CNL.OIM. HERIBERTO J E ROMAN

Pensar en Nacion DETECCIÓN SSAA-II-02-001[e] Radar Wave Propagation

Autor – M. P. Shatz and G. H. Polychronopoulos.

SSAA-II-002[1][e] RESERVADO

PROPAGACIÓN DE ONDAS – Evaluación de la Difracción.

OBJETO DEL APUNTE Interesado en hallar soluciones en baja altura con radar, he visto necesario considerar el campo complejo que se origina en la zona de difracción. Se verá que no es un intento novedoso sino que ha sido analizado desde hace algunas décadas y ha rematado en modelos de análisis con supuestos teórico-analíticos que satisfacen. De todos modos en la introducción necesito recordar conceptos ya publicados y se introducen en este como antecedentes. HJER

ANTECEDENTES En el espacio libre, las ondas electromagnéticas viajan en línea recta. En atmósfera de la Tierra-esférica, sin embargo, las ondas de radar se pueden propagar más allá del horizonte geométrico por refracción. Otro mecanismo que permite la cobertura de radar para extenderse más allá de la horizonte geométrico es el de la difracción. Las ondas de radar se difractan alrededor de la tierra, lo hacen de la misma manera que la luz es difractada por la presencia de un borde agudo. La capacidad de las ondas electromagnéticas para propagarse alrededor una tierra esférica es entonces mediante la difracción, se verá además que ésta depende de la frecuencia y más precisamente del tamaño del blanco en comparación con la longitud de onda. En ello se puede agregar que cuanto menor sea la frecuencia, más se difracta la onda.

RADARES DE ONDAS MÉTRICAS

El radar 1L13 es un radar móvil VHF (30 a 300 MHz)

bidimensional con alcance de 300km. La antena tiene

iene 18 dipolos verticales y gira a 10-20 RPM

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Figura.1.e-01. gráfico de la intensidad de campo eléctrico (en relación con el espacio libre) en una función de la distancia

desde la antena de transmisión, para una altura del blanco y el radar = 100m

De todas maneras el mecanismo de la difracción es especialmente importante en frecuencias muy bajas también (VLF) por la que se proporciona el sostén de las comunicaciones en todo el mundo. Sin embargo, a frecuencias de radar la longitud de onda es pequeña en comparación con las dimensiones de la tierra y poca energía se difracta. Estudios sobre modelos más recientes, algunos de los cuales serán explicados en este apunte, revelan que los efectos de la difracción pueden ser más conocidos y asegurar que la cobertura puede extenderse, relativamente en un sentido aprovechable más allá de la línea de visión por este mecanismo. La Figura.1e-01, es un gráfico de la intensidad de campo eléctrico (en relación con el espacio libre) en función de la distancia desde la antena de transmisión. Tanto la antena del radar y el blanco se supone que están en una altura fija (100 m en el ejemplo). Las curvas calculadas se refieren a la propagación a lo largo de una tierra suave idealizada en ausencia de atmosfera.

A frecuencias ópticas, la intensidad de campo en la región de interferencia (que se define entre el radar y el horizonte geométrico, es esencialmente la misma que en el espacio libre. El campo, puede decirse, no penetra más allá del horizonte. Por lo tanto, para las frecuencias ópticas o con longitudes de onda muy cortas el horizonte geométrico representa una frontera aproximada entre las regiones de la propagación y no propagación relativa. A medida que la frecuencia disminuye y esto interesa en el apunte (con aumento de longitud de onda), la Figura.1e-01 indica cuanto más se propaga la energía en progreso, más allá del horizonte geométrico. Sin embargo, el estudio de la intensidad de campo es complejo, dentro y solo dentro del horizonte geométrico, que en primera aproximación disminuye al disminuir la frecuencia. Se concluye que si la cobertura de radar en baja altitud se desea más allá del horizonte geométrico, en la región de difracción o de sombra, la frecuencia debe ser lo más baja posible, justificando entonces el empleo de radares de ondas métricas. Si, por otra parte, la cobertura de baja altitud debiera ser optimizado dentro de la zona de interferencia, en el caso contrario, si no hay preocupación por la cobertura más allá del horizonte, la frecuencia de radar debe ser lo más alta posible. La fórmula para la distancia a lo largo de la línea de visión, que conocimos en apuntes anteriores, no se debe utilizar como una medida de la cobertura radar sin hacer alguna mención de reserva. La Figura.1e-01 muestra que un blanco situado en el horizonte geométrico, que no está en el espacio libre, pero está sin duda dentro de la región de difracción del radar, la intensidad de campo que influye sobre un blanco en la línea de visión del radar puede variar de 10 a 30 dB por debajo en el espacio libre. La pérdida de intensidad de la señal en la región de difracción puede ser alta pero no nula. A una frecuencia de 500 Mc (VHF), para una vía de pérdidas en la propagación es de aproximadamente 1 dB / km a baja altura, Figura.1.e-02. Puede ser aún mayor a frecuencias más altas. Por lo tanto, para penetrar 10 millas dentro de la región de difracción, la potencia radar debe aumentar por lo menos 20 dB de lo que se requiere para la propagación en el espacio libre. La disminución de la cobertura de radar debido a la atenuación de la energía electromagnética en la región de difracción se ilustra en la Figura.1e-03 para un radar que funciona a una frecuencia de 500Mc

