Red Espacial

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La red cristalina es una construccin geomtrica que parte de cuatro puntos base, de los cuales no puede haber mas de dos en una fila y no mas de tres en un plano. Partiendo de estos puntos podemos desplazarlos formando toda la red, los cristales estn formados por estas redes, que a continuacin describiremos.

Componentes de la red espacial Nodos.- puntos que componen la

red espacial. Filas.- Se forma por la sucesin de puntos en una misma recta Plano reticular.- Formado por nodos en un mismo plano Celdillas.- Paraleleppedos formados por los planos y filas perpendicular a estos.

Elementos de simetraLos elementos de simetra son los siguientes:Plano de simetra. Eje de rotacin. Centro de simetra. Eje de roto-reflexion. Eje de roto-inversion.

Plano de simetra Es un plano imaginario contenido en el cristal que actua como

un espejo. En donde una es la imagen especular de la otra.

Eje de simetria Eje imaginario a travs del cristal, sobre este eje axial podemos

girar el cristal encontrando posiciones de giro congruentes. La rotacin puede representarse por una matriz de rotacin en tres dimensiones. Cuya traza debe ser un numero entero.

Centro de simetria Es un punto imaginario ubicado en la red espacial que al pasar

una recta sobre el encontramos dos puntos equidistantes.

Eje de roto-inversinCombinacin de un plano de simetra con un eje de

simetra.

En la figura observamos la accin del eje de simetra sobre el punto A1 y luego el reflejo en el plano.

Eje de roto-reflexinEs la combinacin de un eje de simetra con un centro

de simetra. En la figura se observa la accin Del eje de simetra sobre el punto A1 y luego la accin del centro de simetra.

Particularidades de la simetra de las redes espaciales Una recta paralela al eje de simetra y que pasa por un nudo de la red, es un eje de simetra del mismo orden para dicha red. Un plano paralelo al plano de simetra y que pasa por un nudo, es un plano de simetra de la misma red. Si en la red hay un eje de simetra de orden n (siendo n>2), en la misma red hay tambin n ejes binarios perpendiculares al eje Ln. La red espacial siempre tiene un nmero infinito de centros de simetra. Estos son los nudos, los centros de los paraleleppedos y de las caras, y el punto medio de las aristas. El plano que pase por un nudo de la red y sea perpendicular al eje de simetra de la

misma, es un plano reticular de dicha red.

En 1855 A. Bravias hizo una superposicin de planos que generaron 14 celdas morfolgicamente distintas, estas traslaciones generaron todas las redes espaciales que podria tener un cristal. Todas las redes de bravas se pueden convertir a su forma primitiva, pero la red de Bravais es una disposicin de puntos matemticos que tienen posicin pero no magnitud, ni forma.

Son de 4 tipos: 1.- Simples o primitivas, en que las partculas de las sustancias se ubicaran solamente en los vrtices de los paraleleppedos. Al aadir partculas en diferentes partes de las rejas se deducen redes ms complicadas. 2.- De bases centradas (centrada en la base), en donde las partculas se aaden de manera que ocupen los centros de la base o de cualquier cara de la malla. 3.- De mallas centradas (centradas en el interior, de cubos centrados), donde adems de los nudos en los vrtices de los paraleleppedos, hay otro nudo en el centro del mismo.

4.- De caras centradas (centradas en las caras), donde los nudos se ubican en los vrtices de los paraleleppedos y en el centro de todas las caras de las mallas.

Red triclnica (abc 90) Debido a los valores distintos entre s de las traslaciones

y de los ngulos fundamentales, el paraleleppedo tiene forma cualquiera, triplemente inclinado (por ello se denomina triclnico). Se trata de una red primitiva.

Redes monoclnicas (abc ==90) La celda es un paraleleppedo no recto de base

rectangular (formados por redes planas rectangulares). Red monoclnica primitiva (P), Red monoclnica de base centrada (C).

P

C

Redes rmbicas (abc ===90) Red rmbica primitiva, P

El paraleleppedo fundamental es un prisma recto de base rectangular. Los tres planos fundamentales, (100), (010) y (001), ms los planos diagonales del prisma, son redes planas rectangulares. Redes rmbicas centradas La operacin de centrado de redes permite la generacin de estos otros tipos de red. Si se centran las redes planas rectangulares (100), (010) y (001) sus smbolos son respectivamente A, B y C.

