbolos de las Unidades SI, con raras excepciones como el caso del ohm (Ω), se escriben usando las letras del abecedario, en general, con minús-culas; sin embargo, si dichos símbolos corresponden a unidades derivadas de nombres propios, su letra inicial es mayúscula. Ejemplo, A de amperio, J de ju-lio, etc. 2.-Los símbolos no van seguidos de punto, ni toman la s para el plural. Por ejemplo, se escribe 5 kg, no 5 kgs. 3.-Cuando el símbolo de un múltiplo o de un submúltiplo de una unidad lleva exponente, ésta afecta no solamente a la parte del símbolo que designa la uni-dad, sino al conjunto del símbolo. Por ejemplo, km2 significa (km)2, área de un



cuadrado que tiene un km de lado, o sea 10E6 metros cuadrados y nunca k (m2), lo que correspondería a 1000 metros cuadrados. 4.-El símbolo de la unidad sigue al símbolo del prefijo, sin espacio. Por ejemplo, cm, mm, etc. 5.-El producto de los símbolos de de dos o más unidades se indica con prefe-rencia por medio de un punto, como símbolo de multiplicación. Por ejemplo, newton-metro se puede escribir N.m. 6.-Cuando una unidad derivada sea el cociente de otras dos, se puede utilizar la barra oblicua (/), la barra horizontal o bien potencias negativas, para evitar el denominador:

7.-No se debe introducir en una misma línea más de una barra oblicua, a me-nos que se añadan paréntesis, a fin de evitar toda ambigüedad. En los casos complejos pueden utilizarse paréntesis o potencias negativas: m/s2 o bien m·s-2 pero no m/s/s. (Pa·s)/ (kg/m3) pero no Pa·s/kg/m3. 8.-Los nombres de las unidades debidos a nombres propios de científicos emi-nentes deben de escribirse con idéntica ortografía que el nombre de éstos, pe-ro con minúscula inicial. No obstante, serán igualmente aceptables sus deno-minaciones castellanizadas de uso habitual, siempre que estén reconocidas por la Real Academia de la Lengua. Por ejemplo, amperio, voltio, faradio, culombio, julio, ohmio, voltio, vatio, hertzio. 9.-En los números, la coma se utiliza solamente para separar la parte entera del decimal. Para facilitar la lectura, los números pueden estar divididos en grupos de tres cifras (a partir de la coma, si hay alguna) estos grupos no se se-paran por puntos ni comas. La separación en grupos no se utiliza para los números de cuatro cifras que designan un año. 9.1.2.6. REDUCCIONES Y CONVERSIONES SI. Para convertir una cantidad dada en un prefijo SI en otra expresada en otro prefijo SI, se dividirá la cantidad con el prefijo dado para la cantidad cuyo prefijo se desea obtener; este resultado se multiplica por la cantidad dada. Esto lo demostramos a través de los siguientes ejemplos: Ejemplo 1. Reduzca 23 a



El prefijo dado es Y, cuyo factor es 1E24, el prefijo pedido es M, cuyo factor es 1E 6 Entonces:

=1E4 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 23 y obtenemos 1E4.23 = 23E4 = 2.3E2 kHz = 230 kHz. Ejemplo 2. Reduzca El prefijo dado es P, cuyo factor es 1E15, el prefijo pedido es m, cuyo factor es 1E-3 Entonces:

=1E18 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 6,5E-8 y obtenemos 1E18.6, 5E-8 = 6.5E10 = 65E9 = 65 GW. Ejemplo 3. Reduzca El prefijo dado es a, cuyo factor es 1E-18, el prefijo pedido es P, cuyo factor es 1E15 Entonces:

