Conceptos principales[editar]

Sello de correos sovitico cuyo motivo es Albert Einstein con su famosa ecuacin.

Artculo principal:Glosario de relatividad

El presupuesto bsico de la teora de la relatividad es que la localizacin de los sucesos fsicos, tanto en eltiempocomo en elespacio, son relativos al estado de movimiento delobservador: as, la longitud de un objeto en movimiento o el instante en que algo sucede, a diferencia de lo que sucede en mecnica newtoniana, no son invariantes absolutos, y diferentes observadores en movimiento relativo entre s diferirn respecto a ellos (las longitudes y los intervalos temporales, en relatividad son relativos y no absolutos).

Relatividad especial[editar]

Artculo principal:Teora de la relatividad especial

La teora de la relatividad especial, tambin llamada teora de la relatividad restringida, fue publicada porAlbert Einsteinen 1905 y describe lafsicadel movimiento en el marco de unespacio-tiempoplano. Esta teora describe correctamente el movimiento de los cuerpos incluso a grandes velocidades y sus interacciones electromagnticas y se usa bsicamente para estudiarsistemas de referencia inerciales(no es aplicable para problemas astrofsicos donde el campo gravitatorio desempea un papel importante).

Estos conceptos fueron presentados anteriormente porPoincaryLorentz, que son considerados como precursores de la teora. Si bien la teora resolva un buen nmero de problemas del electromagnetismo y daba una explicacin delexperimento de Michelson-Morley, no proporciona una descripcin relativista adecuada del campo gravitatorio.

Tras la publicacin del artculo de Einstein, la nueva teora de la relatividad especial fue aceptada en unos pocos aos por la prctica totalidad de los fsicos y los matemticos. De hecho, Poincar o Lorentz haban estado muy cerca de llegar al mismo resultado que Einstein. La forma geomtrica definitiva de la teora se debe aHermann Minkowski, antiguo profesor de Einstein en la Politcnica de Zrich; acu el trmino"espacio-tiempo"(Raumzeit) y le dio la forma matemtica adecuada.nota 1Elespacio-tiempo de Minkowskies unavariedadtetradimensionalen la que se entrelazaban de una manera insoluble las tres dimensiones espaciales y el tiempo. En este espacio-tiempo de Minkowski, el movimiento de una partcula se representa mediante sulnea de universo(Weltlinie), una curva cuyos puntos vienen determinados por cuatro variables distintas: las tres dimensiones espaciales (,,) y el tiempo (). El nuevo esquema de Minkowski oblig a reinterpretar los conceptos de la mtrica existentes hasta entonces. El concepto tridimensional depuntofue sustituido por el desuceso. La magnitud dedistanciase reemplaza por la magnitud deintervalo.

Relatividad general[editar]

Artculo principal:Teora de la relatividad general

Esquema bidimensional de la curvatura delespacio-tiempo(cuatro dimensiones) generada por una masa esfrica.

La relatividad general fue publicada por Einstein en1915, y fue presentada como conferencia en laAcademia de Ciencias Prusianael 25 de noviembre. La teora generaliza elprincipio de relatividadde Einstein para unobservadorarbitrario. Esto implica que las ecuaciones de la teora deben tener una forma decovarianciams general que lacovariancia de Lorentzusada en la teora de la relatividad especial. Adems de esto, la teora de la relatividad general propone que la propia geometra del espacio-tiempo se ve afectada por la presencia demateria, de lo cual resulta una teora relativista delcampo gravitatorio. De hecho la teora de la relatividad general predice que el espacio-tiempo no ser plano en presencia de materia y que la curvatura del espacio-tiempo ser percibida como un campo gravitatorio.

Debe notarse que el matemtico alemnDavid Hilbertescribi e hizo pblicas las ecuaciones de la covarianza antes que Einstein. Ello result en no pocas acusaciones de plagio contra Einstein, pero probablemente sea ms, porque es una teora (o perspectiva) geomtrica. La misma postula que la presencia de masa o energa curva al espacio-tiempo, y esta curvatura afecta la trayectoria de los cuerpos mviles e incluso la trayectoria de la luz.

Einstein expres el propsito de la teora de la relatividad general para aplicar plenamente el programa deErnst Machde la relativizacin de todos los efectos deinercia, incluso aadiendo la llamadaconstante cosmolgicaa sus ecuaciones de campo4para este propsito. Este punto de contacto real de la influencia deErnst Machfue claramente identificado en 1918, cuando Einstein distingue lo que l bautiz como elprincipio de Mach(los efectos inerciales se derivan de la interaccin de los cuerpos) del principio de la relatividad general, que se interpreta ahora como el principio de covarianza general.5

Formalismo de la teora de la relatividad[editar]

Vanse tambin:Espacio-tiempo,CuadrivectoryTensor.

