ReconociendoConicasySCuadraticas
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|CarlosArrceS|RevistaDigitalMatemtica,EducacineInternet|
ReconociendoCnicasySuperficiesCuadrticas
CarlosL.ArceS.EscueladeMatemtica
UniversidaddeCostaRica
Estematerialestdirigidoaestudiantesquehanllevadounprimercursodelgebralinealydesarrollaroneltemadediagonalizacinortogonaldematricesdiagonales.Antesdeintentarejecutaralgunasrdenes,deberevisarlaltimaseccin"Preparacinderecursos",dondeseexplicacomoconfigurarelambientedeMathematicaparaquedichoscomandosoperencorrectamente.
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11.1Cnicas
Loscrculos,elipses,parbolasehiprbolassoncurvasplanas,conocidasconelnombredecnicasdebidoaquesepuedenvisualizarcomolacurvainterseccinentreunconoyunplano.
Elcasodelaelipse:
Unahiprbola:
Ylaparbola:
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/MathematicaEducacion/v6n1-may2005/recursos-conicas.zipmailto:[email protected]://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/index.htmlmailto:[email protected] -
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ElsiguientecomandoproduceunAppletparavisualizarmejorelltimogrfico.
Enestaseccinsedarlaformacannicadesusecuacionesyunaformaestndardeparametrizarlasafindetrazarsugrfico.
11.1.1Parbolas
Lasecuacionescannicasparalasparbolastienenlaforma: o
donde eselvrticedelaparbola.Elsiguientegrficoilustraunaparbolaconecuacindelprimertipo,paralaquesesuponeque .
LospuntosdelaparbolasonequidistantesaunpuntoFllamadofocoyunarectaLllamadadirectriz.Elfocoesdadopor o paraparbolas
conecuacindelsegundotipo.Ylaecuacindelarectadirectrizes: y respectivamente.
Apartirdelasecuacionescannicas,unaposibleparametrizacinesdada,respectivamente,por:
dondeelparmetro varaen.Sinembargo,observeenelsiguienteejemplo,quelaparametrizacinpuededarsesinobtenerlaformacannica.
Ejemplo
Paralaparbola ,unaparametrizacinclaraes:
.
Aunqueparaparametrizarlaparbolanoesnecesarioobtenerlaformacannicadesuecuacin,msadelantesernecesariohacerloafindereconocersuvrticeydirectriz.Porelloserecuerdaelprocedimientoparahacerlo:
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Observequeenestecasoesmssencillousarlaecuacinanterioraladelaformacannica,paraproponerotraparametrizacin:
11.1.2Elipses
Laselipsessoncurvasplanasconecuacionesenlaformacannica:
,
donde eselcentrodelaelipsey , susdimetros.
UnaelipseeselconjuntodepuntosPdelplanotalesquelasumadelasdistanciasdePadospuntosfijos,llamadosfocos y ,esconstanteeiguala (o si ).
Si entonces ylosfocossonpuntos(hc,k)y(h+c,k).
Ysi,comoseilustraelelsiguientegrfico,b>a,entonces ylosfocosson:(h,kc)y(h,k+c).
Enamboscasoslarectaquecontienelosfocossedenominaejemayorylaqueesperpendicularaesteycontieneelcentrosellamaejemenor.Observeademsquelaelipseestinscritaenunrectnguloconcentro(h,k)ycuyosladoshorizontalesmiden ylosverticales .
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Estascurvaspuedenserparametrizadascomo:
,
parasertrazadasusandoelcomandoParametricPlot,comosemuestraenelsiguienteejemplo.
Ejemplo3.6
Trazarlaelipsedeecuacin:
.
Parametrizacin: .
11.1.3Hiprbolas
Lashiprbolastienenecuacionesenlaformacannica:
,
.
Elsiguientegrficomuestraunhiprbolaconecuacindelprimertipo.
Lospuntosdelashiprbolassecaracterizanporquelarestadesusdistanciasalosfocosesconstanteeiguala (o ,sisondelaforma
).
Observequeenamboscasos ,perolosfocosson:
enelprimercaso,lospuntos: y
yenelsegundo y .
Porotraparte,lasecuacionesvectorialesdelasrectasasntotason: y .
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Parametrizacin
Laecuacindeunahiprbola ,puedeescribirsetambincomo:
,
entonces:
, y
,
sonparametrizacionesparacadaunadelasramasdelahiprbola.
Similarmente,cuandoecuacindelahiprbolaesdelaforma ,lasparametrizacionesson:
, .
Ejemplo:dadoquelaecuacindelahiprbola ,puedeescribirsetambincomo:
,
entonces , y ,
sonparametrizacionesparacadaunadesusramas.
