Reconocimiento El curso de Electrodinámica Clásica fue diseñado ...

Reconocimiento

El curso de Electrodinámica Clásica fue diseñado por el doctor Ernesto Reyes Gómez, profesor del Instituto de Física de la Universidad de Antioquia, quien autoriza su publicación en el aula virtual del curso de Física II.

Electrodinamica I

E. Reyes Gomez

Notas para un curso de Pregrado

Universidad de AntioquiaFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Instituto de FısicaMedellın

Ultima actualizacion: 17 Junio 2010

Prefacio

Las notas de Electrodinamica I han sido escritas tomando como base las conferencias im-partidas por el autor en el Instituto de Fısica de la Universidad de Antioquia desde el segundosemestre del ano 2006 hasta la actualidad. Dichas notas estan dirigidas fundamentalmente a losestudiantes de la especialidad de Fısica que asisten al curso Electromagnetismo I dictado en elsexto semestre de la carrera, pero pueden ser de interes tambien para aquellos que se sientanatraıdos por la Fısica Teorica. Para una mejor comprension de las cuestiones analizadas en las no-tas es recomendable que el lector posea conocimientos de Matematicas Superiores, que abarquendesde el calculo diferencial e integral en una y varias variables hasta la solucion de ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales de segundo orden. No pretendemos que el presente mate-rial sustituya textos clasicos como por ejemplo el de Landau y Lifshitz, o como el celebre libro deJackson. Solo aspiramos a que las notas que se presentan a continuacion constituyan una modestaayuda a la comprension por parte del lector de los temas fundamentales que se tratan aquı.

Un agradecimiento especial a los Profesores del Instituto de Fısica Nicolas Raigoza y Lorenzode la Torre por la lectura crıtica de la primera version del material, por sus comentarios, utilessugerencias y necesarios senalamientos que ya han sido corregidos. Deseo extender tambien migratitud a un grupo de estudiantes que han cooperado con el mejoramiento sistematico de estasnotas. Ellos son:

David Muneton y Sebastian Sanchez Goez, estudiantes del curso Electromagnetismo I dic-tado en el primer semestre del ano 2009, cuyas dudas contribuyeron al esclarecimiento dealgunos temas en la version inicial de las notas, ası como a la correccion de algunas cues-tiones de la seccion 4.3 que no habıan sido correctamente presentadas.

Andres Ordonez, estudiantes del curso Electromagnetismo I dictado en el primer semestredel ano 2010, quien corrigio un error en la expresion (1.70) de la version inicial del manuscrito.

E. Reyes GomezMedellın, Junio de 2010

I

Indice general

1. Electrostatica del vacıo 11.1. Principios basicos de la Electrostatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Ley de Coulomb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Principio de Superposicion. Intensidad del campo electrostatico. . . . . . . 11.1.3. Ley de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4. Potencial electrostatico. Ecuacion de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Metodo de la funcion de Green para la solucion del problema electrostatico. . . . . 61.2.1. Identidad de Green. Funciones de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2. Problemas de Dirichlet y Neumann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.3. Ejemplos de obtencion de la funcion de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Metodo de las imagenes para la solucion del problema electrostatico. . . . . . . . . 141.3.1. Carga puntual frente a un bloque metalico seminfinito a potencial cero. . . 141.3.2. Carga puntual frente a un cascaron esferico metalico a potencial cero. . . . 15

1.4. Metodo de separacion de variables para la solucion de la ecuacion de Laplace. . . . 171.4.1. Solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas. . . . . . . . 171.4.2. Solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas. . . . . . . . 211.4.3. Solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas. . . . . . . . . 26

1.5. Desarrollo en multipolos del campo electrostatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1. Momenta de multipolos y algunas de sus propiedades. . . . . . . . . . . . . 291.5.2. Momenta de multipolos de una distribucion de cargas puntuales. . . . . . . 30

1.6. Energıa del campo electrostatico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7. Energıa de interaccion de un cuerpo cargado con un campo externo. . . . . . . . . 32

1.7.1. Dipolo electrico en presencia de un campo electrostatico. . . . . . . . . . . . 341.8. Radio clasico del electron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.9. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Magnetostatica del vacıo 402.1. Principios basicos de la Magnetostatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.1.1. Ley de fuerzas de Ampere y ley de Biot-Savart. . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2. Vector potencial magnetico y transformaciones de calibracion. . . . . . . . . 42

2.2. Fuerza de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.1. Partıcula cargada en presencia de un campo magnetico. . . . . . . . . . . . 462.2.2. Carga oscilante en presencia de un campo magnetico. . . . . . . . . . . . . . 47

2.3. Desarrollo en multipolos para el campo magnetostatico. . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.1. Momentum magnetico de un sistema de partıculas puntuales. . . . . . . . . 51

2.4. Energıa de interaccion entre una corriente y un campo magnetico exterior a ella. . 522.4.1. Energıa de interaccion en la aproximacion de multipolos. . . . . . . . . . . . 53

2.5. Dipolo magnetico en presencia de un campo magnetico externo. . . . . . . . . . . . 542.6. Precesion de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III

Indice general IV

2.6.1. Precesion de un dipolo en un campo magnetico uniforme y constante. . . . 572.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3. Ecuaciones de Maxwell 603.1. Ley de conservacion de la carga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.2. Ley de Lenz y ley de Faraday. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3. Ley de Ampere-Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.4. Interpretacion fısica de las ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5. Potenciales del campo electromagnetico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.5.1. Transformaciones generales de calibracion. Calibracion de Lorenz. . . . . . 653.5.2. Ecuaciones de D ′Alembert para los potenciales del campo. . . . . . . . . . . 66

3.6. Ley de conservacion de la energıa del campo electromagnetico. . . . . . . . . . . . 673.7. Ley de conservacion del momentum lineal del campo electromagnetico. . . . . . . 703.8. Ondas electromagneticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.8.1. Ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.8.2. Densidad de energıa y vector de Poynting de la onda plana. . . . . . . . . . 763.8.3. Polarizacion de las ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.9. Paquete de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.10. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4. Teorıa Clasica de la Radiacion 834.1. Solucion de las ecuaciones para los potenciales del campo electromagnetico. . . . . 83

4.1.1. Identidad de Kirchhoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.2. Funcion de Green para la ecuacion de D ′Alembert en el espacio abierto. . . 874.1.3. Potenciales retardados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2. Campo electromagnetico de una partıcula cargada en movimiento arbitrario. . . . 884.2.1. Potenciales de Lienard-Wiechert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.2.2. Campo estatico y campo de radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.2.3. Vector de Poynting en la region alejada de la fuente. . . . . . . . . . . . . . . 924.2.4. Potencia radiada. Formula de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3. Dispersion de la radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.1. Dispersion de la radiacion por partıculas aisladas. . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.2. Dispersion de la radiacion por partıculas elasticamente ligadas. . . . . . . . 994.3.3. Energıa absorbida en el proceso de dispersion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.4. Reaccion de la radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4.1. Funcion de distribucion espectral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.4.2. Funcion de distribucion espectral para el oscilador armonico simple. . . . . 1044.4.3. Funcion de distribucion espectral para el oscilador amortiguado. . . . . . . 105

4.5. Desarrollo en multipolos para el campo de radiacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.5.1. Aproximacion dipolar electrica para el campo de radiacion. . . . . . . . . . 1114.5.2. Aproximacion dipolar magnetica para el campo de radiacion. . . . . . . . . 1144.5.3. Campo de radiacion en la aproximacion cuadrupolar electrica. . . . . . . . 115

4.6. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Bibliografıa 120

CAPITULO 1

Electrostatica del vacıo

1.1. Principios basicos de la Electrostatica.

1.1.1. Ley de Coulomb.

La ley de Coulomb posee un basamento experimental, y fue formulada por Charles-Augustinde Coulomb en 1785 [1]. Esta ley empırica plantea que la fuerza de interaccion entre dos cargaselectricas es directamente proporcional al producto de las cargas interactuantes, inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia que las separa, y actua a lo largo de la direccion del seg-mento de recta que las une. La constante de proporcionalidad depende, obviamente, del sistemade unidades utilizado. Nosotros trabajaremos aquı en el Sistema Internacional de Unidades (SI).Matematicamente,

~F1,2 =1

4πε0

q1q2

r2~er, (1.1)

siendo ε0 = 8, 8541878176×10−12 F/m la permitividad dielectrica del vacıo, q1 y q2 son los valoresde las cargas 1 y 2, respectivamente, r es la distancia entre las cargas 1 y 2, y ~er = ~r/r es el vectorunitario a lo largo de la direccion del segmento de recta que une las cargas q1 y q2. El sentido dela fuerza de Coulomb depende de los signos de las cargas q1 y q2. En la naturaleza se verificanunicamente las situaciones q > 0 (carga electrica positiva), q < 0 (carga electrica negativa), o q = 0(carga electrica nula o ausencia de carga). La ley de Coulomb es valida solo cuando no existemovimiento relativo entre las cargas electricas, razon por la cual la fuerza de Coulomb es llamadaen ocasiones fuerza electrostatica.

1.1.2. Principio de Superposicion. Intensidad del campo electrostatico.

Una idea de crucial importancia en la formulacion de la Electrodinamica, que no es deduciblea partir de la ley de Coulomb, es el llamado Principio de Superposicion. Resumido en palabras, elPrincipio de Superposicion plantea que la fuerza de interaccion entre dos cargas 1 no es afectadapor la presencia de una tercera. Examinemos la primera consecuencia del Principio de Super-posicion. Supongamos que tenemos N cargas puntuales 2 q1, q2, ..., qN , y otra carga puntual quellamaremos de prueba y que denotaremos con la letra Qp. La fuerza que ejerce el sistema de lasN cargas sobre la carga de prueba Qp es igual a la suma vectorial de las fuerzas que ejercen, porseparado, cada una de las cargas qi localizadas en las posiciones ~ri sobre la carga Qp ubicada en

1Para abreviar, cada vez que nos refiramos a una carga electrica o conjunto de cargas electricas, utilizaremos simple-mente las palabras carga o cargas, respectivamente.

2El modelo de carga puntual en Electrodinamica es el equivalente al modelo del punto material en Mecanica. Toda lacarga se asume concentrada en un punto del espacio caracterizado por el radio vector de posicion ~r.

1

Capıtulo 1. Electrostatica del vacıo 2

la posicion ~rQp , es decir,

~FQp=

N∑

i=1

~Fi,Qp=

N∑

i=1

14πε0

qiQp

|~rQp −~ri|2~eiQp ,

o, teniendo en cuenta la definicion de ~er,

~FQp =Qp

4πε0

N∑

i=1

qi

~rQp−~ri

|~rQp −~ri|3 = QpE(~rQp), (1.2)

siendo

~E(~r) =1

4πε0

N∑

i=1

qi~r−~ri

|~r−~ri|3 . (1.3)

El vector ~E es un campo vectorial dependiente de la posicion, asociado a la presencia del sis-tema de cargas, e independiente de la carga de prueba Qp. Este campo vectorial, que dependeunicamente de la distribucion espacial y valores de las cargas puntuales qi, recibe el nombre deintensidad del campo electrostatico en el punto ~r.

Otra consecuencia importante del Principio de Superposicion es que este conduce a ecuacioneslineales para la determinacion del estado fısico de las cargas y/o del campo electrostatico.

A pesar de que en la naturaleza las cargas aparecen siempre en forma discreta (la carga electri-ca es una magnitud cuantizada), suele utilizarse en ocasiones el modelo continuo, que asume lacarga electrica distribuıda continuamente sobre determinadas regiones del espacio, o bien sobretodo el espacio. Ambas concepciones pueden ser tratadas matematicamente desde el punto devista de la formulacion del modelo continuo. Definamos la funcion escalar

ρ(~r) =N∑

i=1

qiδ(~r−~ri). (1.4)

Notese que, integrando sobre todo el espacio R3, se tiene que la carga neta Q del sistema es

Q =∫

R3ρ(~r)dV =

N∑

i=1

qi. (1.5)

La funcion ρ recibe el nombre de densidad de carga. Haciendo uso de ella no es difıcil ver que,

~E(~r) =1

4πε0

∫

R3ρ(~r′)

~r−~r′

|~r−~r′|3 dV ′. (1.6)

La expresion anterior es general y valida tanto para distribuciones de carga discretas como con-tinuas, siempre que dichas distribuciones esten definidas sobre todo el espacio tridimensional R3.En el caso de una distribucion continua de cargas definida unicamente en el subconjunto V ⊂ R3

sera igualmente valida la expresion

Q =∫

Vρ(~r)dV. (1.7)

La expresion equivalente para ~E reemplazando R3 por V en (1.6) sera correcta unicamente sino se le imponen condiciones adicionales, denominadas condiciones de frontera, al campo elec-trostatico en la frontera de V . En la mayorıa de los casos el valor de ~E depende, en general, de laspropiedades del campo electrostatico en la superficie que limita al volumen V .

c© E. Reyes Gomez, 2009.


Figura 1.1: Tomese el origen de coordenadas en el punto O o en el punto A, el valor de la densidadde carga en el punto M no depende de dicha eleccion.

El valor de la densidad de carga en un punto M ∈ R3 no depende de la eleccion del origende coordenadas. Sean O y A otros dos puntos arbitrarios de R3 diferentes de M (ver Fig. 1.1).Supongamos que tenemos el origen de coordenadas en el punto O y que~r ′ es el vector de posicionde M con respecto a O. Supongamos ahora que trasladamos el origen de coordenadas al puntoA y sea ~r ′′ el vector de posicion de M medido desde A. Obviamente ~r ′′ = ~r ′ − ~rA, siendo ~rA elvector de posicion de A con respecto a O. La independencia de la densidad de carga en M de laeleccion del origen de coordenadas puede expresarse matematicamente de la siguiente forma:

ρ(M) ≡ ρ(~r ′) = ρ(~r ′′) = ρ(~r ′ −~rA), (1.8)

siendo ρ y ρ la densidad de carga medida desde O y desde A, respectivamente.

1.1.3. Ley de Gauss.

Tomemos la divergencia del vector ~E en (1.6).

∇ · ~E(~r) =1

4πε0∇ ·

∫

R3ρ(~r′)

~r−~r′

|~r−~r′|3 dV ′ =1

4πε0

∫

R3ρ(~r′)∇ ·

[~r−~r′

|~r−~r′|3]

dV ′.

Pero sabemos que

∇ ·[

~r−~r′

|~r−~r′|3]

= 4πδ(~r−~r′). (1.9)

En consecuencia,

∇ · ~E(~r) =ρ(~r)ε0

. (1.10)

La relacion (1.10) es la llamada forma diferencial de la ley de Gauss. Interpretemos el significadofısico de esta ley. Sea V ⊂ R3 un volumen, limitado por una superficie S suave a pedazos yorientable, sobre el cual esta definida la densidad de carga ρ que es una funcion integrable en V ,y supongamos ademas que ~E posee derivadas parciales de primer orden continuas sobre V (verFig. 1.2). Entonces

∫

V∇ · ~E dV =

1ε0

∫

Vρ dV =

Q

ε0,

y en virtud del Teorema de Gauss-Ostrogradsky,

©∫∫

S~E · ~n dS =

Q

ε0. (1.11)



Figura 1.2: Volumen V limitado por una superficie S suave a pedazos y orientable. El vectornormal exterior es ~n.

Es decir, el flujo del vector ~E a traves de la superficie S es proporcional a la carga neta Q encerradadentro de ella. La ecuacion (1.11) es conocida como forma integral de la ley de Gauss.

Suele adoptarse el convenio siguiente: Si el vector ~E fluye desde la region interior hacia laregion exterior a la superficie S, entonces se asume que Q > 0. Por el contrario, si el vector ~Efluye desde la region exterior hacia la region interior a la superficie S , entonces se dice que Q < 0.La implicacion fundamental de la ley de Gauss es que las cargas electricas estacionarias son lasfuentes del campo electrostatico.

1.1.4. Potencial electrostatico. Ecuacion de Poisson.

El vector ~E solucion de la ecuacion (1.10) esta indeterminado en el rotacional de un campovectorial arbitrario. Sea ~E

′= ~E+∇× ~A, siendo ~A un campo vectorial con derivadas parciales de

primer orden continuas. Entonces es facil verificar que ∇ · ~E ′= ∇ · ~E = ρ/ε0, o sea, los campos

~E′

y ~E son ambos soluciones de la ley de Gauss. Resulta necesario entonces la introduccion deuna magnitud fısica, caracterıstica del campo, que nos permita describirlo unıvocamente.

En virtud de la expresion (1.6) tenemos que

~E(~r) =1

4πε0

∫

R3ρ(~r ′)

~r−~r ′

|~r−~r ′|3 dV ′ = − 14πε0

∫

R3ρ(~r ′)∇

[1

|~r−~r ′|

]dV ′,

de donde

~E(~r) = − 14πε0

∇∫

R3

ρ(~r ′)|~r−~r ′|dV

′.

Definiendo la funcion

φ(~r) =1

4πε0

∫

R3

ρ(~r ′)|~r−~r ′|dV

′ (1.12)

encontramos que

~E(~r) = −∇φ(~r). (1.13)



La funcion φ dada por (1.12) recibe el nombre de potencial electrostatico. Analicemos el sig-nificado fısico de dicha funcion. Supongamos que queremos llevar una carga q desde el puntoA ∈ R3 hasta el punto B ∈ R3 en presencia de un campo electrostatico externo ~E. La velocidadde la partıcula con respecto a la fuente del campo externo debe ser infinitamente pequena paraque la ley de Coulomb sea aplicable. El trabajo que hay que realizar sobre la carga en contra delcampo electrostatico es, en este caso,

WAB = −∫ B

A

~F · ~dl = −q

∫ B

A

~E · ~dl = q

∫ B

A

∇φ · ~dl = q

∫ B

A

dφ = q[φ(B)− φ(A)].

El trabajo realizado por el campo sobre la carga sera obviamente −WAB . La integral de linea desegundo tipo anterior no depende del camino que une los puntos A y B. Notese ademas queWBA = −WAB , de donde se desprende que WAA = 0 (o bien WBB = 0). En otras palabras,

©∫

C~E · ~dl = 0, (1.14)

siendo C un contorno cerrado que contiene a los puntos A y B. De acuerdo con el Teorema deGreen, de la expresion anterior se deriva que

∇× ~E = 0, (1.15)

lo cual puede comprobarse tambien mediante el calculo directo.El campo electrostatico es, en consecuencia, un campo conservativo, y tiene sentido definir la

energıa potencial de la carga q en presencia del campo electrostatico ~E. Esta es

U(~r) = qφ(~r). (1.16)

En presencia de un campo electrostatico, la energıa potencial de la carga electrica en la posicion~r es directamente proporcional al valor del potencial electrostatico en dicha posicion. El trabajorealizado por el campo electrostatico sobre la carga para moverla desde el punto A hasta el puntoB es

W = −∆U = −[U(B)− U(A)]. (1.17)

Notese que el potencial electrostatico esta indeterminado en una constante. Sean φ ′ y φ talesque φ ′(~r) = φ(~r)+C0, siendo C0 una constante numerica. Es evidente que−∇φ ′(~r) = −∇φ(~r) =~E(~r). Esta indeterminacion suele utilizarse para calibrar convenientemente el valor del potencialelectrostatico en determinada region del espacio. Una de las calibraciones mas utilizadas en laelectrostatica es elegir la constante C0 de forma tal que

lımr→+∞

φ(~r) = 0. (1.18)

La indeterminacion en el potencial electrostatico conduce a su vez a una indeterminacion en laenergıa potencial, pero esto carece de importancia puesto que lo que realmente interesa, desde elpunto de vista fısico, no es el valor de la energıa potencial en sı sino su diferencia, de la cual puedeextraerse el trabajo realizado por el campo (o en contra de el) para mover una carga electrica deun punto del espacio a otro.

Combinando las expresiones (1.10) y (1.13), no es difıcil ver que

∇ · ~E = −∇ · ∇φ =ρ

ε0,



de donde se halla finalmente que

∇2φ(~r) = −ρ(~r)ε0

. (1.19)

Esta es la llamada ecuacion de Poisson para el potencial electrostatico. En regiones del espaciodonde la densidad de carga es nula, la ecuacion de Poisson se transforma en la ecuacion deLaplace

∇2φ(~r) = 0. (1.20)

El potencial (1.12) es la solucion exacta de la ecuacion de Poisson en el espacio abierto R3. Talafirmacion puede comprobarse de forma directa calculando el Laplaceano de φ. Es decir,

∇2φ(~r) =1

4πε0∇2

∫

R3

ρ(~r ′)|~r−~r ′| dV ′ =

14πε0

∫

R3ρ(~r ′)∇2

[1

|~r−~r ′|

]dV ′.

Teniendo en cuenta que

∇2

[1

|~r−~r ′|

]= −4πδ(~r−~r ′), (1.21)

la ecuacion (1.19) se recupera sin dificultad.

1.2. Metodo de la funcion de Green para la solucion del proble-ma electrostatico.

Dada una distribucion estatica de cargas con densidad ρ = ρ(~r), el problema fundamental dela electrostatica consiste en encontrar las propiedades y estructura matematica del campo elec-trostatico producido por dicha distribucion de cargas. Supongamos que tenemos un conjuntovolumetrico abierto V ⊂ R3 sobre el cual esta definido la densidad de carga ρ, y que esta limitadopor una superficie S suave a pedazos y orientable. En el interior de V la solucion del problemafundamental de la electrostatica equivale a resolver la ecuacion de Poisson (1.19), mientras queen el exterior de V (donde no esta definida la densidad de carga), la solucion de dicho proble-ma equivale a resolver la ecuacion de Laplace (1.20). Obviamente, en ambos casos necesitamosconocer alguna informacion de las propiedades del campo electrostatico sobre la superficie S.

De forma general, el problema fundamental de la electrostatica para el interior de V puede serenunciado como a continuacion se indica.

Para casi todo punto M ∈ V 3 de vector de posicion ~r, encontrar el potencial electrostaticoφ = φ(~r) que es solucion de la ecuacion de Poisson

∇2φ(~r) = −ρ(~r)ε0

,

y que satisface una de las tres condiciones siguientes en la superficie S frontera de V :

1. φ = f1 sobre S (condicion de frontera de primer tipo o de Dirichlet),

3La frase casi todo punto M ∈ V ... indica la posibilidad de la existencia de puntos de V sobre los cuales el potencialelectrostatico posee singularidades esenciales. De cualquier manera, el volumen V puede ser redefinido, en la mayorıa delos casos, excluyendo los puntos singulares de φ. Este hecho es particularmente notable en el caso de un sistema de cargaspuntuales, donde el potencial es una funcion divergente en la posicion de cada partıcula. En general, para distribucionescontinuas de carga se exige que el potencial φ sea una funcion acotada en su dominio.



2. ∂φ∂n = f2 sobre S (condicion de frontera de segundo tipo o de Neumann),

3. ∂φ∂n + f3(φ− f4) = 0 sobre S (condicion de frontera de tercer tipo 4),

siendo f1, f2, f3 y f4 funciones conocidas definidas sobre la superficie S , y

∂φ

∂n= ~n · ∇φ (1.22)

es la derivada direccional del potencial φ en la direccion de la normal ~n exterior a la superficie S .

1.2.1. Identidad de Green. Funciones de Green.

Sean las funciones Φ y Ψ con derivadas parciales continuas hasta el segundo orden, definidasen cierto conjunto volumetrico abierto V ⊂ R3 limitado por una superficie S suave a pedazos yorientable. Definamos el campo vectorial

~F(~r) = Φ(~r)∇Ψ(~r)−Ψ(~r)∇Φ(~r). (1.23)

El Teorema de Gauss-Ostrogradsky aplicado al campo vectorial ~F establece que∫

V∇ · ~FdV = ©

∫∫

S~F · ~ndS.

Pero

∇ · ~F = Φ∇2Ψ−Ψ∇2Φ

y

~F · ~n = Φ ~n · ∇Ψ−Ψ ~n · ∇Φ = Φ∂Ψ∂n

−Ψ∂Φ∂n

.

En consecuencia,∫

V

[Φ(~r)∇2Ψ(~r)−Ψ(~r)∇2Φ(~r)

]dV = ©

∫∫

S

[Φ(~r)

∂Ψ(~r)∂n

−Ψ(~r)∂Φ(~r)

∂n

]dS. (1.24)

Esta es la llamada identidad de Green.Supongamos ahora que existe cierta funcion G = G(~r,~r ′) tal que

∇2G(~r,~r ′) = −δ(~r−~r ′

). (1.25)

Dicha funcion se conoce con el nombre funcion de Green 5. El significado de la funcion de Greenes inmediato. En un sistema de unidades en el que la carga electrica tenga las mismas unidadesque ε0, la funcion de Green no es mas que el potencial generado en el punto M ∈ R3 con vector deposicion ~r por una carga puntual de valor ε0 situada en el punto M ′ ∈ R3 (M ′ 6= M ) con vectorde posicion ~r ′. Una propiedad importante de la funcion de Green es su simetrıa, es decir,

G(~r,~r ′) = G(~r ′,~r). (1.26)

4El problema matematico de la solucion de una ecuacion diferencial en derivadas parciales de segundo orden elıpticacon una condicion de frontera de tercer tipo es un problema llamado usualmente mal planteado o no bien definido. Este tipode problema mal definido no es, en general, apropiado para las aplicaciones en Fısica y no lo examinaremos aquı.

5En algunos textos se le llama funcion fuente o, en Ingles, source function.



La expresion anterior, conocida como Teorema de Lyapunov [2], es una consecuencia del llamadoPrincipio de Reciprocidad: una fuente situada en el punto M ′ produce sobre el punto M el mismoefecto que producirıa sobre M ′ la misma fuente ubicada sobre el punto M . Como corolario delPrincipio de Reciprocidad, es evidente que

∇′2G(~r,~r ′) = −δ(~r−~r ′

). (1.27)

Supongamos ahora que φ es la solucion de la ecuacion de Poisson (1.19) y hagamos en laidentidad de Green (1.24) Φ ≡ φ y Ψ ≡ G. Entonces

∫

V

[φ(~r ′)∇′2G(~r,~r ′)−G(~r,~r ′)∇′2φ(~r ′)

]dV ′

= ©∫∫

S

[φ(~r ′)

∂G(~r,~r ′)∂n ′ −G(~r,~r ′)

∂φ(~r ′)∂n ′

]dS ′.

Teniendo en cuenta las ecuaciones (1.19) y (1.27), hallamos finalmente que

φ(~r) =1ε0

∫

Vρ(~r ′)G(~r,~r ′)dV ′ +©

∫∫

S

[G(~r,~r ′)

∂φ(~r ′)∂n ′ − φ(~r ′)

∂G(~r,~r ′)∂n ′

]dS ′. (1.28)

La ecuacion anterior es la solucion general de la ecuacion de Poisson. El calculo de la funcionde Green puede ser realizado haciendo uso de los teoremas de integracion propios de la Teorıade Variable Compleja. Nosotros haremos aquı uso de la propiedad de la funcion delta de Dirac,segun la cual

∇2

(1

|~r−~r ′|

)= −4π δ

(~r−~r ′

). (1.29)

De acuerdo con dicha propiedad, es evidente que

G(~r,~r ′) =1

4π|~r−~r ′| + F(~r,~r ′), (1.30)

siendo F(~r,~r ′) una funcion armonica en los conjuntos a los que pertenecen las variables ~r y ~r ′,es decir, ∇2F(~r,~r ′) = ∇′2F(~r,~r ′) = 0.

Supongamos que V(R) es una bola, centrada en el origen de coordenadas, limitada por unasuperficie esferica S(R) de radio R. Si calibramos el potencial electrostatico de acuerdo con larelacion (1.18), entonces es facil ver que

lımR→∞

©∫∫

S(R)

[G(~r,~r ′)

∂φ(~r ′)∂n ′ − φ(~r ′)

∂G(~r,~r ′)∂n ′

]dS ′ = 0, (1.31)

y en consecuencia,

φ(~r) = lımR→∞

1ε0

∫

V(R)

ρ(~r ′)G(~r,~r ′)dV ′ =1

4πε0

∫

R3

ρ(~r ′)|~r−~r ′|dV

′, (1.32)

que es la solucion (1.12) ya conocida de la ecuacion de Poisson (1.19) en todo el espacio R3.La solucion (1.28) depende obviamente del tipo de condicion de frontera impuesta al potencial

electrostatico sobre la superficie S . Veamos esta situacion a continuacion.



1.2.2. Problemas de Dirichlet y Neumann.

Consideremos la solucion del problema de Dirichlet∇2φ(~r) = −ρ(~r)

ε0en V

φ(~r)|S = D(~r), (1.33)

siendo D una funcion conocida. Puesto que la funcion de Green esta indeterminada en una fun-cion armonica, podemos, una vez fijada la geometrıa de la superficie S , elegir una funcion Farmonica en V tal que

G|S = 0. (1.34)

A partir de (1.28) es posible ver que la solucion del problema de Dirichlet sera entonces

φ(~r) =1ε0

∫

Vρ(~r ′)G(~r,~r ′) dV ′ −©

∫∫

SD(~r ′)

∂G(~r,~r ′)∂n ′ dS ′. (1.35)

Probemos que esta solucion es unica y para ello recurramos al conocido metodo logico de de-mostracion por reduccion al absurdo. Supongamos que φ1 y φ2 son soluciones diferentes delproblema de Dirichlet y construyamos la funcion U = φ1 − φ2, la cual, obviamente, es la soluciondel problema

∇2U(~r) = 0 en VU(~r)|S = 0

.

Es evidente que

0 = ©∫∫

SU(~r)

∂U(~r)∂n

dS = ©∫∫

SU(~r)∇U(~r) · ~ndS.

Aplicando ahora el teorema de Gauss-Ostrogradsky en la expresion anterior obtenemos que

0 =∫

V∇ · [U(~r)∇U(~r)] dV =

∫

V[∇U(~r)]2 dV +

∫

VU(~r)∇2U(~r) dV =

∫

V[∇U(~r)]2 dV,

donde hemos tenido en cuenta que ∇2U(~r) = 0 en el volumen V . Debido a la arbitrariedad delvolumen V sigue inmediatamente que∇U(~r) = 0 en V , es decir, U es constante en V. Pero como Udebe ser una funcion continua en su dominio y U(~r)|S = 0, entonces U(~r) = 0 en V . Ası, φ1(~r) =φ2(~r) en V , lo cual es un absurdo pues habıamos supuesto como hipotesis que φ1(~r) 6= φ2(~r) enV . Esta contradiccion demuestra la unicidad de la solucion del problema de Dirichlet.

Consideremos ahora el problema de Neumann∇2φ(~r) = −ρ(~r)

ε0en V

∂φ(~r)∂n

∣∣∣S

= N(~r), (1.36)

donde N(~r) es una funcion conocida. En este caso la parte armonica de la funcion de Green puedeser elegida de tal forma que

∂G

∂n

∣∣∣∣S

= − 1A(S)

, (1.37)



siendo A(S) el area de la superficie S 6. teniendo en cuenta (1.28) podemos ver que

φ(~r) =1ε0

∫

Vρ(~r ′)G(~r,~r ′) dV ′ +©

∫∫

SG(~r,~r ′)N(~r ′) dS ′ + 〈φ〉S , (1.38)

siendo

〈φ〉S = ©∫∫

S

φ(~r)A(S)

dS (1.39)

el valor medio del potencial sobre la superficie S . Analogamente a como se hizo en el caso delproblema de Dirichlet, tambien puede demostrarse que la solucion anterior para el problema deNeumann es unica.

1.2.3. Ejemplos de obtencion de la funcion de Green.

La obtencion de la funcion de Green para un problema de frontera especıfico es una tarea engeneral compleja. Sin embargo, la fortaleza de este metodo justifica completamente los esfuerzosque hay que realizar para encontrar dicha funcion: Una vez conocida la funcion de Green para unproblema de frontera de Dirichlet o Neumann asociado a una superficie y volumen especıficos,podemos resolver cualquier problema electrostatico del tipo Dirichlet o Neumann, respectiva-mente, asociado a la misma superficie y volumen. Examinemos a continuacion algunos ejemplossencillos de obtencion de la funcion de Green.

Funcion de Green en el segmento unidimensional (0, l) con condiciones de Dirichlet en losextremos.

Sea l ∈ R tal que l > 0, y consideremos el problema unidimensional de Dirichlet para lafuncion de Green

∂2

∂x2 G(x, x ′) = −δ(x− x ′) (x, x ′) ∈ (0, l)× (0, l)G(0, x ′) = G(l, x ′) = 0 x ′ ∈ (0, l)

. (1.40)

La solucion para G puede ser representada como una serie de las funciones sin(

nπl x

), siendo n

un numero natural, las cuales satisfacen la condicion de Dirichlet en los extremos del intervalo(0, l) para cualquier valor de n y son un conjunto completo en este intervalo. Por lo tanto,

G(x, x ′) =+∞∑n=1

Cn(x ′) sin(nπ

lx)

. (1.41)

Los coeficientes Cn(x ′) pueden calcularse a partir de la condicion

Cn(x ′) =2l

∫ l

0

G(x, x ′) sin(nπ

lx)

dx. (1.42)

6Conviene aclarar que la eleccion - aparentemente evidente - ∂G∂n

∣∣∣S

= 0 conduce a una contradiccion, pues

©∫∫

S

∂G

∂n ′ dS ′ =

∫

V∇ ′ · ∇ ′G dV ′ =

∫

V∇′2G dV ′ = −

∫

Vδ

(~r−~r ′

)dV ′ = −1.

Esto indica que ∂G∂n

∣∣∣S

no puede tomarse igual a cero sobre la superficie S.



Sustituyendo (1.42) en (1.41) obtenemos que

G(x, x ′) =2l

∫ l

0

G(x ′′, x ′)+∞∑n=1

sin(nπ

lx)

sin(nπ

lx ′′

)dx ′′, (1.43)

de donde

δ(x− x ′′) =2l

+∞∑n=1

sin(nπ

lx)

sin(nπ

lx ′′

). (1.44)

Esta es la llamada relacion de completitud.Sustituyendo el desarrollo para G y la relacion de completitud en la ecuacion diferencial obte-

nemos

+∞∑n=1

Cn(x ′)(nπ

l

)2

sin(nπ

lx)

=2l

+∞∑n=1

sin(nπ

lx)

sin(nπ

lx ′

),

de donde

Cn(x ′) =2l

sin(

nπl x ′)

(nπ/l)2. (1.45)

Luego,

G(x, x ′) =2l

+∞∑n=1

sin(

nπl x

)sin

(nπl x ′)

(nπ/l)2. (1.46)

La expresion (1.46) nos da la funcion de Green unidimensional buscada para el problema deDirichlet en el segmento (0, l).

Funcion de Green en una seccion circular con condiciones de Dirichlet en la frontera.

Consideremos la seccion plana del cırculo de radio R mostrada en la figura 1.3. La funcionde Green dentro de la region analizada satisface, en coordenadas polares (r =

√x2 + y2, ϕ), la

ecuacion diferencial[1r

∂

∂rr

∂

∂r+

1r2

∂2

∂ϕ2

]G(r, r ′, ϕ, ϕ ′) = −1

rδ(r − r ′)δ(ϕ− ϕ ′). (1.47)

La funcion de Green satisface, ademas, las condiciones de frontera

G(r, r ′, 0, ϕ ′) = G(r, r ′, ϕ, 0) = 0G(R, r ′, ϕ, ϕ ′) = G(r,R, ϕ, ϕ ′) = 0G(r, r ′, α, ϕ ′) = G(r, r ′, ϕ, α) = 0

. (1.48)

La funcion de Green que satisface las condiciones de frontera angulares puede proponersecomo

G(r, r ′, ϕ, ϕ ′) =+∞∑n=1

sin(αnϕ) sin(αnϕ ′)fn(r, r ′), (1.49)



Figura 1.3: Seccion circular de radio R y apertura angular α. La funcion de Green satisface lacondicion de Dirichlet en la frontera.

siendo αn = nπα y fn son funciones a determinar para cada valor de n. Por otra parte, de acuerdo

con (1.44),

δ(ϕ− ϕ ′) =2α

+∞∑n=1

sin(αnϕ) sin(αnϕ ′). (1.50)

Sustituyendo (1.49) y (1.50) en (1.47) obtenemos la siguiente ecuacion diferencial para las fun-ciones fn:

∂

∂rr

∂

∂rfn(r, r ′)− α2

n

rfn(r, r ′) = − 2

αδ(r − r ′). (1.51)

Si r 6= r ′, la ecuacion para fn es una ecuacion diferencial homogenea de Euler con coeficientesvariables, y su solucion general tiene la forma

fn(r, r ′) = A(r ′)rαn + B(r ′)r−αn .