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Figura.1.e-02. Pérdidas en la propagación para 500Mc en función de la distancia y la altura del blanco. Altura radar 100pies k=4/3, sobre agua de mar conductividad constante y polarización vertical

Figura.1.e-03. Contorno de cubrimiento radar para una altura radar de 200 pies. (1) Linea geométrica de visión k=4/3 (2) Contorno de señal de radar constante en la zon de difracción para una potencia de señal igual al espacio libra y a 200 millas náuticas, polarización vertical, agua de mar k=4/3 500Mc, (3) igual a (2) pero a 100 millas náuticas, en el espacio libre. (4) igual que (2) pero a 55 millas náuticas , espacio libre. (5) igual que (2) a 27,5 millas náuticas, señal en el espacio libre. (6) contorno de propagación cero, igual que las curvas (2) a (5).

Estas curvas son contornos teóricos de una cobertura radar constante. La altura radar se supone próxima a los 70m por encima de la tierra curvada. La curva 1 representa el lugar geométrico de la línea de visión geométrica, tal como se define por la ecuación d0= [2kah1]

1/2 + [2kah2]

1/2, para

k=4/3. La curva 2 es el contorno constante de la señal en la región de difracción para una intensidad de señal igual a la del espacio libre, para una señal que se recibe para un alcance aproximado a los 320Km (220 millas náuticas); es decir, si el propósito del radar es detectar un blanco que se encuentra a lo largo de este contorno, debe ser capaz de detectar el mismo blanco en el espacio libre a una distancia también de 220 millas náuticas. h1 = Altura radar. h2 = Altura del blanco. a = Radio terrestre. k = factor que tiene en cuenta la refracción debida a un gradiente uniforme de refracción No obstante si el blanco estuviera a una altura de 70m (200pies), el alcance máximo de detección se reduciría de 220 en alrededor de 35 millas náuticas. Las curvas de 3, 4, y 5 son similares a la curva 2, excepto que se aplican a una señal en el espacio libre de 110, 55 y 27,5 millas náuticas, respectivamente. La curva 6 es la correspondiente al contorno de difracción cero pérdida y representa la frontera aproximada entre la región de interferencia y la región de difracción. Cualquier blanco a la derecha de la curva 6 puede ser considerado estar dentro de la zona de difracción. Esto ilustra porqué la mayoría de los radares que operan a frecuencias de microondas o UHF se limitan a la cobertura dentro de la línea geométrica de la vista.