=1E-33 Este resultado multiplicamos por la cantidad dada, que es 354E-30 y obtene-mos 1E-33.354E30 = 3.54E-3 = 3,54 mN. Lee, razona y resuelve: Escribe usando prefijos, en unidades del Sistema Internacional: longitud de la línea ecuatorial, radios del núcleo y átomo, segundos de un milenio, edad de la Tierra, volumen de una pulga, masa del Sol, distancia de la estrella más cerca-na a la Tierra (después del Sol). La Tierra tiene una edad de 4600 millones de años y el ser humano ha estado sobre ella desde hace unos 150 mil años. Si la edad la Tierra la hacemos equi-valente a un día, ¿cuántos segundos tiene el ser humano sobre la Tierra? Transforma a



Transforma a Transforma a

Investiga y demuestra como transformar a Taller 5.1.2 Crea tu propio sistema de unidades: Para ello utiliza unidades o patrones de medida creados por ti mismo, así: para la longitud utiliza el largo de alguna par-te de tu cuerpo, para el tiempo, el que tardas en dar una vuelta a la cancha, etc. Luego arma tu propia tabla de magnitudes fundamentales y compáralos con el SI. Utiliza tu sistema de Unidades para realizar mediciones de algunos objetos de tu aula. Al final obtén las equivalencias correspondientes. Registra tu informe en tu cuaderno de ejercicios usando la siguiente plantilla: INVESTIGACIÓN 5.1.2.- APLICACIÓN DEL SI A MEDICIONES COMPARA-TIVAS REALES. Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo:



Resolución: Respuesta e interpretación física: ______________________________________________________________________________________________________________________________ Proyecto Haz un agujerito en un cartón y sostenlo a los rayos del sol. Observa la imagen del sol que se forma abajo. Para convencerte de que la mancha redonda de luz es una imagen del Sol redondo, prueba con agujeros de distintas formas. Un agujero cuadrado y uno rectangular producirá una imagen redonda si la distan-cia a la imagen es grande en comparación con el tamaño del agujero. Cuando los rayos del Sol forman un ángulo con la superficie de la imagen, ésa imagen es un circulo estirado, es decir una elipse. Deja que la imagen del sol caiga co-bre una moneda. Coloca el cartón de modo que la imagen apenas cubra la mo-neda. Es una forma cómoda de medir el diámetro de la imagen; es del mismo diámetro de la moneda, que se puede medir con facilidad. A continuación mide la distancia entre el cartón y la moneda, utiliza unidad creada por ti mismo: puede ser la longitud de un dedo, una oreja, etc., La relación del tamaño de la imagen entre la distancia a la imagen debe ser de más o menos 1/110.Es la relación del diámetro del Sol entre la distancia del Sol a la Tierra. Con el dato de que el Sol está a 150 000 o 1,5E8 km de la Tierra, calcula el diámetro del Sol y exprésalo en tus unidades y en unidades



AUTOEVALUACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN DEL APRENDIZAJE MIDE TUS CONOCIMIENTOS

Integra tus conocimientos: a) Define los siguientes conceptos. Regresa al texto de la subunidad tan-tas veces sea necesario. → Física → Relación entre la física y las ciencias. → Magnitud → Sistemas de Unidades → Orden de Magnitud b) Utiliza el siguiente espacio para realizar un mapa conceptual con los principales temas tratados en esta unidad. Resuelve las siguientes situaciones: Transforma a Transforma a

Transforma a



Segunda Subunidad

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL

EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA

DE VECTORES

RESTA TRIGONOMÉTRICA

DE VECTORESSUMA Y RESTA

ANALÍTICA DE VECTORES

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

SUMA TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES

INTERCAMBIOS EN LA EXPRESIÓN DE

UN VECTOR

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES

VECTORES UNITARIOS

PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL



Segunda Subunidad

ELEMENTOS DE ÁLGEBRA VECTORIAL El Álgebra vectorial es una rama de la matemática, en la que las cantidades no son aritméticas o algebraicas, sino otros entes matemáticos llamados “vecto-res”, los cuales son utilizados para simbolizar representar las magnitudes vec-toriales. El álgebra vectorial es una de las más importantes ramas de las ma-temáticas utilizadas para el estudio de la Física, lo cual hace que sea estudiada previamente al abordaje de la Física propiamente dicha. 5.2.1 EXPRESIÓN TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA: Conocer y aplicar la expresión trigonométrica de un vector.

