Recup. parcial2
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Ejercicios de estadística
INSTRUCCIONES:
Elija la metodología adecuada según el problema planteado. Se debe utilizar software estadístico en el caso en que la metodología elegida se encuentre implementada.
1. Visa Card USA estudió la frecuencia con que los consumidores de diversos rangos de edades usan tarjetas plásticas (de crédito o de débito) al pagar sus compras (Associated Press, 16 de enero de 2006). A continuación se presentan los datos muestrales de 300 clientes divididos en cuatro grupos de edades
Grupo de edad
Forma de pago 18-24 25-34 35-44 45 y más
Plástico 21 27 27 36
Efectivo o cheque 21 36 42 90
Tabla - 1
Pruebe la independencia entre el método de pago y el grupo de edad. ¿Cuál es el valor p? Usando un nivel de significancia del 0.05 ¿Cuál es su conclusión?
Respuesta:
Ho: La forma de pago y el grupo edad de la Tabla - 1 son independientes.
Ha: La forma de pago y el grupo edad de la Tabla - 1 no son independientes.
Usando Minitab, según el texto "Estadística para Negocios y economía" por Anderson, Sweeney, y Williams (libro utilizado en clase por la profesora), se ingresan los valores de la Tabla - 1, y se hace clic sobre el menú Prueba Chi-cuadrada (tabla de dos factores en hoja de trabajo)..., como se indica en la Fig. 1
Fig. 1
Desde el menú Enviar sección a Microsoft Word, Fig. 2, se obtiene los resultados que se indican abajo.
Fig. 2
Prueba Chi-cuadrada: 18-24; 25-34; 35-44; 45 y más
Los conteos esperados se imprimen debajo de los conteos observadosLas contribuciones Chi-cuadradas se imprimen debajo de los conteos esperados
18-24 25-34 35-44 45 y más Total 1 21 27 27 36 111 15,54 23,31 25,53 46,62 1,918 0,584 0,085 2,419
2 21 36 42 90 189 26,46 39,69 43,47 79,38 1,127 0,343 0,050 1,421
Total 42 63 69 126 300
Chi-cuadrada = 7,947; GL = 3; Valor P = 0,047
En donde: 1 se refiere a la forma de pago Plástico y 2 a la forma de pago Efectivo o cheque.
El Valor p, como se indica en los resultados es de 0,047.
Conclusión: Usando un nivel de significancia del 0,05, se observa que el Valor p (de 0,047) no supera este nivel, por lo tanto se rechaza la hipótesis nula Ho.
2 . El número de llamadas telefónicas que llegan por minuto al conmutador de una empresa tiene una distribución de Poisson. Use un nivel de significancia del 10% y los siguientes datos para probar esta suposición
Número de llamadas por minutos 0 1 2 3 4 5 6
Frecuencia observada 15 31 20 15 13 4 2
Respuesta:
Ho: El número de llamadas telefónicas que llegan por minuto al conmutador tiene una distribución Poisson.
Ha: El número de llamadas telefónicas que llegan por minuto al conmutador no tiene una distribución Poisson.
= 0,1
Con esta información se construye la siguiente tabla, baso en el método de prueba de bondad y ajuste de la distribución de Poisson(ampliar para mejor visibilidad):
Número de llamadas por minutos
Frecuencia observada
numero de llamadas por
frecuencia observada
probabilidad de poisson
Numero esperado de
2 minutos con x
llamadas(100f(x)
Freecuencia Observada(fi
)Frecuencia
esperada(ei)
Cuadrado de la
diferencia(fi-ei)^2
Cuadrado de la diferencia dividido entre la frecuencia espererada
0 15 0 0,1353 13,53 15 13,53 2,15 0,161 31 31 0,2707 27,07 31 27,07 15,47 0,572 20 40 0,2707 27,07 20 27,07 49,94 1,853 15 45 0,1804 18,04 15 18,04 9,27 0,514 13 52 0,0902 9,02 13 9,02 15,82 1,755 4 20 0,0361 3,61 6 5,27 0,54 0,106 2 12 0,0120 1,20
7 o más 0,0045 0,45
Total 100 200chi-
cuadradogrados de
libertadp-
valorµ 2 0,9955 100,00 100 100,0000 4,95 4,00 0,2929e 2,718281828
Conclusiones:
Dado que el p-valor (0,2929) es mayor que α(0,1) se concluye que no se rechaza la hipótesis nula Ho, es decir, que el número de llamadas telefónicas que llegan por minuto al conmutador tiene una distribución Poisson.
3. Las siguientes son las calificaciones en los exámenes finales en un curso universitario
55 85 72 99 48 71 88 70 59 98 80 74 93 85 74 82 90 71 83 80
60 95 77 84 73 63 72 95 79 51 85 76 81 78 65 75 87 86 70 64
Use un nivel de significancia del 5% y realice una prueba para determinar si se debe rechazar que una distribución normal sea representativa de la distribución poblacional de estas calificaciones.