El arco r = r ′ define dos regiones disjuntas. Si r < r ′, entonces fn ∼ An(r ′)rαn , pues fn(0, r ′) =0. Si por el contrario r > r ′, entonces fn ∼ A(r ′)rαn + B(r ′)r−αn , pero como fn(R, r ′) = 0,entonces B(r ′) = −A(r ′)R2αn . En consecuencia

fn ∼ A(r ′)[rαn −Rαn

(R

r

)αn]

.

Definiendo Cn(r ′) = A(r ′)Rαn hallamos que fn ∼ Cn(r ′)[(

rR

)αn − (Rr

)αn]

siempre que r seamayor que r ′. Podemos escribir entonces

fn(r, r ′) =

An(r ′)rαn si r < r ′

Cn(r ′)[(

rR

)αn − (Rr

)αn]

si r > r ′.

En virtud del principio de reciprocidad, fn(r, r ′) = fn(r ′, r). En consecuencia,

fn(r, r ′) = fn(r ′, r) =

An(r)r′αn si r ′ < r

Cn(r)[(

r ′R

)αn − (Rr ′

)αn]

si r ′ > r.



Comparando las dos expresiones anteriores podemos ver que

An(r ′) = βn

[(r ′

R

)αn

−(

R

r ′

)αn]

y

Cn(r ′) = βnr′αn ,

siendo βn una constante numerica que, atendiendo al propio principio de reciprocidad, debe tenerel mismo valor cuando r > r ′ que cuando r < r ′ para cada valor dado de n.

Ası, la solucion general para fn tiene la forma

fn(r, r ′) = βn

rαn

[(r ′R

)αn − (Rr ′

)αn]

si r < r ′

r′αn

[(rR

)αn − (Rr

)αn]

si r > r ′,

o bien

fn(r, r ′) = βnrαn−

[(r+

R

)αn −(

R

r+

)αn]

, (1.52)

siendo r− = mın(r, r ′) y r+ = max(r, r ′).Calculemos ahora la constante βn. Para ello integremos la ecuacion diferencial (1.51)

∂

∂rr

∂

∂rfn(r, r ′)− α2

n

rfn(r, r ′) = − 2

αδ(r − r ′)

entre r = r ′ − ε y r = r ′ + ε (siendo ε > 0 tal que r ′ − ε > 0 ∀r ′), y luego tomemos el lımitecuando ε tiende a cero. Ası,

∫ r ′+ε

r ′−ε

∂

∂rr

∂

∂rfn(r, r ′) dr − α2

n

∫ r ′+ε

r ′−ε

fn(r, r ′)r

dr = − 2α

,

de donde

(r ′ + ε)∂fn

∂r

∣∣∣∣r ′+ε

− (r ′ − ε)∂fn

∂r

∣∣∣∣r ′−ε

− α2n

∫ r ′+ε

r ′−ε

fn(r, r ′)r

dr = − 2α

. (1.53)

Pero

∂fn

∂r

∣∣∣∣r ′+ε

= βnαn

[(r ′ + ε)αn−1

Rαn+

Rαn

(r ′ + ε)αn+1

]r′αn

y

∂fn

∂r

∣∣∣∣r ′−ε

= βnαn

[(r ′

R

)αn

−(

R

r ′

)αn]

(r ′ − ε)αn−1.

Luego,

βnαn

[(r ′ + ε

R

)αn

+(

R

r ′ + ε

)αn]

r′αn − βnαn

[(r ′

R

)αn

−(

R

r ′

)αn]

(r ′ − ε)αn

−α2n

∫ r ′+ε

r ′−ε

fn(r, r ′)r

dr = − 2α

.



Tomando el lımite cuando ε tiende a cero hallamos finalmente que

βn = − 1ααnRαn

.

La funcion de Green buscada sera entonces

G(r, r ′, ϕ, ϕ ′) = − 1α

+∞∑n=1

sin(αnϕ) sin(αnϕ ′)αn

(r−R

)αn[(r+

R

)αn −(

R

r+

)αn]

. (1.54)

1.3. Metodo de las imagenes para la solucion del problema elec-trostatico.

La solucion de los problemas de Dirichlet o Neumann en el interior de cierto volumen V limi-tado por una superficie S exige del conocimiento de φ|S o ∂φ

∂n

∣∣∣S

, respectivamente. Las funcionesde Green correspondientes a estos problemas, como ya hemos visto, estan indeterminadas en unafuncion F que es armonica en el interior de V . Podemos entonces utilizar esta indeterminacionpara proponer funcionesF tales que las funciones de Green satisfagan las condiciones de fronterasobre S. Para la eleccion apropiada de F suele recurrirse a disımiles procedimientos. Uno de ellosutiliza el concepto de imagen proveniente de la Optica para la colocacion adecuada de distribu-ciones de carga, en el exterior de V , tales que la suma de todas las contribuciones de las cargasinvolucradas en el problema y de las cargas colocadas en el exterior (usualmente denominadasimagenes) reproduzcan sobre S las condiciones de frontera deseadas.

Ya hemos visto que la funcion de Green G(~r,~r ′) puede ser interpretada, excepto por una cons-tante de proporcionalidad asociada al sistema de unidades utilizado, como el potencial generadoen el punto de vector de posicion~r por una carga puntual de valor ε0 ubicada en el punto de vectorde posicion ~r ′ ∈ V , cuyo valor sobre la frontera S de V esta determinado por las condicionesde Dirichlet o Neumann, es decir, es la solucion de la correspondiente ecuacion de Poisson enel interior de V . Puesto que la distribucion de cargas imagenes es colocada en el exterior de V ,entonces la contribucion de estas cargas al potencial electrostatico sera una funcion armonica enV , la cual puede ser identificada sin ambiguedades como la funcion F .

Veamos a cotinuacion la aplicacion del metodo de las imagenes a la solucion de dos problemasconcretos.

1.3.1. Carga puntual frente a un bloque metalico seminfinito a potencial cero.

Supongamos que tenemos un bloque metalico conectado a tierra (potencial cero) que se ex-tiende sobre la region de R3 tal que (x, y, x) ∈ (−∞, 0) × (−∞, +∞) × (−∞, +∞). Supongamosademas que tenemos una carga Q en el punto ~rQ = (xQ, yQ, zQ) (xQ > 0). Queremos encontrar elpotencial en todo punto del espacio (0, +∞)× (−∞,+∞)× (−∞,+∞).

El problema puede resolverse facilmente colocando una carga imagen Qi en la posicion ~ri =(−xi, yi, zi) (xi > 0) dentro del bloque metalico. Notese que esta carga es exterior al volumen deinteres situado a la derecha del eje y (ver Fig. 1.4). El potencial asociado al sistema de cargas es

φ(~r) =1

4πε0

[Q

|~r−~rQ| +Qi

|~r−~ri|]

=1

4πε0

[Q√

(x− xQ)2 + (y − yQ)2 + (z − zQ)2+

Qi√(x + xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2

].



Figura 1.4: Carga puntual frente a un bloque metalico rectangular y seminfinito a potencial cero.

Hay que imponer ahora la condicion φ|S = 0 = φ(0, y, z). En consecuencia,

Q√x2

Q + (y − yQ)2 + (z − zQ)2+

Qi√x2

i + (y − yi)2 + (z − zi)2= 0,

de donde es facil ver que Qi = −Q, xi = xQ, yi = yQ y zi = zQ. Por lo tanto,

φ(~r) =Q

4πε0

[1√

(x− xQ)2 + (y − yQ)2 + (z − zQ)2− 1√

(x + xQ)2 + (y − yQ)2 + (z − zQ)2

]. (1.55)

En este caso la funcion de Green tiene la forma

G(~r,~r ′) =1

4π

[1√

(x− x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2− 1√

(x + x ′)2 + (y − y ′)2 + (z − z ′)2

]. (1.56)

1.3.2. Carga puntual frente a un cascaron esferico metalico a potencial cero.

Figura 1.5: Carga puntual frente a un cascaron esferico metalico a potencial cero.

Supongamos ahora que tenemos una carga puntual Q situada fuera del volumen limitadopor un cascaron esferico de radio a (ver Fig. 1.5). Consideremos ademas que dicho cascaron esmetalico y que se encuentra a potencial cero. Notese que el potencial producido por la carga



Q sobre el punto del espacio cuyo vector de posicion respecto del centro de la esfera es ~r esinvariante ante rotaciones del sistema alrededor del eje que une el centro de la esfera con la cargaQ. En consecuencia, la carga imagen debe estar localizada en algun punto del volumen interiorlimitado por el cascaron y sobre el segmento que une el origen con la carga Q. Hemos supuestoanticipadamente que el signo de la carga imagen es opuesto al de la carga Q. En consecuencia,

φ(~r) =1

4πε0

[Q

|~r−~r ′| −Qi

|~r−~r ′′|

].

En ~r = ~a se tiene que φ(~a) = 0. Por lo tanto

Q

|~a−~r ′| =Qi

|~a−~r ′′| ,

o bien,

Q2|~a−~r ′′|2 = Q2i |~a−~r ′|2.

De aquı se obtiene inmediatamente que(Q2 −Q2

i

)a2 + 2~a · (Q2

i~r′ −Q2~r ′′

)+ Q2r′′2 −Q2

i r′2 = 0. (1.57)

Notese que el producto escalar de ~a con Q2i~r

′−Q2~r ′′ depende del angulo formado entre esos dosvectores. Puesto que la direccion del vector ~a es arbitraria la ecuacion anterior no debe ser unafuncion de dicho angulo, lo cual tiene lugar solamente si |Q2

i~r′−Q2~r ′′| = 0, o bien, Q2

i~r′ = Q2~r ′′.

De aquı se concluye que

Q2i = Q2 r ′′

r ′. (1.58)

Sustituyendo (1.58) en (1.57) hallamos que

Q2

[1− r ′′

r ′

]a2 + Q2r′′2 −Q2r ′′r ′ = 0,

de donde

(r ′ − r ′′)(a2 − r ′r ′′) = 0.

De la ecuacion anterior se obtienen un par de soluciones. La primera de ellas es r ′ = r ′′, la cualno es general y solo es valida sobre la superficie del cascaron. La segunda solucion r ′′ = a2

r ′ (oen forma vectorial, ~r ′′ = a2

r′2~r′) es mas general y contiene a la primera. Sustituyendola en (1.58)

hallamos

Q2i = Q2 a2

r′2,

donde solo la solucion positiva Qi = Q ar ′ es de interes.

De esta manera obtenemos la siguiente expresion para el potencial electrostatico:

φ(~r) =Q

4πε0

1|~r−~r ′| −

a

r ′∣∣∣~r− a2~r ′

r′2

∣∣∣

. (1.59)

La funcion de Green para el problema planteado (r ≥ a) sera entonces

G(~r,~r ′) =14π

1|~r−~r ′| −

a

r ′∣∣∣~r− a2~r ′

r′2

∣∣∣

. (1.60)



1.4. Metodo de separacion de variables para la solucion de laecuacion de Laplace.

Como se ha visto hasta ahora, si tenemos una densidad de carga ρ definida sobre una regionV ∈ R3 limitada por una superficie S “buena” desde el punto de vista matematico, el potencialelectrostatico en V sera la solucion de la ecuacion de Poisson (1.19), mientras que en el com-plemento de V el potencial electrostatico sera la solucion de la ecuacion de Laplace (1.20). Enalgunos casos con simetrıas particulares el problema de la solucion de la ecuacion de Laplaceadmite soluciones analıticas 7. De todos los problemas con simetrıas que permiten obtener solu-ciones analıticas de la ecuacion de Laplace, tres son de especial importancia: los problemas consimetrıa cartesiana, los problemas con simetrıa cilındrica, y los problemas con simetrıa esferica.Ilustremos a continuacion estos tres casos.

1.4.1. Solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianas.

La ecuacion de Laplace, en coordenadas cartesianas, puede ser escrita en la forma(

∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)φ(x, y, z) = 0. (1.61)

Se propone, como solucion de (1.61), una funcion del tipo

φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z). (1.62)

Sustituyendo en la ecuacion diferencial hallamos

Y (y)Z(z)d2

dx2X(x) + X(x)Z(z)

d2

dy2Y (y) + X(x)Y (y)

d2

dz2Z(z) = 0,

o bien

1X(x)

d2

dx2X(x) +

1Y (y)

d2

dy2Y (y) +

1Z(z)

d2

dz2Z(z) = 0.

Puesto que las variables x, y y z son independientes, entonces cada termino de la ecuacion anteriordebe ser una constante numerica. Definamos

−α2 =1

X(x)d2

dx2X(x), −β2 =

1Y (y)

d2

dy2Y (y), γ2 =

1Z(z)

d2

dz2Z(z), (1.63)

donde γ2 = α2 + β2, es decir, los numeros α, β y γ son numeros pitagoricos. Reescribamos ahorade forma conveniente las tres ecuaciones anteriores, es decir,

d2

dx2X(x) + α2X(x) = 0, (1.64)

d2

dy2Y (y) + β2Y (y) = 0, (1.65)

d2

dz2Z(z)− γ2Z(z) = 0. (1.66)

7En la mayorıa de los casos, debido a la complejidad de las condiciones de frontera o del dominio sobre el cual se pre-tende resolver la ecuacion de Laplace, es necesario utilizar algoritmos numericos para poder obtener la solucion deseada(el paradigma de estos algoritmos es el metodo de diferencias finitas). En otros casos menos abundantes la solucion dela ecuacion de Laplace admite una representacion analıtica. Hay que decir que aun en algunos casos analıticos la solu-cion buscada no se puede representar en terminos de funciones elementales, y por lo tanto se necesitan de aproximacionesnumericas para calcularla (esto ocurre, por ejemplo, cuando la solucion viene dada en terminos de una serie de funciones).



Dependiendo de los valores que tomen las constantes de integracion α, β y γ, determinados porlas condiciones de frontera para el potencial o sus primeras derivadas, pueden tener lugar variostipos de soluciones para el potencial (1.62). Veamos.

• Caso 1: α 6= 0, β 6= 0.

Las soluciones generales para X , Y y Z vienen dadas por las expresiones

X(x) = a1eiαx + a2e

−iαx,

Y (y) = b1eiβy + b2e

−iβy

y

Z(z) = c1eγz + c2e

−γz,

respectivamente.

• Caso 2: α = 0, β = γ 6= 0 8.

En este caso la solucion para la funcion X es polinomica, es decir,

X(x) = a1x + a2.

Ademas,

Y (y) = b1eiβy + b2e

−iβy

y

Z(z) = c1eβz + c2e

−βz.

• Caso 3: α = β = γ = 0.

En este caso las tres funciones X , Y y Z son polinomios de primer grado en sus respectivasvariables, o sea,

X(x) = a1x + a2,

Y (y) = b1y + b2

y

Z(z) = c1z + c2.

En todos los casos anteriores las constantes a1, a2, b1, b2, c1 y c2 se determinan tambien a partirde las condiciones de frontera especıficas de cada problema concreto.

Ilustremos el procedimiento de solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas cartesianasa partir de un ejemplo sencillo. Consideremos un cubo de lado a con dos caras opuestas conec-tadas a un potencial V y el resto de sus caras conectadas a tierra (potencial cero), tal y como semuestra en la figura 1.6. Queremos encontrar el valor del potencial en el interior del cubo. Se pro-pone, como solucion de la ecuacion diferencial de Laplace, una funcion del tipo (1.62). De acuerdo

8Los casos α = γ 6= 0, β = 0 y α = β 6= 0, γ = 0 son equivalentes al caso 2.



Figura 1.6: Cubo de lado a. Dos caras opuestas estan conectadas a un potencial V , mientras queel resto de las caras permanecen conectadas a potencial cero.

con el metodo de separacion de variables, elijamos las constantes α, β y γ de manera que se satis-fagan las relaciones (1.63). Si tomamos el origen de coordenadas en uno de los vertices del cubo,las funciones X , Y y Z satisfacen las condiciones de frontera

X(0) = X(a) = 0,

Y (0) = Y (a) = 0

y

Z(0) = Z(a) = V,

respectivamente. La funcion X sera solucion de la ecuacion diferencial (1.64), y se propone como

X(x) = A1 sin(αx) + A2 cos(αx).

Pero X(0) = 0 ⇒ A2 = 0. Luego,

X(x) = A1 sin(αx).

Por otra parte X(a) = A1 sin(αa) = 0, de donde es evidente que α ≡ αn = nπa , siendo n un

numero natural (n = 0 conduce a la solucion trivial X = 0, la cual no posee sentido fısico).Existen entonces infinitas soluciones para X , que denotaremos como Xn. Ası,

Xn(x) = An sin(αnx). (1.67)

Analogamente

Ym(y) = Bm sin(βmy), (1.68)

donde βm = mπa .

Analicemos ahora la solucion Z de la ecuacion diferencial (1.66), la cual se propone como

Znm(z) = Cnm sinh(γnmz) + Dnm cosh(γnmz)

siendo γnm =√

α2n + β2

m = πa

√n2 + m2. De la condicion de frontera Znm(0) = V se desprende

automaticamente que Dnm = V para todos los valores posibles de los numeros n y m. Luego

Znm(z) = Cnm sinh(γnmz) + V cosh(γnmz).



Por otra parte, de la condicion Znm(a) = V se obtiene inmediatamente que

Cnm = V1− cosh(γnma)

sinh(γnma).

En consecuencia

Znm(z) = V

[1− cosh(γnma)

sinh(γnma)sinh(γnmz) + cosh(γnmz)

]. (1.69)

Una soluciom particular para la ecuacion de Laplace en el interior del cubo es

φnm(x, y, z) = V An sin(αnx)Bm sin(βmy)[1− cosh(γnma)


],

mientras que la solucion general puede ser escrita como

φ(x, y, z) =+∞∑n=1

+∞∑m=1

φnm(x, y, z)

= V

+∞∑n=1

+∞∑m=1

An sin(αnx)Bm sin(βmy)[1− cosh(γnma)

sinh(γnma)sinh(γnmz)

+ cosh(γnmz)] .

Debemos encontrar ahora los valores de las constantes An y Bm. Es evidente que la solucionanterior satisface las condiciones de frontera en las variables x y y. En la variable z tenemos que

φ(x, y, 0) = φ(x, y, a) = V

+∞∑n=1

+∞∑m=1

An sin(αnx)Bm sin(βmy)

= V

[+∞∑n=1

An sin(αnx)

] [+∞∑m=1

Bm sin(βmy)

].

Las condiciones de frontera en la variable z son solamente satisfechas si An y Bm son las repre-sentaciones de Fourier de la funcion unidad en el intervalo (0, a). Si

1 =+∞∑n=1

An sin(αnx),

entonces

An =2a

∫ a

0

sin(αnx) dx =2

nπ[1− (−1)n] .

Analogamente

Bm =2

mπ[1− (−1)m] .

La solucion buscada para el potencial dentro de la caja cubica sera entonces

φ(x, y, z) = V

(2π

)2 +∞∑n=1

+∞∑m=1

[1− (−1)n] [1− (−1)m]nm

sin(αnx) sin(βmy)

×[1− cosh(γnma)


]. (1.70)



1.4.2. Solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas.

La ecuacion de Laplace en coordenadas cilındricas tiene la forma(

1r

∂

∂rr

∂

∂r+

1r2

∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2

)φ(r, ϕ, z) = 0, (1.71)

siendo r =√

x2 + y2, ϕ = arctan(

yx

), y φ una funcion periodica de perıodo 2π en la variable ϕ,

es decir, φ(r, ϕ, z) = φ(r, ϕ + 2π, z) para todos los valores permitidos de r y z.Se propone, como solucion de (1.71), una funcion del tipo

φ(r, ϕ, z) = R(r)Φ(ϕ)Z(z), (1.72)

donde Φ es, obviamente, una funcion 2π-periodica. Sustituyendo (1.72) en la ecuacion diferencialobtenemos

1rR(r)

d

drr

d

drR(r) +

1r2Φ(ϕ)

d2

dϕ2Φ(ϕ) +

1Z(z)

d2

dz2Z(z) = 0.

Aplicando ahora el metodo de separacion de variables podemos escribir

1Z(z)

d2

dz2Z(z) = k2 (1.73)

y

1Φ(ϕ)

d2

dϕ2Φ(ϕ) = −ν2. (1.74)

Las soluciones de estas ecuaciones diferenciales son

Z(z) = c1ekz + c2e

−kz (1.75)

y

Φ(ϕ) = b1eiνϕ + b2e

−iνϕ, (1.76)

respectivamente. Notese que, en virtud de la periodicidad de la funcion Φ, el numero ν debe sernecesariamente un numero entero.

Para la parte radial R obtenemos

1r

d

drr

d

drR(r) +

(k2 − ν2

r2

)R(r) = 0.

Haciendo el cambio de variables u = kr hallamos

d2

du2R(u) +

1u

d

duR(u) +

(1− ν2

u2

)R(u) = 0.

Esta es la ecuacion diferencial de Bessel, cuyas soluciones linealmente independientes [3] son lasfunciones de Bessel Jν y de Neumann Nν . La solucion general de la ecuacion para la parte radialtiene la forma

R(r) = a1Jν(kr) + a2Nν(kr). (1.77)



Hay que destacar que las funciones Jν permanecen acotadas para valores del argumento encualquier punto de la recta real, mientras que las funciones Nν divergen en un entorno del origen.

Son de gran utilidad las siguientes propiedades [3]:∫ a

0

rJν

(λnν

ar

)Jν

(λn′ν

ar

)dr =

a2

2J2

ν+1(λnν)δnn′ (1.78)

(siendo λnν el conjunto numerable de los ceros de la funcion de Bessel Jν , es decir Jν(λnν) = 0),

1rδ(r − r ′) =

2a2

+∞∑n=0

Jν

(λnν

a r)Jν

(λnν

a r ′)

J2ν+1(λnν)

, (1.79)

y

∫ +∞

0

rJν(kr)Jν(k ′r)dr =1k

δ(k − k ′). (1.80)

Analicemos ahora, mediante un ejemplo, como se aplica el metodo de solucion de la ecuacionde Laplace en coordenadas cilındricas. Evaluemos el potencial electrostatico en el interior de uncilindro de altura L y radio a sabiendo que el potencial electrostatico es nulo en la base y la caralateral del cilindro, y es una funcion conocida en la cara superior del mismo (ver figura 1.7).

Figura 1.7: Cilindro de altura L y radio a. El potencial electrostatico es nulo en la base y la caralateral del cilindro, mientras que en su cara superior es una funcion conocida.

La solucion de la ecuacion de Laplace en este caso tiene la forma

φ(r, ϕ, z) = [a1Jν(kr) + a2Nν(kr)][b1e

iνϕ + b2e−iνϕ

] [c1e

kz + c2e−kz

].

El potencial φ satisface las condiciones de frontera

φ(r, ϕ, 0) = 0, (1.81)

φ(a, ϕ, z) = 0, (1.82)



y

φ(r, ϕ, L) = V (r, ϕ). (1.83)

De la condicion (1.81) es evidente que c2 = −c1. Por otra parte, el potencial debe ser una funcionacotada dentro del cilindro y, en consecuencia, a2 = 0. Ademas, de la condicion (1.82) se obtieneque Jν(ka) = 0, en virtud de lo cual el producto ka debe ser un cero arbitrario de Jν , es decir,

knν =λnν

a. (1.84)

Ası, una solucion particular de la ecuacion de Laplace es

φnν(r, ϕ, z) = Jν

(λnν

ar

)sinh

(λnν

az

) [b1e

iνϕ + b2e−iνϕ

].

La solucion mas general se obtendra de sumar φnν sobre todos los valores posibles de n (n =1, 2, 3, ...) y ν (ν = 0, 1, 2, ...). Luego,

φ(r, ϕ, z) =+∞∑n=1

+∞∑ν=0

Jν

(λnν

ar

)sinh

(λnν

az

) [b1e

iνϕ + b2e−iνϕ

]. (1.85)

Teniendo en cuenta que (1.85) debe satisfacer la condicion de frontera (1.83) obtenemos la relacion

V (r, ϕ) =+∞∑n=1

+∞∑ν=0

Jν

(λnν

ar

)sinh

(λnν

aL

) [b1e

iνϕ + b2e−iνϕ

]. (1.86)

Premultiplicando (1.86) por rJν′(

λn′ν′a r

)e−iν′ϕ e integrando el resultado por r y ϕ sobre sus

respectivos dominios hallamos que∫ a

0

∫ 2π

0

rJν′

(λn′ν′

ar

)e−iν′ϕ V (r, ϕ)dϕdr

= 2π

+∞∑n=1

+∞∑ν=0

sinh(

λnν

aL

) ∫ a

0

rJν′

(λn′ν′

ar

)Jν

(λnν

ar

)dr [b1δν,ν′ + b2δν,−ν′ ] .

Obviamente el termino proporcional a b2 en la expresion anterior es nulo, y por lo tanto∫ a

0

∫ 2π

0

rJν′

(λn′ν′

ar

)e−iν′ϕ V (r, ϕ)dϕdr

= 2πb1

+∞∑n=1

sinh(

λnν′

aL

) ∫ a

0

rJν′

(λn′ν′

ar

)Jν′

(λnν′

ar

)dr

= b1πa2 sinh(

λn′ν′

aL

)J2

ν′+1(λn′ν′), (1.87)

donde hemos hecho uso de la propiedad (1.78).De esta manera obtenemos finalmente que

b1 ≡ b(nν)1 =

1πa2 sinh

(λnν

a L)J2

ν+1(λnν)

∫ a

0

∫ 2π

0

r′Jν

(λnν

ar′

)e−iνϕ′ V (r′, ϕ′)dϕ′dr′. (1.88)



Analogamente, pero premultiplicando por rJν′(

λn′ν′a r

)eiν′ϕ en (1.86) y siguiendo el procedi-

miento anterior, es posible ver que

b2 ≡ b(nν)2 =

1πa2 sinh

(λnν

a L)J2

ν+1(λnν)

∫ a

0

∫ 2π

0

r′Jν

(λnν

ar′

)eiνϕ′ V (r′, ϕ′)dϕ′dr′. (1.89)

Sustituyendo (1.88) y (1.89) en (1.85) encontramos que la solucion deseada puede ser escritacomo

φ(r, ϕ, z) =2

πa2

+∞∑

n=1

+∞∑

ν=0

Jν

(λnν

ar)

sinh(

λnνa

z)

J2ν+1(λnν) sinh

(λnν

aL

)∫ a

0

∫ 2π

0r′Jν

(λnν

ar′

)cos[ν(ϕ−ϕ′)]V (r′, ϕ′)dϕ′dr′. (1.90)

Retornemos a la ecuacion diferencial de Laplace (1.71) escrita en coordenadas cilındricas.Tomando

1Z(z)

d2

dz2Z(z) = −k2, (1.91)

en lugar de (1.73) obtenemos la siguiente ecuacion para la parte radial:

1r

d

drr

d

drR(r)−

(k2 +

ν2

r2

)R(r) = 0.

Esta es la llamada ecuacion modificada de Bessel, y sus dos soluciones linealmente independien-tes se conocen con el nombre de funciones modificadas de Bessel Iν y Kν , o funciones de Infeld yMcDonald, respectivamente. Para todo valor natural de ν (incluyendo el caso ν = 0) las funcionesde Infeld son finitas en una vecindad del origen y divergentes en el infinito, mientras que, por elcontrario, las funciones de McDonald divergen en un entorno del origen y tienden monotona-mente a cero en el infinito. Las funciones modificadas de Bessel se relacionan con las funcionesde Bessel y Neumann mediante las expresiones

Iν(x) = i−νJν(ix) (1.92)

y

Kν(x) =π

2iν+1 [Jν(ix) + iNν(ix)] . (1.93)

La solucion general de la ecuacion de Laplace en este caso puede proponerse como

φ(r, ϕ, z) = [a1Iν(kr) + a2Kν(kr)][b1e

iνϕ + b2e−iνϕ

] [c1e

ikz + c2e−ikz

].

Evaluemos el potencial electroctatico φ dentro de un cilindro de radio a y altura L imponien-do las condiciones de frontera mostradas en la figura 1.8, es decir, suponiendo que φ(r, ϕ, 0) =φ(r, ϕ, L) = 0 para (r, ϕ) ∈ (0, a)× (0, 2π) y que φ(a, ϕ, z) = V (ϕ, z) para (ϕ, z) ∈ (0, 2π)× (0, L).

Puesto que estamos buscando la solucion del problema electrostatico en el interior del cilindroy debido al comportamiento de las funciones modificadas de Bessel, la solucion buscada de laecuacion diferencial puede ser escrita como

φ(r, ϕ, z) = Iν(kr)[b1e

iνϕ + b2e−iνϕ

] [c1e

ikz + c2e−ikz

]. (1.94)

De la condicion φ(r, ϕ, 0) = 0 es evidente, de acuerdo con la ecuacion anterior, que c2 = −c1.Luego

φ(r, ϕ, z) = Iν(kr)[b1e

iνϕ + b2e−iνϕ

]sin(kz).



Figura 1.8: Cilindro de altura L y radio a. El potencial electrostatico es nulo en las caras planas delcilindro, mientras que en su cara lateral es una funcion conocida.

De la condicion φ(r, ϕ, L) = 0 puede verse que k ≡ kn = nπL . En consecuencia, una solucion

particular de la ecuacion de Laplace para el caso que estamos considerando es

φnν(r, ϕ, z) = Iν

(nπ

Lr) [

b1eiνϕ + b2e

−iνϕ]sin

(nπ

Lz)

. (1.95)

La solucion general de la ecuacion de Laplace se obtiene mediante la suma directa de φnν sobretodos los valores posibles de n y ν:

φ(r, ϕ, z) =+∞∑n=1

+∞∑ν=0

φnν(r, ϕ, z) =+∞∑n=1

+∞∑ν=0

Iν

(nπ

Lr) [

b1eiνϕ + b2e

−iνϕ]sin

(nπ

Lz)

. (1.96)

La solucion general encontrada debe satisfacer la condicion de frontera que hemos impuesto enla cara lateral del cilindro, es decir,

φ(a, ϕ, z) = V (ϕ, z) =+∞∑n=1

+∞∑ν=0

Iν

(nπ

La) [

b1eiνϕ + b2e

−iνϕ]sin

(nπ

Lz)

.

Premultiplicando por e−iν′ϕ sin(

n′πL z

)e integrando por las variables ϕ y z en las regiones (0, 2π)

y (0, L), respectivamente, hallamos que

b1 ≡ b(nν)1 =

1πLIν

(nπL a

)∫ L

0

dz

∫ 2π

0

dϕ V (ϕ, z)e−iνϕ sin(nπ

Lz)

. (1.97)

Analogamente, premultiplicando por eiν′ϕ sin(

n′πL z

)e integrando por ϕ y z puede verse que

b2 ≡ b(nν)2 =

1πLIν

(nπL a

)∫ L

0

dz

∫ 2π

0

dϕ V (ϕ, z)eiνϕ sin(nπ

Lz)

. (1.98)

Sustituyendo (1.97) y (1.98) en (1.96) encontramos finalmente que

φ(r, ϕ, z) =2

πL

+∞∑n=1

+∞∑ν=0

Iν

(nπL

r)

Iν

(nπL

a) sin

(nπ

Lz) ∫ L

0

dz′∫ 2π

0

dϕ′V (ϕ′, z′) sin(nπ

Lz′

)cos

[ν

(ϕ− ϕ′

)]. (1.99)

Las demostraciones de las expresiones (1.97), (1.98) y (1.99) se les reservan al lector.



1.4.3. Solucion de la ecuacion de Laplace en coordenadas esfericas.

En coordenadas esfericas la ecuacion de Laplace tiene la forma[

1r2

∂

∂rr2 ∂

∂r+

1r2 sin(θ)

∂

∂θsin(θ)

∂

∂θ+

1r2 sin2(θ)

∂2

∂ϕ2

]φ(r, θ, ϕ) = 0, (1.100)

o, alternativamente,

1r

∂2

∂r2rφ(r, θ, ϕ) +

1r2 sin(θ)

∂

∂θsin(θ)

∂

∂θφ(r, θ, ϕ) +

1r2 sin2(θ)

∂2

∂ϕ2φ(r, θ, ϕ) = 0. (1.101)

Se propone, como solucion de (1.101), una funcion del tipo

φ(r, θ, ϕ) =U(r)

rY (θ, ϕ), (1.102)

siendo Y una funcion 2π-periodica en la variable ϕ.Sustituyendo (1.102) en (1.101) y multiplicando el resultado por r3

UY obtenemos

r2

U(r)d2

dr2U(r) +

1Y (θ, ϕ)

[1

sin(θ)∂

∂θsin(θ)

∂

∂θ+

1sin2(θ)

∂2

∂ϕ2

]Y (θ, ϕ) = 0. (1.103)

Separando variables en la ecuacion anterior podemos tomar

1Y (θ, ϕ)

[1

sin(θ)∂

∂θsin(θ)

∂

∂θ+

1sin2(θ)

∂2

∂ϕ2

]Y (θ, ϕ) = α. (1.104)

Es conocido que las soluciones, 2π-periodicas en ϕ, del problema definido por la ecuacion (1.104)son los armonicos esfericos

Ylm(θ, ϕ) =

√2l + 1

4π

(l −m)!(l + m)!

eimϕ Pml [cos(θ)] (1.105)

con autovalores α = −l(l+1), siendo l un numero entero no negativo, m = −l, −l+1, ..., 0, ..., l−1, l y Pm

l los polinomios asociados de Legendre [3]. Los armonicos esfericos satisfacen, entre otras,las siguientes propiedades:

∫ π

0

dθ

∫ 2π

0

dϕYlm(θ, ϕ)Y ∗l′m′(θ, ϕ) sin(θ) = δll′δmm′ . (1.106)

+∞∑

l=0

l∑

m=−l

Ylm(θ, ϕ)Y ∗lm(θ′, ϕ′) = δ(ϕ− ϕ′)δ[cos(θ)− cos(θ′)]. (1.107)

Yl,−m(θ, ϕ) = (−1)mY ∗lm(θ, ϕ). (1.108)

El conjunto de los armonicos esfericos es un conjunto completo. Por lo tanto, cualquier funcionarbitraria f = f(θ, ϕ), lo suficientemente “buena” desde el punto de vista matematico, puede serexpandida en serie de estos armonicos, es decir,

f(θ, ϕ) =+∞∑

l=0

l∑

m=−l

AlmYlm(θ, ϕ),



donde

Alm =∫ π

0

dθ

∫ 2π

0

dϕ f(θ, ϕ)Y ∗lm(θ, ϕ) sin(θ),

o bien

Alm =∫

f(θ, ϕ)Y ∗lm(θ, ϕ)dΩ,

siendo dΩ = sin(θ)dθdϕ el diferencial de angulo solido.En virtud de (1.103) y (1.104) puede verse que la parte radial de la solucion buscada satisface

la ecuacion diferencial de Euler con coeficientes variablesr2

U(r)d2

dr2U(r) = l(l + 1), (1.109)

cuya solucion es

U(r) ≡ Ulm(r) = Almrl+1 + Blmr−l. (1.110)

De acuerdo con lo anterior, la solucion general para el potencial electrostatico en coordenadasesfericas es

φ(r, θ, ϕ) =+∞∑

l=0

l∑

m=−l

[Almrl +

Blm

rl+1

]Ylm(θ, ϕ). (1.111)

Las constantes Alm y Blm son calculables a partir de las condiciones de frontera especıficas decada problema particular.

Para ilustrar el metodo de separacion de variables en el caso de simetrıa esferica, encontremosel potencial dentro de un cascaron esferico de radio a, sabiendo que el potencial en la superficiede la esfera es una funcion conocida, es decir, φ(a, θ, ϕ) = V (θ, ϕ).

Puesto que el potencial tiene que ser finito dentro de la esfera, las constantes Blm deben seridenticamente nulas para todos los valores posibles de l y m. Por lo tanto

φ(r, θ, ϕ) =+∞∑

l=0

l∑

m=−l

Almrl Ylm(θ, ϕ).

