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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN-MATURÍN
DESARROLLO DE GUÍA PRÁCTICA DE LABORATORIO PARAEL USO DE VECTORES EN EL ÁREA DE FÍSICA
Trabajo de Nivelación de Índice
Autor: Ramón Cañizales
Tutor:
Maturín, octubre de 2013
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ÍNDICE
Pp.CAPÍTULO I …………………………………………………………… 3
Introducción ………………………………………………………….. 3Planteamiento del Problema ………………………………………. 4Objetivos de la Investigación ………………................................. 6
Objetivo General ……………………………………………….. 6Objetivos Específicos ………………………………………….. 6
CAPÍTULO II .…………………………………………... ..................... 7Desarrollo ……………………………………………... ................... 7
Definición de Vectores ………………………………………… 7Magnitudes Escalares …………………………………………. 8Magnitudes Vectoriales ………………………………………... 9Tipos de Vectores ……………………………………………… 10Descomposición en un Sistema de Ejes Cartesianos …….. 12Vectores Unitarios y Componentes de un Vector ………….. 13Suma de Vectores ……………………………………………… 14Resta de Vectores ……………………………………………… 18Producto de un Vector por un Escalar ……………………….. 19Producto Escalar de Dos Vectores …………………………... 20Producto Vectorial ……………………………………………… 21Modulo de un Vector …………………………………………… 22Definición del Cálculo Vectorial ………………………………. 23
Resultados ………………………………………………………….. 24CONCLUSIÓN…………………………………………………………. 38RECOMENDACIONES ………………………………………………. 39
REFERENCIAS………………………………………………………... 40
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Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente
matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no
más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento
orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos:su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual
puede ser representada mediante la suma de sus componentes
vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o
mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector
con los ejes positivos de coordenadas.
Planteamiento del Problema
La Física es una ciencia experimental, y como tal, los experimentos
juegan un papel vital en su desarrollo. Está basada en la medida de
determinadas magnitudes. Se denomina magnitud a toda aquella propiedad
susceptible de ser medida. Por otra parte, medir una magnitud física no es
más que compararla con un patrón. Por ejemplo, para medir la distancia
entre dos puntos se puede utiliza como patrón una vara, el paso de una
persona. Siempre que se realice una medida se tiene que dar como
resultado un número con su unidad correspondiente, que determina el patrón
que se ha utilizado. Además, en cualquier medida habrá que añadir otro
número que nos informe acerca del error cometido al realizarla.
Los vectores son muy importantes para estudiar fenómenos que
suceden alrededor. Con ellos se pueden explicar por ejemplo: ¿Por qué si se
eleva una cometa cuando el viento está soplando en contra, y se empieza a
correr para mantenerla en el aire, ésta retrocede al punto en que la cuerdacon la que se sostiene, queda inclinada hacia atrás?. En este sentido, se usa
los vectores para representar la velocidad que lleva la cometa y la velocidad
del viento. Lo importante es ubicar los vectores en la dirección en la que se
mueve cada uno.
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universidades que cuentan con un desarrollo optimo de estos. Siendo esto el
punto de partida para que los estudiantes tengan una mala base de la
asignatura imposibilitando el proceso de enseñanza-aprendizaje. Por otra
parte la física es una de las ciencias naturales que más ha contribuido aldesarrollo y bienestar del hombre, porque gracias a su estudio e
investigación ha sido posible encontrar en muchos casos, una explicación
clara y útil a los fenómenos que se presentan en la vida diaria.
Tomando en cuenta lo expuesto, se lleva a cabo la siguiente
investigación con el propósito de desarrollar una guía para la elaboración de
prácticas basadas en el estudio de los vectores y todo lo que ellos
involucran, a fin de establecer los contenidos programáticos que le serviránal estudiante en el aprendizaje del tema.
Objetivos de la Investigación
Objetivo General
Elaborar una guía práctica de laboratorio para el conocimiento de
vectores en el área de la física, a fin de servir de apoyo a los estudiantes y
docentes en el desarrollo del tema.
Obj etivo s Esp ecífic os
1. Identificar los materiales y equipos que van a intervenir en la práctica de
laboratorio.
2. Describir el procedimiento experimental para el desarrollo de la práctica. 3. Exponer las fórmulas que se utilizarán durante la práctica.
4. Establecer el análisis adecuado en base a los resultados que se
esperan obtener.