Respuesta:
Se utiliza la herramienta SSPS, y existen dos formas de acceso para ello. Ambos se refieren al procedimiento Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra compara la función de distribución acumulada observada de una variable con una distribución teórica determinada, que puede ser la normal, la uniforme, la de Poisson o la exponencial. La Z de Kolmogorov-Smirnov se calcula a partir de la diferencia mayor (en valor absoluto) entre las funciones de distribución acumuladas teórica y observada. Esta prueba de bondad de ajuste contrasta si las observaciones podrían razonablemente proceder de la distribución especificada.
A continuación se muestra primera la secuencia de acceso a esta prueba (cuadros de diálogos antiguos).
Fig. 3
En la siguiente imagen se muestra la segunda secuencia de acceso a este método, y es el más moderno:
Fig. 3
Esta secuencia lleva a las siguientes ventanas:
Fig. 4
Fig. 5
Fig. 6
Los resultados obtenidos de esta prueba son los siguientes.
NPAR TESTS
/K-S(NORMAL)=Calificaciones
/STATISTICS DESCRIPTIVES QUARTILES
/MISSING ANALYSIS.
Pruebas no paramétricas
Notas
Resultados creados 26-MAY-2012 20:42:55
Comentarios
Entrada
Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos0
Filtro <ninguno>
Peso <ninguno>
Dividir archivo <ninguno>
Núm. de filas del archivo de
trabajo40
Manipulación de los valores
perdidos
Definición de los perdidos
Los valores perdidos
definidos por el usuario será
tratados como perdidos.
Casos utilizados
Los estadísticos para cada
prueba se basan en todos los
casos con datos válidos para
las variables usadas en dicha
prueba.
Sintaxis
NPAR TESTS
/K-
S(NORMAL)=Calificaciones
/STATISTICS
DESCRIPTIVES
QUARTILES
/MISSING ANALYSIS.
Recursos Tiempo de procesador 00:00:00,02
Tiempo transcurrido 00:00:00,02
Número de casos
permitidosa196608
a. Basado en la disponibilidad de memoria en el espacio de trabajo.
[Conjunto_de_datos0]
Estadísticos descriptivos
N Media Desviación
típica
Mínimo Máximo Percentiles
25
Calificaciones 40 76,8250 12,42596 48,00 99,00 70,2500
Estadísticos descriptivos
Percentiles
50 (Mediana) 75
Calificaciones 77,5000 85,0000
Prueba de Kolmogorov-Smirnov para una muestra
Calificaciones
N 40
Parámetros normalesa,b
Media 76,8250
Desviación típica 12,42596
Diferencias más extremas
Absoluta ,091
Positiva ,037
Negativa -,091
Z de Kolmogorov-Smirnov ,578
Sig. asintót. (bilateral) ,892
a. La distribución de contraste es la Normal.
b. Se han calculado a partir de los datos.
*Nonparametric Tests: One Sample.
NPTESTS
/ONESAMPLE TEST (Calificaciones) KOLMOGOROV_SMIRNOV(NORMAL=SAMPLE )
/MISSING SCOPE=ANALYSIS USERMISSING=EXCLUDE
/CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95.
Pruebas no paramétricas
Notas
Resultados creados 26-MAY-2012 20:51:26
Comentarios
Entrada
Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos0
Filtro <ninguno>
Peso <ninguno>
Dividir archivo <ninguno>
Núm. de filas del archivo de
trabajo40
Sintaxis
NPTESTS
/ONESAMPLE TEST
(Calificaciones)
KOLMOGOROV_SMIRNOV(
NORMAL=SAMPLE )
/MISSING
SCOPE=ANALYSIS
USERMISSING=EXCLUDE
/CRITERIA ALPHA=0.05
CILEVEL=95.
Recursos
Tiempo de procesador 00:00:00,53
Tiempo transcurrido 00:00:00,85
[Conjunto_de_datos0]
Fig. 7
Conclusión:
Los datos suministrados se aproximan a una distribución normal dentro de un nivel de significancia del 5%.
4. Con objeto de determinar su efecto en el rendimiento de la gasolina en millas por galón en los automóviles de pasajeros, se prueban dos aditivos para gasolina. A continuación aparecen los resultados de esta prueba en 12 automóviles; en cada automóvil se probaron los dos aditivos. Use un nivel de significancia del 5% y la prueba de los rangos con signo de Wilcoxon para determinar si existe una diferencia significativa entre estos dos aditivos
Automóvil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Aditivo 1 20.12 23.56 22.03 19.15 21.23 24.77 16.16 18.55 21.87 24.23 23.21 25.02
Aditivo 2 18.05 21.77 22.57 17.06 21.22 23.80 17.20 14.98 20.03 21.15 22.78 23.70
Respuesta:
Antes de realizar la prueba de los rangos con signo de Wilcoxon se observa la distribución de los datos para verificar si existe algún tipo de simetría, ya que la prueba asume este tipo de relación entre los datos. Se ha creado un gráfico con estos datos, Fig. 8 , y efectivamente podemos asumir que existe simetría entre los mismos, no siendo sesgadas.
