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Rectas, Planos y Transformacion de Coordenadas

1. Considere las siguientes rectas, tales que:

L1 pasa por (6, 1), y paralela al vector −→a = (1, 1)

L2 pasa por (2, 3) y (−3,−2)

L3 pasa por (−1, 1) y (1,−5)

L4 pasa por (2, 9) y (7, 14)

a) ¿Que pares de rectas son paralelas?

b) Hallar la ecuacion parametrica vectorial de la recta L que pasa por (2, 5) y es paralelaa L1.

c) Encontrar las ecuaciones parametricas cartesianas de la recta L4.

d) Encontrar los puntos de interseccion de cada recta, con el eje Y .

e) Determine si el punto P (2,−9) pertenece a la recta L2.

f ) Encuentre las ecuacion general de cada una de las rectas dadas.

2. Demostrar que tres puntos P1, P2 y P3 se encuentran en una misma recta si y solo si P2−P1

y P3 − P1 son paralelos

3. Determinar los valores m y n para los cuales la recta de ecuacion

(m+ 2n− 3)x+ (2m− n+ 1)y + (6m+ 9) = 0

es paralela al Eje de abscisas e intercepta al Eje Y en el punto Q(0,−3)

4. Dada la recta L = {(4,−2)+ t(4, 3)}, hallar la ecuacion de la recta L1 que pasa por (−6, 2),y es perpendicular a L.

5. Determinar el valor (o valores) de k de modo que la distancia de (−3, 2) a la recta L :5x− 12y + 3 + k = 0 sea de 4 unidades.

6. Encuentre las rectas que, pasando por (6, 2), formen con el eje OX un triangulo equilatero.

7. La suma de las longitudes de los segmentos que una recta L determina sobre los ejescoordenados es igual a 3 unidades. Hallar la ecuacion general de L, si esta pasa por (2, 10).

8. Dadas las rectas L1 : 4x − 6y + 3 = 0, L2 : 4x − 6y + 21 = 0, encontrar la ecuacion de larecta cuyos puntos equidistan de L1 y de L2.

9. Desde el punto P (2,−3) se traza una perpendicular a la recta de ecuacion:

3x− 4y + 6 = 0.

¿A que distancia se halla dicha perpendicular del punto Q(6, 8)?

10. Los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) de la recta 5x − 12y + 15 = 0 distan 3 unidades deL : (3, 4) · [(x, y)− (0, 3)] = 0. Hallar el valor de x1 + x2

11. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 8x+ 15y = 10, y que se encuentrana una distancia igual a 5 unidades del punto P (2, 3)

12. Determinar los valores de k para los cuales las rectas ky+(2k−1)x+7 = 0, (k−1)y+kx = 5se corten en un punto situado en el eje de abscisas.

13. Hallar el punto Q simetrico a (10, 21) respecto a la recta de ecuacion L : 2x+ 5y = 38.

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14. Si L1 : − 4

5x + 3

5y = 0, L2 : − 4

5x + 3

5y = 2

√3 y, A y B son los puntos de la figura,

hallar d[A;B]

15. Hallar la ecuacion de la recta que esta situada a 6 unidades del origen, que pasa por elpunto R(10, 0) y que corta a la parte positiva del Eje Y

16. Si las bases de un trapecio tienen las ecuaciones 4x− 3y+ 10 = 0, 8x− 6y+ 30 = 0, hallarla altura del trapecio.

17. Hallar la distancia entre las rectas L1 : 2x+ y = 10 y 2x+ y + 6 = 0

18. Si L : (x, y) · (1, 2) = 0, L1 : [P − (3, 3)] · (−3,−6) = 0, hallar d[L,L1]

19. Si la distancia entre las rectas L1 = {(a, 5)+t(3, 4)/ t ∈ R} y L2 = {(4, b)+s(−3,−4)/ s ∈R} es de 4 unidades, y el punto Q(5, b− a) dista 6 unidades de L1, encontrar (a, b) si a y bson numeros reales positivos.

20. Hallar la pendiente y el angulo de inclinacion de la recta L que pasa por (2, 3) y es perpen-dicular a la recta L1 : 2x− 7y + 9 = 0

21. El angulo de inclinacion de una recta que no toca al II cuadrante, es 45◦. Hallar su ecuacionsi su distancia al origen es de 2

√2 unidades.

22. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por (2, 5) y que forman un angulo de 45◦ conla recta L1 : x− 3y + 6 = 0

23. Hallar la ecuacion de la recta L que pasa por (4,−3) y que forma un angulo de 45◦ con larecta de ecuacion 3x− 5y + 9 = 0

24. Hallar el angulo agudo formado por las rectas L1 : 4x− 9y + 1 = 0 y L2 : 3x+ 2y − 1 = 0

25. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los angulos formados por las rectas L1 : x+y−3 =0, L2 : 2x− y + 6 = 0

26. Hallar la distancia del punto Q(−2, 5) a la recta L : 5x− 12y − 8 = 0.

27. Hallar la interseccion de la recta L1 que pasa por los puntos (3, 7) y (9, 10), y la recta L2

que pasa por (2,−1) y (11, 8)

28. Sean L1 y L2 dos rectas ortogonales tales que L1 pasa por (3, 2) y (2, 5) y L2 pasa por(2, 1). Hallar la interseccion de ambas rectas.

29. Sean las rectas L1 : 3x− 4y + 6 = 0 y L2 : P = (4, 1) + t(−2, 4), t ∈ R; hallar:

a) la distancia del punto A(4, 1) a la recta L1.

b) La tangente del angulo agudo formado por las rectas.

30. Dadas las rectas L1 = {(3, 6) + t(1, 2)/t ∈ R} y L2 = {(0, 3) + s(1,−1)/s ∈ R}. hallar laecuacion general de la recta que pasa por L1 ∩ L2 y que forma con los ejes coordenadospositivos un triangulo de area 4u2

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31. Encontrar el valor de k para que la recta L : k2x+ (k + 1)y + 2 = 0 sea perpendicular a larecta L1 : 3x− 2y + 4 = 0

32. Una recta pasa por P (3, 5) de modo tal que el segmento de ella, situada entre los ejescoordenados, es dividido por el punto dado en su mitad. Halle la ecuacion de dicha recta.

33. Sean m1 y m2 las pendientes de las rectas que pasan por P (5, 2) y que distan 2√5 unidades

del punto R(2, 6), encontrar el valor de 11(m1 +m2)

34. Dadas las rectas L1 : (1, 2) + t(1,−2), L2 : (a3, 2a

3) + s~b; si L1 es ortogonal a L2, y si

L1 ∩ L2 ∩ (Eje Y ) 6= ∅. Calcular la constante a.

35. El angulo de inclinacion de una recta L que no pasa por el II cuadrante es de 45◦. Hallarla ecuacion de la recta L, si su distancia al origen de coordenadas es 6

√2.

36. Dada la recta L : (−4,−2) + t(4, 3), y el punto P (10√3, 1), hallar dos puntos R y S en

L que forman con P un triangulo equilatero.

37. Hallar la ecuacion general general de las rectas que pasan por A(2, 2) y que forman unangulo de 45◦ con la recta L : 4x− 5y + 3 = 0

38. Si el area del triangulo de la figura es de 12u2, si L1 es ortogonal a L2, encontrar lasecuaciones de L1 y L2.

39. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por la interseccion de las rectas L1 : 2x− y = 1 yL2 : 3x+ 4y = 2, y que es perpendicular a la recta L3 : 4x+ 5y = 3

40. Dada la familia de rectas 2kx + y + k2 = 0, determinar la tangente del angulo agudo queforman las dos rectas de la familia que pasan por el punto P (1,−8)

Rectas y Planos en el espacio

41. Hallar el angulo formado por las dos rectas dirigidas cuyos cosenos directores son 2

7,− 3

7, 6

7

y − 2

3, 1

3, 2

3

42. Los numeros directores de las rectas l1 y l2 son [2,−1, 2] y [6, 2,−3] respectivamente. Hallarel angulo obtuso formado por l1 y l2.

43. Una recta l1 pasa por los puntos (2, 1,−1), (5,−1, 3) y otra recta l2 pasa por el punto(−4, 2,−6) y por el punto P cuya coordenada x es 2. Hallar las otras coordenadas de P sil1 es paralela a l2.

44. Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto (5,−1, 3) y cuya normal tiene por numerodirectores [1,-4,2].

