Reglas básicas de la derivación
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Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito OPERACIONES CON DERIVADAS Si ) ( x f y ) ( x g son funciones derivables en el punto 0 x entonces: - La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas: ) ( ' ) ( ' ) ( )' ( 0 0 0 x g x f x g f + = + - La derivada del producto de una función por una constante es la constante por la derivada de la función: ) ( ' ) ( )' ( 0 0 x f k x f k ⋅ = ⋅ - La derivada del producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda: ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( )' ( 0 0 0 0 0 x g x f x g x f x g f ⋅ + ⋅ = ⋅ - La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar menos la primera función sin derivar por la derivada de la segunda partido por el cuadrado de la función del denominador: ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ) ( 0 2 0 0 0 0 0 ' x g x g x f x g x f x g f ⋅ − ⋅ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ - Derivada de la composición de funciones: Regla de la cadena : Si ) ( x f es una función derivable en 0 x y ) ( x g es una función derivable en ) ( 0 x f entonces f g o es una función derivable en 0 x y además ) ( ' )) ( ( ' )' ( 0 0 x f x f g f g ⋅ = o TABLA PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS Función Derivada Función Derivada k 0 x 1 n x 1 − n nx ) ( x f n ) ( ' ) ( 1 x f x f n n− x x 2 1 ) ( x f ) ( ' ) ( 2 1 x f x f n x n n x n 1 1 − n x f ) ( ) ( ' ) ( 1 1 x f x f n n n− x e x e ) ( x f e ) ( ' ) ( x f e x f x a a a x ln ) ( x f a a x f a x f ln ) ( ' ) ( x ln x 1 ) ( ln x f ) ( ' ) ( 1 x f x f x a log e x a log 1 ) ( log x f a e x f x f a log ) ( ' ) ( 1 x sin x cos ) ( sin x f ) ( ' ) ( cos x f x f x cos x sin − ) ( cos x f ) ( ' ) ( sin x f x f − x tan x x 2 2 tan 1 cos 1 + = ) ( tan x f ) ( ' )) ( tan 1 ( ) ( cos ) ( ' 2 2 x f x f x f x f + = x arcsin 2 1 1 x − ) ( arcsin x f ) ( ' ) ( 1 1 2 x f x f − x arccos 2 1 1 x − − ) ( arccos x f ) ( ' ) ( 1 1 2 x f x f − − x arctan 2 1 1 x + ) ( arctan x f ) ( ' ) ( 1 1 2 x f x f +
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Fundamentos matemáticos en Arquitectura I Jesús Hernández Benito
OPERACIONES CON DERIVADAS Si )(xf y )(xg son funciones derivables en el punto 0x entonces: - La derivada de la suma de funciones es la suma de las derivadas: )(')(')()'( 000 xgxfxgf +=+ - La derivada del producto de una función por una constante es la constante por la derivada de la función: )(')()'( 00 xfkxfk ⋅=⋅ - La derivada del producto de funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda:
)(')()()(')()'( 00000 xgxfxgxfxgf ⋅+⋅=⋅ - La derivada del cociente de dos funciones es la derivada de la primera función por la segunda sin derivar menos la primera función sin derivar por la derivada de la segunda partido por el cuadrado
de la función del denominador: )(
)(')()()(')(
02
00000
'
xgxgxfxgxf
xgf ⋅−⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
- Derivada de la composición de funciones: Regla de la cadena: Si )(xf es una función derivable en 0x y )(xg es una función derivable en )( 0xf entonces fg o es una función derivable en 0x y además )('))((')'( 00 xfxfgfg ⋅=o
TABLA PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS Función Derivada Función Derivada k 0 x 1
nx 1−nnx )(xf n )(')(1 xfxfn n− x
x21 )(xf )('
)(21 xf
xf
n x n nxn 1
1−
n xf )( )('
)(1
1xf
xfn n n−
xe xe )( xfe )(')( xfe xf xa aa x ln )( xfa axfa xf ln)(')( xln
x1
)(ln xf )('
)(1 xfxf
xalog ex alog1 )(log xfa exf
xf alog)(')(
1
xsin xcos )(sin xf )(')(cos xfxf xcos xsin− )(cos xf )(')(sin xfxf− xtan
xx
22 tan1
cos1
+= )(tan xf
)('))(tan1()(cos
)(' 22 xfxf
xfxf
+=
xarcsin 21
1x−
)(arcsin xf
)(')(1
12
xfxf−
xarccos 21
1x−
− )(arccos xf
)(')(1
12
xfxf−
−
xarctan 21
1x+
)(arctan xf
)(')(1
12 xf
xf+