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CAPÍTULO II
DESARROLLO
Definición de Vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector
posee unas características que son:
1. Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto
sobre el que actúa el vector.
2. Módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso
conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo
del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.
3. Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo
contiene.
4. Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo
del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.
Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores,
que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema
de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. El
sistema de referencia que se usa, como norma general, es el Sistema de
Coordenadas Cartesianas. (Ver figura 1)
Figur a 1. Plano Cartesiano. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
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Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas
cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios,
son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí
y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia. Por ello,
al eje de las X, le corresponde el vector unitario o también denominado
. Del mismo modo, al eje Y le corresponderá el vector unitario o
también denominado j. Finalmente, al eje z, le corresponde el vector unitario
. por tanto, se obtendrá un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente
forma: (Ver figura 2)
Figur a 2. Eje de Coordenadas Cartesiano. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Magni tudes Escalares
Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas
quedan correctamente expresadas por medio de un número y la
correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre
otras:1. Masa
2. Temperatura
3. Presión
4. Densidad
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Magni tudes Vector iales
Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar
determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y unpunto de aplicación.
Vector
Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier
magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en
el que cabe distinguir:
1. Un origen o punto de aplicación: A.
2. Un extremo: B.
3. Una dirección: la de la recta que lo contiene.
4. Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
5. Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB. (Ver figura 3)
Figur a 3. Vector. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Clasificación de los Vectores
1. Vectores iguales: Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo
módulo y la misma dirección.
2. Vector libre: Un vector libre queda caracterizado por su módulo,dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se
encuentra.
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Tipos d e Vectores
Existen distintos tipos o clases de vectores:
Vectores Equipolentes. Cuando dos vectores tienen el mismo módulo,
dirección y sentido se dice que son equipolentes. ¿Qué quiere decir? Que
miden igual, se encuentran en líneas paralelas y apuntan hacia el mismo
lado. (Ver figura 4)
Figur a 4. Vectores Equipolentes. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Vectores Libres: El conjunto de los vectores equipolentes recibe el nombre
de vectores libres. Es decir, que un vector libre es el grupo de vectores que
cuentan con el mismo modulo, dirección y sentido. (Ver figura 5)
Figur a 5. Vectores Libres. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
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Vectores Fijos: un vector fijo es el representante de un vector libre. Es decir
que estos serán iguales sólo si tienen igual módulo, dirección, sentido y si
cuentan con el mismo punto inicial. (Ver figura 6)
Figur a 6. Vectores Fijos. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Vectores Ligados: son aquellos vectores equipolentes que se encuentran en
la misma recta. Así, esta clase de vectores tendrán la igual dirección,
módulo, sentido y además formarán parte de la misma recta. (Ver figura 7)
Figur a 7. Vectores Ligados. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Vectores Opuestos: cuando dos vectores tienen la misma dirección, el mismo
módulo pero distinto sentido reciben el nombre de vectores opuestos. (Ver
figura 8)
Figur a 8. Vectores Equipolentes. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
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Vectores Unitarios: son vectores de módulo uno. Si se quiere obtener un
vector unitario con la misma dirección y sentido, a partir del vector dado, se
debe dividir a este último por su módulo. (Ver figura 9)
Figur a 9. Vectores Unitarios. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Vectores Concurrentes: si dos vectores tienen el mismo origen se los
denomina vectores concurrentes. (Ver figura 10)
Figur a 10. Vectores Concurrentes. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Descomponiendo en u n Sistema de Ejes Cartesianos
a+b=(axi+ay j+ azk)+(bxi+by j+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by) j+(az+bz)k
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Figura 11. Descomposición de un Sistema de Ejes Cartesianos. Fuente:http://www.profesorenlinea.cl
Propiedades
1. Conmutativa: a+b=b+a
2. Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)
3. Elemento Neutro: a+0=a
4. Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0
Vectores Uni tar ios y Componentes de un Vector
Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de
tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes
coordenados.
Normalizar un Vector
Normalizar un vector consiste en obtener otro vector unitario, de
la misma dirección y sentido que el vector dado. Para normalizar un
vector se divide éste por su módulo.
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Ejemplo: Si es un vector de componentes (3, 4), hallar un vector
unitario de su misma dirección y sentido.