Representacin de la lnea de universo de una partcula. Como no es posible reproducir un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, en la figura se representa slo la proyeccin sobre 2 dimensiones espaciales y una temporal.

Partculas[editar]

En la teora de la relatividad una partcula puntual queda representada por un par, dondees una curva diferenciable, llamadalnea de universode la partcula, ymes un escalar que representa la masa en reposo. El vector tangente a estacurvaes unvector temporalllamadocuadrivelocidad, el producto de este vector por la masa en reposo de la partcula es precisamente elcuadrimomento. Este cuadrimomento es un vector de cuatro componentes, tres de estas componentes se denominan espaciales y representan el anlogo relativista delmomento linealde la mecnica clsica, la otra componente denominada componente temporal representa la generalizacin relativista de laenerga cintica. Adems, dada una curva arbitraria en el espacio-tiempo, puede definirse a lo largo de ella el llamadointervalo relativista, que se obtiene a partir deltensor mtrico. El intervalo relativista medido a lo largo de la trayectoria de una partcula es proporcional al intervalo detiempo propioo intervalo de tiempo percibido por dicha partcula.

Campos[editar]

Cuando se consideran campos o distribuciones continuas de masa se necesita algn tipo de generalizacin para la nocin de partcula. Un campo fsico posee momentum y energa distribuidos en el espacio-tiempo, el concepto de cuadrimomento se generaliza mediante el llamadotensor de energa-impulsoque representa la distribucin en el espacio-tiempo tanto de energa como demomento lineal. A su vez uncampodependiendo de su naturaleza puede representarse por un escalar, un vector o un tensor. Por ejemplo elcampo electromagnticose representa por un tensor de segundo orden totalmente antisimtrico o2-forma. Si se conoce la variacin de un campo o una distribucin de materia, en el espacio y en el tiempo entonces existen procedimientos para construir su tensor de energa-impulso.

Magnitudes fsicas[editar]

En relatividad, estasmagnitudes fsicasson representadas por vectores 4-dimensionales o bien por objetos matemticos llamados tensores, que generalizan los vectores, definidos sobre un espacio de cuatro dimensiones. Matemticamente estos 4-vectores y 4-tensores son elementos definidos delespacio vectorial tangentealespacio-tiempo(y los tensores se definen y se construyen a partir delfibrado tangenteo cotangente de la variedad que representa el espacio-tiempo).

Correspondencia entre E3nota 2y M4nota 3

Espacio tridimensional eucldeo

Espacio-tiempo de Minkowski

Punto

Suceso

Longitud

Intervalo

Velocidad

Cuadrivelocidad

Momentum

Cuadrimomentum

El intervalo relativista[editar]

El intervalo relativista puede definirse en cualquier espacio-tiempo, sea ste plano como en la relatividad especial, o curvo como en relatividad general. Sin embargo, por simplicidad, discutiremos inicialmente el concepto de intervalo para el caso de un espacio-tiempo plano. El tensor mtrico delespacio-tiempo plano de Minkowskise designa con la letra, y en coordenadas galileanas oinercialestoma la siguiente forma:nota 4

Elintervalo, la distancia tetradimensional, se representa mediante la expresin, que se calcula del siguiente modo:

Reproduccin de uncono de luz, en el que se representan dos dimensiones espaciales y una temporal (eje de ordenadas). El observador se sita en el origen, mientras que el futuro y el pasado absolutos vienen representados por las partes inferior y superior del eje temporal. El plano correspondiente at = 0se denominaplano de simultaneidadohipersuperficie de presente(Tambin llamado "Diagrama deMinkowski"). Los sucesos situados dentro de los conos estn vinculados al observador porintervalos temporales. Los que se sitan fuera, porintervalos espaciales.

Los intervalos pueden ser clasificados en tres categoras: Intervalosespaciales(cuandoes negativo),temporales(sies positivo) ynulos(cuando). Como el lector habr podido comprobar, los intervalos nulos son aquellos que corresponden a partculas que se mueven a la velocidad de la luz, como los fotones: La distanciarecorrida por el fotn es igual a su velocidad (c) multiplicada por el tiempoy por lo tanto el intervalose hace nulo.