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INTRODUCCIÓN El diseño y el análisis de los sistemas de radar que transmiten por sobre el mar o bien sobre terrenos suaves, sean estos; radares aerotransportados que apuntan a distancia integrando un sistema de alerta temprana contra misiles o bien en radares costeros, de frontera para control del ingreso aéreo del narcotráfico, requieren una evaluación precisa de la propagación radar, en primera aproximación, sobre una esfera lisa. El análisis sobre una esfera lisa con difracción es siempre importante y complejo para aplicaciones de un radar en términos generales; mediante la combinación de varias aproximaciones, modelos compuestos se pueden evaluar en la propagación de señales a través de cualquier tipo de terreno. La Tierra esférica con “Modelo de cortes (SEKE)”, por ejemplo, el cual combina cuatro aproximaciones en sus análisis de la propagación de radar sobre terreno irregular. describe este modelo de propagación con mayor detalle, utilizando la Figura.1.e-04, la cual muestra tres regiones para la propagación; sobre una fracción de corte esférico, una zona en donde se difunden las trayectorias múltiples, muy por encima del horizonte, sometida a refracción, en tanto que la región de difracción (se resalta), por debajo del horizonte, existiendo además una región intermedia, que se solapa con la región de trayectorias múltiples, por lo tanto se introduce en este apunte un modelo de cálculo basado en la interferencia entre los rayos directos y reflejados, que se puede implementar con precisión teórica en la región de difracción a partir de un pequeño número de términos determinantes para ser usados en una solución que se presentará como una serie infinita que implica funciones espaciales que se pueden utilizar para aproximar un factor de propagación. En la región intermedia, esta serie también puede ser utilizada, pero mayor cantidad de términos y mayor precisión en los cálculos para la función espacial son requeridos. Cuando el SEKE se desarrolló originariamente, fue diseñado para las bajas alturas y su método de cálculo de las funciones espaciales (Función de Airy) se ha visto suficientemente preciso. Sin embargo, para las antenas o los blancos de gran altura es necesaria una mayor precisión. El nuevo método que se describe en este apunte proporciona la precisión necesaria para las aplicaciones también de gran altura para toda aplicación y altura de antena razonables en la región de trayectos múltiples visibles.

Figura,1.e-04 Propagación sobre esfera lisa, con indicación de la Región de Difracción.

En el reciente emplazamiento del ESCUDO NORTE se comprobaron deficiencias en baja altura de los medios disponibles (Banda L). Pero nunca se ha visto un “Estudio de Proyecto” en el que se analizaran todos los subsistemas posibles. La inclusión de radares de ondas métricas es posible, pero debiera ser demostrado en “Pruebas de Campo”

Región de Difracción

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MODELO SEKE El modelo de propagación SEKE se utiliza para calcular las intensidades de campo de las ondas de RF que se propagan desde radares con base en tierra, en la detección de aeronaves que vuelan a baja altura sobre terreno irregular. El modelo fue desarrollado en el Laboratorio Lincoln por el Dr Serpil Ayasli. El modelo SEKE combina varios modelos de propagación para la difracción sobre esfera lisa, difracción múltiple en cortes agudos reflexión sobre una esfera lisa y un cálculo de trazado de rayos reflejados desde una superficie irregular. El modelo determina, dependiendo del terreno, si se debe utilizar un cálculo de difracción, un cálculo de la reflexión o un promedio ponderado de los dos métodos. Si se utiliza un cálculo de difracción, el modelo elige el corte agudo. La esfera lisa o un promedio ponderado de los dos métodos. Una vez más. La decisión depende del terreno. Los modelos de reflexión están implícitos en las dos versiones de SEKE: SEKE1 utiliza la esfera lisa supuesta, SEKE2 utiliza el método de trazado de rayos. El enfoque como difracción múltiple en cortes agudos, se inicia mediante la búsqueda en los bordes de los cortes que son datos del terreno que normalmente bloquean los rayos directos. El enfoque múltiple así planteado y luego implementado en el método de Deygout para calcular el factor de propagación Para el estudio de la propagación en la zona de difracción sobre una tierra esférica lisa, se considera una esfera efectiva como generadora de señales desde el mismo terreno entre el blanco y la antena. La potencia de del campo EM, las determinaciones entonces se realizan por el método de Airy-función descrito en este documento para superficies esféricas lisas por reflexión. Se presenta la necesidad de hallar un punto imagen respecto del contorno que presenta la supuesta esfera lisa efectiva para lo cual se nos autoriza introducirnos en la zona de Fresnel, por cuanto está en la región sobre el suelo donde la longitud de las trayectorias desde el radar hasta el suelo y luego al blanco se encuentran dentro de la mitad especular, también una longitud de onda de radar en relación con la longitud de la trayectoria desde el radar hasta el punto especular y a continuación, hacia el blanco. Finalmente se toman una tercera esfera efectiva que se ajusta a la primera zona de Fresnel en el punto imagen de la segunda esfera, por estos nuevos medios se calcula el factor de propagación. El programa de trazado de rayos encuentra esos puntos en el terreno que le dan reflejos especulares. Se calcula la amplitud y fase de cada punto especular usando los puntos sin sombras en la primera zona de Fresnel The SEKE software (written in (FORfRAN) can be obtained from MIT Technology Licensing Office E32-300. 77 Massachusetts Ave. Cambridge. MA 02139. 1. J. Deygout. ~Multiple Knife Edge Diffraction of Microwaves,~ IEEE Trans. Antennas Propag. AP34,480 (1966).