Pero

φ(a, θ, ϕ) = V (θ, ϕ) =+∞∑

l=0

l∑

m=−l

Almal Ylm(θ, ϕ).

Luego, premultiplicando en la expresion anterior por Y ∗l′m′(θ, ϕ), integrando por las variables

angulares y teniendo en cuenta las relaciones de ortogonalidad de los armonicos esfericos encon-tramos que

Alm =1al

∫V (θ, ϕ)Y ∗

lm(θ, ϕ) dΩ,

de donde

φ(r, θ, ϕ) =+∞∑

l=0

l∑

m=−l

( r

a

)l

Ylm(θ, ϕ)∫

V (θ′, ϕ′)Y ∗lm(θ′, ϕ′) dΩ′. (1.112)

Esta es la expresion buscada para el potencial en el interior del cascaron. El lector puede verificarsin dificultades que cuando la funcion V (θ, ϕ) es una constante igual a φ0, entonces el potencialen la region interior al cascaron esferico es tambien una constante igual a φ0 (¡demuestrelo!).



1.5. Desarrollo en multipolos del campo electrostatico.

En la mayorıa de los casos que se presentan en Fısica resulta difıcil encontrar representacionesanalıticas exactas para la solucion del problema electrostatico. Son necesarios entonces metodosaproximados para resolver el problema electrostatico fundamental, entre los cuales se destacael llamado desarrollo en multipolos del campo electrostatico. En esta seccion efectuaremos unestudio detallado de dicho procedimiento.

Redefinamos las variables x, y y z como x1, x2 y x3, respectivamente, y efectuemos un desa-rrollo en serie de Taylor de la expresion

|~r−~r ′|−1 =

[3∑

i=1

(xi − x ′i )2

]−1/2

(1.113)

en una vecindad de ~r ′ = 0. Por simplicidad vamos a trabajar solo hasta el segundo orden deldesarrollo. Ası,

1|~r−~r ′| '

1r

+∑

i

∂

∂x ′i

[1

|~r−~r ′|

]

~r ′=0

x ′i +

12

∑

i,j

∂2

∂x ′i ∂x ′

j

[1

|~r−~r ′|

]

~r ′=0

x ′i x ′

j . (1.114)

Es posible demostrar, mediante el calculo directo, que

∂

∂x ′i

1|~r−~r ′| =

xi − x ′i

|~r−~r ′|3y que

∂2

∂x ′i ∂x ′

j

1|~r−~r ′| =

3(xi − x ′i )(xj − x ′

j )

|~r−~r ′|5 − δij

|~r−~r ′|3 .

Evaluando las expresiones anteriores en ~r ′ = 0 y sustituyendo el resultado en (1.114) hallamosque

1|~r−~r ′| '

1r

+∑

i

xix′i

r3+

12

∑

i,j

[3xixj

r5− δij

r3

]x ′

i x ′j .

Notese que

∑

i,j

[3xixj

r5− δij

r3

]δij =

∑

i

[3x2

i

r5− δii

r3

]=

3r3− 3

r3= 0.

Entonces

12

∑

i,j

[3xixj

r5− δij

r3

]x ′

i x ′j =

16

∑

i,j

[3xixj

r5− δij

r3

] (3x ′

i x ′j − r′2δij

).

Por lo tanto,

1|~r−~r ′| '

1r

+∑

i

xix′i

r3+

16

∑

i,j

[3xixj

r5− δij

r3

] (3x ′


). (1.115)



Sustituyendo (1.115) en (1.12) obtenemos finalmente que

φ(~r) ' Q

4πε0r+

~p ·~r4πε0r3

+1

24πε0

∑

i,j

Dij

[3xixj

r5− δij

r3

], (1.116)

siendo

Q =∫

R3ρ(~r ′)dV ′, (1.117)

~p =∫

R3~r ′ρ(~r ′)dV ′, (1.118)

y

Dij =∫

R3

(3x ′


)ρ(~r ′)dV ′. (1.119)

1.5.1. Momenta de multipolos y algunas de sus propiedades.

Las magnitudes Q, ~p y (Dij), dadas por las expresiones (1.117), (1.118) y (1.119), reciben elnombre de momentum de monopolo electrico, momentum de dipolo electrico y momentum decuadrupolo electrico, respectivamente 9. El momentum de monopolo electrico coincide con lacarga neta debido a la distribucion de carga ρ. El momentum de dipolo electrico es un vector,mientras que el momentum de cuadrupolo electrico es un tensor de segundo rango en el espaciotridimensional cuya representacion matricial es precisamente (Dij). Los momenta de multipolosdependen unicamente de la forma de la densidad de carga ρ y de su dominio de definicion.Recordemos que el valor de la densidad de carga es independiente de la eleccion del origen decoordenadas (ver la Fig. 1.1 y los comentarios realizados al final de la seccion 1.1.2), y examinemosalgunas de las propiedades fundamentales de los momenta de multipolos.

Propiedad 1. Si Q 6= 0, existe un punto de R3 llamado centro de carga, cuyo vector de posi-cion con respecto al origen de coordenadas viene dado por ~rQ = 1

Q

∫~r ρ(~r)dV . Si el origen de

coordenadas se desplaza hacia el centro de carga, entonces ~p = 0 con respecto al nuevo origen decoordenadas.

Tomemos el punto A de la Fig. 1.1 en calidad de centro de carga, y ~rA en calidad de ~rQ. Elmomentum de dipolo electrico medido desde el centro de carga es

~p =∫

~r ′′ρ(~r ′′)dV ′′ =∫

(~r ′−~rQ) ρ(~r ′−~rQ)dV ′ =∫

~r ′ρ(~r ′−~rQ)dV ′−~rQ

∫ρ(~r ′−~rQ)dV ′

=∫

~r ′ρ(~r ′)dV ′ −~rQ

∫ρ(~r ′)dV ′.

Teniendo en cuenta las definiciones de Q y de ~rQ sigue inmediatamente que ~p = 0.Propiedad 2. Si Q = 0 y ~p 6= 0, entonces el valor de ~p no depende de la eleccion del origen de

coordenadas.Si tomamos el origen de coordenadas en el punto A de la Fig. 1.1 entonces

~p =∫

~r ′′ρ(~r ′′)dV ′′.

9Las integrales en las expresiones (1.117), (1.118) y (1.119) fueron tomadas sobre todo el espacio R3. Dado el caso enque la distribucion de cargas este caracterizada por una densidad ρ definida sobre un volumen finito V ⊂ R3, entonceslas integrales en las definiciones para los momenta de multipolos pueden ser tomadas unicamente sobre V .



Si transferimos el origen de coordenadas al punto O, teniendo en cuenta la independencia de ladensidad de carga de la eleccion del origen de coordenadas tendremos que

~p =∫

~r ′′ρ(~r ′′)dV ′′ =∫

(~r ′ −~rA)ρ(~r ′ −~rA)dV ′ =∫

~r ′ρ(~r ′)dV ′ −~rAQ.

Pero Q = 0 por hipotesis. En consecuencia,

~p =∫

~r ′′ρ(~r ′′)dV ′′ =∫

~r ′ρ(~r ′)dV ′,

es decir, en este caso ~p no depende de la eleccion del origen de coordenadas.Propiedad 3. El tensor de componentes Dij es simetrico y su traza es nula.Atendiendo a la definicion de Dij ,

Dij =∫ (

3x ′i x ′

j − r′2δij

)ρ(~r ′)dV ′ =

∫ (3x ′

j x ′i − r′2δji

)ρ(~r ′)dV ′ = Dji.

Por otra parte,

Tr(Dij) =∑

i

Dii =∑

i

∫ (3x ′

i x ′i − r′2δii

)ρ(~r ′)dV ′ =

∫ ∑

i

(3x ′

i x ′i − r′2δii

)ρ(~r ′)dV ′,

de donde∑

i

Dii =∫

(3r′2 − 3r′2)dV ′ = 0.

1.5.2. Momenta de multipolos de una distribucion de cargas puntuales.

Examinemos ahora la estructura de los momenta de multipolos para una distribucion de car-gas puntuales. De acuerdo con la expresion (1.4), definida para la densidad de carga asociada aun sistema de N cargas puntuales qa (a=1, 2, 3..., N ) localizadas en las posiciones ~ra, respectiva-mente, y teniendo en cuenta las expresiones (1.117), (1.118) y (1.119), es posible ver mediante unasustitucion directa que

Q =∑

a

qa, (1.120)

~p =∑

a

qa~ra, (1.121)

y

Dij =∑

a

qa

(3xaixaj − r2

aδij

). (1.122)

1.6. Energıa del campo electrostatico.

Como ya hemos visto en la seccion 1.1.4, la energıa potencial de una carga de valor q en pre-sencia de un campo electrostatico viene dada por la expresion (1.16)

U(~r) = qφ(~r).



El significado fısico de la energıa potencial quedo claro en la seccion 1.1.4. Examinemos mas de-talladamente esta magnitud.

Consideremos primeramente el caso de una distribucion de cargas puntuales, es decir, unsistema de N partıculas de cargas qj en la posicion ~rj . La energıa potencial de la partıcula i en elcampo electrostatico generado por las N − 1 pertıculas restantes es

Ui = qiφ(~ri), (1.123)

siendo φ el potencial electrostatico debido a la presencia de las N − 1 cargas restantes, o sea,

φ(~r) =1

4πε0

N∑j = 1j 6= i

qj

|~r−~rj | . (1.124)

En consecuencia

Ui =qi

4πε0

N∑j = 1j 6= i

qj

|~ri −~rj | . (1.125)

La energıa total del sistema puede ser obtenida sumando todas las contribuciones Ui desdei = 1 hasta N , pero teniendo el cuidado de no repetir terminos en la suma. En consecuencia,

U =1

4πε0

N∑

i=1

∑

j<i

qiqj

|~ri −~rj | ,

o bien,

U =1

8πε0

N∑

i=1

N∑

j 6=i

qiqj

|~ri −~rj | , (1.126)

Esta es justamente la energıa almacenada en en campo electrostatico generado por la distribucionde las N cargas puntuales. Notese que los terminos i = j, llamados usualmente terminos au-toenergeticos o autoenergıas, han sido eliminados de la suma ya que son divergentes. El caracterinfinito de la suma (1.126) cuando los terminos autoenergeticos son tomados en cuenta es una li-mitacion del modelo de partıcula puntual de la electrodinamica clasica. Algunos modelos clasicosque intentan dotar de dimensiones no nulas a las partıculas cargadas han sido considerados (verseccion 1.8), pero aun ası son insatisfactorios.

La expresion (1.126) puede ser facilmente generalizada al caso de una distribucion continuade carga caracterizada por la densidad de carga ρ = ρ(~r). En general, la energıa del campo elec-trostatico producido por la distribucion de carga de densidad ρ definida sobre R3 viene dada porla expresion

U =1

8πε0

∫

R3

∫

R3

ρ(~r)ρ(~r′)|~r−~r′| dVdV ′. (1.127)

Sabemos que [ver la definicion (1.12) para el potencial electrostatico]

φ(~r) =1

4πε0

∫

R3

ρ(~r′)|~r−~r′|dV

′.



Por lo tanto,

U =12

∫

R3ρ(~r)φ(~r) dV. (1.128)

Por otra parte, de acuerdo con la ecuacion de Poisson,

ρ(~r) = −ε0∇2φ(~r).

Luego

U = −ε02

∫

R3φ(~r)∇2φ(~r) dV.

Integrando por partes y calibrando el potencial electrostatico para que se anule en el infinito esposible ver que

U =ε02

∫

R3|∇φ(~r)|2 dV =

ε02

∫

R3E2(~r) dV, (1.129)

siendo E = |~E|. La magnitud

w(~r) =ε02

E2(~r) (1.130)

recibe el nombre de densidad de energıa del campo electrostatico. Obviamente

U =∫

R3w(~r) dV. (1.131)

1.7. Energıa de interaccion de un cuerpo cargado con un campoexterno.

Supongamos que tenemos una distribucion de cargas de densidad ρ definida en cierto con-junto volumetrico V ⊂ R3, y un campo electrico externo actuando sobre el cuerpo 10. Tomemosel origen de coordenadas en cualquier punto arbitrario dentro del conjunto V . La energıa de in-teraccion entre la distribucion de cargas considerada y el campo electrico externo a ella se definecomo

UI =∫

Vρ(~r)φext(~r) dV, (1.132)

siendo φext el potencial del campo externo. La diferencia entre esta expresion y la expresion (1.128)es obvia: el factor 1

2 no aparece en (1.132), y la densidad de carga ρ no es la fuente del campoexterno de potencial φext. La fuerza de interaccion entre la densidad de carga y el campo externopuede calcularse por la formula

~F = −∇UI , (1.133)

donde el gradiente esta tomado sobre las coordenadas de las partıculas generadoras de la densi-dad de carga ρ, de las cuales la energıa de interaccion depende parametricamente.

10Esto equivale a decir que la fuente del campo electrico externo no es la densidad de carga ρ que esta bajo analisis, yque la fuente del campo externo esta definida en una region que no se intercepta con el volumen V .



En determinadas circunstancias resulta util llevar a cabo un desarrollo en multipolos para laenergıa de interaccion (1.132). Veamos a continuacion como se efectua dicho desarrollo. Hagamosprimeramente un desarrollo de Taylor para el potencial del campo externo en un entorno de~r = 0:

φext(~r) ≈ φext(0) +∑

i

(∂φext

∂xi

)

~r=0

xi +12

∑

i,j

(∂2φext

∂xi∂xj

)

~r=0

xixj + ... .

Pero~Eext = (E1

ext, E2ext, E

3ext) = −∇φext.

Luego

φext(~r) ≈ φext(0)−∑

i

Eiext(0)xi − 1

2

∑

i,j

(∂Ej

ext

∂xi

)

~r=0

xixj + ... .

Notese que

∑

i,j

δij

(∂Ej

ext

∂xi

)

~r=0

=∑

i

(∂Ei

ext

∂xi

)

~r=0

= ∇ · ~Eext

∣∣∣~r=0

=ρext

ε0

∣∣∣∣~r=0

,

siendo ρext la densidad de carga que es la fuente del campo externo. Pero como la fuente delcampo externo es, valga la redundancia, externa al volumen V , entonces ρext|~r=0

= 0, en virtudde lo cual

∑

i,j

δij

(∂Ej

ext

∂xi

)

~r=0

= 0.

En consecuencia,

12

∑

i,j

(∂Ej

ext

∂xi

)

~r=0

xixj =16

∑

i,j

(∂Ej

ext

∂xi

)

~r=0

(3xixj − r2δij).

La expresion para el potencial electrostatico externo tiene la forma

φext(~r) ≈ φext(0)−∑

i

Eiext(0)xi − 1

6

∑

i,j

(∂Ej

ext

∂xi

)

~r=0

(3xixj − r2δij) + ... . (1.134)

Sustituyendo (1.134) en (1.132) hallamos inmediatamente que

UI ≈ φext(0)∫

Vρ(~r) dV −

∑

i

Eiext(0)

∫

Vρ(~r)xi dV

− 16

∑

i,j

(∂Ej

ext

∂xi

)

~r=0

∫

Vρ(~r)(3xixj − r2δij) dV + ...,

o bien, teniendo en cuenta las definiciones (1.117), (1.118) y (1.119) para los momenta de multipo-los,

UI ≈ Qφext(0)− ~p · ~Eext(0)− 16

∑

i,j

Dij

(∂Ej

ext

∂xi

)

~r=0

+ ... . (1.135)

La expresion (1.135) es justamente el desarrollo en multipolos de la energıa de interaccion entreun sistema de cargas de densidad ρ y un campo electrico externo. En la suma anterior solo hemospresentado los terminos correspondientes a las aproximaciones monopolar, dipolar y cuadrupolarelectrica.



1.7.1. Dipolo electrico en presencia de un campo electrostatico.

Supongamos que tenemos un dipolo electrico de carga neta nula y de momentum dipolar ~pinmerso en un campo electrostatico no uniforme ~E = ~E(~r). Notese que el momentum de dipoloelectrico es independiente de la eleccion del origen de coordenadas en este caso, y en consecuen-cia, es tambien independiente de la posicion. La energıa de interaccion dipolo-campo vendra dadapor la expresion

UI(~r) = −~p · ~E(~r), (1.136)

y sera una funcion de la posicion. Por otra parte, la fuerza de interaccion dipolo-campo podra cal-cularse mediante la relacion

~F = −∇UI(~r) = ∇[~p · ~E(~r)

]. (1.137)

Pero sabemos que

∇[~p · ~E(~r)

]= (~p · ∇) ~E(~r) +

[~E(~r) · ∇

]~p + ~E(~r)× (∇× ~p) + ~p×

[∇× ~E(~r)

]. (1.138)

Teniendo en cuenta que ~E es un campo conservativo [∇× ~E(~r) = 0] y que ~p es independiente dela posicion, entonces

∇[~p · ~E(~r)

]= (~p · ∇) ~E(~r),

y por lo tanto

~F = (~p · ∇) ~E(~r). (1.139)

La expresion (1.139) puede transformarse en otra expresion equivalente haciendo uso del con-cepto de derivada direccional definido por la expresion (1.22) a comienzos de este capıtulo. Noteseque si ~np es un vector unitario a lo largo de la direccion de ~p y p = |~p|, entonces la fuerza de in-teraccion dipolo-campo es igual al producto entre el modulo del momentum de dipolo electricoy la derivada direccional del campo electrico a lo largo del vector ~np, es decir,

~F = p∂

∂np

~E(~r). (1.140)

Introduzcamos ahora, haciendo uso del concepto de derivada direccional, la definicion gene-ralizada de momentum del campo vectorial ~A sobre el vector ~a de la siguiente manera:

~τa = a∂

∂na

(~r× ~A

)= (~a · ∇)

(~r× ~A

), (1.141)

siendo a = |~a| y ~na = ~aa . Transformemos un poco mas la expresion anterior utilizando la densidad

tensorial de Levi-Civita, pero antes veamos en que consiste este objeto matematico.La densidad tensorial de Levi-Civita fue introducida por el matematico italiano (nacido en

Padua) Tullio Levi-Civita [4], y se define de la siguiente manera:

εijk =

1 si [i, j, k] es una permutacion par de [1, 2, 3], con i 6= j 6= k.

−1 si [i, j, k] es una permutacion impar de [1, 2, 3], con i 6= j 6= k.

0 si al menos existen dos ındices repetidos.(1.142)



De la definicion anterior se hace evidente que

εijk = det |~ei,~ej ,~ek| = ~ei · (~ej × ~ek) , (1.143)

siendo~ei,~ej y~ek los vectores unitarios ortogonales del sistema de coordenadas cartesianas. Puededemostrarse que

εijkεlmn = det

∣∣∣∣∣∣

δil δim δin

δjl δjm δjn

δkl δkm δkn

∣∣∣∣∣∣, (1.144)

y de acuerdo con esto, tambien puede verse que

εijkεimn = δjmδkn − δjnδkm, (1.145)

εijkεijn = 2δkn, (1.146)

y

εijkεijk = 6. (1.147)

En las tres ultimas relaciones anteriores hemos usado el convenio de suma de Einstein, es decir, sesuma sobre todos los ındices doblemente repetidos en una misma expresion. Finalmente, dadosdos vectores ~a y ~b de componentes ai y bi, respectivamente, se tiene que

(~a× ~b

)i= εijkajbk. (1.148)

Retornemos ahora al vector ~τa. Utilizando el convenio de suma de Einstein, podemos escribircomponente i de ~τa como

τ ia = al

∂

∂xlεijkxjAk = alεijk

(∂xj

∂xl

)Ak + εijkxjal

∂

∂xlAk = alεijkδjlAk + εijkxjal

∂

∂xlAk,

de donde obtenemos finalmente que

τ ia = εijkajAk + εijkxjal

∂

∂xlAk,

o en forma vectorial,

~τa = ~a× ~A +~r× (~a · ∇) ~A. (1.149)

El vector ~τa puede ser interpretado como el torque producido por el campo vectorial ~A sobreel vector ~a. Por ejemplo, si ~a ≡ ~r y ~A ≡ ~f , siendo ~f una fuerza independiente de la posicion,entonces

~τ r = ~r×~f ,

que es justamente el torque producido por la fuerza ~f sobre el punto de radiovector ~r.El torque producido por el campo electrostatico de intensidad ~E = ~E(~r) sobre el dipolo electri-

co de momentum dipolar ~p sera entonces

~τp = ~p× ~E(~r) +~r× (~p · ∇) ~E(~r), (1.150)



o, teniendo en cuenta la expresion (1.139),

~τp = ~p× ~E(~r) +~r× ~F. (1.151)

En particular, si el campo electrostatico externo es homogeneo, entonces

~τp = ~p× ~E. (1.152)

La definicion generalizada de torque puede inferirse para el caso del dipolo electrico. Su-pongamos que tenemos dos cargas puntuales q y −q unidas por el vector ~d, que va desde lacarga negativa hasta la carga positiva. El momentum dipolar de este sistema de cargas simplessera ~p = q~d. En presencia de un campo electrostatico no homogeneo, la fuerza de interaccionentre el sistema de cargas y el campo externo es

~F = q ~E(~r)− q ~E(~r− ~d).

Notese que esta fuerza no incluye la fuerza producto de la interaccion de Coulomb entre las doscargas, pues esta es una fuerza interna del sistema. En el lımite |~d| = d → 0 es evidente que

~F = qd∂

∂nd

~E(~r) = p∂

∂np

~E(~r),

donde p = |~p| = qd. La derivada direccional puede ser indistintamente tomada en la direccionde ~d o en la direccion de ~p, ya que estos dos vectores poseen el mismo sentido y direccion. Es-ta es la expresion (1.140) para la fuerza de interaccion dipolo-campo. Analogamente, el torqueexperimentado por el dipolo electrico sera

~τ = q~r× ~E(~r)− q (~r− ~d)× ~E(~r− ~d),

En el lımite d → 0 se tiene que

~τ = qd∂

∂nd

[~r× ~E(~r)

]= p

∂

∂np

[~r× ~E(~r)

]= ~p× ~E(~r) +~r× (~p · ∇) ~E(~r).

Esta es la expresion (1.150) para el torque experimentado por el dipolo electrico en presencia deun campo electrostatico no homogeneo.

1.8. Radio clasico del electron.

Ya hemos visto que el modelo de carga puntual conduce a la divergencia de la energıa delcampo electrostatico, a menos que los terminos autoenergeticos sean intensionalmente descarta-dos. Con vistas a corregir esta singularidad en la electrodinamica clasica, entre otras cuestiones 11,fueron desarrollados varios modelos destinados a dotar al electron de dimensiones espaciales nonulas. En este sentido se destacan los trabajos desarrollados por Abraham [5], Lorentz [6] y vonLaue [7].

11Una cuestion que atrajo la atencion de la comunidad cientıfica durante mucho tiempo fue el problema de encontrarla forma del campo de radiacion de un electron acelerado. El modelo de partıcula puntual resulto insuficiente, por loque fue necesario emprender la busqueda de modelos clasicos del electron no puntual que explicaran las observacionesexperimentales sobre las propiedades del campo de radiacion de partıculas cargadas aceleradas. Hay que decir que ningunmodelo clasico logro explicar satisfactoriamente la acumulacion de datos experimentales existentes sobre este topico.



Un modelo sencillo asume que el electron es una bola de radio r0 y carga −e, con la cargauniformemente distribuıda sobre toda la bola. La densidad de carga tiene la forma

ρ(~r) =

− 3e

4πr30

si r ≤ r0

0 si r > r0

. (1.153)

Aplicando la ley de Gauss para obtener el vector intensidad del campo electrico en todo el espacioes posible demostrar que

~E(~r) = E(r)~er, (1.154)

siendo

E(r) =

− er

4πε0r30

si r ≤ r0

− e4πε0r2 si r > r0

. (1.155)

La densidad de energıa del campo electrostatico sera

w(~r) =12ε0|~E(~r)|2 =

e2

32π2ε0r2

r60

si r ≤ r0

e2

32π2ε01r4 si r > r0

, (1.156)

y la energıa total del campo electrostatico almacenada en todo el espacio sera

U =∫

R3w(~r) dV =

3e2

20πε0r0. (1.157)

Notese que si r0 −→ 0 entonces U −→ +∞, que es el resultado conocido para la carga puntual.Para estimar el valor del radio del electron r0 podemos asumir que la energıa almacenada en elcampo electrostatico producido por el electron es justamente su energıa de reposo m0c

2, siendom0 la masa propia del electron. Haciendo U = m0c

2 obtenemos facilmente que

r0 =3e2

20πε0m0c2. (1.158)

Notese que r0 ≈ 1,7 × 10−5 A. El valor de r0 dado por la ecuacion (1.158) recibe el nombre deradio clasico del electron.

Cualquiera que sea el modelo clasico del electron que se proponga, los valores del radio elec-tronico obtenidos se encontraran en la escala subnanometrica. Dichos modelos no pueden, enconsecuencia, ser tomados como aceptables, pues en regiones espaciales de estas dimensiones lafısica clasica es en general no aplicable. Mas aun, el modelo clasico del electron no puntual poseeobjeciones serias. La mas notable de ellas esta relacionada con la inestabilidad de un sistema decargas electricas. Para confinar las cargas electricas en dimensiones tan reducidas se precisa delconcurso de fuerzas descomunales que garanticen que el sistema de cargas no “explote”. Uno delos primeros cientıficos en percatarse de esta cuestion fue H. Poincare, quien en un celebre tra-bajo de 1906 [8] introdujo las llamadas tensiones de Poincare. Las tensiones de Poincare no sonmas que fuerzas del tipo no electricas postuladas en la teorıa para darle estabilidad al modelo delelectron de dimensiones finitas no nulas. El origen de las tensiones de Poincare es desconocido,pues la teorıa clasica no es capaz de responder a las cuestiones relacionadas con la naturaleza deestas fuerzas. Hoy dıa se han desechado la mayorıa de las tentativas destinadas a entender laspropiedades del electron desde el punto de vista de la teorıa clasica del campo electromagnetico.La comunidad cientıfica esta casi absolutamente de acuerdo en que el electron debe ser com-prendido, como sistema fısico fundamental, desde el punto de vista que solo la electrodinamicacuantica esta en condiciones de ofrecer.



1.9. Problemas propuestos1. Del octante x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0 de la bola x2 + y2 + z2 ≤ c2 se ha substraıdo el cuerpo limitado por los planos

coordenados y por el plano xa

+ yb

+ zc

= 1 (a > 0, b > 0, c > 0, a ≤ c, b ≤ c). Halle la carga del cuerpo si ladensidad de carga es ρ(~r) = λ0z.

2. Determine el potencial del campo electrostatico ~E(~r) = ay~i+(ax+bz)~j+by~k, siendo a y b constantes. Calcule el tra-

bajo realizado por el campo al llevar la carga q desde el origen de coordenadas hasta el punto(

E0a

, E0√a2+b2

, E0b

),

siendo E0 otra constante.

3. Calcule la funcion de Green para el interior de un sector circular plano de radio R con condiciones de frontera deDirichlet en la frontera.

4. Calcule la funcion de Green para el interior de una bola de radio R con la condicion de frontera de Dirichlet. Repitael calculo utilizando la condicion de frontera de Neumann.

5. Sea el rectangulo seminfinito R = (0, L) × (0, +∞) y (x, y) ∈ R. Supongamos que el potencial electrostaticoes conocido en la frontera de este rectangulo: en particular φ(0, y) = φ(L, y) = 0 ∀y ∈ (0, +∞) y φ(x, 0) =V sin

(4πL

x) ∀x ∈ (0, L). Calcule el potencial electrostatico en el interior de R.

6. Sea una superficie cilındrica de radio R y altura 2a+b cerrada en ambos extremos por dos tapas circulares de radioR conectadas a potencial cero. Supongamos ademas que el potencial electrostatico sobre la superficie lateral vienedado por la expresion

V (ϕ, z) = V

0 si 0 < z < a ∀ϕ ∈ (0, 2π)

1 si a < z < a + b ∀ϕ ∈ (0, 2π)

0 si a + b < z < a + 2b ∀ϕ ∈ (0, 2π)

.

Calcule el potencial electrostatico en el conjunto que tiene como frontera exterior a la superficie dada.

7. El potencial electrostatico sobre un cascaron esferico de radio R viene dado por la expresion

V (θ, ϕ) = V

1 si 0 < θ < π/2 ∀ϕ ∈ (0, 2π)

0 si π/2 < θ < π ∀ϕ ∈ (0, 2π).

Encuentre el potencial electrostatico en el interior del cascaron.

8. Demuestre que el vector intensidad del campo electrico correspondiente a un dipolo electrico de momentum dipo-lar ~p viene dado por la expresion

~E =1

4πε0

[3

~p ·~rr5

~r− ~p

r3

].

9. Demuestre que el vector intensidad del campo electrico correspondiente a un cuadrupolo electrico de momentumcuadrupolar con componentes Dij posee componentes dadas por la expresion

Ek =1

24πε0Dij

[15

r7xixjxk −

3

r5

(xiδjk + xkδij + xjδki

)].

10. Demuestre que un dipolo electrico puntual de momentum dipolar ~p responde a una densidad de carga ρ = −(~p ·∇)δ(~r−~r0), siendo ~r0 el vector de posicion del dipolo.

11. Sean las cargas puntuales q1 = −e situada en el punto de coordenadas (0, a, 0), q2 = e localizada en (a, 0, 0),q3 = −e ubicada en el punto (0,−a, 0) y q4 = e localizada en (−a, 0, 0). Demuestre que el momentum cuadrupolarelectrico asociado a esta distribucion de cargas viene dado por la expresion

(Dij) = 6ea2

1 0 00 −1 00 0 0

.

12. Un atomo de Hidrogeno en su estado basico tiene la densidad de carga electronica

ρ(~r) = − e

πa30

exp

[− 2r

a0

],

siendo e el valor absoluto de la carga del electron y a0 el radio de Bohr. El nucleo se supone puntual y esta locali-zado en el origen. Verifique que

∫

R3ρ(~r) dV = −e.

Halle el potencial escalar y el vector intensidad del campo electrico en todo el espacio. Calcule la energıa de inte-raccion electron-nucleo.



13. En cierto estado excitado del atomo de Hidrogeno, la nube electronica tiene la densidad de carga, escrita en coor-denadas esfericas,

ρ(~r) = − e

4π38a70

r4 exp

[− 2r

3a0

]sin4(θ).

Demuestre que el momentum dipolar electrico del atomo de Hidrogeno asociado a este estado excitado es cero.Demuestre ademas que el momentum cuadrupolar electrico en dicho estado tiene la forma

(Dij) = 36ea20

−1 0 00 −1 00 0 2

.

14. En el problema anterior, calcule la energıa de interaccion entre el nucleo positivo y la nube electronica del atomoen el estado dado, utilizando tanto la definicion (1.132) como el desarrollo en multipolos (1.135).


CAPITULO 2

Magnetostatica del vacıo

2.1. Principios basicos de la Magnetostatica.

2.1.1. Ley de fuerzas de Ampere y ley de Biot-Savart.

Varios cientıficos contribuyeron de forma decisiva al desarrollo de la teorıa de los fenomenosmagneticos. Un pionero destacado fue Hans Christian Ørsted, quien en el verano de 1820 dio aconocer, en una carta que circulo por Europa, la evidencia experimental sobre la accion de una co-rriente electrica sobre una aguja imantada [9]. La noticia tuvo gran repercusion en Francia, dondeA. M. Ampere se desempenaba como profesor de Matematicas en la Escuela Politecnica de Paris.Enterado del descubrimiento de Ørsted y con escasos conocimientos previos sobre Fısica Experi-mental, Ampere se propuso la tarea de elaborar una teorıa matematica que permitiese explicar lainteraccion entre corrientes electricas y campos magneticos. Tres meses despues llego a resultados[10], y en 1827 publico un completo trabajo sobre el tema [11].

Fue precisamente Ampere quien por primera vez utilizara el vocablo corriente para designar elmovimiento ordenado de cargas por un conductor metalico. Si tenemos un conductor con secciontransversal S 1, la corriente I que circula por el conductor es igual, por definicion, a la cantidadde carga Q que por unidad de tiempo atraviesa la superficie S , es decir,

I =dQ

dt. (2.1)

Resulta de gran utilidad definir el vector densidad de corriente ~J tal que

I =∫∫

S~J · ~n dS, (2.2)

o sea, la corriente I es el flujo del vector densidad de corriente ~J a traves de la superficie abiertaS . En el Sistema Internacional de Unidades la unidad utilizada para medir la corriente electricaes el Ampere (A), en honor al celebre fısico-matematico frances. Para un sistema de N partıculaspuntuales el vector densidad de corriente se define como

~J =N∑

i=1

qi~viδ (~r−~ri) , (2.3)

siendo qi, ~vi y ~ri la carga, la velocidad y el vector de posicion, respectivamente, de la i-esimapartıcula cargada del sistema. Para una carga simple de valor q, velocidad ~v y vector de posicion~r0 se tendra entonces que

~J = q~vδ (~r−~r0) = ρ~v, (2.4)1Notese que la superficie S es abierta.

40

Capıtulo 2. Magnetostatica del vacıo 41

donde ρ es la densidad de carga asociada a dicha partıcula.La ley fısica que describe la interaccion entre dos corrientes se conoce como ley de fuerzas de

Ampere o primera ley de Ampere. En el lenguaje de las matematicas modernas dicha ley puedeenunciarse mas o menos ası: supongamos que tenemos dos espiras “a” y “b” en el vacıo porlas cuales circulan sendas corrientes estacionarias (independientes del tiempo) Ia e Ib, respectiva-mente, como se muestra en la Fig. 2.1. La fuerza que actua sobre la espira “b” debido a la presencia

Figura 2.1: Dos espiras “a” y “b” por las cuales circulan las corrientes Ia e Ib, respectivamente,interactuan a traves del campo magnetico generado por dichas corrientes.

de la espira “a” es

~Fab =µ0IaIb

4π©∫

a

©∫

b

~dlb ×[~dla × (~rb −~ra)

]

|~rb −~ra|3 , (2.5)

siendo µ0 la permeabilidad magnetica del vacıo definida por la relacion

√ε0µ0 =

1c

(2.6)

y c es la velocidad de propagacion de las ondas electromagneticas en el vacıo medida con respectoa cualquier sistema inercial de referencia. Aquı el principio de superposicion se asume de maneranatural, pues la fuerza que la espira “a” ejerce sobre la espira “b” es la suma (integral) de la fuerzaque ejerce la espira “a” sobre cada elemento diferencial de la espira “b”. Evidentemente, en virtudde la tercera ley de Newton, la fuerza que actua sobre la espira “a” debido a la presencia de laespira “b” es justamente ~Fba = −~Fab.

La expresion (2.5) puede ser reescrita como

~Fab = Ib ©∫

b

~dlb ×[µ0Ia

4π©∫

a

~dla × (~rb −~ra)|~rb −~ra|3

].

Definamos el vector

~B(~r) =µ0Ia

4π©∫

a

~dla × (~r−~ra)|~r−~ra|3 . (2.7)



Entonces

~Fab = Ib ©∫

b

~dlb × ~B(~rb). (2.8)

Las expresiones (2.5), (2.7) y (2.8) han sido escritas para el llamado caso filiforme, en el cual lacorriente circula por una linea conductora de area cero.

