Razonamiento cuantitativo- Saber PRO MatemaTIC.

Razonamiento cuantitativo- Saber PRO MatemaTIC.

MÓDULO DE RAZONAMIENTO CUANTITATIVO SABER PRO

ANDRÉS MAURICIO GRISALES AGUIRRE

PABLO VALENCIA OSORIO

ISBN: 978-958-56101-6-3

CENTRO PARA LA FORMACIÓN CAFETERA

SENA REGIONAL CALDAS

DICIEMBRE 2015

Esta obra está bajo una Licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0 Internacional.

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

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PRESENTACIÓN

Dentro de las competencias fundamentales que debe poseer cualquier egresado de una carrera profesional, se destacan las de

lectoescritura y matemáticas. Es en esta última, donde generalmente los estudiantes presentan mayores dificultades, puesto que la

mayoría de la formación que reciben se encuentra encaminada hacia los aspectos memorísticos, repetitivos y mecánicos más que a

la solución de problemas aplicados. Esto genera confusiones al momento de presentar todo tipo de pruebas, desde las estatales

(SABER, SERCE, PISA), de ingreso a las universidades (Nacional y algunas privadas que emplean exámenes de admisión), hasta

las psicotécnicas que exigen las empresas para vincular al personal a su planta laboral, porque más que evaluar la cantidad de

conocimientos que posea la persona, lo que se busca en ellas es conocer que tan bien sabe aplicarlos. Esta clase de pruebas t ienen

una característica común: están diseñadas bajo el sistema de Teoría Referida al Ítem (TRI) que en resumen busca, a través de una

evidencia, evaluar las competencias que posee una persona por medio del diagnóstico de líneas de pensamiento precisas: análisis,

interpretación y proposición.


Contenido

RAZONAMIENTO CUANTITATIVO ................................................................................................................................................ 5

ARITMÉTICA BÁSICA ...................................................................................................................................................................... 6

Los números Naturales. ..................................................................................................................................................................... 6

Los números Enteros. ......................................................................................................................................................................... 6

Los números Racionales. .................................................................................................................................................................... 6

Los números Irracionales. .................................................................................................................................................................. 6

Operaciones con números racionales. ................................................................................................................................................ 7

Regla de tres simple. ........................................................................................................................................................................... 8

Potenciación ........................................................................................................................................................................................ 8

Logaritmos y radicales ....................................................................................................................................................................... 9

ALGEBRA ELEMENTAL ................................................................................................................................................................ 11

Combinación de expresiones algebraicas ........................................................................................................................................ 11

Suma y resta ....................................................................................................................................................................................... 11

Multiplicación .................................................................................................................................................................................... 11

Factorización ..................................................................................................................................................................................... 12

Ecuaciones. ....................................................................................................................................................................................... 16

Funciones .......................................................................................................................................................................................... 22

CALCULO DIFERENCIAL .............................................................................................................................................................. 28

Noción intuitiva de límite. ................................................................................................................................................................ 29

Derivada de una función. .................................................................................................................................................................. 30

CUESTIONARIO PRACTICO 1 ....................................................................................................................................................... 34

NOCICIONES BASICAS DE GEOMETRIA ................................................................................................................................. 38

Propiedades de los ángulos en los polígonos regulares. .................................................................................................................... 39

Área de figuras planas ....................................................................................................................................................................... 39

Geometría analítica. .......................................................................................................................................................................... 40

Ecuaciones de una recta. .................................................................................................................................................................... 41

Relación entre dos rectas ................................................................................................................................................................... 41

Secciones cónicas. .............................................................................................................................................................................. 42

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD. ................................................................................................................................................ 47

Distribución de frecuencias ............................................................................................................................................................... 47

Graficas estadísticas. ......................................................................................................................................................................... 47

Medidas de tendencia central. ........................................................................................................................................................... 48

Combinaciones .................................................................................................................................................................................. 49

Permutaciones ................................................................................................................................................................................... 49

Probabilidad de un evento ................................................................................................................................................................. 49

Algunas relaciones básicas de probabilidad ...................................................................................................................................... 50

CUESTIONARIO DE PRÁCTICA 3 ................................................................................................................................................. 51

BIBLIOGRAFIA .............................................................................................................................................................................. 54


RAZONAMIENTO CUANTITATIVO

En el contexto de las pruebas SABER PRO, el razonamiento cuantitativo es una valoración de las habilidades matemáticas que

debe tener un profesional para desempeñarse en las labores que conciernen a su profesión en términos cuantitativos.

Los contenidos que corresponden a este módulo son denominados “genéricos”, ya que se caracterizan por el hecho de que su

aplicación a situaciones cotidianas permite el planteamiento de posiciones críticas y de estrategias adecuadas para la solución de

problemas utilizando herramientas matemáticas.

El módulo de razonamiento cuantitativo evalúa tres competencias: 1) Interpretación y representación, 2) Formulación y ejecución,

3) Argumentación.

La Figura 1 muestra el alcance de cada una de estas competencias y la relación con los conceptos básicos de matemáticas.

Para poder abordar cada una de estas competencias, es necesario, además de poseer los conocimientos en conceptos básicos de

matemáticas, tener habilidad para trabajar estos conceptos en situaciones específicas en donde a partir de una información inicial

se debe plantear una solución a problemas comunes donde el razonamiento cuantitativo puede ser aplicado.

En esta cartilla haremos una descripción de los conceptos básicos que deben ser tenidos en cuenta a la hora de enfrentarse a una

prueba de matemáticas, haciendo la claridad de que más que un repaso en estos conceptos, es necesario que el estudiante aprenda

a utilizarlos para la solución de preguntas como las que se plantean en un examen como el de Saber Pro.

En una segunda sesión mostraremos algunos ejemplos y plantaremos algunos ejercicios basados en el tipo de preguntas que se

evalúan en la prueba de razonamiento cuantitativo en el examen Saber Pro.

Figura 1: Razonamiento cuantitativo.


ARITMÉTICA BÁSICA

Los números Naturales.

Los números surgieron de la necesidad de contar pertenencias, objetos, personas, etc. Los números

naturales se representan con la letra N y su notación de conjunto es:

1,2,3,...N

Los números Enteros.

Estos son conocidos como números deudos, dado que nacen como una necesidad de representar deudas.

..., 3, 2 1,0,1,2,3,...Z

Los números Racionales.

Los números racionales se expresan como el cociente de dos números enteros, de ahí que se le denomine

con la letra Q por “quotient”, que significa “cociente”. El término “racional” proviene de “razón”. Al

número racional se le conoce como fracción, porque puede ser expresado con numerador y denominador de números enteros, a

excepción del cero como denominador. Por ejemplo:

3 3 2, , , 6,0, .

2 7 5etc

La estructura básica de una fracción es la siguiente:

3

Denomidor2

Numerador

Así que al generalizar la definición en su forma de fracción de los números racionales, tendríamos que

expresarlo de la siguiente forma:

: ,a

Q a b Zb

También se sabe que cuando tenemos un número fraccionario podemos realizar la división entre el

numerador y el denominador, como en los siguientes ejemplos.

6

6,01

1

0,52

5

1,6666...3

Los números Irracionales.

Los antiguos griegos notaron que la recta no estaba completa con los números Racionales, al identificar

ciertos puntos en ella a los cuales sólo se podían aproximar con fracciones. Hasta el siglo XVI fue

cuando consideraron llamar número irracional a los números con desarrollo decimal infinito no

periódico. Algunos de ellos se pueden encontrar al resolver un problema. Como por ejemplo.

Los divisores

de un número

son todos los

números que

lo dividen

exactamente.

Un número es

primo cuando

sólo tiene dos

divisores, el

mismo y la

unidad.


Operaciones con números racionales.

Adición o suma de racionales.

Se consideran diferentes situaciones:

Igual denominador:

Ejemplo

1. 4 9 4 9 13

7 7 7 7

2. 3 11 3 11 8

5 5 5 5

3. 5 2 5 2 7

3 3 3 3

Diferente denominador:

Ejemplos

1. 4 2 4 3 5 2 12 10 22

5 3 5 3 15 15

2. 14 9 7 514 5 126 35 91

7 9 7 9 63 63

En el caso de que sus denominadores tengan factores en común se obtiene el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de ellos.

Ejemplos

1. 14 9 7 514 5 126 35 91

7 9 7 9 63 63

2. 4 1 3 51 5 4 15 11

6 8 24 24 24

Multiplicación.

Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, para obtener el numerador y el denominador

respectivamente.

Ejemplo

1. 3 93 9 27

5 8 5 8 40

2. 4 94 9 36 9

5 8 5 8 40 10

División

En el caso de la división de dos fracciones, se cruzan las multiplicaciones.

Ejemplo

2 7 2 3 6

5 3 5 7 35


Regla de tres simple.

Una regla de tres simple es un procedimiento que nos permite determinar un término desconocido en la comparación de dos

magnitudes.

Ejemplo – regla de tres simple directa.

Un auto consume 2,5 galones de gasolina en 4 vueltas en un circuito, ¿Cuál será su consumo en 8 vueltas?