Valorar e incrementar el interés por esta nueva metodología. Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas pre-cisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación. Un vector es la expresión geométrica que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Los elementos de un vector son los siguientes (figura 5.2.1.1.): • Un origen o punto de aplicación: A. • Un extremo: B. • Una dirección: Una recta imaginaria que contiene al vector. • Un sentido: indicado por la punta de flecha en el extremo B. • Un módulo, expresado por la longitud del segmento AB.

Fig.5.2.1.1. Elementos de un vector.

Para nombrar un vector se utiliza una letra o símbolo cualquiera con una flechi-

ta en su parte superior, por ejemplo ,… Hay varias maneras de expresar la magnitud de un vector: utilizaremos dos; en

la primera el nombre del vector va encerrado entre barras, por ejemplo:



y la segunda, en la que nombre del vector va sin la flechita, por ejem-plo . Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección, como muestra la figura 5.2.1.2.

Fig. 5.2.1.2. Igualdad de vectores.

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vec-tor libre es independiente del lugar en el que se encuentra. Los vectores se pueden expresar de varias formas, de estas estudiaremos dos: la forma trigonométrica y la forma analítica. Un vector queda expresado trigonométricamente mediante su magnitud o valor numérico, su dirección y sentido está determinado por dos ángulos llamados ángulos directores. Los ángulos directores de un vector son los ángulos planos formados entre el vector y cada uno de los ejes positivos del plano o sistema de referencia utili-zado. En el plano bidimensional, los vectores tienen dos ángulos directores de-signados con las letras griegas .En el plano tridimensional (espacio) los vectores tienen tres ángulos directores . La expresión trigonométrica de dos vectores está determinado por:

Ejercicio Resuelto 1 Se tiene un vector de módulo 25 y de ángulos directores Ex-presa dicho vector en la forma trigonométrica y gráfica. El vector expresado en la forma trigonométrica es:



El vector expresado en la forma gráfica es:

Para el vector de módulo 25 y de ángulos directores Expresa dicho vector en la forma trigonométrica y gráfica. El vector expresado en la forma trigonométrica es:

El vector expresado en la forma gráfica es:

Evalúa tu comprensión: Un vector es un………………………….. que representa………………… En la forma trigonométrica los vectores se expresan mediante………. y sus………………………………….. Lee, razona y resuelve: ¿Por qué a la longitud se le considera cantidad escalar y a la velocidad se le considera cantidad vectorial? Representa los siguientes vectores en el sistema de referencia mostrado:



Taller 5. 2.1

Usa tu aula como referencia. Construye vectores que indiquen la posición de las lámparas, de los marcos superiores de puertas y ventanas, de los extremos del pizarrón y de tu pupitre con respecto a un punto arbitrario. Registra los da-tos en la siguiente tabla:

VECTORES MAGNITUD ÁNGULOS DIRECTO-RES.

Usa esta plantilla para registrar tu informe y disértalo a tus compañeros: INVESTIGACIÓN 5.2.1.- APLICACIÓN DE VECTORES A SITUACIONES REALES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales:



Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.2 SUMA TRIGONOMÉTRICA DE VECTORES EN EL PLANO OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir y aplicar correctamente el algoritmo para la suma trigonométrica de vectores en el plano. Plantear situaciones problémicas referidas a esta operación con vectores. Los vectores, al igual que los números, son entidades matemáticas sobre las cuales se efectúan algunas operaciones. En esta guía se desarrollarán algu-nas de estas operaciones, las más elementales y necesarias para el estudio de la Física. Empezaremos con la suma de dos vectores expresados en forma trigonomé-trica, la cual se puede realizar mediante dos métodos:

Método del triángulo. Este método combina la labor gráfica con conocimientos de trigonometría y geometría, por lo que se recomienda refrescarlos antes de abordar este tema. El método del triángulo tiene algunos pasos los cuales vamos a detallar con la ayuda de un ejemplo: Sumar los siguientes vectores:



1. Se dibujan los vectores en el plano cartesiano.

2. Se determina el ángulo entre ellos, para ello se suma o se resta los ángulos directores de los vectores. Del gráfico se observa que:

3. Se traslada el vector cuyo ángulo director es mayor al extremo del otro vector; este vector debe quedar a continuación del otro.

