Refuerzos Para El Docente m10

7/24/2019 Refuerzos Para El Docente m10

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Matemticas 10

Biblioteca del profesor


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En busca de KlingsorJorge Volpi

Cierta vez, un reportero pregunt a Einstein:

Existe una frmula para obtener xito en la vida?

S, la hay.

Cul es? pregunt el reportero, insistente.SiArepresenta al xito, dira que la frmula esA=x+y+z, en dondex es el trabajo ey la suerte

explic Einstein.

Y qu sera laz?

Einstein sonri antes de responder:

Mantener la boca cerrada.

Un joven norteamericano, Bacon, estudi Fsica en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton y all conoci aEinstein, del que recuerda algunas ancdotas como esta:

Al finalizar la Segunda Guerra Mundial, se hizo espa y viajara a Alemania para encontrar al mximo responsable

de las investigaciones atmicas realizadas por los nazis, que se esconda bajo el seudnimode Klingsor. En sus pesquisas, lo ayud un matemtico, de nombre Links, que form parte del equipo de

investigacin nuclear de los nazis. As narra Links sus primeros aos de vida.

Por qu estbamos juntos el teniente Bacon y yo? Cundo nos encontramos por primera vez?

Cul era nuestra misin? Cmo se cruzaron, en fin, nuestras vidas paralelas? Para responder a estoscuestionamientos no me queda ms remedio que hablar un poco de m.

Ubico mi nacimiento en el mapa de mi imaginacin como un pequeo punto dibujado en el centro

de un plano cartesiano. Hacia arriba, en el eje de las y, est todo lo positivo que me ha ocurrido; en

contraposicin, hacia abajo descubro mis desventuras, mis retrocesos y mis requiebros.

A la derecha, en el eje de lasx, encuentro los actos que me definen, aquellos que voluntariamente heconvertido en el centro de mi vida deseos, anhelos, obsesiones, mientras que, a la izquierda, yacen esas

porciones de mi ser que me han modelado contra mi voluntad o mi conciencia, esas partes aparentementeimpredecibles o espontneas que, no puedo negarlo, tambin me han llevado adonde estoy ahora. Cul sera

el resultado final de un ejercicio como ste? Qu forma aparecera en mediode la hoja? Sera posible trazar las coordenadas que he recorrido a lo largo de mi trayecto? Y obtener, a

partir de esa lnea, la frmula que me resuma en cuerpo y alma?

Al contemplar mi vida desde la distancia que otorga el tiempo es decir, al mirarme como un problema

abstracto o, mejor, como una bacteria que se desplaza penosamente bajo la luz del microscopio, me doycuenta de que, desde mi nacimiento, mi destino ha estado ligado a la historia del siglo como una lamprea est

unida fatalmente al cetceo que le sirve de hogar y compaa.


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La ma es una existencia marcada por la turbulenta poca que me toc padecer y, sobre todo,

por las personas que la fortuna puso en mi camino durante la primera mitad de este siglo. Comparto,

pues, slo por casualidad, el inters de algunos de los momentos ms admirables y ruinosos

de la humanidad: dos guerras mundiales, Auschwitz e Hiroshima, y el nacimiento de la nueva ciencia.

Divago. Intento concentrarme para ofrecer una primera frase que alcance a retratarme,

un inicio inquietante que despierte la curiosidad, un golpe de efecto capaz de atrapar a mis lectores:

por desgracia, no lo consigo. Empiezo, pues, con lo obvio. Mi nombre ya lo he dicho es Gustav Links,

y nac el 21 de marzo de 1905 en Mnich, capital de Baviera. No es necesario referir la grandeza

de mi ciudad natal; baste decir que, adems de la tradicin de locura instaurada por el rey Luis II

y su hermano Otto, la regin conoci un momento de esplendor del que participaron hombres

como Thomas Mann, Richard Strauss, Franz Wedekind y Werner Heisenberg, entre muchos otros.

Mi padre, Jrgen Links, era catedrtico de Historia medieval en la Universidad. Nuestro linaje

se remonta al menos hasta el siglo XVII, tal como demuestra el rbol genealgico que l guardaba,

y que fue revisado una y otra vez por las autoridades nazis en busca de un antepasado judo

que pudiese comprometernos; entre mis antecesores figuran, por el contrario, un maestro de msica

en la corte de Berln, un farmacutico de Soest y, en fin, un talabartero de Mnich al servicio

del rey Max Joseph de Baviera, en plena era napolenica.El nombre de mi madre era

Else Schwartz, pero el recuerdo

que poseo de ella es muy borroso

debido a que, por culpa de un

embarazo fallido, muri cuando

yo tena tres aos. No puedo

hablar de ella: lo nico que s,

por las escasas fotografas que

alguna vez me mostr mi padre,

es que tena una frente amplia y

poderosa, una cabellera de colorrubio plido, casi blanca, que le

llegaba hasta donde empiezan

los pechos, y una mirada severa

que no dejaba traslucir la bondad

que, segn decan, era su

principal virtud. Debido a este

desafortunado incidente, fui hijo

nico y, contra la costumbre de entonces, no tuve que compartir mis escasos privilegios con una

larga lista de hermanastros: aunque nadie pudiese pensar que a mi padre le afect su temprana

viudez, nunca volvi a casarse.

En esto, como en muchas otras cosas, mi padre era distinto al comn de los mortales.A l s que lo conoc, a pesar de que era el vivo ejemplo de esa tradicin ancestral de los Links

que es la de jams mostrarse tal como uno es. Naci en Mnich, como yo, en 1871, justo

en el momento en que Baviera pas a formar parte del Reich alemn con el emperador Guillermo I

y su ministro Bismarck. Prcticamente la mitad de su vida transcurri en la frrea sociedad formada

por estos hombres y era un convencido entusiasta del Imperio. Aunque era fuerte y arrogante,

adusto y rgido, tena una de las personalidades que yo ms he admirado. Desde pequeo se interes

por la historia de los antiguos germanos, cuya progenie estudi toda su vida.


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Era el ms sabio en un ambiente de hombres sabios y eracapaz de recitarme de memoria fragmentos enteros de las

gestas medievales:Tristn e Isolda, el Cantar de los Nibelungos

o el Percevalde Wolfram von Eschenbach.

Sin embargo, a lo largo de mi niez, apenas tuve otro contacto

con l. En nuestro ambiente de Bildungbrgerde burgueses

ilustrados, los hijos ocupaban el lugar ms bajo de la jerarqua

social, siempre separados de los adultos.

Cuando nac, el mundo era un sitio ordenado, un cosmos

serio y meticuloso en el cual los errores las guerras, el dolor,

el miedo no eran ms que lamentables excepciones debidas

a la impericia. Mis padres, y los padres de mis padres, crean

que la humanidad progresaba linealmente, desde el horror

de la edad de las cavernas, hasta la brillantez del futuro,

como si la historia no fuese ms que un cable tendido entre

dos postes de luz o, para utilizar la metfora que mejor define

al siglo XIX, como una va frrea que une, al fin, dos poblados

remotos. En medio de este escenario, nacer era poco ms que un trmite. A partir de ah, la severa

educacin que se nos imparta bastaba para modelarnos, para hacernos hombres de bien

y para asegurar nuestro porvenir Los valores que se nos enseaban entonces eran muy simples:

disciplina, austeridad, nacionalismo. Esta empresa pareca tan hermosa y, a la vez, tan simple!

Si la regla del mundo era el progreso, las existencias individuales deban plegarse al mismo

esquema. Por qu algo habra de fallar? Si se planeaba con suficiente cuidado la formacin

de un nio, si se le proporcionaban las herramientas que asegurasen su desarrollo, su crecimiento

fsico y espiritual, y si se forjaba su carcter como si fuese, en efecto, una lmina de bronce

sobre el yunque de la moral, poco a poco la sociedad podra deshacerse de los locos,

los criminales y los mendigos, asegurndose una comunidad de hombres honrados, ricos, alegres

y piadosos.


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Por fortuna, mi infancia no slo estuvo baada por el rigor cientfico. Una actividad transform

mi niez: mi ingreso a los Wandervogel, pjaros errantes, como se llamaba entonces a los integrantes

del movimiento juvenil que, a semejanza de los boy scoutsde otros pases, eran una parte destacada

de la formacin de los jvenes alemanes de entonces. Gracias al movimiento, conoc a Heinrich

von Ltz, mi mejor amigo durante muchos aos, una de las influencias capitales de mi vida,

y a Werner Heisenberg, el cual, como era cuatro aos mayor que nosotros, diriga ya su propio grupo

de muchachos.

Conseguira el teniente Bacon, ayudado por Links, descubrir y detener al responsablede los proyectos nucleares nazis, la persona que se ocultaba bajo el seudnimo Klingsor?

Por qu Links, habiendo colaborado en esos proyectos para fabricar la bomba atmica,

no fue detenido ni juzgado? Estas incgnitas las resolvers si lees la novela.

Para reflexionar sobre el texto

Juzga la metfora de Links. Sera posible representar una vida mediante una curva

en un sistema de coordenadas cartesianas?

Links opina que su vida y la del teniente Bacon fueron paralelas hasta el momento

en que se cruzaron. Desde el punto de vista de la Geometra analtica, qu tienen en comn

dos rectas paralelas? En qu se parecen sus ecuaciones?

1

2


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Notacin matemtica de funciones

(x, y) Indican un par de valores(x0, y0) ordenadosde una funcin.

(x1, y1)(x2, y2)

(x, f(x)) Expresa el mismo par ordenado.

(1, 2) Indica un punto en el plano.

QU SIGNIFICA? CMO LO ESCRIBIMOS?

Para indicar un punto de la grfica de una funcin,

la primera coordenada se suele denotar

con la letra x, y la segunda con la letrayo con la expresin de la funcin, f(x).

Cuando nos referimos a un punto concreto solemos

llamarlo (x0, y0), y cuando tomamos varios puntos

los llamamos ( x1, y1), ( x2, y2), ( x3, y3)

Si queremos indicar un punto del plano

se escriben las dos coordenadas del punto entre

parntesis y se separan con una coma seguida

de un espacio.


La funcin f es una relacin que asocia a cada

nmero real, x, perteneciente a un conjunto D,

un nico nmero real y= f(x).

La variable x se denomina variable independiente,y la variable y,variable dependiente.

f: D Expresa la funcin f.

x y= f(x)


XIndican el eje de abscisas .

OX

YIndican el eje de ordenadas.

OY

O Se refiere al origen de coordenadas.

Los ejes de coordenadas se suelen escribir

con las letras maysculas XyY. A veces tambin

se utiliza la notacin OXy OY.