Redes tetragonales (a=bc ===90)

Red tetragonal, P

La celda fundamental es un prisma recto de base cuadrada. La familia de planos (001) es de red plana cuadrada, mientras que (100) y (010) son rectangulares e idnticos entre s.

Red tetragonal centrada, I

Al ser iguales por simetra, los planos (100) y (010) no pueden centrarse independientemente, y, a su vez, no pueden hacerlo simultneamente porque ello destruye la homogeneidad de los planos de la misma familia.

Red hexagonal, P (a=bc ==90, =120, 60) El paraleleppedo fundamental es un prisma recto de base rmbica

(de ngulo de 60). Para visualizar la forma hexagonal se toma una celda mltiple integrada por tres de estas celdillas rmbicas Esta red hexagonal permite un apilamiento especial de los planos hexagonales. Segn ste, los nudos se proyectan a 1/3 o a 2/3 de la diagonal mayor del rombo, dando como resultado una red rombodrica o trigonal, R de (a=b=c ==90)

Redes cbicas (a=b=c ===90)

Red cbica primitiva, P: El paraleleppedo fundamental es un cubo. Redes cbicas centradas: El centrado de las caras del cubo no debiera ser posible puesto que son redes planas cuadradas. Las redes cbicas centradas se originan cuando el ngulo del romboedro se hace igual a 60 y las tres diagonales del romboedro se hacen iguales entre s, definiendo las aristas de un cubo que circunscribe al romboedro. As, la distribucin de nudos es la correspondiente a un cubo de caras centradas, originando la red cbica de caras centradas, F.

Grupos Espaciales Se pueden definir los grupos espaciales como grupos de

transformacin del espacio tridimensional homogneo y discreto en s mismo. El principio de homogeneidad de una sustancia en estado cristalino, considerndolo a nivel microscpico, es decir, considerando la atomicidad de la sustancia cristalina, incluye los principios de simetra (la sustancia cristalina contiene un infinito nmero de puntos iguales por simetra) y de discrecin (no todos los puntos de una sustancia cristalina son idnticos). Estos principios se realizan simultneamente en la red cristalina. Las condiciones de homogeneidad y discrecin determinan que todos los grupos espaciales sean peridicos tridimensionalmente y por lo tanto cristalogrficos, con ejes de simetra de rdenes 1, 2, 3, 4 y 6.

En 1891 A. M. Schnflies y E. S. Fedorov completaron,

independientemente, la lista de los 230 grupos espaciales cristalogrficos. De estos 230 grupos: - 73 son grupos simorfos: Tipo de grupos espaciales que se obtiene de manera simple combinando cada uno de los 32 grupos puntuales con cada una de las redes de Bravais compatibles con ellos. - 157 grupos no simorfos: Son aquellos que se derivan de los simorfos cuando en ellos consideramos una traslacin mltiple, pues aparecen elementos de simetra con traslacin asociada, no presentes en los grupos simorfos.

SistemaSistema triclnico Sistema monoclnico Rmbico

N02 13 39

Nmeros1-2 3-15 16-74

Grupos

P2, P21, B2, . . . P222, P2221, P212121, . . . P4, P41, P41, . . . P3, P31, P32, . . . P6, P61, P62, . . . P23, F23, I23, . .

TrigonalSistema tetragonal Sistema regular Sistema hexagonal Total

2568 36 27 230

75-142143-167 168-194 195-230

Enlaces Atmicos en los Cristales Una comprensin de muchas de las propiedades fsicas de los materiales son predicadas en un conocimiento de las fuerzas interatmicas que atan juntos a los tomos. Quiz los principios de unin atmica son ms convenientes ilustrado considerando la interaccin entre dos tomos apartados como sean metidos en proximidad cercana de una separacin infinita. En distancias grandes, las interacciones son insignificantes; pero como el acercamos los tomos, cada uno ejerce fuerzas por parte de la otra. Estas

fuerzas son de dos tipos, atractivo y repulsivo, y la magnitud de cada uno es una funcin de la separacin o la distancia interatmica. El origen de una fuerza atractiva Fa depende del tipo particular de unin que existe entre los dos tomos. Su magnitud varia con la distancia, como representado esquemticamente en la Figura 3.1. Finalmente, los electrones exteriores de los dos tomos comienzan a superponerse, y una fuerza fuertemente repulsiva Fr entra en juego. La fuerza neta Fn entre los dos tomos es simplemente la suma de ambos componentes atractivos y repulsivos; esto es: Fn = Fa + Fr