Los intervalos nulos pueden ser representados en forma decono de luz, popularizados por el celebrrimo libro deStephen Hawking,Historia del Tiempo. Sea un observador situado en el origen, elfuturo absoluto(los sucesos que sern percibidos por el individuo) se despliega en la parte superior del eje de ordenadas, elpasado absoluto(los sucesos que ya han sido percibidos por el individuo) en la parte inferior, y el presente percibido por el observador en el punto 0. Los sucesos que estn fuera del cono de luz no nos afectan, y por lo tanto se dice de ellos que estn situados en zonas del espacio-tiempo que no tienenrelacin de causalidadcon la nuestra.

Imaginemos, por un momento, que en la galaxia Andrmeda, situada a 2,5 millones de aos luz de nosotros, sucedi un cataclismo csmico hace 100.000 aos. Dado que, primero: la luz de Andrmeda tarda 2 millones de aos en llegar hasta nosotros y segundo: nada puede viajar a una velocidad superior a la de los fotones, es evidente, que no tenemos manera de enterarnos de lo que sucedi en dicha Galaxia hace tan slo 100.000 aos. Se dice por lo tanto que el intervalo existente entre dicha hipottica catstrofe csmica y nosotros, observadores del presente, es unintervalo espacial(), y por lo tanto, no puede afectar a los individuos que en el presente viven en la Tierra: Es decir, no existe relacin de causalidad entre ese evento y nosotros.

Imagen de lagalaxia Andrmeda, tomada por el telescopio Spitzer, tal como era hace 2,5 millones de aos (por estar situada a 2,5 millones de aos luz). Los sucesos acaecidos 1 000 000 aos atrs se observarn desde la Tierra dentro de un milln y medio de aos. Se dice por tanto que entre tales eventos y nosotros existe unintervalo espacial.

Anlisis

El nico problema con esta hiptesis, es que al entrar en un agujero negro, se anula el espacio tiempo, y como ya sabemos, algo que contenga algn volumen o masa, debe tener como mnimo un espacio donde ubicarse, el tiempo en ese caso, no tiene mayor importancia, pero el espacio juega un rol muy importante en la ubicacin de volmenes, por lo que esto resulta muy improbable, pero no imposible para la tecnologa.

Podemos escoger otro episodio histrico todava ms ilustrativo: El de laestrella de Beln, tal y como fue interpretada porJohannes Kepler. Este astrnomo alemn consideraba que dicha estrella se identificaba con una supernova que tuvo lugar el ao 5a.C., cuya luz fue observada por los astrnomos chinos contemporneos, y que vino precedida en los aos anteriores por varias conjunciones planetarias en la constelacin de Piscis. Esa supernova probablemente estall hace miles de aos atrs, pero su luz no lleg a la tierra hasta el ao 5a.C. De ah que el intervalo existente entre dicho evento y las observaciones de los astrnomos egipcios y megalticos (que tuvieron lugar varios siglos antes de Cristo) sea unintervalo espacial, pues la radiacin de la supernova nunca pudo llegarles. Por el contrario, la explosin de la supernova por un lado, y las observaciones realizadas por los tres magos en Babilonia y por los astrnomos chinos en el ao 5a.C. por el otro, estn unidas entre s por unintervalo temporal, ya que la luz s pudo alcanzar a dichos observadores.

Eltiempo propioy el intervalo se relacionan mediante la siguiente equivalencia:, es decir, el intervalo es igual al tiempo local multiplicado por la velocidad de la luz. Una de las caractersticas tanto del tiempo local como del intervalo es su invarianza ante las transformaciones de coordenadas. Sea cual sea nuestro punto de referencia, sea cual sea nuestra velocidad, el intervalo entre un determinado evento y nosotros permanece invariante.

Esta invarianza se expresa a travs de la llamadageometra hiperblica: La ecuacin del intervalotiene la estructura de una hiprbola sobre cuatro dimensiones, cuyotrmino independientecoincide con el valor del cuadrado del intervalo (), que como se acaba de decir en el prrafo anterior, es constante. Lasasntotasde la hiprbola vendran a coincidir con el cono de luz.

Cuadrivelocidad, aceleracin y cuadrimomentum[editar]

Artculos principales:CuadrivelocidadyCuadrimomento.

En el espacio-tiempo de Minkowski, las propiedades cinemticas de las partculas se representan fundamentalmente por tres magnitudes: Lacuadrivelocidad(o tetravelocidad) , lacuadriaceleraciny elcuadrimomentum(o tetramomentum).