Para nombrar el origen de coordenadas,

donde se cortan los ejes de abscisas y ordenadas,

se emplea la letra mayscula O.


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Dom f Indica el dominiode la funcin f.

Dom f= [a, b] El dominio de f es

todos los nmeros

reales excepto

los del intervalo.

Dom f= {a, b} El dominio de f es

todos los nmeros

reales excepto

los nmeros ay b.

Dom f= (a, b) (c, d) El dominio de f es

todos los nmeros

reales de

los intervalos ( a, b)

y (c, d).

Dom f= (a, b) {c, d} El dominio de f

es todos los

nmeros reales

del intervalo ( a, b)

y los nmeros c y d.

gof (x) f compuesta con g de x.

fog (x) g compuesta con f de x.

QU SIGNIFICA? CMO LO ESCRIBIMOS?Para expresar la composicin de dos funciones,

escribimos las funciones de derecha a izquierda,

separndolas mediante un punto huecoque indica

la composicin.

f1(x) Funcin inversa de f.


El signo 1 como exponente de una funcin

significa que es la funcin inversa.

T Indica el valor del perodode una funcin peridica.


Para sealar el valor del perodo de una funcin

se utiliza la letra T y se escribe f(x) = f(x + T).

Es una igualdad vlida para cualquier valor de x.

El dominio de una funcin es un conjunto

que se expresa en forma de intervalo,

o utilizando los smbolos de operaciones

entre conjuntos como, por ejemplo, y .


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Tablas, grficas y frmulas para funciones

1 1

1 2

Para pintar una casa se ha contratado a un pintor y a su ayudante. El pintor comienza a trabajar

a las 10 de la maana y cobra $20.000 por cada hora trabajada. El ayudante comienza a

las 8 de la maana y cobra $12.000 la hora de trabajo.

a) Cuando el ayudante ha trabajado 4 horas, cunto dinero han ganado?

b) Cuando el pintor lleva trabajadas t horas, cunto ha ganado cada uno de ellos?

Y entre los dos?

c) Completa una tabla donde aparezcan el nmero de horas trabajadas y el dinero ganado

por cada uno y por ambos.

d) Dibuja la grfica que representa cmo vara el dinero que ganar el ayudante en funcin

de las horas trabajadas.

Planteamiento y resolucin

a) El ayudante: 4 $12.000=$48.000. El pintor: 2 $20.000=$40.000

b) El pintor: 20 t=$20.000. El ayudante: 12 (t+ 2)= 12 t+ $24.000

c)

d) La grfica es la recta r que pasa por el origen.

Dibuja, sobre los mismos ejes, la grfica

correspondiente a los ingresos del pintor.Responde, utilizando las grficas,

a las siguientes cuestiones:

a) A qu hora han ganado lo mismo?

b) Cunto han ganado en ese momento?

c) Cmo lo sabes?

Podras haber contestado a las cuestiones

anteriores utilizando la tabla? Y utilizandolas frmulas obtenidas en el apartado b)

del problema inicial? Cul crees que es

la mejor opcin? Por qu?

PROBLEMA RESUELTO

PROBLEMAS PROPUESTOS

HorasN. o de horasdel ayudante

N. o de horasdel pintor

Dinero delayudante

Dinerodel pintor

Dinero en $ ganadopor ambos

8

9

10

11

12

13

14

0

1

2

3

4

5

6

0

0

0

1

2

3

4

0

12

24

36

48

60

72

0

0

0

20

40

60

80

0

12.000

24.000

56.000

88.000

120.000

152.000 1 2 3 4 5 6 70

80.000

70.00060.00050.00040.00030.00020.000

10.000

r

Y

X


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Encuentra el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.

a) ( )2

1f x

x=

-

b) ( ) 9g x x= -

Dadas las funciones: ( )6

2( ) 3 5 ( ) 5f x

xg x x h x x=

- = + = -

a) Calcula las siguientes imgenes: f(3), g( -2) y h(2)

b) Determina las antiimgenes: f -1(0), g-1(-1) y h-1(4)

Considera la funcin f(x) =x2 -2x -8, y calcula los puntos de corte de

dicha funcin con los ejes de coordenadas.

1 3

1 4

1 5


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Funciones

Nombre:

Curso: Fecha

Se considera un cuadrado cuyo lado mide x cm. Con centro en cada vrtice, y radio, la mitadde la longitud del lado, la mitad de la longitud del lado, se construyen sectores circulares.Encontrar la expresin del rea de la figura que se forma dentro del cuadrado en funcin de su lado.

Halla el valor del rea en el caso de que el lado mida cm.2

1

Dibuja la grfica de una funcin con las siguientes caractersticas:

Su dominio es toda la recta real y su recorrido es el intervalo [3, 3].

Es simtrica respecto del origen de coordenadas.

Es creciente en (1, 1) y decreciente en ( , 1) (1, + ).

2

Considera las funciones: y, g(x) = 2x 1

Calcula.

a) f 1(x) y su dominio. b) f g(x) y su dominio. c) y su dominio.f x

g x

( )

( )

f xx

x( ) =

+ 13

Dada la funcin representada, indicar.

a) Dominio y recorrido.

b) Simetra y monotona.

c) Puntos de corte y asntotas de la funcin.

Y

X

1

1

4

a) Se considera un crculo cuyo radio mide x cm y se inscribe un cuadrado en l.Encuentra la expresin del rea de la figura que forman los cuatro segmentos circulares.

b) Halla el valor del rea en el caso de que el radio mida 8 cm.

Lee y resuelve.5


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Considera las funciones: y,

Calcula.

a) f 1(x ) y su dominio. b) g f(x) y su dominio. c) y su dominio.f x

g x

( )

( )

g x x( ) =f x x

x( ) =

1 7

Dada la funcin representada, indica.

a) Dominio y recorrido.

b) Simetra y monotona.

c) Puntos de corte y asntotas de la funcin.

Y

X

1

2

8

Dibuja la grfica de una funcin con las siguientes caractersticas.

Su recorrido es toda la recta real.

Es simtrica respecto del eje de ordenadas.

Tiene un mximo relativo en el punto (0, 4).

Tiene dos asntotas verticales.

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Dilatacin

Nombre:

Curso: Fecha

Dilatacin lineal

En la dilatacin lineal solo aumenta o disminuye la longitud de la sustancia.

Para calcular la longitud final se usa la expresin:

LF= l0[1 + x(tF ti)]

LF: longitud final l0: longitud inicial x: coeficiente de dilatacin

tF: temperatura final ti: temperatura inicial

Dilatacin trmica

Cuando la temperatura de una sustancia vara despus de cierto lmite, se produce un

cambio en sus dimensiones; as, la sustancia puede dilatarse (aumentar) o contraerse

(disminuir).

Esta deformacin, que es frecuente en todas las sustancias, se conoce como dilatacin

trmica.

En la construccin de distintas estructuras como vas, puentes, edificios, la dilatacin

trmica juega un papel importante para prever la temperatura mxima que pueden

soportar los materiales empleados en ellas. El fenmeno de dilatacines reversible (un

cuerpo puede recuperar su forma, si recupera su temperatura inicial), siempre

que no se superen los lmites mximos y mnimos de temperatura que cada cuerpo

puede soportar, pues entonces quedara deformado permanentemente.

La dilatacin que sufren las sustancias puede ser de tres tipos: lineal, superficial y cbica.

Actividades

Calcula la longitud final de cada una

de las varillas de aluminio, si la temperatura

aumenta de 13 C a 45 C.

En el caso de que falte un dato, da el resultado

como una expresin algebraica.

Varilla metlica de 1,8 cm




Qu sucedera con la longitud de cada varilla

si la temperatura disminuye de 45 C a 13 C?

Justifca con un ejemplo.

1

2

a)

b)

c)

d)


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Dilatacin superficial

El caso de las reglas de acero

El incremento o la disminucin en las dimensiones de un cuerpo es proporcionalal tamao original del mismo.

Por ejemplo, si se aumenta la temperatura de una regla de acero, el efecto sersemejante al de un pequeo aumento fotogrfico. Las rayas que estaban espaciadas

a la misma distancia, seguirn igualmente espaciadas, pero la distancia entre ellasser algo mayor. De igual manera, el ancho de la regla ser mayor.

Si el tipo de regla de acero es con un agujero, este ser tambin mayor.

En la dilatacin superficial aumenta o disminuye, tanto en el largo comoen el ancho, segn la temperatura. En el caso particular de una lmina se tiene:

Altura = hiBase = li

reai= li hi reaF= IF hF

Aumentode temperatura

Coeficiente de dilatacin del acero:

Coeficiente de dilatacin del alcohol:

Coeficiente de dilatacin del vidrio: 91

10 6

1 11

10 3,

111

106

Actividades

Si el rea final es igual al producto de la longitudde la base final, lF, por la longitud de la altura final, hF,escribe una expresin que permita calcular el reafinal tras un cambio de temperatura.

Halla una expresin para hallar la dilatacin cbicade un paraleleppedo.

Qu longitud se dilatar un puente de aceroque tiene 900 m de longitud, cuando la temperaturaaumenta de 5 C a 35 C?

Cmo sera la dilatacin del puente anteriorsi la temperatura disminuye de 20 C a15 C?

Un frasco de vidrio de 1 litro se llena con alcohola 10 C. Si la temperatura aumenta hasta 30 C,se puede derramar alcohol del frasco?

Las juntas de dilatacin permiten que los puentesse dilaten o se contraigan, sin generarse tensionesque puedan deformarlos permanentemente cuandola temperatura vara.

hF= hi[1 + x(tF ti)]

lF= li[1 + x(tF ti)]

Altura = hFBase = lF

3

4

5

6

7


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Reflexin y Refraccion de la luz

Nombre:Curso: Fecha

Reflexin de la luz

Este fenmeno es conocido desde los primeros aosde la infancia, cuando se observa la imagen que cadauno de nosotros produce en un espejo, o el reflejode distintos cuerpos sobre el agua. Como se ve en lafotografa, la luz que ilumina el paisaje se refleja

en el agua y llega hasta nuestros ojos. Debido a estefenmeno, es posible ver el paisaje, al igual que suimagen reflejada en el agua.

La luz, al reflejarse en una superficie pulidacomo un espejo, tiene un comportamiento regularque cumple dos leyes.

Primera ley: el rayoincidente y el rayoreflejado se encuentranen el mismo plano.

Segunda ley: el ngulode incidencia es igualal ngulo de reflexin.

Cuando se colocan varios espejosen cierta posicin, el rayo reflejadode uno incide sobre el otro.