Solución

Planteamos la siguiente relación:

Vueltas Gasolina

4 2,5

68 x

Para resolver el interrogante procedemos así: multiplica en cruz y divide en línea:

68 2,542,5

4x

Con lo que el consumo en las 68 vueltas será de 42, 5 galones.

Ejemplo – regla de tres simple inversa.

En una finca 8 hombres siembran un producto en 24 días, ¿Cuántos días gastarán 6 hombres en sembrar la misma cosecha?

Solución.

Personas Tiempo

8 24

6 x

Planteamos la ecuación pero en sentido inverso a como se hizo en el ejemplo anterior: multiplica en línea y divide en vertical.

24 832

6x

Potenciación

Cuando realizamos operaciones con números naturales, por ejemplo una suma, en donde el número que se suma es el mismo

varias veces, ej.

6 veces el 2

2 2 2 2 2 2

para no escribir de manera extensa, simplemente escribimos:

6 veces el 2

2 2 2 2 2 2 2 6

Si ahora en lugar de sumar buscamos multiplicar, tendríamos: 6

6 veces el 2

2 2 2 2 2 2 2

Esta operación se conoce como potenciación, en ella se reconocen los siguientes elementos:


Propiedades

1. 0 1,a a R

2. 1

, , 0

n

na a R a

a

3. , , . ,n m n ma a a a b R n m Z

4. , . , .m

n n ma a a R n m Z

5. , , . .n n n

a b a b a b R n Z

6. , , . 0. .

n n

n

a aa b R b n Z

b b

7. , , 0. , .m

m n

n

aa a R a m n Z

a

8. , . , .

mn n ma a a R m n Z

Ejemplo – simplificacion de exresiones

a. Simplifique la expresion aplicando propiedades de los exponentes: 5

8 124 81a b .

Aplicando las propiedades estudiadas, se sigue:

1 1 14 4 4

84 124 4 4

55 1548 12 8 12 8 12 44

54 8 12

5

52 3

5 10 15

81 81 81

3

3

3

3

a b a b a b

a b

a b

a b

a b

b. Reducir la expresion 4 2 3

20 15 6

2 3 5

Descomponemos los enteros en sus factores primos y simplificamos:

4 2 34 2 3

4 2 32

8 4 2 2 3 3

11 6 5

10 5 4

4 5 3 5 2 320 15 6

2 3 5 2 3 5

2 5 3 5 2 3

2 3 5

2 5 3 5 2 3

2 3 5

2 5 3

2 3 5

2 5 3

Logaritmos y radicales

Cuando estamos calculando una potencia nos preguntamos por su resultado, es decir, el resultado de la multiplicación; pero en

muchas ocasiones necesitaremos preguntarnos por cuál debe ser el exponente para que el resultado sea un valor dado, por

ejemplo, ya hemos visto que 34 es igual a 81, en algún momento nos preguntaremos cuál debe ser el exponente para que 3? =

81.

Como en la potenciación, usaremos una notación para representar los logaritmos, la cual tiene mucha relación con la usada

en la potenciación y que es la siguiente:


Ejemplos

a. 2log 8 3 porque

32 8 .

b. 4log 16 2 porque

24 16 .

c. 5

1log 225

porque 2 1

525

d. 9log 1 0 porque

09 1

Propiedades de los logaritmos

Supondremos que a, b y c son números reales positivos y r un número real cualquiera.

RECURSOS WEB.

En el siguiente link podrán encontrar recursos para practicar con cantidades

aritméticas, sus operaciones y propiedades:

http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/



ALGEBRA ELEMENTAL

El álgebra es una rama de la matemática que se puede considerar como una generalización de la aritmética. En este caso se

utilizan letras para determinar las cantidades de un modo más general.

Combinación de expresiones algebraicas

Suma y resta

Cuando dos o más términos de un polinomio tienen las mismas letras y cada una de estas llevan los mimos exponentes, decimos

que estos son términos semejantes.

Al sumar y restar polinomios reducimos los términos semejantes a un solo término, realizando la operación indicada entre sus

coeficientes.

Ejemplo

Efectúe la operación indicada:

a. 3 2 3 26 2 4 5 7x x x x x x

b. 3 2 3 26 2 4 5 7x x x x x x

Solución

a. 3 2 3 2 3 3 2 2

3 2

6 2 4 5 7 6 5 2 7 4

2 5 4

x x x x x x x x x x x x

x x x

b. 3 2 3 2 3 2 3 2

2

6 2 4 5 7 6 2 4 5 7

11 9 4

x x x x x x x x x x x x

x x

Multiplicación

Para encontrar el producto de polinomios usamos la propiedad distributiva de los números reales:

a b c d a c d b c d ac ad bc bd

Ejemplo

a.

2

2

2 1 3 5 2 3 5 1 3 5

6 10 3 5

6 7 5

x x x x x

x x x

x x

b.

2 2 2 2 2

4 3 2 2

4 3 2

3 2 1 2 1 3 2 1

2 3 6 3

2 2 6 3

x x x x x x x x

x x x x x

x x x x


Ejemplo

Utilice la fórmula de los productos notables para hallar el resultado de cada producto:

a. 2

3 5x b. 3

2 2x c. 2 2x y x y

Solución

a. Aplicando el procedimiento de la primera fórmula, resulta que:

2 2 2

2

3 5 3 2 3 5 5

9 30 25

x x x

x x

b. Aplicando la formula c, obtenemos que:

3 3 2

2 2 2 2 2 3

6 4 2

2 3 2 3 2 2

6 12 8

x x x x

x x x

c. Aplicando la formula b resulta:

22

2

2 2 2

4

x y x y x y

x y

Factorización

Factorizar una expresión algebraica es determinar los factores o divisores cuyo producto es la expresión algebraica dada.

1. Factor común

El factor común es la expresión que divide a todos los términos de un polinomio dado, el cual se puede expresar como un

producto de la siguiente forma:

.

Factor Común o Cociente entre el polinomio

Máximo Común Divisor y el factor común

Ejemplo

a. 3 2 23 3 1ab ab ab ab b b

PRODUCTOS NOTABLES.

Si A y B son números o expresiones algebraicas se cumple que:

a. 2 2A B A B A B Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

b. 2 2 22A B A AB B Cuadrado de un binomio.

c. 3 3 2 2 33 3A B A A B AB B Cubo de un binomio.


b. 4 3 2 3 215 20 35 45 5 3 4 7 9x x x x x x x x

Algunas veces el factor común no es un monomio como en el caso anterior si no que es un polinomio, en este caso se factoriza así:

Ejemplo

a. ( 2) 4( 2) ( 2)( 4)a b b b a

b. ( )( 2) ( 2) ( 2)( )b a c d c c b a d

2. Factorización de binomios.

Caso 1: Diferencia de cuadrados perfectos.

Regla

1. Se saca la raíz cuadrada a cada uno de sus términos.

2. Se multiplica la suma de estas raíces cuadradas con la diferencia de estas raíces.

Ejemplo

Factorizar los siguientes binomios:

a. 2 2a b b. 8 184 25x y c.

436 1

49 100

x

Solución

Aplicando el proceso descrito arriba, nos queda:

a. 2 2a b a b a b

b. 8 18 4 9 4 94 25 2 5 2 5x y x y x y

c. 4 2 236 1 6 1 6 1

49 100 7 10 7 10

x x x

Caso 2: Suma o diferencia de cubos perfectos.

Una expresión es un cubo perfecto cuando tiene raíz cúbica exacta.

Ejemplos

Factorizar los binomios:

a. 3

8x b. 3 6

27a b c. 6 3

27 64m n

Solución

Aplicando las formulas descritos anteriormente, tenemos:

3 3 2 2a b a b a ab b

3 3 2 2a b a b a ab b


a. 3 2 2 28 2 2 2 2 2 4x x x x x x x

b. 2

3 6 2 2 2 2 2 2 2 427 3 (3 ) 3 3 9 3a b a b a a b b a b a ab b

c. 2 26 3 2 2 2 2 4 2 2

27 64 3 4 3 3 4 4 3 4 9 12 16m n m n m m n n m n m m n n

3. Factorización de trinomios

Un trinomio es una expresión que consta de tres términos. De acuerdo a la forma como se presentan, se dividen en los siguientes

casos:

Caso 1: Trinomio cuadrado perfecto.

Se identifica porque:

1. El primer y tercer término son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada exacta).

2. El segundo término es el doble producto de las raíces anteriores.

Regla

1. Se saca la raíz cuadrada al primer y tercer términos.

2. Se eleva este binomio al cuadrado colocando el signo del segundo término.

Ejemplo

Factorizar los siguientes trinomios:

a. 2 22a ab b b.

24 4 1x x c.

2 4 816 48 36m mn n

Solución

Aplicando el proceso descrito arriba, nos queda:

a. 22 22a ab b a b

b. 22

4 4 1 2 1x x x

c. 2

2 4 8 416 48 36 4 6m mn n m n

Caso 2: Trinomio de la forma 2x bx c

Regla para factorizar un trinomio de la forma 2x bx c

Se descompone en dos factores:

1. El primer término de cada factor es la raíz cuadrada del primer término del trinomio.

2. El signo del primer binomio es el signo del segundo término del trinomio; el signo del segundo binomio es el producto de

los signos del segundo y tercer término del trinomio.