DIFRACCIÓN SOBRE TIERRA ESFÉRICA

Un modelo de precisión para la difracción, considerando a la tierra esférica y lisa debe tener en cuenta la refracción en el aire. El índice de refracción en el aire, n está dado aproximadamente por:

01.e-01. En donde P es la presión en milibares, T la temperatura en grados K y e la presión parcial de agua en milibares (como ven la expresión 01.e-01, (la cual se acerca mucho a una función de estado en un punto).

Usualmente n disminuye al aumentar la altura, lo cual hace que las ondas se doblen hacia la tierra Un

supuesto estándar, que trabaja en condiciones normales, es que la velocidad de variación de n con la altura

se manifiesta como constante c = -3,9.10-8

,m-1

. Utilizando este supuesto, se puede explicar la refracción por tratamiento de las ondas como si estuvieran en el vacío por encima de una superficie esférica de radio Reff, dada por:

01.e-02

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Esta aproximación que habla del fenómeno de la difracción alrededor de la tierra con su atmósfera, es

equivalente a la difracción sobre una tierra esférica lisa de radio Reff en el vacío, y usada en este apunte. El

factor de propagación F sabemos ya que se define como:

01.e-03

Donde Et es el campo eléctrico sobre el blanco y E0 el campo eléctrico en el alcance al blanco medido sobre

el eje del haz de antena (en el espacio libre), F entonces dependerá de la altura al blanco ht, la altura de

antena ha y del alcance r, que para una normalizada terna de ejes x, y, z será:

01.e-04

Donde ha es el factor de normalización para la altura

01.e-05

y r0 el factor de normalización para el alcance

01.e-06

λ es la longitud de la onda EM, a es el radio efectivo de la esfera. La solución general para el cálculo del

factor de propagación F para la esfera terrestre, puede ser expresada como una serie infinita que contiene

funciones de Airy con un argumento complejo y dependiente de x, y, z..

01.e-07

01.e-08

En donde Ai´(ɯ) es la primera derivada de la función de Airy y an el enésimo cero de la función, con a <0.

La función de Airy (ver tabla de propiedades de la funció). Ai´(ɯ) se define como:

01.e-09

La serie en la ecuación 01.e-07, converge para todo valor positivo de x, y, z. Sin embargo la serie no es

numéricamente aplicable en muchos de los trayectos de la región de multi-caminos (para r mucho menor

que la distancia al horizonte y para una específica ht y h0) por cuanto en esa región, los términos mayores

de la serie son mucho mayor que la suma de la serie. Afortunadamente, otras aproximaciones son válidas en la región de difracción. Con una precisión de cálculo en la función de Airy, esta serie provee resultados numéricos aceptables dentro de la región de multi-caminos también, con los que se pueden obtener

modelos aceptables tanto para una y otra región. No obstante el algoritmo para la evaluación de Ai(ɯ), para

valores reales de ɯ, que puedan ser posibles [4], modificándolos para manejar los argumentos complejos,

en una tarea que no es sencilla.

La teoría que pretende explicar la propagación en la zona de difracción se sintetiza en la ecuación 01.e-07/08 y es explicada a continuación en la interpretación de Airy. Propagar una señal de orden métrico y recibir una respuesta, está claro que debe ser en un receptor hábil. .

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01.e-11 Usando

Se puede resolver la ecuación 01.e-11 para Ai(z)

para

01.3-12 Donde la siguiente ρ(x) es una función en crecimiento exponencial no negativa.

Sustituyendo

En la ecuación 01.e-12

Para

Para el momento µk, de ρ(x) necesario para la

cuadratura gaussiana, puede ser evaluado en forma ajustada.

01.e-13

Los pesos de ɯ, y absisas x, pueden ser halladas para N puntos en la gaussiana.