Espejo

Espejo

Perpendicular

al espejo

ngulode reflexin

ngulode incidencia

Rayoreflejado

Espejo

Rayoincidente

Nos engaan los ojos

Antiguamente se consideraba que la luz eraemitida por el ojo. Ms tarde se estableci quela luz proceda de los objetos que se vean, yque entraba en el ojo produciendo lasensacin de la visin. Christian Huygens yRobert Hooke explicaron la reflexin y larefraccin de la luz, y establecieron que la luzviaja ms rpido en el aire que en el vidrioo el agua. De igual forma, esta teora explicalos colores producidos por distintosfenmenos. Sin embargo, no es vlida a la

hora de explicar otras propiedades de la luzcomo la interaccin de esta con la materia.El arco iris es un fenmeno ptico que se producecuando los rayos del sol atraviesan pequeas partculasde humedad contenidas en la atmsfera terrestre.


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Refraccin de la luz

La refraccin de la luz hace que se vean posiciones

falsas de los objetos. Tiene lugar siempre

que los rayos luminosos cambian de medio

de propagacin.

Al igual que con la reflexin, la luz al refractarse tiene

un comportamiento regular que cumple dos leyes.

Primera ley: el rayo incidente y el rayo

refractado se encuentran en el mismo plano.

Segunda ley: cuando un rayo luminoso

pasa de un medio a otro de mayor densidad,

disminuye el ngulo del rayo incidente,

y viceversa.

i= ngulo de incidencia

Rayo incidente

I

i

r

R

Rayo refractado

r= ngulo de refraccin

Actividades

Completa la trayectoria del rayo de luz sobre el espejo B. Luego, calcula la medida del ngulo de reflexin

en cada espejo.

51

A

40 35 '

Espejos

paralelos

A

B

30120

A

B

30

A

B

B1

2

3

4

Actividades

Halla el ngulo de incidencia o refraccin, segn corresponda, cuando el rayo de luz se propaga

de un medio a otro.

1 2 3


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Microsoft Office. EXCEL

Nmero de hojas que se crearninicialmente con un nuevo libro.

La hoja de clculo es un programa que nos permiterealizar todo tipo de operaciones matemticas conlos datos que introducimos en sus celdas.

La apariencia de una hoja de clculo es semejante auna tabla en forma de rejilla. La tabla est divididaen lneas horizontales llamadas filas y en lneasverticales llamadascolumnas. La interseccin de lasfilas y las columnas forman las celdas.

La hoja de clculo que vamos a utilizar en esteapartadoes Excel. Esta aplicacin ha sidodesarrollada por la empresa Microsoft y forma partedel conjunto de aplicaciones Microsoft Office. Lashojas de clculo que vamos a manejar con Exceltienen un mximo de 256 columnas y 65 536 filas.

Las columnas se nombran con las letras queaparecen sobre cada una de ellas. La primeracolumna es la A, la segunda la B, la tercera la C, y assucesivamente, hasta

terminar el abecedario (26 columnas, ya que la no

est incluida). A partir de la columna 27 se utilizarncombinaciones de dos letras. La columna 27 ser AA,la siguiente AB, despus AC y as hasta llegar a la AZ.Despus continuaremos con la BA, BB, BC, etc., hastallegar a la ltima columna, que se llama IV.

Las filas se identifican con nmeros enteroscorrelativos. La primera es la fila 1, la segunda la 2, yas sucesivamente, hasta la 65 536 que es la ltima.

Llamamos celda a cada una de las interseccionesque se producen entre las columnas y las filas. Paraidentificar a cada celda utilizaremos el nombre de la

columna seguido del nmero de la fila a la quepertenece. Por ejemplo, A1, B30, CB17. Paranombrar una celda siempre se debe seguir el ordenindicado: primero el nombre de la columna ydespus el nombre de la fila; a esta combinacin quela identifica se la conoce como direccin de la celda.

Cuando trabajamos con una hoja de clculo siempreestamos situados en una de sus celdas. Esta celdarecibe el nombre de celda activa. En Excel podemosidentificar fcilmente la celda activa porque tiene unborde ms grueso que el resto de las celdas.

Cmo ejecutar Excel?

Para ejecutar Excel haremos clic en el botn deInicioy elegiremos la opcin Todos los programas(o Programassi tenemos activado el men de Inicioclsico de Windows). Seleccionamos el grupo

Microsoft Office y hacemos clic en el elementoMicrosoft Excel.

Al ejecutar la aplicacin aparecer la ventanaprincipal de Excel y un nuevo libro de trabajo. Unlibro de trabajo es un conjunto de hojas de clculoque son almacenadas juntas como un solo archivo odocumento. Por defecto, cuando se crea un nuevolibro de trabajo, el nmero de hojas de clculo queaparecen son tres, aunque este es un parmetro quepodemos modificar segn nuestras necesidadescon la opcin del men Herramientas / Opcionesyseleccionando la ficha General.

En la ventana principal de Excel podemos distinguirlos elementos tpicos de cualquier aplicacin, comola barra de mens, la barra de herramientas, la barrade estado, etc. Tambin encontramos algunosespecficos de esta aplicacin, como:

El cuadro de nombres, que nos indica la direccinde la celda activa.

La barra de frmulas, que nos permite introducir,modificar y mostrar el contenido de la celdaactiva.

El selector de hojas, que nos permite elegir unahoja de clculo entre todas las que forman el librode trabajo que tenemos abierto. Para cambiar deuna hoja a otra del mismo libro bastar con hacerclic en la pestaa correspondiente del selector.

ColumnasCelda activa

Filas


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Ir a la ltimapestaa

Ir a la pestaaanterior

Ir a la primera pestaadel selector de hojas

Ir a la pestaasiguiente

Selectorde hojas

Barra de mens Barra de frmulas Barra de herramientas

Cuadro

de nombresCuadrode hoja

Navegadorde hojas

Barrade estado

Selectorde hojas

reade trabajo

Barrasde desplazamiento

El navegador de hojas.Cuando el libro de trabajocontiene muchas hojas y no pueden verse todoslos nombres en el selector de hojas, el navegadornos permite mover las pestaas para teneracceso a todas las hojas que integran el libro.

Para movernos de una celda a otra podemos utilizar

las teclas de los cursores, el tabulador, la tecla o el ratn, moviendo el puntero hasta lacelda en la que nos queramos situar y haciendo clicsobre ella.

Si queremos ir a una celda que no vemos en lapantalla en ese momento, podemos utilizar lasbarras de desplazamiento para localizarla, o bienescribir su direccin en el cuadro de nombresy pulsarla tecla . Tambin tenemos disponible laopcin del men Edicin/Ir ay teclear en el cuadrode texto Referencia la direccin de la celda en la que

deseamos situarnos.

Tipos de datos

Los datos que vamos a manejar con las hojas declculo de Excel sern introducidos en las celdas.Esos datos pueden ser de diferentes tipos enfuncin de las operaciones que vayamos a realizarcon ellos. Entre los tipos ms importantes podemos

distinguir: Texto. Ser cualquier combinacin de caracteres

alfabticos, numricos y signos de puntuacin.Cuando se introduce en la celda un dato de tipotexto, por defecto sern alineados a la izquierda.

Valores numricos. Estarn formados por dgitosnumricos, del 0 al 9 y caracteres como,, ( , ),% y el separador de decimales (la coma o elpunto) separador qu depender de laconfiguracin establecida en el apartadoConfiguracin regional y de idioma del Panel decontrol de Windows. Los valores numricos nospermitirn realizar operaciones matemticas conellos y, por defecto, se alinearn a la derecha de lacelda al introducirlos.

Fechas y horas. Los datos numricos de las fechasse separarn con la barra /, y los datos de lashoras se separarn con el smbolo dos puntos (:).

Frmulas.Se emplean para calcular resultados apartir de una expresin matemtica formada pordatos y operadores.


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Cuadro de nombres

donde se muestra

la celda activa

Datos tipo textoFrmula B7 C7Frmula B8 C8

Frmula B9 C9

Frmula de la celda activa Valores numricos

Funcin

SUMA(B7:B9)

Funcin

SUMA(C7:C9)

Funcin

SUMA(D7:D9)

Los datos pueden ser nmeros, direcciones de celda,

funciones de Excel, etc., y los operadores suelen ser

los smbolos matemticos, como la suma (), la

resta (), la multiplicacin (*), la divisin (/), la

potenciacin (^), el porcentaje (%), etc.

Para introducir una frmula en una celda primero

debemos teclear el smbolo igual () y a continu-

acin los datos y operadores necesarios para formar

la expresin que deseamos calcular. Funciones. Son frmulas predefinidas en Excel

que nos permiten realizar determinados clculos.

Una funcin est compuesta por el nombre de la

funcin y sus argumentos. Los argumentos

pueden ser valores, direcciones de celda, etc. Una

funcin se introduce en una celda con el smbolo

igual (), el nombre de la funcin y los

argumentos entre parntesis.

Cuando se introduce en una celda una frmula o

una funcin, en la celda se mostrar el resultado de

la operacin realizada, pero en la barra de frmulasse muestra la sintaxis de la frmula o funcin que

hemos tecleado.

La mayor ventaja que tienen las hojas de clculo es

que las frmulas y las funciones son recalculadas

automticamente, es decir, si se realiza algn

cambio sobre los datos que forman parte de una

frmula o de los argumentos de una funcin, la

celda que contiene el resultado se recalcular de

forma automtica y mostrar el nuevo resultado de

la operacin.

Cmo introducir datos?

Para introducir un valor en una celda bastar con

situarnos sobre ella y escribirlo. Mientras estamos

tecleando el valor estaremos en modo edicin de

celda y para aceptar el nuevo contenido

tendremos que cambiarnos a otra celda, bien

utilizando la tecla del tabulador, la tecla ,

los cursores o haciendo clic con el ratn en otra

celda.

Debemos tener en cuenta que si nos situamos

sobre una celda con texto y escribimos cualquier

dato, el contenido anterior ser sustituido por la

nueva informacin tecleada.

Si en algn momento mientras estamos

modificando un resultado anterior nos damos

cuenta de que nos hemos equivocado, podemos

utilizar la tecla Esc (escape) o el botn de la

barra de frmulas para descartar los cambios y

dejar el contenido anterior en la celda.Si hemos realizado el cambio y ya hemos salido de

la celda, pero nos damos cuenta de que ha sido

una modificacin errnea, podemos deshacer los

cambios de tres maneras:

Con la combinacin de teclas +.

Utilizando el botn de la barra de

herramientas.

Con la opcin del men Edicin / Deshacer

escritura.


19/87

Esto no es un error, simplemente indica que el ancho

no es suficiente. Para lograr mostrar el contenido com-

pleto bastar con aumentar el ancho de la columna en

la que se encuentra la celda.