3. Se buscan dos números que multiplicados den el tercer término del trinomio y sumados o restados den el coeficiente del

segundo término del trinomio.

Ejemplo

Factorizar los trinomios:


a. 25 6x x b.

43 3a a c.

6 315 8m m

Solución

Aplicando los pasos descritos anteriormente, tenemos:

a. 25 6 3 2x x x x

b. 4 2 2 24 3 3 1a a a a

c. 6 3 3 312 4 3m m m m

Caso 3: Trinomios de la forma 2ax bx c

Se diferencian del caso anterior en que el coeficiente del primer término es distinto de uno.

Ejemplo.

2

2

2

10 10 10 31 10 1510 31 15

10

100 31 10 150

10

10 25 10 6

10

10 25 10 6

5 2

2 5 5 3

x xx x

x x

x x

x x

x x

4. Factorización completa.

La factorización completa se aplica cuando se quiere ver una expresión como los productos de todos sus factores.

Ejemplo

Factorice totalmente cada expresión:

a. 4 22 8x x b.

5 2 6x y xy

Solución

a. 4 2 2 2 22 8 2 4 2 2 2x x x x x x x

b.

5 2 6 2 4 4 2 2 2 2 2

2 2 2

x y xy xy x y xy x y x y

xy x y x y x y

El siguiente ejemplo muestra como en ocasiones es necesario agrupar las expresiones para poder aplicar la factorización

respectiva.


Ejemplo

a.

3 2 3 2

2

2

4 4 4 4

1 4 1

1 4

x x x x x x

x x x

x x

b.

3 2 3 2

2

2

2 3 6 2 3 6

2 3 2

3 3

x x x x x x

x x x

x x

Ecuaciones.

Una ecuación es un enunciado en el que se establece que las dos expresiones dadas son iguales.

Resolver ecuaciones lineales seguimos el siguiente derrotero:

1. Quitar paréntesis y signos de agrupación.

2. Quitar denominadores si los hay.

3. Agrupar los términos que posean la incógnita en un miembro y los que son independientes en el otro.

4. Reducir los términos semejantes.

5. Despejar la variable.

Ejemplo.

A continuación se muestra la forma simplificada de resolver una ecuación:

PROCESO ANALITICO DESCRIPCION

5 3 10 12x x Ecuación original

5 10 3 12x x Agrupación de los términos

5 15x Reducción de los términos semejantes.

153

5x

Despeje de la variable.

Ejemplo

Gilberto es empleado de una empresa de servicio de paquetería. El problema que le planteó en su trabaja fue el siguiente:

En el almacén hay dos paquetes que pesan 40 Kg. y 120 Kg., entre ellos hay una distancia de 2 pies (ver Fig. 1). Él debe levantar

los paquetes al mismo tiempo, y la condición es utilizar su fuerza y no hacer uso de maquinaria especializada para levantamiento

de carga, tan solo una barra de 13 pies que se encuentra

en el almacén.

Existe una ley en física que se llama la Ley de las palancas, y consiste en equilibrar

fuerzas con el uso de palancas o barras. Como lo muestra la figura 2.

Donde, 𝑤1 y 𝑤2 son los pesos de los objetos, 𝑑1 y 𝑑2 son sus respectivas distancias al

punto de apoyo. La ley de las palancas basándose en la figura anterior dice:

1 1 2 2w d w d


Así que el problema que tuvo que resolver Gilberto fue el siguiente:

Si conocía su peso, que es de 90 Kg., el peso de las cajas, la separación entre ellas y la longitud de la barra que utilizaría, sólo

requirió resolver una ecuación para saber dónde colocaría el punto de apoyo y poder levantar los paquetes.

Utilizando la ley de las palancas, la ecuación que representa a este problema es:

90 40 11 120 13x x x

Despejando la variable se encuentra:

90 440 40 1560 120

90 40 120 440 1560

250 2000

8

x x x

x x x

x

x

Por lo tanto, Gilberto sólo tenía que colocarse al final de la barra y el punto de apoyo colocarlo a 8 pies de él.

Ecuaciones de segundo grado

La ecuación general que se puede plantear para este caso es de la forma:

2

0ax bx c

Siendo 𝑎, 𝑏 y 𝑐 constantes, con 0a . La solución general para este tipo de ecuaciones es:

24

2

b b acx

a

Dentro de la fórmula de la ecuación cuadrática distinguiremos a la cantidad sub radical, llamada Discriminante, que la

abreviaremos por el símbolo Δ.

2

4b ac

Veremos que es un factor importante a la hora de conocer las raíces de la ecuación de segundo grado ya que:

- Si 0 , la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas, ya que todo número positivo tiene siempre dos raíces

reales.

- Si 0 , la ecuación tiene una solución real, ya que la única raíz de 0 es 0.

- Si 0 , la ecuación no tiene soluciones reales, ya que NO existe ningún número real que elevado a 2 de por resultado

un número negativo.

Ejemplo

Resolvamos la ecuación: 2

3 2 0x x


Primero debemos identificar los coeficientes; a = 1, b = 3 y c = 2, luego las soluciones son:

2

1

2

4

2

( 3) 3 4 1 2

2 1

3 9 8

2

3 1

2

2

b b acx

a

2

1

2

4

2

( 3) 3 4 1 2

2 1

3 9 8

2

3 1

2

1

b b acx

a

Otros tipos de ecuaciones.

Los siguientes ejemplos muestran cómo resolver otro tipo de ecuaciones diferentes a las ecuaciones lineales y cuadráticas:

Ejemplo

Resolver la ecuación:

3 52

2x x

Solución

Eliminamos los denominadores multiplicando toda la expresión por m.c.m. de los denominadores:

3 5

2 2 22

x x x xx x

Desarrollamos y resolvemos la ecuación resultante:

2

2

2

3 2 5 2 4

0 2 4 6

0 2 3

0 3 1

x x x x

x x

x x

x x

Por lo tanto, se tiene que 3x o 1x

Sistemas de ecuaciones lineales

Ya hemos visto las ecuaciones lineales, su aplicación a la solución de problemas y su representación gráfica. Existen problemas

más estructurados que implican varias situaciones y se requiere utilizar más de una ecuación.

Métodos de reducción

Éstos consisten en simplificar el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a una ecuación con una incógnita, de tal manera,

que se pueda despejar y encontrar el valor de una de ellas para posteriormente sustituirlo y encontrar el valor restante.

Los métodos de reducción son: Suma o Resta, Sustitución e Igualación.

a. Suma o resta

La idea de este método es obtener inteligentemente una tercera ecuación que contenga a solo una de las incógnitas.


Ejemplo

Un salón de belleza cobra $630 por hacer reflejos y $450 por maquillaje. En el mes de agosto registró haber efectuado 107

servicios entre reflejos y maquillaje, que representaron un ingreso de $61110. ¿Cuántos servicios de cada uno llevó a cabo?

Para resolverlo primero se requiere expresar el sistema de ecuaciones que lo representa.

Asignación de variables.

𝑥 : Número de reflejos.

𝑦 : Número de maquillajes.

Planteando el sistema resulta el siguiente modelo:

107 ( )

630 450 6110 ( )

x y A

x y B

1. Se elige una de las variables para eliminarla, en este caso se elegirá la variable “y” (cualquiera que elija llevará a la misma

solución).

2. Para eliminar “y” se necesita tener el mismo coeficiente con signo contrario, para poder restarse, para ello se multiplica la

ecuación A por −450 , quedando de la siguiente forma:

450 450 48150

630 450 61110

x y

x y

3. Se efectúa la reducción de términos:

450 450 48150

630 450 61110

180 12960

x y

x y

x

4. Se despeja la variable para encontrar su valor:

12960

180

72

x

x

5. Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales, para así obtener una ecuación de una

incógnita y poder despejarla. En este caso se elige la ecuación A, porque es más sencilla de sustituirla.

107

72 107

107 72

35

x y

y

y

y

6. La solución x = 72 y y = 35 ; la interpretación de la solución es:

El salón en el mes de agosto realizó 72 reflejos y 35 maquillajes.

Es recomendable sustituir los valores encontrados en ambas ecuaciones para

comprobar que la solución es correcta.

La gráfica de este sistema es la siguiente:


b. Sustitución

Consiste en despejar una variable de una de las ecuaciones y sustituir en la otra, a continuación se muestra el método de

sustitución con el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Un hombre rema río abajo a una velocidad de 13Km/h y río arriba 3Km/h. Hallar la velocidad del bote en agua tranquila y la

velocidad del río.


𝑥 : Velocidad del bote en agua tranquila.

𝑦 : Velocidad del río.

Cuando el bote va río abajo, la velocidad que lleva el río está a su favor; la ecuación que representa esta situación es:

13x y

Cuando el bote va río arriba, va remando contra corriente, porque la velocidad del río hace disminuir su velocidad; la ecuación

que lo describe es:

3x y

Por lo tanto el sistema que describe al problema es:

13( )

3 ( )

x y A

x y B

1. Se elige una ecuación para despejar una de las variables, en este caso elegiremos despejar x en la ecuación A.

13

13

x y

x y

2. Como todavía no se ha transformado en una ecuación con una incógnita, se toma el despeje y se sustituye en la ecuación que

no se ha utilizado, es decir, se sustituye en B.