Tipos de enlaces entre las partculas materiales de los cristales reales Los tipos de enlaces son de dos tipos primarios y secundarios. Los

primarios son los enlaces inicos, enlace covalente, enlace metlico y los secundarios son enlaces de Van der Waals-London y los enlaces puente de hidrogeno. Enlace inico.- Los tomos neutrales de ciertos elementos qumicos pierden fcilmente sus electrones exteriores (de valencia) y, de esta manera se transforma en iones cargados positivamente (cationes).

Na Cl-

Na+ Na+ Cl-

Cl

Enlace covalente.- La estabilidad se asegura por la presencia

de uno o varios electrones comunes a dos tomos contiguos, es decir, de electrones que entran en la composiciones cada uno de estos tomos.

C

H

Enlace metlico.- en este enlace los electrones se desplazan libremente,

con ello se explica la gran conductibilidad trmica y elctrica de la mayora de los metales. El enlace metlico se efecta debido a la atraccin entre las armazones positivamente cargadas de los tomos y el conjunto de electrones metlicos. De esta manera tenemos electrones de valencia comunes para todos los tomos.+ + + + + +

++ +

+ + +

+ + +

Enlace por fuerza de Van der Waals.- en este tipo de

enlace, las unidades estructurales se unen mediante las denominadas fuerzas de Van der Waals, las cuales son considerablemente mas dbiles que en los tres casos anteriores.

-

+

-

+

Problemasb1.- En la figura (a) se muestra la estructura del CsCl, con los iones Cs en las esquinas y el ion Cl, ligeramente mas grande, en el medio del cubo. En cada punto de la red existe un par de iones, como se muestra en la figura (b). Si un par de iones, como los indicados, se ubican en cada punto de la red: a) dibujar la red, b) identificar la red y c)dar las coordenadas fraccionales del ion Cs y del ion Cl. Solucion: a) El dibujo de la red se muestra en la figura adjunta. b) La red es cubica P (primitiva) c) Con relacin a los vectores de la celda unitaria, las coordenadas fraccionales de los iones son: Cs: 0 0 0 y Cl: 0,5 0,5 0,5

a c

(a)

(b)

2.-en la estructura del CaTiO3 que se muestra en la figura (a), el in grande de Ca est en el centro del cubo y los iones pequeos de Ti en las esquinas del cubo. Considerando que existen cinco tomos en cada punto de la red, como se muestra en la figura (b): a) dibujar la red, b)identificar la red y c) dar las coordenadas fraccionales de los iones de Ca, Ti y cada uno de los tres oxgenos.

a c (a) (b)

b

Solucin: a) El dibujo de la red primitiva se muestra en la figura adjunta. b) La red cbica P (primitiva) c)Con relacion a los vectores de la celda unitaria, las coordenadas fraccionales de los iones son: Cs: 0.5 0.5 0.5; Ti: 0 0 0 y O: 0,5 0 0, 0 0.5 0, 0 0 0.5

3.- el magnesio tiene la estructura que se muestra en la figura (a). Observando que cada celda unitaria contiene solamente un punto de red, pero dos tomos, como se muestra en la figura (b): a) dibujar la red, b) identificar la red y c) dar las coordenadas fraccionales de los tomos de Mg.Solucin: a) El dibujo de la red se muestra en la figura adjunta. b) La red es hexagonal P (primitiva) c) Con relacin a los vectores de la celda unitaria que se muestran, las coordenadas fraccionales de los tomos: Mg: 0 0 0 y 2/3 1/3 1/2 a

2/3

1/3 a c b 1200 b