Clic y arrastre en el borde derecho

de la cabecera de la columna

para variar su ancho.

Valor numrico

que contiene

la celda.

No se puede mostrar el valor numrico

porque la columna tiene un ancho insuficiente.

Para borrar el contenido de una celda bastar con

situarnos sobre ella y pulsar la tecla , o bien

utilizar la opcin del men Edicin / Borrar /

Contenido.

Si lo que deseamos es modificar el contenido de

unacelda, podemos hacerlo de varias formas:

Con doble clic sobre la celda.

Situndonos en la celda y pulsando la tecla F2. Colocndonos en la celda y haciendo clic sobre la

barra de frmulas.

En cada celda solo se puede almacenar un dato. El

dato se extiende longitudinalmente ocupando todo

el ancho de la celda. Cuando el tamao del dato

introducido es mayor que el ancho de la celda, dicho

dato ocupar el espacio de las celdas de las

columnas contiguas siempre y cuando estn vacas.

Sin embargo, si las celdas contiguas tuviesen

informacin, solo se mostrar el contenido que

entre en el ancho de la celda, permaneciendo oculto

el resto de la informacin.

Si el dato es numrico y no se puede mostrar porque

el ancho de la columna es insuficiente, en lugar del

contenido se mostrarn almohadillas (##########)

cubriendo todo el espacio de la celda.

Esto no es un error, simplemente indica que el ancho

no es suficiente. Para lograr mostrar el contenido

completo bastar con aumentar el ancho de la

columna en la que se encuentra la celda.

Cmo abrir y guardar un libro de Excel?

Cuando ejecutamos Excel, automticamente se

crea un nuevo libro de Excel. Si en cualquier

momento necesitamos crear otro nuevo libro,

podemos utilizar la opcin de men Archivo

/Nuevo, o bien hacer clic sobre el botn de la

barra de herramientas. Cuando tenemos varios

libros abiertos podemos cambiar de uno a otro conel men Ventana y seleccionar el nombre del libro

con el que vamos a trabajar.

Para abrir un libro que tengamos en un disco o

pendrive utilizaremos la opcin del men Archivo/

Abrir, o bien haremos clic sobre el botn de la

barra de herramientas. Esto abrir el cuadro de

dilogo Abrir, en el que tendremos que seleccionar

la unidad y la carpeta donde se encuentra el

documento que queremos abrir. Una vez localizada

la ubicacin del mismo lo seleccionamos y

hacemos clic en el botn Abrir.

Cuando hayamos terminado de trabajar con la

hoja de clculo, lo habitual es guardar el trabajo

realizado en disco. De esta forma podremos abrirlo

posteriormente y volver a usarlo. Para guardar el

libro de trabajo utilizaremos la opcin del men

Archivo/ Guardar, o bien el botn de la barra

de herramientas. La extensin que toman los

nombres de documento de los libros de Excel es

.xls.

Tambin podemos cerrar un libro de Excel sinabandonar la aplicacin, para ello emplearemos la

opcin del men Archivo /Cerrar.

Para salir de Excel bastar con utilizar la opcin del

men Archivo/ Salir. Antes de cerrar la aplicacin,

Excel comprueba si se han realizado

modificaciones en la hoja de clculo que an no

hayan sido guardadas; en caso afirmativo, nos

preguntar si deseamos guardar los cambios antes

de cerrar la aplicacin.

Operaciones bsicas

Vamos a realizar algunas operaciones que se

efectan de forma habitual al trabajar con la hoja

de clculo Excel.

Cmo seleccionar informacin?

Dentro de una hoja de clculo podemos:

Seleccionar una celda. Bastar con hacer clic

sobre ella. En ese momento pasar a ser la celda

activa


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Cuadro de hoja.

Clic en l para

seleccionar toda

la hoja de clculo.

El puntero nos indica que vamos

a realizar una copiade la informacin seleccionada.

El puntero nos indica

que vamos a mover

la informacin seleccionada.

Seleccionar una columna. Bastar con hacer clic

sobre su cabecera, donde est el nombre de la

columna.

Seleccionar una fila. Hay que hacer clic sobre su

encabezado, donde est el nmero de la fila.

Seleccionar toda la hoja. Bastar con hacer clic en

el cuadro de hoja situado en la esquina superior

izquierda de la hoja de clculo.

Seleccionar un rango. Un rango es un rectngulode celdas adyacentes. Este conjunto de celdas

puede estar formado por celdas de una o varias

filas y de una o varias columnas, pero todas ellas

contiguas.

Un rango se identifica por la direccin de la celda de

la esquina superior izquierda, en la que comienza el

rango, y por la direccin de la celda de la esquina

inferior derecha, o lo que es lo mismo, donde

termina el rango. Las direcciones de ambas celdas

irn separadas por dos puntos (:). Por ejemplo, B3:D8

sera un identificador de rango que va de la celda B3a la D8.

Para seleccionar un rango bastar con hacer clic en

la celda que ser el inicio del rango y hacer clic y

arrastre con el ratn hasta llegar a la celda donde

termina elrango que deseamos seleccionar.

El rango aparecer resaltado por una lnea ms

gruesa y las celdas que lo forman quedarn

sombreadas, excepto la celda de inicio, que estar

sin sombrear por ser la celda activa.

Cmo copiar, mover y eliminar?

Para copiar o mover el contenido de una celda o

rango de celdas podemos utilizar el men Edicin

de forma habitual. Con Edicin/ Copiar pasaremosal portapapeles las celdas seleccionadas y con

Edicin / Cortar igualmente las pasaremos al

portapapeles y, adems, desaparecern de la hoja

de clculo.

Con Edicin / Pegar podremos colocar donde

queramos el contenido del portapapeles.

Para eliminar el contenido de una celda o rango

seleccionado bastar con pulsar la tecla o

bien utilizar la opcin del men Edicin/ Borrar/

Contenido.

Tambin podemos utilizar el ratn para realizar

estas operaciones. Para copiar una celda o rango

utilizando el ratn haremos lo siguiente:

1. Seleccionamos lo que deseamos copiar.

2. Pulsamos la tecla y, mantenindola

pulsada, acercaremos el ratn al borde de

nuestra seleccin hasta que el puntero del

ratn cambie a .

3. En ese momento hacemos clic y arrastramos

con el ratn hasta el lugar donde queremos

copiar los datos, y soltamos.

Para mover una celda o rango utilizando el ratn

haremos:

1. Seleccionamos lo que vamos a mover.

2. Acercamos el ratn al borde de nuestraseleccin hasta que el puntero cambie a .

3. En ese momento hacemos clic y arrastramos el

ratn hasta el lugar donde queremos mover

los datos, y soltamos.

Rango B2:F3

Celda activa. Rango seleccionado.


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Clic y arrastre

para modificarel ancho de

la columna.

Clic y arrastre

para modificarel alto

de la fila.

Doble clic sobre la pestaa

para cambiar el nombrede la hoja.

Cmo trabajar con filas y columnas?

Las operaciones que podemos realizar con filas y

columnas son: insertar o eliminar filas y columnas, y

ajustar el alto y el ancho, respectivamente. Veamos

cmo realizar estas operaciones.

Insertar una fila. Nos situamos sobre una celda de

la fila sobre la que deseamos insertar la nueva fila

y elegimos la opcin del men Insertar / Filas.

Encima de la celda seleccionada aparecer una

nueva fila, con todas sus celdas vacas.

Insertar una columna. Seleccionamos una celda

de la columna donde deseamos insertar la nueva

columna. Elegimos la opcin del men Insertar

/Columnas y a la izquierda de la celda

seleccionada habr aparecido la nueva columna

que hemos insertado, con todas sus celdas vacas.

Eliminar una columna o una fila. Bastar con

seleccionar la columna o la fila haciendo clic en su

cabecera y elegir la opcin del men Edicin /Eliminar.

Cambiar el ancho de una columna. Para ello

situaremos el puntero del ratn en el borde

derecho de la cabecera de la columna cuyo ancho

deseamos modificar. Cuando el puntero del ratn

tome la forma , haremos clic y arrastre hasta

conseguir el ancho deseado.

Cambiar el alto de una fila. Para ello situaremos el

puntero del ratn en el borde inferior de la

cabecera de la fila cuyo alto deseamos modificar.

Cuando el puntero del ratn tome la forma ,

haremos clic y arrastre hasta conseguir el alto

deseado.

Cambiar el nombre de una hoja de clculo.

Cuando se crea un libro de trabajo, por defecto

se adjudica a las hojas los nombres estndar

Hoja1, Hoja2 y Hoja3. Sin embargo, como esos

nombres no son muy significativos, Excel nos da

la oportunidad de cambiarlos de una forma

sencilla.

Bastar con hacer un doble clic sobre la pestaa

de la hoja donde se encuentra el nombre yteclear el nuevo nombre. Tambin podemos

utilizar la opcin del men Formato / Hoja /

Cambiar nombre.

Insertar y eliminar una hoja de clculo en el libro

de trabajo. Para aadir una nueva hoja de

clculo al libro que estamos utilizando bastar

con elegir la opcin del menInsertar/ Hoja de

clculo.

Para eliminar la hoja de clculo en la que estamos

situados bastar con elegir la opcin del men

Edicin/ Eliminar hoja.

Cmo aplicar formatos?

Para cambiar el aspecto de una celda o de un

rango, primero hacemos la seleccin y despus

utilizamos la opcin del men Formato/ Celdas.

Aparecer el cuadro de dilogo Formato de celdas

en el cual tenemos disponibles las siguientes fichas:

Ficha Fuente. Con esta ficha podemos cambiar el

tipo de letra, el estilo y el tamao del contenidode las celdas. Podemos aplicar diferentes tipos de

subrayado, cambiar el color del texto, etc.

Ficha Nmero. Nos permite cambiar el aspecto de

los datos numricos. Podemos colocar decimales

o quitarlos, utilizar separadores de miles, colocar

los valores negativos en rojo, etc.

Para ello seleccionamos la ficha Nmero y en la lista

Categora: seleccionamos el tipo de formato que

deseamos aplicar: General, Nmero, Moneda,

Contabilidad, etc.


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.sadltn

Podemos elegir la alineacin horizontaly vertical del contenido de las celdas.

Podemos colocar en verticalecsaledodine

Podemos girar un nmerode grados el contenido

de las celdas.

Primero seleccionamos

el estilo de lnea.

Segundo, el color

del borde.

Alineacin de los datos. Podemos alinear los

datos contenidos en las celdas horizontal y

verticalmente. Tambin podemos girarlos un

determinado nmero de grados o colocarlos

totalmente en vertical.