3

13 3

x y

y y

3. Se reducen los términos semejantes y se despeja la variable.

13 2 3

2 3 13

2 10

10

2

5

y

y

y

y

y

4. Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje que se hizo de la otra variable (paso 2), para encontrar su valor.

13

13 5

8

x y

x

x


5. Por lo que la solución es 𝑥 = 8 𝑦 𝑦 = 5 , tenemos que el bote rema a una velocidad de 8Km/h y la velocidad del río es

3Km/h.

c. Igualación.

Este método consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones e igualarlas. De igual forma que los métodos anteriores,

se tomarán ejemplos para describir el método.

Ejemplo.

Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos paquetes de 60Kg. y 120 Kg. se equilibren. Si se le agregan 30 Kg. de peso al

de 60 Kg., la carga de 120 Kg. debe recorrerse a 1 m. más de distancia del punto de apoyo para mantenerse en equilibrio. Hallar la

distancia original entre ambas cargas.

Solución


D2 : Distancia del paquete de 60 Kg. al punto de apoyo.

D2 : Distancia del paquete de 120 Kg. al punto de apoyo.

El sistema de ecuaciones queda:

1 2

1 2

60 12 (A)

90 120 1 (B)

d d

d d

El método de igualación consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones, así que aprovechando la forma que tiene el

sistema se despejará d1. A continuación se presenta el proceso.

1. Se despeja de la ecuación A la variable d1

2

1

1 2

120

60

2

dd

d d

2. Se despeja de la ecuación B la variable d1:

1 2

2

1

2

1

90 120( 1)

120( 1)

90

4( 1)

3

d d

dd

dd

3. Se igualan los dos despejes:

2

2

4( 1)2

3

dd

4. Se quitan paréntesis y se realiza el despeje de d2 :

2 2

2 2

2 2

2

2

6 4( 1)

6 4 4

6 4 4

2 4

2

d d

d d

d d

d

d

5. Se sustituye el valor de d2 en cualquiera de los despejes, en este caso se elige el despeje del paso 2.


2

1

1

1

120

60

2 2

4

dd

d

d

6. La distancia original entre las cargas es la suma de las distancias al punto de apoyo por lo que la solución al problema es:

1 2

4 2

6

d d d

d

d

La separación que hay entre ellas es de 6 m.

Funciones

Una función es una regla que relaciona los elementos de dos conjuntos, es decir a todos los elementos de un conjunto inicial que

llamaremos Dominio le asigna por medio de alguna regla, uno y solo uno de los elementos de un conjunto final que llamaremos

Codominio, al elemento inicial se le conoce como Pre imagen y el elemento que se le asigna a través de la función como Imagen.

Clasificación de funciones Según su forma analítica.

Funciones Algebraicas.

Son aquellas funciones que están compuestas por términos algebraicos mediante operaciones como la suma, resta, multiplicación,

división, potenciación y extracción de raíces.

Las funciones algebraicas se dividen en polinomiales, racionales e irracionales. A continuación se definirán cada una de ellas.

Funciones polinomiales.

Estas funciones tienen como forma general la siguiente:

0

1 2 2

1 2 2 1...n n n

n n nf x a x a x a x a x a x a

Donde an, an-1,…,a1, a0 son constantes y n es un número no negativo. El dominio de las funciones son aquellos valores que pueden

sustituirse en la función y ésta es verdadera, por lo tanto el dominio de las funciones polinomiales es el conjunto de los números

reales.

2

3 2

Función constante

Función lineal

Funciones polinomiales Función cuadrática

Función cúbica

f x a

f x mx b

f x ax bx c

f x ax bx

0

1 2 2

1 2 2 1Función polinómica ...n n n

n n n

cx d

f x a x a x a x a x a x a

Función constante.

Esta función tiene como imagen el mismo número; su dominio son todos los números

reales y a todos ellos se les asocia el mismo elemento, el cual es el rango. Para darle

mayor claridad se mostrarán algunos ejemplos:

Ejemplos

Graficar la función 𝑓(𝑥) = 4 , determinar su dominio y rango.


Función lineal

La función lineal es una función algebraica cuyo grado es 1, y se puede visualizar en los siguientes ejemplos.

Ejemplo

Graficar la función 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 4 , así como determinar su dominio y su rango.

Utilizando una tabla para encontrar los valores se tiene:

x 3 4g x x

-2 -10

-1 -7

0 -4

1 -1

2 2

3 5

Función cuadrática.

La función cuadrática es de segundo grado y es de la forma:

2f x ax bx c

Ejemplo.

Graficar la función 𝑇(𝑥) = 𝑥2 + 4𝑥 + 1

x 24 1T x x x

-4 1

-3 -2

-2 -3

-1 -2

0 1

1 6

Los puntos de corte de esta gráfica con el eje x se calculan mediante la ecuación:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

El vértice de la parábola se encuentra en el punto −𝑏

2𝑎.

El coeficiente 𝑎 que acompaña al x2, determinara si las ramas de la parábola van hacia arriba o hacia abajo.

El coeficiente 𝑐 es el valor por donde la parábola atraviesa al eje 𝑦 es decir:


sin csc

cos sec

tan cot

b cx x

c b

a cx x

c a

b ax x

a b

Función cúbica.

La función cúbica es una función polinomial de tercer grado, es de la forma:

3 2f x ax bx cx d

Ejemplo.

Graficar la función 𝐷(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 12𝑥 − 6; obtener el dominio y el rango.

x 3 26 12 6f x x x x

0,5 -1,375

1 1

1.5 1,875

2 2

2,5 2,125

3 3

Funciones trascendentes

Son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas,; también se consideran

trascendentes las funciones exponenciales y logarítmicas.

A continuación se presentan algunos ejemplos de cada una de ellas.

Funciones trigonométricas.

En ellas se utilizan las relaciones trigonométricas de seno, coseno, tangente, cotangente, secante o cosecante, así como también las

trigonométricas inversas.

Hay que recordar que las funciones trigonométricas surgen de la comparación por división de las magnitudes de un triángulo

rectángulo.

Algunos de las características más especiales de las funciones trigonométricas se presentan a continuación.

Representación grafica

Para hallar la gráfica de una función trigonométrica se toma como dominio los ángulos en dados en forma de radianes y se evalúa

la función dada en el respectivo ángulo.

Las funciones trigonométricas de uso más frecuentes en aplicaciones de la matemática son la función seno y la función coseno.


x 3 26 12 6f x x x x

2 0

3

2

1

0

2

-1

0 0

2

1

0

3

2

-1

2 0

Funciones exponenciales.

Son las funciones cuya variable se ubica en el exponente, como por ejemplo:

2 1xf x e ;

2 12xf x ; 1

3

x

f x

Su forma general es

xf x Ab

La función exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 presenta las siguientes características:

1. Su dominio son todos los números reales.

2. En todos los casos la función pasa por el punto (0, 1).

3. Los valores de la función siempre son positivos para cualquier valor de “x”.

4. Siempre es creciente si b>1, y siempre es decreciente si 0<b<1.

5. El eje X se convierte en una asíntota.

Para visualizar todo lo anterior, en el mismo plano cartesiano, se grafica algunas funciones exponenciales.

x 3 26 12 6f x x x x

2 1

3

2

0

-1

2

0

0 1

2

0

-1

3

2

0

2 1


Función logarítmica

La función logarítmica de base b es la inversa de la función Exponencial de base b, esto es:

log y

by x b x

El hecho de que la función logarítmica es inversa de la función exponencial, implica que la acción que una de ellas realiza sobre

un número, es eliminada por la otra función, es decir:


logx

b b x

Gráfica de la función logarítmica.

Dentro de las funciones logarítmicas, se tienen dos comportamientos diferentes, de acuerdo al valor de la base “b”.

Cuando b>1 las funciones tienen las siguientes propiedades:

1. Su dominio son los números reales positivos.

2. Rango son los números reales.

3. Son funciones continuas y crecientes en todo su dominio.

4. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) y (b, 1).

5. La recta x=0 es una asíntota vertical.

6. La función es negativa para los valores de “x” menores que 1.

7. La función es positiva para valores de “x” mayores que 1.

Para visualizar todo lo anterior, se grafica en el mismo plano cartesiano algunas funciones logarítmicas base 10, debido a que es la

función que proporciona la calculadora, además de la función base “e”.

Cuando 0 < b <1 las funciones tienen las siguientes

propiedades:

1. Su dominio son los números reales positivos.

2. Rango son los números reales.

3. Son funciones continuas y decrecientes en todo su dominio.

4. Sus gráficas pasan por los puntos (1, 0) y (b, 1).

5. La recta x=0 es una asíntota vertical.

6. La función es negativa para los valores de “x” mayores que 1.

7. La función es positiva para valores de “x” menores que 1.

El siguiente esquema resume los tipos de funciones y su clasificación:


RECURSOS WEB

El proyecto Descartes, es un conjunto de aplicaciones

desarrolladas para brindar apoyo en los contenidos matemáticos

fundamentales de forma interactiva. A través del siguiente enlace

realice la exploración de los distintos recursos que se tienen en este

sitio.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html



CALCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial comprende la aplicación de los conceptos de aritmética y algebra elemental, en el análisis de funciones y sus

aplicaciones. En el apartado anterior estudiamos los conceptos generales de funciones y se revisaron algunos tipos de funciones

reales. En este punto estudiaremos de modo general los conceptos de límites y derivadas de funciones reales.