Otraparametrizacin
Ejemplo:laelipse separametrizapor:
Ejemplo
Dosaspectosdebenreconocersedelanteriorgrfico:a)lasrectasasntotasenestegrfico,aunquenosonpartedelacurva,seobtuvieroncomosifueranpartedeesta,esdecir,sonel
resultadodeunirdospuntosconsecutivosdelacurva.b)cuando lospuntos(2Sec[]1,Tan[]+2),describenunaramacompletadelaelipse,estoesde(+,
)a(+,+).Naturalmente,enestecasoMathematicaautomticamente,eligeunrangoapropiadodevariacinparalascoordenadasenXyenelejeY,delospuntosdelacurva.
11.2Reconocimientodecnicas
Elconjuntodepuntos quesatisfaceunaecuacincuadrticaendosvariables:
,(*)
corresponde,salvocasosespeciales,aalgunadelascnicasvistas.
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Enestaseccinnosproponemosidentificarlacnicacorrespondientealospuntosquesatisfacenunaecuacindadadelaforma(*).Paraestepropsitosebuscatransformarlaecuacinhastaobtenerunadelassiguientesformascannicas:
Parbolas: o ,
Elipses: ,
Hiprbolas: ,
Observequeningunadelasecuacionescannicasanterioresincluyeunsumandoconelproducto ,conocidocomo"trminocruzado".Cuandolaecuacin(*)noincluyeeltrmino
bastaaplicarlatcnicade"completarcuadrados"yhaceralgunasotrasoperacionesalgebraicasparatransformarlaenunadelasformascannicas.
Perosi(*)incluyeeltrmino entoncesprimeroserequiereefectuaruncambiodevariableapropiadoparaeliminarloyluegoprocedercomoenelcasoanterior.
Cambiodevariableparaeliminareltrminocruzado
Laestrategiaparadefinirelcambiodevariableapropiadoseapoyaenlassiguientesobservaciones:
Laecuacin(*)puedeserescritaenlaforma: (**)
donde , y .
Estoporque,efectuandolasoperaciones,
,
.
Silamatriz esdiagonal,esdecirsi ,entonceslaecuacin(*)noincluyeeltrminocruzado .
Luegolaestrategiaapuntaatransformarlamatriz delaecuacin(**)enunadiagonal.Yparaesto,dadoqueAessimtricaesconocidoqueexisteunamatrizortogonal yuna
diagonal talesque:
conlocualseobtiene:
donde ,conlocualademssetieneque y .
Aselcambiodevariableapropiadoes ,donde esunamatrizortogonalcuyascolumnassonunabaseortonormalpara devectorespropiosdeA.
Lainterprestacindeestecambiodevariableseverconelsiguienteejemplo,endondeseretomatodoelprocesoanterior.
Ejemplo
Ejemplo:identifiqueytracelacurvacorrespondientealaecuacin:
.
Dlosvectoresquegeneranlosejesprincipaleseinterpreteelcambiodevariable.
Solucin:primerosedeterminaelcambiodevariableapropiadoparaeliminareltrmino"cruzado" .
Lamatrizsimtrica,A,asociadaalaformacuadrticaenlaecuacinyelvectorBdecoeficienteslineales,enestecaso,son:
RecuerdequeentrminosdeAyB,laecuacinseescribecomo:
as: ,conX= .
Verificacin:
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Apartirdelaecuacinexpresadaenlaforma:
,conX= yAyBcomofuerondadasarriba,
haciendo ,setransformaen:
= 11
= 11
= 11
conelcambiodevariable: oequivalentemente .YcomoDesunamatrizdiagonal,laltimaecuacinnoincluyetrminos"cruzados".
DiagonalizacinortogonaldelamatrizA: .
LuegolasmatricesPyD(identificadaconDg)son:
Verificacindelarelacin :
Continuandoconlatransformacindelaecuacin,conelcambiodevariable: ,oequivalentemente ,
donde yD= ,sehaobtenidoque:
= 11
osea:
Yefectuandoestasoperaciones:
Entoncesfinalmentesetieneque:
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= 11
= 11
= 11
= 36
= 1.
Ylacnicacorrespondienteesunelipsecentradaen(2,1).
Construccindelgrficodelacurva.Delaecuacin
= 1
,seobtienelasiguienteparametrizacindelospuntosdelacurva:
,
,cont[0,2].
Estoentrminosdelasnuevasvariables y seobtieneelsiguientegrfico.
Interpretacindelcambiodevariable :
Si soncoordenadasenlabasecannica,entonces
esuncambiodevariablequetransformacoordenadascannicas, y ,encoordendas y ,enlabasedeterminadaporlascolumnasdeP,asaber:
.
Estopuedereconocersedadoque:
=
= ,
esdecir, eselvectordecoordenadasde enlabase.