Para ello en la cha Alineacinpodemos utilizar la

lista desplegable Horizontal: que nos permitir

alinear el contenido a la izquierda, derecha,

centrado o justicado.

En la lista desplegable Vertical: podremos elegir

entre superior, inferior, centrada, etc. En la parte

derecha del cuadro de dilogo podremos hacer clic

en el texto en vertical para colocar el contenido en

vertical o bien marcar los grados de inclinacin quele deseamos dar.

Bordes. Cuando trabajamos con Excel, los datos

que introducimos en las celdas aparecen

delimitados por las lneas que forman la rejilla.

Pero estas lneas desaparecen cuando

imprimimos el trabajo. Si queremos que algunas

de esas lneas se mantengan al imprimir, ser

necesario establecerlas como bordes de las

celdas.

Para ello emplearemos la cha Bordes. El

procedimiento a seguir es: primero, seleccionar el

estilo de lnea a utilizar; despus, escoger el color,

y por ltimo, hacer clic sobre los botones que

indican en qu lugar se colocarn los bordes.

Colores y tramas. Excel nos permite dar color al

fondo de las celdas. Para ello seleccionaremos la

cha Tramas, en la que elegimos el color, y en la

lista desplegable Trama: podemos seleccionar

diferentes tipos de trama para aplicar: lneas

verticales, horizontales, cuadritos, etc.

Tercero, hacemos clic sobre los botones

que indican dnde se aplicar el borde.

Lista de categoras disponibles

para los formatos de datos numricos.


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Debemos tener en cuenta que una vez aplicado un

formato en una celda, este contina activadoaunque se borre el contenido de la celda con la tecla. Para eliminar el formato junto al contenido

de la celda es necesario utilizar la opcin del menEdicin/ Borrar/Todo.

Si lo nico que deseamos eliminar en las celdasseleccionadas son los formatos aplicados y no los

contenidos de las celdas, la opcin del men quedebemos emplear es Edicin/ Borrar/Formatos.

Referencias de las celdas

Cuando copiamos celdas que contienen frmulas ofunciones, Excel acta de forma diferente a lohabitual. Al realizar esta operacin, las direcciones

de las celdas que forman la frmula o funcinaumentan o disminuyen tantas filas y columnascomo se hayan desplazado desde su lugar original.

Esto es debido a que Excel trata las direcciones de lasceldas en la frmula como relativas a la posicin enla que se encuentra la frmula o funcin: esto es lo

que se conoce como referencias relativasy es el tipode referencias que utiliza Excel por defecto.

Sin embargo, en ocasiones es necesario mantenerfija la direccin de una celda en una frmula o enuna funcin; es decir, que no aumente o disminuya

la direccin de la celda al copiarla a otro lugar. Paraconseguir esto hay que colocar delante del nombrede la columna y delante del nmero de la fila el

smbolo dlar ($) en la direccin de la celda de estamanera: $A$1. Esta manera de emplear lasdirecciones de las celdas se denomina referencias

absolutas.

Existe un tercer tipo de referencias que consiste en

una mezcla de las dos anteriores y se denominareferencia mixta. Esta se utiliza cuando queremosque al copiar una frmula o funcin, parte de la

direccin de la celda permanezca fija y parte vare.Para utilizar este tipo de referencias colocaremos elsigno dlar ($) delante de la parte que deseamos

que permanezca fija. Por ejemplo, $A1 dejar fijadala columna A pero variar la fila. Por otro lado, lareferencia A$1 dejar fijada la fila 1 pero variar la

columna.

Las funciones

Una funcin es una frmula predefinida diseadapara realizar un clculo determinado. Los elementos

que forman una funcin son el nombre de la funciny los argumentos, que pueden ser valores,direcciones de celda, rangos, etc.

Para introducir una funcin en una celda

teclearemos el signo igual () seguido del nombrede la funcin y los argumentos entre parntesisseparados por punto y coma (;). Por ejemplo:

FUNCION(argumento1;argumento2;argumento3)

El nombre de la funcin se puede escribir enmaysculas o en minsculas, es indiferente.

Tambin hay funciones que no tienen argumentos;es decir, en las que no va nada entre los parntesis;sin embargo, si fuera necesario, poner losparntesis para que funcione correctamente.

El conjunto de funciones de Excel es amplsimo, porello, se clasifican en categoras, dependiendo del

tipo de operacin que realizan y el problema queresuelven. Por ejemplo, algunas categorasdisponibles son: matemticas y trigonomtricas,

estadsticas, financieras, etc.

No es necesario conocer de memoria todas las

funciones y sus argumentos, ya que Excel disponede un asistente que nos muestra para qu sirvecada una de las funciones y nos ayuda a usarlas.

Para utilizar una funcin empleando el asistenterealizaremos los siguientes pasos:

Nos situamos en la celda donde deseamos

insertar la funcin.

Hacemos clic en el botn de la barra de

frmulas o elegimos la opcin del men Insertar

/Funcin.

Aparecer la ventana Insertar funcin. En ellaseleccionaremos la categora a la que pertenecela funcin que deseamos emplear. Despus, en lalista de funciones de esa categora,

seleccionamos la funcin que vamos a utilizar yhacemos clic en el botn Aceptar.


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Clic para seleccionar el contenidodel argumento desde la hoja de clculo.

Seleccionaremos el tipode grfico a utilizar.

Seguidamente aparecer el asistente, en el que

tendremos que introducir los argumentos que

vamos a emplear en la funcin. Si conocemos el

argumento, lo podemos teclear directamente en

el cuadro de texto. En el caso de que no lo

conozcamos podemos utilizar el botn seleccin

que aparece a la derecha del cuadro para

rellenarlo.

Una vez rellenados todos los argumentos bastar

con hacer clic en el botn Aceptar para que la

funcin aparezca en la celda.

Grficos

Los grficos nos permiten analizar rpidamente los

datos que contiene una hoja de clculo,representando la informacin numrica de forma

visual por medio de diagramas de barras, lneas,

reas, sectores, etc. Los datos que se representan en

un grfico se denominan series. Una serie es un

rango de una o varias columnas o las que

contienen los datos representados.

Para crear un grfico seguiremos los pasos

siguientes:

Seleccionamos el rango de datos que formarn el

grco, es decir, las series.

Despus hacemos clic sobre el botn del asistente

de grcos en la barra de herramientas, o bien

utilizamos la opcin del men Insertar/ Grfico.

Aparecer la ventana del asistente en la que

debemos seleccionar el tipo y subtipo del grfico

que vamos a crear. Una vez seleccionado haremos

clic en el botnSiguiente >.

Indicamos si las series que vamos a representar

grficamente estn organizadas en filas o en

columnas y hacemos clic en el botnSiguiente >.

A continuacin debemos congurar las opciones

del grfico. Para ello contamos con la fichas

Ttulos, Eje, Lneas de divisin, Leyenda, etc.

Cuando hayamos terminado la conguracin,

hacemos clic en el botn Siguiente >.

Por ltimo, debemos indicar dnde queremos

colocar el grfico. Excel nos ofrece dos

posibilidades: colocarlo en una hoja nueva, o bien

insertarlo en una de las hojas que ya existen en el

libro de trabajo. Seleccionamos la opcin que

deseemos utilizar y hacemos clic en el botnFinalizar.

Cmo imprimir una hoja de clculo?

Antes de imprimir un documento tenemos que

congurar el modo en el que debe realizarse la

impresin del mismo. Para ello utilizaremos la

opcin del men Archivo/ Configurar pgina.

Seleccionaremos la ficha Pgina y en ella

estableceremos la orientacin del papel: vertical y

horizontal, su tamao y la calidad de impresin.


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Cambiar el tipo

de fuente,

tamao y estilo.

Nmero

de pgina

actual.

Insertar

la horaactual.

Nmero

total

de pginas.

Insertar

la fecha

actual.

Ruta y nombre

del archivo del

libro de trabajo.

Nombre

del librode trabajo.

Nombre

de la hojade clculo.

Orden de impresin de las hojas

cuando ocupa ms de 1 hoja.

En la ficha Mrgenespodemos seleccionar el tamao

de los mrgenes superior, inferior, izquierdo y

derecho, as como la distancia a la que se situar el

encabezado de la pgina del borde superior y el pie

de pgina del borde inferior.

Con la ficha Encabezado y pie de pgina podemos

establecer el encabezado del documento haciendo

clic en el botn Personalizar encabezado

Para crear el pie de pgina emplearemos el botn

Personalizar pie de pgina Haciendo clic en

cualquiera de los dos botones aparecer una nueva

ventana dividida en tres secciones, izquierda, central

y derecha.

Podemos escribir los datos que deseemos en cadauna de las secciones o bien utilizar los botones que

aparecen sobre las secciones para insertar

informacin como el nombre del libro de trabajo, el

nombre de la hoja, el nmero de pgina, etc. Una

vez rellenadas las secciones del encabezado o del

pie de la pgina haremos clic en el botn Aceptar.

Para finalizar la configuracin de la pgina haremos

clic en la ficha Hoja. En ella podemos indicar

algunas caractersticas de la impresin; por

ejemplo, si deseamos que aparezcan las lneas de

divisin de la hoja de clculo, si queremos que la

impresin se realice en blanco y negro, que la

impresin sea en calidad borrador, si deseamos

que se impriman las cabeceras de las columnas y

los nmeros de las filas, etc.

Adems, si el contenido del documento ocupa ms

de una hoja impresa, podemos elegir el orden en el

que se deben imprimir las hojas: hacia abajo y

luego a la derecha, o bien hacia la derecha y luego

hacia abajo.

Una vez establecida la configuracin de la pgina

podemos ver cmo quedara el documento

impreso con la opcin del men Archivo / Vista

preliminar.

Para enviar el documento a la impresora podemos

utilizar el botn de la barra de herramientas obien usar la opcin del menArchivo / Imprimir.

Aparecer una ventana donde podremos

seleccionar la impresora a la que lo deseamos

enviar, e indicar entre otras cosas el nmero de

copias que deseamos imprimir, las pginas que

queremos imprimir, etc.

Una vez hayamos establecido todas las opciones

que deseamos emplear hacemos clic en el botn

Aceptar para enviar el contenido de la hoja de

clculo a la impresora.


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Algoritmo de EuclidesEl mximo comn divisor, m.c.d., de dos nmeros

P y Qse puede calcular mediante el algoritmo de

Euclides. Se dividen ambos nmeros, y si el resto

no es cero, se vuelve a dividir el divisor entre el

resto obtenido, y as sucesivamente hasta que el

resto sea cero. En ese caso, el m.c.d. es el ltimo

resto no nulo. El mnimo comn mltiplo, m.c.m.,se puede obtener a partir de la propiedad:

P Q= m.c.d. m.c.m.

