Raices de Ecuaciones
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA TECNOLOGÍAPROGRAMA: INGENIERÍA INDUSTRIAL
U.C: MATEMÁTICA V
LICDA. MARÍA PÉREZ
Puerto Cumarebo; Mayo de 2015.
MÉTODOS NUMÉRICOS
Según Mijares, L (2013) son metodologías que
utilizan técnicas algebraicas y aritméticas que se aplican a
partir de un problema planteado para resolver de forma
aproximada ecuaciones o sistemas de ecuaciones complejas,
que analíticamente resultan muy difíciles de resolver. Esto se
lleva a cabo gracias a lo avanzado de
la programación (calculadoras), las cuales ayudan a resolver
problemas de iteración y matemáticos.
CIFRAS SIGNIFICATIVAS DE UN NÚMERO
Son aquellas que tienen significado real o aportan
alguna información, vienen determinadas por su error y
son aquellas que ocupan una posición igual o superior al
orden o posición del error.
ERRORES NUMÉRICOS
Son aquellos errores que se generan con el uso de
aproximaciones para representar las operaciones y
cantidades matemáticas.
ERROR DE REDONDEO
Es aquel que ocurren cuando se limitan o cortan los
dígitos de un número o cifra especifica.
Si la cifra que se omite es menor que 5, se elimina
sin más.
Si la cifra a eliminar es mayor que 5, se aumenta en
una unidad la última cifra retenida.
Si la cifra eliminada es 5, se toma como última cifra
el número par más próximo; es decir, si la cifra
retenida es par se deja, y si es impar se aumenta en
la unidad la cifra que queda.
REGLAS PARA EL REDONDEO DE NÚMEROS
EJEMPLOS: DADAS LAS SIGUIENTES CIFRAS, APLIQUE EL
ERROR DE REDONDEO.
9,2536 (a dos decimales) = 9,25|3 (3 como es menor <5) = 5,25.
7,217983 (a tres decimales) = 7,217|9 (9 como es mayor >5) = 9,218
1,217453 (a cuatro decimales) = 1,2174|53 (como es = 5, y el que queda es par) = 9,2174.
10,36358 (a tres decimales) = 10,363|58 (como es = 5, y el que queda es impar) = 10,364.
RAICES DE ECUACIONES
El cálculo de las raíces de una ecuación permite dar solución
a la misma, por tanto es importante determinar los valores de x para
los que se cumple: F(x)= 0.
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
Métodos cerradosMétodos cerrados
Métodos abiertosMétodos abiertos
Bisección Regla Falsa
Newton- Raphson La Secante
TEOREMA DEL VALOR MEDIO
Sea F una función continua en [a,b] y k es un número
comprendido entre f(a) y f(b), entonces existe por lo menos un
c є
(a,b) tal que f(c)= k.
Dados los números a y b, se dice que f(x) tiene una raíz en
[a,b] si:
1.F es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b).
2.F(a)* F(b) < 0.
3.F’(x) ≠0, para toda x que pertenezca [a,b].
MÉTODO DE BISECCIÓN
Es un método iterativo que se utiliza para encontrar
la raíz aproximada de un ecuación en un intervalo dado
[a,b], donde se sabe que existe; por tanto va dividiendo el
intervalo en 2 subintervalos de igual magnitud, reteniendo
el subintervalo en donde f cambia de signo, para conservar
al menos una raíz o cero, y repetir el proceso varias veces
hasta conseguir la raíz.
MÉTODOS CERRADOSMÉTODOS CERRADOS
ALGORITMO DEL MÉTODO DE BISECCIÓN
Verificar que F sea continua en [a,b]
F(a)* F(b)< 0
Evaluar si (b-c) <є, acepte a c como la raíz aproximada.
Si f(b)*f(c)<0, entonces a=c f(b)*f(c)>0, entonces b=c
TOLERANCIA
Es el régimen de error que se puede tener y se
expresa en % o normal. Se representa con є (épsilon).
n a b c b - c f(b) f(c) f(b)*f(c)1 2 3 2,5 0,5 3 0,25 +
2 2 2,5 2,25 0,25 0,25 -0,9375 -
3 2,2500
2,5 2,375 0,125 0,25 -0,3594 -
4 2,3750
2,5 2,4375 0,0625 0,25 -0,0586 -
5 2,4375
2,5 2,4688 0,0312 0,25 0,0947 +
6 2,4375
2,4688
2,4531 0,0156 0,0947 0,0177 +
7 2,4375
2,4531
2,4453
0,0078 0,0177 -0,0205 -
< 0,01
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
MÉTODOS CERRADOSMÉTODOS CERRADOS
Es un método iterativo que se basa en el análisis de la
magnitud existente de las imágenes f(a) y f(b), ya que f(a) esta
más cerca de cero que f(b), eso indica que a esta más cerca de
la raíz que b. La función del método es unir f(a) y f(b) con una
línea recta cuya intersección con el eje x, representa una
aproximación con la raíz. Falsa proviene de reemplazar la curva
por una línea recta.
ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA REGLA
FALSA
Verificar que f(a) y f(b) tengan signos opuestos F(a)* F(b)< 0
Evaluar si |f(c)|< є, acepte a c como la raíz aproximada.