4. Se junta el origen del primer vector con el extremo del otro mediante un tercer vector que será el vector suma o vector resultante. De esta manera se forma un triángulo de vectores.



5. Se aplica la ley de cosenos al triángulo de vectores OPQ para obtener la magnitud del vector resultante. Aquí hay que percatarse bien en el valor del

ángulo entre y , en este caso es el suplementario de Del gráfico se tiene que:

Con los datos:

Y el vector resultante es:

6. Se aplica la ley de senos al triángulo de vectores para obtener el ángulo entre el vector resultante y el de vector no trasladado. Del gráfico se tiene que:

Es decir:

Resolviendo se tiene que:

Con lo que:

7. Con el ángulo así obtenido, se obtienen los ángulos directores. Aquí hay que proceder con sumo cuidado para elegir correctamente los ángulos, en el ejemplo, hay que sumar para obtener el ángulo director y restar

para obtener :

El vector resultante queda expresado en la forma trigonométrica y gráfica de la



siguiente manera:

Método de superposición. Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo

vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, luego un segundo, un tercero, etc., siguiendo la misma lógica. La suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del pri-mer vector hasta el extremo del último, de la siguiente manera:

Sumar los siguientes vectores utilizando el método de superposición. Sumar los siguientes vectores:



Primero dibujamos un sistema de referencia con el primer vector en el origen. Como la suma es una operación conmutativa, se puede colocar a los vectores en el orden que queramos sin que se altere el resultado.

Es necesario establecer una escala adecuada y dibujar con la mayor exactitud posible, recuérdese que es un método puramente gráfico, el resultado depende de la calidad del gráfico. Luego se va dibujando los vectores tomando como centro de referencia la pun-ta de la flecha del vector precedente, con esto, se logra lo siguiente:

Al final se mide el tamaño del vector resultante y sus ángulos. En el ejemplo, se tiene que:

Evalúa tu comprensión: El vector resultante de sumar dos vectores está dado por la ecua-ción…………………cuya magnitud se obtiene median-te…………………………………………….. Los ángulos directores del vector resultante se obtienen a partir del……….. Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:



Calcular por los dos métodos:

a)

b)

c) Dibujar los vectores y los resultados.

Taller 5.2.2 Suma los vectores del taller anterior en la forma trigonométrica. Trata de obtener la suma trigonométrica de dos vectores que puedes encontrar en tu establecimiento. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.2.- APLICACIÓN REAL DE SUMA DE VECTORES EN LA FORMA TRIGONOMÉTRICA 2 Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.3 RESTA TRIGONOMÉTRICA DE DOS VECTORES EN EL PLANO OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir y aplicar correctamente el algoritmo para la resta trigonométrica de vectores en el plano. Plantear situaciones problémicas referidas a esta operación con vectores. Se conocen dos métodos: por reducción a suma y por diferencia de vectores.

Por reducción a suma: Se gira al vector sustraendo. Para ello se resta a cada uno de los ángulos directores y se toma su valor absoluto. Se escribe el nuevo vector sus-traendo y se le suma el minuendo con el método de la suma trigonométrica. Para ello seguiremos el siguiente ejemplo Ilustrativo



Para los siguientes vectores:

Halla

1. Se halla -

2. Se dibuja los vectores y se procede como en la suma:

Del gráfico se obtiene el ángulo entre los vectores:

Por la ley de los cosenos:

Por la ley de los cosenos se obtiene el ángulo :

Con lo que:

Luego:

El vector resultante queda expresado de la siguiente manera:



Por diferencia de vectores: Se sigue el siguiente algoritmo: 1. Se dibujan los dos vectores en el plano y se determina el ángulo entre ellos. 2. Se traza un nuevo vector, el cual va desde el extremo del sustraendo hasta el extremo del vector minuendo. De esta forma obtenemos un triángulo de vectores. 3. Se traslada el vector resultante al origen. 4. Se resuelve el triángulo de vectores: mediante la ley de cosenos se halla el módulo del vector resultante y con la ley de los senos el ángulo entre el vec-tor minuendo y el resultante. 5. Los ángulos directores se determinan mediante un análisis cuidadoso del triángulo de vectores. Para ello seguiremos ejemplo Ilustrativo anterior:

Halla

Del triángulo de vectores OMN obtenemos la magnitud y ángulos directores del vector resultante:

Por la ley de los cosenos:

Trasladamos el vector resultante al origen del sistema coordenado. Por ley de cosenos obtenemos el ángulo N:

Calculamos los ángulos directores:

Con o que el vector resultante queda expresado de la siguiente manera:



Evalúa tu comprensión: Compara los algoritmos para la suma y resta trigonométrica de los vectores en el plano. Extrae algunas conclusiones importantes. Investiga y responde: ¿cuándo la magnitud de la suma o resta de dos vectores de reduce a la suma o resta de sus magnitudes? Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:

Calcular por los dos métodos

a)

b)

c) Dibujar los vectores y los resultados.

Taller 5.2.3 Con la ayuda de cuerdas, sal al patio y realiza una práctica de resta de vecto-res. Dibuja un sistema de referencia y mide el vector resultante. Luego haz los cálculos y obtén el valor de dicho vector. Compáralo con el medido y saca el error de medición. Usa la siguiente ecuación:

En donde: valor medido y valor calculado ¡Multiplica por cien y has obtenido el error porcentual!



INVESTIGACIÓN 5.2.3.- APLICACIÓN REAL DE RESTA DE VECTORES EN LA FORMA TRIGONOMÉTRICA. Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.4 VECTORES UNITARIOS OBJETIVOS DEL TEMA: Aprehender, relacionar y aplicar correctamente los concep-tos dados. Resaltar la importancia de la interrelación asertiva en el equipo de trabajo.



Se denomina vector unitario a un vector, cuyo punto de partida es el origen del sistema de referencia, su módulo es 1 y su dirección y sentido siempre apuntan al lado positivo del sistema. Los vectores unitarios en el plano XY suelen representarse respectivamente

por como se muestra en la figura.

Los vectores unitarios en el espacio XYZ suelen representarse respectivamen-

te por

También es posible especificar vectores unitarios en cualquier dirección o en direcciones de cualquier otro vector. Por ejemplo, el vector unitario en la direc-ción de un vector dado es:

Ejercicio Guía Calcula y grafica el vector unitario correspondiente a la dirección de los siguien-tes vectores.



Como la dirección del vector es arbitraria, tenemos que:

Para :

Para :

Para :

Evalúa tu comprensión: Se llaman vectores unitarios…………………………………………………………... Expresa todos los vectores unitarios del plano a la forma trigonométrica. Expresa todos los vectores unitarios del espacio a la forma trigonométrica. Lee, razona y resuelve: Grafica el vector unitario correspondiente a los siguientes vectores. Obtén su magnitud:

.



Taller 5.2.4

Investiga una situación real donde se apliquen los contenidos de este tema. Pide ayuda a tu profesor. Luego comparte con tus compañeros el informe co-rrespondiente. INVESTIGACIÓN 5.2.4.- APLICACIÓN REAL DE VECTORES UNITARIOS Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:



5.2.5 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA: Descubrir los conceptos y aplicarlos en los ejercicios y acti-vidades propuestas. Plantear situaciones reales de aplicación. Despertar el espíritu de colaboración en el grupo de trabajo. A un vector podemos proyectarlo en la dirección de uno de los ejes coordena-dos. Este vector puede ser considerado como resultado de la suma de las tres proyecciones, las cuales son perpendiculares entre sí. De este modo:

Los escalares o coeficientes, y se denominan componentes del vector.