Ternas pitagricas

Cualquier grupo de tres nmeros enteros positivos

que verifican el teorema de Pitgoras forman una

terna pitagrica.

Para generar ternas pitagricas nos basamos en la

igualdad (a2b2)2+ (2ab)2= (a2+b2)2. Si damos dos

valores paraay b, los nmerosx= a2 b2, y= 2aby

z = a2 + b2 formarn una terna pitagrica.Si los

nmeros ay bson primos entre s, la terna serpri-mitiva y a partir de ella, multiplicando por un

nmero, se podrn obtener infinitas. En caso

contrario, ser una terna derivada, es decir, que se

obtiene a partir de una terna primitiva.

Introduce, en las celdas B3 y C3, los valores de

P y Q que quieras.1

En B11 escribe = B8^2 y arrastra hasta D11.6

2 Escribe en D3 la frmula=MCD(B3; C3), y en

D5,=MCM(B3; C3). Estas funciones no estn

normalmente instaladas. Usa el men

Herramientas/Complementos/Herramienta

para anlisis para instalarlas.

3 En D7 escribe = B3*C3, y en D9, = D3*D5, y

comprobars la propiedad anterior.

1 Introduce en B5 y C5 los valores de a y b. Da

los nombres ay bpara esas celdas mediante

el men Insertar/Nombre/Definir.

2 En D5 escribe =MCD (a; b), que dar comoresultado 1si los nmeros son primos entre s.

5 En C8 y D8 escribe las frmulas=

2*a*b y=a^2+b^2, que calculan los valores de y y los

valores de z.

7 Escribe en C12 la frmula =B11+C11 y

comprobarsque el algoritmo es correcto.

8 Escribe los textos correspondientes y da

formato a las celdas. Protege la hoja para que

solo se pueda escribiren las celdas en gris.

3 En D4 escribe la orden condicional, que

indicar si una terna es primitiva o no:

=SI(D5=1; terna primitiva; terna -

derivada).

4 En B8 pon la frmula =ABS(a^2-b^2), que

calcula el valor de x. La funcin ABS calcula el

valor absoluto de un nmero.

4 En la celda B4 introduce = C3 y arrastra hasta

B12, y en C4 escribe = RESIDUO(B3; C3) y

arrastra hasta C12. Esta funcin calcula el resto

de la divisin de dosnmeros dados.

5 El mensaje de #DIV/0! aparece cada vez que se

realiza una divisin entre cero.

6 Escribe los textos correspondientes y da

formato a lasceldas.

7 Protege la hoja para que solo sea posible

escribir en las celdas en gris.


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Grfico

Selecciona el rango B14:C22.

Pulsa en la barra de herramientas Asistente

para Grficosy sigue los pasos:

1 de 4: XY (Dispersin)/Subtipo (el segundo

de la primera columna)

2 de 4: - - -

3 de 4: Leyenda/Mostrar leyenda(desactivar)

4 de 4: Como objeto(predeterminado)

Ejercicios

Con ayuda de una hoja de clculo Excel,

representa una recta en funcin

de su pendiente y su ordenada en el origen,

y calcula los puntos de corte con los ejes

coordenados.

1

1. Introduce, en el rango E3:G3, los valores de los

coeficientes de la ecuacin de segundo grado.

1

Insertar/Nombre/Definir,2. Pulsando en el men

llama p, qy ra esos coeficientes.

2

1

Representa y estudia una ecuacin

bicuadrada en funcin de sus coeficientes.

22

11

= q^24*p*r

da esa celda.3. Escribe la frmula del discriminante:

en la celda C5 y asigna el nombre3

4. Introduce, en la celda B11, la frmula que calcula

la abscisa del vrtice: =q/(2*p), y asigna a esa

celda el nombre xv.

4

Igualmente, en la celda C11, introduce la frmula

que calcula la ordenada del vrtice:

= p*xv^2+q*xv+r, y asgnale el nombre yv.

5

En las celdas B7 y C7 introduce las frmulas

que calculan las soluciones de la ecuacin

de segundo grado:

=SI(d


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La medicin del mundo

A Gauss le molestaban los signos negros de los libros, que hablaban a la mayora de los adultos, pero no asu madre, ni a l. Una tarde de domingo, pero, qu cosas tienes, hijo, hizo que su padre le explicara algunos:el del travesao grande, el muy curvado por abajo, el semicrculo y el crculo entero. Despus contempl lapgina hasta que aquellos signos desconocidos se completaron por s mismos y de pronto surgieron las

palabras. Pas la hoja, esta vez todo aconteci ms deprisa; un par de horas despus haba aprendido a leer,y esa misma noche terminaba el libro que, dicho sea de paso, era aburrido y hablaba todo el tiempo de laslgrimas de Cristo y del arrepentimiento contrito del pecador. Se lo llev a su madre para explicarle lossignos, pero ella sacudi la cabeza, sonriendo con tristeza. En ese momento l comprendi que nadie querautilizar la inteligencia. La gente deseaba tranquilidad. Comer y dormir, que fuesen amables con ellos. Noqueran pensar.

El maestro de la escuela se llamaba Bttner y le gustaba castigar. Finga ser severo y asctico, pero a vecesla expresin de su rostro revelaba lo mucho que le complaca pegar. Prefera imponer tareas que susalumnos, a pesar de trabajar mucho rato, fuesen incapaces de resolver sin faltas, de forma que al finalhubiese un motivo para sacar la palmeta. Era el barrio ms pobre de Braunschweig, ninguno de los nios de

all asistira al instituto, todos trabajaran con las manos. l saba que Bttner no le poda ni ver. Porsilenciosamente que se comportase y por mucho que intentara contestar despacio igual que todos, percibala desconfianza del maestro, y era consciente de que ste slo aguardaba un motivo para atizarle un pocoms fuerte que a los dems.

Y se lo dio.

Bttner les haba mandado sumar todas las cifras de uno a cien. Eso costara horas y ni con la mejorvoluntad lo lograran sin cometer tarde o temprano algn fallo en la suma que los hara acreedores alcastigo. Venga, haba gritado Bttner, dejad de papar moscas, empezad de una vez, vamos! Ms tarde,Gauss ya no recordaba si ese da haba estado ms cansado de lo habitual o sencillamente slo distrado. Encualquier caso, no se haba controlado, y a los tres minutos se encontraba con su pizarrita, que contena una

sola lnea escrita, ante el pupitre del maestro.

Veamos, dijo Bttner agarrando la palmeta. Su mirada cay sobre el resultado, y se qued

petrificado. Pregunt qu significaba eso.

Cinco mil cincuenta.

Qu?

A Gauss le fall la voz, carraspe, sudaba. Slo ansiaba volver a su sitio y sumar como los dems, quepermanecan sentados con la cabeza gacha como si no escuchasen. De eso se trataba, de sumar todos losnmeros del uno al cien. Cien ms uno, daba ciento uno. Noventa y nueve ms dos daba ciento uno.Noventa y ocho ms tres daba ciento uno. Siempre ciento uno. Y as cincuenta veces. Es decir, cincuenta porciento uno.

Bttner call.

Cinco mil cincuenta, repiti Gauss, confiando en que Bttner poruna vez lo entendiera.

Cincuenta por ciento uno eran cinco mil cincuenta. Se frot la nariz. Estaba a punto de echarse a llorar.

Daniel Kehlmann


29/87

Gauss respir hondo.

No me repliques, dijo Bttner, y en el acto empezaron los palos.

Total, que tras la ltima clase Gauss se present ante el pupitre del maestro con la cabeza

gacha. Bttner le hizo prometer por su honor, y concretamente por Dios, que todo lo ve,

de que haba hecho la suma solo. Gauss as lo hizo, pero cuando iba a explicarle que esocareca de importancia, que bastaba con examinar un problema sin prejuicios ni rutina

para que ste mostrase por s mismo su solucin, Bttner le interrumpi y le entreg un grueso libro.

Aritmtica superior: su fuerte. Gauss tena que llevrselo a casa y estudiarlo. Con sumo cuidado.

Una pgina doblada, una mancha, la huella de un dedo, y Dios te libre de la lluvia de palos.

Devolvi el libro al da siguiente.

Bttner le pregunt qu significaba. Claro que era difcil, pero uno no se renda tan deprisa!

Gauss neg con la cabeza, quera explicarse, pero no pudo. Los mocos corran por encima

de su boca. Tuvo que sorbrselos.

Habla de una vez!

Haba terminado, balbuce. Le haba resultado interesante y deseaba darle las gracias.

Mir fijamente a Bttner y rez para que fuera motivo suficiente.

No era preciso mentir, repuso Bttner. Ese era el manual

ms difcil en lengua alemana. Nadie poda estudiarlo en un da,

y menos un cro de ocho aos con la nariz llena de mocos.

Gauss no saba qu responder.

Bttner cogi el libro con manos inseguras. Gauss saba

lo que le esperaba: ahora iba a preguntarle!

Media hora despus, contemplaba a Gauss con expresin vaca.

Saba que no era un buen maestro. Careca de vocaciny de especiales aptitudes. Pero ahora haba llegado el momento:

si Gauss no iba al instituto, su vida de maestro habra transcurrido

en balde. El maestro lo observaba con expresin confusa; despus,

acaso para combatir su emocin, agarr la palmeta y Gauss

recibi la ltima tanda de golpes de su vida.

Esa misma tarde, un joven llam a la puerta de la casa paterna.

Dijo tener diecisiete aos, llamarse Martn Bartels, estudiar

Exactas y trabajar como ayudante de Bttner. Rogaba hablar

unas palabras con el hijo de la casa.

Slo tena uno, contest el padre, y de ocho aos.

A l me refera, replic Bartels. Peda permiso para practicar

matemticas con el joven caballero tres veces por semana.

No pretenda denominarlas clases, pues el concepto le pareca

inadecuado, sonri nerviosamente, para una actividad

en la que l quiz aprendera ms que el alumno.

El padre le mand ponerse derecho. Todo eso eran tonteras!

Medit unos instantes. Por otra parte, no tena nada

que oponer.

Dios me maldiga, farfull Bttner. Luego enmudeci un buen rato. Su rostro reflejaba el trabajo:

sorba las mejillas y alargaba el mentn, se frotaba la frente y se golpeaba la nariz. Despus mand a

Gauss a su sitio. Tena que sentarse, mantener la boca cerrada y quedarse despus de clase.


30/87

Trabajaron juntos durante un ao. Al principio, a Gauss le alegraban esas tardes que al menos

interrumpan la monotona de las semanas, a pesar de que las matemticas no le interesaban

mucho, habra preferido clases de latn. Despus comenz a aburrirse. Aunque Bartels no era

tan lento de pensamiento como los dems, tambin con l era esforzado.