La ley de fuerzas de Ampere puede formularse de manera mas general, con la ayuda delvector densidad de corriente ~J, cuando la corriente esta definida sobre un conjunto V ⊂ R3.Supongamos que tenemos dos vectores densidad de corriente ~J0 y ~J definidos sobre los conjuntosV0 y V , respectivamente. La fuerza de interaccion entre las dos corrientes sera

~F =µ0

4π

∫

V0

dV∫

VdV ′ ~J0(~r)×

~J(~r ′)× (~r−~r ′

)

|~r−~r ′|3 . (2.9)

Definiendo

~B(~r) =µ0

4π

∫

V~J(~r ′)×

(~r−~r ′

)

|~r−~r ′|3 dV ′ (2.10)

puede verse claramente que

~F =∫

V0

~J0(~r)× ~B(~r) dV. (2.11)

El vector ~B recibe el nombre de vector de induccion magnetica, y es el responsable de carac-terizar al campo, denominado campo magnetico, que propaga la interaccion entre las corrientes atraves del vacıo. Las expresiones (2.7) y (2.10) son las expresiones matematicas para la denomina-da ley de Biot-Savart para el caso filiforme y para el caso volumetrico, respectivamente. Aunqueaquı nosotros hemos presentado la ley de Biot-Savart como una definicion conveniente, la his-toria real del descubrimiento de esta ley es algo diferente. La ley de Biot-Savart fue establecidaexperimentalmente por Jean Baptiste Biot y su ayudante Felix Savart en 1820 [12]. Ellos encon-traron experimentalmente la dependencia de la fuerza de interaccion entre un iman permanentey un conductor recto, conectado a una pila de Volta, por el cual circulaba una corriente electricaconstante en el tiempo. La formulacion moderna de la ley de Biot-Savart que hemos presentadopuede obtenerse facilmente a partir de los resultados originales de Biot y su ayudante.

Una primera mirada a la ley de Biot-Savart establece que el campo magnetico es originado enprimera instancia por una corriente electrica, resultado que corroboraremos mas adelante. Conrelacion a la expresion (2.11) debemos hacer un comentario aclaratorio: la fuerza ~F es una fuerzade interaccion entre la corriente de densidad ~J0 y la corriente de densidad ~J generadora del cam-po magnetico ~B, o en otras palabras, ~J0 no es la fuente de ~B en la expresion (2.11). Utilizandolas expresiones (2.9), (2.10) y (2.11) el lector puede demostrar que la fuerza de interaccion entre lacorriente de densidad ~J0 y el campo magnetico generado por la corriente de densidad ~J es exac-tamente la fuerza de interaccion entre la corriente de densidad ~J y el campo magnetico generadopor la corriente de densidad ~J0, pero con signo contrario, es decir, se satisface la tercera ley deNewton en este caso.

2.1.2. Vector potencial magnetico y transformaciones de calibracion.

Analicemos la expresion (2.10) para la ley de Biot-Savart. Notese que

~r−~r ′

|~r−~r ′|3 = −∇[

1|~r−~r ′|

].



En consecuencia

~B(~r) = −µ0

4π

∫

V~J(~r ′)×∇

[1

|~r−~r ′|

]dV ′.

Pero

∇×[

~J(~r ′)|~r−~r ′|

]= ∇

[1

|~r−~r ′|

]× ~J(~r ′) +

∇× ~J(~r ′)|~r−~r ′| .

Puesto que el operador ∇× actua solamente sobre la variable ~r entonces ∇ × ~J(~r ′) = 0. Por lotanto

∇×[

~J(~r ′)|~r−~r ′|

]= ∇

[1

|~r−~r ′|

]× ~J(~r ′) = −~J(~r ′)×∇

[1

|~r−~r ′|

].

Ası,

~B(~r) =µ0

4π

∫

V∇×

[~J(~r ′)|~r−~r ′|

]dV ′ = ∇×

[µ0

4π

∫

V

~J(~r ′)|~r−~r ′| dV

′]

.

Definamos el vector

~A(~r) =µ0

4π

∫

V

~J(~r ′)|~r−~r ′| dV

′. (2.12)

Entonces

~B(~r) = ∇× ~A(~r), (2.13)

es decir, el vector induccion magnetica es un campo vectorial solenoidal. El vector ~A guarda unasorprendente analogıa con el potencial escalar que estudiamos en el capıtulo anterior [ver expre-sion (1.12)]. Por analogıa este vector recibe el nombre de potencial vectorial del campo magnetico,o simplemente vector potencial magnetico.

Sean los vectores ~A′

y ~A tales que

~A′= ~A +∇Ψ, (2.14)

siendo Ψ una funcion de clase C2 (posee hasta segundas derivadas parciales continuas) en sudominio. Notese que

∇× ~A′= ∇× ~A = ~B,

es decir, los vectores ~A′

y ~A conducen al mismo resultado fısico para ~B. El potencial magneticovectorial esta, en consecuencia, indeterminado en el gradiente de una funcion de clase C2 en sudominio de definicion. Esta indeterminacion puede ser util para la teorıa, como veremos masabajo, a la hora de encontrar ecuaciones sencillas para el potencial magnetico vectorial. Las trans-formaciones del tipo (2.14) reciben el nombre de transformaciones de calibracion. La utilidad deestas transformaciones reside en el hecho de que el vector induccion magnetica es invariante antetransformaciones de calibracion (~A

′y ~A conducen al mismo resultado para ~B).



Un ejemplo util de transformacion de calibracion es el siguiente: Consideremos la transfor-macion de calibracion (2.14) con ~A conocido, y supongamos que necesitamos que ∇ · ~A

′= 0.

Entonces basta encontrar Ψ tal que cumpla con la condicion ∇2Ψ = −∇ · ~A. Si cierto vector po-tencial magnetico ~A satisface la condicion ∇ · ~A = 0, se dice que dicho vector pertenece a lacalibracion de Coulomb.

Encontremos ahora algunas ecuaciones diferenciales adicionales para las magnitudes ~B y ~A.Como ya vimos, el vector induccion magnetica es un campo vectorial solenoidal. Es evidenteentonces que

∇ · ~B = 0, (2.15)

de lo cual es facil convencerse tomando divergencia en la expresion (2.13). Por otra parte,

∇× ~B = ∇×(∇× ~A

)= ∇

(∇ · ~A

)−∇2 ~A.

Puesto que el resultado para el vector ~B no se altera al efectuar una transformacion de calibracion,podemos entonces trabajar en la calibracion de Coulomb, en virtud de lo cual

∇× ~B = −∇2 ~A. (2.16)

Pero, de acuerdo con (2.12),

∇2 ~A =µ0

4π

∫

V∇2

~J(~r ′)|~r−~r ′| dV

′ =µ0

4π

∫

V~J(~r ′)∇2

[1

|~r−~r ′|

]dV ′

= −µ0

∫

V~J(~r ′)δ

(~r−~r ′

)dV ′,

es decir, la fucion vectorial ~A satisface la ecuacion de Poisson

∇2 ~A(~r) = −µ0~J(~r). (2.17)

Es evidente que en regiones del espacio donde la densidad de corriente no este definida el poten-cial vectorial megnetico sera solucion de la ecuacion de Laplace

∇2 ~A(~r) = 0. (2.18)

Sustituyendo (2.17) en (2.16) hallamos

∇× ~B = µ0~J(~r). (2.19)

Las ecuaciones (2.15) y (2.19) son conocidas con el nombre de ecuaciones de Maxwell para lamagnetostatica en honor al fısico escoces James Clerk Maxwell, quien sintetizara y generalizaraen su tiempo toda la obra precedente sobre electricidad y magnetismo [13]. La primera nos indica,como ya se dijo, que el vector induccion magnetica es un campo vectorial solenoidal, o en otraspalabras, las lineas de ~B son cerradas. La segunda ecuacion, llamada tambien segunda ley de Am-pere (o simplemente ley de Ampere), establece claramente el origen del campo magnetostatico enlas corrientes electricas estacionarias, es decir, una corriente electrica estacionaria producira siem-pre un campo magnetico vorticial.



2.2. Fuerza de Lorentz.

Como ya vimos, la fuerza que actua sobre una distribucion de cargas con una densidad decorriente ~J producto de su interaccion con un campo magnetico de induccion ~B viene dada porla expresion

~F =∫

~J(~r)× ~B(~r) dV. (2.20)

A la magnitud ~F se le denomina en ocasiones componente magnetica de la fuerza de Lorentz,y a la magnitud

~f(~r) = ~J(~r)× ~B(~r) (2.21)

se le llama componente magnetica de la densidad de fuerza de Lorentz.Si conjuntamente con un campo magnetico estamos tambien en presencia de un campo electri-

co de intensidad ~E, entonces la fuerza total que actua sobre la distribucion de carga, caracterizadaademas por la densidad de carga ρ, es

~F =∫ [

ρ(~r)~E(~r) + ~J(~r)× ~B(~r)]

dV. (2.22)

Esta es la llamada fuerza de Lorentz. Obviamente la densidad de fuerza de Lorentz es

~f = ρ(~r)~E(~r) + ~J(~r)× ~B(~r). (2.23)

Supongamos que tenemos una partıcula puntual de carga q moviendose con una velocidad ~ven presencia de un campo electrico de intensidad ~E y de un campo magnetico de induccion ~B,ambos uniformes y constantes. Como sabemos, la densidad de carga asociada a la partıcula es

ρ(~r) = qδ [~r−~r0(t)] .

El vector densidad de corriente asociado a la partıcula viene dado por la expresion

~J(~r, t) = q~v(t)δ [~r−~r0(t)] , (2.24)

siendo ~r0 la posicion de la partıcula, la cual es en general una funcion del tiempo 2. La fuerza deLorentz que actua sobre la partıcula tiene la forma

~F = q

∫ [~E(~r) + ~v × ~B(~r)

]δ [~r−~r0(t)] dV,

o bien

~F(t) = q

~E [~r0(t)] + ~v(t)× ~B [~r0(t)]

. (2.25)

Puesto que los campos ~E y ~B son uniformes y constantes, entonces

~F(t) = q[~E + ~v(t)× ~B

]. (2.26)

2Aunque el vector densidad de corriente asociado a la partıcula puntual es una funcion del tiempo, las leyes de laelectrostatica y la magnetostatica son suficientes aquı para estudiar el problema del movimiento de una partıcula cargadaen presencia de campos electricos y magneticos uniformes y constantes al menos en una primera aproximacion. Rigurosa-mente hablando, la fuerza de interaccion partıcula-campo acelera a la partıcula, produciendo la emision de radiacionelectromagnetica que debe ser tenida en cuenta en las ecuaciones. Este problema sera considerado someramente en elcapıtulo dedicado a la teorıa de la radiacion.



2.2.1. Partıcula cargada en presencia de un campo magnetico.

Consideremos una partıcula de carga q en presencia de un campo magnetico uniforme y cons-tante, con posicion y velocidad iniciales (en t = 0) dadas por ~r(0) = 0 y ~v(0) = ~v0 = (v0x, 0, v0z),respectivamente. Sin perdida de generalidad supongamos que ~B = (0, 0, B). Nuestro objetivo esencontrar la ley de movimiento no relativista de la partıcula. De acuerdo con la segunda ley deNewton,

m~v = q~v × ~B,

siendo m la masa de la partıcula. De la expresion anterior se obtiene inmediatamente el sistemade ecuaciones diferenciales

vx = ωcvy

vy = −ωcvx

vz = 0, (2.27)

siendo

ωc =qB

m(2.28)

la denominada frecuencia ciclotronica. Notese que el movimiento de la partıcula en la direcciondel campo magnetico no es afectado por la presencia de dicho campo. Por otra parte, derivandovx con respecto al tiempo y sustituyendo en el resultado la expresion para vy obtenemos

vx + ω2cvx = 0.

La ecuacion diferencial anterior es de facil resolucion. Teniendo en cuenta todo lo anterior, lasolucion final para la velocidad de la partıcula en funcion del tiempo es

vx(t) = v0x cos(ωct)vy(t) = −v0x sin(ωct)vz(t) = v0z

, (2.29)

y la posicion de la partıcula en funcion del tiempo es

x(t) = v0x

ωcsin(ωct)

y(t) = v0x

ωc[cos(ωct)− 1]

z(t) = v0zt

. (2.30)

Puede verse que la trayectoria de la partıcula en el espacio de las velocidades es una circunferen-cia, con centro en el eje vz , de radio |v0x| que esta contenida en un plano paralelo al plano (vx, vy)separado una distancia |v0z| de el, o sea,

v2

x + v2y = v2

0x

vz = v0z

. (2.31)

En el espacio de las coordenadas tenemos que

x2 + (y + y0)2 =(

v0x

ωc

)2

z = v0zt, (2.32)

siendo y0 = v0x

ωcla posicion del centro de la orbita ciclotronica. Las expresiones (2.32) describen

una helicoide de radio∣∣∣ v0x

ωc

∣∣∣ cuyo eje es paralelo al eje z y pasa por el punto (0,−y0, 0).



2.2.2. Carga oscilante en presencia de un campo magnetico.

Consideremos una partıcula oscilante de masa m y carga q que oscila con una frecuenciapropia ω0. Al conectar un campo magnetico externo uniforme y constante la frecuencia del os-cilador se desdobla en dos frecuencias. Este hecho es una aproximacion clasica al fenomeno cono-cido como efecto Zeeman. Calculemos dichas frecuencias, y supongamos para ello que el de vec-tor induccion magnetica tiene la forma ~B = (0, 0, B). La segunda ley de Newton para el osciladoren presencia del campo magnetico externo tiene la forma

d~pdt

= q~v × ~B−mω20~r, (2.33)

o bien

~r + ω20~r =

q

m~v × ~B.

De aquı resulta el sistema de ecuaciones diferenciales

x + ω20x = ωcy

y + ω20y = −ωcx

z + ω20z = 0

. (2.34)

Notese que el movimiento en la direccion de aplicacion del campo magnetico no es afectado por lapresencia de dicho campo, es decir, en la direccion z la ecuacion del movimiento continua siendola ecuacion de un oscilador armonico simple con frecuencia propia ω0.

En el sistema de ecuaciones (2.34) multipliquemos la segunda ecuacion por i =√−1 y sume-

mos el resultado con la primera. Despues de hacerlo hallamos

x + iy + iωc(x + iy) + ω20(x + iy) = 0.

Definiendo

τ(t) = x(t) + iy(t) (2.35)

encontramos que

τ + iωcτ + ω20τ = 0. (2.36)

Esta es una ecuacion diferencial de Euler con coeficientes constantes, cuyo polinomio caracterıs-tico en la variable k es

k2 − ωck − ω20 = 0,

con raıces

k± =ωc

2±

√ω2

0 +ω2

c

4.

Las nuevas frecuencias de los modos normales de oscilacion en el plano perpendicular al campomagnetico aplicado seran entonces Ω± = |k±|, o bien

Ω± =

√ω2

0 +ω2

c

4± ωc

2. (2.37)



Si el campo magnetico es debil (ω0 À ωc

2 ) entonces

Ω± = ω0 ± ωc

2.

Para campos magneticos fuertes (ω0 ¿ ωc

2 ) uno de los modos normales de oscilacion en el planoperpendicular al campo magnetico desaparece, y el modo sobreviviente oscila con una frecuenciaigual a la frecuencia ciclotronica.

El lector puede continuar el desarrollo del problema y encontrar la ley de movimiento~r = ~r(t)para el sistema considerado (¡intentelo!).

2.3. Desarrollo en multipolos para el campo magnetostatico.

Supongamos que tenemos una distribucion de corriente con vector densidad ~J distribuıdasobre todo el espacio R3. De acuerdo con la definicion (2.12),

~A(~r) =µ0

4π

∫

R3

~J(~r ′)|~r−~r ′| dV

′. (2.38)

Ya sabemos que la eleccion de una calibracion especıfica para ~A no altera el resultado fısicopara el calculo del vector induccion magnetica ~B. Trabajemos entonces en la calibracion de Cou-lomb ∇ · ~A = 0. Teniendo en cuenta (2.38),

∇ · ~A =µ0

4π

∫

R3∇ ·

[~J(~r ′)|~r−~r ′|

]dV ′ = 0. (2.39)

Notese que 3

∇ ·[

~J(~r ′)|~r−~r ′|

]= −∇ ′ ·

[~J(~r ′)|~r−~r ′|

]. (2.40)

En consecuencia

∇ · ~A = −µ0

4π

∫

R3∇ ′ ·

[~J(~r ′)|~r−~r ′|

]dV ′ = 0, (2.41)

o bien, aplicando el teorema de Gauss-Ostrogradsky,

lımR→+∞

©∫∫

S(R)

~J(~r ′)|~r−~r ′| · ~n dS ′ = 0, (2.42)

3Supongamos que tenemos la funcion vectorial ~f = ~f(~r,~r ′). Sea ~ξ = ~r − ~r ′. Entonces ~f = ~f(~ξ + ~r ′,~r ′), o bien~f = ~f(~r,~r− ~ξ). Notese que

∇ξ ·~f =∂f1

∂x1

∂x1

∂ξ1+

∂f2

∂x2

∂x2

∂ξ2+

∂f3

∂x3

∂x3

∂ξ3= ∇ ·~f .

Por otra parte

∇ξ ·~f =∂f1

∂x′1

∂x′1∂ξ1

+∂f2

∂x′2

∂x′2∂ξ2

+∂f3

∂x′3

∂x′3∂ξ3

= −∇ ′ ·~f .

De aquı se concluye que

∇ ·~f = −∇ ′ ·~f .



siendo S(R) una superficie esferica de radio R. Para que el lımite anterior sea efectivamente nuloes necesario que ~J(~r ′) · ~n tienda a cero lo suficientemente rapido cuando r ′ tiende a infinito 4.

Igualando (2.39) y (2.41) hallamos

µ0

4π

∫

R3∇ ·

[~J(~r ′)|~r−~r ′|

]dV ′ = −µ0

4π

∫

R3∇ ′ ·

[~J(~r ′)|~r−~r ′|

]dV ′,

de donde, transformando los integrandos en la expresion anterior, vemos que

∫

R3

~J(~r ′) · ~r−~r ′

|~r−~r ′|3 dV ′ =∫

R3

~J(~r ′) · ~r−~r ′

|~r−~r ′|3 dV ′ −∫

R3

∇ ′ · ~J(~r ′)|~r−~r ′| dV ′,

y en consecuencia,

∫

R3

∇ ′ · ~J(~r ′)|~r−~r ′| dV ′ = 0.

Es evidente entonces que

∇ · ~J = 0, (2.43)

es decir, el vector densidad de corriente es un campo vectorial solenoidal 5.Sea entonces un vector densidad de corriente ~J tal que ~J ·~n tiende al menos exponencialmente

a cero cuando r → +∞ y cuya divergencia es nula (∇ · ~J = 0) en todo el espacio. Como sabemos[ver la expresion (1.115) del Capıtulo anterior],

1|~r−~r ′| '

1r

+~r ·~r ′

r3+ ... .

Sustituyendo en (2.38) hallamos

~A(~r) ' µ0

4πr

∫

R3

~J(~r ′) dV ′ +µ0

4πr3

∫

R3

(~r ·~r ′)~J(~r ′) dV ′ + ... . (2.44)

Analicemos separadamente cada parte del miembro derecho de (2.44). Efectuando una ana-logıa con el desarrollo en multipolos para el potencial electrostatico, el termino proporcional a1r es la contribucion del monopolo magnetico al potencial vectorial. Estudiemos primeramenteeste tetmino y para ello calculemos cada componente de la integral de ~J. Utilizaremos aquı elconvenio de suma de Einstein, es decir, entenderemos que se suma sobre los ındices repetidos.

∫

R3Ji dV =

∫

R3Jkδki dV =

∫

R3Jk

∂xi

∂xkdV =

∫

R3

∂

∂xk(Jkxi) dV −

∫

R3xi

∂Jk

∂xkdV.

4Esta condicion se satisface de manera trivial para corrientes acotadas definidas en un conjunto finito de R3, pues talescorrientes son nulas fuera del dominio de definicion de ~J y, en consecuencia, nulas en el infinito. Hasta donde he podidosaber, los unicos casos fısicamente realizables que conducen a densidades de corrientes con valores finitos en todo R3

son aquellos relacionados con el movimiento cuantico de partıculas cargadas en potenciales centrales coulombianos. Aunen estos casos la densidad de corriente tiende exponencialmente a cero a medida que la carga se aleja del centro (veansepor ejemplo los problemas 7 y 8 al final de este Capıtulo). Para nuestros propositos en el presente Capıtulo es suficienteconsiderar que ~J(~r ′) · ~n tiende exponencialmente a cero cuando r ′ tiende a infinito.

5Esta afirmacion es valida unicamente para el caso estatico, como veremos en el Capıtulo 3.



Puesto que ∂Jk

∂xk≡ ∇ · ~J = 0 se tiene que

∫

R3Ji dV =

∫

R3

∂

∂xk(Jkxi) dV = lım

R→+∞©∫∫

S(R)

~r ~J(~r) · ~n dS = 0.

La contribucion del monopolo magnetico al potencial vectorial del campo es, en consecuencia,nula 6.

Consideremos ahora el segundo termino en el desarrollo (2.44). Este termino es la contribuciondel dipolo magnetico al potencial vectorial del campo, y lo denotaremos como ~Am. Ası,

~Am =µ0

4πr3

∫

R3

(~r ·~r ′)~J(~r ′) dV ′. (2.45)

Transformemos el el termino anterior. Se sabe que

~r×[~r ′ × ~J(~r ′)

]= ~r ′

[~r · ~J(~r ′)

]− (

~r ·~r ′)~J(~r ′).

Luego∫

R3~r×

[~r ′ × ~J(~r ′)

]dV ′ =

∫

R3~r ′

[~r · ~J(~r ′)

]dV ′ −

∫

R3

(~r ·~r ′)~J(~r ′) dV ′. (2.46)

Pero∫

R3~r ′

[~r · ~J(~r ′)

]dV ′ ≡

∫

R3xlJlx

′k dV ′ =

∫

R3xlJiδilx

′k dV ′ =

∫

R3xlJi

(∂x ′

l

∂x ′i

)x ′

k dV ′

=∫

R3

∂

∂x ′i

[xlJix′l x ′

k] dV ′ −∫

R3(xlx

′l )

∂

∂x ′i

[Jix′k] dV ′.

Puesto que∫

R3

∂

∂x ′i

[xlJix′l x ′

k] dV ′ = lımR→+∞

©∫∫

S(R)

(~r ·~r ′) ~r ~J · ~n dS ′ = 0,

entonces∫

R3~r ′

[~r · ~J(~r ′)

]dV ′ ≡ −

∫

R3(xlx

′l )

∂

∂x ′i

[Jix′k] dV ′ = −

∫

R3(xlx

′l )δikJi dV ′

−∫

R3(xlx

′l )x ′

k

∂Ji

∂x ′i

dV ′ = −∫

R3(xlx

′l )Jk dV ′ ≡ −

∫

R3

(~r ·~r ′)~J(~r ′) dV ′.

Sustituyendo en (2.46) hallamos∫

R3~r×

[~r ′ × ~J(~r ′)

]dV ′ = −2

∫

R3

(~r ·~r ′)~J(~r ′) dV ′,

de donde∫

R3

(~r ·~r ′)~J(~r ′) dV ′ = −1

2

∫

R3~r×

[~r ′ × ~J(~r ′)

]dV ′ =

[12

∫

R3~r ′ × ~J(~r ′) dV ′

]×~r.

6Pese a los extraordinarios esfuerzos destinados a determinar experimentalmente la existencia en la naturaleza delmonopolo magnetico, todos los intentos han sido infructuosos hasta ahora.



De esta manera,

~Am =µ0

4πr3

[12

∫

R3~r ′ × ~J(~r ′) dV ′

]×~r.

Definamos

~m =12

∫

R3~r× ~J(~r) dV. (2.47)

Este es el llamado momentum de dipolo magnetico asociado a la distribucion de corrientes dedensidad ~J. El lector puede demostrar que, debido a la ausencia del monopolo magnetico, el mo-mentum de dipolo magnetico no depende de la eleccion del origen de coordenadas (¡intentelo!).Notese tambien que si la densidad de corriente esta localizada en un volumen V ⊂ R3 entonceslas integrales en las expresiones anteriores pueden ser tomadas sobre V sin ninguna dificultad.

De acuerdo con la definicion de ~m el potencial vectorial del campo en la aproximacion dipolarmagnetica viene dado por la expresion

~Am =µ0

4π

~m×~rr3

. (2.48)

El vector induccion magnetica correspondiente a esta aproximacion sera

~Bm = ∇× ~Am =µ0

4π

[∇× ( ~m×~r)r3

+∇(

1r3

)× ( ~m×~r)

].

Pero ∇× ( ~m×~r) = 2 ~m y ∇ (1r3

)= −3 ~r

r5 . En consecuencia

~Bm =µ0

4π

[3

~m ·~rr5

~r− ~mr3

]. (2.49)

Notese la analogıa entre este resultado y el obtenido para el campo electrostatico del dipoloelectrico [ver el enunciado del problema 8 del Capıtulo 1].

2.3.1. Momentum magnetico de un sistema de partıculas puntuales.

Para un sistema de partıculas puntuales la densidad de corriente viene dada por la expresion

~J(~r) =∑

i

qi~viδ (~r−~ri) .

En consecuencia, de acuerdo con la formula (2.47),

~m =12

∫

R3

∑

i

qi~r× ~viδ (~r−~ri) dV =12

∑

i

qi~ri × ~vi,

o bien

~m =12

∑

i

qi

mi~ri × ~pi,

siendo mi la masa de la i-esima partıcula del sistema y ~pi su respectivo momentum lineal. Te-niendo en cuenta que el momentum angular de la i-esima partıcula se define como ~Li = ~ri × ~pi

hallamos que

~m =12

∑

i

qi

mi

~Li. (2.50)



Para un sistema de partıculas identicas(

qi

mi= q

m0∀i

)se tiene

~m =q

2m0

~L, (2.51)

siendo

~L =∑

i

~Li

el momentum angular total del sistema de partıculas. La expresion (2.51) recibe el nombre derelacion giromagnetica. La mecanica cuantica permite obtener una generalizacion de la relaciongiromagnetica, ya sea para un sistema de partıculas identicas o para una partıcula simple. Dichageneralizacion es

~m = G~L. (2.52)

La constante G recibe el nombre de razon giromagnetica, y puede obtenerse mediante la expresion

G = gq

2m0, (2.53)

siendo 1 ≤ g ≤ 2 el denominado factor de Lande. En el lımite clasico se tiene que g = 1. Si q y m0

son la carga y la masa propia del electron, respectivamente, y si g = 2, entonces ~m se correspondecon el momentum magnetico de spin del electron.

2.4. Energıa de interaccion entre una corriente y un campo mag-netico exterior a ella.

Sea una corriente de densidad ~J definida sobre la region V ⊂ R3 y sea ~Aext =(A1

ext, A2ext, A

3ext

)

el potencial magnetico vectorial de un campo magnetico externo a ~J (es decir, ~Aext no es la fuentede ~J). La energıa de interaccion entre la corriente de densidad ~J y el campo magnetico externo sedefine como

WI = −∫

V~J(~r) · ~Aext(~r) dV. (2.54)

Esta definicion es valida aun para casos no estacionarios. En general la fuerza de interaccion entreel sistema de corrientes ~J y el campo magnetico externo puede obtenerse a partir de la expresion

~F = −∇rWI +d

dt∇vWI . (2.55)

siendo ∇r el operador gradiente tomado con respecto a las coordenadas de las partıculas queconforman la corriente de densidad ~J y ∇v el operador gradiente tomado con respecto a lascomponentes del vector velocidad de dichas partıculas. Se asume que en general la energıa deinteraccion WI puede ser una funcion parametrica de las coordenadas y de la velocidad de laspartıculas cargadas que conforman la corriente de densidad ~J.

Ilustremos la aplicacion de las expresiones (2.54) y (2.55) al caso de una partıcula puntual decarga q que se mueve con una velocidad ~v, con respecto a cierto observador inercial, en presencia



de un campo magnetico uniforme y constante. Debido a que la densidad de corriente en este casotiene la forma

~J(~r) = q~vδ (~r−~r0) ,

entonces la energıa de interaccion sera, de acuerdo con (2.54),

WI = −q~v · ~Aext(~r0),

mientras que la fuerza de interaccion entre el campo y la carga vendra dada por la expresion

~F = q∇r0

[~v · ~Aext(~r0)

]− q

d

dt∇v

[~v · ~Aext(~r0)

]. (2.56)

Pero

∇v

[~v · ~Aext(~r0)

]= ~Aext(~r0).

Luego,

d

dt∇v

[~v · ~Aext(~r0)

]=

d

dt~Aext(~r0) =

d~r0

dt· ∇r0

~Aext(~r0),

es decir,

d

dt∇v

[~v · ~Aext(~r0)

]= ~v · ∇r0

~Aext(~r0). (2.57)

Por otra parte,

∇r0

[~v · ~Aext(~r0)

]= ~v · ∇r0

~Aext(~r0) + ~Aext(~r0) · ∇r0~v + ~v ×[∇r0 × ~Aext(~r0)

]

+~Aext(~r0)× (∇r0 × ~v) .

Pero ∇r0~v = 0, ∇r0 × ~v = 0 y ∇r0 × ~Aext(~r0) = ~B. Entonces

∇r0

[~v · ~Aext(~r0)

]= ~v · ∇r0

~Aext(~r0) + ~v × ~B. (2.58)

Sustituyendo (2.57) y (2.58) en (2.56) obtenemos finalmente que

~F = q~v × ~B.

Esta es la parte magnetica de la fuerza de Lorentz que, como ya hemos visto, es la fuerza queactua sobre una partıcula puntual cargada en presencia de un campo magnetico.

2.4.1. Energıa de interaccion en la aproximacion de multipolos.

Retornemos a la expresion (2.54) para la definicion de la energıa de interaccion entre unacorriente electrica y un campo magnetico externo. Supongamos que el origen de coordenadasesta en un punto arbitrario del dominio V de ~J, y efectuemos un desarrollo en serie de Taylor,hasta el primer orden en la potencia de~r, para el potencial vectorial del campo magnetico externo.

~Aext(~r) = ~Aext(0) +~r ·[∇~Aext(~r)

∣∣∣~r=0

]+ ... . (2.59)




WI = −~Aext(0) ·∫

V~J(~r)dV −

∫

V~J(~r) ·

~r ·

[∇~Aext(~r)

∣∣∣~r=0

]dV + ... . (2.60)

Tomando en cuenta ahora que la integral en el primer termino del miembro derecho de (2.60) esnula se hace evidente que

WI = −∫

V~J(~r) ·

~r ·

[∇~Aext(~r)

∣∣∣~r=0

]dV + ... .

Podemos entonces definir la energıa de interaccion en la aproximacion dipolar magnetica me-diante la expresion

W(m)I = −

∫

V~J(~r) ·

~r ·

[∇~Aext(~r)

∣∣∣~r=0

]dV, (2.61)

o bien

W(m)I = −

∫

VJkxl

(∂

∂xlAk

ext

∣∣∣∣~r=0

)dV.

Pero 7

Jkxl =12

[Jkxl − Jlxk] +12

∂

∂xi(xlxkJi) .

Por lo tanto

W(m)I = −1

2

∫

V[Jkxl − Jlxk]

(∂

∂xlAk

ext

∣∣∣∣~r=0

)dV − 1

2

∫

V

∂

∂xi(xlxkJi)

(∂

∂xlAk

ext

∣∣∣∣~r=0

)dV.

La segunda integral en el miembro derecho de la expresion anterior es nula, como ya se ha visto.Por otra parte

[Jkxl − Jlxk](

∂

∂xlAk

ext

∣∣∣∣~r=0

)≡

(~r× ~J

)·(∇× ~Aext

∣∣∣~r=0

)=

(~r× ~J

)· ~Bext(0).

En consecuencia

W(m)I = −1

2

∫

V~r× ~J(~r) dV · ~Bext(0),

o, teniendo en cuenta la definicion del momentum del dipolo magnetico,

W(m)I = − ~m · ~Bext(0). (2.62)

2.5. Dipolo magnetico en presencia de un campo magnetico ex-terno.

En la expresion (2.62) el vector induccion magnetica del campo externo aparece evaluado en laposicion del origen de coordenadas (fue alrededor de ~r = 0 que se efectuo el desarrollo de Taylor

7Le proponemos al lector que demuestre esta identidad.



para el potencial magnetico vectorial del campo externo). Si el campo magnetico externo no eshomogeneo el valor del vector induccion magnetica puede depender de la eleccion del origen delcoordenadas. Suele aceptarse como valida la expresion

WI(~r) = − ~m · ~B(~r) (2.63)

para la energıa de interaccion entre un dipolo magnetico de momentum ~m y un campo magneticoexterno no homogeneo de induccion ~B.

La fuerza de interaccion entre el el dipolo magnetico y el campo magnetico externo vendra en-tonces dada por la relacion

~F(~r) = −∇WI(~r) = ∇[~m · ~B(~r)

], (2.64)

o, teniendo en cuenta que

∇[~m · ~B(~r)

]= ( ~m · ∇) ~B(~r) +

[~B(~r) · ∇

]~m + ~B(~r)× (∇× ~m) + ~m×

[∇× ~B(~r)

], (2.65)

puede utilizarse tambien la expresion

~F(~r) = ( ~m · ∇) ~B(~r) (2.66)

para la fuerza de interaccion dipolo-campo. Partiendo de la definicion de derivada direccional,de forma analoga a como se hizo en la seccion 1.7.1 del Capıtulo 1, podemos escribir

~F = m∂

∂nm

~B(~r), (2.67)

siendo m = | ~m|, y la derivada direccional esta tomada a lo largo del vector unitario ~nm en la direc-cion y sentido de ~m. La fuerza de interaccion dipolo-campo se manifiesta unicamente cuando elvector induccion magnetica es una funcion no trivial de la posicion. Una partıcula de momentumdipolar magnetico ~m en presencia de un campo magnetico uniforme y constante no experimen-tara fuerza alguna, como es evidente de la expresion (2.66).

De la misma manera podemos calcular el valor del torque producido sobre el dipolo magneticode momentum ~m en presencia de un campo magnetico externo. Como se desprende de la defini-cion (1.141) dada en la seccion 1.7.1 del Capıtulo 1,

~τm = m∂

∂nm

[~r× ~B(~r)

]= ( ~m · ∇)

[~r× ~B(~r)

], (2.68)

o bien

~τm = ~m× ~B(~r) +~r× ( ~m · ∇) ~B(~r). (2.69)

Notese que aun en presencia de un campo magnetostatico homogeneo, caso en el cual la fuerzade interaccion dipolo-campo es nula, el torque que actua sobre el dipolo magnetico es diferentede cero en general, y su valor es

~τm = ~m× ~B. (2.70)



2.6. Precesion de Larmor.

Consideremos una partıcula de momentum dipolar magnetico ~m y cuya razon giromagneticaes G. De acuerdo con la expresion (2.52),

~m = G~L,

siendo ~L el momentum angular de dicha partıcula. Por lo tanto,

1G

d~mdt

=d~Ldt

= ~τm. (2.71)

Sustituyendo (2.71) en (2.69) obtenemos

d~mdt

= ~m×G~B(~r) +~r× ( ~m · ∇) G~B(~r).

Definamos

~Ω = G~B. (2.72)

Notese que Ω = |~Ω| posee unidades de frecuencia. Esta magnitud es conocida con el nombre defrecuencia de Larmor. Ası,

d~mdt

= ~m× ~Ω +~r× ( ~m · ∇) ~Ω, (2.73)

o bien

d~mdt

= ( ~m · ∇)(~r× ~Ω

). (2.74)

Debido a la interaccion dipolo-campo, el torque ~τm produce un cambio en el momentum an-gular de la partıcula, y consecuentemente un cambio en su momentum magnetico. El momentummagnetico sera entonces una funcion del tiempo, solucion de la ecuacion diferencial de primerorden (2.74). Resolvamos dicha ecuacion suponiendo la condicion inicial

~m(t = 0) =

m01

m02

m03

. (2.75)

Definamos el vector

~K = ~r× ~Ω. (2.76)

Entonces la ecuacion (2.74) puede ser escrita como el sistema de ecuaciones diferenciales acopladas

dm1

dt= m1

dK1

dx1+ m2

dK1

dx2+ m3

dK1

dx3,

dm2

dt= m1

dK2

dx1+ m2

dK2

dx2+ m3

dK2

dx3,

y

dm3

dt= m1

dK3

dx1+ m2

dK3

dx2+ m3

dK3

dx3.



En forma matricial el sistema anterior puede ser escrito como

d~mdt

= K ~m, (2.77)

siendo

(K)ij =dKi

dxj. (2.78)

Supongamos que K es diagonalizable. Entonces existe una matriz S tal que

S−1KS = D, (2.79)

siendo D la forma diagonal de K. Puesto que K es independiente del tiempo, entonces S y Dtambien seran independientes del tiempo.