Noción intuitiva de límite.

Ejemplo

Se deja caer una pelota desde lo alto de la torre Latinoamericana, la cual mide 204 m de altura. Encontrar la velocidad de la pelota

a los 5 segundos después de que se soltó.

Solución.

Si la distancia recorrida después de t segundos se denota mediante d(t) y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa

con la ecuación:

24,6d t t

En el problema se desea encontrar la velocidad instantánea, debido a que especifica el momento en que se requiere saber la

velocidad, la cual es a los 5 segundos, es por ello que se recurrirá a la velocidad promedio o media ( mv ) para calcular éste valor.

DistanciaVelocidad Media

Tiempo

Entonces, si se considera el intervalo de tiempo desde 5t hasta 5,5t , la velocidad promedio es:

f i

m

f i

d dv

t t

Por lo tanto, la velocidad media es

2 2

4,9 5,5 4,9 551,4

5,5 5m

mvs

El resultado anterior corresponde a la velocidad promedio en el intervalo de [5.5−5] segundos; como se desea saber la velocidad

exactamente a los 5 segundos, se ira acortando el intervalo de manera que se haga lo suficientemente pequeño y cercano a 5

segundos, para aproximar cual será la velocidad en ese instante.

Mediante cálculos similares a los efectuados arriba, se pueden ir tomando intervalos cada vez más cercanos a 5, tal como se

registra en la siguiente tabla:

Intervalo

De tiempo (s)

Velocidad

(m/s)

5 – 5,5 51,45

5 – 5,1 49,49

5 – 5,05 49,245

5 – 5,01 49,049

5 – 5,005 49,0245

5 – 5,001 49,0049

5 – 5,0005 49,00245

5 – 5,0001 49,00049

En ella se observa que, conforme se acorta el periodo de tiempo, la velocidad promedio se aproxima a 49 m/s. Por lo que, la

velocidad instantánea, cuando 𝑡 = 5, se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante periodos cada vez más

cortos que se inician en 𝑡 = 5. Por consiguiente, la velocidad (instantánea) a los 5 segundos de lanzada la pelota, es 49 ms

.

En forma algebraica, escribimos


5lim ( ) 49x

d t

Que se lee “limite cuando x tiende a 5 de la función d(t) igual a 49”.

Una de las aplicaciones más importantes para los límites es la aproximación de graficas de funciones.

Ejemplo

Hacer un bosquejo de la función

2 2 si 3

3 1 si 3

x xf x

x x

Como vemos, esta función es una función definida a trozos en dos secciones de su dominio, lo que nos interesa saber es si las

partes se conectan en algún punto de este dominio. Para aproximar la gráfica hacemos un proceso de tabulación.

3x 2 2f x x

2,9 1,8

2,99 1,98

2,999 1,998

2,9999 1,9998

2,99999 1,99998

A partir de estas tablas podemos concluir que

3

lim .x

f x N E

,

Puesto que los limites laterales no son iguales. La grafica de esta función se muestra en la siguiente figura:

Derivada de una función.

Una de las herramientas más importantes del cálculo es la derivada de una función. La derivada se puede interpretar como el

siguiente limite

0

limx

f x x f x

x

Donde x es el incremento de la función a lo largo del eje x.

Interpretación geométrica.

3x 3 1 f x x

3,1 1,31

3,01 1,1

3,001 1,03

3,0001 1,01

3,00001 1,003


La derivada de una función tiene una interpretación geométrica por la naturaleza del límite que la define. Para entender esto,

notemos en la siguiente figura, que a medida que 0x el punto Q del segmento PQ se va acercando cada vez más al punto P

hasta que llega a ser el mismo punto P y la razón de cambio y

x

(que es la pendiente de la recta que une dos puntos), es la

pendiente de la recta tangente a la curva y f x en el punto P.

Reglas para el cálculo de derivadas.

1. Si y k entonces 0dy

dx .

2. Si ny kx entonces

1ndynkx

dx

.

3. Si f x g x h x entonces ' ' 'f x g x h x .

Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación de estas reglas.

Ejemplo

Calcular las derivadas de las siguientes funciones para cualquier valor x de su dominio.

a. 63f x x

b. 615 10

3h x x x

c. 5

2

15m x x x

x

d. 2

3 1x xu x

x

Solución

Aplicando las reglas dadas, tenemos:

a. 6 1 5' 6 3 18f x x x

b. 6 1 1 1 51' 6 1 5 0 2 5

3h x x x x

c. En este caso, notamos que

5 25m x x x x

Por lo tanto


5 1 1 1 2 1

6 0 3

6 3

' 5 5 2

5 5 2

5 2 5

m x x x x

x x x

x x

d. Para este caso, aplicamos también unos propiedades de los exponentes para transformar la función y poder aplicar las

reglas vistas:

2

1 1 12 12 2 2

3 1 12 2 2

3 13

3

x xu x x x x

x

x x x

Aplicando las reglas de diferenciación, obtenemos que

3 1 11 1 1

2 2 2

31 12 2 2

11 22

3 1 1' 3

2 2 2

3 3 1

2 2 2

1 13

2 2

u x x x x

x x x

x x x

Derivada del producto y el cociente de funciones.

1. Si f x g x h x , entonces la derivada de f(x) es

' ' 'f x g x h x h x g x

2. Si

g xf x

h x , entonces la derivada de f(x) es

2

' ''

g x h x h x g xf x

g x

Ejemplo

Calcular la derivada de las siguientes funciones:

1. 2 2 15 1

2f x x x x x

2. 6

3

1 5

2 1

xh x

x

Solución

Aplicando las reglas enunciadas, tenemos:

1.

2

3 2

1' 2 5

2

12 5 1

2

f x x x x

x x x

2.

3 5 6 2

23

8 5 2 8

23

8 5 2

23

2 1 30 1 5 6'

2 1

60 30 6 30

2 1

30 30 6

2 1

x x x xh x

x

x x x x

x

x x x

x


RECURSOS WEB

Symbolab es un sitio web que funciona como calculadora online

para resolver paso a paso problemas algebraicos, trigonométricos

y de cálculo paso a paso. Tiene la ventaja de presentar una

representación gráfica de los problemas algebraicos y de generar

un espacio de trabajo para ir guardando los ejercicios que se

vayan desarrollando.

https://es.symbolab.com/solver



CUESTIONARIO PRACTICO 1

1. En cierto país, una persona es considerada joven si su edad es menor o igual a 30 años. El siguiente diagrama muestra la

distribución de las edades para ese país.

De acuerdo con el diagrama, ¿es correcto afirmar que la mayoría de la población de ese país es joven?

A. Sí, porque las personas de 30 años pertenecen a la porción más grande.

B. No, porque se desconoce la proporción de personas entre 31 y 35 años.

C. Sí, porque las personas jóvenes corresponden al 65% de la población.

D. No, porque todas las porciones del diagrama son menores al 50%.

2. Un sistema de transporte urbano en una ciudad de Colombia utiliza dos tipos de buses. La tabla muestra la información

del número de pasajeros que puede transportar cada tipo de bus.

El sistema de trasporte cuenta con un total de 75 buses tipo I y 60 tipos II. La expresión que permite determinar la

capacidad máxima de pasajeros que pueden transportar la totalidad de buses es

A. 75 36 48 60 100 112

B. 75 60 36 100 48 112

C. 75 60 36 100 48 112

D. 75 36 100 60 48 112

3. El capitán de una embarcación debe dirigir su barco desde el puerto O hasta el puerto Q, pasando por el puerto P. En el

trayecto de O a P mantuvo una velocidad constante de 27 nudos; sin embargo, al momento de zarpar del puerto P con

rumbo al puerto Q, su velocímetro se averió y tuvo que usar un repuesto extranjero que marcó durante todo el trayecto

una velocidad de 50 km/h. Al llegar a Q, el capitán tenía que reportar la hora de salida de O, con tan mala fortuna de

haber olvidado mirar la hora al momento de zarpar.

Sabiendo que X1 es la distancia recorrida por el barco desde el puerto O hasta el puerto P, y X2 la distancia desde el

puerto P al puerto Q, el capitán realizó el siguiente procedimiento para calcular el tiempo total de navegación (sin tener

en cuenta el tiempo que duró en el puerto P).


Factorización

de velocidades

1

2

1 2

1 2

27 nudos tiempo de viaje 1

50 tiempo de viaje 2

27 nudos tiempo de viaje 1 + 50 tiempo de viaje 2

27 nudos tiempo de viaje 1 + tiempo de viaje 2

tiempo de viaje 1 + ti

x

kmxh

kmx xh

x x

1 2empo de viaje 227 nudos

x x

¿Cuál de las siguientes opciones justifica el paso “Factorización de velocidad” realizado por el capitán?