Ascomo soncoordenadasdelospuntosdelacurvaenlabase,entonces
=
sonlascoordenadasdelosmismospuntos,peroenlabasecannica.Deestamaneraenelsiguientecomando,laorden
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,
produceunaparametrizacindelospuntosdelacurva,entrminosdelascoordenadascannicasovariablesoriginales.
Acontinuacinseagreganalgrfico,losejesgeneradosporlabasedevectorespropiosdeA,oejesprincipales.
.
Estosvectoresdeterminanlosejesdelsistemadecoordenadas y .
Finalmenteseagreganpuntossobrelosejesprincipales,parasealarlascoordenadascorrespondientesa3,2,1,0,1,2,3,4,5eneleje y7,6,1,1,2,,6eneleje .
11.3Superficiescuadrticas
Lasecuacionespolinomialesdesegundogrado,entresvariables,danorigenaunconjuntodesuperficiesconocidascomosuperficiescuadrticasocudricas.Acontinuacinsehaceunresumendelasformascannicasdeestasecuacionesydealgunasalternativasdeparametrizacinquepermitirnconstruirloscorrespondientesgrficos.
Estasecuacionescannicassehandadosuponiendoquesoncentradasenelpunto(0,0,0),porejemplo
,
yconsiderandoquesisucentroes laecuacinadquierelaforma:
.
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11.3.1Paraboloideselpticosehiperblicos
Otraposibleformadeparametrizarlasuperficie: esconsiderarlacomo: yusarlaexperienciaconocidapara
parametrizarlaselipses:
,cont[0,2]y .
Ejemplo:
11.3.2Elipsoides
Estassuperficiestienenecuacionesdelaforma:
,
ypuedenserparametrizadasdevariasmanerasreconociendoquex=arcos(t),y=brsen(t),cont[0,2],esunaparametrizacinparalaelipsedeecuacin:
.
Escribiendolaecuacincomo:
,
seobtienelasiguienteparametrizacinparaestasuperficie:
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Sinembargo,silaecuacindelasuperficieseexpresacomo: ,sededucelasiguienteparametrizacin:
Observeelcambioobtenidoeneltrazodelelipsoide.
11.3.3Hiperboloides
Naturalmente,paraloshiperboloidesdeunmanto,eltrminonegativopuedecorrespondertambinconlasvariablesxozyesteindicaelejesobreelqueabreelhiperboloide.Similarsituacinsetieneparaloshiperboloidesdedosmantos,enrelacinasutrminopositivo.
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Lasdossuperficiespuedensertrazadassimultneamente,conunsolocomandoParametricPlot3D,siseescribeenlasegundaparametrizacin ,envezde ,segnse
muestraacontinuacin:
11.3.4Conos
11.4Reconocimientodelassuperficiescuadrticas
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Lasecuacionescuadrticasentresvariables:
(*)
describensuperficiesconocidascomosuperficiescuadrticas,salvoalgunoscasosespeciales.Comoendosvariables,paraidentificarlasuperficiecorrespondienteaunaecuacindelaforma(*),serequieretransformarlaaunadelasformascannicas:
Paraboloideselpticosehiperblicos: ,
Elipsoides: ,
Hiperboloidesdeunoodosmantos:
, ,
Conos: .
Esteprocesocomienza"eliminando"lostrminoscruzados: , y ,conunprocedimientototalmentesimilaralvistoparaelcasodelascnicas.
11.4.1Cambiodevariableparaeliminartrminoscruzados
Laexpresin:
esconocidacomoformacuadrticaypuedeescribirsematricialmentecomo:
=
=
donde y .
Adems,si ,laecuacinentresvariables(*)seescribe
(**)
con y comoyafuerondescritos.
SilamatrizAenlaecuacin(**)fueradiagonal,laecuacin(*)notendratrminoscruzados,yconalgunasoperacionesalgebraicassuecuacinsepuedereduciraunadelasformascannicas.Porotraparte,cuandonoesdiagonalpuededefinirseuncambiodevariablequelatransformaaunadiagonal,parasertratadacomoenelcasoanterior.Acontinuacinsemuestraesteproceso:
DadoqueAessimtricaesconocidoqueexisteunamatrizortogonal yunadiagonal talesque:
conlocualseescribelaecuacin(*)ysuequivalente(**),enlaforma:
donde ,conlocualademssetieneque y .
Aselcambiodevariablerequeridoes ,donde esunamatrizortogonalcuyascolumnassonunabaseortonormalpara devectorespropiosdeA.
11.4.2Ejemplo
Ejemplo:identifiqueytraceelgraficodelasuperficiecorrespondientealaecuacin:
Ydlosvectoresquegeneranlosejesprincipales.
Solucin:
Paso1:escrituramatricialdelaecuacin
LamatrizsimtricaA,asociadaalaformacuadrticayelvectorBdecoeficienteslineales,enestecaso,son:
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ObservequeentrminosdeAyB,laecuacinseescribecomo:
Osea:
,donde ,
y .
