Radián

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades.

Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud

es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

Hasta 1995 tuvo la categoría de unidad suplementaria en el Sistema Internacional

de Unidades, junto con el estereorradián. A partir de ese año, y hasta el momento

presente, ambas unidades figuran en la categoría de unidades derivadas.

Esta unidad se utiliza primordialmente en física, cálculo

infinitesimal, trigonometría, goniometría, etc.

Índice

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1 Definición

2 Utilidad

3 Análisis dimensional

4 Equivalencias

5 Conversiones entre grados y radianes

6 Véase también

7 Referencias

o 7.1 Bibliografía

8 Enlaces externos

[editar]Definición

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es

igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s/r, donde θ es

ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto,

el ángulo completo,  , que subtiende una circunferencia de radio r,

medido en radianes, es:

[editar]Utilidad

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que

simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante

sencillos múltiplos o divisores de π.

[editar]Análisis dimensional

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo,

la función seno de un ángulo "x" expresado en radianes cumple:

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

donde x se expresa en radianes.

[editar]Equivalencias

La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad =

180°

La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados  

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°

315°

330°

360°

Radianes

0 π/6

π/4

π/3

π/2

2π/3

3π/4

5π/6

π 7π/6

5π/4

4π/3

3π/2

5π/3

7π/4

11π/6

2π

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado

sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

El Radián tiene una unidad derivada llamada π Radian por segundo

(πRad/s). Esta tiene una equivalencia con las Rpm. Las equivalencias

se pueden calcular fácilmente con la ecuación que sigue:

De Rpm a πRad

 que con la ecuación simplificada:

De πRad a Rpm

 que con la ecuación simplificada:

[editar]Conversiones entre grados y radianes

Ángulos de los polígonos más comunes medidos en radianes,

expresados como fracciones de π.

Tabla de conversión entre grados sexagesimales y radianes.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir

ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de

180° equivale a π radianes (recordemos que el número π ≈

3,14159265359…).

Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las

siguientes figuras:

Para convertir grados en radianes o viceversa, partimos de que

180° equivalen a π radianes; luego planteamos una regla de tres y

resolvemos.

Ejemplo A

Convertir 38° a radianes. radian x 38º 38ºrdian /180º = 0.21radianes

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va arriba, en la

posición de los radianes.

Despejamos x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 0,6632 radianes.

Ejemplo B

Convertir 2,4 radianes a grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese que la x va abajo, en la

posición de los grados.

Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente decimal:

x = 137°30'35.5"

[editar]Véase

 EJERCICIOS PROPUESTOS:MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO1. Un motor  e léct r ico   incrementó e l va lor de su  ve loc idad angular de 10 a 35 rad/s en 2 s .Calcular su aceleración y su desplazamiento durante ese tiempo.•Solución: α = 12.5 rad/s2, θ = 45 rad.2. Determinar el valor de la velocidad angular de una rueda a los 18 s, si tenía una velocidadangular inicial cuyo valor es de 6 rad/s y sufre una aceleración angular de 3 rad/s2.•Solución: α = 60rad/s2.3. Una rueda ro ta a una  ve loc idad angular in ic ia l de 3 rad/s y exper imenta una ace lerac iónangular de 1 rad/s

2, durante 10 s. ¿Qué velocidad angular tiene el final de los 10 s y cuál fuesu desplazamiento?•Solución: ω = 13 rad/s, θ = 80 rad.4. Un eje que rota a 7 rev/s aumenta su frecuencia a 13 Hz en 0.35 s. Determinar el valor de suaceleración angular.•Solución: α = 107.71 rad/s2.5. Una hélice rota inicialmente con una velocidad angular de 200 rad/s y recibe una aceleraciónconstante de 5 rad/s2,   d u r a n t e   9   s .   C a l c u l a r :   a )   v e l o c i d a d   a n g u l a r   a   l o s   9   s ,  b )   e l desplazamiento, c) las revoluciones efectuadas en ese tiempo.•Solución: a) ω = 245 rad/s, b) θ = 2002.5 rad, c) θ = 318.7 rev.6. La velocidad angular de un motor que rota a 2000 rpm desciende uniformemente hasta 1000rpm en 10 s. Calcular la aceleración del motor y el número de revoluciones que realiza.•Solución: α = -10.472 rad/s2, θ = 250 rev.7.  Un engrane  ro ta  con una ace lerac ión  constante  de 15  rad/s2. Calcu lar a) e l  número derevoluciones que efectúa en 8 segundos partiendo del reposo y b) durante el cuarto segundo.•Solución: a) θ = 76.39 rev, b) θ = 8.35 rev.8. La velocidad angular de un motor que rota a 666 rpm desciende uniformemente hasta 333rpm efectuando 33 rev. Calcular la aceleración angular y el tiempo necesario para realizar las33 rev.•Solución: α = -8.796 rad/s2, t = 3.964 s