La cuadrivelocidad es uncuadrivectortangente a la lnea de universo de la partcula, relacionada con la velocidad coordenada de un cuerpo medida por un observador en reposo cualquiera, estavelocidad coordenadase define con la expresin newtoniana, dondeson el tiempo coordenado y las coordenadas espaciales medidas por elobservador, para el cual la velocidad newtoniana ampliada vendra dada por. Sin embargo, esta medida newtoniana de la velocidad no resulta til en teora de la relatividad, porque las velocidades newtonianas medidas por diferentes observadores no son fcilmente relacionables por no ser magnitudes covariantes. As en relatividad se introduce una modificacin en las expresiones que dan cuenta de la velocidad, introduciendo uninvariante relativista. Este invariante es precisamente eltiempo propiode la partcula que es fcilmente relacionable con el tiempo coordenado de diferentes observadores. Usando la relacin entre tiempo propio y tiempo coordenado:se define lacuadrivelocidad [propia]multiplicando porlas de la velocidad coordenada:.

La velocidad coordenada de un cuerpo con masa depende caprichosamente del sistema de referencia que escojamos, mientras que la cuadrivelocidad propia es una magnitud que se transforma de acuerdo con el principio de covariancia y tiene un valor siempre constante equivalente al intervalo dividido entre el tiempo propio (), o lo que es lo mismo, a la velocidad de la luzc. Para partculas sin masa, como los fotones, el procedimiento anterior no se puede aplicar, y la cuadrivelocidad puede definirse simplemente como vector tangente a la trayectoria seguida por los mismos.

Lacuadriaceleracinpuede ser definida como la derivada temporal de la cuadrivelocidad (). Su magnitud es igual a cero en los sistemas inerciales, cuyas lneas del mundo son geodsicas, rectas en el espacio-tiempo llano de Minkowski. Por el contrario, las lneas del mundo curvadas corresponden a partculas con aceleracin diferente de cero, a sistemas no inerciales.

Junto con los principios de invarianza del intervalo y la cuadrivelocidad, juega un papel fundamental laley de conservacin del cuadrimomentum. Es aplicable aqu la definicin newtoniana del momentum () como la masa (en este caso conservada,) multiplicada por la velocidad (en este caso, la cuadrivelocidad), y por lo tanto sus componentes son los siguientes:, teniendo en cuenta que. La cantidad demomentum conservadoes definida como la raz cuadrada de la norma del vector de cuadrimomentum. El momentum conservado, al igual que el intervalo y la cuadrivelocidad propia,permanece invariante ante las transformaciones de coordenadas, aunque tambin aqu hay que distinguir entre loscuerpos con masay los fotones. En los primeros, la magnitud del cuadriomentum es igual a lamasa multiplicada por la velocidad de la luz(). Por el contrario, el cuadrimomentum conservado de losfotoneses igual a la magnitud de sumomentum tridimensional().

Como tanto la velocidad de la luz como el cuadrimomentum son magnitudes conservadas, tambin lo es su producto, al que se le da el nombre deenerga conservada(), que en loscuerpos con masaequivale a la masa multiplicada por la velocidad de la luz al cuadrado (, la famosa frmula de Einstein) y en losfotonesal momentum multiplicado por la velocidad de la luz ()

Componentes

Magnitud del cuadrimomentum

Magnitud en cuerpos con masaMagnitud en fotones (masa = 0)

Energa

Energa en cuerpos con masa (cuerpos en reposo, p=0)Energa en fotones (masa en reposo = 0)

La aparicin de la Relatividad Especial puso fin a la secular disputa que mantenan en el seno de la mecnica clsica las escuelas de losmecanicistasy losenergetistas. Los primeros sostenan, siguiendo a Descartes y Huygens, que la magnitud conservada en todo movimiento vena constituida por elmomentumtotal del sistema, mientras que los energetistas -que tomaban por base los estudios de Leibniz- consideraban que la magnitud conservada vena conformada por la suma de dos cantidades: Lafuerza viva, equivalente a la mitad de la masa multiplicada por la velocidad al cuadrado () a la que hoy denominaramos "energa cintica", y lafuerza muerta, equivalente a la altura por la constanteg(), que correspondera a la "energa potencial". Fue el fsico alemnHermann von Helmholtzel que primero dio a lafuerzas leibnizianasla denominacin genrica deenergay el que formul laLey de conservacin de la energa, que no se restringe a la mecnica, que se extiende tambin a otras disciplinas fsicas como la termodinmica.

La mecnica newtoniana dio la razn a ambos postulados, afirmando que tanto el momentum como la energa son magnitudes conservadas en todo movimiento sometido a fuerzas conservativas. Sin embargo, la Relatividad Especial dio un paso ms all, por cuanto a partir de los trabajos de Einstein y Minkowski el momentum y la energa dejaron de ser considerados como entidades independientes y se les pas a considerar como dos aspectos, dos facetas de unanica magnitud conservada: el cuadrimomentum.