A. Que se pueda transformar nudos a Km/h.

B. Que se conozca los tiempos de viaje 1 y 2.

C. Que el tiempo de viaje 1 sea igual al tiempo de viaje 2.

D. Que la velocidad en el trayecto O a P sea igual que la de P a Q.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 4 Y 5 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN

4. Para adquirir un crédito por $6.000.000, Ángela solicita en una entidad financiera información sobre las modalidades de

pago para crédito. Un asesor le da la siguiente información.

*En cualquier modalidad, el saldo del crédito cada mes será igual a la diferencia entre el saldo del crédito del mes

anterior y el abono al crédito realizado en el mes.

Después de analizar la información, Ángela afirma: “Con la modalidad I, el valor de la cuota disminuirá $50.000 en

cada mes”. La afirmación es correcta porque

A. el interés total del crédito serían $300.000 y cada mes disminuiría $50.000.

B. cada mes se abonarían al crédito $1.000.000 y el interés disminuiría en $50.000.

C. cada mes aumentaría el abono al crédito en $50.000, de manera que el interés disminuirá.

D. el abono al crédito disminuiría $50.000 cada mes, al igual que el interés.

5. El interés total de un crédito es la cantidad de dinero que se paga adicional al valor del mismo. ¿Cuál(es) de los

siguientes procesos podría utilizar la entidad, para calcular el interés total del crédito de Ángela, si se pagara con la

modalidad II?

Proceso 1: calcular el 20% de $6.000.000.

Proceso 2: calcular el 20% de $6.000.000 y multiplicarlo por 12.

Proceso 3: calcular el valor de la cuota, multiplicarlo por 12 y al resultado restarle $6.000.000.

A. 1 solamente.

B. 2 solamente.

C. 1 y 3 solamente.

D. 2 y 3 solamente.

suma de

distancias


RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 Y 7 CON BASE EN LA SIGUIENTE INFORMACION

En la gráfica se muestran los resultados de cinco jugadores de tenis. En Australia y Estados Unidos se juega en cancha dura, el

Roland Garros en arcilla y el Wimbledon en césped. Cada uno de ellos se juega una vez al año y otorga 2.000 puntos al vencedor,

mientras que otros torneos solo entregan como máximo 1.000 puntos al vencedor.

6. Se desea saber cuál de los jugadores que aparecen en la gráfica consiguió un mayor porcentaje de victorias en las finales

del Grand Slam y se concluyó que fue el jugador C. Está conclusión es incorrecta porque

A. el jugador C no ganó Roland Garros antes de los 24 años.

B. el más efectivo es el jugador A con 100% de torneos ganados antes de los 24 años.

C. el más efectivo es el jugador D con 77,8% de efectividad en finales.

D. no supera los torneos ganados en canchas dura del jugador A.

7. Considerando solamente los torneos jugados en cancha dura, ¿cuál es el promedio de torneos ganados por los cinco

jugadores?

A. A. 1,2

B. B. 2,0

C. C. 2,6

D. D. 4,4

RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10 CON BASE EN LA SIGUIENTE INFORMACION

El subsidio familiar de vivienda (SFV) es un aporte que entrega el Estado y que constituye un complemento del ahorro, para

facilitarle la adquisición, construcción o mejoramiento de una solución de vivienda de interés social al ciudadano. A continuación

se presenta la tabla de ingresos en salarios mínimos mensuales legales vigentes (SMMLV) y el subsidio al que tiene derecho, para

cierto año.


8. Con el SFV más los ahorros con los que cuente el grupo familiar y el crédito que obtenga de una entidad financiera, se

puede comprar la vivienda. Por tanto, para estimar el valor del crédito que debe solicitarse al banco se debe calcular

así:

A. Valor del crédito = ingresos + ahorros + subsidio + valor de la Vivienda.

B. Valor del crédito = valor de la vivienda – ahorros – subsidio.

C. Valor del crédito = ingresos + ahorros – subsidio + valor de la Vivienda.

D. Valor del crédito = valor de la vivienda + subsidio – ahorros.

9. Una persona que observa la información de la tabla elabora la gráfica que se presenta a continuación.

La gráfica presenta una inconsistencia porque

A. los ingresos y el subsidio correspondientes se dan en miles de pesos, y no en SMMLV.

B. la correspondencia entre ingresos y subsidios es inversa, pero no disminuye de manera constante y continua.

C. faltan algunos valores de los subsidios presentados en la tabla.

D. los valores del subsidio deben ser ascendentes, pues a menores ingresos, mayor es el subsidio.

10. Una familia con ingresos entre 0 y 1 SMMLV recibe un subsidio equivalente a

A. 1,4 veces el subsidio de una familia de ingresos entre 2 y 2,25 SMMLV.

B. 1,8 veces el subsidio de una familia de ingresos entre 2,5 y 2,75 SMMLV.

C. 3,5 veces el subsidio de una familia de ingresos entre 3 y 3,5 SMMLV.

D. 5,5 veces el subsidio de una familia de ingresos entre 3,5 y 4 SMMLV.


NOCICIONES BASICAS DE GEOMETRIA

La geometría es otra de las ramas de la matemática que se encarga de estudiar las figuras, sus propiedades y sus relaciones. La

noción más elemental de geometría es la noción de punto, el cual puede definirse como un lugar geométrico sin dimensión. A

partir de este elemento definimos los conceptos básicos de geometría plana, espacial y geometría analítica.

Un ángulo es la región delimitada por dos rectas que se cortan en un punto común llamado vértice:

Triángulo: Es la porción del plano limitado por tres rectas que forman entre sí tres ángulos.

Los triángulos pueden clasificarse de la siguiente forma:

Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los

catetos.

Ejemplo

Encontrar el lado que falta en el siguiente triangulo rectángulo:

En formula, el teorema de Pitágoras se enuncia así: 2 2 2h c c .

Aplicando los elementos del triángulo en la fórmula de Pitágoras, tenemos:

2 2 2

2

17,6 5,8

309,76 33,64

16,62

x

x

x

Un Polígono significa porción del plano limitado por segmentos de líneas rectas; estas rectas se llaman lados del polígono; se

pueden clasificar como regulares e irregulares, dependiendo de si sus lados son iguales o desiguales, respectivamente.

Un polígono se compone de los siguientes elementos:


Propiedades de los ángulos en los polígonos regulares.

- La suma de los ángulos interiores de un polígono se determina así:

180 2i n

Donde i son los ángulos interiores y n representa el número de lados del polígono.

- El número de diagonales de un polígono regular se calcula con la expresión

3

2

n nd

Área de figuras planas


Geometría analítica.

Un plano cartesiano es un sistema de coordenadas donde dos rectas perpendiculares metrizadas, llamadas ejes coordenados, se

cortan en el origen. Con este elemento, para ubicar cualquier punto P de coordenadas ,x y , basta con buscar su primera

coordenada a lo largo del eje X (eje de las abscisas) y su segunda coordenada a lo largo del eje Y (eje de las ordenadas).


Para una recta que se grafica en el plano de coordenadas cartesianas identificamos los siguientes elementos:

Angulo de inclinación: es el ángulo que forma la recta con uno de los ejes coordenados, por ejemplo, con el eje x.

Pendiente de la recta: es la razón entre el desplazamiento vertical y el desplazamiento horizontal. Nos da una idea de la

inclinación de dicha recta. Si una recta pasa por los puntos 1 1,P x y y 2 2,Q x y , la pendiente de dicha recta, que se simboliza

con la letra m, se calcula así:

2 1

2 1

y ym

x x

Dependiendo del valor de m, la recta puede ser creciente de derecha a izquierda, decreciente o completamente horizontal, que en

geometría analítica se expresa como pendiente positiva, negativa o nula.

Ecuaciones de una recta.

La siguiente tabla resume las formas de la ecuación de una recta:

Ecuación Descripción

1 1y y m x x Conocidos su pendiente y un punto por

donde pasa o dos puntos por donde

pasa.

y mx b Conocidos su pendiente y su punto de

corte con el eje y.

0Ax By C Forma general de la ecuación de la recta

con A , B y C constantes reales.

Relación entre dos rectas

Se dice que dos rectas son paralelas sí 1 2m m .


Dos rectas son perpendiculares sí 1 2 1m m .

Secciones cónicas.

Las secciones cónicas son las figuras que se obtienen cortando un cono con un plano.

Circunferencia

Es el lugar geométrico del plano conformado por todos los puntos que están a igual distancia de un punto llamado centro.

El círculo es la superficie limitada por una circunferencia.

La circunferencia tiene las siguientes ecuaciones


2 2 2x y r Centro en el origen y

radio r.

2 2 2

x h y k r Centro el punto ,h k y

radio r.

2 2 0Ax By Dx Ey C Ecuación general de la

circunferencia.

Elipse

Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus

distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante.


Las ecuaciones de una elipse son:

Ecuación Descripción 2 2

2 21

x y

a b Centro en el origen eje principal sobre el eje x.

2 2

2 21

x y

b a Centro en el origen eje principal sobre el eje y.

2 2

2 21

x h y k

a b

Centro en ,h k eje principal sobre el eje x.

2 2

2 21

x h y k

b a

Centro en ,h k eje principal sobre el eje y.

2 2 0Ax By Cx Dy E Ecuación general de la elipse. Si A B la elipse

es horizontal, en caso contrario es vertical.

Siempre se cumple que 2 2 2a b c .

Parábola.

