RaícesRaíces

Índice de la raíz Operante

Cantidad subradical o radicando

Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto:

n a

nn aa1

=

En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican (eliminan) con las raíces y viceversa

¿Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora como es esto?

Bueno tenemos 3 terminos con los que trabajaremos los cuales son:

Propiedades de las raícesPropiedades de las raíces

Raíz de una potencia con exponente igual al índice.

• Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma:

11

)( aaaa n

n

nnn n === //

Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera:

Al elevar a n la raíz n-esima de a estamos simplificando el proceso anterior por lo cual el

numero quedaría el numero

• Veamos unos ejemplos:

=

=

=

===

===

===

5

2

5

2

5

2

5

2

7777

5555

15

5

5

5

1

13

33 3

12

22

xxxx p

pp p

Aplicando la propiedad, vemos que el índice y el exponente del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual numerador y denominador dan como resultado 1, así se dice que se simplifico o elimino la raíz y se convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en los ejemplos.

Ahora te toca a ti trabajar:

=

=

=

=

5 5

3 3

4 4

2

48 .4

23 .3

59 .2

6 .1

Raíz de un producto:

nnn baba ⋅=⋅

nnn baba ⋅=⋅

Ahora si se tiene una raíz de 2 o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen,

como se muestra a continuación.

Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice

que puede agrupar en una sola raíz

6216278278

10100254254

306521612521612527000

632811681161296

3333

3333

4444

==⋅=⋅

==⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅=

=⋅=⋅=⋅=

Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente:

=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅⋅

=⋅

4 64 74 3

333

2555 .4

842 .3

623 .2

123 .1

ppp

xxx

aa

Trabaja tu:

Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 62) 6a3) 4x4) 5p4

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

• De la raíz de una fracción o división se puede separar en 2 raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora.

n

n

n

b

a

b

a =

nn

n

b

a

b

a =

* Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación:

* Pasemos a Raíz de un cuociente:

** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raíz de un producto

24111

444111:444

132

262:26

5255

1255:125

62

182:18

33 ===

==

===

==

a

aaa

a

aaa

Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor:

Pero parta poder resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino también aplicar propiedades de las potencias como es la resta de exponentes

• Vamos te toca ahora

______6

600

______16

4096

______8

216

______60

240

4

3

3

=

=

=

=Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la materia.!!!!

Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 22) 33) 24) 10Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya

tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

mnn m aa ⋅=

* Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver:

¿Y que pasa ahora con Raíz de una raíz?

Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando, ¿o no?:

1111

3531441531441531441

222

333

12433 4

422

===

===

==

==

⋅

⋅

⋅

⋅

aaa

abbaa b xxx

____729 .4

____81 .3

____1 .2

____64 .1

4

5 4 3

4

=

=

=

=

Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente:

Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

1) 22) 13) 34) 13Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya

tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo:

pn pn aa⋅ ⋅= 1

yn yxn x aa: :=

Pasemos a amplificación y simplificación del índice de una raíz:

Resolvamos estos ejercicios:

66 232•3 213•2 3•13

5:10 5:510 5

432434343

5252525

=⋅=⋅=⋅

===⋅

* • En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5

• En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema.

• Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces.

_____

_____4

_____5

_____7

3 4

15 5

2 3

6 2

=

=

=

=

p

Soluciones:Soluciones:

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

3

3

3

.4

4 .3

55 .2

7 .1

pp

Factor de una raíz como factor:

* En palabras simples es pasar un número que multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así se pueden aplicar otras operaciones como la suma de raíces de igual índice.

Se da de la siguiente forma:n nn abba ⋅=⋅

** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

212212288 2 =⋅=

Vamos resolvamos:

33 33

2

2

2525250

982727

525220

=⋅=

=⋅=

=⋅=

* Se puede ver dos posibilidades:• simplificar una raíz, dejándola mas simple• O realizar una raíz, juntando términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja.

Racionalización de denominadores:• La idea es dejar los denominadores sin expresiones con raíces para poder trabajar mas fácilmente.• Consiste en eliminar los radicales de los denominadores.

2

23

2

23

22

23

22

23

2

3

2

23

4

23

22

23

2

3

3 2

3 3

3 2

3 2

3 2

3 23

3 2

3==

⋅=

⋅⋅=

==⋅

⋅=

En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

• En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador.

• Se presentan los siguiente casos de expresiones:

( ) ( ) ( ) ( ) 3

25

25

25

2525

251

25

122

+=−

+=+⋅−

+⋅=−

( ) ( ) ( ) ( ) 3

25

25

25

2525

251

25

122

−=−

−=−⋅+

−⋅=+

Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2233

2233

babababa

babababa

++⋅−=−+−⋅+=+

( )( )

( )5

2632

263

263

23

2

23

2 3 23 2

3 23 2

3 23 2

3333

+−⋅=+−+−⋅

+=

+

Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.

• Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple:

( )( )[ ] ( )[ ]

( )( )[ ] ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )4

102325

100410810816

102325

1024104

10223253

1024

3253

1024

3253

102325

3253

325

325

325325

3253

325

322

−⋅++−=⋅−+−−⋅++−=

−⋅+−⋅⋅++⋅⋅

+++⋅

=+

++⋅=+−+

++⋅=−+

++=++⋅−+

++⋅=−+

Luego de resolver el trinomio, se resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.

Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios:

_____9

13)

_____52

3)2

_____2

2)1

3=

=−

=

solucionessoluciones

9

81 .3

52- .2

2 .1

3

+

Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

( ) ( )

2 1 2 7

2 2

x− + =

=

/ - 2

2x - 1 = 5 / ()

2x - 1 5

2x - 1 = 25 / +1

2x = 26 / : 2

x = 13

2

8 = x

3 : / 24 =3x

3 - / 27 = 3 +3x

() / 33+3x

6 - / 9 3+3x + 6

() / 3 336

33

3

23

=

=

=++ x

son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical, para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de la raíz, para eliminarla:

Ejemplos:

Ecuaciones irracionales:

Practiquemos un pocoPractiquemos un poco

53.2 =−x

31.1 −=− xx

5)3(.3 =−− xxx

234.4 2 −=−+ xx

Soluciones:Soluciones:Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,

espero que te haya ido bien.

Si acertaste a 3 por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

2

3 x.4

13

25 x.3

28 x.2

2 x5 .1 21

=

=

===x

Cotrol: veamos si aprendiste

=3

1

3

1

0,027 + 64

=−−

3

1

2

1

8 + 4

277 + 642 3 =

=6 36 23 4 + 8 + 8

=487a b

a 24n =n nncb =5

3

9

16x

y

=3

5

16

18a

c

=n nb43na

64 15 6 =a

=n n n2 2

3

01+3x - 5 =

3298x 2 =−+ x

21-x-3+3 =

2

3

2

2x =

−+x

35

3 =

=− 25

2

=+ 27

142-1