Verificacin:
Paso2:Definicindelcambiodevariableparaeliminartrminoscruzados
Paraeliminarlostrminos"cruzados" , y ,secalculanlasmatrices ortogonaly talesque .
Yconelcambiodevariable: oequivalentemente setransformalaecuacinenlasiguienteforma:
= 30
= 30
= 30
YcomoDesunamatrizdiagonal,laltimaecuacinnoincluyetrminos"cruzados".
Paso3:Clculodelasmatrices y ,talesque .
Clculodelpolinomiocaractersticoasociadoa :
Luegolosvalorespropiosde son:=6y= .
Clculodeunabaseortonormaldevectorespropiosparaelespaciocaracterstico: .
Aslosvectorespropios y generan ,peronosonunabaseortonormaldeestesubespaciovectorial.Acontinuacinseaplicaelproceso
deGramSchmidtparaortonormalizarestabase.
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Baseortonormalde : .
Clculodeunabaseortonormaldevectorespropiosparaelespaciocaracterstico: .
Baseortonormalde : .
LuegolasmatricesPyD(identificadaconDg)son:
Verificacindelarelacin :
Paso4:Reconocimientodelaecuacinenlasnuevasvariables:
Ascon , y
atravsdelcambiodevariable: o ,laecuacinoriginalsehabaexpresadoenlaforma:
= 30
donde .
Osea:
= 30
.Verificacindeclculos:
Paso5:Sebuscalaformacannicadelaecuacin
Entonces,completandocuadrados,finalmentesetiene:
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= 30
= 30
= 30
= 36
= 1.
Lasuperficieesunhiperboloidedeunmantocentradaen(0,1,0).
Paso6:ParametrizacindelasuperficieyconstruccindesugrficoEscribiendolaecuacinltimaenlaforma:
=
,seobtienelasiguienteparametrizacindelospuntosdelasuperficie: ,
,
,
con yt[0,2].
11.4.3Interpretacindelcambiodevariable
Considerandoelejemploanterior,si eselvectordecoordenadasenlabasecannica,decualquierpuntodelasuperficiey
eslabaseortonormaldevectorespropiosdadaporlascolumnasdeP,entonces:
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esdecir, .
Demaneraqueelcambiodevariable transformacoordenadascannicas, , y encoordendas , y enlabasedeterminadaporlascolumnasde
,denotadaarribacomo.Luegocomo y
soncoordenadasenlabasedeunpuntodelasuperficie(delhiperboloide),entonces
soncoordenadasenlabasecannicadelospuntosdelasuperficie,parametrizadasentrminosde y .Observeelresultadodeesteproductoyelgrficoresultante:
Acontinuacinseagreganalgrfico,enrojolosejesgeneradosporlabasedevectorespropiosdeA,oejesprincipalesyenazullosejesdelabasecannica.
.
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Preparacinderecursos(Descargarrecursosynotebook)
Entrelassiguientestresbibliotecas,lasdosprimerassonrequeridas,paralaconstruccindegrficosqueinvolucranelusodecoloresapartirdesusnombreseningls,yflechasenelplano.Ylaterceraparatrazarcurvastipospline.LastresbibliotecaspertenecenalconjuntodebibliotecasestndardeMathematica.
In[1]:=
LasiguienteordenrequierehabercreadolacarpetaAlgebraLinealen:Archivosdeprograma/WolframResearch/Mathematica/4.2/AddOns/Applications/AlgebraLineal,yhabercopiadoelarchivoArrow3D.mendichacarpeta.EstohabilitaparausarloscomandosArrow3D,Vector3DyDescribeVector3D,paraconstuirflechasenelespacio.
In[4]:=
LardenesAppletViewer["Live",...]requierendelappletlive.jar.Paraprepararsuusoprimerosedebendarlassiguientesrdenes:
In[5]:=
Sinodisponedelarchivolive.jar,puedebajarlodesdewwwvis.informatik.unistuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/download.html.Debecopiarelarchivolive.jarenlacarpetaqueespecificaelsiguientecomando:
Alternativamente,sielappletlive.jarestenlacarpetadetrabajo,MathematicapuedeencontrarlocuandoejecutauncomandoAppletViewer["Live",...],sipreviamentehatrasmitidolasiguienteorden,cambiandoasusituacinparticularlarutadeldirectoriodetrabajo,naturalmente.
Eliminaalgunosmensajesinnecesarios
In[7]:=
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Finalmenteestedocumentoutilizalossiguientescuatroprocedimientos.
In[9]:=
Grficoparaelappletdelacnica
In[14]:=
In[15]:=
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In[16]:=
Out[16]=
In[17]:=
In[18]:=
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In[19]:=
Grficodelaparbola
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Grficosdeelipses
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Grficodehiprbola
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