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de una recta fija

(directriz) y un punto fijo (foco).

Las diferentes formas en la ecuación de una parábola son:


2 4y px Vértice en el origen y ramas a la derecha o a la

izquierda.

2 4x py Vértice en el origen y ramas hacia arriba o hacia

abajo.

2

4y k p x h Vértice en ,h k y ramas a la derecha o a la

izquierda.

2

4x h p y k Vértice en ,h k y ramas hacia arriba o hacia

abajo. 2 0Ax Bx Cy D Ecuación general de la parábola horizontal 2 0Ay Bx Cy D Ecuación general de la parábola vertical.

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Las ecuaciones para la hipérbola son:

Ecuación Descripción 2 2

2 21

x y

a b Vértice en el origen y focos en el eje x.

2 2

2 21

y x

a b Vértice en el origen y focos en el eje y.

2 2 0Ax By Cx Dy E Ecuación general de la hipérbola donde A y B

tienen signos contrarios.


CUESTIONARIO DE PRÁCTICA 2

1. En la ilustración se muestra el plano de tres lotes contiguos, E, F y G, y algunas de las medidas de sus lados. La suma de las

medidas de los frentes sobre la carrera segunda es 120 m. Los segmentos resaltados en el plano son paralelos.

Las medidas de los frentes de los lotes E, F, G sobre la carrera segunda son, respectivamente,

A. 16 m, 41 m y 25 m.

B. 24 m, 60 m y 36 m.

C. 24 m, 64 m y 32 m.

D. 40 m, 70 m y 50 m.

2. La gráfica de la figura muestra una sección de una cancha de béisbol; los vértices del triángulo ABC están determinados por

el home, el montículo del lanzador y la intersección de la línea de grama y la línea de foul. El ángulo BAC mide 45° y el

ángulo CBA mide 105°.

La medida del ángulo ACB es

A. 25°.

B. 30°.

C. 35°.

D. 45°.

3. La figura representa la vista frontal de una casa. ADEC es un rectángulo, el ángulo ß mide 120°, y el ángulo α mide 30º y es

congruente con el ángulo 𝛾.

¿Cuánto mide el ancho de la casa?

A. 2 m.

B. 2 √3 m.

C. 4 m.

D. 4 √3 m.


4. La gráfica que representa a la elipse

2 2

2 2

1 11

5 3

x y

5. Andrea construyó una cometa con cuatro triángulos de papel que cortó de dos rectángulos con las medidas que se señalan

en los dibujos

La cometa armada tiene la siguiente forma:

La distancia entre los puntos K y S es

A. 40 cm.

B. 55 cm.

C. 60 cm.

D. 75 cm.


6. Una pelota de caucho se deja caer desde determinada altura y rebota describiendo consecutivamente curvas parabólicas.

En el primer rebote, cuando la pelota alcanza su altura máxima, 40 cm, se ha desplazado horizontalmente 30 cm respecto

al punto de rebote. En el siguiente sistema de coordenadas cartesianas se representa el movimiento de la pelota en el

primer rebote. La ecuación de una parábola con vértice en ,h k es

2

4x h p y k

¿Cuál de las siguientes ecuaciones describe el movimiento de la pelota en el primer rebote?

A. 23

40 30160

y x C. 23

40 30160

y x

B. 22

30 4045

y x D. 22

30 4045

y x

7. En la figura se representa el plano del primer piso de un edificio, conformado por cuatro apartamentos de igual forma y

medida que comparten un espacio común de forma cuadrada donde se encuentra una escalera.

¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área total de los 4 apartamentos (área sombreada)?

A. 4 2xy x

B. 2

4 2xy x

C. 2

2 2xy x

D. 2 2xy x

8. En la secuencia de figuras que aparecen a continuación, se representan polígonos regulares de lado 6, cada uno de ellos

inscrito en una circunferencia. En cada polígono se señala la apotema.

Si se continúa la secuencia, y el número de lados del polígono aumenta indefinidamente, la razón entre el perímetro del

polígono y su apotema tiende a:

A. π. C. 3π.

B. 2π. D. 6π.


ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD.

La estadística se define como el arte y la ciencia de reunir datos, analizarlos, presentarlos e interpretarlos.

La estadística descriptiva es aquella que presenta los datos en forma fácil de leer y de entender, generalmente en forma de

gráficos, tablas o números.

Los caracteres cuantitativos denominados variables son todas aquellas características susceptibles de ser expresados

cuantitativamente, como por ejemplo, el peso, la estatura, la edad, etc.

Las variables se dividen en discretas y continuas:

a. Las variables discretas son todas aquellas que admiten solamente valores enteros, es decir, no tienen valores intermedios.

Por ejemplo: el número de hijos por familia, el número de empleados, numero de autos por hora en un parqueadero, etc.

b. Las variables continuas son aquellas que admiten valores fraccionarios. Por ejemplo la estatura de una persona.

Las siguientes son notaciones comunes en estadística descriptiva:

Tamaño de la muestra.n

Tamaño de la población.N

Cada uno de los valores observados.ix

Frecuencia absoluta para el dato i if x

Frecuencia relativa para el dato i

i i

fh x

n

Frecuencia absoluta acumulada.iF

Frecuencia relativa acumulada.iH

1, Intervalo de una variable continua.i ix x

Amplitud de intervalo.a

Marca de clase de un intervalo.m

Distribución de frecuencias

La distribución de frecuencias es un método mediante el cual se organiza la información en estadística. Bajo este método los

datos recolectados se ordenan y clasifican mostrando la frecuencia.

Ejemplo.

La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias para un almacén que determino el número de computadores con piezas

defectuosas en el inventario.

Graficas estadísticas.

Las gráficas son un complemento de la información tabular y se obtienen a partir de esta. Las más comunes son diagramas de

barras, diagrama por sectores y polígonos de frecuencias, las cuales se muestran a continuación con base en la tabla anterior.

Número de

computadores if ih iF iH

0 5 6% 5 6%

1 25 31% 30 37%

2 32 40% 62 77%

3 12 15% 74 92%

4 4 5% 78 97%

Más de 4 2 3% 80 100%

Totales 80 100%


Medidas de tendencia central.

Cuando se tiene una distribución de frecuencias una forma de caracterizarla numéricamente es empleando las medidas de

tendencia central, las cuales ubican un valor dentro de la muestra que sea representativo de esta.

Media aritmética o promedio: es la suma de todos los datos divido entre el total datos de la muestra.

i if xx

n

Mediana: es el valor que divide la muestra en dos partes iguales.

Moda: es el dato de mayor frecuencia en la muestra.

Conceptos básicos de probabilidad

La probabilidad es una medida numérica de la posibilidad de que ocurra un evento. Por tanto, las probabilidades son una medida

del grado de incertidumbre asociado con cada uno de los eventos previamente enunciados.

Un experimento aleatorio es definido como un proceso que genera resultados definidos. Y en cada una de las repeticiones del

experimento, habrá uno y sólo uno de los posibles resultados experimentales.

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados de dicho experimento.

Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales. A continuación tres reglas de

conteo que son muy utilizadas.

Un experimento se dice de pasos múltiples cuando se deben realizar k pasos para obtener los posibles resultados. En tal caso, hay

1n resultados posibles en el primer paso, 2n resultados posibles en el segundo paso y así en lo sucesivo, entonces el número total

de resultados experimentales es 1 2 ... kn n n

0

20

40

0 1 2 3 4 MAS DE 4

5

25 32

12 4 2

Número de computadores 6%

31%

40%

15% 5% 3%

Número de computadores

0

1

2

3

4

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 Mas de 4

Número de computadores


Combinaciones

Otra regla de conteo útil le permite contar el número de resultados experimentales cuando el experimento consiste en seleccionar

n objetos de un conjunto (usualmente mayor) de N objetos. Ésta es la regla de conteo para combinaciones.

!

( )! !

! 1 2 ... 2 1

N NNCr

r N r r

N N N N

Por definición, 0! 1 .

Ejemplo

Un inspector de calidad selecciona al azar dos de cinco piezas para probar que no tengan defectos. En un conjunto de cinco partes,

¿cuántas combinaciones de dos partes pueden seleccionarse?

Solución

De acuerdo a la regla de conteo de combinaciones, puesto que el orden no importa, se tiene que 5; 2N r .

De este modo, el número de opciones para seleccionar estas dos piezas es:

5! 5! 5 4 3 25 2 10

(5 2)!2! 3!2 3 2 2C

Permutaciones

Permite calcular el número de resultados experimentales cuando se seleccionan n objetos de un conjunto de N objetos y el orden

de selección es relevante. Los mismos n objetos seleccionados en orden diferente se consideran un resultado experimental

diferente.

!

!

NNPn

N n

Ejemplo

Reconsidere el proceso de control de calidad en el que un inspector selecciona dos de cinco piezas para probar que no tienen

defectos. ¿Cuántas permutaciones puede seleccionar?

Solución

En este caso se tiene que 5; 2N n , por lo tanto,

5! 5 4 3!5 2 20

(5 2)! 3!P

Probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento cualquiera iE , denotada como iP E , siempre es un número entre cero y uno.

