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Recordatorio de Vectores (clase 1)

Un vector es un ente matemtico de gran utilidad en Fsica. Un vector posee las

siguientes caractersticas:

i.- Direccin.

ii.- Sentido.

iii.- Magnitud (mdulo) .

iv.- Satisface un algebra.

v.- Dimensin .

La forma analtica de representar un vector de dimensin n es la siguiente:

Donde V1, V2, V3, Vn , se denominan las componentes escalares del vector.

Para nuestro propsito solo trabajaremos con vectores que posean como

mximo tres componentes escalares, es decir un vector de dimensin tres, adems

cuidaremos siempre de poner la unidad y colocar la flecha sobre la letra que

represente al vector.

Como ejemplo, tenemos el vector fuerza en tres dimensiones, con sus

componentes escalares y su unidad (Newton):

Una manera prctica muy utilizada es representar en forma

grafica un vector, mediante un segmento dirigido en el espacio

euclidiano:

Con esta diagramacin se hace sencillo representar las caractersticas de

direccin, sentido y magnitud (mdulo):

nV (V ,V ,V ,...V )=

1 2 3

( )F , FF [NF ],= 1 2 3

V

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Donde, la punta del vector, tambin llamada afijo representa el sentido del

vector. La direccin se representa con la lnea recta que contiene al segmento, aunque

hay algunos autores que definen la direccin con respecto a un eje de referencia que

no necesariamente es paralelo al segmento dirigido por lo cual asignan un ngulo para

establecer la direccin, en nuestro caso utilizaremos la primera definicin.

La magnitud o mdulo del vector est dado por la siguiente norma euclidiana :

Donde V

es la forma de representar la magnitud o mdulo, tambin se utiliza

solo la letra, sin la flecha sobre ella para tal efecto, es decir V .

Un vector muy importante y de gran utilidad en nuestro estudio del

Electromagnetismo es el vector UNITARIO, cuya particularidad es que su magnitud o

mdulo es UNO y teniendo obviamente direccin y sentido. Para representar este

vector se utiliza un acento circunflejo (^), en lugar de la flecha. La definicin

operacional es:

Los vectores unitarios asociados a los ejes de un sistema cartesiano ortogonal

son:

Es decir , i , j , k son mutuamente perpendiculares , con esta caracterstica y

el hecho que tengan magnitud uno, se dice que forma una base ortonormal

cartesiana. Con la base la i , j , k se puede representar cualquier vector en el

espacio euclidiano. Como ejemplo tenemos la representacin en la base i , j , k del

vector C

:

V V V V= + +2 2 21 2 3

V V V V

V V= =

1

i jX Y Z

; ;X Y Z

k= = =

i j k [ ]C uC C C= + +1 2 3

3

Este vector tambin se puede escribir como un tro ordenado:

Es importante tener en cuenta que la notacin, ya sea utilizando lo vectores

unitarios (versores) o representacin en tro ordenado NO debe mezclarse.

Nota: existen otras bases para representar vectores, por

ejemplo :

a.- Para coordenadas cilndricas:

b.- Para coordenadas esfricas: .

etc.

Algebra de vectores.

El lgebra de vectores hace referencia a la operacin entre vectores, es decir,

suma, resta , producto de un escalar con un vector (ponderacin), producto interno

(producto punto) y producto externo (producto cruz). Es importante recordar que el

cociente (divisin) de vectores NO est definido.

Suma de vectores:

En la suma de vectores se cumple la propiedad de clausura, es decir, de la suma

de vectores resulta otro vector.

( )C C , C [uC ],= 1 2 3

, k,

r , ,

A (A , A ,A )

A (A , A ,A )

[u ] ; [u ] ; C (C , C ,C ) [u ]

C ; D (C , C ,C ) [u ]

( C , BA C ,

B (B , B ,B )

B (B ,D B ,

C ) [

B )

]AD B BA u

=

= + + = + +

= + + + + + +

== 0 0 1 2 3 0

1 2 3 0

1

1 2 3

1 2 3

1 2 2 3

1 2 3

1

21 0

2

3

3

3

4

Ponderacin de un vector:

Producto interno (producto punto)

El producto interno est definido por:

Donde es menor ngulo entre los vectores A By

que se forma cuando los

vectores se hacen coincidir sus orgenes lo cual se logra realizando una translacin

paralela sin modificar la direccin, sentido y magnitud. Lo anterior se logra si la

traslacin del vector se realiza paralelamente a su lnea que lo contena en su

localizacin inicial.

El producto interno de dos vectores da como resultado un ESCALAR , es decir

en esta operacin NO se cumple la propiedad de clausura.

A (A , A ,A )

A

[u ] ; es un escalar.

(A , A ,A ) (E A ,; E [u ] ; E [u ]A , A )

= = =

=1 2 3

1 2 3 1 2

0

0 03

A B cos A B A B A BA B A B = + +=1 1 2 2 3 3

5

Producto externo (producto cruz)

El producto externo est definido por:

En el producto externo (cruz) la verdad es que se obtiene un seudo vector , ya

que el sentido del vector resultante se designa con un convenio, pero esta situacin de

seudo vector no genera problemas por lo tanto no tomaremos en cuenta aquello de

seudo y consideraremos que lo que resulta del producto externo (cruz ) es un vector.

La direccin queda establecida por la lnea perpendicular al plano que contiene

a los dos vectores en el producto externo, paralelo a esta lnea se tiene al vector

unitario e cuyo sentido se establece mediante un convenio (algoritmo).

Para representar grficamente el producto cruz al igual que el producto punto

hacemos coincidir (traslacin) los orgenes de los vectores y el ngulo que debe utilizarse en la expresin

A BA B sen e [uA B u ] =

0 0

es tambin el menor

ngulo entre los vectores .

A B

A B

A B A B

B (B , B ,B )

i j k B (B B

A (A , A ,A )

A (A A A ) i j k

i j

[u ] ;

B )

[u ] ;

[u ] ; [

A B A B

u ]

[u A A

k

A B s A

B B B

e e u un u ] [ ]

=

= + +

=

+

=

=

= +

1 0 0

0

2 3 1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2

0

0 0 0 0

3

3

1 2

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Los vectores paralelos tienen la

misma direccin y sentido.

Los vectores antiparalelos tienen la misma direccin ,pero sentido contrario.

Derivacin e integracin de vectores

Para derivar los vectores , se derivan cada una de las componentes.

Para integrar los vectores , se integran cada una de las componentes.

Ejercicios

1.- Sean m m ma ( , , ) ; a ( , , ) ; a ( , , )ss s

= = = 2 21 2 31 2 3 1 2 7 1 5 3

a.- Cules vectores puede sumar?, justifique su respuesta y resultado de la

suma analtica.

2.- Obtenga el vector unitario asociado a cada uno de los vectores dados

3.- Obtenga: a a ; a a ; a a ; a a ; a a ; a a 1 1 1 2 3 1 1 1 1 3 3 1

4.- m m ma ( , ) ; a ( , ) ; a ( , )s s s

= = = 1 2 3

1 2 1 8 1 5

grafique los

vectores y obtenga la suma geomtrica.

( )

x

V ,V ,V

dVdV dV, ,

dx dx

V

dV

d

Si [u]

u[

dxx]

u

=

=

1 2 3

31 2

y

(B ,B , B )

B

Si [u]

dy ( dy , dy , dy )B [u u ]

B

B B=

=

1 2 3

1 2 3