Para un vector dado, es la proyección de sobre el eje ; es la pro-

yección de sobre el eje . Esto para el plano. En el espacio se tienen,

además de las dos anteriores, la componente es la proyección de sobre el eje . También puede representarse de la siguiente forma:

Los vectores proyección , y se obtienen a través de relaciones trigonométri-cas en la figura 5.2.5.1:

Los coeficientes son:

; ; De donde y son los ángulos directores del vector. , y son los cosenos directores del vector, los cuales son expresados de la siguien-te manera:

; ;

fig. 5.2.5.1. Componentes rec-tangulares de un vector



La expresión analítica de vectores es la representación de un vector como la suma de sus componentes rectangulares. En el espacio, un vector en la forma analítica se expresa de la siguiente forma:

En el plano, la expresión es la siguiente:

La magnitud está dada por: y la dirección está determinada por los ángulos directores, obtenidos de los cosenos directores:

; Reemplazando datos se llega a la conclusión de que el ángulo director es obtu-so si el coseno director es negativo. Con las herramientas anteriores podemos cambiar la expresión de un vector de la forma trigonométrica a la analítica. Para ello calculamos las componentes rectangulares del vector dado y lo expresamos como la suma analítica de sus componentes. Para cambiar de la forma analítica a la trigonométrica se calcula la magnitud y los ángulos directores del vector dado y se expresa el vector en forma trigo-nométrica: magnitud y ángulos directores. Ejercicio Guía Hallar los ángulos directores de un vector cuyas componentes en los ejes X, Y

y Z sean 4, 6, 8, respectivamente, y cuyo módulo sea Del enunciado tenemos que:

Con lo que el vector queda expresado de la siguiente manera:



Por otro lado:

, entonces: , por lo que: 68,2°

, entonces: por lo que: 56,15°

, entonces: , por lo que: 42,03° Evalúa tu comprensión: Las componentes rectangulares de un plano son:………………………………… ……………………………………………………………………………………………. Se llaman cosenos directores a:……………………………………………………… …………………………………. y cuyas ecuaciones son:………………………….. Un vector se expresa analíticamente en el espacio por medio de la ecuación: ………………………….. Lee, razona y resuelve: Para los siguientes vectores:

Determinar: → Las componentes rectangulares y sus magnitudes. → Los cosenos directores. → Los ángulos directores.

Taller 5.2.5 Con la ayuda de cuerdas construye algunos vectores en el patio. No olvides establecer primero un sistema de referencia. Luego, con la ayuda de un flexó-metro y un graduador de costurera, mide la magnitud y ángulos directores de cada vector construido. En base a estos datos, obtén las componentes rectan-gulares de los vectores construidos.



INVESTIGACIÓN 5.2.5.- APLICACIÓN REAL DE COMPONENTES REC-TANGULARES DE UN VECTOR Y EXPRESIÓN ANALÍTICA DE VECTORES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física:

¡No te olvides de participar en clase! 5.2.6 SUMA Y RESTA ANALÍTICA DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Descubrir la manera de relacionar vectores en la forma analí-tica. Aplicarlo correctamente al desarrollo de las aplicaciones prácticas propuestas.



Despertar el interés por el trabajo en equipo.

Si tenemos varios vectores y queremos compararlos (sumarlos o restarlos):

Primero vemos si todos se encuentran en la forma analítica. Vemos que el últi-mo vector no lo está. Lo expresamos, pues, dicha forma:

Luego los encolumnamos de tal manera que las componentes queden en una misma columna.

Luego se comparan (suman o restan) entre sí las componentes para obtener la expresión analítica del vector resultante.