Suma d e Vectores
La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de
la siguiente forma:
Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del
otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero
y su extremo en el extremo del segundo. Por tanto, el vector suma de dos
vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo
que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal
representa la resta de dichos vectores. (Ver figura 12)
Figur a 12. Suma de Vectores. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.
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Propiedades de la Suma de Vectores
Asociativa
+ ( + ) = ( + ) +
Conmutativa
+ = +
Elemento neutro
+ =
Elemento opuesto
+ (− ) =
Procedimiento Gráfico
Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada
Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores
hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que
obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la
diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en la siguiente figura 13
(p. 16)
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Figura 13. Suma de Vectores. Método Gráfico. Fuente:http://www.profesorenlinea.cl
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el
segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el
extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que
vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la
siguiente manera: (Ver figura 14)
Figura 14. Suma de Vectores. Traslado de Vectores. Fuente:http://www.profesorenlinea.cl
Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma
dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de
vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se
puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A
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continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores. (Ver figura 8,
p. 15)
Figur a 15. Suma y Resta de Vectores. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Método Algebraico para la Suma de Vectores
Dados tres vectores
La expresión correspondiente al vector suma es:
o bien
siendo, por tanto,
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Resta de Vector es
Para restar dos vectores libres y se suma con el opuesto
de . Las componentes del vector resta se obtienen restando las
componentes de los vectores. (Ver figura 16)
Figur a 16. Resta de Vectores. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Ejemplo:
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Producto de un Vector por un Escalar
El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado
analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características:1. Tiene la misma dirección que v.
2. Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el
opuesto, si k es un número negativo.
3. El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k
es 0 el resultado es el vector nulo).
Analíticamente, se tiene que multiplicar el escalar por cada una de las
coordenadas del vector.
Ejemplo: Dado el vector v de componentes: vxi + vy j + vzk, el producto 3 · v =
3 · vxi + 3 · vy j + 3 · vzk.
La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas
veces como indica el escalar. (Ver figura 17)
Figura 17. Multiplicación de Vector por un Escalar. Fuente:http://www.profesorenlinea.cl
Propiedades
El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes
propiedades:
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Producto Escalar de Dos Vectores
El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r ·
v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de
uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un
mismo sistema de coordenadas:r = r xi + r y j + r zk
v = vxi + vy j + vzk
teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = i · k = j · k = 0
el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:
r · v = r x· vx + r y · vy+ r z · vz
Esta operación no solo permite el cálculo de la longitud de los
segmentos orientados que representan (sus módulos), sino también calcular
el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar
también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo
que forman mediante la fórmula:
r · v = |r| · |v| · cos (r , v)
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Propiedades
Conmutativa: r · v = v · r
Distributiva: r · (v + u) = r · v + r · u
Asociativa: (k · r ) · v = k · (r · v) = r · (k · v) siendo k escalar.
Además:
1. r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.
2. Si r y v <> 0 y r · v = 0, esto implica que los vectores son
perpendiculares, (cos 90º = 0).
3. El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar
escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.
Ejemplo:
Proyección ortog onal (r v) de r sobre v
rv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · r v
Producto Vector ial
El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector,
donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del
movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto
de a a b. (Ver figura 18)
Figur a 18. Producto Vectorial. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
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Donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el
sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.
Propiedades
Módulo d e un Vector
Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una
magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo. Gráficamente, es la
distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:
Coordenadas Cartesianas
En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre
tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un
sistema cartesiano tridimensional. Si se toman tres vectores unitarios, i sobreOX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces se puede encontrar puntos ax, ay, az
sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
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Figur a 19. Coordenadas Cartesianas. Fuente: http://www.profesorenlinea.cl
Y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el
módulo de a es:
Definic ión del Cálcu lo Vecto rial
El cálculo vectorial es un campo de las matemáticas referidas al análisis
real multivariable de vectores en 2 o más dimensiones. Consiste en una serie
de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy útiles para la
ingeniería y la física. Se considera los campos vectoriales, que asocian un
vector a cada punto en el espacio, y campos escalares, que asocian un
escalar a cada punto en el espacio. Por ejemplo, la temperatura de una
piscina es un campo escalar: a cada punto se asocia un valor escalar de
temperatura. El flujo del agua en la misma piscina es un campo vectorial: a
cada punto se asocia un vector de velocidad. Cuatro operaciones son
importantes en el cálculo vectorial:
1. Gradiente: mide la tasa y la dirección del cambio en un campo escalar;
el gradiente de un campo escalar es un campo vectorial.