Componentes y magnitud de los diferentes conceptos cinemticos

Concepto

Componentes

Expresin algebraica

Partculas con masa

Fotones

Intervalo

Cuadrivelocidad

Cuadrivelocidadno definida

Aceleracin

(sistemas inerciales)(sistemas no inerciales)

Aceleracinno definida

Cuadrimomentum

El tensor de energa-impulso (Tab)[editar]

Artculo principal:Tensor de energa-impulso

Tensor de tensin-energa

Tres son las ecuaciones fundamentales que en fsica newtoniana describen el fenmeno de lagravitacin universal: la primera, afirma que la fuerza gravitatoria entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia (1); la segunda, que el potencial gravitatorio () en un determinado punto es igual a la masa multiplicada por la constanteGy dividida por la distanciar(2); y la tercera, finalmente, es la llamadaecuacin de Poisson(3), que indica que el laplacianonota 5del potencial gravitatorio es igual a, dondees la densidad de masa en una determinada regin esfrica.

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Sin embargo, estas ecuaciones no son compatibles con la Relatividad Especial por dos razones:

En primer lugarla masa no es una magnitud absoluta, sino que su medicin deriva en resultados diferentes dependiendo de la velocidad relativa del observador. De ah que la densidad de masano puede servir de parmetro de interaccin gravitatoria entre dos cuerpos.

En segundo lugar, si el concepto de espacio es relativo, tambin lo es la nocin de densidad. Es evidente quela contraccin del espacioproducida por el incremento de la velocidad de un observador,impide la existencia de densidades que permanezcan invariables ante las transformaciones de Lorentz.

Por todo ello, resulta necesario prescindir del trmino, situado en el lado derecho de la frmula de Poisson y sustituirlo por un objeto geomtrico-matemtico que permanezca invariante ante las transformaciones de Lorentz: Dicho objeto fue definido por Einstein en sus ecuaciones de universo y recibe el nombre detensor de energa-momentum(). Sus coeficientes describen la cantidad de tetramomentumque atraviesa una hipersuperficie, normal al vector unitario. De este modo, el tensor de energa momentum puede expresarse mediante la siguiente ecuacin:

O lo que es lo mismo: El componentedel tetramomentum es igual a la integral de hipersuperficiedel tensor de tensin-energa. En un fluido ideal, del que estn ausentes tanto la viscosidad como la conduccin de calor, los componentes del tetramomentum se calculan de la siguiente forma:

dondees ladensidad de masa-energa(masa por unidad de volumen tridimensional),es lapresin hidrosttica,es lacuadrivelocidad del fluido, yes lamatriz inversa del tensor mtrico de la variedad.

Adems, si los componentes del tensor se miden por un observador en reposo relativo respecto al fluido, entonces, el tensor mtrico viene constituido simplemente por la mtrica de Minkowski:

Puesto que adems la tetravelocidad del fluidorespecto al observador en reposoes:

como consecuencia de ello, los coeficientes del tensor de tensin-energa son los siguientes:

Parte de la materia que cae en el disco de acrecin de un agujero negro es expulsada a gran velocidad en forma de chorros. En supuestos como ste, los efectos gravitomagnticos pueden llegar a alcanzar cierta importancia.

Dondees ladensidad de masa, yson los componentes tridimensionales de lapresin hidrosttica. Como vemos, el campo gravitatorio tiene dos fuentes diferentes: La masa y el momentum del fluido en cuestin. Los efectos gravitatorios originados por la masa se denominanefectos gravitoelctricos, mientras que aquellos que se deben al momentum reciben el nombre deefectos gravitomagnticos. Los primeros tienen una intensidadsuperior a los segundos, que slo se manifiestan en aquellos casos en los que las partculas del fluido se mueven con una velocidad cercana a la de la luz (se habla entonces defluidos relativistas): Es el caso de los chorros (jets) que emanan del centro de la galaxia y que se propulsan en las dos direcciones marcadas por el eje de rotacin de este cuerpo csmico; de la materia que se precipita hacia un agujero negro; y del fluido estelar que se dirige hacia el centro de la estrella cuando se sta entra en colapso. En este ltimo caso, durante las fases finales del proceso de contraccin de la estrella, la presin hidrosttica puede llegar a ser tan fuerte como para llegar a acelerar el colapso, en lugar de ralentizarlo.

Podemos, a partir del tensor de tensin-energa, calcular cunta masa contiene un determinado volumen del fluido: Retomando la definicin de este tensor expuesta unas lneas ms arriba, se puede definir al coeficientecomo la cantidad de momentum

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