01.e-14

01.e-14a Colocando N=10 decidido para dar adecuada precisión.

La Tabla 1 brinda una lista de los pesos de ɯi y

absisas xi para 10 términos de la cuadratura gaussiana de la función de Airy

Algoritmo para la evaluación de la Función de Airy Compleja La función de Airy es un todo (no hay singularidades en el plano complejo finito), por lo que se puede expresar con una representación en serie de potencias convergentes [Ref.5, Eq.10.4.2]. Esta serie converge muy rápido para pequeñas z.

Cuando se utiliza un gran valor de z, la serie

converge muy lentamente y se producen imprecisiones debidas a grandes cancelaciones. El desarrollo en serie de potencias para Ai(z) es:

01.e-10 Donde

y

Las expresiones anteriores para la serie de potencias muestran que cada suma crece

exponencialmente en el eje real tanto como z se

hace más grande, pero la diferencia disminuye

exponencialmente a medida que z se hace mucho

más grande. Así, para grandes z la serie de

potencias la convierte numéricamente inestable (muy sensibles a la computadora para redondeo de errores). Schulten en [6] dan un método para el cálculo de la función de Airy complejo de gran z. Este método utiliza una representación integral de

la función de Airy que puede ser evaluada por

una cuadratura gaussiana usando sólo unos pocos

términos. La representación integral para Ai(z) se

deriva de una expresión para la función de Kv(z),por Hankel, [Ref.. 7, Eq. 6,627].

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Tabla 1 lista de los pesos de ɯi y absisas xi para 10 términos de la integral de cuadratura gaussiana

de la función de Airy

Así, para pequeños valores de z se utiliza una serie de potencias, para mayores z ( |arg(z)| ≥ 2π/3) se usa el método de la cuadratura. Una fórmula de conexión (Ref 5, Eq 10.4.7) transforma un punto desde el sector de z mayores, donde la integral no es válida, a una suma pesada de doble linealidad independiente de puntos que se encuentran fuera de este sector.

01.e-15

La linea de division entre la región que comprende las soluciones con la serie de potencias con la región que comprenden las soluciones por el método de cuadratura, fue determinada empíricamente. La Fig 1.e-05 muestra donde las regiones del plano complejo se confunden ambas soluciones respectivamente, por la expansión de la serie de potencias, el método de cuadratura gaussiana y la fórmula de la conexión.

Uso de la función de Airy en los cálculos de la difracción sobre una superficie terrestre esférica.

La difracción sobre superficie terrestre, tomada esta como esférica puede ser calculada por sustitución de los valores calculados para la función de Airy por este procedimiento en la ecuación 01.e-07 y 01.e-08. Hay gran desbordamiento de valores en puntos para una

gran cantidad de valores de z, ya que la función de

Airy aumenta exponencialmente con z, a pesar de que

el gran exponente se compensa con los valores del factor exponencial de las ecuaciones mencionadas,

En la región de interés.

Figura,1.e-05

Propiedades de la Función de Airy

La function de Airy se utilize en la solución de problemas de difracción y en aplicaciones matemáticas análogas. Incidetalmente conocida la función se define como:

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Figura,1.e-06. Cuando se ha evaluado en el plano complejo la función de Airy nos da las regiones de caída

exponencial (azul), crecimiento exponencial (rojo) y oscilaciones en zona (eje amarillo)

La ecuación de Airy satisface la siguiente ecuación diferencial:

Muchas de las propiedades importantes pueden ser obtenidas de esta ecuación. La ecuación no tiene singularidades en el plano z (finito) y un punto singular en infinito. La función de Airy es por ello regular en el plano z (finito) El posible comportamiento asintótico de las soluciones de la ecuación diferencial son:

La integral de Airy se agota exponencialmente en la medida que z crece sobre el eje positivo real, así; la ecuación anterior puede mostrar que la constante c, debe ser ½( π )

1/2. , la función de

Airy Ai(z) decrece exponencialmente tanto como el módulo |z| tiende a infinito si |arg z|<π/3 y crece exponencialmente si π/3<|arg z|<π y oscila sobre el eje real negativo, Figura,1.e-06. La función de Airy tiene un infinito número de ceros, todos sobre el eje real.