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2. Rotor o rotacional : mide la tendencia de un campo vectorial a rotar
alrededor de un punto; el rotor de un campo vectorial es otro campo (seudo)
vectorial.
3. Divergencia: mide la tendencia de un campo vectorial a originarse en oa converger hacia ciertos puntos; la divergencia de un campo vectorial es un
campo escalar.
4. Laplaciano
La mayoría de los resultados analíticos se entienden más fácilmente
usando la maquinaria de la geometría diferencial, de la cual el cálculo
vectorial forma un subconjunto.
Resultados
A continuación se exponen los ejercicios que sirven para el desarrollo
de prácticas sobre vectores.
1. Las coordenadas polares de un punto son r = 5.5 m y θ = 240°. ¿Cuáles
son las coordenadas cartesianas de este punto?
X = 5,5 cos 240
X = 5,5 * (-0,5)
X = - 2,75 metros
Y = 5,5 sen 240
Y = 5,5 * (-0,866)
Y = - 4,76 metros
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2. Si las coordenadas rectangulares y polares de un punto son (2,Y) y
(r,300 ) respectivamente. Determine Y y r.
Coordenadas cartesianas (2, Y)Coordenadas polares (r, 300)
Y = 2 * tg 30
Y = 2 * (0,5773)
Y = 1,15 metros
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3. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares (2.5 m, 300) y (3.8
m, 120°). Determine (a) las coordenadas cartesianas de estos puntos y
(b) la distancia entre ellos.
Y1 = 2,5 sen 30
Y1 = 2,5 * 0,5
Y1 = 1,25 metros
X1 = 2,5 cos30
X1 = 2,5 * 0,866
X1 = 2,16 metros
(X1 , Y1) = (2.16 , 1.25) metros
Y2 = 3,8 sen 120
Y2 = 3,8 * 0,866
Y2 = 3,29 metros
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X2 = 3,8 cos 120
X2 =3,8 * (-0,5)
X2 = - 1,9 metros
(X2 , Y2) = (-1.9 , 3.29) metros
ΔX = (X2 – X1 )= (-1.9 – 2.16)
ΔX = (- 4.06)
ΔY = (Y2 – Y1 )= (3.29 – 1.25)
ΔY = (2.04)
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4. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior
izquierda de la pared se selecciona como el origen de un sistema de
coordenadas cartesianas en dos dimensiones. Si la mosca está parada
en el punto que tiene coordenadas (2, 1) m, (a) ¿qué tan lejos está de la
esquina del cuarto? (b) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?
5. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas (2, -4) m y (-
3,3) m. Determine (a) la distancia entre estos puntos y (b) suscoordenadas polares
(x1, y1) = (2, -4)
(x2, y2) = (-3, 3)
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d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
d2 = (-3- 2)2 + (3- [ - 4])2
d2 = (-5)2 + (3 + 4)2
d2 = (-5)2 + (7)2 d2 = (25) + (49)
d2 = (74)
d = 8,6 m
r 2 = - 32 + (3)2
r 2 = 9 + 9
r 2 = 18
r = 4,24 m
β = arc tg - 1
β = - 45°
θ1 + β = 180°
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θ1 = 180° - 45
θ1 = 135°
6. Un avión vuela 200 km rumbo al oeste desde la ciudad A hasta laciudad B y después 300 km en la dirección de 30 grados al noroeste de
la ciudad B hasta la ciudad C.
a) En línea recta, que tan lejos está la ciudad C de la ciudad A.
b) Respecto de la ciudad A en qué dirección está la ciudad C?
BX = 300 cos 30BX = 300 * (0,866)
BX = 259,8 metros
RX = BX + 200
RX = 259,8 + 200
RX = 459,8 metros
CY = 300 sen 30
CY = 300 * 0,5
CY =150 metros
Por Pitágoras
R2 = (CY)2 + (RX)2
R2 = (150)2 + (459,8)2
R2 = 22500 + 211416,04
R2 = 233916,04
R = 483,64 metros
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Tg β = 0,326228
β = arc tg 0,326228
β = 18,06°
La ciudad C esta a 483,64 km de la ciudad A. La ciudad C esta 18,06
grados al Nor-Oeste de la ciudad A
7. Las coordenadas cartesianas de un punto del plano xy son (x,y) = (-
3.5,-2.5) m, como se ve en la figura 3.3. Hállense las coordenadas
polares de este punto.
tg β = 0,714
β = arc tg 0,714
β = 35,520
θ = 180 + β
θ = 180 + 35,52
θ = 215,520
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8. Un perro que busca un hueso camina 3,5 metros hacia el sur, después
8,2 metros en un ángulo de 300 al Nor-Este y finalmente 15 metros al
Oeste. Encuentre el vector de desplazamiento resultante del perro
utilizando técnicas graficas.