Definamos el nuevo vector ~M tal que

~m(t) = S ~M(t). (2.80)

Evidentemente el nuevo vector ~M satisface la condicion inicial

~M(t = 0) = ~M0 =

M01

M02

M03

= S−1

m01

m02

m03

. (2.81)

Sustituyendo (2.80) en (2.77) encontramos que

d

dtS ~M(t) = KS ~M(t),

de donde

d

dt~M(t) = S−1KS ~M(t) = D ~M(t). (2.82)

La ecuacion diferencial (2.82) puede ser integrada de manera muy sencilla, pues las componentesde ~M estan desacopladas. Ası,

M1(t)M2(t)M3(t)

=

M01 exp (D11t)M02 exp (D22t)M03 exp (D33t)

, (2.83)

siendo D11, D22 y D33 los autovalores de K, es decir, las componentes diagonales de D.

2.6.1. Precesion de un dipolo en un campo magnetico uniforme y constante.

Ilustremos el procedimiento anterior con un ejemplo sencillo. Supongamos que el campo mag-netostatico externo es independiente de la posicion, y que ~B = (0, 0, B). En este caso ~Ω = (0, 0, Ω)y ~K = ~r× ~Ω = (x2,−x1, 0)Ω. En virtud de (2.78),

K =

0 Ω 0−Ω 0 00 0 0

.



Los autovalores D de K pueden obtenerse de la ecuacion caracterıstica

det

∣∣∣∣∣∣

−D Ω 0−Ω −D 00 0 −D

∣∣∣∣∣∣= 0,

de donde hallamos que

D11 = 0D22 = −iΩD33 = iΩ

. (2.84)

Los autovectores normalizados de K correspondientes a los autovalores D11, D22 y D33 son

~v1 = (0, 0, 1)~v2 = 1√

2(i, 1, 0)

~v3 = 1√2(−i, 1, 0)

, (2.85)

respectivamente. La matriz S se obtiene como la transpuesta de la matriz formada por los au-tovectores de K, es decir,

S = ˜(~v1, ~v2, ~v3) =

0 i√2

− i√2

0 1√2

1√2

1 0 0

. (2.86)

Notese que, en este caso,

S−1 = S† =

0 0 1− i√

21√2

0i√2

1√2

0

. (2.87)

En virtud de (2.81) y de (2.87),

~M0 =

m03−im01+m02√

2im01+m02√

2

. (2.88)

De acuerdo con (2.83), (2.84) y (2.88),

M1(t)M2(t)M3(t)

=

m03−im01+m02√

2exp (−iΩt)

im01+m02√2

exp (iΩt)

. (2.89)

Teniendo finalmente en cuenta las expresiones (2.80), (2.86) y (2.89) hallamos

~m(t) = S ~M(t) =

m01 cos(Ωt) + m02 sin(Ωt)−m01 sin(Ωt) + m02 cos(Ωt)

m03

. (2.90)

Notese que

~m(t) · ~m(t) = m201 + m2

02 + m203 = ~m(0) · ~m(0). (2.91)

De acuerdo con todo lo anterior, el dipolo magnetico precesa con la frecuencia de Larmordebido a su interaccion con un campo magnetostatico homogeneo. El modulo del vector mo-mentum magnetico se conserva en el tiempo y no es afectado por el movimiento de precesion.Notese ademas que la componente del momentum magnetico en la direccion del campo externono depende del tiempo.



2.7. Problemas propuestos1. Por un cilindro muy largo de radio a, tan largo que puede ser considerado infinito, circula una corriente constante

de densidad ~J. Calcule el valor del vector induccion magnetica ~B en el exterior del cilindro.

2. Describa el movimiento de una partıcula no relativista de carga q y masa m0 en presencia de un campo magneticode induccion ~B y de un campo electrico de intensidad ~E, ambos uniformes y constantes.

3. Demuestre que el potencial magnetico vectorial de un campo magnetico uniforme y constante de induccion ~Bviene dado por la expresion

~A =1

2~B×~r.

4. Sea una bola de radio a sobre cuyo volumen se encuentra distribuıda uniformemente la carga Q. Si la esfera rotacon velocidad constante ω alrededor de uno de sus diametros, calcule el momentum dipolar de la bola. Calculeademas el vector induccion magnetica en el centro de la bola.

5. Suponiendo que la bola que rota en el problema anterior es el electron no puntual con radio clasico r0 determinadoen la seccion 1.8 del Capıtulo 1, encuentre cual debe ser el valor de la velocidad angular ω para que el momentummagnetico ~m coincida con el momentum magnetico de spin del electron. Halle la velocidad tangencial de un puntocualquiera sobre el ecuador de la bola. ¿El valor de velocidad obtenido puede ser admitido como valido?

6. Una partıcula tiene el momentum magnetico ~m. Demuestre que esta partıcula tiene asociada la densidad de co-rriente ~J = ( ~m×∇) δ (~r−~r0), siendo ~r0 el vector de posicion de la partıcula.

7. En cierto estado excitado del atomo de Hidrogeno la nube electronica tiene asociada una densidad de corrientecuyas componentes en coordenadas esfericas son Jr = Jθ = 0 y

Jϕ =e~

2π38m0a70

r3 exp

[− 2r

3a0

]sin3(θ),

siendo e y m0 la carga y la masa de reposo del electron, respectivamente, y a0 es el radio de Bohr. Calcule el valordel vector induccion magnetica ~B en el origen de coordenadas.

8. En otro estado excitado del atomo de Hidrogeno la densidad de corriente asociada a la nube electronica es, encoordenadas esfericas, Jr = Jθ = 0 y

Jϕ =e~

64πm0a50

r exp

[− r

a0

]sin(θ).

Suponga que el nucleo del atomo tiene un momentum magnetico ~mn. Calcule la energıa de interaccion electron-nucleo asociada con el movimiento orbital del electron. Ignore el valor del momentum magnetico de spin delelectron.


CAPITULO 3

Ecuaciones de Maxwell

En el Capıtulo 1 estudiamos las propiedades del campo electrico producido por una distribu-cion estatica de cargas, mientras que en el Capıtulo 2 intentamos comprender las propiedadesdel campo magnetico producido por corrientes estacionarias. Un movimiento ordenado de car-gas, sea estacionario o no, implica la variacion temporal de la carga en cierta region del espacio[ver la expresion (2.1) al inicio del Capıtulo 2]. Esta variacion de la carga debe conducir, en ge-neral, a campos electricos cuyas propiedades deben tambien variar en el tiempo, caso en el cuallas ecuaciones obtenidas para caracterizar al campo electrostatico no serıan validas. Es necesariaentonces una generalizacion de la teorıa con vistas a incluir la dependencia temporal en las ecua-ciones fundamentales que describen los procesos electricos y magneticos. La generalizacion delas teorıas dedicadas a describir de manera independiente las propiedades de los campos electri-cos y magneticos fue el resultado del trabajo de varios cientıficos, entre los cuales se destacaronMichael Faraday, Heinrich Friedrich Lenz y James Clerk Maxwell, entre otros, y resulto en unaunica teorıa (denominada Electrodinamica) que describe las propiedades de un ente fısico masgeneral - llamado campo electromagnetico - del cual tanto los campos electricos como los camposmagneticos son simplemente casos particulares.

3.1. Ley de conservacion de la carga.

Sea V ⊂ R3 un conjunto abierto, limitado por una superficie S suave a pedazos y orientable,sobre el cual esta definida la densidad de carga ρ = ρ(~r, t). La densidad de carga ρ, ahora depen-diente de la posicion y del tiempo, es la fuente de un campo electrico tambien dependiente de laposicion y del tiempo. En otras palabras, la ley de Gauss debe seguir siendo valida aun cuando Qsea una funcion del tiempo. Matematicamente hablando tendremos que

∇ · ~E(~r, t) =ρ(~r, t)

ε0. (3.1)

Por otra parte, si ocurre un cambio temporal en la carga Q almacenada en V , entonces dichocambio debe ser producido por un flujo de carga no nulo que atraviesa la superficie S . El cambiotemporal de la carga almacenada en V debe ser proporcional al flujo de corriente a traves de S , esdecir,

©∫∫

S~J(~r, t) · ~n dS = −dQ(t)

dt. (3.2)

El signo negativo que precede al miembro derecho de la expresion anterior nos indica que si elflujo del vector densidad de corriente ~J esta definido en el sentido de la normal exterior ~n a lasuperficie S , entonces la carga almacenada en V disminuye a medida que el tiempo transcurre

60

Capıtulo 3. Ecuaciones de Maxwell 61

(dQdt < 0

)y viceversa. La ecuacion (3.2) se conoce con el nombre de ley de conservacion de la

carga, y posee un basamento netamente experimental.Teniendo en cuenta que

Q(t) =∫

Vρ(~r, t)dV

y que

©∫∫

S~J(~r, t) · ~n dS =

∫

V∇ · ~J(~r, t) dV

puede verse a partir de la ecuacion (3.2) que∫

V

[∇ · ~J(~r, t) +

∂

∂tρ(~r, t)

]dV = 0,

de donde, en virtud de la arbitrariedad de V , se tiene finalmente que

∇ · ~J(~r, t) +∂

∂tρ(~r, t) = 0. (3.3)

La expresion (3.3) es conocida con el nombre de ley de conservacion de la carga en forma diferen-cial, o simplemente como ecuacion de continuidad.

3.2. Ley de Lenz y ley de Faraday.

En el ano 1831 Michael Faraday descubrio que cuando un conductor cerrado se mueve cor-tando las lıneas de campo de un campo magnetico se produce una corriente en dicho conductor[14]. Faraday mostro tambien que el mismo efecto tenıa lugar si el flujo magnetico que atravesabala seccion de area delimitada por el conductor cerrado variaba con el tiempo. Este fenomeno sellamo induccion electromagnetica. La corriente producida en el conductor debido al fenomenode la induccion electromagnetica se debe a la aparicion de una diferencia de potencial inducidapor la variacion del flujo magnetico a traves del area delimitada por el circuito cerrado. A taldiferencia de potencial se le dio el nombre de fuerza electromotriz, aunque es evidente que dichamagnitud no es una fuerza fısicamente hablando. La polaridad de la fuerza electromotriz y, enconsecuencia, el sentido de la corriente inducida en el conductor cerrado, resultan ser tales quese oponen a la variacion del flujo magnetico que las produjo. Este hecho se conoce con el nombrede ley de Lenz, en honor al fısico estonio Heinrich Friedrich Lenz, quien fue su descubridor en elano 1834 [15].

Sea una superficie abierta S suave y orientable. Desde el punto de vista matematico la leyde Lenz se puede enunciar de la siguiente manera: la fuerza electromotriz E puede calcularsemediante la expresion

E(t) = − d

dtφB(t), (3.4)

siendo

φB(t) =∫∫

S~B(~r, t) · ~n dS (3.5)

el flujo del vector induccion magnetica a traves de S .



La fuerza electromotriz, por ser en realidad una diferencia de potencial generadora de unacorriente electrica, puede ser escrita como la circulacion de cierto campo electrico no conserva-tivo de intensidad ~E. Si suponemos que C es el borde de la superficie S tal que S y C poseenorientaciones asociadas, entonces

E(t) = ©∫

C~E(~r, t) · ~dl . (3.6)

Combinando esta expresion con la ley de Lenz obtenemos

©∫

C~E(~r, t) · ~dl = − d

dt

∫∫

S~B(~r, t) · ~n dS.

Aplicando el teorema de Stokes hallamos∫∫

S

[∇× ~E(~r, t) +

∂

∂t~B(~r, t)

]· ~n dS = 0,

y en virtud de la arbitrariedad de la superficie S se tiene finalmente que

∇× ~E(~r, t) = − ∂

∂t~B(~r, t). (3.7)

La ecuacion (3.7), unicamente deducible a partir de la practica experimental, es conocida conel nombre de ley de Faraday. Esta constituye una generalizacion de la ecuacion (1.15) del Capıtulo1, y es una de las leyes fundamentales de la Electrodinamica.

3.3. Ley de Ampere-Maxwell.

Consideremos ahora la ley de Ampere [ver ecuacion (2.19) del Capıtulo 2]

∇× ~B = µ0~J

y calculemos la divergencia termino a termino en dicha ecuacion. Obviamente

∇ · ∇ × ~B = µ0∇ · ~J = 0.

de donde se deduce que ∇ · ~J = 0. Este resultado esta en contradiccion con la ecuacion de con-tinuidad (3.3). En otras palabras, la ley de Ampere dada por (2.19) es incompatible con la ley deconservacion de la carga. Se impone entonces una generalizacion de la ley de Ampere para lograrla compatibilidad necesaria entre estas dos leyes fısicas. La generalizacion puede concretarse sisumamos un termino adicional (que denotaremos como ~JD) a la corriente ~J en la ley de Ampere,y luego utilizamos las leyes fısicas conocidas para intentar determinar la forma de dicho termino.Procediendo de esta manera

∇× ~B(~r, t) = µ0

[~J(~r, t) + ~JD(~r, t)

]. (3.8)

Tomando divergencia puede verse que

∇ · ∇ × ~B(~r, t) = 0 = µ0

[∇ · ~J(~r, t) +∇ · ~JD(~r, t)

].



Haciendo en la expresion anterior

∇ · ~JD(~r, t) =∂ρ(~r, t)

∂t

el cumplimiento de la ecuacion de continuidad queda garantizado. Pero de acuerdo con (3.1) esevidente que

∇ · ~JD(~r, t) = ε0∇ · ∂

∂t~E(~r, t),

de donde

∇ ·[~JD(~r, t)− ε0

∂

∂t~E(~r, t)

]= 0,

y finalmente

~JD(~r, t) = ε0∂

∂t~E(~r, t). (3.9)

A la magnitud ~JD se le denomina usualmente corriente de desplazamiento, aunque no es una co-rriente propiamente hablando. Si bien la corriente ordinaria ~J tiene su origen en el flujo de cargaelectrica a traves de cierta superficie, la corriente de desplazamiento es producida por la variaciontemporal del flujo del campo electrico a traves de dicha superficie.

Sustituyendo (3.9) en (3.8) se tiene que

∇× ~B(~r, t) = µ0~J(~r, t) + µ0ε0

∂

∂t~E(~r, t). (3.10)

La ecuacion (3.10) es la unica generalizacion posible de la ley de Ampere que es compatible conla ley de conservacion de la carga, y se conoce con el nombre de ley de Ampere-Maxwell 1. Adiferencia de la ley de Faraday, que fue deducida a partir de observaciones experimentales, laley de Ampere-Maxwell tiene su origen en la necesidad de eliminar incongruencias en la teorıa,especıficamente la ya mencionada incompatibilidad entre la ley de Ampere y la ecuacion de con-tinuidad.

3.4. Interpretacion fısica de las ecuaciones de Maxwell.

Las llamadas ecuaciones de Maxwell de la Electrodinamica son las siguientes:

∇× ~E(~r, t) = − ∂

∂t~B(~r, t), (3.11)

∇× ~B(~r, t) = µ0~J(~r, t) +

1c2

∂

∂t~E(~r, t), (3.12)

∇ · ~E(~r, t) =ρ(~r, t)

ε0, (3.13)

1La generalizacion de la ley de Ampere se debio al genio creador de James Clerk Maxwell [13]. Por esta razon suapellido aparece junto al de Ampere en la denominacion de la citada ley.



y

∇ · ~B(~r, t) = 0. (3.14)

En (3.12) hemos tenido en cuenta que µ0ε0 = 1/c2. Conjuntamente con la ecuacion de con-tinuidad, las cuatro ecuaciones vectoriales de Maxwell son las ecuaciones fundamentales de laElectrodinamica y parte importante de los pilares sobre los cuales se sustenta el edificio de laFısica Clasica.

Examinemos el significado de cada una de las ecuaciones de Maxwell. La ecuacion (3.11),conocida con el nombre de ley de Faraday, nos indica que un campo magnetico variable en eltiempo induce un campo electrico rotacional, tambien variable en el tiempo. La ley de Ampere-Maxwell (3.12) establece que un movimiento ordenado de cargas electricas y/o una variaciontemporal de un campo electrico son capaces de generar un campo magnetico rotacional depen-diente del tiempo. Notese que la ley de Ampere-Maxwell es simetrica con la ley de Faraday,excepto por el termino proporcional a ~J. La ecuacion (3.13) nos dice que las cargas electricasson fuentes de campos electricos, y da por sentada la existencia en la naturaleza de monopo-los electricos. La ecuacion (3.14), que es una generalizacion de la ecuacion analoga para el casoestatico discutida en la seccion 2.1.2 del Capıtulo 2, nos habla del caracter solenoidal del vectorinduccion magnetica, del caracter cerrado de las lıneas del campo magnetico y de la inexisten-cia del monopolo magnetico en la naturaleza. Las ecuaciones de Maxwell, en particular la ley deFaraday y la ley de Ampere-Maxwell, nos ofrecen una conexion indisoluble entre campo electricoy campo magnetico. Campo electrico y campo magnetico constituyen unicamente componentesde un objeto fısico mas amplio: el campo electromagnetico.

Las ecuaciones de Maxwell son en realidad un sistema de ocho ecuaciones diferenciales linea-les de las cuales solo seis son linealmente independientes. Esto se debe en primer lugar al hechode que en la Electrodinamica no pueden existir magnitudes dependientes solo de la posicion odel tiempo 2 y, en segundo lugar, a la ecuacion de continuidad que juega el papel de condicionde ligadura entre corrientes y cargas. Examinemos esto con un poco mas de detalle. Tomemosprimeramente divergencia en la ley de Faraday. En consecuencia

∇ · ∇ × ~E(~r, t) = − ∂

∂t∇ · ~B(~r, t),

de donde se tiene que

∂

∂t∇ · ~B(~r, t) = 0

y

∇ · ~B(~r, t) = f(~r),

siendo f una funcion de la posicion que actua como constante de integracion en la variable tiem-po. Pero en la Electrodinamica no pueden existir magnitudes fısicas que dependan unicamentede la posicion, en virtud de lo cual f(~r) ≡ 0 y por lo tanto ∇ · ~B(~r, t) = 0.

Tomando divergencia en la ley de Ampere-Maxwell obtenemos

∇ · ∇ × ~B(~r, t) = µ0∇ · ~J(~r, t) +1c2

∂

∂t∇ · ~E(~r, t),

2La imposibilidad de la existencia en la Electrodinamica de magnitudes dependientes unicamente de la posicion o deltiempo descansa en el hecho crucial de que las ecuaciones de Maxwell son invariantes ante las transformaciones relativis-tas de Lorentz. En consecuencia, la Electrodinamica puede ser formulada con independencia del sistema de referenciainercial adoptado. En tal formulacion tanto las coordenadas espaciales como el tiempo poseen el mismo valor conceptual,lo cual imposibilita separar el espacio del tiempo como dos entes independientes.



y teniendo en cuenta la ecuacion de continuidad, encontramos

µ0∂

∂t

[ε0∇ · ~E(~r, t)− ρ(~r, t)

]= 0.

Ası,

ε0∇ · ~E(~r, t)− ρ(~r, t) = g(~r),

donde g es una funcion de la posicion. Utilizando el mismo argumento que en el caso anterior

tenemos que g(~r) ≡ 0 y consecuentemente ∇ · ~E(~r, t) = ρ(~r,t)ε0

.Las ecuaciones (3.13) y (3.14) pueden ser obtenidas a partir de las ecuaciones (3.11), (3.12) y de

la ecuacion de continuidad.

3.5. Potenciales del campo electromagnetico.

En general, el campo electromagnetico puede ser caracterizado por los llamados potencialesdel campo electromagnetico. Estos son el potencial escalar φ y el potencial vectorial ~A. Veamoscomo podemos obtener los vectores del campo ~E y ~B a partir de dichos potenciales.

Puesto que el campo magnetico es solenoidal podemos proponer

~B(~r, t) = ∇× ~A(~r, t). (3.15)

Sustituyendo (3.15) en la ley de Faraday hallamos

∇× ~E(~r, t) = − ∂

∂t∇× ~A(~r, t) = −∇× ∂ ~A(~r, t)

∂t,

es decir,

∇×[~E(~r, t) +

∂ ~A(~r, t)∂t

]= 0. (3.16)

Esto significa que el vector entre corchetes en la expresion anterior es un campo conservativo ypuede ser escrito como el gradiente de una funcion escalar. Ası,

~E(~r, t) +∂ ~A(~r, t)

∂t= −∇φ(~r, t),

de donde

~E(~r, t) = −∇φ(~r, t)− ∂ ~A(~r, t)∂t

. (3.17)

3.5.1. Transformaciones generales de calibracion. Calibracion de Lorenz.

Puesto que ~B es un campo solenoidal, entonces el potencial vectorial del campo electro-magnetico esta indeterminado, como ya hemos visto en el Capıtulo 2, en el gradiente de unafuncion escalar f = f(~r, t), es decir, ~A y ~A + ∇f conducen al mismo resultado fısico para ~B. Sisustituımos ~A por ~A +∇f en (3.17) entonces

~E(~r, t) = −∇φ(~r, t)− ∂ ~A(~r, t)∂t

−∇∂f(~r, t)∂t

.



Para que ~E se mantenga inalterable ante la transformacion ~A → ~A+∇f para el potencial vectoriales necesario efectuar simultaneamente la transformacion φ → φ − ∂f

∂t en el potencial escalar delcampo electromagnetico. Al conjunto de transformaciones simultaneas

~A′(~r, t) = ~A(~r, t) +∇f(~r, t)

φ ′(~r, t) = φ(~r, t)− ∂f(~r,t)∂t

(3.18)

se les conoce con el nombre de transformaciones generales de calibracion (o simplemente trans-formaciones de calibracion). Notese que

∇ · ~A′(~r, t) +

1c2

∂φ ′(~r, t)∂t

= ∇ · ~A(~r, t) +1c2

∂φ(~r, t)∂t

+ ¤f(~r, t), (3.19)

siendo

¤ = ∇2 − 1c2

∂2

∂t2(3.20)

el operador de D ′Alembert, llamado tambien D ′Alemberteano.Si elegimos f tal que ¤f = 0 entonces

∇ · ~A′(~r, t) +

1c2

∂φ ′(~r, t)∂t

= ∇ · ~A(~r, t) +1c2

∂φ(~r, t)∂t

.

Puesto que una transformacion de calibracion no altera el resultado fısico para los vectores ~E y ~Bdel campo, podemos tomar la calibracion en la cual se satisface la condicion

∇ · ~A(~r, t) +1c2

∂φ(~r, t)∂t

= 0, (3.21)

llamada usualmente condicion de Lorenz. Si los potenciales del campo ~A y φ satisfacen la condi-cion de Lorenz, entonces estaremos en presencia de la calibracion de Lorenz 3.

3.5.2. Ecuaciones de D ′Alembert para los potenciales del campo.

La estructura matematica de los potenciales del campo esta determinada por las densidadesde carga y corriente asociadas al sistema en estudio. Sustituyendo (3.17) en (3.13) es evidente que

∇ ·[−∇φ(~r, t)− ∂ ~A(~r, t)

∂t

]=

ρ(~r, t)ε0

,

o bien,

∇2φ(~r, t) +∂

∂t∇ · ~A(~r, t) = −ρ(~r, t)

ε0. (3.22)

Por otra parte, sustituyendo (3.15) y (3.17) en la ley de Ampere-Maxwell hallamos

∇×∇× ~A(~r, t) = µ0~J(~r, t) + µ0ε0

∂

∂t

[−∇φ(~r, t)− ∂ ~A(~r, t)

∂t

],

3Esta calibracion debe su nombre al fısico-matematico danes Ludvig Valentin Lorenz, quien la introdujo en 1867 [16].



o, transformando convenientemente la expresion anterior,

∇2 ~A(~r, t)− 1c2

∂2

∂t2~A(~r, t)−∇

[∇ · ~A(~r, t) +

1c2

∂φ(~r, t)∂t

]= −µ0

~J(~r, t). (3.23)

Si asumimos que estamos trabajando en la calibracion de Lorenz, entonces, a partir de las expre-siones (3.22) y (3.23), es evidente que

¤φ(~r, t) = −ρ(~r, t)ε0

(3.24)

y que

¤~A(~r, t) = −µ0~J(~r, t). (3.25)

Los potenciales escalar y vectorial del campo electromagnetico son entonces soluciones de lasecuaciones no-homogeneas de D ′Alembert (3.24) y (3.25), respectivamente. En regiones espacio-temporales donde la densidad de carga es nula el potencial escalar del campo electromagneticosera solucion de la ecuacion homogenea de D ′Alembert, conocida tambien como ecuacion deonda. Lo mismo ocurrira con el potencial vectorial del campo electromagnetico si la densidad decorriente es cero en alguna region particular del espacio-tiempo. En otras palabras,

¤φ(~r, t) = 0 (3.26)

y

¤~A(~r, t) = 0 (3.27)

en regiones espacio-temporales donde la densidad de carga y la densidad de corriente son, res-pectivamente, identicamente nulas.

3.6. Ley de conservacion de la energıa del campo electromagne-tico.

Consideremos un campo electromagnetico caracterizado por los vectores ~E y ~B, y supon-gamos que existe cierta carga de valor q moviendose con una velocidad ~v a traves de dichoscampos. El diferencial de trabajo dWf realizado por el campo electromagnetico sobre la carga enel diferencial de tiempo dt es

dWf = ~F · ~dl = q(~E + ~v × ~B

)· ~vdt = q~E · ~vdt.

Notese que el estado de movimiento de la partıcula esta determinado aquı por la fuerza deLorentz ~F = q

(~E + ~v × ~B

)y, en consecuencia, la velocidad ~v de la partıcula esta ligada con

los vectores del campo a traves de las ecuaciones del movimiento. La expresion anterior se puedegeneralizar al caso continuo utilizando la expresion (2.4) del Capıtulo 2, en virtud de la cual

dWf =[∫

V~E(~r, t) · ρ(~r, t)~vdV

]dt =

[∫

V~E(~r, t) · ~J(~r, t)dV

]dt =

dWf

dtdt.

De la expresion anterior es evidente que

dWf

dt=

∫

V~E(~r, t) · ~J(~r, t)dV. (3.28)



La magnitud ~E·~J es la potencia por unidad de volumen entregada por el campo electromagneticoal sistema con densidad de corriente ~J. Aquı los vectores ~J y ~E estan conectados a traves de lasecuaciones de Maxwell.

Como sabemos [ver ecuacion (3.12)],

∇× ~B(~r, t) = µ0~J(~r, t) + µ0ε0

∂

∂t~E(~r, t).

Luego,

~J(~r, t) =1µ0∇× ~B(~r, t)− ε0

∂

∂t~E(~r, t),

y en consecuencia

~E(~r, t) · ~J(~r, t) =1µ0

~E(~r, t) · ∇ × ~B(~r, t)− ε0~E(~r, t) · ∂

∂t~E(~r, t). (3.29)

Notese que

∇ ·(~E× ~B

)= ~B · ∇ × ~E− ~E · ∇ × ~B = −~B

∂

∂t~B− ~E · ∇ × ~B.

Por lo tanto

~E · ∇ × ~B = −~B · ∂

∂t~B−∇ ·

(~E× ~B

). (3.30)

Sustituyendo (3.30) en (3.29) obtenemos que

~E(~r, t) · ~J(~r, t) = − 1µ0

~B(~r, t) · ∂

∂t~B(~r, t)− ε0~E(~r, t) · ∂

∂t~E(~r, t)− 1

µ0∇ ·

[~E(~r, t)× ~B(~r, t)

]

= −12

∂

∂t

[1µ0

B2(~r, t) + ε0E2(~r, t)

]− 1

µ0∇ ·

[~E(~r, t)× ~B(~r, t)

]

= − ∂

∂t

ε02

[E2(~r, t) + c2B2(~r, t)

]−∇ ·[

1µ0

~E(~r, t)× ~B(~r, t)]

. (3.31)

Definamos las magnitudes

w(~r, t) =ε02

[E2(~r, t) + c2B2(~r, t)

](3.32)

y

~S(~r, t) =1µ0

~E(~r, t)× ~B(~r, t). (3.33)

La expresion (3.31) puede ser escrita entonces en la forma

−~E(~r, t) · ~J(~r, t) =∂

∂tw(~r, t) +∇ · ~S(~r, t). (3.34)

Analicemos detalladamente cada termino de la ecuacion anterior. Como ya vimos, el termino~E · ~J posee dimensiones de potencia por unidad de volumen, por lo que las magnitudes w y ~Sdeben poseer dimensiones de energıa por unidad de volumen y de energıa por unidad de areay tiempo, respectivamente. En efecto, la formula (3.32) para w constituye una generalizacion de



la expresion (1.130) para la densidad de energıa del campo electrostatico definida en el Capıtu-lo 1. La expresion (3.32) contiene, ademas de la contribucion del campo electrico a la densidadde energıa, una contribucion adicional debida a la presencia del vector induccion magnetica, in-cluyendo la posibilidad de que los campos ~E y ~B puedan ser funciones del tiempo. La magnitud wrecibe el nombre de densidad de energıa del campo electromagnetico. Por otra parte, la direcciony el sentido del vector ~S, denominado vector de Poynting, determina la direccion y el sentido dela propagacion de la energıa transportada por el campo electromagnetico, y su modulo representala cantidad de energıa que por unidad de area y tiempo fluye en dicha direccion y sentido.

La ecuacion (3.34) recibe el nombre de teorema de Poynting o ley de conservacion de la energıadel campo electromagnetico 4. Escribamos el teorema de Poynting en forma integral, y para elloconsideremos el conjunto volumetrico abierto V ⊂ R3 limitado por una superficie S suave apedazos y orientable. Entonces

−∫

V~E(~r, t) · ~J(~r, t) dV =

∫

V

∂

∂tw(~r, t) dV +

∫

V∇ · ~S(~r, t) dV,

o bien,

d

dtW (t) +©

∫∫

S~S(~r, t) · ~n dS = −

∫

V~E(~r, t) · ~J(~r, t) dV, (3.35)

siendo

W (t) =∫

Vw(~r, t) dV (3.36)

la energıa del campo electromagnetico almacenada en el volumen V . Para examinar el significadofısico del teorema de Poynting supongamos inicialmente que ~E · ~J = 0. Entonces, en este casoparticular,

d

dtW (t) +©

∫∫

S~S(~r, t) · ~n dS = 0.

Notese que la ecuacion anterior es muy parecida a la ecuacion de continuidad que establece laley de conservacion de la carga, y por lo tanto describe un proceso de conservacion en el cual noexisten fuentes ni sumideros de energıa. Si dentro del volumen V ocurre un cambio en la energıadel campo electromagnetico, entonces debe existir un flujo no nulo de energıa atravesando lasuperficie S que es responsable de la variacion de W en el interior de V . Este flujo de energıa,como ya hemos dicho, esta caracterizado por el vector de Poynting.

Cuando ~E · ~J 6= 0 la ecuacion (3.35) describe un proceso de conservacion en el cual puedenexistir fuentes o sumideros de energıa electromagnetica en el interior de V 5. El termino que carac-teriza la presencia de dicha fuente o sumidero de energıa es precisamente ~E·~J, y permite describirla posibilidad de transformar la energıa del campo electromagnetico en otro tipo de energıa (porejemplo, energıa cinetica del sistema de cargas y corrientes) o viceversa. En general, el cambio dela energıa del campo electromagnetico dentro de V se debe, o bien a la existencia de un flujo deenergıa a traves de S , o bien a que el campo electromagnetico esta realizando un trabajo (positivoo negativo) sobre el sistema de cargas y corrientes, o a ambas razones simultaneamente.

4El teorema debe su nombre al fısico ingles John Henry Poynting, quien en el ano 1884 estableciera la ley de conser-vacion de la energıa del campo electromagnetico [17].

5Cuando hablamos de fuentes o sumideros de energıa electromagnetica nos referimos a regiones del espacio-tiempodonde puede ocurrir la transformacion de la energıa del campo electromagnetico en otro tipo posible de energıa y vice-versa.



3.7. Ley de conservacion del momentum lineal del campo elec-tromagnetico.

La densidad de fuerza de Lorentz, vista en la seccion 2.2 del Capıtulo 2 [ver ecuacion (2.23)],puede ser generalizada al caso en que las magnitudes del campo son dependientes del tiempo.En este caso la densidad de fuerza de Lorentz tiene la forma

~f(~r, t) = ρ(~r, t)~E(~r, t) + ~J(~r, t)× ~B(~r, t). (3.37)

Escribamos ~f unicamente en terminos de los campos ~E y ~B. Como ya sabemos,

ρ = ε0∇ · ~Ey

~J =1µ0∇× ~B− ε0

∂~E∂t

.

Por lo tanto,

~f = ε0

(∇ · ~E

)~E +

1µ0

(∇× ~B

)× ~B− ε0

(∂~E∂t

)× ~B. (3.38)

Puesto que

∂

∂t

(~E× ~B

)=

(∂~E∂t

)× ~B + ~E×

(∂~B∂t

),

es evidente que(

∂~E∂t

)× ~B =

∂

∂t

(~E× ~B

)− ~E×

(∂~B∂t

),

y teniendo en cuenta que

∂~B∂t

= −∇× ~E,

encontramos finalmente que(

∂~E∂t

)× ~B =

∂

∂t

(~E× ~B

)+ ~E×∇× ~E.

Sustituyendo la expresion anterior en (3.38) obtenemos que

~f = ε0

(∇ · ~E

)~E− 1

µ0

~B×(∇× ~B

)− ε0~E×

(∇× ~E

)− 1

c2

∂~S∂t

,

donde hemos tenido en cuenta la definicion de vector de Poynting y que µ0ε0 = 1/c2. La expresionanterior puede ser reescrita teniendo en cuenta que ∇ · ~B = 0. Entonces

~f = ε0

(∇ · ~E

)~E +

1µ0

(∇ · ~B

)~B− 1

µ0

~B×(∇× ~B

)− ε0~E×

(∇× ~E

)− 1

c2

∂~S∂t

. (3.39)



La ecuacion (3.39) puede ser modificada con ayuda de la densidad tensorial de Levi-Civita.Haciendo uso del convenio de suma de Einstein, la i-esima componente de la densidad de fuerzade Lorentz sera entonces

fi = ε0Ei∂Ej

∂xj+

1µ0

Bi∂Bj

∂xj− 1

µ0εijkBj

(∇× ~B

)k− ε0εijkEj

(∇× ~E

)k− 1

c2

∂Si

∂t

= ε0Ei∂Ej

∂xj+

1µ0

Bi∂Bj

∂xj− 1

µ0εijkεklmBj

∂Bm

∂xl− ε0εijkεklmEj

∂Em

∂xl− 1

c2

∂Si

∂t.