Bartels refiri que haba hablado con el director del instituto. Gauss obtendra una beca

si su padre lo autorizaba.

Gauss suspir.

No estaba bien, dijo Bartels con tono de reproche, que un nio se mostrara siempreapesadumbrado.

Gauss medit, el comentario le pareci interesante. Por qu estaba triste? Quiz porque vea

morir a su madre. Porque el mundo ofreca un aspecto tan decepcionante en cuanto te dabas

cuenta de lo sutil que era su entramado, del tejido tosco de la ilusin, de la costura chapucera

del dobladillo. Porque slo el misterio y el olvido lo hacan soportable. Porque no lo soportabas

sin el sueo, que te arrancaba a diario de la realidad. No poder apartar la vista era tristeza.

Estar despierto era tristeza. El conocimiento, pobre Bartels, era desesperacin. Por qu, Bartels?

Porque el tiempo siempre transcurra.

Entre Bartels y Bttner convencieron al padre de que su hijo no deba trabajar en la fbrica

de hilados, sino acudir al instituto. El padre accedi de mala gana y le aconsej que, pasaselo que pasase, siempre se mantuviera erguido. Ya haca mucho

que Gauss haba observado a jardineros trabajando

y comprendido que a su padre no le inquietaba la inmoralidad

de las personas, sino el dolor de espalda crnico de su oficio.

Gracias a su inteligencia, a su esfuerzo y a una beca

que le consigui el maestro, ese nio que haba nacido

en el seno de una familia muy pobre, en un pequeo

pueblo de Alemania, en una sociedad que no se preocupaba

por la educacin, lleg a ser un astrnomo

muy importante, un fsico sobresaliente y, sobre todo,

el matemtico ms grande de su poca, en la cualfue conocido como el prncipe de los matemticos.

En la novela de la que hemos extrado este prrafo,

adems de otras historias, se relata su vida de una forma

muy amena, como en esta secuencia, donde leemos

cmo conoci a la mujer con la que luego se casara.

El cielo estaba encapotado, la tierra, embarrada. Trep por encima

de un seto y se encontr, jadeante, sudado y cubierto de agujas de pino,

delante de dos muchachas. Al preguntarle qu haca all, explic,

nervioso, la tcnica de la triangulacin: conociendo un ladoy dos ngulos de un tringulo, se podan determinar los otros lados y el

ngulo desconocido. As que se escoga un tringulo en cualquier lugar

de aquella tierra de Dios, se meda el lado de ms fcil acceso,

y se determinaban los ngulos para el tercer punto con ese aparato.

Levant el teodolito y lo gir, as y as, y fjense ustedes, as, con dedos

torpes, de un lado a otro, como si fuera la primera vez. Luego adase

una serie de tales tringulos uno junto a otro. [...]


31/87

Pero un paisaje, repuso la mayor de las dos, no era un plano.

l la mir fijamente. Haba faltado la pausa. Como si ella no precisasereflexionar. Desde luego que no, contest l sonriendo.

Los ngulos de un tringulo, dijo ella, sumaban en un plano cientoochenta grados, pero no sobre una esfera. Con eso quedaba dicho todo.

l la observ como si la viera entonces por primera vez. Ella le devolvi la mirada enarcandolas cejas. S, dijo l. Bien. Para compensarlo, haba que encoger en cierto modo los tringulos

despus de la medicin hasta un tamao infinitamente pequeo. En principio una sencillaoperacin diferencial. Aunque de esa forma... Se sent en el suelo y sac su bloc. De esa forma,murmur mientras pergeaba sus anotaciones, todava no lo haba realizado nadie. Cuandolevant la vista, se haba quedado solo. [...]

Pidi por carta la mano de Johanna y fue rechazado. No tena nada contra l, escribi ella,slo que dudaba que la existencia a su lado fuese saludable. Sospechaba que l extraa la viday la energa de las personas de su entorno, igual que la tierra del sol y el mar de los ros,de que cerca de l una estara condenada a la palidez y a la semirrealidad de unaexistencia de espectro.

Pasado un tiempo, lo volvi a intentar y, esta vez, fue aceptado.

Para reflexionar sobre el texto

Imagina que, en una superficie de tierra plana, hay tres rboles, A, B y C, y no podemos accederal rbol C porque existe algn impedimento. Con una cinta mtrica medimos la distanciaentre A y B y obtenemos 26 m. Luego, con un teodolito, como el de Gauss, medimos los ngulosy obtenemos 48 y 60, respectivamente. Con estos datos, qu otras distancias o reas podemoscalcular? Basndote en esto, explica la tcnica de la triangulacin y sus aplicaciones prcticas.

Responde

Quin ense a leer a Gauss? Cmo se llamaba el maestro? Quin era Bartels?Cmo eran las relaciones del maestro con Gauss?

Explica qu tarea encomend el maestro a los nios y cmo la resolvi Gauss.

Utilizando la tcnica de Gauss, calcula la suma desde 1 hasta 1.000.

1

2

3

4


32/87

Notacin matemtica en trigonometra


radIndican un ngulo medidoen radianes.

58 22' 15'' Expresan un ngulo medido = 60 en grados sexagesimales.

=3

2

2

Para expresar un ngulo en radianes, primero seescribe el nmero que expresa su medida, se deja

un espacio y, por ltimo, se pone la abreviatura

de radin, que es rad. Esta palabra se puede omitir

cuando expresamos una igualdad.

Si se quiere expresar un ngulo en grados

sexagesimales, se anotan los grados y el smbolo ,

luego se indican los minutos y se marca la cantidad

con el smbolo '; por ltimo, se escribe la cifra

de los segundos y se seala con '' .


Un ngulo se expresa:

Con el smbolosobre las tres letras que

determinan el ngulo,

BAC, o bien

CAB,de manera que quede en el centro la letra

del vrtice.

Con una letra griega: ,

A

A

C

s

A

r

B

Los vrtices del tringulo se designancon letras maysculas, los lados con letrasminsculas y los ngulos con las mismasletras que los vrtices y el smbolo .


Para representar un tringulo primero

se nombran los vrtices, comenzando por cualquiera

de ellos. Las letras que se suelen utilizar son

A, B, C, aunque es vlida cualquier letra

del abecedario.

Posteriormente se nombran los

lados, que se designan con la letra minscula

de la que representa el vrtice opuesto: a, b, c

Por ltimo, los ngulos se nombran aadiendo

el smbolo ^ a la letra que representa su vrtice,

A, B, C...

Un tringulo se designa por las letras de sus

vrtices, ABC, con el smbolo , ABC.

B

C

CA

B

c a

b

A


33/87


Las razones trigonomtricas de un ngulo (seno,

coseno y tangente) se expresan mediante

sus abreviaturas: sen, cosy tg, respectivamente.

Luego se deja un espacio en blanco y se ponen

los ngulos, en grados o radianes; a veces

se escriben los ngulos entre parntesis.

sen40 cos tan120 sen (40)3

4

sen Indica el seno del ngulo .

cos Expresa el coseno del ngulo .

tan Indica la tangente del ngulo.

cosec Indica la cosecante del ngulo .

sec Expresa la secante del ngulo .

cot Indica la cotangente del ngulo.

cosec =

sec =

cot =1

tg

1

cos

1

sen


Las razones trigonomtricas inversas de un ngulo

(cosecante, secante y cotangente) se expresan

mediante sus abreviaturas: cosec, sec y cotg,

respectivamente.

Luego se deja un espacio en blanco y se ponen

los ngulos, en grados o radianes; a veces

se escriben los ngulos entre parntesis.

csc 40 sec cot 120 csc (40)3

4

Indican que la cosecante,

la secante y la cotangente

son las inversas del seno,el coseno y la tangente,

respectivamente.


sen ( + ) Indica el seno de la sumade dos ngulos.

sen + Expresa la suma del senode un ngulo, , y el nmero .

sen + sen Indica la suma de dos senos .

cos2 Indica el coseno del doblede un ngulo.

2 cos Indica el doble del cosenode un ngulo.

tan2

(tan)2Indican el cuadrado de latangente de un ngulo.

tan2

Una razn trigonomtrica afecta a una operacin

entre ngulos solo si est entre parntesis.

Por ejemplo, si es un producto de un ngulo

por un nmero no es necesario poner parntesis.

Para calcular una potencia de una razn

trigonomtrica se puede indicar sobre

la razn trigonomtrica, o introduciendo esa

razn trigonomtrica entre parntesis.

(tan)2 =tan2


34/87

Razones de un ngulo cualquiera

Resolucin de tringulos rectngulos

Ejercicio

1. Escribe el valor de un ngulo cualquiera en C3.1

2. Introduce en C4, C5, C6, C7 y C8 las frmulas:

=90C3, =180C3, =360C3, =180+C3 y

=90+C3

2

3. Introduce la frmula=SENO(C3*PI()/180) en D3

y arrastra hasta D8.

Introduce la frmula=COS(C3*PI()/180) en E3

y luego arrastra hasta E8.

Introduce la frmula=SI(ABS(E3)< 0,0001; NO;

D3/E3) en F3 y arrastra hasta F8.

3

1. Escribe los datos en los rangos B4:C4, B6:C6,

B8:C8 y B10:C10.1

2.Introduce las frmulas:

=RAIZ(B4^2 +C4^2) en la celda D4.=ASENO(B4/D4)*180/PI() en la celda E4.

=90E4 en la celda F4.

=RAIZ(C6^2 B6^2) en la celda D6.

=ACOS(B6/C6)*180/PI() en la celda E6.

=90E6 en la celda F6.

=B8*SENO(C8*PI()/180) en la celda D8.

=B8*COS(C8*PI()/180) en la celda E8.

=90C8 en la celda F8.

2

Disea una hoja de clculo que permita

resolver dos problemas tpicos de trigonometra

con estos datos: , y d.

3.3

1

4.4

=B10/COS(C10*PI()/180) en la celda D10.

=RAIZ(D10^2 B10^2) en la celda E10.

=90C10 en la celda F10.

Ten en cuenta que los clculos son en radianes:

rad = 180 grados

4.4

Si el coseno es prcticamente cero se

consideraque corresponde al ngulo de 90 y,

por tanto, la tangente no existe.

Introduce los textos, da formato a las celdas y

protege la hoja para que solo se pueda

escribiren la celda en gris.

Para poner un formato personalizado en

grados y con dos decimales, pulsa, con las

celdas seleccionadas, en el men

Formato/Celdas/Nmero/Personalizada/Tipo

y escribe 0.00 . En el caso de que sean

metros,pon 0.00 m.