BY = 8,2 * sen 30
BY = 8,2 * 0,5
B Y = 4,1 metros
3,5 + AY = BY
3,5 + AY = 4,1
AY = 4,1 – 3,5
A Y = 0,6 metros
BX = 8,2 * cos 30
BX = 8,2 * 0,5866
BX = 7,1 metros
15 = DX + BX
15 = DX + 7,1
15 – 7,1 = DX
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33
DX = 7,9 metros
tg β = 7,5949 * 10- 2
β = arc tg 7,5949 * 10- 2
β = 4,340
9. Los vectores mostrados en la figura tienen la misma magnitud (10
unidades). El vector (b+c) + (d+a) - 2c, es de magnitud:
a. 0
b. 20
c. 10
d. 20 2
e. 10 2
Solución:
Este es un problema de aplicación del método del polígono. Proceda
primeramente a encontrar el vector ( b + c), haga lo mismo con el vector (d +
a). Notará usted observando el gráfico, que el vector (b + c) tiene la mismamagnitud del vector ( d + a), pero dirección contraria, por tanto:
(b + c) + (d + a) = 0
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para que no oculte a los otros vectores en el diagrama, el vector resultante
es el que se dirige desde el origen del primero al extremo del último
Sería un vector de 5 unidades dirigido a la izquierda.
11. Dos vectores a y b tienen 10 y 15 unidades respectivamente, si la
resultante de la suma de los vectores tiene 20 unidades, el ángulo entre
los vectores es
a. 75,5º
b. 70,0º
c. 65,5º
d. 60,0
e. 55,5º
Solución:
En este problema disponemos de las magnitudes de los dos vectores
componentes y de la resultante de la suma de ellos. Un problema típico de
aplicación de la ley del coseno. Recuerde que la ley del coseno relaciona las
magnitudes de los vectores componentes y de la resultante, así como del
ángulo formado entre los vectores componentes. Llamemos c al vectorresultante de la suma de los vectores a y b.
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12. Para el paralelepípedo de la figura, determine el ángulo formado entre
los vectores a y b.
a. 45,0º
b. 48,2º
c. 50,2º
d. 53,8º
e. 55,2º
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Solución:
Apliquemos nuevamente la ley del coseno para encontrar el ángulo
entre los vectores. Aquí necesitamos conocer las magnitudes de los vectores
a y b y de la resultante de la suma de ellos. Con los valores de los lados delparalelepípedo obtenemos los vectores a y b en función de sus componentes
rectangulares, una vez determinados a y b pasamos a calcular la resultante
de la suma de los dos, digamos el vector c; (c = a + b).
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CONCLUSIONES
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como
representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida
con el extremo origen del otro vector.
El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es
el producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual
a la del vector, y cuyo sentido es contrario a este si el escalar es
negativo.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es
mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando
están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base)
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por
, , paralelos a los ejes de coordenadas x , y , z positivos.
Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendoreferencia al origen y al extremo del segmento orientado que la
representa geométricamente.
Un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud
o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede
ser representada mediante la suma de sus componentes
vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o
mediante coordenadas polares.
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RECOMENDACIONES
Elaborar guías para el desarrollo de prácticas en el área de física, que
sirvan de apoyo a los estudiantes a la hora de estudiar.
Aplicar estrategias educativas acorde a las necesidades de los
alumnos.
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REFERENCIAS
Pinela, F. (2008). Ejercicios de Vectores. Documento en línea disponible en
http://academia2011.files.wordpress.com/2012/03/vectores-
problemas.pdf
Racero, O. (2000). Vectores. Documento en línea disponible en
http://www.monografias.com/trabajos35/vectores/vectores.shtml
http://tochtli.fisica.uson.mx/electro/vectores/definici%C3%B3n_de_vectores.ht
m
http://www.vitutor.com/geo/vec/b_1.html