Pero sabemos que εijkεklm = εkijεklm = δilδjm − δimδjl. En consecuencia,

fi = ε0Ei∂Ej

∂xj+

1

µ0Bi

∂Bj

∂xj− 1

µ0

[δilδjm − δimδjl

]Bj

∂Bm

∂xl− ε0

[δilδjm − δimδjl

]Ej

∂Em

∂xl− 1

c2∂Si

∂t

= ε0Ei∂Ej

∂xj+ ε0Ej

∂Ei

∂xj+

1

µ0Bi

∂Bj

∂xj+

1

µ0Bj

∂Bi

∂xj− ε0Em

∂Em

∂xi− 1

µ0Bm

∂Bm

∂xi− 1

c2∂Si

∂t

= ε0∂

∂xj(EiEj) +

1

µ0

∂

∂xj(BiBj)− ε0

2

∂E2

∂xi− 1

2µ0

∂B2

∂xi− 1

c2∂Si

∂t

=∂

∂xj

[ε0EiEj +

1

µ0BiBj − ε0

2

(E2 + c2B2

)δij

]− 1

c2∂Si

∂t,

es decir,

fi =∂

∂xj

[ε0

(EiEj + c2BiBj

)− wδij

]− 1c2

∂Si

∂t, (3.40)

donde hemos tenido en cuenta la definicion (3.32) para la densidad de energıa del campo electro-

magnetico. Definamos el tensor−→−→T cuyas componentes son

Tij = ε0(EiEj + c2BiBj

)− wδij . (3.41)

Entonces la expresion (3.40) puede ser escrita en forma vectorial como

~f = ∇ ·−→−→T − 1

c2

∂~S∂t

. (3.42)

El tensor−→−→T recibe el nombre de tensor de esfuerzos de Maxwell debido a la analogıa con el

tensor de esfuerzos de la Teorıa de la Elasticidad. Notese que el tensor de esfuerzos de Maxwelles simetrico, posee solo seis componentes independientes y ademas

Tr (Tij) =3∑

i=1

Tii = −w. (3.43)

El significado fısico del tensor de esfuerzos de Maxwell es inmediato a partir de la mensiona-da teorıa: si tomamos un volumen V ⊂ R3 limitado por una superficie S suave a pedazos y

orientable, la divergencia de−→−→T no es mas que la densidad de fuerza que sobre V ejerce el cam-

po electromagnetico, mientras que el flujo de−→−→T a traves de S es la fuerza que ejerce el campo

electromagnetico sobre dicha superficie. Integrando sobre V obtenemos

~F =∫

V~f dV =

∫

V∇ ·

−→−→T dV − 1

c2

d

dt

∫

V~S dV,



o bien

~F +d

dt

1c2

∫

V~S dV = ©

∫∫

S

−→−→T · ~n dS. (3.44)

De acuerdo con la segunda ley de Newton,

~F =d

dt~Pp,

siendo ~Pp el momentum lineal total asociado a las partıculas del sistema. El miembro izquierdode (3.44) puede entonces ser escrito como una unica derivada temporal, es decir,

d

dt

(~Pp + ~Pf

)= ©

∫∫

S

−→−→T · ~n dS, (3.45)

donde hemos definido

~Pf =1c2

∫

V~S dV, (3.46)

magnitud que puede ser interpretada como el momentum lineal total asociado al campo elec-tromagnetico, ya que ~Pf solo depende de magnitudes propias del campo. La expresion (3.45) seconoce con el nombre de ley de conservacion del momentum lineal del campo electromagnetico,aunque ella en realidad se refiere a la ley de conservacion del momentum lineal del sistema in-tegrado por el campo electromagnetico y su fuente (partıculas cargadas en movimiento relativocon respecto a cierto observador inercial).

Figura 3.1: Dispositivo de Lebedev para el estudio experimental de la presion luminosa.

Aun en ausencia de partıculas cargadas el campo electromagnetico es capaz de transportarmomentum lineal. El cambio de momentum lineal del campo electromagnetico sobre cierta su-perficie S de area A(S) puede producir sobre dicha superficie una presion P dada por la formula



P =1

A(S)d

dt~Pf . (3.47)

El efecto que el campo electromagnetico puede ejercer sobre una superficie dada es especialmentenotable en el caso de las ondas electromagneticas 6, de las cuales la luz visible es un caso particu-lar. El pionero en estudiar experimentalmente los efectos de la presion luminosa fue el cientıficoruso P. N. Lebedev [18] en el ano 1901. Para llevar a cabo sus estudios Lebedev desarrollo un dis-positivo simple, ilustrado en la Fig. 3.1, consistente en un par de aletas de masas y areas igualesunidas por un eje rıgido, que pueden girar alrededor del centro de dicho eje. Una de las caras decada aleta esta recubierta por un material reflectante, mientras que la cara opuesta esta recubier-ta por un material negro absorbente. La disposicion de las aletas es tal que las caras reflectantesse alternan consecutivamente con las caras absorbentes. El sistema es colocado en una campanade vidrio en la que se hace un vacıo para minimizar los efectos de la fuerza de friccion entre lasaletas y el aire. Al iluminar el sistema con luz visible las aletas comienzan a rotar. Este efecto esfacilmente explicable a partir de la teorıa electromagnetica. Le sugerimos al lector que desarrolledicha explicacion a partir de los conceptos vistos aquı.

3.8. Ondas electromagneticas.

Supongamos que tenemos un campo electromagnetico definido en cierta region espacio-tem-poral en la cual tanto la densidad de carga ρ como la densidad de corriente ~J son nulas. Lasecuaciones de Maxwell en este caso toman la forma

∇× ~E(~r, t) = − ∂

∂t~B(~r, t), (3.48)

∇× ~B(~r, t) =1c2

∂

∂t~E(~r, t), (3.49)

∇ · ~E(~r, t) = 0, (3.50)

y

∇ · ~B(~r, t) = 0. (3.51)

Tomando rotacional en la ecuacion (3.48) tendremos que

∇×∇× ~E = − ∂

∂t∇× ~B,

de donde, en virtud de (3.49)

∇(∇ · ~E

)−∇2~E = − 1

c2

∂2~E∂t2

,

y de acuerdo con (3.50) hallamos finalmente que(∇2 − 1

c2

∂2

∂t2

)~E(~r, t) = ¤ ~E(~r, t) = 0. (3.52)

6Las ondas electromagneticas, como veremos en la proxima seccion, son un caso particular de campo electromagnetico.



Analogamente, tomando rotacional en (3.49) y teniendo en cuenta las ecuaciones de Maxwell(3.48) y (3.51) obtenemos que

(∇2 − 1

c2

∂2

∂t2

)~B(~r, t) = ¤ ~B(~r, t) = 0. (3.53)

Los campos ~E y ~B son soluciones de la ecuacion homogenea de D ′Alembert, tambien conocidacon el nombre de ecuacion de onda. En otras palabras, en regiones del espacio-tiempo dondeρ y ~J son simultaneamente nulas tanto la componente electrica como la componente magneticadel campo electromagnetico seran soluciones de la ecuacion de onda. Tales ondas se conocencon el nombre de ondas electromagneticas, y son un caso especial de campo electromagnetico.La velocidad de propagacion de las ondas electromagneticas en el vacıo es exactamente c, comopuede inferirse de las ecuaciones homogeneas de D ′Alembert. Para que las soluciones de lasecuaciones de onda (3.52) y (3.53) tengan sentido fısico, los campos ~E y ~B tienen que ser, ademas,soluciones de las ecuaciones de Maxwell (3.48)-(3.51).

3.8.1. Ondas planas.

Una posible solucion de las ecuaciones homogeneas de D ′Alembert (3.52) y (3.53) es la ondaplana caracterizada por los vectores

~E(~r, t) = ~E0 exp[i(~k ·~r− ωt

)](3.54)

y

~B(~r, t) = ~B0 exp[i(~k ·~r− ωt

)], (3.55)

siendo ~E0 y ~B0 las amplitudes complejas del campo electrico y el campo magnetico, respectiva-mente, de la onda electromagnetica, ~k es el denominado vector de onda y ω es la frecuencia dela onda. Esta onda es monocromatica, pues la frecuencia de la onda posee un unico valor biendefinido. Ademas, la direccion de propagacion de la onda es justamente la direccion del vector ~k.Debemos exigir que las expresiones (3.54) y (3.55) sean tambien soluciones de las ecuaciones deMaxwell. Ası,

∇ · ~E = 0 ⇒ i~k · ~E0 exp[i(~k ·~r− ωt

)]= 0,

de donde

~k · ~E = 0. (3.56)

Analogamente

∇ · ~B = 0 ⇒ i~k · ~B0 exp[i(~k ·~r− ωt

)]= 0,

de donde

~k · ~B = 0. (3.57)

Por otra parte,

∇× ~E = −∂~B∂t

⇒ i~k× ~E0 exp[i(~k ·~r− ωt

)]= iω~B0 exp

[i(~k ·~r− ωt

)],



y en consecuencia

~k× ~E = ω~B. (3.58)

De la misma forma

∇× ~B =1c2

∂~E∂t

⇒ i~k× ~B0 exp[i(~k ·~r− ωt

)]= −i

ω

c2~E0 exp

[i(~k ·~r− ωt

)],

y por lo tanto

~k× ~B = − ω

c2~E. (3.59)

Premultiplicando vectorialmente por ~k en la expresion (3.58) hallamos que

~k× ~k× ~E = ω~k× ~B = −ω2

c2~E,

de donde

~k(~k · ~E

)− k2 ~E = −ω2

c2~E.

Teniendo en cuenta la relacion (3.56) obtenemos finalmente que

|~k| = k =ω

c. (3.60)

Notese que los vectores ~k, ~E y ~B son mutuamente ortogonales. Puesto que los vectores ~E y ~Basociados a la onda electromagnetica que se propaga en el vacıo son perpendiculares a la direccionde propagacion de dicha onda (es decir, perpendiculares al vector de onda ~k), se dice que la ondaelectromagnetica en cuestion es transversal. En determinadas circunstancias, que no analizaremosaquı, pueden tener lugar ondas electromagneticas longitudinales en las cuales uno de los vectores~E o ~B resulta ser paralelo a ~k, pero esto solo puede ocurrir cuando la onda electromagnetica sepropaga a traves de ciertos medios materiales no vacıos.

Definamos las magnitudes E = |~E|, B = |~B| y los vectores unitarios ~ek, ~eE y ~eB a lo largode las direcciones de los vectores ~k, ~E y ~B, respectivamente. Entonces, teniendo en cuenta que~k = k~ek = ω

c~ek en la expresion (3.59) hallamos que

ω

c~ek × ~B = − ω

c2~E,

de donde

~B× ~ek =1c

~E. (3.61)

De forma similar puede demostrarse, a partir de (3.58), que

1c

~ek × ~E = ~B. (3.62)

Tomando modulo en ambos miembros de (3.61) [o de (3.62)] y teniendo en cuenta la ortogonali-dad entre ~k, ~E y ~B es facil ver que

E = cB, (3.63)



o bien

c2B2 − E2 = 0. (3.64)

Los campos ~E y ~B asociados a la onda electromagnetica plana no son, en consecuencia, indepen-dientes entre sı.

Encontremos ahora las relaciones que satisfacen los vectores unitarios ~ek, ~eE y ~eB . Premulti-plicando vectorialmente por ~B en la expresion (3.61) hallamos

~B× ~B× ~ek = ~B(

~B · ~ek

)−B2~ek =

1c

~B× ~E.

Luego

~ek =~E× ~BcB2

=~E× ~BEB

.

Aquı hemos tenido en cuenta la expresion (3.63). Ası,

~ek = ~eE × ~eB . (3.65)

La cantidad

φ(~r, t) = ~k ·~r− ωt (3.66)

se conoce con el nombre de fase de la onda plana. La superficie definida por la ecuacion parametri-ca φ(~r, t) = const se llama superficie de fase constante o frente de onda en el instante t. El frentede onda de la onda plana es precisamente un plano, definido por la ecuacion parametrica

~k ·~r− ωt = const, (3.67)

o bien

~ek ·~r− ct = const, (3.68)

donde la variable t juega el papel del parametro. Notese que el vector ~k es siempre perpendicularal frente de onda en este caso, de donde se infiere que el frente de onda de la onda plana esperpendicular a la direccion de propagacion de dicha onda en cualquier instante de tiempo.

3.8.2. Densidad de energıa y vector de Poynting de la onda plana.

De acuerdo con la expresion (3.32), la densidad de energıa de la onda plana es

w =ε02

(E2 + c2B2

)=

ε02

E2 +ε0c

2

2

[1c

~ek × ~E]2

,

donde hemos tenido en cuenta la relacion (3.62). De aquı puede verse sin dificultades que

w = ε0E2 (3.69)

es la densidad de energıa de la onda plana.En virtud de la definicion (3.33) para el vector de Poynting,

~S = ε0c2~E× ~B.



De acuerdo con (3.62),

~S = ε0c2~E×

[1c

~ek × ~E]

= ε0c[~ekE2 − ~E

(~ek · ~E

)],

de donde

~S = ε0cE2~ek, (3.70)

o bien, teniendo en cuenta la expresion (3.69) para la densidad de energıa de la onda plana,

~S = cw~ek. (3.71)

La direccion del vector de Poynting es la direccion de propagacion de la energıa de la onda elec-tromagnetica, la cual coincide con la direccion del vector de onda.

3.8.3. Polarizacion de las ondas planas.

Sea

~E(~r, t) = ~E0 exp[i(~k ·~r− ωt

)]

el campo electrico asociado a cierta onda plana monocromatica. Tomemos un sistema de referen-cia tal que ~k = (0, 0, k). Entonces

~E(~r, t) = ~E0 exp [i (kz − ωt)] = ~E0 exp[iω

c(z − ct)

].

Los frentes de onda en este caso son los planos z = const. Analicemos el comportamiento delcampo electrico en el plano particular z = 0. La amplitud ~E0 del campo electrico es en general unvector complejo, que puede ser escrito como

~E0 = E0x~ex + E0y~ey = E0xeia~ex + E0yeib~ey,

donde ~ex y ~ey son los vectores unitarios a lo largo de las direcciones de los ejes x y y, respec-tivamente, mientras que E0x [E0y] y a [b] son la amplitud real y la fase, respectivamente, de lacomponente E0x [E0y] del vector ~E0. En consecuencia,

~E(0, t) = E0xeiae−iωt~ex + E0yeibe−iωt~ey = Ex(0, t)~ex + Ey(0, t)~ey, (3.72)

siendo

Ex(0, t) = E0xei(a−ωt) (3.73)

y

Ey(0, t) = E0yei(b−ωt). (3.74)

Tomemos, sin perdida de generalidad, b = 0 en (3.74) y definamos

Ex(t) = Re [Ex(0, t)] = E0x cos(a− ωt) (3.75)

y

Ey(t) = Re [Ey(0, t)] = E0y cos(ωt). (3.76)



Entonces

Ex(t) = E0x [cos(ωt) cos(a) + sin(ωt) sin(a)] . (3.77)

Pero de acuerdo con (3.76),

cos(ωt) =Ey(t)E0y

,

de donde, sustituyendo en (3.77) encontramos que

Ex(t)E0x

=Ey(t)E0y

cos(a) +

√1− E2

y (t)E20y

sin(a).

Eliminando el radical en el miembro derecho de la expresion anterior obtenemos finalmente que

[Ex(t)E0x

]2

+[Ey(t)E0y

]2

− 2Ex(t)Ey(t)E0xE0y

cos(a) = sin2(a). (3.78)

Esta es la ecuacion de una elipse cuyo semieje mayor forma un angulo θ con el eje Ex tal que

tan(2θ) = 2E0xE0y

E20x − E2

0y

cos(a). (3.79)

Notese que la cantidad a es la diferencia de fase entre Ex y Ey [ver relaciones (3.73) y (3.74),respectivamente]. Si no hubiesemos tomado b = 0 en (3.74), entonces habrıamos obtenido ecua-ciones similares a (3.78) y (3.79), pero reemplazando a por b− a.

La relacion entre las partes reales de las dos componentes fundamentales del campo electricoen una superficie de fase constante define la polarizacion de la onda. De acuerdo con (3.78), laonda monocromatica plana posee, en general, polarizacion elıptica. Pueden existir, sin embargo,diferentes tipos de polarizacion que pueden ser obtenidos a partir de la expresion (3.78). Veamosestos casos.

1. a = 2nπ. En este caso

Ex(t) =E0x

E0yEy(t),

y la polarizacion de la onda electromagnetica plana es lineal.

2. a = (2n + 1)π. Entonces se tiene que

Ex(t) = −E0x

E0yEy(t),

y la polarizacion de la onda tambien es lineal.

3. a = (2n + 1)π2 conduce a que

[Ex(t)E0x

]2

+[Ey(t)E0y

]2

= 1.

En este caso la polarizacion de la onda electromagnetica plana es elıptica no rotada.



4. Finalmente, si en el caso anterior tenemos que E0x = E0y = E0, entonces

E2x(t) + E2

y (t) = E20 ,

es decir, la polarizacion de la onda es circular.

Las expresiones (3.75) y (3.76) constituyen una parametrizacion, con parametro t, de la elipsedada por la relacion (3.78). La variacion del tiempo hace que la elipse se recorra en un sentido uotro, dependiendo del valor de la cantidad a. Si 0 < a < π la elipse se recorre en el sentido de lasmanecillas del reloj, y la polarizacion de llama dextrogira. Si por el contrario π < a < 2π la elipsese recorre en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, y la polarizacion se llama levogira.

3.9. Paquete de ondas.

Un paquete de ondas es una onda electromagnetica localizada tanto desde el punto de vistaespacial como temporal. El paquete de ondas puede ser expresado como una superposicion deondas planas monocromaticas con amplitudes dependientes de los parametros de la onda (~k yω).

Consideremos la onda monocromatica plana, con amplitud dependiente de la frecuencia

~Eω(z, t) = ~E0(ω) ei(kz−ωt), (3.80)

que se propaga a lo largo de la direccion del eje z. Sea ahora ~E(z, t) la superposicion de infinitasondas de frecuencia ω

~E(z, t) =∫ +∞

0

~Eω(z, t) dω =∫ +∞

0

~E0(ω) ei(kz−ωt) dω. (3.81)

Como las ecuaciones de Maxwell son lineales y ~Eω las satisface, entonces ~E tambien satisface lasecuaciones de Maxwell. Es evidente que ~E tambien es una solucion de la ecuacion de onda, envirtud de lo cual dicha magnitud es la componente electrica del campo asociado a una onda elec-tromagnetica. Dicha onda electromagnetica, por estar constituıda por la superposicion de ondasmonocromaticas de frecuencias diferentes, suele llamarse paquete de ondas.

La funcion ~E0(ω) es la encargada de modular la amplitud de la componente de frecuencia ωen el paquete de ondas. Para el caso particular

~E0(ω) = ~E0 δ (ω − ω0)

obtenemos, despues de sustituir en (3.81),

~E(z, t) = ~E0 ei(kz−ω0t),

que es la expresion para la onda monocromatica plana de frecuencia ω0.Consideremos ahora el caso en que el paquete de ondas esta integrado solamente por ondas

monocromaticas con frecuencias contenidas en el segmento ω0 − ∆ω2 ≤ ω ≤ ω0 + ∆ω

2 . En otraspalabras, supongamos que

~E0(ω) =

~E0 si |ω − ω0| ≤ ∆ω

2

0 si |ω − ω0| > ∆ω2

. (3.82)



Entonces

~E(z, t) = ~E0

∫ ω0+∆ω2

ω0−∆ω2

ei(kz−ωt) dω. (3.83)

En general el vector de onda k es una funcion de la frecuencia. Si ∆ω ¿ ω0 podemos efectuar undesarrollo de k en serie de potencias de ω − ω0, es decir,

k(ω) ' k(ω0) +dk

dω

∣∣∣∣ω=ω0

(ω − ω0) + ... . (3.84)

En una aproximacion de primer orden podemos tomar

k(ω) ' k(ω0) +1

vg(ω0)(ω − ω0), (3.85)

siendo vg(ω0) la velocidad de grupo 7 a la frecuencia ω0. En consecuencia

~E(z, t) = ~E0

∫ ω0+∆ω2

ω0−∆ω2

ei(k0z+

ω−ω0vg

z−ωt)dω = ~E0e

i(k0z−ω0t)

∫ ω0+∆ω2

ω0−∆ω2

ei[

zvg−t

](ω−ω0) dω,

con k0 = k(ω0). Haciendo el cambio de variables u = ω − ω0 encontramos que

~E(z, t) = ~E0 ei(k0z−ω0t)

∫ ∆ω2

−∆ω2

ei[

zvg−t

]u

du =~E0∆ω[

zvg− t

]∆ω2

sin[(

z

vg− t

)∆ω

2

]ei(k0z−ω0t).

Definamos

~A(ξ) = ~E0sin(ξ)

ξ∆ω, (3.86)

siendo

ξ =[

z

vg(ω0)− t

]∆ω

2. (3.87)

Entonces

~E(z, t) = ~A(ξ)ei(k0z−ω0t). (3.88)7Ya hemos visto que, para el caso de una onda electromagnetica plana, la relacion entre el modulo del vector de onda

y la frecuencia de la onda viene dada por la expresion

k =ω

c.

En general, la relacion ~k = ~k(ω) [o tambien ω = ω(~k)] se conoce con el nombre de relacion de dispersion de la onda.Suelen definirse la velocidad de fase de la onda por la expresion

vf =ω

k,

y la velocidad de grupo de la onda como

vg =dω

dk=

1

dk/dω.

En general, la velocidad de grupo es siempre menor o igual que la velocidad de propagacion de la onda en el vacıo(vg ≤ c), mientras que la velocidad de fase puede ser menor, igual, o mayor que c. En el caso particular de la ondamonocromatica plana las velocidades de fase y grupo coinciden, y ambas son iguales a c.



Notese que la maxima amplitud de ~E(z, t) se obtiene cuando ξ = 0. Atendiendo a la definicion(3.87),

ξ = 0 ⇒ zm

vg(ω0)− t = 0,

de donde

zm = vg(ω0)t. (3.89)

Es decir, el punto de maxima amplitud del paquete de ondas electromagneticas considerado sedesplaza con la velocidad de grupo. Esta conclusion es general y valida para cualquier paquetede ondas que se propague en el vacıo.

Elijamos ahora z = z0 fijo. Sea t tal que

ξ1 =[

z0

vg(ω0)− t

]∆ω

2≥ π

2

y ∆t tal que

ξ2 =[

z0

vg(ω0)− (t + ∆t)

]∆ω

2≤ −π

2.

La cantidad ∆t puede ser considerada aquı como el tiempo que demora el paquete de ondas enpasar por el punto de coordenada z0, es decir, como el tiempo de duracion del pulso (paquete)electromagnetico descrito por la relacion (3.88). Restando las dos expresiones anteriores hallamos

∆ω ∆t ≥ 2π. (3.90)

Sea ahora z = zm + ∆z, donde zm es la posicion del punto de maxima amplitud del paquete,tal que

ξ =[

z

vg(ω0)− t

]∆ω

2=

[zm + ∆z

vg(ω0)− t

]∆ω

2≥ π.

La cantidad ∆z puede ser considerada como la longitud espacial del paquete de ondas. En con-secuencia,[(

zm

vg(ω0)− t

)+

∆z

vg(ω0)

]∆ω

2=

∆z

vg(ω0)∆ω

2≥ π.

Aquı hemos tenido en cuenta la relacion (3.89). Pero, de acuerdo con (3.85), es evidente que

k − k0 = ∆k =ω − ω0

vg(ω0)=

∆ω

vg(ω0).

De esta manera encontramos finalmente que

∆z ∆k ≥ 2π. (3.91)

El significado fısico de la relacion (3.90) es inmediato: para una onda electromagnetica estric-tamente monocromatica (∆ω = 0) se tiene que ∆t → ∞, es decir, la duracion del paquete deondas es infinito o, en otras palabras, la onda electromagnetica esta deslocalizada en el tiempo.En este caso se dice que la onda electromagnetica es temporalmente coherente. Analogamente,en virtud de (3.91), si el vector de onda esta bien determinado (∆k = 0) entonces ∆z → ∞, osea, la onda electromagnetica esta deslocalizada en el espacio. Suele decirse entonces que la ondaelectromagnetica es espacialmente coherente. En la practica no existen ondas coherentes desde elpunto de vista temporal ni desde el punto de vista espacial. Aun en el caso de la radiacion laser-la mas coherente creada por el ser humano- las magnitudes ∆ω

ω y ∆kk , aunque muy pequenas, no

son exactamente iguales a cero.



3.10. Problemas propuestos1. La partıcula cargada de carga q se mueve en el plano XY a lo largo de la recta y = x− a con velocidad constante

~v alejandose del origen de coordenadas. En el instante de tiempo t = 0 la partıcula se encontraba sobre el eje x.Calcule las densidades de carga y corriente asociadas a la partıcula y verifique el cumplimiento de la ecuacion decontinuidad.

2. La partıcula cargada con carga q se mueve a lo largo del eje x segun la ley x(t) = A sin(ωt). Calcule las densidadesde carga y corriente asociadas a la partıcula y verifique el cumplimiento de la ecuacion de continuidad. Halle losvalores medios 〈ρ〉 y 〈~J〉 de las densidades de carga y corriente, respectivamente, en el perıodo T = 2π

ω. Demuestre

que∫〈ρ〉 dV = q.

3. La partıcula de carga q se mueve en el plano XY siguiendo una trayectoria circular de radio a con velocidadangular constante ω. La trayectoria circular tiene su centro en el origen de coordenadas, y en el instante de tiempot = 0 la partıcula se encontraba sobre la rama positiva del eje x. Halle las densidades de carga y corriente asociadasa la partıcula y escrıbalas en coordenadas cilındricas. Demuestre que

∫〈ρ〉 dV = q

y que∫

dr

∫dz 〈Jϕ〉 dV =

q

T,

siendo 〈Jϕ〉 el valor medio, en un perıodo de revolucion T de la partıcula, de la componente ϕ de la densidad decorriente.

4. En el plano XY se encuentra un hilo conductor que describe la parabola y = αx2 (α > 0). Un campo magneticohomogeneo y constante de induccion ~B esta aplicado en la direccion perpendicular al plano de la parabola. Enel instante de tiempo t = 0 comienza a desplazarse, con aceleracion constante a dirigida a lo largo del eje y, unpuente metalico que une las dos ramas de la parabola y que es paralelo al eje x. Hallar la fuerza electromotrizinducida en el circuito formado por la parabola y el puente en funcion de y.

5. Calcule los valores medios de la densidad de energıa y del vector de Poynting asociados a una onda electro-magnetica plana de frecuencia ω y amplitud ~E0.

6. En el plano z = 0 el vector ~E del campo electromagnetico de una onda monocromatica plana que se propaga en ladireccion del eje z es

~E = E0

[e−i(ωt−π

4 )~ex + e−iωt~ey

],

siendo~ex y~ey los vectores unitarios a lo largo de las direcciones de los ejes x y y, respectivamente, ω es la frecuenciade la onda y E0 es un numero real. Encuentre una expresion que vincula las partes reales de las dos componentesdadas de ~E. ¿Que tipo de polarizacion posee la onda dada?


CAPITULO 4

Teorıa Clasica de la Radiacion

4.1. Solucion de las ecuaciones para los potenciales del campoelectromagnetico.

Ya hemos visto que los potenciales φ y ~A del campo electromagnetico satisfacen las ecuacionesno-homogeneas de D ′Alembert [ver ecuaciones (3.24) y (3.25) en la seccion 3.5.2 del Capıtulo 3]

¤φ(~r, t) = −ρ(~r, t)ε0

y

¤~A(~r, t) = −µ0~J(~r, t),

respectivamente. La forma explıcita para los potenciales del campo electromagnetico puede serencontrada con el auxilio de la conocida identidad de Kirchhoff y de la funcion de Green para laecuacion de D ′Alembert en el espacio abierto. Veamos.

4.1.1. Identidad de Kirchhoff.

Para la deduccion de la identidad de Kirchhoff nos hemos basado en el formalismo desarro-llado en la referencia [2].

Estudiemos la solucion del problema diferencial[∇2 − 1

c2

∂2

∂t2

]u(~r, t) = ¤u(~r, t) = −f(~r, t) (4.1)

y para ello consideremos la superficie definida por la ecuacion

1c|~r−~r0| = |t− t0|, (4.2)

llamada usualmente cono luminoso con vertice en el punto M0 de radiovector de posicion ~r0 enel instante t0. Notese que si en el instante de tiempo t = 0 se emite una onda electromagneticadesde el punto M0, entonces en el instante de tiempo t > t0 la senal llegara al punto M de radiovector de posicion ~r y, obviamente,

1c|~r−~r0| = t− t0, t > t0. (4.3)

Analogamente, si en el instante de tiempo t < t0 se emite desde el punto M de radiovector deposicion ~r una onda electromagnetica, entonces la senal arribara al punto M0 en el instante detiempo t0 tal que

1c|~r−~r0| = t0 − t, t < t0. (4.4)

83

Capıtulo 4. Teorıa Clasica de la Radiacion 84

Las ecuaciones (4.3) y (4.4) definen la parte superior y la parte inferior, respectivamente, del conoluminoso con respecto a su vertice M0.

Efectuemos en (4.1) el cambio de variables

t∗ = t−[t0 − |~r−~r0|

c

](4.5)

y pasemos a las coordenadas esfericas (r, θ, ϕ) tomando el origen de coordenadas en el punto M0.Denotemos

U(r, θ, ϕ, t∗) = u(r, θ, ϕ, t) (4.6)

y

F (r, θ, ϕ, t∗) = f(r, θ, ϕ, t). (4.7)

Notese que

∂u

∂r=

∂U

∂r+

1c

∂U

∂t∗,

∂2u

∂r2=

∂2U

∂r2+

2c

∂2U

∂r∂t∗+

1c2

∂2U

∂t∗2,

∂u

∂θ=

∂U

∂θ,

∂2u

∂θ2=

∂2U

∂θ2,

∂u

∂ϕ=

∂U

∂ϕ,

∂2u

∂ϕ2=

∂2U

∂ϕ2,

∂u

∂t∗=

∂U

∂t∗,

∂2u

∂t∗2=

∂2U

∂t∗2.

En consecuencia,

¤u =∂2U

∂r2+

2r

∂U

∂r+

1r2 sin(θ)

∂

∂θsin(θ)

∂U

∂θ+

1r2 sin2(θ)

∂2U

∂ϕ2+

2cr

∂U

∂t∗+

2c

∂2U

∂r∂t∗

+1c2

∂2U

∂t∗2− 1

c2

∂2U

∂t∗2= −F,

de donde obtenemos que

∇2U(~r, t∗) = −F (~r, t∗)− 2cr

∂

∂rr∂U(~r, t∗)

∂t∗. (4.8)

Esta es una ecuacion no-homogenea de Poisson, en la cual t∗ actua como un parametro.Sea V ⊂ R3 un conjunto volumetrico limitado por una superficie orientable S con vector

normal ~n y supongamos que V contiene el origen de coordenadas, es decir, M0 ∈ V . Ya hemosvisto en el Capıtulo 1 que la solucion del problema diferencial

∇2u(~r) = −f(~r)

admite la solucion general

u(~r) =∫

VG(~r,~r ′)f(~r ′) dV ′ +©

∫∫

S

[G(~r,~r ′)

∂u(~r ′)∂n ′ − u(~r ′)

∂

∂n ′G(~r,~r ′)]

dS ′,

siendo

G(~r,~r ′) =1

4π|~r−~r ′|



la funcion de Green para la ecuacion de Poisson. Por lo tanto la solucion de la ecuacion (4.8) en elpunto M0 (~r0 = 0) en el instante t∗ es

U(0, t∗) =14π

©∫∫

S

[1r

∂U(~r, t∗)∂n

− U(~r, t∗)∂

∂n

1r

]dS +

14π

∫

V

2cr2

∂

∂r

[r∂U(~r, t∗)

∂t∗

]dV

+14π

∫

V

F (~r, t∗)r

dV. (4.9)

Consideremos la integral

I =∫

V

1r2

∂

∂r

[r∂U(~r, t∗)

∂t∗

]dV. (4.10)

Entonces la expresion (4.9) puede ser reescrita como

U(0, t∗) =14π

©∫∫

S

[1r

∂U(~r, t∗)∂n

− U(~r, t∗)∂

∂n

1r

]dS +

14π

2cI +

14π

∫

V

F (~r, t∗)r

dV. (4.11)

Dado un campo vectorial ~H tal que

~H = Hr~er + Hθ~eθ + Hϕ~eϕ

escrito en coordenadas esfericas, su divergencia puede calcularse mediante la expresion

∇ · ~H =1

r2 sin(θ)

[∂

∂rr2 sin(θ)Hr +

∂

∂θr sin(θ)Hθ +

∂

∂ϕr Hϕ

].

Si en particular Hθ = Hϕ = 0, entonces

∇ · ~H =1r2

∂

∂rr2 Hr.

Definamos

~H(~r, t∗) =1r

∂U(~r, t∗)∂t∗

~er.

Entonces

I =∫

V∇ · ~H(~r, t∗) dV = ©

∫∫

S~H(~r, t∗) · ~n dS = ©

∫∫

S

1r

∂U(~r, t∗)∂t∗

~er · ~n dS.

Pero

~er · ~n = ∇r · ~n =dr

dn.

Luego

I = ©∫∫

S

1r

∂U(~r, t∗)∂t∗

dr

dndS. (4.12)

Sustituyendo (4.12) en (4.11) encontramos que

U(0, t∗) =14π

©∫∫

S

[1r

∂U(~r, t∗)∂n

− U(~r, t∗)∂

∂n

1r

+2cr

dr

dn

∂U(~r, t∗)∂t∗

]dS

+14π

∫

V

F (~r, t∗)r

dV. (4.13)



Retornemos ahora a las variables originales (~r, t). Puesto que en virtud de (4.6) se tiene queu(~r, t) = U(~r, t∗), entonces

∂u

∂n= ∇u · ~n = ∇U · ~n +

∂U

∂t∗∇t∗ · ~n.

Pero de acuerdo con la expresion (4.5)

∇t∗ · ~n =1c∇r · ~n =

1c

dr

dn.

Luego

∂u

∂n=

∂U

∂n+

1c

dr

dn

∂U

∂t∗. (4.14)

Supongamos ahora que t∗ = 0 en (4.5). En este caso

t = t0 − |~r−~r0|c

(4.15)

y

U(~r, 0) = u(~r, t0 − r

c

), (4.16)

donde ~r0 = 0 por haber tomado el origen de coordenadas sobre el punto M0. Notese que si~r = ~r0 = 0 entonces t = t0. Por lo tanto

U(0, 0) = u(~r0, t0). (4.17)

Evaluando la expresion (4.13) en t∗ = 0 y teniendo en cuenta las expresiones (4.6), (4.7), (4.14),(4.15), (4.16) y (4.17) encontramos

u(~r0, t0) =14π

©∫∫

S

[1r

∂u(~r, t0 − r

c

)

∂n− u

(~r, t0 − r

c

) ∂

∂n

1r

+1cr

dr

dn

∂u(~r, t0 − r

c

)

∂t

]dS

+14π

∫

V

f(~r, t0 − r

c

)

rdV. (4.18)

Esta es la solucion general de la ecuacion diferencial (4.1) en el vertice del cono luminoso. Laexpresion anterior puede ser facilmente extendida para cualesquiera valores de ~r y t. Ası,

u(~r, t) =14π

©∫∫

S

1

|~r−~r ′|

[∂u

∂n ′

]− [u]

∂

∂n ′1

|~r−~r ′| +1

c|~r−~r ′|d|~r−~r ′|

dn ′

[∂u

∂t

]dS ′

+14π

∫

V

[f ]|~r−~r ′| dV

′, (4.19)

donde hemos definido

[u] = u

(~r ′, t− 1

c|~r−~r ′|

), (4.20)

[∂u

∂n ′

]=

∂u

∂n ′

(~r ′, t− 1

c|~r−~r ′|

), (4.21)



[∂u

∂t

]=

∂u

∂t

(~r ′, t− 1

c|~r−~r ′|

)(4.22)

y

[f ] = f

(~r ′, t− 1

c|~r−~r ′|

). (4.23)

La expresion (4.19) se conoce con el nombre de formula de Kirchhoff o identidad de Kirchhoff.

4.1.2. Funcion de Green para la ecuacion de D ′Alembert en el espacio abierto.

Consideremos el problema diferencial

¤G(~r,~r ′, t) = −δ(~r−~r ′

)δ(t), ~r ∈ R3, ~r ′ ∈ R3, t ∈ (0, +∞),

G(~r,~r ′, t) r→∞−→ 0,∂G(~r,~r ′,t)

∂n

r→∞−→ 0,

(4.24)

siendo ~n un vector normal a una esfera de radio R centrada en el origen de coordenadas. Obvia-mente el lımite r →∞ en la expresion anterior equivale a tomar el lımite R →∞ 1.

Haciendo f(~r, t) = δ(~r−~r ′

)δ(t) en la identidad de Kirchhoff (4.19) y teniendo en cuenta las

condiciones de frontera para G hallamos

G(~r,~r ′, t) =14π

∫

V

[f ]|~r−~r ′′| dV

′′ =14π

∫

V

1|~r−~r ′′| δ

(~r ′′ −~r ′

)δ

(t− 1

c|~r−~r ′′|

)dV ′′. (4.25)

En consecuencia,

G(~r,~r ′, t) =1

4π|~r−~r ′|δ(

t− 1c|~r−~r ′|

). (4.26)

Esta es la funcion de Green para la ecuacion de D ′Alembert en el espacio abierto. Dado el proble-ma diferencial

¤u(~r, t) = −f(~r, t), ~r ∈ R3, t ∈ (0,+∞),u(~r, t) r→∞−→ 0,∂u(~r,t)

∂n

r→∞−→ 0,

(4.27)

la solucion u viene dada por la convolucion de la inhomogeneidad f con la funcion de Green(4.26), es decir [2],

u(~r, t) =∫ +∞

0

dτ

∫

R3f(~r ′, τ)G

(~r,~r ′, t− τ

)dV ′. (4.28)

1Esta aclaracion es valida tambien para cualquier problema diferencial en el espacio abierto, como los dados por lasexpresiones (4.27), (4.29) y (4.30).