De esta forma una escalada función de Airy es usada;

De este modo la ecuación 1.e-08 puede ser escrita;

1.e-16 se evalúa calculando términos adicionales, hasta dos términos sucesivos que contribuyen con menos del 0,0005 Entonces, para verificar el cálculo, una mayor verificación se lleva a cabo. Si alguno de los términos de la serie de la ecuación.1.e-08, contribuye con más de 10.000 por término, no se vuelve a un valor para el factor de propagación utilizando series de Fock, ya que la exactitud del valor encontrado para la función de Airy es al menos uno de cada 10.000.

La función Ai(z.e±2π.i/3

) también satisface la ecua-ción diferencial;

Dado que es una ecuación de 2do orden, tiene dos soluciones linealmente independientes, debe haber una relación lineal entre ellas. La serie de potencias muestra que la relación es;

Si se empieza a partir de la ecuación;

Y dejamos que

Tenemos;

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El criterio que se eligió de un máximo de contribución de 10.000 por término es porque cuando la función de Airy es evaluada en las ecuaciones, 01.e-10, 01.e-13 y 01.e-14a es debido a que la precisión es al menos de cuatro dígitos significativos

PRUEBA DEL MODELO Se comprobaron los resultados por comparación con los obtenidos en la multiplicidad de caminos de radiación y retorno, sobre una superficie suave conductora esférica. Los resultados se muestran en la Figura. 01.e-06, para los casos de gran altura, la situación mas competitiva. La curva de puntos muestra los resultados de los cálculos en los casos de trayectorias múltiples. La curva sólida da los resultados de los cálculos de la difracción. Se puede ver que existe una región (entre 430 Km y 450 Km) donde los dos cálculos están muy cerca. Se puede concluir que; para estos casos, los cálculos en la difracción fueron precisos a través de la región intermedia, en la región de trayectorias múltiples, para una determinada altura de antena. El cálculo de la difracción es preciso incluso en el segundo lóbulo de trayectos múltiples en la Figura.

Podemos luego examinar las variaciones de x, y, z sobre los cuales este procedimiento de cálculo brinda precisos resultados SEKE, que utiliza el cálculo de difracción si el espacio libre mínimo de un rayo es menor que el nuevo algoritmo para

todos los valores de y, z menores que 5000 y se

encontró que proporciona una precisión suficiente

para todos los x tal que si se usaría SEKE para el

cálculo en difracción. Estos valores de y, z corresponden a 375 Km con 170 MHz (VHF) o 17Km con 17GHz (Banda Ku)

Cambiando la variable independiente

Se tiene;

De tal modo que ɯ. Es una modificada función de Bessel de orden 1/3, así entonces; es una función con un correcto comportamiento asintótico:

Figura,1.e-06

RESUMEN A partir de una especulación matemática acertada, es decir teoría-hechos consiguiendo resultados aceptables, se brinda una solución al problema de la propagación en medio de la zona de difracción. El algoritmo utilizado incrementa la precisión en el cálculo del factor de propagación en la región de difracción en tierra esférica. Este algoritmo requiere la aplicación de series de Fock´s y la evaluación de la precisión de la función compleja de Airy.

Esta última fue evaluada para IzI muy cercanos al origen usando una expansión de la serie de potencias

Para mayores IzI fue usada una representación del término 10 de la aproximación integral a una cuadratura gaussiana. La función de Airy calculada está de acuerdo con la Tabla de valores calculados dentro de los cuatro dígitos significantes, incorporando este en el modelo de propagación SEKE dando precisión a valores para el factor hasta 375 Km en VHF o 17 Km en banda Ku.

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REFERENCIAS

AUTORES

MICHAEL P. SHATZ ha sido miembro del staff en el Grupo Systems and Analysis por cuatro años. Sus investigaciones en el Lincoln laboratory que se han concentrado en el análisis de los Sistemas Aéreos de Defensa por lo cual se vino al Lincoln del Instituto de Tecnología de California donde el recibía su PhD en física en 1984 y recibió un BS desde el MIT en 1979.

GEORGE H. POLYCHRONOPOULOS Fué miembro asociado a la Systems & Analysis Group. Es profesional recibido de BSEE from Princeton University y del MS que provienen del MIT, es cursante corriente en la PhD, también del MIT &.Estudios George's, habiendose enfocado en Sistemas de Defensa Aérea en lo que él también entretenía sus tiempos libres..