Introduce los textos, da formato a las celdas y

protegela hoja para que solo se pueda

escribir en las celdas en gris.

a.

b.


35/87

Nombre:

Curso: Fecha

Grfica de la funcin seno

1. Introduce los valores 1, 2, 0 y 3 en las celdas G4, H4,

I4 y J4, respectivamente.

Da a estas celdas los nombresa, b, py qpulsando en

el men Insertar/Nombre/Definir.

2. Dibuja 100 puntos de la grfica en un recorrido de 4,

escribe el valor 0 en la celda B4, y en la celda B5, la

frmula=B4+pi()/25, y arrastra esta celda hasta B104.

3. Escribe en C4 y D4 las frmulas =SENO(B4) y

=a*SENO(b*B4 +p)+q, respectivamente. Copia estasfrmulas en C5:C104 y D5:D104.

4. Selecciona la lnea 24 y pulsa en el men Ventana/

Inmovilizar paneles. As, al recorrer la hoja con las fle-

chas de desplazamiento, las 23 primeras filas siempre

permanecern visibles.

Grfico

5. Selecciona el rango B4:D104.

Pulsa en la barra de herramientas Estndar/Asistente

para grficos y sigue los pasos:

1 de 4: XY (Dispersin)/ Subtipo(el ltimo)

2 de 4: - - -

3 de 4: Leyenda/ Mostrar leyenda(desactivar)

4 de 4: Como objeto(predeterminado)

Ejercicio

1

1.1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

7. Para fijar las escalas del grfico, selecciona el Eje de

valores (X) y pulsando en el botn derecho: Formato

de ejes/Escala, y pon: Mnimo = 0, Mximo = 12,56

y Unidad mayor = 1,57.

Selecciona el Eje de valores (Y) y pulsando en el botn

derecho: Formato de ejes/Escala, y pon:

Mnimo =5, Mximo = 5 y Unidad mayor = 2.

8.1.8

1.7

Disea una hoja de clculo que permita

representar la funcin coseno y sus

posibles transformaciones.

Introduce los textos, da formato a las

celdas y al grfi-co (seleccionando cual-

quier elemento y pulsando conel botn

derecho) y protege la hoja para que

solo sepueda escribir en las celdas en

gris.


36/87

Un juego hawaiano

1

17.

18.

Grfico

En el juego del Lu-Lu se utilizan cuatro discos redon-

dos de piedra volcnica de unos 2,5 cm de

dimetro. Por una cara no tienen ninguna seal, y

por la otra estn marcados como indica la figura.

Supongamos que lanzamos los cuatro discos a la vez

y sumamos los puntos obtenidos. Qu resultados

posibles se pueden obtener y qu probabilidades

tiene cada uno?

Escribe 1 y 2 en las celdas B3 y B4.Seleccionadas ambas celdas, arrastra hasta lacelda B1002.

=SI(ALEATORIO()


37/87

Nombre:

Curso: Fecha

1

2

Sea ABC un tringulo cualquiera de lados a, b y c; sea P un punto del lado BC, situado entre B yC;sean m y n las longitudes de los segmentos BP y PC, respectivamente, y sea t la longitud del segmento AP.Demuestra que b2m+ c2n= t2a+ mna.

Utiliza el resultado anterior, para calcular la longitud de la mediana y de la bisectriz interior del tringulo

ABC, relativas al vrtice A.

a

nmCB

bcc

t

P

Un punto P dista 12 cm del centro de una circunferencia de 6 cm de radio. Averigua el ngulo que formanentre s las dos tangentes trazadas desde dicho punto a la circunferencia.

A

B

P O

6

12

Se considera una circunferencia de centro O, radio r y un punto P exterior a ella.Se trazan cuerdas AB paralelas a OP.

a) Demuestra que PA 2 + PB 2 es constante.

b) Halla la longitud de la cuerdaAB

que hace mxima el rea del tringuloABP

.

B'O

A B

P

Y

XO

2c

A' B'

A B

hr

P

3

Geometra


38/87

4 Sea 1 una circunferencia de radio r1 y P un punto exterior que dista a de su centro. Se suponen

construidas las dos rectas tangentes a 1 desde P. Y sea 2 una circunferencia de radio menorque el radio de 1, tangente a esas dos rectas y a 1. Una vez construida la circunferencia n,

se construye otra circunferencia n+1 , tangente a las dos rectas citadas y a n. Determina:

a) El radio de2 .

b) La expresin general del radio de n.

c) El lmite de la suma de las longitudes de las circunferencias 1, 2 , 3, , n,

P

A3A2

A1

32

1

r1r2r3

O3 O2 O1

5 Un tringulo cuyos lados vienen dados por nmeros enteros tiene 8 cm de permetro.Averigua la medida de sus ngulos y de su rea.

A

B CH

h

6 Siendo M el punto medio del segmento de extremos A y B, estudia el lugar geomtrico

de los puntos P del plano, tales que PM sea media proporcional entre PA y PB.

BA

P

M

d

H

Calcula los valores de los cosenos de los ngulos x que satisfacen la ecuacin.

sen x x sen x 2 22

1

2cos

7


39/87

( )

Demuestra que, en un tringulo issceles, la distancia entre el circuncentro y el incentro

R y r los radios de los crculos circunscrito e inscrito,respectivamente.

2

A

E

a

O

I

D

b

B C

10

Se dibuja un semicrculo con centro en O y dimetro AB y, en su interior, otro semicrculo

con dimetro OA. Se traza por un punto C de OA una perpendicular a dicho radio OA, que cortar

al semicrculo menor en D y al mayor en E y, finalmente, la recta AD que cortar al semicrculo

mayor en F. Demuestra que el crculo circunscrito al tringulo DEF es tangente a la cuerda AE en E.

A C O B

D

E

F

8

Un satlite describe una rbita circular, concntrica con la esfera terrestre, a 300 km de altura.Calcula el rea de la porcin de la Tierra vista desde el satlite al describir una rbita.

O

B C

T

S

h

U R

9


40/87

Nombre:

Curso: Fecha

Trigonometra

Tres puntos, A , B y C, estn situados sobre un plano, de modo que los segmentos AB y BCmiden 6 y 9 unidades, respectivamente, y la amplitud del ngulo determinado por ellos es de 150.Calcula la distancia entre los puntos A y C.

2

Sabiendo que sen = y que es un ngulo del segundo cuadrante, calcula de forma

razonada (sin hallar el ngulo) los valores de:

a) sen 2 b) tan c) sen +

3

2

1

53

a) Calcula todos los ngulos x que verifican la ecuacin.

cos2 x= 3 sen2 x

b) Resuelve este sistema de ecuaciones, hallando las soluciones comprendidas entre 0 y 2 radianes.

x y

x y

=

+ =

2

2sen cos

4

Halla la medida del lado desigual de un tringulo issceles, sabiendo que sus ladosiguales miden 40 centmetros y que la amplitud de sus ngulos iguales es de 30.

5

Siendo A , B y C los ngulos de un tringulo, demostrar que:

tan A A tan B tan C + tan B+ tan C=

6

Sea un ngulo del cuarto cuadrante tal que cos = . Calcular de formarazonada (sin hallar el ngulo) los valores de:

a) tan2 b) sen c) cos

6

2

2

57

a) Calcula todos los ngulos x que verifican la ecuacin.

tg2 x+ 3 = 2 tg x

b) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, hallando las soluciones comprendidasentre 0 y 360.

sen cos

sen cos

x y

x y

+ =

=

2

5 3 2

8

cos (A C) cos B = 2 cos A cos C

1 SiA,B yC son los tres ngulos de un tringulo, demuesra que se cumple la igualdad.


41/87

Cnicas

Nombre:

Curso: Fecha

Se considera la circunferencia de ecuacin x2 + y2 4x 2y + 1 = 0 y un segmento ABde longitud 1.

El extremo A del segmento se traslada por la circunferencia, mientras que este se mantiene siempre

tangente a dicha circunferencia.

a) Determina el lugar geomtrico descrito por el extremo B del segmento.

b) Obtn la ecuacin cartesiana de dicho lugar geomtrico.

1

a) Halla la ecuacin cartesiana del lugar geomtrico de los puntos del plano, tales que la sumade los cuadrados de sus distancias a los puntos (0, 0) y (1, 1) es igual a 9.

b) Calcula el rea de la regin del plano que determina el lugar hallado.

2

Sea la circunferencia de ecuacin x2 + y2 2x 4y + 1 = 0.

a) Halla su centro y su radio, y dibujarla.

b) Encuentra el punto de la cnica, de abscisa cero, ms alejado del origen; halla tambinla recta tangente a la curva en ese punto.

c) Determina las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto P(3, 0),razonando la respuesta.

3

1 2

Se consideran las cnicas C1 y C2, cuyas ecuaciones cartesianas son:

C : 9x 2 + 16 y2 = 144 C : 9x 2 16 y2 = 144

4

a) Especifica, para cada una de ellas, sus elementos caractersticos: vrtices, focos, excentricidady asntotas (si existen).

b) Halla una ecuacin cartesiana de la parbola de eje horizontal, abierta hacia la derechay que pasa por tres de los vrtices de la cnicaC1.

Se consideran dos puntos fijosA (1, 2) y B (1, 2)y otros dos puntos P y Q que se desplazan sobre los ejesde coordenadas (vase la figura), que varan de maneraque OQ = 2OP. Halla el lugar geomtrico que describeel punto M, en el que se cortan las rectas variables AP y BQ .

Y

Q2

Q1P1P2

P3Q3

B

A

X

5


42/87

a) Determina el centro, el radio y la grfica de la circunferencia C : x2 + y2 4x + 2y = 0.

b) Obtener la ecuacin de la recta tangente a C en el punto P(4, 0).

c) Encuentra la ecuacin de la circunferencia concntrica conC que es tangente a la rectade ecuacin 2x y + 2 = 0.

7

Dada la parbola de ecuacin y = y2 2:

a) Determina los puntos de interseccin de dicha parbola con los ejes de coordenadas.

b) Halla una ecuacin cartesiana y la grfica de la elipse que tiene como vrticeslos puntos hallados en el apartado anterior. Calcula su excentricidad.

c) Encuentra una ecuacin cartesiana de la hiprbola que comparte sus vrtices sobreel eje de abscisas con la elipse anterior. Obtn las ecuaciones de sus asntotas.

1

88

Encuentra una ecuacin cartesiana del lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferenciade distancias a los puntos A (0, 3) y B(0, 1) es igual a 1.Identifica de qu lugar geomtrico se trata.

6

Refuerzos Para El Docente m10

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