4.1.3. Potenciales retardados.

Ahora estamos en condiciones de resolver las ecuaciones para los potenciales del campo elec-tromagnetico en el espacio abierto. Estas ecuaciones son

¤φ(~r, t) = −ρ(~r,t)ε0

, ~r ∈ R3, t ∈ (0, +∞),φ(~r, t) r→∞−→ 0,∂φ(~r,t)

∂n

r→∞−→ 0

(4.29)

y

¤~A(~r, t) = −µ0~J(~r, t), ~r ∈ R3, t ∈ (0,+∞),

~A(~r, t) r→∞−→ 0,

∂ ~A(~r,t)∂n

r→∞−→ 0

(4.30)

para los potenciales escalar y vectorial, respectivamente.De acuerdo con (4.28) es evidente que

φ(~r, t) =1

4πε0

∫ +∞

0

dτ

∫

R3

ρ(~r ′, τ)|~r−~r ′| δ

(t− τ − 1

c|~r−~r ′|

)dV ′

y

~A(~r, t) =µ0

4π

∫ +∞

0

dτ

∫

R3

~J(~r ′, τ)|~r−~r ′| δ

(t− τ − 1

c|~r−~r ′|

)dV ′,

de donde

φ(~r, t) =1

4πε0

∫

R3

ρ(~r ′, t− 1

c |~r−~r ′|)

|~r−~r ′| dV ′ =1

4πε0

∫

R3

[ρ]|~r−~r ′| dV

′ (4.31)

y

~A(~r, t) =µ0

4π

∫

R3

~J(~r ′, t− 1

c |~r−~r ′|)

|~r−~r ′| dV ′ =µ0

4π

∫

R3

[~J]|~r−~r ′| dV

′. (4.32)

Por razones obvias los potenciales dados por las expresiones (4.31) y (4.32) reciben el nombrede potenciales retardados. Por ejemplo, si tenemos un diferencial de carga dependiente del tiemposituado en el punto de radiovector ~r ′, el diferencial de potencial que creara la carga infinitesimalsobre un punto del espacio de radiovector ~r en el instante t dependera del estado de dicha cargainfinitesimal en el instante t − t ′, siendo t ′ = 1

c |~r − ~r ′| el tiempo que demora la interaccion enpropagarse desde el punto de radiovector ~r ′ hasta el punto de radiovector ~r. Este hecho refleja lafinitud de la velocidad de propagacion de la interaccion en el campo electromagnetico.

4.2. Campo electromagnetico de una partıcula cargada en movi-miento arbitrario.

4.2.1. Potenciales de Lienard-Wiechert.

De especial importancia para la Teorıa de la Radiacion resultan ser los potenciales retardadosrelacionados con el movimiento arbitrario de una partıcula cargada. Estos potenciales, estudiados



por los fısicos Alfred-Marie Lienard [19] y Emil Johann Wiechert [20], se conocen con el nombrede potenciales de Lienard-Wiechert.

Supongamos que tenemos una partıcula de carga q y radiovector de posicion ~r0 = ~r0(t)moviendose con la velocidad ~v(t) = ~r0(t). Como ya es sabido, la densidad de carga asociadaa la partıcula es

ρ(~r, t) = q δ [~r−~r0(t)] .

El potencial escalar retardado sera entonces

φ(~r, t) =1

4πε0

∫

R3

[ρ]|~r−~r ′| dV

′ =q

4πε0

∫

R3

δ[~r ′ −~r0

(t− 1

c |~r−~r ′|)]

|~r−~r ′| dV ′.

La integral anterior puede ser reescrita como

φ(~r, t) =q

4πε0

∫

R3

dV ′

|~r−~r ′|∫

dτ δ[~r ′ −~r0(τ)

]δ

(τ − t +

1c|~r−~r ′|

),

de donde

φ(~r, t) =q

4πε0

∫δ[τ − t + 1

cR(τ)]

R(τ)dτ, (4.33)

siendo

R(t) = |~R(t)| = |~r−~r0(t)|. (4.34)

Analicemos la funcion delta de Dirac en la expresion (4.33). Como es sabido, la funcion deltade Dirac satisface la propiedad

δ [f(τ)] =∑

i

δ(τ − τi)∣∣∣ dfdτ

∣∣∣τ=τi

, (4.35)

siendo τi los ceros simples 2 de la ecuacion f(τ) = 0. Definamos

f(τ) = τ − t +1cR(τ). (4.36)

Entonces

df(τ)dτ

= 1 +1c

dR(τ)dτ

. (4.37)

Puede verse sin dificultades que

d

dτR2(τ) = 2R(τ)

dR(τ)dτ

= 2~R(τ) · d~R(τ)dτ

= −2~R(τ) · ~v(τ),

donde hemos tenido en cuenta que

d~R(τ)dτ

=d

dτ[~r−~r0(τ)] = −d~r0(τ)

dτ= −~v(τ).

2Decimos que x0 es un cero simple de la ecuacion f(x) = 0 si se cumplen simultaneamente las relaciones f(x0) = 0 ydf(x)

dx

∣∣∣x=x0

6= 0.



En consecuencia

R(τ)dR(τ)

dτ= −~R(τ) · ~v(τ),

de donde

dR(τ)dτ

= −~n(τ) · ~v(τ), (4.38)

siendo

~n(τ) =~R(τ)R(τ)

. (4.39)

Sustituyendo (4.39) en (4.37) obtenemos

df(τ)dτ

= 1− ~n(τ) · ~β(τ), (4.40)

donde

~β(τ) =~v(τ)

c(4.41)

es la velocidad de la partıcula expresada en unidades de la velocidad de la luz en el vacıo.La ecuacion f(τ) = 0 puede tener como maximo una raız simple. Si suponemos que la ecuacion

f(τ) = 0 tiene al menos dos raıces diferentes τ1 y τ2, entonces se satisfacen simultaneamente lasrelaciones

τ1 = t− 1cR(τ1)

y

τ2 = t− 1cR(τ2).

Restando ambas ecuaciones hallamos que

τ2 − τ1 =1c

[R(τ1)−R(τ2)] .

Esto significa que la partıcula debe barrer el arco de trayectoria comprendido entre τ = τ1 y τ = τ2

con una celeridad media igual a la velocidad de la luz en el vacıo, lo cual no debe ocurrir. Noteseademas que la raız de la ecuacion f(τ) = 0 es una raız simple, pues la derivada df(τ)

dτ dada por(4.40) es siempre diferente de cero para cualquier valor del tiempo 3. Esta raız es obviamente unafuncion de la variable t, definida implıcitamente por la ecuacion f(τ) = τ − t + 1

cR(τ) = 0.Denotemos entonces como τR = τR(t) a la unica raız de la ecuacion f(τ) = 0. En virtud de las

expresiones (4.35), (4.36) y (4.40) obtenemos

δ [f(τ)] =δ[τ − τR(t)]

|1− ~n(τ) · ~β(τ)|τ=τR(t)

. (4.42)

3La derivada df(τ)dτ

puede ser nula solamente si ~n · ~β = 1, lo cual significa que que ~v = c~n, y esto tampoco debe ocurrir.



Sustituyendo (4.42) en (4.33) es posible ver que

φ(~r, t) =q

4πε0

∫δ[τ − τR(t)]

|~r−~r0(τ)| |1− ~n(τ) · ~β(τ)|τ=τR(t)

dτ,

de donde

φ(~r, t) =q

4πε0

1

|1− ~n(τ) · ~β(τ)| |~r−~r0(τ)|

∣∣∣∣∣τ=τR(t)

. (4.43)

De forma analoga podemos proceder con el potencial vectorial del campo electromagneticogenerado por una partıcula en movimiento arbitrario teniendo en cuenta que

~J(~r, t) = ρ(~r, t) ~v(t) = q ~v(t) δ [~r−~r0(t)] .

El lector puede demostrar sin muchas dificultades que

~A(~r, t) =µ0q

4π

~v(τ)

|1− ~n(τ) · ~β(τ)| |~r−~r0(τ)|

∣∣∣∣∣τ=τR(t)

. (4.44)

Los potenciales del campo electromagnetico dados por las expresiones (4.43) y (4.44) son los cono-cidos potenciales de Lienard-Wiechert.

4.2.2. Campo estatico y campo de radiacion.

Los vectores ~E y ~B asociados al campo electromagnetico producido por el movimiento de lapartıcula pueden ser calculados a partir de las expresiones

~E = −∇φ− ∂ ~A∂t

y

~B = ∇× ~A.

Sustituyendo (4.43) y (4.44) en las expresiones anteriores es posible demostrar facilmente que

~E(~r, t) =q

4πε0

[1− β2(τ)

] [~n(τ)− ~β(τ)

]+ 1

cR(τ)~n(τ)×[

~n(τ)− ~β(τ)]× ~β(τ)

[1− ~n(τ) · ~β(τ)

]3

R2(τ)

∣∣∣∣∣∣∣τ=τR(t)

(4.45)

y

~B(~r, t) =1c~n [τR(t)]× ~E(~r, t). (4.46)

La demostracion de las expresiones anteriores se deja en manos del lector (¡intentelo!).La componente ~E del campo electromagnetico puede ser reescrita como

~E(~r, t) = ~E1(~r, t) + ~E2(~r, t), (4.47)



siendo

~E1(~r, t) =q

4πε0

[1− β2(τ)

] [~n(τ)− ~β(τ)

]

[1− ~n(τ) · ~β(τ)

]3

R2(τ)

∣∣∣∣∣∣∣τ=τR(t)

(4.48)

y

~E2(~r, t) =q

4πε0c

~n(τ)×[

~n(τ)− ~β(τ)]× ~β(τ)

[1− ~n(τ) · ~β(τ)

]3

R(τ)

∣∣∣∣∣∣∣τ=τR(t)

. (4.49)

El termino ~E1 posee una estructura que recuerda al campo electrostatico de una carga pun-tual. Analicemos el lımite no relativista de la componente ~E1. El lımite no relativista puede seralcanzado en las ecuaciones mediante la condicion β = |~β| → 0 o, equivalentemente, c → +∞.Puesto que τR(t) es la raız simple de la ecuacion τ − t + 1

cR(τ) = 0, es evidente que

lımβ→0

τR(t) = lımc→+∞

τR(t) = t. (4.50)

En consecuencia,

~E1(~r, t)β→0−→ q

4πε0

~n(t)R2(t)

, (4.51)

expresion que tiene la misma estructura que la del campo electrostatico de la partıcula puntual,excepto por la dependencia temporal en ~R. La componente ~E1 decae a cero como 1

R2 cuando Rtiende a infinito, y recibe el nombre de campo estatico.

La componente ~E2 dada por (4.49) no tiene un analogo electrostatico, y tiende a cero como 1R

cuando R tiende a infinito. Este es el llamado campo de radiacion, y es el termino dominante paragrandes valores de R. Notese que el campo de radiacion es nulo en ausencia de aceleracion, es

decir, cuando ~β = 0.

4.2.3. Vector de Poynting en la region alejada de la fuente.

En una region espacial alejada de la partıcula, es decir, de la fuente del campo electromagnetico,el campo electrico (4.47) esta esencialmente dominado por el termino de radiacion, es decir,

~E(~r, t) ' ~E2(~r, t).

El vector de Poynting asociado al campo electromagnetico de la partıcula en movimiento ar-bitrario es

~S = ε0c2~E× ~B = ε0c ~E×

(~n× ~E

)= ε0c

[~nE2 − ~E

(~n · ~E

)].

Notese que en la region alejada de la fuente se tiene que

~n · ~E ' ~n · ~E2 = 0.

Luego

~S = ε0cE22 ~n,



de donde

~S(~r, t) =q2

16π2ε0c

~n(τ)×[

~n(τ)− ~β(τ)]× ~β(τ)

[1− ~n(τ) · ~β(τ)

]3

R(τ)

2

~n(τ)

∣∣∣∣∣∣∣τ=τR(t)

. (4.52)

En lo sucesivo nos dedicaremos, por simplicidad, a tratar la formulacion de la Teorıa Clasicade la Radiacion en el lımite no relativista. Para una formulacion relativista de esta teorıa el lectorpuede consultar la referencia [21].

El vector de Poynting en el lımite no relativista puede ser escrito como

~S(~r, t) =q2

16π2ε0cR2(t)

~n(t)×

[~n(t)× ~β(t)

]2

~n(t),

o bien

~S(~r, t) =q2

16π2ε0c3R2(t)

~n(t)×

[~n(t)× ~v(t)

]2

~n(t). (4.53)

Pero

~n×(~n× ~v

)= ~n

(~n · ~v

)− ~v.

Por lo tanto[~n×

(~n× ~v

)]2

=(~n · ~v

)2

+ v2−2(~n · ~v

)2

= v2−(~n · ~v

)2

= v21− cos2[θ(t)]

= v2 sin2[θ(t)],

siendo θ = θ(t) el angulo formado entre los vectores ~v y ~n. Sustituyendo el resultado anterior enla expresion (4.53) tenemos finalmente que

~S(~r, t) =q2v2(t) sin2[θ(t)]16π2ε0c3R2(t)

~n(t). (4.54)

Este es el valor del vector de Poynting en la region alejada de la fuente del campo electromagnetico.

4.2.4. Potencia radiada. Formula de Larmor.

Habiendo determinado el vector de Poynting en una region del espacio alejada de la fuente delcampo, podemos pasar ahora a calcular la cantidad de energıa electromagnetica que por unidadde area y tiempo atraviesa cierta superficie S orientable que encierra a la partıcula cargada. Esteflujo de energıa estara esencialmente asociado al campo de radiacion.

Para llevar a cabo nuestro calculo elijamos a S como una superficie esferica centrada en laposicion de la partıcula~r0(t), de radio R(t) = |~r−~r0(t)| lo suficientemente grande como para quesolamente domine el termino de radiacion en la componente electrica del campo electromagnetico

asociado al movimiento arbitrario de la carga q. Notese que el vector ~n(t) = ~r−~r0(t)

|~r−~r0(t)|es siempre

normal a la superficie de la esfera considerada. Tomemos un sistema de coordenadas en el cual eleje z este en la direccion de la aceleracion ~v(t). El diferencial de potencia transferido a traves dela superficie S en el instante de tiempo t sera

dP (t) = ~S(~r, t) · ~n(t) dS = ~S(~r, t) · ~n(t)R2(t) dΩ,



siendo dΩ el diferencial de angulo solido. En el lımite no relativista, teniendo en cuenta la expre-sion (4.54) para el vector de Poynting, hallamos que

dP (t) =q2

16π2ε0c3v2(t) sin2[θ(t)] dΩ. (4.55)

Notese que dP es independiente de R, es decir, la potencia transferida a traves de la superficieS debida al termino de radiacion permanece finita aun cuando nos alejamos ifinitamente de lafuente del campo. La potencia radiada por unidad de angulo solido sera

dP (t)dΩ

=q2

16π2ε0c3v2(t) sin2[θ(t)]. (4.56)

La expresion anterior se conoce con el nombre de formula diferencial de Larmor para la poten-cia radiada por una partıcula cargada en movimiento arbitrario. Una primera mirada a la formulade Larmor nos indica que la potencia por unidad de angulo solido es siempre una magnitud po-sitiva. En consecuencia, siempre que la partıcula cargada posea una aceleracion diferente de ceroperdera energıa en forma de radiacion. El campo electromagnetico de la radiacion emitida porla partıcula cargada es detectable en el infinito. En la region alejada de la fuente tanto la compo-nente electrica ~E como la componente magnetica ~B del campo de radiacion seran soluciones delas respectivas ecuaciones de onda y, por lo tanto, el campo de radiacion tendra la estructura deuna onda electromagnetica.

La formula integral de Larmor puede ser facilmente obtenida mediante la integracion por elangulo solido de la expresion (4.56). La potencia total radiada sera entonces

P =q2v2

16π2ε0c3

∫sin2(θ) dΩ =

q2v2

16π2ε0c3

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sin3(θ),

de donde obtenemos finalmente que

P (t) =q2v2(t)6πε0c3

. (4.57)

4.3. Dispersion de la radiacion.

Cuando una onda electromagnetica monocromatica plana de frecuencia ω se propaga en elvacıo su vector de onda ~k permanece constante a menos que dicha onda interactue con un sis-tema de cargas y corrientes. La interaccion entre una onda electromagnetica y un sistema de car-gas electricas puede modificar la direccion del vector de onda manteniendo constante su valorabsoluto. Tal fenomeno es conocido como dispersion clasica de la radiacion electromagnetica. Elfenomeno de la dispersion de la radiacion electromagnetica, al igual que la conocida dispersionde partıculas α por nucleos de atomos de oro en el experimento de Rutherford, esta caracterizadopor la denominada seccion eficaz de dispersion, que calcularemos a continuacion.

4.3.1. Dispersion de la radiacion por partıculas aisladas.

Supongamos que tenemos una onda electromagnetica monocromatica plana de vector de onda~k y frecuencia ω que incide sobre una partıcula cargada aislada 4 y que luego es dispersada con el

4El hecho de que la partıcula este aislada significa que ella no iteractua con otras partıculas, y solo lo hace con la ondaelectromagnetica incidente.



nuevo vector de onda ~k′, pero con el mismo valor de ω. En este proceso de dispersion particular

se cumple que |~k| = |~k ′|. La interaccion de la onda electromagnetica con la partıcula cargadaproduce en esta ultima una aceleracion dependiente del tiempo, producto de lo cual se generaa su vez un campo de radiacion que da lugar a la onda electromagnetica dispersada. Estamosinteresados en calcular primeramente la seccion eficaz diferencial del proceso de dispersion, lacual se define mediante la relacion

dσ

dΩ=

dPdΩ

|~Si|, (4.58)

siendo dPdΩ la potencia por unidad de angulo solido radiada por la partıcula cargada y ~Si es el

vector de Poynting de la onda electromagnetica incidente.Supongamos que el campo electromagnetico de la onda incidente viene dado por las expre-

siones

~Ei(~r, t) = ~E0 cos(~k ·~r− ωt),~Bi(~r, t) = 1

c~N× ~Ei(~r, t),

(4.59)

siendo

~N =~kk

. (4.60)

Estudiemos el movimiento no relativista de la partıcula cargada originado por su interaccioncon la onda electromagnetica incidente. En virtud de la segunda ley de Newton la aceleracion dela partıcula podra ser determinada mediante la solucion de la ecuacion diferencial

m~v = ~FE + ~FB , (4.61)

siendo m y q la masa y la carga de la partıcula, respectivamente, y ~FE y ~FB son la parte electricay la parte magnetica, respectivamente, de la fuerza de Lorentz, es decir,

~FE = q ~Ei (4.62)

y

~FB = q ~v × ~Bi. (4.63)

Para resolver la ecuacion diferencial (4.61) podemos recurrir a dos consideraciones fundamen-tales. La primera esta relacionada con la aproximacion no relativista para el movimiento de lapatıcula. Puede verse que

~FB = q~vc× ~N× ~Ei = ~β × ~N× ~FE =

(~β · ~FE

)~N−

(~β · ~N

)~FE .

En virtud de lo anterior es evidente que

|~FB | ∼ β |~FE |.En el lımite no relativista (β ¿ 1) es posible despreciar la parte magnetica de la fuerza de Lorentzfrente a la parte electrica de dicha fuerza. La segunda consideracion esta relacionada con la de-nominada aproximacion de onda larga. Supongamos que L es la cota maxima del movimiento dela partıcula. Notese que ~k ·~r ∼ ω

c L = 2πλ L, donde

λ =2πc

ω(4.64)



es la llamada longitud de onda de la onda electromagnetica. En la aproximacion de onda largatendremos que L

λ ¿ 1 y la dependencia con el vector de posicion~r de los campos dados por (4.59)puede ser ignorada.

De acuerdo con las dos consideraciones anteriores, la segunda ley de Newton para la partıculainteractuando con la onda electromagnetica incidente es

m~v = q ~E0 cos(ωt),

de donde obtenemos inmediatamente que

~v =q

m~E0 cos(ωt). (4.65)

Esta es la aceleracion de la partıcula necesaria para calcular la potencia radiada por unidad deangulo solido.

Sea Θ el angulo formado entre los vectores ~n = ~r−~r0

|~r−~r0|y ~v. Se puede apreciar, de acuerdo con

(4.65), que el angulo Θ es el mismo angulo formado entre ~n y ~Ei (notese que los vectores ~v y ~Ei soncolineales). Denotemos por θ y θ ′ a los angulos que forman los vectores ~n y ~Ei, respectivamente,con el eje z, y por ϕ y ϕ ′ a los angulos que forman las proyecciones sobre el plano XY de losvectores ~n y ~Ei, respectivamente, con el eje x. Supongamos ademas que el vector de onda ~k dela onda electromagnetica incidente esta sobre el eje z. Puesto que la onda electromagnetica estransversal entonces el campo electrico de la onda incidente ~Ei esta sobre el plano XY , es decir,θ ′ = π

2 . La situacion descrita aquı es mostrada en la figura 4.1.

Figura 4.1: Sistema de coordenadas utilizado para calcular la seccion eficaz de dispersion.

Sustituyendo (4.65) en la formula diferencial de Larmor (4.56) tenemos que

dP

dΩ=

q2

16π2ε0c3

(q2E2

0

m2cos2(ωt)

)sin2(Θ). (4.66)

Por otra parte, el modulo del vector de Poynting de la radiacion incidente en la aproximacionde onda larga es

|~Si| = ε0cE20 cos2(ωt). (4.67)



Sustituyendo (4.66) y (4.67) en (4.58) hallamos

dσ

dΩ=

q4

16π2ε20m2c4

sin2(Θ). (4.68)

Escribamos la expresion anterior en terminos de los angulos definidos en la Fig. 4.1. Noteseque

cos(Θ) = cos(θ) cos(θ ′) + sin(θ) sin(θ ′) cos(ϕ ′ − ϕ).

En nuestro caso θ ′ = π2 , de donde

cos(Θ) = sin(θ) cos(ϕ ′ − ϕ).

Puesto que

sin2(Θ) = 1− cos2(Θ) = 1− sin2(θ) cos2(ϕ ′ − ϕ),

entonces

dσ

dΩ=

dσp

dΩ=

q4

16π2ε20m2c4

[1− sin2(θ) cos2(ϕ ′ − ϕ)

]. (4.69)

El angulo ϕ ′ define la polarizacion de la onda electromagnetica incidente. Por lo tanto la expre-sion (4.69) es la seccion eficaz diferencial de dispersion para una onda electromagnetica con unapolarizacion bien definida que es dispersada por una partıcula cargada aislada, razon por la cualla hemos denotado como dσp

dΩ . Si la radiacion incidente no tiene una polarizacion bien definidaentonces es necesario promediar la ecuacion (4.69) con respecto a la variable ϕ ′. Ası,

dσ

dΩ=

12π

∫ 2π

0

q4

16π2ε20m2c4

[1− sin2(θ) cos2(ϕ ′ − ϕ)

]dϕ ′

=q4

16π2ε20m2c4

[1− sin2(θ)

12π

∫ 2π

0

cos2(ϕ ′ − ϕ) dϕ ′]

.

Teniendo en cuenta que

12π

∫ 2π

0

cos2(ϕ ′ − ϕ) dϕ ′ =12

y que

1− 12

sin2(θ) =12

[1 + cos2(θ)

]

hallamos finalmente la seccion eficaz diferencial de dispersion correspondiente a una onda elec-tromagnetica no polarizada que es dispersada por una partıcula cargada aislada, la cual hemosdenotado como dσnp

dΩ y tiene la forma

dσnp

dΩ=

q4

32π2ε20m2c4

[1 + cos2(θ)

]. (4.70)



La seccion eficaz integral de dispersion se obtiene integrado la seccion eficaz diferencial por elangulo solido. Para el caso de la onda incidente con polarizacion bien definida tenemos que

σp =q4

16π2ε20m2c4

∫ π

0

dθ

∫ 2π

0

dϕ[1− sin2(θ) cos2(ϕ ′ − ϕ)

]sin(θ)

=q4

16π2ε20m2c4

2π∫ π

0

[1− 1

2sin2(θ)

]sin(θ) dθ

=q4

16π2ε20m2c4

π

∫ π

0

[1 + cos2(θ)

]sin(θ) dθ.

Pero∫ π

0

[1 + cos2(θ)

]sin(θ) dθ =

83.

Luego

σp =q4

6πε20m2c4

. (4.71)

Para el caso de la onda incidente no polarizada tendremos

σnp =q4

32π2ε20m2c4

∫ π

0

dθ

∫ 2π

0

dϕ[1 + cos2(θ)

]sin(θ) =

q4

32π2ε20m2c4

2π83,

de donde se tiene que

σnp =q4

6πε20m2c4

. (4.72)

Notese que σp = σnp. A pesar de que la seccion eficaz diferencial de dispersion depende no-tablemente de la polarizacion de la onda electromagnetica incidente, la seccion eficaz integral dedispersion es independiente de dicha polarizacion. La expresion (4.71) [o bien la expresion (4.72)]se conoce con el nombre de formula de Thomson [22] para la seccion eficaz integral de dispersion.La seccion eficaz integral de Thomson suele denotarse mediante el sımbolo σth.

La formula de Thomson es correcta solamente en la aproximacion de onda larga, es decir, enel lımite de las bajas frecuencias. Un criterio para establecer cuando la frecuencia es baja y cuandono es la comparacion con la denominada frecuencia de Compton ωco = mc2

~ , donde m es la masade reposo de la partıcula cargada y ~ es la constante de Dirac 5. La formula de Thomson es validapara valores de frecuencia tales que ω ¿ ωco. Para valores de la frecuencia de la onda cercanos ala frecuencia de Compton comienzan a jugar un papel relevante los efectos cuanticos, y la formulade Thomson ya no es valida. A partir de la Electrodinamica Cuantica es posible deducir la formulade Klein-Nishina [24, 25] para la seccion eficaz de dispersion, la cual ofrece buenos resultados enun amplio rango de la frecuencia de la onda elecromagnetica incidente y se reduce a la formulade Thomson en el lımite de las bajas frecuencias.

5La frecuencia de Compton fue introducida por Arthur H. Compton en 1922 [23] al ofrecer la explicacion del fenomenoconocido como efecto Compton, que consiste en el cambio de la frecuencia de una onda electromagnetica de rayos X cuan-do es dispersada por un electron. La frecuencia de la radiacion dispersada depende unicamente del angulo formado entreel vector de onda de la radiacion incidente y el vector de onda de la radiacion dispersada. Para el electron la frecuencia deCompton posee un valor aproximado de 7,8× 1020 s−1.



4.3.2. Dispersion de la radiacion por partıculas elasticamente ligadas.

Examinemos ahora el proceso de dispersion de la onda electromagnetica suponiendo que es-ta incide sobre una partıcula de masa m y carga q que oscila con la frecuencia propia ω0 y queposee una constante de amortiguamiento igual a γ. El campo electromagnetico que caracterizaa la onda incidente sigue siendo el dado por las expresiones (4.59) y (4.60). Para los efectos delcalculo de la seccion eficaz de dispersion supondremos tambien que estan dadas las condicionespara el cumplimiento de la aproximacion no relativista y de la aproximacion de onda larga. La se-gunda ley de Newton para el oscilador amortiguado bajo los efectos del campo electromagneticoincidente tiene la forma

~v(t) + ω20 ~r0(t) + γ ~v(t) =

q

m~E0 cos(ωt).

Esta es la ecuacion del movimiento para un oscilador amortiguado forzado, cuya solucion es

~r0(t) = ~A cos(ωt + α) (4.73)

con

~A = − q

m~E0

1√(ω2 − ω2

0)2 + γ2ω2

(4.74)

y

tan(α) =γω

ω2 − ω20

. (4.75)

En consecuencia el cuadrado de la aceleracion de la partıcula sera

v2(t) =q2E2

0

m2

ω4 cos2(ωt + α)

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

, (4.76)

y la potencia radiada por unidad de angulo solido sera

dP

dΩ=

q4E20

16π2ε0m2c3

ω4

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

cos2(ωt + α) sin2(Θ). (4.77)

Mediante la sustitucion directa de las expresiones (4.67) y (4.77) en la definicion (4.58) para laseccion eficaz diferencial de dispersion hallamos

dσ

dΩ=

q4

16π2ε20m2c4

ω4

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

cos2(ωt + α)cos2(ωt)

sin2(Θ).

Bajo la condicion de amortiguamiento debil (γ ¿ 1) se tiene, de acuerdo con (4.75), que α ≈ 0 y,en consecuencia, cos2(ωt + α) ≈ cos2(ωt). En este caso

dσ

dΩ=

q4

16π2ε20m2c4

ω4

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

sin2(Θ).

Si la onda electromagnetica incidente posee una polarizacion bien definida entonces, de acuerdocon la eleccion del sistema de coordenadas como en la Fig. 4.1 obtenemos inmediatamente que

dσp

dΩ=

q4

16π2ε20m2c4

ω4

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

[1− sin2(θ) cos2(ϕ ′ − ϕ)

]. (4.78)



Si la onda electromagnetica incidente no tiene una polarizacion bien definida entonces es nece-sario promediar sobre la variable ϕ ′ en la expresion anterior, obteniendose

dσnp

dΩ=

q4

32π2ε20m2c4

ω4

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

[1 + cos2(θ)

]. (4.79)

Las secciones eficaces diferenciales de dispersion son, en ambos casos, funciones de la frecuenciade la radiacion incidente.

Con independencia de si la onda incidente posee o no una polarizacion determinada, es evi-dente que la seccion eficaz integral de dispersion en este caso es una funcion de la frecuencia ωque viene dada por la formula

σ(ω) = σthω4

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

, (4.80)

siendo

σth =q4

6πε20m2c4

(4.81)

la seccion eficaz de Thomson definida en la seccion anterior. A este resultado puede llegarse inte-grando las expresiones (4.78) y (4.79) sobre el angulo solido.

De acuerdo con la estructura matematica de la seccion eficaz integral de dispersion puedendistinguirse tres casos de interes.

1. Si ω À ω0 entonces σ(ω) −→ σth, es decir, el oscilador cargado dispersa la onda electro-magnetica incidente como si fuese una partıcula aislada.

2. Si ω ¿ ω0 entonces σ(ω) −→ σth

(ωω0

)4

. Este comportamiento de la seccion eficaz integralde dispersion del oscilador amortiguado cargado se conoce como ley de la dispersion deRayleigh 6 [26].

3. La seccion eficaz integral de dispersion alcanza un maximo absoluto en ω = ω0. En conse-cuencia, la dispersion de la onda electromagnetica por un oscilador cargado es un fenomenode caracter resonante.

4.3.3. Energıa absorbida en el proceso de dispersion.

Durante el proceso de dispersion de la onda electromagnetica por la partıcula cargada partede la energıa de la onda es transferida a partıcula en forma de energıa mecanica, es decir, esabsorbida por la partıcula cargada. Para determinar cuanta energıa de la onda es efectivamenteabsorbida por la partıcula podemos recurrir a la ley de conservacion de la energıa del campoelectromagnetico, dada por la expresion (3.34) del Capıtulo 3. Para nuestro caso particular la leyde conservacion de la energıa tiene la forma,

−~Ei(~r, t) · ~J(~r, t) =∂

∂tw(~r, t) +∇ · ~Si(~r, t),

6A partir de una version ligeramente modificada de la ley de la dispersion de Rayleigh puede darse una explicacionsencilla del porque el cielo de nuestro planeta es casi siempre de color azul.



donde ~J(~r, t) = q ~v(t) δ [~r−~r0(t)] es la densidad de corriente asociada a la partıcula cargada. Peroen la aproximacion de onda larga se tiene que ~Ei(~r, t) = ~Ei(t) y ~Si(~r, t) = ~Si(t). Por lo tanto

−~Ei(t) · ~J(~r, t) =∂

∂tw(~r, t).

Integrando esta expresion por todo el espacio encontramos que

dW (t)dt

= −q ~Ei(t) · ~v(t).

La energıa absorbida por la partıcula en un perıodo T de la onda puede entonces calcularse me-diante la relacion

∆W = −q

∫ T

0

~Ei(t) · ~v(t) dt. (4.82)

Ilustremos el calculo de ∆W para el caso de la dispersion de la onda electromagnetica por unoscilador cargado amortiguado. De acuerdo con las expresiones (4.73), (4.74) y (4.75) tenemos que

~v(t) = ~r0(t) = −q~E0

m

ω√(ω2 − ω2

0)2 + γ2ω2

sin(ωt + α).

En consecuencia

∆W =q2E2

0

m

ω√(ω2 − ω2

0)2 + γ2ω2

∫ T

0

sin(ωt + α) cos(ωt) dt.

El lector puede comprobar facilmente que

∫ T

0

sin(ωt + α) cos(ωt) dt =π

ωsin(α)

y

sin(α) =γω√

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

,

en virtud de lo cual

∆W =q2E2

0π

m

γω

(ω2 − ω20)2 + γ2ω2

. (4.83)

La absorcion de energıa por parte de la partıcula dispersora de la onda electromagnetica es tam-bien un proceso resonante. La energıa absorbida en un perıodo de la onda es maxima a la frecuen-cia ω0, como puede notarse de la expresion (4.83).

4.4. Reaccion de la radiacion.

Una partıcula cargada en movimiento arbitrario posee en general una aceleracion diferentede cero y, de acuerdo con la formula de Larmor, generara un campo de radiacion que es finito



en la region alejada de la fuente. Puesto que toda radiacion electromagnetica es portadora de unmomentum lineal, la variacion temporal del momentum lineal del campo de radiacion originadoen la partıcula producira una fuerza no conservativa que actuara sobre la carga modificando suestado de movimiento. Tal fuerza recibe el nombre de fuerza de reaccion de la radiacion y ladenotaremos por ~Fr.

Nuestro objetivo en la presente seccion es estimar el valor de la fuerza de reaccion de la ra-diacion en el caso de un oscilador cargado caracterizado por la constante elastica κ. De acuerdocon la segunda ley de Newton la ecuacion del movimiento del oscilador teniendo en cuenta lapresencia de ~Fr es

m~r + κ~r = ~Fr. (4.84)

Sea E la energıa cinetica de la partıcula. La variacion de energıa cinetica en un perıodo T deoscilacion es

∆E =∫ T

0

~Fr · ~r dt. (4.85)

Consideremos que la perdida de energıa cinetica sufrida por la carga oscilante en un perıodo sedebe unicamente a la transformacion de la energıa mecanica de la partıcula en energıa del campoelectromagnetico de radiacion. Entonces

∆E = −∆W, (4.86)

siendo ∆W la energıa que el campo de radiacion recibe de la partıcula en un perıodo de oscilacion.Teniendo en cuenta la formula de Larmor,

∆W =q2

6πε0c3

∫ T

0

~r · ~r =q2

6πε0c3

[∫ T

0

d

dt~r · ~r dt−

∫ T

0

~r ·...~r dt

].

Pero 7

∫ T

0

d

dt~r · ~r dt = ~r · ~r

∣∣∣T

0≈ 0.

Luego,

∆W = − q2

6πε0c3

∫ T

0

~r ·...~r dt. (4.87)

Sustituyendo las expresiones (4.85) y (4.87) en (4.86) vemos que∫ T

0

~Fr · ~r dt =q2

6πε0c3

∫ T

0

...~r · ~r dt,

de donde se halla que

~Fr =q2

6πε0c3

...~r . (4.88)

7Notese que ~r · ~r∣∣∣T

0no es estrictamente igual a cero, sino aproximadamente igual a cero. Esto se debe a que el

movimiento oscilatorio de la partıcula no es exactamente armonico debido a los efectos de la fuerza de reaccion de laradiacion. Pero si asumimos que tales efectos son considerablemente pequenos frente a los efectos de la fuerza de resti-tucion elastica, entonces la variacion de la velocidad de la partıcula en un perıodo completo de oscilacion puede serconsiderada casi cero.



