Regle

Construccions amb regle i comp` as Suposem que nom´ es tenim un regle sense marques i un comp´ as, i partim de dos punts fixats del pla, que suposem a dist` ancia 1. Direm que un punt del pla ´ es constru¨ ıble amb regle i comp´ as si el podem aconseguir a partir dels elements mencionats, fent successives interseccions de rectes i/o circunferencies obtingudes a partir de quantitats pr` eviament constr¨ uides. Diem que un nombre real positiu α ´ es constru¨ ıble si podem construir un segment de longitud α,´ es a dir, existeixen dos punts constru¨ ıbles amb regla i comp` as tals que la dist` ancia entre ells ´ es α Els problemes relacionats amb construccions amb regle i comp´ as que varen preocupar als grecs s´ on: 1. ´ Es possible duplicar el cub? ´ Es a dir, donat un cub de costat 1 (i volum 1), podem construir (amb regle i comp´ as) un altre cub de volum 2? Aix` o equival a construir la longitud real 3 √ 2. 2. ´ Es possible la quadratura del cercle? ´ Es a dir, donat el cercle unitat, que ´ es constru¨ ıble amb regle i comp` as i t´ e` area π, podem construir un quadrat que tingui la mateixa ` area? Aix` o´ es equivalent a construir el nombre real √ π. 3. ´ Es possible la trisecci´ o de l’angle? ´ Es a dir, donat un angle constru¨ ıble arbitrari θ, podem construir l’angle θ/3? Fent servir la teoria d’extensions de cossos–una teoria motivada pels treballs de Galois–es pot veure que cap d’aquestes construccions ´ es possible. De fet la impossibilitat de resoldre (1) es basa en el fet que el polinomi irreductible de 3 √ 2 sobre Q ´ es un polinomi de grau 3 (´ es el polinomi x 3 - 2), mentre que si 3 √ 2 fos constru¨ ıble, llavors hauria de ser un polinomi de grau una pot` encia de 2. Per la mateixa ra´ o, no podem construir la trisecci´ o de l’angle de π/3 radiants (60 o ) (aquest cop, el polinomi irreductible de cos(π/9) sobre Q ´ es x 3 - 3 4 x - 1 8 ). Pel que fa a la impossibilitat de la quadratura del cercle (problema (2)), la ra´ o d’aquesta ´ es el fet que el nombre π ´ es transcendent, ´ es a dir π no ´ es arrel de cap polinomi no nul a coeficients enters. Aquest fet va ser demostrat rigurosament a finals del segle XIX per Lindermann i Weierstrass. Com tota quantitat constru¨ ıble ´ es un nombre algebraic, obtenim la impossibilitat de la quadratura del cercle. Els pol´ ıgons regulars constru¨ ıbles amb regle i comp` as varen atraure l’atenci´ o de matem` atics molt importants, especialment Gauss, que a l’edat de 19 anys va demostrar que el pol´ ıgon regular de 17 costats ´ es constru¨ ıble. Gauss va provar al 1796 que si un pol´ ıgon regular de n costats ´ es constru¨ ıble, llavors n ha de ser de la forma seg¨ uent: n =2 s p 1 ··· p r , on r i s s´ on enters no negatius, i p i s´ on primers de Fermat diferents. El rec´ ıproc d’aquest resultat va ser establert per Wenzel al 1836. Els primers de Fermat s´ on els nombres primers de la forma p =2 r + 1. Es pot veure que si p =2 r +1´ es un primer de Fermat, llavors l’exponent r ha de ser una pot` encia de 2. Per exemple 2 2 0 + 1 = 3, 2 2 1 + 1 = 5, 2 2 2 + 1 = 17, 2 2 3 + 1 = 257 i 2 2 4 + 1 = 65537 s´ on primers de Fermat. Fermat 1

Upload
tomas-fabregat
Category

Documents
view
214
download
2

Embed Size (px):

description

Exposició: Évariste Galois: Bicentenari d'un revolucionari - Biblioteca de Ciència i Tecnologia - UAB

Transcript of Regle

Construccions amb regle i compas

Suposem que nomes tenim un regle sense marques i un compas, i partimde dos punts fixats del pla, que suposem a distancia 1. Direm que un puntdel pla es construıble amb regle i compas si el podem aconseguir a partir delselements mencionats, fent successives interseccions de rectes i/o circunferenciesobtingudes a partir de quantitats previament construides. Diem que un nombrereal positiu α es construıble si podem construir un segment de longitud α, es adir, existeixen dos punts construıbles amb regla i compas tals que la distanciaentre ells es α

Els problemes relacionats amb construccions amb regle i compas que varenpreocupar als grecs son:

1. Es possible duplicar el cub? Es a dir, donat un cub de costat 1 (i volum1), podem construir (amb regle i compas) un altre cub de volum 2? Aixoequival a construir la longitud real 3

√2.

2. Es possible la quadratura del cercle? Es a dir, donat el cercle unitat, quees construıble amb regle i compas i te area π, podem construir un quadratque tingui la mateixa area? Aixo es equivalent a construir el nombre real√

π.

3. Es possible la triseccio de l’angle? Es a dir, donat un angle construıblearbitrari θ, podem construir l’angle θ/3?

Fent servir la teoria d’extensions de cossos–una teoria motivada pels treballsde Galois–es pot veure que cap d’aquestes construccions es possible. De fet laimpossibilitat de resoldre (1) es basa en el fet que el polinomi irreductible de3√

2 sobre Q es un polinomi de grau 3 (es el polinomi x3 − 2), mentre que si 3√

2fos construıble, llavors hauria de ser un polinomi de grau una potencia de 2.Per la mateixa rao, no podem construir la triseccio de l’angle de π/3 radiants(60o) (aquest cop, el polinomi irreductible de cos(π/9) sobre Q es x3− 3

4x− 18 ).

Pel que fa a la impossibilitat de la quadratura del cercle (problema (2)),la rao d’aquesta es el fet que el nombre π es transcendent, es a dir π no esarrel de cap polinomi no nul a coeficients enters. Aquest fet va ser demostratrigurosament a finals del segle XIX per Lindermann i Weierstrass. Com totaquantitat construıble es un nombre algebraic, obtenim la impossibilitat de laquadratura del cercle.

Els polıgons regulars construıbles amb regle i compas varen atraure l’atenciode matematics molt importants, especialment Gauss, que a l’edat de 19 anys vademostrar que el polıgon regular de 17 costats es construıble. Gauss va provaral 1796 que si un polıgon regular de n costats es construıble, llavors n ha deser de la forma seguent: n = 2sp1 · · · pr, on r i s son enters no negatius, i pi

son primers de Fermat diferents. El recıproc d’aquest resultat va ser establertper Wenzel al 1836. Els primers de Fermat son els nombres primers de la formap = 2r + 1. Es pot veure que si p = 2r + 1 es un primer de Fermat, llavorsl’exponent r ha de ser una potencia de 2. Per exemple 220

+ 1 = 3, 221+ 1 = 5,

222+ 1 = 17, 223

+ 1 = 257 i 224+ 1 = 65537 son primers de Fermat. Fermat