Ejercicio Guía Calcula la suma de los siguientes vectores:

Primero expresamos el último vector en la forma analítica:

Luego los encolumnamos y sumamos:



El vector resultante viene dado por:

Evalúa tu comprensión: Compara la suma vectorial con la suma aritmética ¿Qué conclusiones obtie-nes? Investiga otros métodos para sumar vectores. Compártelos con tus compañe-ros. Lee, razona y resuelve: ¿La magnitud de la suma de dos vectores dados siempre será menor que el módulo de la diferencia de esos vectores? Un vector de 5 unidades apunta en la dirección positiva del eje X y otro de 3 unidades se orienta formando un ángulo de 44º con ese mismo eje. Determine la suma y la resta de estos vectores, gráfica y analíticamente.

Un vector se extiende desde el origen hasta un punto que tiene por coorde-

nadas otro se extiende desde el origen hasta el punto, y

otro se extiende desde el origen hasta el punto .Grafique los vecto-res y determine su suma y resta, analíticamente.

Taller 5.2.6 Arma un equipo de investigación y pide asesoría a tu profesor para encontrar una situación relacionada con el tema. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.6.- APLICACIÓN REAL DE SUMA Y RESTA ANALÍTI-CA DE VECTORES Tema: Situación Problémica:



Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.7 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR OBJETIVOS DEL TEMA: Aprender e interpretar correctamente este concepto. Rela-cionarlo con los conceptos previos. Motivar al trabajo individual.

El resultado de multiplicar un escalar por un vector es otro vector expre-

sado por con las siguientes características:

1. Tiene la misma dirección que .

2. Si es positivo, tiene el mismo sentido que ; si es negativo, tiene

sentido contrario a .

3. El módulo de es veces mayor que

Para un vector expresado en forma trigonométrica, el vector queda definido mediante:



si

si Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las compo-nentes del vector. El producto de un escalar por un vector cumple con las siguientes propiedades:

1.-Conmutativa:

2.-Distributiva: Ejercicio Guía

Dado el vector: multiplíquelo por

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar. Evalúa tu comprensión:

El resultado de multiplicar un escalar por un vector es otro vector expre-sado por ……………..con las siguientes características:…………………... ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Lee, razona y resuelve:

Dado el escalar: y , hallar





Taller 5.2.7

Demuestra que si a un vector orientado en la diagonal de un cubo de lado l se le multiplica por un escalar cualquiera k, el lado del cubo que contiene al vec-tor aumenta en k. Puedes construir el modelo en cartulina y exponerlo a tus compañeros. INVESTIGACIÓN 5.2.7.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO DE UN ESCA-LAR POR UN VECTOR Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo: Resolución:



Respuesta e interpretación física: 5.2.8 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Descubrir y conocer correctamente los conceptos. Deducir aplicaciones. Colaborar con el trabajo en equipo. El producto escalar de dos vectores, conocido como producto interno o produc-to punto, es una operación cuyo resultado es un escalar. Esta operación está expresado como . En forma gráfica, el producto escalar de dos vectores está dada por:

En donde es el ángulo formado por los dos vectores (ver figura)

En forma analítica el producto escalar de vectores se obtiene de la suma de los productos de los coeficientes de las componentes de uno y otro vector. Es de-cir, dados dos vectores y , expresados en un mismo sistema de coordena-das:

Teniendo en cuenta el producto escalar de los vectores unitarios:

El resultado de multiplicar escalarmente por es:



El producto punto de vectores cumple con las siguientes propiedades: Conmutativa: Distributiva con respecto a la suma: Asociativa: siendo escalar.

Si, y sólo sí Si = 0, es perpendicular a . Ejercicio Guía

Calcular el producto escalar de los vectores y

. Hallar el ángulo que forman. Primero hallamos el producto escalar de los vectores:

Ahora calculamos el ángulo que forman: Sabemos que:

Como ya calculamos , nos queda que hallar el producto de sus módulos para poder realizar el cociente:

22,17 Entonces:

y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º. Evalúa tu comprensión: el producto escalar de dos vectores en el plano es……………………. y está expresado por ……………..con las siguientes propiedades :…………………... ……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Lee, razona y resuelve:

Para: y calcula el producto escalar y el ángulo que for-man los dos vectores. Dibuja todos los vectores



Para: y calcula el ángulo que forman los dos vectores. Dibuja los vectores.