Esta fuerza de reaccion de la radiacion, obtenida por M. Abraham [5], fue posteriormente gene-ralizada por P. Dirac al caso relativista en una expresion conocida con el nombre de fuerza dereaccion de la radiacion de Lorentz-Dirac. Para conocer los detalles de tal generalizacion el lectorpuede consultar la referencia [27].

El resultado de Abraham para la fuerza de reaccion de la radiacion contradice el espıritude la Mecanica Casica, pues de acuerdo con esta teorıa no deben existir, en las ecuaciones delmovimiento de un sistema mecanico, derivadas temporales del vector de posicion de ordenessuperiores a dos. De acuerdo con (4.88) la fuerza de reaccion de la radiacion depende, sin embar-go, de la tercera derivada de la posicion de la partıcula con respecto al tiempo, lo cual conduceobviamente a resultados no fısicos. Cierto artificio matematico de caracter aproximado nos per-mite corregir el mencionado problema. Supongamos que el modulo de la fuerza de reaccion de laradiacion es mucho menor que el modulo de la fuerza elastica de restitucion, es decir,

|~Fr| ¿ |κ~r|.

Bajo esta aproximacion, la ecuacion del movimiento (4.84) se transforma en

m~r + κ~r ' 0.

Derivando la expresion anterior con respecto al tiempo y teniendo en cuenta que ω0 =√

κm

hallamos...~r = −ω2

0~r.

Con esto se logra, para la fuerza de reaccion de la radiacion, una aproximacion del tipo

~Fr = − q2ω20

6πε0c3~r, (4.89)

que es una fuerza dependiente de la velocidad del tipo fuerza de Stokes. El campo de radiacionpuede entonces ser interpretado como un medio viscoso por el cual se mueve la partıcula. Laecuacion diferencial del movimiento en este caso es

~r + γ~r + ω20~r = 0, (4.90)

siendo

γ =q2ω2

0

6πε0mc3. (4.91)

4.4.1. Funcion de distribucion espectral.

La fuerza de reaccion de la radiacion afecta notablemente las caracterısticas del espectro de fre-cuencias radiado por la partıcula oscilante. Si la fuerza de reaccion de la radiacion esta presente,entonces la partıcula cargada obedece a la ecuacion del movimiento de un oscilador amortigua-do y, como veremos mas adelante, la radiacion emitida por la partıcula barrera una banda defrecuencias cuyo ancho esta directamente relacionado con el parametro γ dado por (4.91). Si lafuerza de reaccion de la radiacion esta ausente (γ → 0) entonces el oscilador radiara unicamentea la frecuencia propia ω0. En general, el espectro de las frecuencias de la radiacion emitida poruna partıcula acelerada puede ser caracterizado por la llamada funcion de distribucion espectral,la cual es obtenida como a continuacion se muestra.



La energıa total radiada por una partıcula cargada acelerada cualquiera es, de acuerdo con laformula de Larmor,

W =q2

6πε0c3

∫ +∞

−∞|~r(t)|2 dt. (4.92)

Sea ~a = ~a(ω) la transformada de Fourier de la aceleracion ~a = ~a(t) = ~r(t) tal que

~a(t) =12π

∫ +∞

−∞~a(ω)eiωt dω. (4.93)

Entonces

~a(ω) =∫ +∞

−∞~a(t)e−iωt dt. (4.94)

Pero

|~r(t)|2 = ~a(t) · ~a∗(t) =(

12π

)2 ∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞~a(ω ′) · ~a∗(ω) ei(ω ′−ω)t dω ′dω.

Luego∫ +∞

−∞|~r(t)|2 dt =

(12π

)2 ∫ +∞

−∞dt

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞~a(ω ′) · ~a∗(ω) ei(ω ′−ω)t dω ′dω

=12π

∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞~a(ω ′) · ~a∗(ω) δ(ω ′ − ω) dω ′dω

=12π

∫ +∞

−∞|~a(ω)|2 dω.

Sustituyendo esta expresion en (4.92) hallamos

W =∫ +∞

−∞W (ω) dω, (4.95)

siendo

W (ω) =q2

12π2ε0c3|~a(ω)|2. (4.96)

El significado fısico de la magnitud W (ω) es claro: el producto W (ω) dω es la cantidad de energıaradiada por la partıcula en el intervalo de frecuencias (ω, ω + dω). La magnitud W (ω) recibe elnombre de funcion de distribucion espectral de la energıa radiada, o simplemente funcion dedistribucion espectral.

4.4.2. Funcion de distribucion espectral para el oscilador armonico simple.

Si en la ecuacion del movimiento (4.84) despreciamos los efectos de la fuerza de reaccionde la radiacion, entonces es evidente que la partıcula cargada se comportara como un osciladorarmonico simple bajo los efectos de la fuerza de restitucion elastica. Obviamente

~r(t) = −ω20~Aei(ω0t+α), (4.97)



siendo ~A y α constantes de integracion dependientes de las condiciones iniciales del movimientode la partıcula. En este caso, de acuerdo con (4.94),

~a(ω) = −ω20~Aeiα

∫ +∞

−∞ei(ω0−ω)t dt = −ω2

0~A eiα 2π δ(ω − ω0).

En consecuencia

|~a(ω)|2 = 4π2 ω40 |~A|2 δ2(ω − ω0)

y, sustituyendo esta expresion en (4.96), hallamos finalmente que

W (ω) = W0 δ2(ω − ω0), (4.98)

siendo

W0 =q2 ω4

0 |~A|23ε0c3

. (4.99)

Notese que si los efectos de la fuerza de reaccion de la radiacion sobre el movimiento de la partıcu-la oscilante son despreciados entonces la funcion de distribucion espectral sera diferente de cerounicamente a la frecuencia propia de oscilacion, es decir, el campo de radiacion oscilara tambiencon la frecuencia ω0.

4.4.3. Funcion de distribucion espectral para el oscilador amortiguado.

Encontremos ahora la funcion de distribucion espectral para el oscilador cargado amortiguadopor el campo de radiacion, cuya ecuacion diferencial del movimiento viene dada por (4.90). Estaes una ecuacion diferencial de Euler con coeficientes constantes, cuya solucion depende de larelacion existente entre ω0 y γ

2 . Pueden tener lugar tres casos diferentes: ω0 > γ2 , ω0 < γ

2 y ω0 = γ2 .

De los tres casos mencionados solamente el primero tiene realmente sentido fısico en el marco delmodelo desarrollado para la fuerza de reaccion de la radiacion dependiente de la velocidad de lapartıcula, pues este caso es el unico compatible con el hecho de que la fuerza de restitucion elasticasea mucho mayor que la fuerza de reaccion de la radiacion. Sin embargo, el resto de los casos seranigualmente examinados, pues puede ocurrir que el amortiguamiento del oscilador no este dadounicamente por el campo de radiacion, sino tambien por la presencia de otras interacciones quepueden ser modeladas como un medio viscoso.

Caso 1. ω0 > γ2 .

Atendiendo a la definicion (4.91) para γ, la condicion ω0 > γ2 es equivalente a la condicion

ω0 <12πε0mc3

q2. (4.100)

En este caso

~r(t) = ~A e

(− γ

2 +i

√ω2

0− γ24

)t. (4.101)

La segunda derivada de la posicion de la partıcula con respecto al tiempo es obviamente

~r(t) =

(−γ

2+ i

√ω2

0 −γ2

4

)2

~r(t).



Si suponemos que la partıcula comienza a oscilar en t = 0 entonces la aceleracion sera ~a(t) = 0para t < 0. En consecuencia

~a(t) =

0 si t < 0

~A(−γ

2 + i√

ω20 − γ2

4

)2

e

(− γ

2 +i

√ω2

0− γ24

)t

si t ≥ 0. (4.102)

Sustituyendo (4.102) en (4.94) tenemos que

~a(ω) =∫ +∞

−∞~a(t)e−iωt dt = ~A

(−γ

2+ i

√ω2

0 −γ2

4

)2 ∫ +∞

0

e

[− γ

2 +i

(√ω2

0− γ24 −ω

)]tdt. (4.103)

Si se cumple la condicion 8

Im

[√ω2

0 −γ2

4

]− Im[ω] + Re

[γ

2

]> 0,

entonces la integral en (4.103) existe, y la transformada de Fourier de la aceleracion es

~a(ω) = ~A

(−γ

2+ i

√ω2

0 −γ2

4

)21

γ2 + i

[ω −

√ω2

0 − γ2

4

] .

Por lo tanto,

|~a(ω)|2 = |~A|2 ω40

γ2

4 +[ω −

√ω2

0 − γ2

4

]2 . (4.104)

Sustituyendo (4.104) en (4.96) hallamos finalmente la distribucion espectral para el osciladoramortiguado por los efectos del campo de radiacion, la cual tiene la forma

W (ω) =W1

4π2

γ

γ2

4 +[ω −

√ω2

0 − γ2

4

]2 , (4.105)

donde

W1 =W0

γ(4.106)

y W0 viene dado por la expresion (4.99).Ası, bajo la condicion ω0 > γ

2 la distribucion espectral para el oscilador amortiguado por el

campo de radiacion es una lorentziana de ancho γ con un maximo absoluto en el punto√

ω20 − γ2

4 .A diferencia del oscilador armonico de frecuencia propia ω0 cuya funcion de distribucion espec-tral es monocromatica a dicha frecuencia, la distribucion espectral asociada al campo de radiaciondel oscilador amortiguado por la fuerza ~Fr es diferente de cero fuera de la frecuencia propia. El

8Esta condicion se cumple de manera trivial, pues γ es una magnitud real y positiva, ω es siempre real y estamossuponiendo que ω0 > γ

2.



amortiguamiento del oscilador cargado produce un ensanchamiento de la linea espectral, lo cuales un indicativo de que el sistema puede radiar en toda una banda de frecuencias. Es evidenteque el ancho de esta banda es precisamente el ancho γ de la lorentziana (4.105). Por otra parte,la mayor cantidad de energıa radiada por el oscilador se encuentra en un entorno de la frecuen-

cia√

ω20 − γ2

4 . En consecuencia, otro efecto del amortiguamiento producido por el campo de ra-diacion es desplazar el maximo de la funcion de distribucion espectral hacia las bajas frecuencias,fenomeno denominado corrimiento al rojo.

Caso 2. ω0 < γ2 .

La solucion de la ecuacion diferencial (4.90) tiene la forma

~r(t) = ~A1e−ω1t + ~A2e

−ω2t, (4.107)

donde

ω1 =γ

2+

√γ2

4− ω2

0 (4.108)

y

ω2 =γ

2−

√γ2

4− ω2

0 . (4.109)

Notese que tanto ω1 como ω2 son magnitudes reales y positivas. Los vectores ~A1 y ~A2 son constan-tes de integracion reales dependientes de las condiciones iniciales del movimiento de la partıcula.Asumiendo que la partıcula comienza a moverse en el instante de tiempo t = 0, entonces

~a(t) =

0 si t < 0ω2

1~A1e

−ω1t + ω22~A2e

−ω2t si t ≥ 0. (4.110)

La transformada de Fourier de la aceleracion sera

~a(ω) = ω21~A1

∫ +∞

0

e−(ω1+iω)t dt + ω22~A2

∫ +∞

0

e−(ω2+iω)t dt.

Si se cumplen las condiciones9

Re[ω1]− Im[ω] > 0, (4.111)

y

Re[ω2]− Im[ω] > 0, (4.112)

entonces

~a(ω) =ω2

1~A1

ω1 + iω+

ω22~A2

ω2 + iω. (4.113)

En consecuencia

|~a(ω)|2 = ~a(ω) · ~a∗(ω) =ω4

1 |~A1|2ω2

1 + ω2+

ω42 |~A2|2

ω22 + ω2

+ω2

1ω22~A1 · ~A2 2(ω1ω2 + ω2)

(ω1ω2 + ω2)2 + ω2(ω2 − ω1)2.

9Estas condiciones son siempre satisfechas pues ω1 y ω2 son reales y positivas, y ω es siempre real.



La funcion de distribucion espectral sera, en este caso,

W (ω) =W21

4π2

1ω2

1 + ω2+

W22

4π2

1ω2

2 + ω2+

W23

4π2

2(ω1ω2 + ω2)(ω1ω2 + ω2)2 + ω2(ω2 − ω1)2

, (4.114)

donde

W21 =q2 ω4

1 |~A1|23ε0c3

, (4.115)

W22 =q2 ω4

2 |~A2|23ε0c3

(4.116)

y

W23 =q2 ω2

1ω22

~A1 · ~A2

3ε0c3. (4.117)

La funcion de distribucion espectral posee un maximo absoluto en un entorno de ω = 0.Tal comportamiento esta dado por el hecho de que la condicion ω0 < γ

2 impide la ocurrenciadel movimiento oscilatorio de la partıcula. En este caso el oscilador se encuentra en el regimensobreamortiguado donde su posicion, velocidad y aceleracion decaen exponencialmente a cero.

Caso 3. ω0 = γ2 .

En este ultimo caso la solucion de la ecuacion del movimiento del oscilador amortiguado es

~r(t) = ~Ae−γ2 t. (4.118)

Si nuevamente asumimos que la partıcula comienza su movimiento en el instante de tiempo t = 0entonces

~a(t) =

0 si t < 0γ2

4~Ae−

γ2 t si t ≥ 0

. (4.119)

La transformada de Fourier de la aceleracion sera

~a(ω) =γ2

4

∫ ∞

0

e−( γ2 +ω)t dt.

Si se cumple que

Re[γ

2

]− Im[ω] > 0, (4.120)

condicion que obviamente es satisfecha, entonces

~a(ω) =γ2

4~A

1γ2 + iω

. (4.121)

De aquı hallamos que

|~a(ω)|2 =γ4

16|~A|2 1

γ2

4 + ω2,



de donde obtenemos finalmente la buscada funcion de distrubucion espectral

W (ω) =W3

4π2

1γ2

4 + ω2, (4.122)

siendo

W3 =q2 γ4 |~A|2

48ε0c3. (4.123)

4.5. Desarrollo en multipolos para el campo de radiacion.

Sea V ∈ R3 un conjunto volumetrico limitado por una superficie S suave a pedazos y ori-entable. Los potenciales retardados del campo electromagnetico dados por las expresiones

φ(~r, t) =1

4πε0

∫

V

[ρ]|~r−~r ′| dV

′

y

~A(~r, t) =µ0

4π

∫

V

[~J]|~r−~r ′| dV

′

solo pueden ser calculados exactamente en un numero reducido de casos. En los casos mas ge-nerales se necesita del concurso de aproximaciones analıticas o numericas. Una de las aproxima-ciones mas utilizadas es la aproximacion de multipolos para el campo de radiacion.

La aproximacion multipolar para el campo de radiacion es analoga a la desarrollada para loscampos electrostatico y magnetostatico. De acuerdo con la expresion (1.115) del Capıtulo 1,

1|~r−~r ′| '

1r

+~r ·~r ′

r3+ ... .

Tomemos el desarrollo anterior hasta el orden cero y sustituyamoslo en la expresion para elpotencial escalar del campo de radiacion. En este caso

φ(~r, t) =1

4πε0r

∫

Vρ

(~r ′, t− 1

c|~r−~r ′|

)dV ′. (4.124)

Hagamos en el argumento temporal de la densidad de carga un desarrollo en serie de Tayloralrededor de ~r ′ = 0. Sabemos que

|~r−~r ′| = |r2 + r′2 − 2~r ·~r ′| 12 ' r +[12|r2 + r′2 − 2~r ·~r ′|− 1

2 (2~r ′ − 2~r)]∣∣∣∣

~r ′=0

·~r ′

= r − ~r ·~r ′r

,

de donde

|~r−~r ′| ' r

[1− ~n ·~r ′

r

],

siendo ~n = ~rr . En consecuencia

t− 1c|~r−~r ′| ' t− r

c

[1− ~n ·~r ′

r

]= t− r

c+

1c~n ·~r ′.



Definiendo

τ = t− r

c(4.125)

y

∆τ =1c~n ·~r ′ (4.126)

obtenemos

t− 1c|~r−~r ′| ' τ + ∆τ. (4.127)

De esta manera, la densidad de carga retardada puede ser escrita aproximadamente como

ρ

(~r ′, t− 1

c|~r−~r ′|

)' ρ(~r ′, τ + ∆τ). (4.128)

Efectuemos ahora un desarrollo de ρ en potencias de ∆τ alrededor de ∆τ = 0. Puede verseque tal desarrollo hasta la potencia de primer orden en ∆τ tiene la forma

ρ

(~r ′, t− 1

c|~r−~r ′|

)= ρ(~r ′, τ) +

∂ρ(~r ′, τ)∂τ

∆τ. (4.129)


φ(~r, t) =1

4πε0r

∫

V

[ρ(~r ′, τ) +

∂ρ(~r ′, τ)∂τ

∆τ

]dV ′

=1

4πε0r

∫

Vρ(~r ′, τ) dV ′ +

14πε0cr

∫

V

∂ρ(~r ′, τ)∂τ

~n ·~r ′ dV ′.

Pero ∂∂τ ≡ ∂

∂t . Entonces

φ(~r, t) =1

4πε0r

∫

Vρ(~r ′, τ) dV ′ +

14πε0cr

~n · d

dt

∫

Vρ(~r ′, τ)~r ′ dV ′.

Teniendo en cuenta las definiciones para los momenta de multipolos electricos dadas por lasexpresiones (1.117) y (1.118) de la seccion 1.5 del Capıtulo 1 es facil ver que

φ(~r, t) =Q(τ)4πε0r

+~n · ~p(τ)4πε0cr

. (4.130)

Analicemos ahora el potencial vectorial del campo. Efectuando los mismos desarrollos lleva-dos a cabo para el potencial escalar es posible demostrar que

~A(~r, t) =1

4πε0c2r

∫

V~J(~r ′, τ) dV ′ +

14πε0c2r

∫

V

∂~J(~r ′, τ)∂τ

∆τ dV ′. (4.131)

Transformemos primeramente el primer termino del miembro derecho de la expresion anterior.Sabemos que

∇ ′ · (~J~r ′) = ~J +~r ′(∇ ′ · ~J) = ~J−~r ′∂ρ

∂t.



En consecuencia

~J = ∇ ′ · (~J~r ′) +~r ′∂ρ

∂t

y∫

V~J(~r ′, τ) dV ′ =

∫

V∇ ′ · [~J(~r ′, τ)~r ′] dV ′ +

d

dt

∫

Vρ(~r ′, τ)~r ′ dV ′ = ~p(τ). (4.132)

Ocupemonos ahora de la segunda integral del miembro derecho de (4.131).

∫

V

∂~J(~r ′, τ)∂τ

∆τ dV ′ =1c

d

dt

∫

V(~n ·~r ′)~J(~r ′, τ) dV ′.

Es evidente que

(~n ·~r ′)~J =12

[(~n ·~r ′)~J−~r ′ (~n · ~J)

]+

12

[(~n ·~r ′)~J +~r ′ (~n · ~J)

]

=12(~r ′ × ~J)× ~n +

12

[(~n ·~r ′)~J +~r ′ (~n · ~J)

].

Por lo tanto∫

V

∂~J(~r ′, τ)∂τ

∆τ dV ′ =1c

d

dt

∫

V

12[~r ′ × ~J(~r ′, τ)]× ~n dV ′

+12c

d

dt

∫

V

[~n ·~r ′]~J(~r ′, τ) +~r ′ [~n · ~J(~r ′, τ)]

dV ′,

o bien, teniendo en cuenta la definicion (2.47) de momentum magnetico dada en la seccion 2.3 delCapıtulo 2,

∫

V

∂~J(~r ′, τ)∂τ

∆τ dV ′ =1c

~m× ~n +12c

d

dt

∫

V

[~n ·~r ′]~J(~r ′, τ) +~r ′ [~n · ~J(~r ′, τ)]

dV ′. (4.133)

Sustituyendo (4.132) y (4.133) en (4.131) hallamos

~A(~r, t) =~p(τ)

4πε0c2r+

~m(τ)× ~n4πε0c3r

+1

8πε0c3r

d

dt

∫

V

[~n ·~r ′]~J(~r ′, τ) +~r ′ [~n · ~J(~r ′, τ)]

dV ′. (4.134)

Los potenciales del campo electromagnetico dados por las expresiones (4.130) y (4.134) son elpunto de partida para desarrollar las aproximaciones multipolares del campo de radiacion.

4.5.1. Aproximacion dipolar electrica para el campo de radiacion.

Si suponemos que la carga neta del sistema se conserva, es decir, Q es constante en τ , entoncesel termino de monopolo en la expresion (4.130) no contribuye al campo de radiacion por serindependiente del tiempo. El potencial escalar del campo electromagnetico en la aproximaciondipolar electrica puede ser tomado como el segundo termino del miembro derecho de (4.130), osea,

φde(~r, t) =~n · ~p(τ)4πε0cr

. (4.135)



De la misma manera, podemos elegir el primer termino de la expresion (4.134) como el potencialvectorial del campo en la aproximacion dipolar electrica. Ası,

~Ade(~r, t) =~p(τ)

4πε0c2r. (4.136)

Calculemos el campo electromagnetico asociado a estos potenciales. Para el vector induccionmagnetica tendremos que

~Bde = ∇× ~Ade =1

4πε0c2∇× ~p

r=

14πε0c2

~n× ∂

∂r

~pr

=1

4πε0c2~n×

[− ~p

r2+

∂~p/∂r

r

].

Pero teniendo en cuenta la expresion (4.125),

∂~p∂r

= ~p∂τ

∂r= − ~p

c.

Luego

~Bde = − ~n4πε0c2

×[

~pr2

+~pcr

].

El termino proporcional a 1r2 puede ser despreciado, pues el pertenece a la parte estatica del

campo electromagnetico y no contribuye al campo de radiacion. Por lo tanto

~Bde(~r, t) = −~n× ~p(τ)4πε0c3r

. (4.137)

El vector intensidad del campo electrico asociado al campo electromagnetico puede calcularsecomo

~Ede = −∇φde − ∂ ~Ade

∂t= − 1

4πε0c∇

[~n · ~p

r

]− ~p

4πε0c2r.

Pero

∇[

~n · ~pr

]= ∇

[~r · ~pr2

]=∇~r · ~p

r2+

~r · ∇~pr2

+~r · ~p∇[

1r2

]

=~pr2

+~r · (~n ∂~p/∂r)

r2− 2(~r · ~p)

~rr4

=~pr2− ~n(~n · ~p)

cr− 2(~n · ~p)

~nr2

.

En consecuencia,

~Ede =1

4πε0cr2

[2(~n · ~p)~n− ~p

]+

14πε0c2r

[~n(~n · ~p)− ~p

].

Nuevamente podemos despreciar los terminos proporcionales a 1r2 que no contribuyen al campo

de radiacion, en virtud de lo cual

~Ede =1

4πε0c2r

[~n(~n · ~p)− ~p

],



o bien

~Ede(~r, t) =~n× [~n× ~p(τ)]

4πε0c2r. (4.138)

Notese que

~Ede(~r, t) = −c ~n× ~Bde(~r, t). (4.139)

El vector de Poynting asociado al campo de radiacion descrito por los vectores (4.137) y (4.138)tiene la forma

~S = ε0c2~Ede × ~Bde = −ε0c

3(~n× ~Bde)× ~Bde = −ε0c3[−~nB2

de + ~Bde(~n · ~Bde)]

= ε0c3B2

de~n.

Aquı se ha tenido en cuenta la ortogonalidad entre ~Bde y ~n. De esta manera,

~S(~r, t) =|~n× ~p(τ)|216π2ε0c3r2

~n, (4.140)

o bien,

~S(~r, t) =|~p(τ)|2 sin2[Θ(τ)]

16π2ε0c3r2~n, (4.141)

siendo Θ el angulo formado entre los vectores ~p y ~n.Sea S una superficie esferica de radio r con centro en el origen de coordenadas, y elijamos el

eje z a lo largo de la direccion y en el sentido del vector ~p. Notese que el vector ~n es perpendiculara la superficie esferica en cualquier punto de la misma. El diferencial de potencia transferido atraves del diferencial de area dS en la unidad de tiempo es

dPde = ~S · ~n dS = ~S · ~n r2 dΩ =dPde

dΩdΩ.

Teniendo en cuenta (4.141) es evidente que

dPde

dΩ(t) =

|~p(τ)|216π2ε0c3

sin2[Θ(τ)]. (4.142)

La expresion anterior nos permite calcular la distribucion angular de potencia radiada en la a-proximacion dipolar electrica, y no es mas que la formula diferencial de Larmor en dicha aproxi-macion. Para obtener la potencia total radiada por el sistema en la aproximacion dipolar electricabasta con integrar la expresion (4.142) sobre el angulo solido, con lo cual obtenemos

Pde(t) =|~p(τ)|26πε0c3

. (4.143)

Notese que τ → t en el lımite no relativista, ası que podemos sustituir τ por t en los miembrosderechos de las expresiones (4.142) y (4.143).



4.5.2. Aproximacion dipolar magnetica para el campo de radiacion.

Para estudiar el campo de radiacion en la aproximacion dipolar magnetica es suficiente tomarlos potenciales del campo como

φdm(~r, t) = 0 (4.144)

y

~Adm(~r, t) =~m(τ)× ~n4πε0c3r

. (4.145)

El calculo de los campos electrico y magnetico es inmediato a partir de las expresiones anteriores.Ası,

~Edm = −∂ ~Adm

∂t,

de donde

~Edm(~r, t) = − ~m(τ)× ~n4πε0c3r

. (4.146)

Por otra parte,

~Bdm = ∇× ~Adm =1

4πε0c3∇×

[~m× ~n

r

]

=1

4πε0c3

~mr

(∇ · ~n)− ~n

[∇ ·

(~mr

)]+ (~n · ∇)

~mr−

(~mr· ∇

)~n

.

Pero

∇ · ~n = ∇ · ~rr

=∇ ·~r

r+~r · ∇1

r=

3r− ~r ·~r

r3=

2r,

∇ ·(

~mr

)=∇ · ~m

r+ ~m · ∇1

r=

~n · ∂ ~m/∂r

r− ~m ·~r

r3= −~n · ~m

cr− ~m · ~n

r2,

(~n · ∇)~mr

= ~n · ~n ∂

∂r

~mr

=∂ ~m/∂r

r− ~m

r2= − ~m

cr− ~m

r2,

y(

~mr· ∇

)~n =

~mr· ∇~r

r=

~mr· ∇~r

r+

~m ·~rr

∇1r

=~mr2− ( ~m · ~n)

~nr2

.

En consecuencia,

~Bdm =( ~m · ~n)~n2πε0c3r2

+1

4πε0c4r

[~n(~n · ~m)− ~m

].

Despreciando el termino proporcional a 1r2 obtenemos finalmente que

~Bdm(~r, t) = −~n×

[~m(τ)× ~n

]

4πε0c4r. (4.147)



Notese que

~Bdm(~r, t) =1c

~n× ~Edm(~r, t). (4.148)

Para calcular el vector de Poynting podemos proceder como en la seccion anterior, es decir,

~S = ε0c2~Edm × ~Bdm = ε0cE

2dm~n,

de donde

~S(~r, t) =| ~m(τ)|2 sin2[Θ(τ)]

16π2ε0c5r2, (4.149)

siendo Θ el angulo formado entre los vectores ~m y ~n. Para calcular la potencia radiada por unidadde angulo solido en la aproximacion dipolar magnetica podemos nuevamente tomar la superficieesferica S de radio r con centro en el origen de coordenadas y escoger el eje z a lo largo de ladireccion y en el sentido del vector ~m. Procediendo como en la seccion anterior es posible ver sindificultades que

dPdm

dΩ(t) =

| ~m(τ)|216π2ε0c5

sin2[Θ(τ)] (4.150)

y que

Pdm(t) =| ~m(τ)|26πε0c5

. (4.151)

Las expresiones (4.150) y (4.151) son la formula diferencial e integral de Larmor, respectivamente,correspondientes a la aproximacion dipolar magnetica.

4.5.3. Campo de radiacion en la aproximacion cuadrupolar electrica.

Pasemos a estudiar la aproximacion cuadrupolar electrica para el campo de radiacion. Lospotenciales del campo electromagnetico en esta aproximacion son

φQ(~r, t) = 0 (4.152)

y

~AQ(~r, t) =1

8πε0c3r

d

dt

∫

V

[~n ·~r ′]~J(~r ′, τ) +~r ′ [~n · ~J(~r ′, τ)]

dV ′. (4.153)

Por simplicidad trabajaremos aquı suponiendo que la densidad de corriente ~J es la definidapara un sistema de partıculas, es decir,

~J =∑

a

qa~vaδ(~r−~ra).

En consecuencia,

~AQ =1

8πε0c3r

d

dt

∑a

qa [(~n ·~ra)~va +~ra(~n · ~va)] .



Pero

d

dt(~n ·~ra)~ra = (~n ·~ra)~va +~ra(~n · ~va).

Luego

~AQ =1

8πε0c3r

d2

dt2

∑a

qa(~n ·~ra)~ra,

o bien

~AQ =1

24πε0c3r

d2

dt2

∑a

3qa(~n ·~ra)~ra. (4.154)

Efectuemos la transformacion de calibracion

~AT

Q = ~AQ +∇f,

φTQ = φQ − df

dt= −df

dt,

y elijamos

f = − ln(r)24πε0c3

d2

dt2

∑a

qar2a. (4.155)

Notese que

∇f = − ~n24πε0c3r

d2

dt2

∑a

qar2a.

El potencial vectorial transformado del campo electromagnetico adopta entonces la forma

~AT

Q =1

24πε0c3r

d2

dt2

∑a

qa

[3(~n ·~ra)~ra − r2

a~n]. (4.156)

La componente i del vector ~AT

Q es

ATQi =

1

24πε0c3r

d2

dt2

∑a

qa

[3(njxaj)xai − r2

ani

]=

1

24πε0c3r

d2

dt2

∑a

qa

[3xaixaj − r2

aδij

]nj

=1

24πε0c3r

d2

dt2Dijnj ,

siendo

(Dij) =

(∑a

qa

[3xaixaj − r2

aδij

])

el momentum de cuadrupolo electrico del sistema de partıculas. Definamos el vector ~Q cuyascomponentes son

Qi = Dijnj . (4.157)



Entonces

~AT

Q =~Q

24πε0c3r. (4.158)

Para el potencial escalar transformado del campo electromagnetico tendremos que

φTQ =

ln(r)24πε0c3

d3

dt3

∑a

qar2a. (4.159)

Los campos ~EQ y ~BQ en la aproximacion cuadrupolar electrica pueden calcularse a partirdel conocimiento de los potenciales escalar y vectorial del campo. Ası, para la parte electrica delcampo tendremos que

~EQ = −∇φTQ −

∂ ~AT

Q

∂t,

de donde, teniendo en cuenta las expresiones (4.158) y (4.159), hallamos

~EQ = − ~n24πε0c3r

d3

dt3

∑a

qar2a −

...~Q

24πε0c3r. (4.160)

Para la parte magnetica del campo

~BQ = ∇× ~AT

Q =1

24πε0c3~n× ∂

∂r

[~Q

r

]=

~n

24πε0c3×

[∂ ~Q/∂r

r−

~Q

r2

]= − ~n

24πε0c3×

...~Q

cr+

~Q

r2

.

Despreciando el termino proporcional a 1r2 hallamos

~BQ = − ~n×...~Q

24πε0c4r. (4.161)

Notese que

~BQ =1c~n× ~EQ. (4.162)

Conviene ahora calcular la forma del vector de Poynting con vistas a obtener las formulasdiferencial e integral de Larmor. Como se sabe,

~S = ε0c2 ~EQ × ~BQ = ε0c ~EQ × (~n× ~EQ).

Obviamente

~S · ~n = ε0c ~n ·[~EQ × (~n× ~EQ)

]= ε0c (~n× ~EQ) · (~n× ~EQ) = ε0c |~n× ~EQ|2 =

|~n×...~Q|2

576π2ε0c5r2.

Teniendo en cuenta el resultado obtenido para el vector de Poynting y repitiendo el procedi-miento ya conocido, la potencia radiada por unidad de angulo solido viene dada, en la aproxima-cion cuadrupolar electrica, por la expresion

dPQ

dΩ=

|~n×...~Q|2

576π2ε0c5. (4.163)



La relacion anterior puede ser modificada y puesta en terminos de las componentes del momen-tum de cuadrupolo electrico. Puede verse que

|~n×...~Q|2 = (~n×

...~Q) · (~n×

...~Q) =

[(...~Q× ~n)×

...~Q

]· ~n = −

[...~Q(~n ·

...~Q)− |

...~Q|2~n

]· ~n = |

...~Q|2 − (~n ·

...~Q)2.

Por lo tanto,

|~n×...~Q|2 =

...Dij

...Dik nj nk −

...Dij

...Dkl ni nj nk nl. (4.164)

En la expresion anterior se entiende que estamos utilizando el convenio de suma de Einstein,es decir, siempre debemos sumar por los ındices doblemente repetidos. Sustituyendo (4.164) en(4.163) hallamos

dPQ

dΩ=

1576π2ε0c5

[...Dij

...Dik nj nk −

...Dij

...Dkl ni nj nk nl

]. (4.165)

Para obtener la formula integral de Larmor podemos integrar la expresion (4.165) por el angulosolido. Para ello hay que tener en cuenta que

∫nj nk dΩ =

43

π δjk (4.166)

y que∫

ni nj nk nl dΩ =415

π [δij δkl + δik δjl + δil δjk] . (4.167)

Ası obtenemos

PQ =...Dij

...Dij

720πε0c5, (4.168)

que es la buscada formula integral de Larmor en la aproximacion cuadrupolar electrica.



4.6. Problemas propuestos1. Considere un atomo de Hidrogeno descrito por el modelo clasico planetario de Rutherford. Suponga que el electron

gira en una orbita circular alrededor del nucleo que permanece en reposo. Aplicando la formula de Larmor calculeel tiempo que demora el electron en caer sobre el nucleo producto de la continua perdida de energıa en forma deradiacion.

2. Un proton se mueve en los campos homogeneos y constantes ~E y ~B perpendiculares entre sı. La velocidad inicialdel proton es ~v0. Calcule la energıa perdida por el proton al cabo de un tiempo t en forma de radiacion.

3. La partıcula de carga e y masa m atraviesa el diametro de una esfera cuyo radio es a, y dentro de la cual sedistribuye uniformemente la carga q. Suponga que e y q poseen signos opuestos. Calcule la energıa perdida por lapartıcula en forma de radiacion al atravesar la esfera suponiendo que la energıa cinetica de entrada es W0.

4. Un proton se mueve en una orbita perpendicular al campo magnetico uniforme ~B. En t = 0 su energıa cinetica eraW0. Calcular la disminucion de la energıa cinetica del proton como funcion del tiempo debido a las perdidas porradiacion.

5. El momentum magnetico del neutron es proporcional a su momentum angular, es decir, ~m = −κ~L. El neutron secoloca en el campo magnetico uniforme y constante ~B. Calcule la potencia radiada por el neutron en aproximaciondipolar magnetica.

6. Un proton se mueve en el campo electrico uniforme ~E. Calcule la energıa radiada por el proton al cabo de un tiempot utilizando la aproximacion dipolar electrica, la aproximacion dipolar magnetica y la aproximacion cuadrupolarelectrica. Compare los tres resultados.

7. Cierta antena es construıda con un hilo conductor metalico muy fino al cual se le da la forma de un cuadrado delado d. Por la antena circula la corriente electrica de intensidad I = I0 e−αt2 . Calcule la potencia total radiada porla antena en la aproximacion dipolar magnetica.

8. Por la misma antena del problema anterior circula la corriente de intensidad I = I0 cos(ωt). Calcule la potenciaradiada durante un perıodo.

9. Una antena lineal es un hilo conductor recto de longitud L por el cual circula la corriente I = I0 cos(ωt). Calcularel valor medio temporal (en un perıodo) de la potencia radiada por la antena.

10. La partıcula de carga e y masa m incide con velocidad inicial ~v0 sobre un atomo, siendo L la distancia de aproxi-macion mınima. El atomo es neutro y tiene momentum dipolar electrico nulo. El momentum cuadrupolar electricodel atomo es Dij = 0 para i 6= j, mientras que D11 = D22 = 1

2D = const. Suponiendo que el atomo no se

polariza producto de su interaccion con la partıcula, calcule la energıa radiada por la partıcula durante todo elproceso.


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