45. El pie de la perpendicular trazada desde el origen a un plano es el punto (1,−2, 1). Hallarla ecuacion del plano.

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46. Hallar la ecuacion del plano que contiene al punto (6, 4,−2) y es perpendicular a la rectaque pasa por los puntos (7,−2, 3) y (1, 4,−5)

47. Hallar la ecuacion del plano perpendicular al segmento A(3, 2,−7) y B(5,−4, 9) en su puntomedio.

48. Demostrar que los cuatro puntos (2, 1, 3), (3,−5,−1), (−6, 7,−9) y (−2, 4,−3) son copla-nares.

49. Partiendo de la ecuacion dada del plano, hallense sus intersecciones con los ejes coordenadosy las ecuaciones de sus trazas sobre los planos coordenados. Construyase la figura en cadacaso.

x+ 2y − z − 2 = 0

5x− 3y + 15z − 15 = 0

50. Construir el prisma limitado por los planos z − y = 0, y + z = 4, z = 0, x = 0 y x = 5.Hallar su volumen.

51. Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto (−4, 2, 9) y es perpendicular al eje Z.

52. Hallar la ecuacion del plano cuyas intersecciones respectivas con los ejes X , Y y Z son −5,3 y 1.

53. Hallar el angulo formado por los planos 3x+ y − z + 3 = 0 y x− y + 4z − 9 = 0.

54. Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto (3,−2, 6) y es paralelo al plano 4y −3z + 12 = 0.

55. Hallar la ecuacion del plano que pasa por el punto (4,−2, 1) y es perpendicular a cada unode los planos x− 3y + 4z − 9 = 0 y 2x+ 2y − z + 11 = 0.

56. Determinar el valor de k para que los dos planos kx−2y+2z−7 = 0 y 4x+ky−6z+9 = 0sean perpendiculares entre sı.

57. Reduzca la ecuacion dada a la forma normal, y hallense la longitud y los angulos directoresde la normal.

8x+ 4y − z + 18 = 0

3x− 4y − 10 = 0

58. Hallar la distancia entre los planos paralelos 6x+3y− 2z+14 = 0 y 6x+3y− 2z− 35 = 0

59. Hallar la distancia del punto (−5,−10,−3) al plano 4x− 3y + 12z = 0

60. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (4, 0, 5) y es paralela a la recta cuyosnumeros directores son [2, 0,−3]

61. Una recta pasa por el punto (6, 3,−2) y es perpendicular al plano 4y + 7z − 9 = 0. Hallarsus ecuaciones.

62. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (3,−2, 7) y corta al eje X perpen-dicularmente.

63. Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (−6, 5, 3) y es paralela a la recta

x+ 4

−2=

3− y

2=

3z + 5

6

64. Hallar el angulo formado por las rectas x−1

−7= y

3= 2z+3

−4y x+5

3= y−8

−2= z+9

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65. Las ecuaciones parametricas de una recta son x = 2 + 4t, y = t − 4, z = 7 − 8t. Reducirestas ecuaciones a la forma simetrica. Hallar las coordenadas de dos puntos de la recta yconstruir dicha recta.

Transformacion de coordenadas

66. Transformese la ecuacion dada trasladando los ejes coordenados al nuevo origen indicado.

a) 3x2 + 2y2 + 12x− 4y + 8 = 0; (−2, 1)

b) xy − 3x+ 4y − 13 = 0; (−4, 3)

67. Por una traslacion de ejes, transformese la ecuacion dada en otra que carezca de terminosde primer grado.

a) 3x2 + 2y2 + 18x− 8y + 29 = 0

b) 8x3 + 24x2 − 4y2 + 24x− 12y − 1 = 0

68. Simplifıquese la ecuacion dada por una traslacion de los ejes coordenados. 16x2 + 16y2 +8x− 48y + 5 = 0

69. Hallar las nuevas coordenadas del punto (3,−4) cuando los ejes coordenados giran un angulode 30◦.

70. Hallar la transformada de la ecuacion x2 − 2xy + y2 − x = 0, al girar los ejes coordenadosun angulo de 45◦

71. Por rotacion de los ejes coordenados, transformar la ecuacion 2x − y − 2 = 0 en otra quecarezca del termino en x′.

72. Por rotacion de los ejes coordenados, transformar la ecuacion x + 2y − 2 = 0 en otra quecarezca del termino en y′.

73. Por una rotacion de los ejes coordenados, transformese la ecuacion 16x2+24xy+9y2+25x =0 en otra que carezca del termino en x′y′.

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