Demuestra que: y son perpendicula-res. Argumenta tu respuesta.

Taller 5.2.8 Realiza la demostración del producto escalar de los vectores unitarios. ¿Qué ángulo formarán dos vectores; el uno orientado desde el marco inferior izquierdo de la puerta hacia el marco inferior derecho del pizarrón y el otro orientado desde el marco inferior izquierdo de la puerta hacia el marco supe-rior izquierdo del pizarrón? Puedes tomar el marco inferior izquierdo de la puerta como referente. Socializa los resultados. INVESTIGACIÓN 5.2.8.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos: Metodología de trabajo:



Resolución: Respuesta e interpretación física: 5.2.9 PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES OBJETIVOS DEL TEMA Comprender de manera cabal los conceptos y ecuaciones involucradas. Utilizarlos para la resolución de ejercicios y problemas de aplicación. Captar la metodología de trabajo.

Sean y dos vectores. Entonces definimos el vector que es el producto

vectorial de y por:

De la ecuación podemos afirmar que el producto vectorial, externo o cruz de dos vectores una operación cuyo resultado es otro vector. Decimos que es producto cruz, porque el operador es la cruz de San Andrés

Ahora bien, si y están expresados en la forma trigonométrica, el producto

vectorial, está expresado por:

Donde es el ángulo más pequeño entre los vectores y es un vector

perpendicular al plano engendrado por los vectores .

El vector es el que da la dirección al vector . El sentido del vector es el que se obtiene usando la regla de la mano derecha. Se extienden los dedos en sen-tido del primer vector, se los empuña en el sentido del segundo vector, se ex-tiende el pulgar, el cual señala el sentido del vector resultante. Una característica del producto cruz es que no es conmutativo, más bien, al cambiar el orden del producto se invierte el sentido del vector resultante.

El producto cruz es distributivo respecto a la suma vectorial:



Si analizamos el producto vectorial entre los vectores unitarios cartesianos, tendríamos que:

De esto se desprende la siguiente propiedad: El producto vectorial de un vector por sí mismo es igual a cero:

Evaluemos el producto cruz entre los dos vectores expresados en forma analítica:

Sean dos vectores:

Entonces se tiene que:

+ Resolviendo se obtiene:

Considere un paralelogramo cuyos lados son los vectores tal como



muestra la figura:

El área de tal paralelogramo viene dado por la magnitud del producto vectorial

de ; es decir:

Ejercicio Guía

Sean y dos vectores unitarios en el plano XY, que forman ángulos con el eje X, respectivamente (ver figura). Evalué el producto cruz de estos vectores de dos maneras: usando la definición y usando la ex-presión en términos de las coordenadas cartesianas, y de esta manera encuentre una expresión para

El ángulo entre los vectores es luego:

Por otra parte:

= Igualando las dos expresiones anteriores concluimos que:

Evalúa tu comprensión: El resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores es otro vector expre-sado por ……………..con las siguientes características:…………………...



……………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………. Lee, razona y resuelve:

Para: y calcula el producto escalar y el ángulo que forman los dos vectores. Dibuja todos los vectores.

Para: y calcula el ángulo que for-man los dos vectores. Dibuja los vectores. Demuestra que la magnitud del área del paralelogramo cuyos lados son los

vectores y corresponde al producto vectorial de los mismos. Argumenta tu respuesta.

Taller 5.2.9 Demuestra en clase que el producto vectorial de dos vectores es un vector per-pendicular a los anteriores. Utiliza materiales del medio. Pide asesoría a tu pro-fesor. INVESTIGACIÓN 5.2.9.- APLICACIÓN REAL DE PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES Tema: Situación Problémica: Objetivos Generales: Objetivos Específicos:



Metodología de trabajo: Resolución: Respuesta e interpretación fí

R E S U M E N...UNIVERSIDAD DE CUENCA AUTOR: JORGE PATRICIO MOGROVEJO HERNÁNDEZ 1 R E S U M E N El...

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