0 1iP E

Si todos los resultados de un experimento aleatorio son igualmente probables, la probabilidad de un evento dado se calcula así:

Casos Favorables

Casos PosiblesP E


Algunas relaciones básicas de probabilidad

a. Complemento de un evento

Dado un evento A, el complemento de A se define como el evento que consta de todos los puntos muestrales que no están en A.

El complemento de un evento A se denota como cA .

En cualquier caso, se cumple que

1 cP A P A

Ejemplo

Considere el caso de un administrador de ventas que, después de revisar los informes de ventas, encuentra que 80% de los

contactos con clientes nuevos no producen ninguna venta. Si A denota el evento hubo venta y cA el evento no hubo venta, el

administrador tiene que

1 1 0,80 0,20cP A P A

La conclusión es que la probabilidad de una venta en el contacto con un cliente nuevo es 0.20

b. Ley de adición.

La ley de la adición sirve para determinar la probabilidad de que ocurra por lo menos uno de dos eventos. Es decir, si A y B son

eventos, nos interesa hallar la probabilidad de que ocurra el evento A o el B o ambos. La formulación de esta ley es la que sigue:

P A B P A P B P A B

Eventos mutuamente excluyentes

Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si no tienen puntos muestrales en común.

Bajo esta nueva perspectiva, la ley de adición para dos eventos mutuamente excluyentes se plantea así;

P A B P A P B

RECURSOS WEB

WolframAlpha, es un interesante sitio web que tiene múltiples

aplicaciones para resolver ejercicios de distintos campos de la

matemática, entre ellos, la estadística y la probabilidad.

http://www.wolframalpha.com/examples/Statistics.html

http://www.wolframalpha.com/examples/Statistics.html


CUESTIONARIO DE PRÁCTICA 3

1. En una institución educativa hay dos cursos en grado undécimo. El número de hombres y mujeres de cada curso se

relaciona en la tabla:

La probabilidad de escoger un estudiante de grado undécimo, de esta institución, que sea mujer es de 3/5. Este valor

corresponde a la razón entre el número total de mujeres y

A. el número total de estudiantes de grado undécimo.

B. el número total de hombres de grado undécimo.

C. el número total de mujeres del curso 11 B.

D. el número total de hombres del curso 11 A.

RESPONDA LAS PREGUNTAS 2 A 6 CON BASE EN LA SIGUIENTE INFORMACION

2. En la gráfica, el porcentaje acumulado de ejecución en un mes del 2013 nunca es menor al mes inmediatamente anterior;

esto se debe a que

A. la gráfica muestra que el porcentaje de ejecución de cada mes, siempre es mayor al promedio registrado en el

periodo 2002-2012.

B. el porcentaje de ejecución de cada mes de 2013 es siempre mayor al máximo registrado ese mes.

C. al porcentaje del mes anterior se le adiciona el porcentaje del presupuesto ejecutado en el mes correspondiente.

D. el porcentaje de ejecución en un determinado mes siempre es mayor que el del mes anterior.

3. Si se espera que en octubre de 2013 el porcentaje de ejecución sea del 70%, la cantidad de dinero invertida en el sector

salud hasta ese mes sería aproximadamente de

A. 2,55 billones.

B. 1,99 billones.

C. 1,09 billones.

D. 0,88 billones.

4. El porcentaje de aumento en la ejecución del presupuesto en mayo de 2013, en comparación con el mes anterior fue del

7%. De mantenerse este comportamiento y ejecutando los siguientes tres pasos:

Paso 1. Restar de 100%, el porcentaje de ejecución a mayo de 2013.


Paso 2. Dividir entre 7 el resultado obtenido en el paso 1.

Paso 3. Sumar el resultado obtenido en el paso 2 al porcentaje de ejecución a mayo de 2013.

Puede estimarse el porcentaje

A. de ejecución del presupuesto hasta junio de 2013.

B. máximo de ejecución, que se registró en la década anterior al año 2013.

C. de ejecución del presupuesto en cada uno de los meses restantes de 2013.

D. faltante de ejecución del presupuesto para todo el año 2013.

5. La gráfica que muestra el porcentaje de ejecución, correspondiente al promedio 2002 - 2012, en cada mes es

6. En mayo se proyectaba al 2013 como el año en el que se habría ejecutado mayor porcentaje del presupuesto del sector

salud de la última década. Para determinar, al finalizar el año 2013, si esto se cumpliría, se requeriría saber

adicionalmente a la información de la gráfica, el porcentaje de ejecución

A. de diciembre de 2013.

B. de diciembre de 2002 al 2012.

C. de mayo a diciembre de 2013.

D. de mayo a diciembre de 2002 a 2013.

7. El siguiente gráfico de líneas, muestra el número de pacientes a quienes se les realizó trasplante renal en un hospital.

De acuerdo con la información suministrada en la gráfica se puede afirmar que se presenta

A. decrecimiento en el número de pacientes con trasplante entre los años 1982 y 1985.

B. crecimiento en el número de pacientes con trasplante entre los años 1985 y 1989.

C. decrecimiento en el número de pacientes con trasplante entre los años 1994 y 1996.

D. crecimiento en el número de pacientes con trasplante entre los años 1986 y 1987.

8. Un grupo de estudiantes presentó una prueba de matemáticas que se evaluó de 1 a 5. Los resultados obtenidos se

registraron en la tabla de frecuencias absolutas:


La gráfica que representa la frecuencia absoluta acumulada correspondiente a la información presentada en la tabla es:

9. En un colegio se encuestó a los estudiantes de grado 5° para determinar el nivel educativo de sus padres. Los resultados

aparecen en la tabla:

La gráfica que corresponde a la información presentada en la tabla anterior es:

10. Con el fin de recoger fondos para la fiesta de despedida de los estudiantes de grado undécimo, los estudiantes de grado

décimo deciden organizar una rifa. Para ello, elaboran hojas enumeradas del 1 al 35 ya que en grado décimo hay 35

estudiantes y cada una de las hojas tiene los números del 1 al 50. A cada estudiante de décimo le corresponde una hoja

para que venda sus 50 puestos. A Andrea una niña de grado 8° le gusta mucho el número 7 por lo que decide comprarle a

un compañero de décimo todos los puestos que tengan por lo menos un número 7 en su hoja.

Durante el sorteo se colocan en una caja, balotas numeradas del 1 al 35 para escoger la hoja ganadora y en otra caja los

números del 1 al 50 para escoger el numero ganador.

La probabilidad de que Andrea se gane la rifa es:

A. 5/50 C. 5/35

B. 1/350 D. 1/85


BIBLIOGRAFIA

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http://recursostic.educacion.es/buenasparacticas20web/

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De Luca, D. (2014). Apps HTML5 para móviles. Desarrollo de aplicaciones para smarthphones y tablets basado en tecnologías

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Godino, Juan. (2004). Perspectiva de la didáctica de la matemática como disciplina científica. Recuperado el 20 de octubre 2004

en http:// www. ugr.es/local/jgodino/

Ramirez Osorio, Y. (2011) ¿Discapacidad? Comunicación, tecnología y exclusión. Me conecto… luego existo. Medellín.

Corporación ser especial. 2011.

Ruiz Palmero, Julio. (2013). Las TIC en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, Bogotá, Ediciones la U.

RECURSOS WEB

www.thatquiz.org/ . Espacio interactivo con test sobre cuestiones variadas de matemáticas.

www.bbc.uk/education/mathsfile/shockwawe/games/animal.html. Juego interactivo para trabajar unidades de peso.

seccioneuropeamatesribera.blogspot.com/210/08/casey-runner-adding-integers.html. Juego interactivo en flash para trabajar los

números enteros.

www.bbc.co.uk/education/mathsfile/shockwawe/game/datapikc.html . Juego interactivo para trabajar con números.

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.divpad Juego para descargar y aprender a dividir naturales.

https://play.google.com/store/apps/details?id=ikox.joaquin Ejercicio para cálculo mental.

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.solirify.mathgame Permite trabajar las sumas, restas, multiplicaciones,

divisiones, tablas de multiplicar y cálculo de porcentajes.

http://www.freedigitalphotos.net/ Banco de imágenes para esta cartilla.

http://sauce.pntic.mec.es/jdiego/ Recursos de aprendizaje de aritmética básica.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html Sitio web con aplicaciones desarrolladas por el comité de matemáticas

de Andalucía.

https://es.symbolab.com/solver Calculadora online para resolver ejercicios paso a paso de diversos temas de matemáticas básicas.

http://clic.xtec.cat/es/jclic/ Sitio web para el diseño de examenes y para la solución de otros examenes propuestos.

http://www.preicfesinteractivo.com/ Sitio web para realizar simulacros en línea de pruebas Saber en distintas áreas,

particularmente de matemáticas.

http://www.thatquiz.org/

http://www.bbc.uk/education/mathsfile/shockwawe/games/animal.html

http://www.bbc.co.uk/education/mathsfile/shockwawe/game/datapikc.html

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.divpad

https://play.google.com/store/apps/details?id=ikox.joaquin

https://play.google.com/store/apps/details?id=com.solirify.mathgame

http://www.freedigitalphotos.net/




http://clic.xtec.cat/es/jclic/

http://www.preicfesinteractivo.com/

Razonamiento cuantitativo- Saber PRO MatemaTIC.

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