Si f(b)*f(c)<0, entonces a=c f(b)*f(c)>0, entonces b=c
n a b f(a) f(b) c f(c) f(b)*f(c)1 1 2 0,3679 -0,5578 1,3974 -0,0874 +
2 1 1,3974 0,3679 -0,0874 1,3211 -0,0116 +
3 1 1,3211 0,3679 -0,0116 1,3113 -0,0015 +
4 1 1,3113 0,3679 -0,0015 1,3100 -0,0002 +
5 1 1,3100 0,3679 -0,0002 1,3098
-0,0000004
+
< 0,001
MÉTODOS ABIERTOSMÉTODOS ABIERTOS
MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON
Es uno de los métodos para aproximar el cero de una
función. Suponga que c es un cero de f , es decir, f(c)=0 y
que x0 es una aproximación de c.
Desde un punto de vista geométrico, lo que hace el
método es construir la recta tangente a la gráfica de f en un
punto cercano x0 a c y encontrar el cero de la recta tangente, x1 .
La aproximación x2 es el cero de la recta tangente a la gráfica de f
en el punto x1 y así sucesivamente.
MÉTODO DE LA SECANTE
MÉTODOS ABIERTOSMÉTODOS ABIERTOS
Es un método iterativo que se usa para aproximar el
cero de una función. La interpretación geométrica del mismo,
es que la recta tangente a la curva se reemplaza por una recta
secante. El cero de f se aproxima por el cero de la recta
secante a f. Si x0 y x1 son las aproximaciones iniciales, la
aproximación x2 es la intersección de la recta que une los
puntos (x0, f(x0)) y (x1,f(x1)) y así sucesivamente.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Es un conjunto de ecuaciones lineales, que pueden tener
m- ecuaciones y n- incógnitas y existen diversos métodos para
encontrar su solución. La forma general de un sistema de
ecuaciones lineales A*X = b es el siguientes:
Donde:•Los números reales aij se denominan coeficientes.•Los xi se denominan incógnitas.•b se denominan términos independientes.
MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Métodos directosMétodos directos
Métodos iterativosMétodos iterativos
Llevan a una solución exacta
Comienzan con una aproximación inicial
y un algoritmo.
Número finitos de operaciones elementales.
Levando de forma sucesiva mejores aproximaciones.
Eliminación de Gauss.
Factorización LU
Gauss-Seidel.
Sor o relajación.
ELIMINACIÓN DE GAUSS
Dado un sistema de ecuaciones lineales general de orden
3 los pasos a seguir para resolverlo por dicho método son los
siguientes:
1. Se determina la matriz de coeficiente, para identificar los
valores que se deben hacer cero, es decir:
Se deben convertir en cero
MÉTODOS DIRECTOSMÉTODOS DIRECTOS
EJEMPLO: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, aplique eliminación de Gauss.
1. Matriz de coeficientes
FACTORIZACIÓN O DESCOMOSICIÓN LU
Es un método que se encarga de la transformación de
una matriz A , obtenida de un sistema de ecuaciones lineales,
en el producto de dos matrices llamadas L y U.
A= L* UA= L* U
Donde:
L= es la matriz triangular unitaria
inferior.
U= es la matriz triangular superior.
MÉTODOS DIRECTOSMÉTODOS DIRECTOS
PASOS A SEGUIR EN FACTORIZACIÓN O DESCOMOSICIÓN LU
Dado un sistema de ecuaciones lineales de orden tres, este se transforma de siguiente manera:
1. Se descompone el sistema en las matrices A= L*U
= x
A UL
2. Se determinan los elementos de la matriz L y U, Multiplicando
las filas de L con las columnas de U, igualando a los elementos de
la matriz A.
5. Se sustituye los valores encontrados en el sistema y se
verifican las igualdades.
EJEMPLO: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, aplique Factorización LU.
1. Se descompone el sistema en las matrices A= L*U
= x
A UL
2. Se determinan los valores de L y U
MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL
MÉTODOS ITERATIVOSMÉTODOS ITERATIVOS
Consiste en hacer iteraciones, a partir de un vector
inicial, para encontrar los valores de las incógnitas hasta
llegar a una tolerancia deseada, la diferencia radica en que
cada vez que se desee encontrar un nuevo valor de una xi,
además de usar los valores anteriores de las x, también utiliza
valores actuales de las x encontradas antes (desde x0 hasta xi-
1).
CRITERIO DE CONVERGENCIA
1. Si W= 1, la fórmula es la del método de Gauss- Seidel.
2. Si 0 < W< 1, la fórmula representa la sub-relajación y se
emplea para que un sistema no convergente sea
convergente.
3. Si 1< W< 2, La fórmula representa la sobre-relajación y se
usa para acelerar la convergencia.
Nota: se utiliza el mismo criterio de pare que del método de
Gauss- Seidel.
EJEMPLO: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales, resuelva usando el método de Sor o relajación con W=0,8 y Ɛ=0,01.
Mijares, l (2013). Métodos numéricos. Disponible en: http://www.monografias.com/trabajos98/metodo-numerico/metodo-numerico.shtml#ixzz3aD1cJUvK, consultado el 15/05/2015.
http://www.monografias.com/trabajos98/metodo-numerico/metodo-numerico.shtml#ixzz3aD9UMvzi, consultado el 19/05/2015.
http://noosfera.indivia.net/metodos/posicionFalsa.htmlhttp://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T07.pdf, consultado el 19/05/2015.
BIBLIOGRAFÍA