Fig. 8
Otro punto que debe tomarse en cuenta es que la prueba se presenta como alternativa a la t de Student cuando el supuesto de normalidad no es asumible, que es lo que se observa en la Fig. 9.
Automóvil Aditivo 1 Aditivo 2 Diferencia Diferencia Absoluta
1 20,12 18,05 2,07 2,07
2 23,56 21,77 1,79 1,79
3 22,03 22,57 -0,54 0,54
4 19,15 17,06 2,09 2,09
5 21,23 21,22 0,01 0,01
6 24,77 23,8 0,97 0,97
7 16,16 17,2 -1,04 1,04
8 18,55 14,98 3,57 3,57
9 21,87 20,03 1,84 1,84
10 24,23 21,15 3,08 3,08
11 23,21 22,78 0,43 0,43
12 25,02 23,7 1,32 1,32
Tabla - 2
A simple vista (ver tabla 1), se puede observar que el rendimiento del automóvil con el Aditivo 1 es mejor que el del Aditivo 2, excepto por los automóviles 3 y 7.
En particular, se usará la prueba de rangos con signo de Wilcoxon para la diferencia entre la mediana de los rendimientos para los dos aditivos usados en las pruebas los 12 automóviles.
Las hipótesis son las siguientes, para un nivel de significancia del 5%.
Ho: Existe una diferencia significativa entre las medianas de los rendimientos producidos por los dos aditivos.
Ha: No existe una diferencia significativa entre las medianas de los rendimientos producidos por los dos aditivos.
Usando SPSS, se siguen los siguientes pasos:
Fig. 9
Fig. 10
Fig. 11
Los primeros resultados que nos devuelve SPSS, son los siguientes:
*Nonparametric Tests: Related Samples.
NPTESTS
/RELATED TEST(Aditivo1 Aditivo2) WILCOXON
/MISSING SCOPE=ANALYSIS USERMISSING=EXCLUDE
/CRITERIA ALPHA=0.05 CILEVEL=95.
Pruebas no paramétricas
Notas
Resultados creados 27-MAY-2012 08:41:15
Comentarios
Entrada
Conjunto de datos activo Conjunto_de_datos0
Filtro <ninguno>
Peso <ninguno>
Dividir archivo <ninguno>
Núm. de filas del archivo de
trabajo12
Sintaxis
NPTESTS
/RELATED TEST(Aditivo1
Aditivo2) WILCOXON
/MISSING SCOPE=ANALYSIS
USERMISSING=EXCLUDE
/CRITERIA ALPHA=0.05
CILEVEL=95.
Recursos
Tiempo de procesador 00:00:00,25
Tiempo transcurrido 00:00:00,24
[Conjunto_de_datos0]
Nótese que SPSS rechaza la hipótesis nula de que la diferencia entre ambos redimientos es cero. Por lo que SSPS considera como hipótesis nula, lo que para la respuesta de este ejercicio es la hipótesis alterna.
Para observar los resultados con más detalle, SSPS nos da los siguientes resultados:
[Conjunto_de_datos0]
Rangos
N Rango promedio Suma de rangos
aditivo2 - aditivo1
Rangos negativos 10a 7,00 70,00
Rangos positivos 2b 4,00 8,00
Empates 0c
Total 12
a. aditivo2 < aditivo1
b. aditivo2 > aditivo1
c. aditivo2 = aditivo1
Estadísticos descriptivos
N Media Desviación
típica
Mínimo Máximo Percentiles
25 50 (Mediana) 75
Aditivo1 12 21,6583 2,73926 16,16 25,02 19,3925 21,9500 24,0625
Aditivo2 12 20,3592 2,89744 14,98 23,80 17,4125 21,1850 22,7275
Estadísticos de contrastea
aditivo2 -
aditivo1
Z -2,432b
Sig. asintót. (bilateral) ,015
Sig. exacta (bilateral) ,012
Sig. exacta (unilateral) ,006
Probabilidad en el punto ,001
a. Prueba de los rangos con signo de Wilcoxon
b. Basado en los rangos positivos.
Conclusión:
Como el P-valor es 0,012 (ver resultados en rojo, página anterior) y el nivel de significancia es de
5%(0,05) , es decir que 0,012< 0,05, entonces nos quedamos con la hipótesis que indica que no hay
diferencia significativa entre el rendimiento de los dos aditivos. Para SPSS, ésta es la hipótesis
alternativa, para la respuesta de este ejercicio es la hipótesis nula, Ho.