Regla de La Cadena
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REGLA DE LA CADENA
Una potencia se puede escribir como una función compuesta. Si f ( x )=xᶰ y u=g (x), entonces f (u )=f (g ( x ) )=〔 g(x )〕 ᶰ . La regla de la potencia es un caso especial de la rgla de la cadena para diferenciar funciones compuestas.
REGA DE LA CADENA
Si y=f (u) es una función diferenciable de u y u=g (x) es una función diferenciable de x, entonces
( dydx )❑
=( dydu ) .( dudy )= f (g ( x ) ) . g (x)
DEMOSTRACION DE LA REGLA DE LA POTENCIA PARA FUNCIONES
Como se señaló previamente, una potencia de una función puede escribirse como y=uᶰ , en donde n es un entero y u=g ( x ) .Puesto que dydu
=nu ᶰ ‾ ¹ y dudy
= g(x ) , por la regla de la cadena puede verse que
dydx
=dydu.dudx
=nuᶰ ‾ 1 g(x )
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las derivadas de las funciones trigonométricas compuestas con una función diferenciable g , se obtiene como otra consecuencia directa de la regla de la cadena. Por ejemplo
si y=senu , en donde u=g (x) , entonces dydu
=cosu .Por lo tanto,
implica que
dydx
=dydu.dudx
=cosudydx
O, en forma equivalente,
ddxsen〔u〕=cos〔u〕 d
dx〔u〕
EJEMPLO
Diferenciar y=(9 x3+1 )2 sen5x
Solución primero se utiliza la regla del producto,
dydx
=¿¿
Y en seguida la regla de la potencia
dydx
=¿¿
dydx
=(9 x3+1 )2(453cos5 x+54 x2 sen5 x+5cos5 x)
EJEMPLO 2
Derivar (o diferenciar) y=tan (6 x2+1)
SOLUCION
dydx
=se c2 (6x2+1 ) · ddx
(6 x2+1 )=12xsec ² (6 x2+1)
Ejemplo :
Obtener dydx para las exresiones indicadas:
1.- x5+x2 y3− y6+7=0
d
dx (x5 )+ ddx
(x2 y3 )− ddx
( y6 )+ ddx
(7 )= ddx
(0 ) , ddy
( y6) · dydx
5 x4+x2 ddx
( y3 )+ ddxy ³ ( x2 )−6 y5 dy
dx+0=0
5 x4+x2 (3 y2 ) dydx
+2 xy ³−6 y5 dydx
=0
dydx
(3 x2 y2−6 y5 )=−5 x4−2xy ³ , dydx=−5 x4−2xy ³3 x2 y2−6 y ⁵